2019届安徽省江南十校高三下学期联考文科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考文科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 在复平面内，复数（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.2. 设，是两个不同的平面，是直线且．“ ”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知等差数列中，是方程的两根，则（）A. B. C. D.4. 若向量，且与的夹角余弦值为，则等于（）A. B. C. 或________ D. 或5. 的解集为（）A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A. B. C. D.7. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则与满足的关系是（） A. B. C. D.8. 一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.9. 如图，半径为的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为的小圆，现将半径为的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（）A. B. C. D.10. 函数，满足，且，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 与有关，不确定11. 设，若直线与圆相切，则得到取值范围是（）A. B.C. D.12. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 一支田径队员有男运动员人，女运动员人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为______ .14. 设有两个命题， :关于的不等式（ ,且）的解集是； :函数的定义域为 .如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ____ .15. 如果满足不等式组，那么目标函数的最小值是________ .16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成 .若为线段的中点，则在翻折过程中：① 是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面 .其中正确的命题是 _________ .三、解答题17. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 8.0 米 ( 精确到 0.1 米 ) 以上的为合格．数据分成 6 组画出频率分布直方图的一部分 ( 如图 ) ，已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04 ， 0.10 ，0.14 ， 0.28 ， 0.30 . 第 6 小组的频数是 7.（ I ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（ II ）若参加测试的学生中 9 人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出 2人参加“毕业运动会”，已知学生、的成绩均为优秀，求两人、至少有 1 人入选的概率 .18. 已知向量，向量，函数 .（1）求单调递减区间；（2）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的面积 .19. 四棱锥中，面，底面是菱形，且，，过点作直线，为直线上一动点.（1）求证：；（2）当面面时，求三棱锥的体积.20. 已知函数 .（1）求的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数的最大值.21. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点. （1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求实数的值.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合，直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于、两点，求、两点间的距离.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】。
2019年安徽省江淮十校高三11月联考(数学文)试卷及答案
高考数学精品复习资料2019.5安徽省江淮十校高三11月联考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 选择题 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.4 B.2 C.8 D.1 2．设集合}032{2<--=x x x M ，{}1)1(log 2≤-=x x N ，则N M 等于（ ）A ．{}31<<-x x B.{}31≤<x x C.{}31<<x x D. {}31≤≤x x3．命题“存在2cos sin ,000≤+∈x x R x 使”的否定是（ ） A.任意2cos sin ,000≤+∈x x R x 都有B.任意2cos sin ,>+∈x x R x 都有C.存在2cos sin ,000>+∈x x R x 使D.任意2cos sin ,≥+∈x x R x 都有4.在ABC △中，已知51cos sin =+A A ，则角A 为（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角5. 在ABC ∆中，有如下三个命题：①AB BC CA ++=0；②若D 为BC 边中点，则)(21+=；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形．其中正确的命题序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 6.将函数x y 2sin 2=的图像（ ），可得函数)32sin(2π+=x y 的图像.A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位7. 已知),21(),1,2(λ=-=b a ，则“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．若函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（ ）A.2)(x x f = B. 3)1()(-=x x f C. 1)(-=x ex f D. 3)(x x f =9．已知函数θsin 43)(23x x x f -=，其中x R ∈，θ为参数，且πθ≤≤0．若函数()f x 的极小值小于1281-，则参数θ的取值范围是（ ）[A. ]ππ,6( B.⎥⎦⎤2,6(ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D. )65,6(ππ10.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-3)3sin(2)3(39)3sin(2)3(333y y y x x x ，则=+y x （ ）A.0B.3C.6D.9第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设向量b a ,,32==且b a ,的夹角是3π，则=-2_________12.[]=-+-21266)21(2log 12log __________13. 设)2,0(πα∈，若53)6sin(=-πα，则=αcos ___________14. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,32π==A a ，则此三角形周长的最大值为________15. 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意R y x ∈,均有：)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且)(x f 不恒为零。
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i的结果为（ ） A. i B.i C. -1 D. 12.已知集合{|1}A x x ，{|21}x B x ，则有（ ）A. {|10}A B x xB. A B RC. 1A Bx x D. A B3.若,R ，则“”是“sinsin”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x ，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D.31325.在递增等比数列n a 中，1510a a ，34a ，则19a （ ）A. 192B. 202C. 92D. 1026.已知直线1:360l mx y ，2:43120l x my ，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.121313 B. 81313 C. 91313D. 13 7.已知2sin()43，则sin 2（ ）A.19 B. 19 C. 459 D.4598.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 3466B. 52C. 3493D. 34122 9.在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a b Cc B ，则B （ ）A.23 B. 3 C.4 D. 610.已知曲线1:sin(2)3C yx，2:cos C y x ，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位11.设,x y 为负实数且23x y ，则下列说法正确的是（ ）A. 32yx B. 32y x C. 23x y D. 以上都不对12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)上的偶函数()f x 的导函数，且()02f ，当(0,)x 时，不等式'()sin ()cos 0f x xf x x 恒成立，若2()6a f ，2()6b f ，2()4c f ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. ca b B. b a c C. a c b D. b c a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥DABC 的体积为__________．14.设,x y 满足约束条件221x y x y ，则32z x y 的最小值为__________．15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ，半径为2，C 是其弧上一点，若OCOAOB ，则·的最大值为__________． 16.已知定义在(1,)的两个函数2()ef x mx和()ln g x x （e 是自然对数的底），若在()()1f x g x 的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x ，(3cos ,1)n x ，函数()?f x m n 且()1f B .（1）求角B 的值； （2）若23BA BC且,,a b c 成等差数列，求b .18.若数列n a 的前n 项和n S ，且2n S n n ，等比数列n b 的前n 项和n T ，且2n nT m .（1）求n a 和n b 的通项； （2）求数列·n n a b 的前n 项和.19.已知两个定点(1,0)A ，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 20.已知函数3211()32a f x x x ax （a 为常数，a R ）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a 上单调递减，求a 的取值范围. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC 为直角，060A，DEF 为直角，045D ，且BC DF ，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EMBC ；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a ，三棱锥A BEC 的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x .（1）当3a时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x 在(1,)上恒成立，求实数a 的取值范围.江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i的结果为（ ） A. i B.i C. -1 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意1i 1i 1i 2i i 1i1i 1i2，201820162450422i i i i 1.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1kkkk.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数. 2.已知集合{|1}A x x ，{|21}x B x ，则有（ ）A. {|10}A B x xB. A B RC. 1A Bx x D. A B【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由1x解得11x ，故集合1,1A ，由0212x 解得0x ，故集合,0B.