数列求和的常用方法(新)

数列求和的常用方法

永德二中 王冬梅

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。

第一类：公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1

S n 2S n 3（1（2（3的前n 例1解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0

Ⅱ、若q =1，则)1(2

1321+=

+⋯+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，

则12321-+⋯+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +⋯+++=3232 ②

①式—②式：n n n nq q q q q S q -+⋯++++=--1321)1(

⇒)1(11132n n n nq q q q q q

S -+⋯++++-=- ⇒)11(11n n

n nq q

q q S ----= ⇒q

nq q q S n

n n ----=1)1(12

⎧1（1（2（3（42、根式形式，如：

n n n n a n -+=++=111

例2：求数列211⨯，321⨯，4

31⨯，…，)1(1+n n ，…的前n 项和n S 解：∵)1(1+n n =1

11+-n n

1

11313121211+-+⋯++-+-=n n S n ⇒1

11+-=n S n 例3：求数列

311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S 解：由于：)2(1+n n =2

11(21+-n n ）

⇒ ⇒ 例3例4（1 （2则，由条件：对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。

⇒）（

1222222+=+⋯+++=n a n ⇒1+=n a n ⇒21+=+n a n

⇒11=-+n n a a

从而：数