故1,0A B ，A 选项正确，D 选项错误，,1A B，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即f xa f x a 或f x a ，f x a a f x a .指数不等式的解法主要是化为同底来计算. 3.若,R ，则“”是“sin sin”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“sinsin ”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果pq ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行pq 和q p 各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x ，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】 运行程序，当5i时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i ，21,2x x i，判断否，221143,3x x x i ，判断否，243187,4x x x i ，判断否，28711615,5x x x i ，判断是，退出循环.依题意可知16150x ，解得1516x.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题. 5.在递增等比数列n a 中，1510a a ，34a ，则19a （ ）A. 192B. 202C. 92D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值. 【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ，故91829101912222a a q q ，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题. 6.已知直线1:360l mx y ，2:43120l x my ，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.13B. 13C. 13D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于3340mm ，解得2m ，当2m 时，两直线方程都是2360x y 故两直线重合，不符合题意.当2m时，1:2360l x y ，2:2360l x y ，故两平66121313.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题. 7.已知2sin()43，则sin 2（ ）A. 19B.19C.459D.459【答案】B【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意π22sin sin cos423，两边平方得141sin229，解得1sin29.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（）A. 3466B. 52C. 3493D. 34122【答案】B【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242.222222，224442，224225，为等腰梯形，故高为22422225322，故面积为224232182.故表面积为10241852，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a b Cc B ，则B （ ）A.23 B. 3 C.4 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小. 【详解】由正弦定理得sin sin cos 3sin sin AB C C B ，即sin sin cos 3sin sin B C B C C B ，即sin cos cos sin sin cos 3sin sin B C B CB CC B cos B B ，故3tan 3B，故π6B.所以选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C yx，2:cos C y x ，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意πcos sin 2y x x，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x ，然后再向右平移12个单位，得到πππsin 2sin 21223xx.故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y ，则下列说法正确的是（ ）A. 32yx B. 32y x C. 23x y D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】 令23xyz ，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项. 【详解】令23xyz ，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z，3313ln log ,33log ln 3z yz y z.由于,x y 为负实数，故01z ，所以ln 0z .由于66113228,39，所以113223，所以11320ln 2ln 3，所以112311ln 2ln 3，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z ，即23xy .故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)上的偶函数()f x 的导函数，且()02f ，当(0,)x 时，不等式'()sin ()cos 0f x xf x x 恒成立，若2()6a f ，2()6b f ，2()4c f ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. ca b B. b a c C. a c b D. b c a【答案】D 【解析】 【分析】构造函数sin f x F xx，根据函数f x 的奇偶性求得F x 的奇偶性，再根据函数F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数sin f x F xx，由于f x 是偶函数，故F x是奇函数.由于2sin cos 0sin f x x f x xF xx，故函数F x 在0,π上递增.由于ππ0,022fF，故当π0,2x 时，0F x ，当π,π2x时，0F x .所以πππ60π66sin6faFF，πππ620π66sin 6fb fF，πππ420π44sin 4fc fF，根据F x 单调性有ππ46FF.故πππ0646F FF，即a c b ，故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥DABC 的体积为__________．25【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥DABC 的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，225ACAD CD ，设直角三角形ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD ，解得25h，故三棱锥的体积为1132DABCV AB BC h 112252132155. 【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件221x y x y ，则32z x y 的最小值为__________．【答案】13【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y 到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z 取得最小值，此时直线方程为320x y z ，由点到直线的距离公式得221132z z ，13z（取负值），即z 的最小值为13.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，222x a y br 表示的是圆心为,a b ，半径为r 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32zx y ，由于23y x z ，当直线截距最大时，z 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ，半径为2，C 是其弧上一点，若OCOA OB ，则·的最大值为__________． 【答案】12【解析】 【分析】以,OA OB 为基底，表示OC ，这是一个正交的基底，故22222444OAOBOC，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知22222444OA OB OC ，即221，故22122，当且仅当22时，等号成立.故的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得2a bab这个基本的形式，还要注意它的变形22222a b a b ab . 16.已知定义在(1,)的两个函数2()ef x mx和()ln g x x （e 是自然对数的底），若在()()1f x g x 的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________． 【答案】121(,]ln 33ln 42e e 【解析】 【分析】化简不等式1f xg x ，变为2eln ln 1x m x x ，即左边函数ln y m x 在右边函数2eln 1xy x图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2eln 1xy x的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】化简不等式1f x g x ，得2eln ln 1x m x x ，构造函数ln h x m x 和2eln 1xy x ，m 需要满足ln h xm x 图像在2eln 1xn xx图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112ex x xx，故函数2eln 1xn x x在1,e 上递减，在e,上递增，且当ex 时，函数值小于零.当0m时，ln h xm x 在1,上递增，画出图像如下图所示，由图可知ln h x m x 图像在2eln 1xn xx图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m 时，显然不符合题意.当0m 时，画出图像如下图所示，由图可知223344h n h n h n ，即2eln 2ln 2122eln 3ln 3132eln 4ln 414m m m ，解得121ee ln 33ln 42m.即m 的取值范围是121ee,ln 33ln 42. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的1f x g x，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x ，(3cos ,1)n x ，函数()?f x m n 且()1f B .（1）求角B 的值； （2）若23BA BC 且,,a b c 成等差数列，求b . 【答案】（1）3B ；（2）2【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简f x 的表达式，利用1f B 求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值. 【详解】（1）·23sin cos cos2f x m n x x x3sin2cos2x x整理得：2sin 26f x x，∵1f B，∴2sin 216B1sin 262B， ∵0,B，∴3B；（2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c ，由余弦定理得：222a c ac b ，由23BA BC，得：2212a c ac ，三个等式联立解得：2b .【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题. 18.若数列n a 的前n 项和n S ，且2n S n n ，等比数列n b 的前n 项和n T ，且2n nT m .（1）求n a 和n b 的通项； （2）求数列·n n a b 的前n 项和. 【答案】（1）2n a n *nN ；12n nb (2)121?2n n【解析】 【分析】 （1）利用11,1,2nn n S n a S S n ，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和. 【详解】（1）由2nS n n ，得：22111nS n n n n ，122nn n a S S n n∵211112a S 符合公式，2na n *n N同理：由2n n T m ，推得：122n n b n ，12b m∵n b 是等比数列，∴11b1m12n nb（2）设··2n n n nc a b n ，n Q 是其前n 项和，∵123122232?2n n Q n∴234121222321?2?2n n nQ n n两式相减得：2312222?2nn n Q n∴121?2n nQ n 另解：∵1·21?22?2nn n n c n n n ，∴21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n nQ n n121?2n n【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2nn n S n a S S n 来求数列的通项公式.属于中档题.19.已知两个定点(1,0)A ，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）见解析；（2）1x 或3410x y 【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条. 【详解】（1）设动点,P x y ，则2PA PB ，2222122x y x y ，化简得：2234x y所以动点P 的轨迹E 是以3,0为圆心，以2为半径的圆； （2）设:11l y k x 是圆E 的切线，则有：1324k k，当k 不存在时，:1l x 恰好与圆E 切于1,0点， 综合得：切线方程为：1x 或3410x y .【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为,x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足. 20.已知函数3211()32a f x x x ax （a 为常数，a R ）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a 上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】 【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a 三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵2'11f x x a x ax x a ，所以，当1a 时，2'10f xx ，f x 递增区间为,；当1a 时，'10f x x x a x a 或1x ，∴f x 递增区间为,1和,a ；当1a 时，'10f x x x a 1x 或x a ，∴f x 递增区间为,a 和1,；（2）∵312a a ， ∴1a ， 当1a 时，'10f xx x a 1a x ，即f x 的递减区间为,1a ， ∴31,2,1a a a3121a aa12a. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC 为直角，060A，DEF 为直角，045D ，且BC DF ，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EMBC ；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a ，三棱锥A BEC 的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC 平面MNE ，证得直线BC BM .（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB 平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ，//MN AB ，∴MN BC ，∵BE EC ，BE EC ，BN CN ，∴EN BC∵MN EN N ，∴BC 平面MNE ，故ME BC ；（2）此时三棱锥A BEC 时鳖臑∵AB a 3BC a ，62BE CE a 234BEC S a 又三棱锥的体积314V a 高h a ，所以AB 平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC 中，,,ABC ABE BEC 显然是直角，∵CE BE ，CE AB ，AB EB B CE 平面ABECE AE AEC 也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x . （1）当3a 时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x 在(1,)上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）550x y ；（2）1[,)2a 【解析】【分析】 （1）当3a 时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a aa 三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）331ln 1af x x x x '15f ， ∵10f ，∴所求切线方程为51y x ，即所求切线方程是550xy ； （2）11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x若0a ，∵1'0x f x f x 单调递减， ∵10f 在1,上，0f x ，不合题意；若0a ，由1'ln 1a x f xa x x 21''a x f x x ， ∵1''0'x f x f x 单调递增， 由于'121f a ， 那么，102a 时，'1210f a ， 11'110a a f e a ae则101,a x e ，0'0f x那么在01,x 上，'0f x，f x 单调递减， ∵10f ，∴在01,x 上，0f x ，不合题意； 若12a ，1''0'x f xf x 单调递增， '1210'0f a f x f x 单调递增，∵10f ，∴1x ，0f x，符合题意. 综合上述得：1,2a. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。
安徽省江南十校2019届高三文科数学下册3月份综合素质检测文数试题卷(含答案)
C．平面 APC∥平面 EFG D．平面 A1BQ∥平面 EFG
11．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 2 cos2 A B cos C 3 ，且△ABC
2
2
的面积为 1 c2 ，则 C＝ 4
A．
6
B．
3
C． ，
66
D． ，
33
12．已知函数
f
(x)
a(2x
1 2x
为
A．2π B． 2 3 C．3π D．4π
7．已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn 与样本乙：y1，y2，y3，…，yn，满足 yi 2xi3 1 （i
＝1，2，…，n），则下列叙述中一定正确的是
A．样本乙的极差等于样本甲的极差
B．样本乙的众数大于样本甲的众数
C．若某个 xi 为样本甲的中位 数，则 yi 是样本乙的中位数 D．若某个 xi 为样本甲的平均数，则 yi 是样本乙的平均数 8．已知函数 f（x）＝x（|x|＋1），则不等式 f（x2）＋f（x－2）＞0 的解集为
函数
y＝f（x）与函数
y＝f
（f（x））的零点相同，则 a－b 的取值范围为
A．[0，2） B．（－2，0] C．（－∞，－2]∪[0，＋∞） D．（－∞，0]∪[2，＋∞）
二、填空题：本大题共 4 小题。
13．已知向量 a (2, m) ， b (5,1) ，且 a (a b) ，则 m＝________．
A． 3 B．3 C． 5 D．5
3．已知命题 p： x 0 ，3x＋x2 ＞1，则¬p 为 A． x 0 ，3x＋x2≤1 B． x 0 ，3x＋x2≤1 C． x 0 ，3x＋x2≤1 D． x 0 ，3x＋x2≤1
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i+-的结果为（ ） A. i B. i - C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i+-，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，201820162450422i i i i 1+?====-.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,==-=-==以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1k k k k +++==-=-=.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合{|1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ） A. {|10}A B x x ?-<< B. A B R ? C. {}1A Bx x ? D. A B f ?【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误.【详解】由1x <解得11x -<<，故集合()1,1A =-，由0212x <=解得0x <，故集合(),0B =-?.故()1,0A B?-，A 选项正确，D 选项错误，(),1A B ?-?，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即()()f x a f x a >?-或()f x a >，()()f x a a f x a <?<<.指数不等式的解法主要是化为同底来计算. 3.若,R a b Î，则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120=；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果p q Þ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行p q Þ和q p Þ各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件. 4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】运行程序，当5i =时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i =，21,2x x i =-=，判断否，()221143,3x x x i =--=-=，判断否，()243187,4x x x i =--=-=，判断否，()28711615,5x x x i =--=-=，判断是，退出循环.依题意可知16150x -=，解得1516x =.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ） A. 192 B. 202 C. 92 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q ì+=ïí=ïî，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ==，故()91829101912222a a q q ==??，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于()()3340m m ?--?，解得2m =?，当2m =时，两直线方程都是2360x y -+=故两直线重合，不符合题意.当2m =-时，1:2360l x y +-=，2:2360l x y ++==.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知2sin()43p a +=，则sin 2a =（ ）A.19 B. 19- C. 9 D. 9- 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意)π2sin sin cos 423a a a 骣琪+=+=琪桫，两边平方得()141sin 229a +=，解得1sin 29a =-. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 34+34+34+【答案】B 【解析】 【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022创+创=.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242+创=.右侧梯形上底为=，下底为=，腰长为=，为等腰梯形，故高为22=，故面积为()182?.故表面积为10241852++=，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC D中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =，则B =（ ） A.23p B. 3p C. 4p D. 6p【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小. 【详解】由正弦定理得sin sin cossin A B C C B =，即()s i n s i c o s 3s i ns i nB C B C B +=，即s inc oBCB C +=+，化简得cos B B =，故t a n 3B =，故π6B =.所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C y x p=+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ） A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6p个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12p个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6p个单位D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12p个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意πcos sin 2y x x 骣琪==+琪桫，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x 骣琪+琪桫，然后再向右平移12p 个单位，得到πππsin 2sin 21223x x 轾骣骣犏琪琪-+=+琪琪犏桫桫臌.故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ） A. 32y x = B. 32y x < C. 23x y < D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】令23x y z ==，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项.【详解】令23x y z ==，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z ===，3313ln log ,33log ln 3z y z y z ===.由于,x y 为负实数，故01z <<，所以ln 0z <.由于66113228,39骣骣琪琪==琪琪桫桫，所以113223<，所以11320ln 2ln 3<<，所以112311ln 2ln 3>，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z <，即23x y <.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数，且()02f p=，当(0,)x p Î时，不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，若2()6a f p =--，2()6b f p =，()4c p=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()sin f x F x x=，根据函数()f x 的奇偶性求得()F x 的奇偶性，再根据函数()F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数()()sin f x F x x=，由于()f x 是偶函数，故()F x 是奇函数.由于()()()2s i n c o s 0s i n f x x f x xF x x-=¢>¢，故函数()F x 在()0,π上递增.由于ππ0,022f F 骣骣琪琪==琪琪桫桫，故当π0,2x 骣琪Î琪桫时，()0F x >，当π,π2x 骣琪Î琪桫时，()0F x <.所以πππ60π66sin 6f a F F 骣??琪骣骣桫琪琪==-=->琪琪骣桫桫??琪桫，πππ620π66sin 6f b f F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，πππ40π44sin 4f c F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，根据()F x 单调性有ππ46F F 骣骣琪琪>琪琪桫桫.故πππ0646F F F 骣骣骣琪琪琪->>>琪琪琪桫桫桫，即a c b >>，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥D ABC -的体积为__________．【答案】15【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥D ABC -的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，AC ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD 鬃=鬃，解得h =，故三棱锥的体积为1132D ABC V AB BC h -=创创112132=创创=【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】- 【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z 取得最小值，此时直线方程为320x y z --=，1=，z =负值），即z的最小值为-.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，()()222x ay b r -+-?表示的是圆心为(),a b ，半径为r 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32z x y =-，由于23y x z =-，当直线截距最大时，z 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意. 15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB?，半径为2，C 是其弧上一点，若OC OA OB l m =+，则·l m 的最大值为__________． 【答案】12【解析】 【分析】以,OA OB 为基底，表示OC，这是一个正交的基底，故()()22222444OA OBOC l m l m +=+==，再由基本不等式求得l m ×的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知()()22222444OA OB OC l m l m +=+==，即221l m +=，故22122l m l m +祝=，当且仅当2l m ==时，等号成立.故l m ×的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得a b +?22222a ba b ab 骣++琪＃琪桫. 16.已知定义在(1,)+?的两个函数2()ef x m x=+和()ln g x x =（e 是自然对数的底），若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________．【答案】121(,]ln 33ln 42e e --【解析】 【分析】化简不等式()()1f x g x?，变为2e ln ln 1xm x x>-，即左边函数ln y m x =在右边函数2e ln 1x y x =-图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2e ln 1xy x=-的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】化简不等式()()1f x g x?，得2e ln ln 1xm x x>-，构造函数()ln h x m x =和2e ln 1x y x =-，m 需要满足()ln h x m x =图像在()2e ln 1xn x x=-图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112e xx x x骣-琪-=?琪桫，故函数()2e ln 1x n x x =-在()1,e 上递减，在()e,+?上递增，且当e x >时，函数值小于零.当0m >时，()ln h x m x =在()1,+?上递增，画出图像如下图所示，由图可知()ln h x m x =图像在()2e ln 1xn x x=-图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m =时，显然不符合题意.当0m <时，画出图像如下图所示，由图可知()()()()()()223344h n h n h n ì>ïï>íï£ïî，即2e ln 2ln 2122e ln 3ln 3132e ln 4ln 414m m m ì>-ïïïï>-íïïï?ïî，解得121ee ln 33ln 42m -<?.即m 的取值范围是121e e,ln 33ln 42纟ç--úçú棼. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的()()1f x g x <，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC D 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x =，(3cos ,1)n x =，函数()?f x m n =且()1f B =. （1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列，求b .【答案】（1）3B p=；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简()f x 的表达式，利用()1f B =求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值.【详解】（1）()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x + 整理得：()2sin 26f x x p骣琪=+琪桫， ∵()1f B =， ∴2sin 216B p骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫， ∵()0,B p Î，∴3B p=； （2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c =+， 由余弦定理得：222a c ac b +-=，由23BA BC +=2212a c ac ++=， 三个等式联立解得：2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2n n T m =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项； （2）求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n = ()*n N Î；12n n b -=(2)()121?2n n ++- 【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和. 【详解】（1）由2n S n n =+， 得：()()22111n S n n nn -=-+-=-，()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式，2n a n = ()*n N Î 同理：由2n n T m =+，推得：()122n n b n -=?，12b m =+ ∵{}n b 是等比数列， ∴11b = 1m?- 12n nb -?（2）设··2n n n n c a b n ==，n Q 是其前n 项和， ∵123122232?2n n Q n =???+∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得：2312222?2n n n Q n +-=++++-∴()121?2n n Q n +=+-另解：∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---， ∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）见解析；（2）1x =或3410x y -+= 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条. 【详解】（1）设动点(),P x y ，则2PA PB =，=化简得：()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心，以2为半径的圆； （2）设():11l y k x -=-是圆E 的切线，则有：324k=?， 当k 不存在时，:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点， 综合得：切线方程为：1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为(),x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足. 20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+（a 为常数，a R Î）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a >=<三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--，所以，当1a =时，()()2'10f x x =-?，()f x 递增区间为(),-??；当1a >时，()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <，∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?；当1a <时，()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <，∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?；（2）∵312a a -<， ∴1a <， 当1a <时，()()()'10f x x x a =--< 1ax ?<，即()f x 的递减区间为(),1a ， ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî12a?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC Ð为直角，060A?，DEF Ð为直角，045D ?，且BC DF =，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EM BC ^；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中A B a =，三棱锥A BEC -的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC ^平面MNE ，证得直线BC BM ^.（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB ^平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形. 【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ^，//MN AB ， ∴MN BC ^，∵BE EC ^，BE EC =，BN CN =， ∴EN BC ^ ∵MN ENN ?，∴BC ^平面MNE ， 故ME BC ^；（2）此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC?，2BE CE a ==234BEC S a D ?又三棱锥的体积314V a =?高h a =， 所以AB ^平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC -中，,,ABC ABE BEC 行?显然是直角， ∵CE BE ^，CE AB ^，AB EBB CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题. 22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.（1）当3a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(1,)+?上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）550x y --=；（2）1[,)2a ?? 【解析】 【分析】（1）当3a =时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a a a ?<?三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?，∵()10f =，∴所求切线方程为()51y x =-， 即所求切线方程是550x y --=；（2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x xx 骣+琪=+-=++-琪桫若0a £，∵()()1'0x f x f x >??单调递减，∵()10f =?在()1,+?上，()0f x <，不合题意；若0a >，由()()1'ln 1a x f x a x x+=+- ()()21''a x f x x-?，∵()()1''0'x f x f x >??单调递增，由于()'121f a =-， 那么，102a <<时，()'1210f a =-<， 11'110a af e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫，()0'0f x =那么在()01,x 上，()'0f x <，()f x 单调递减， ∵()10f =，∴在()01,x 上，()0f x <，不合题意； 若12a ³，()()1''0'x f x f x >??单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增，∵()10f =，∴1x >，()0f x >，符合题意. 综合上述得：1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.- 21 -。
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检测文科数学
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x|0≤x ＜2}，B ＝Z （Z 为整数集），则A∩B ＝ A ．{1} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 2．复数z 满足（i －2）z ＝4＋3i ，则|z|＝A B ．3 C D ．53．已知命题p ：0x ∀>，3x ＋x 2＞1，则¬p 为 A ．0x ∃>，3x ＋x 2≤1 B ．0x ∃≤，3x ＋x 2≤1 C ．0x ∀>，3x ＋x 2≤1 D ．0x ∀≤，3x ＋x 2≤14．双曲线22221y x a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y =，则其离心率为A B C D 5．曲线12ln ()xf x x-=在点P （1，f （1））处的切线l 的方程为 A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝0 6．某圆锥的正视图是腰长为2的等腰三角形，且母线与底面所成的角为60°，则其侧面积为A ．2πB ．C ．3πD ．4π7．已知样本甲：x 1，x 2，x 3，…，x n 与样本乙：y 1，y 2，y 3，…，y n ，满足321i i y x =+（i＝1，2，…，n ），则下列叙述中一定正确的是 A ．样本乙的极差等于样本甲的极差 B ．样本乙的众数大于样本甲的众数C ．若某个x i 为样本甲的中位数，则y i 是样本乙的中位数D ．若某个x i 为样本甲的平均数，则y i 是样本乙的平均数 8．已知函数f （x ）＝x （|x|＋1），则不等式f （x 2）＋f （x －2）＞0的解集为 A ．（－2，1） B ．（－1，2） C ．（－∞，－1）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪（1，＋∞）9．已知函数2()cos()(0)3f x x ωωπ=+>的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是 A ．函数f （x ）的图象关于直线3x π=-对称B ．函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增C ．函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度后关于原点对称D ．函数f （x ）在区间[0，π]上的最大值为10．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，C 1D 1，D 1A 1，D 1D ，C 1C 的中点．则下列叙述中正确的是A ．直线BQ ∥平面EFGB ．直线A 1B ∥平面EFGC ．平面APC ∥平面EFGD ．平面A 1BQ ∥平面EFG 11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若232cos cos 22A B C -+=，且△ABC 的面积为214c ，则C ＝ A ．6π B ．3π C ．6π，65π D ．3π，32π12．已知函数21()(21)22x x f x a x bx =+--+（a ，b ∈R ），若函数y ＝f （x ）与函数y ＝f（f （x ））的零点相同，则a －b 的取值范围为 A ．[0，2） B ．（－2，0] C ．（－∞，－2]∪[0，＋∞） D ．（－∞，0]∪[2，＋∞） 二、填空题：本大题共4小题。
安徽省江南十校2019届高三3月联考文科数学试题
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测=，∴侧面积为2cos60112. B 【解析】：由题：(0)0f a ==，∴2()2f x x bx =−+，令()00f x x =⇒=或2b ， 若0b =，()f x 仅有一个零点0x =，符合题意；若0b ≠，∵22(())(2)(22)f f x x bx x bx b =−+−+，则2220x bx b −+=无实数根，故2(2)42002b b b ∆=−−⨯<⇒<<； 综上：[0,2)b ∈，∴(2,0]a b b −=−∈−，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 2−或3【解析】：∵(3,1)a b m −=−−，∴()()6(1)0a a ba ab m m ⊥−⇔⋅−=−+−=， 故2m =−或3.【解析】：目标函数2z x y =−在(2,3)−处取得最小值8−.【解析】：122||||2||||6(||||)[5,7]PF PQ a PF PQ PQ PF +=−+=+−∈.【解析】：法一：111336O ABC C OAB OAB OAB V V S OC S −−∆∆==⋅≤≤当且仅当,,OA OB OC 两两垂直时，三棱锥O ABC −体积最大，此时ABC ∆为边长为，∴面积为28()33ππ⋅=.法二：易知三棱锥O ABC −为正三棱锥，如图所示：D 为BC 中点，OG ⊥平面ABC ，且G 为BC ∆的重心，设AB x =，则2233AG AD x ===，∴OG ==213O ABC V −==令2(0,12)t x =∈，2()(12)g t t t =−，()3(8)08g t t t t '=−=⇒=，且(0,8)t ∈时，()g t 单调递增，(8,12)t ∈时，()g t 单调递减，∴28x t ==时三棱锥O ABC −体积最大，此时228)3AG x ==， ∴平面ABC 截球O 所得的截面圆的面积为283AG ππ⋅=. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）解析：（1）∵2log n a ，211log 2n a +，1 成等差数列， ∴21212log log 12n n a a +⨯=+，∴12n n a a +=，且0n a >， ∴数列{}n a 是等比数列，…………………………………………………………………3分 由2664a a =得，48a =，∴11a =，公比2q =，∴12n n a −=.…………………………6分（2）由（1）知，111211(21)(21)2121n n n n n n b −−−==−++++，……………………………9分 ∴011223111111()()()212121212121n T =−+−+−+++++++ 211111111()()21212121221n n n n n −−−+−+−=−+++++.…………………………………12分 G C D A O18.（12分）解析：（1）∵2AB =，1A B =，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形，∴AO BC ⊥，且AO =，1BO =，又11A AB A AC ∆≅∆，∴11A B AC ==1A O BC ⊥，且1AO ，∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分又BC AO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面ABC .………………………………………6分（2）由（1）12111233A ABC ABC V S AO −=⋅==……………………………9分 ∵11113ABC A B C A ABC V V −−=，∴11112A BCC B A ABC V V −−==.…………………………………12分 （其他正确解答酌情给分）19.（12分）解析：（1）在2014—2018近五年的相关数据中任取3年的取法有10n =，依条件知，年返修率不超过千分之一．．．．的有2014，2016，2018三年的数据， ………2分 ∴任意选取3年的数据，其中恰有1年生产部门考核优秀的取法有3m =，故至少有2年生产部门考核优秀的概率7110m P n =−=.…………………………5分 （2）∵41144i i x x ===∑，411484i i y y ===∑，42194i i x ==∑，41952i i i x y ==∑， ∴4124222149524448184 6.139444304ii i i i x y x y b xx ==−⋅−⨯⨯===≈−⨯−∑∑， ∴218448423.4730a =−⨯≈（写248 6.13423.48a =−⨯=也可）……………………10分 ∴211ˆ||6%10%ˆb b b −≈<，211ˆˆ||34%10%ˆa a a −≈>，不符合条件， 故若生产部门希望2019年考核优秀，不能同意2019年只生产该产品1万台. …12分20.（12分）解析：（1）由题： E ：22x y =. ………………………………………………………3分 （2）∵(0,2)Q −，设2222(,),(,),(,),(,)2222a b c d A a B b C c D d （,,,a b c d 互不相等）， 则221222a b a b k a b −+==−，同理22c d k +=； ……………………………………………5分∵,,A P C 三点共线，∴AP CP k k =， A C O A 1C 1B 1B即22112()222a c a c a c c a c ac a −−−=⇒−=−⇒=−，同理2d b =−， ……………………8分 ∴1222()02222a b a b a b ab a b k k ab λλλλ−−++++=+=−=⇒=，联立1:2AB l y k x =−与得21240x k x −+=，由韦达定理：4ab =，故22ab λ==. …………………………………………………12分（其他正确解答酌情给分）21.（12分）解析：（Ⅰ）()[(1)]x f x ax a e '=−−（0x >，a R ∈），当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增； ……………………………………3分当01a <<时，()f x 在1(0,)a a −上递减， 在1(,)a a−+∞上递增； 当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上递减.………………………………………6分 （2）依题意得(1)2x x e kx −>−对于0x >恒成立，方法一、令()(1)2x g x x e kx =−−+（0x ≥），则()x g x xe k '=−（0x ≥）， ………7分 当0k ≤时， ()g x 在(0,)+∞上递增，且(0)10g =>，符合题意；当0k >时，易知0x ≥时，()g x '单调递增.则存在00x >，使得000()0x g x x e k '=−=， 且()g x 在0(0,]x 上递减，在0[,)x +∞上递增， ∴0000()()(1)20x min g x g x x e kx ==−−+>，∴000120x k kx x −−+>，0021()1k x x <+−， …………………………………………10分 由0012x x +≥得，02k <<，又k Z ∈，∴ 整数k 的最大值为1. 另一方面，1k =时，1'()10,'(1)e 102g g <=−> ∴01(,1)2x ∈ ，002(1,2)()1x x ∈+−，1k ∴=时成立.………………………………12分 方法二、(1)2x x e k x −+<（0x >）恒成立，令(1)2()x x e h x x−+=（0x >）， 则22(1)2()x x x e h x x−+−'=（0x >），…………………………………………………8分 令2()(1)2x t x x x e =−+−（0x >），则()(1)0x t x x x e '=+>，∴()t x 在(0,)+∞上递增，又(1)0t >，1()202t =<， ∴存在01(,1)2x ∈，使得20000()()(1)20x h x t x x x e '==−+−=， 且()h x 在在0(0,]x 上递减，在0[,)x +∞上递增，∴min 0002()()11h x h x x x ==+−，…10分又01(,1)2x ∈，∴00131(1,)2x x +−∈， ∴04()(,2)3h x ∈，∴2k <， 又k Z ∈，∴ 整数k 的最大值为1. …………………………………………………12分 （其他正确解答酌情给分）（二）选考题：共10分。
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题(解析版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i+-的结果为（ ） A. i B. i - C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i+-，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，201820162450422i i i i 1+?====-.故选C. 【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,==-=-==以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1k k k k +++==-=-=.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合{|1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ） A. {|10}A B x x ?-<< B. A B R ? C. {}1A Bx x ? D. A B f ?【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由1x <解得11x -<<，故集合()1,1A =-，由0212x <=解得0x <，故集合(),0B =-?.故()1,0A B?-，A 选项正确，D 选项错误，(),1A B ?-?，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即()()f x a f x a >?-或()f x a >，()()f x a a f x a <?<<.指数不等式的解法主要是化为同底来计算.3.若,R a b Î，则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120=；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果p q Þ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行p q Þ和q p Þ各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】运行程序，当5i =时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i =，21,2x x i =-=，判断否，()221143,3x x x i =--=-=，判断否，()243187,4x x x i =--=-=，判断否，()28711615,5x x x i =--=-=，判断是，退出循环.依题意可知16150x -=，解得1516x =.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题. 5.在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ） A. 192 B. 202 C. 92 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q ì+=ïí=ïî，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ==，故()91829101912222a a q q ==??，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题. 6.已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于()()3340m m ?--?，解得2m =?，当2m =时，两直线方程都是2360x y -+=故两直线重合，不符合题意.当2m =-时，1:2360l x y +-=，2:2360l x y ++=，故两平.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题. 7.已知2sin()43p a +=，则sin 2a =（ ） A.19 B. 19- C.D. -【答案】B 【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值. 【详解】依题意)π2sin sin cos 43a a a 骣琪++=琪桫，两边平方得()141sin 229a +=，解得1sin 29a =-. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 34+B. 52C. 34+D. 34+【答案】B 【解析】 【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积. 【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022创+创=.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242+创=.===为等腰梯形，故高为=()182?.故表面积为10241852++=，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC D中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =，则B =（ ） A.23p B. 3p C. 4p D. 6p【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小.【详解】由正弦定理得sin sin cossin A B C C B =，即()s i n s i n c o s s i nB C B C C B +=+，即sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=cos B B =，故tan 3B =，故π6B =.所以选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C y x p =+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6p个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12p个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6p个单位D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12p个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项. 【详解】依题意πcos sin 2y x x 骣琪==+琪桫，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x 骣琪+琪桫，然后再向右平移12p 个单位，得到πππsin 2sin 21223x x 轾骣骣犏琪琪-+=+琪琪犏桫桫臌.故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ） A. 32y x = B. 32y x < C. 23x y < D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】令23x y z ==，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项.【详解】令23x y z ==，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z ===，3313ln log ,33log ln 3z y z y z ===.由于,x y 为负实数，故01z <<，所以ln 0z <.由于66113228,39骣骣琪琪==琪琪桫桫，所以113223<，所以11320ln 2ln 3<<，所以112311ln 2ln 3>，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z <，即23x y <.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数，且()02f p =，当(0,)x p Î时，不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，若2()6a f p =--，2()6b f p =，()4c p=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()sin f x F x x=，根据函数()f x 的奇偶性求得()F x 的奇偶性，再根据函数()F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数()()sin f x F x x=，由于()f x是偶函数，故()F x是奇函数.由于()()()2s i n c o s 0s i n f x xf x x F x x-=¢>¢，故函数()F x 在()0,π上递增.由于ππ0,022f F 骣骣琪琪==琪琪桫桫，故当π0,2x 骣琪Î琪桫时，()0F x >，当π,π2x 骣琪Î琪桫时，()0F x <.所以πππ60π66sin 6f a F F 骣??琪骣骣桫琪琪==-=->琪琪骣桫桫??琪桫，πππ620π66sin 6f b f F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，πππ40π44sin 4f c F 骣琪琪骣骣桫琪琪==<琪琪桫桫，根据()F x 单调性有ππ46F F 骣骣琪琪>琪琪桫桫.故πππ0646F F F 骣骣骣琪琪琪->>>琪琪琪桫桫桫，即a c b >>，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥D ABC -的体积为__________．【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥D ABC -的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，AC ，设直角三角形ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD 鬃=鬃，解得h =，故三棱锥的体积为1132D ABC V AB BC h -=创创112132=创创=. 【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】- 【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z取得最小值，此时直线方程为320 x y z--=，由点到直线的距离公式得1=，z=-，即z的最小值为-.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，()()222x a y b r-+-?表示的是圆心为(),a b，半径为r的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32z x y=-，由于23y x z=-，当直线截距最大时，z取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形OAB的圆心角为090AOB?，半径为2，C是其弧上一点，若OC OA OBl m=+，则·l m的最大值为__________．【答案】12【解析】【分析】以,OA OB为基底，表示OC，这是一个正交的基底，故()()22222444OA OB OCl m l m+=+==，再由基本不等式求得l m×的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知()()22222444OA OB OC l m l m +=+==，即221l m +=，故22122l m l m +祝=，当且仅当22l m ==时，等号成立.故l m ×的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得a b +?这个基本的形式，还要注意它的变形22222a ba b ab 骣++琪＃琪桫. 16.已知定义在(1,)+?的两个函数2()ef x m x=+和()ln g x x =（e 是自然对数的底），若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________． 【答案】121(,]ln 33ln 42e e --【解析】【分析】化简不等式()()1f x g x ?，变为2e ln ln 1x m x x >-，即左边函数ln y m x =在右边函数2e ln 1x y x=-图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2e ln 1x y x =-的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】化简不等式()()1f x g x ?，得2e ln ln 1x m x x >-，构造函数()ln h x m x =和2e ln 1x y x=-，m 需要满足()ln h x m x =图像在()2e l n 1x n x x =-图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112e x x x x 骣-琪-=?琪桫，故函数()2e ln 1x n x x =-在()1,e 上递减，在()e,+?上递增，且当e x >时，函数值小于零.当0m >时，()ln h x m x =在()1,+?上递增，画出图像如下图所示，由图可知()ln h x m x =图像在()2e ln 1x n x x=-图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m =时，显然不符合题意.当0m <时，画出图像如下图所示，由图可知()()()()()()223344h n h n h n ì>ïï>íï£ïî，即2e ln 2ln 2122e ln 3ln 3132e ln 4ln 414m m m ì>-ïïïï>-íïïï?ïî，解得121e e ln 33ln 42m -<?.即m 的取值范围是121e e,ln 33ln 42纟ç--úçú棼. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的()()1f x g x <，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC D 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x =，(3cos ,1)n x =，函数()?f x m n =且()1f B =.（1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列，求b .【答案】（1）3B p =；（2）2 【解析】【分析】 （1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简()f x 的表达式，利用()1f B =求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值.【详解】（1）()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x +整理得：()2sin 26f x x p 骣琪=+琪桫， ∵()1f B =， ∴2sin 216B p 骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫， ∵()0,B p Î，∴3B p =； （2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c =+， 由余弦定理得：222a c ac b +-=， 由23BA BC +=，得：2212a c ac ++=，三个等式联立解得：2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2n n T m =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项；（2）求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n = ()*n N Î；12n n b -=(2)()121?2n n ++-【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和.【详解】（1）由2n S n n =+，得：()()22111n S n n n n -=-+-=-，()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式，2n a n = ()*n N Î同理：由2n n T m =+，推得：()122n n b n -=?，12b m =+∵{}n b 是等比数列，∴11b = 1m ?- 12n n b -?（2）设··2n n n n c a b n ==，n Q 是其前n 项和，∵123122232?2n n Q n =???+ ∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得：2312222?2n n n Q n +-=++++- ∴()121?2n n Q n +=+- 另解：∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---，∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍.（1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）1x =或3410x y -+=【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点(),P x y ，则2PA PB =，= 化简得：()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心，以2为半径的圆；（2）设():11l y k x -=-是圆E 的切线，则有：324k =?， 当k 不存在时，:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点，综合得：切线方程为：1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为(),x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+（a 为常数，a R Î）. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a >=<三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--， 所以，当1a =时，()()2'10f x x =-?，()f x 递增区间为(),-??； 当1a >时，()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <， ∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?； 当1a <时，()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <， ∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?； （2）∵312a a -<， ∴1a <，当1a <时，()()()'10f x x x a =--< 1a x ?<， 即()f x 的递减区间为(),1a ， ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî 12a ?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC Ð为直角，060A ?，DEF Ð为直角，045D ?，且B C D F =，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）.（1）若M 是AC 的中点，求证：EM BC ^；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a =，三棱锥A BEC -的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC ^平面MNE ，证得直线BC BM ^.（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB ^平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ^，//MN AB ，∴MN BC ^，∵BE EC ^，BE EC =，BN CN =，∴EN BC ^∵MN EN N ?，∴BC ^平面MNE ，故ME BC ^；（2）此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC ?，2BE CE a == 234BEC S a D ?又三棱锥的体积314V a =?高h a =， 所以AB ^平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC -中，,,ABC ABE BEC 行?显然是直角，∵CE BE ^，CE AB ^，AB EB B CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.（1）当3a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(1,)+?上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）550x y --=；（2）1[,)2a ??【解析】【分析】（1）当3a =时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a a a ?<?三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?，∵()10f =，∴所求切线方程为()51y x =-，即所求切线方程是550x y --=； （2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x 骣+琪=+-=++-琪桫 若0a £，∵()()1'0x f x f x >??单调递减，∵()10f =?在()1,+?上，()0f x <，不合题意；若0a >，由()()1'ln 1a x f x a x x +=+- ()()21''a x f x x -?，∵()()1''0'x f x f x >??单调递增，由于()'121f a =-， 那么，102a <<时，()'1210f a =-<， 11'110a a f e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫，()0'0f x = 那么在()01,x 上，()'0f x <，()f x 单调递减，∵()10f =，∴在()01,x 上，()0f x <，不合题意； 若12a ³，()()1''0'x f x f x >??单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增，∵()10f =，∴1x >，()0f x >，符合题意. 综合上述得：1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检测(文科)数学(含解析)
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x|0≤x ＜2}，B ＝Z （Z 为整数集），则A∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 2．复数z 满足（i －2）z ＝4＋3i ，则|z|＝（ ）AB ．3C D ．53．已知命题p ：，3x ＋x 2＞1，则¬p 为 0x ∀>A ．，3x ＋x 2≤1 B ．，3x ＋x 2≤1 0x ∃>0x ∃≤C ．，3x ＋x 2≤1 D ．，3x ＋x 2≤10x ∀>0x ∀≤4．双曲线（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为，则其离心率为22221y x a b-=y =（ ）A B C D 5．曲线在点P （1，f （1））处的切线l 的方程为（ ）12ln ()xf x x-=A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．3x ＋y ＋2＝0D ．3x ＋y －4＝06．某圆锥的正视图是腰长为2的等腰三角形，且母线与底面所成的角为60°，则其侧面积为（ ）A ．2πB ．C ．3πD ．4π7．已知样本甲：x 1，x 2，x 3，…，x n 与样本乙：y 1，y 2，y 3，…，y n ，满足（i 321i i y x =+＝1，2，…，n ），则下列叙述中一定正确的是（ ） A ．样本乙的极差等于样本甲的极差 B ．样本乙的众数大于样本甲的众数C ．若某个x i 为样本甲的中位数，则y i 是样本乙的中位数D ．若某个x i 为样本甲的平均数，则y i 是样本乙的平均数 8．已知函数f （x ）＝x （|x|＋1），则不等式f （x 2）＋f （x －2）＞0的解集为（ ）A ．（－2，1）B ．（－1，2）C ．（－∞，－1）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－2）∪（1，＋∞） 9．已知函数的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是2()cos(0)3f x x ωωπ=+>（）A ．函数f （x ）的图象关于直线对称 3x π=-B ．函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增C ．函数f （x ）的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 3πD ．函数f （x ）在区间[0，π]上的最大值为10．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，C 1D 1，D 1A 1，D 1D ，C 1C的中点．则下列叙述中正确的是（ ）A ．直线BQ ∥平面EFGB ．直线A 1B ∥平面EFGC ．平面APC ∥平面EFGD ．平面A 1BQ ∥平面EFG 11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，且232cos cos 22A B C -+=△ABC 的面积为，则C ＝（ ） 214c A ． B ． C ．， D ．，6π3π6π65π3π32π12．已知函数（a ，b ∈R ），若函数y ＝f （x ）与函数y ＝f21()(21)22x x f x a x bx =+--+（f （x ））的零点相同，则a －b 的取值范围为（ ） A ．[0，2） B ．（－2，0] C ．（－∞，－2]∪[0，＋∞） D ．（－∞，0]∪[2，＋∞）二、填空题：本大题共4小题。
[首发]安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(文)答案
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2 3 36
2
f
(x
−
3
)
=
cos
1 2
(
x
−
3
)
+
2 3
=
cos(
1 2
x
+
2
)
=
−
sin
1 2
x
，故
C
正确.
10. B【解析】：过点 E, F,G 的截面如图所示（ H , I 分别为 A1A, BC 的中点），∵ A1B // HE ,
A1B 平面 EFG ， HE 平面 EFG ，故直线 A1B// 平面 EFG ，故选 B.
=
1 3
3 x2 4
4 − 1 x2 = 1 3 12
x4 (12 − x2 ) ，
B
令 t = x2 (0,12) ， g(t) = t2 (12 − t) ， g(t) = 3t(8 − t) = 0 t = 8 ，
且 t (0,8) 时， g(t) 单调递增， t (8,12) 时， g(t) 单调递减，
D1 G A1
P
F
C1
B1 Q
H D
A
E
C I B
11. A【解析】：∵ 2cos2 A − B + cos C = cos( A − B) − cos(A + B) + 1 = 2sin Asin B + 1 = 3 ，
2
2
∴ sin
Asin
B
=
1 4
，又 SABC
=
1 2
absin C
=
1 c2 4
2019届安徽省江南十校高三第二次联考数学(文科)试题(解析版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则化简的结果为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】先用复数的除法运算，化简，然后再利用的周期性求得最终化简的结果.【详解】依题意，.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是是一个周期出现的量，以此类推.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合，，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A中的范围，解指数不等式求得集合B中的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由解得，故集合，由解得，故集合.故，A选项正确，D选项错误，，故B,C选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即或，.指数不等式的解法主要是化为同底来计算.3.若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的的值.【详解】运行程序，输入，，，判断否，，判断否，，判断否，，判断是，退出循环.依题意可知，解得.故选A.【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故，由于数列是递增的数列，故解得，故，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线，，若，则之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离.【详解】由于两条直线平行，属于，解得，当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意.当时，，，故两平行直线的距离为.故选A.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意，两边平方得，解得.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（）A. B. 52 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为.右侧梯形上底为，下底为，腰长为，为等腰梯形，故高为，故面积为.故表面积为，故选B. 【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在中，三个内角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得的大小.【详解】由正弦定理得，即，即，化简得，故，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线，，要想由得到，下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位B. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位D. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】先将转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意，横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到，然后再向右平移个单位，得到.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.11.设为负实数且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】令，指数式化为对数式，用来表示，然后利用换底公式比较和的大小，由此得出正确选项.【详解】令，则，.由于为负实数，故，所以.由于，所以，所以，所以，两边乘以得，即.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.【详解】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以，，，根据单调性有.故，即，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形中，，沿对角线将其折成直二面角，连结，则该三棱锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】利用等面积法求得直角三角形的边上的高，也即三棱锥的高，由此计算出三棱锥的体积. 【详解】依题意，，设直角三角形的边上的高为，根据等面积有，解得，故三棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程为，由点到直线的距离公式得，（取负值），即的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】以为基底，表示，这是一个正交的基底，故，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于相互垂直，以为基底，这是一个正交的基底，表示，根据图像可知，即，故，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得这个基本的形式，还要注意它的变形.16.已知定义在的两个函数和（是自然对数的底），若在的解集内有且只有两个整数，则实数的范围是__________．【答案】【解析】【分析】化简不等式，变为，即左边函数在右边函数图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】化简不等式，得，构造函数和，需要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.，故函数在上递减，在上递增，且当时，函数值小于零.当时，在上递增，画出图像如下图所示，由图可知图像在图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当时，显然不符合题意.当时，画出图像如下图所示，由图可知，即，解得.即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，三内角的对边分别为，已知向量，，函数且.（1）求角的值；（2）若且成等差数列，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简的表达式，利用求得的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得的值.【详解】（1）整理得：，∵，∴，∵，∴；（2）由成等差数列，得：，由余弦定理得：，由，得：，三个等式联立解得：.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.（1）求和的通项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；(2)【解析】【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.同理也求得的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前项和.【详解】（1）由，得：，∵符合公式，同理：由，推得：，∵是等比数列，∴（2）设，是其前项和，∵∴两式相减得：∴另解：∵，∴【点睛】本小题主要考查已知求得方法，考查错位相减求和法. 已知求得方法是利用来求数列的通项公式.属于中档题.19.已知两个定点，，动点到点的距离是它到点距离的2倍.（1）求点的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹的方程.（2）由于轨迹是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点，则，坐标代入得：，化简得：所以动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；（2）设是圆的切线，则有：，当不存在时，恰好与圆切于点，综合得：切线方程为：或.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数（为常数，）.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）对函数求导后，对分成三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得的取值范围.【详解】（1）∵，所以，当时，，递增区间为；当时，或，∴递增区间为和；当时，或，∴递增区间为和；（2）∵，∴，当时，，即的递减区间为，∴.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，为直角，，为直角，，且，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图（2）.（1）若是的中点，求证：；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中，三棱锥的体积为，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明直线平面，证得直线.（2）根据的长度，求得的长度，求得三角形的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为，由此证得平面，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设中点为，连结，∵，，∴，∵，，，∴∵，∴平面，故；（2）此时三棱锥时鳖臑∵，又三棱锥的体积高，所以平面，那么，在三棱锥中，显然是直角，∵，，平面也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对分成三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得的取值范围.【详解】（1），∵，∴所求切线方程为，即所求切线方程是；（2）若，∵单调递减，∵在上，，不合题意；若，由，∵单调递增，由于，那么，时，，则，那么在上，，单调递减，∵，∴在上，，不合题意；若，单调递增，单调递增，∵，∴，，符合题意.综合上述得：.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。
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2019届安徽省江南十校高三下学期联考文科数学试卷
【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合，，则中的元素个数为
（A）（B）____________________ （C）
（D）
2. 已知复数满足（为虚数单位），则
（A）（B）（C）（D）
3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数
有两个不同零点的概率为
（A）（B）（C）（D）
4. 已知函数，则
（A）（B）______________ （C）
（D）
5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为
（A）（B）（C）（D）
6. 设，则下列说法错误的是
（ A ）是奇函数___________________________________
（B）在上单调递增
（ C ）的值域为___________________________________
（D）是周期函数
7. 设满足约束条件则的最小值为
（A）（B）（C）（D）
8. 在平面直角坐标系中，满足的点的集合对
应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足
，的点的集合对应的空间几何体的体积
为
（A）（B）（C）（D）
9. 已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前
项和为
（A）________________________ （B）（C）
________________________ （D）
10. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的
（A）（B）（C）（D）
11. 已知函数的最小正周期为，且
，则的一个对称中心坐标是
（A）（B）___________
（C）（D）
12. 已知函数，若的图象与轴正半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围为
（A）（B）（C）（D）二、填空题
13. 已知向量，，若，则实数
=____________________ ．
14. 在数列中，，为的前项和．若，
则______________ ．
15. 椭圆的右顶点为，是椭圆上一点，
为坐标原点．已知，且，则椭圆的离心率为
___________________________________ ．
16. 某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的
表面积为___________________________________ ．
三、解答题
17. 如图，平面四边形中，，，，
，，求
（Ⅰ ）；
（Ⅱ ）．
18. 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．p
19. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国 38 51 32 28 16 俄罗斯 24 23 27 32 26
（Ⅰ ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和
（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：p
20. ly:宋体; font-size:10.5pt">时间x（届） 26 27 28 29 30 金牌数之和y（枚）
16 44 76 127 165
作出散点图如下：
（ i ）由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程；
（ ii ）利用（ i ）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．
参考数据：，，，
附：对于一组数据，，……， ,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
21. 设函数．
（ 1 ）当时，讨论的单调性；
（ 2 ）当时，设在处取得最小值，求证：．
22. 如图，过外一点作的两条切线，其中为切点，
为的一条直径，连并延长交的延长线于点．
（Ⅰ ）证明：；
（Ⅱ）若 ,求的值．
23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，，圆的方程为
（ 1 ）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；
（ 2 ）已知为圆上的任意一点，求面积的最大值．
24. 已知函数，记的解集为．
（ 1 ）求；
（ 2 ）已知 ,比较与的大小．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第22题【答案】。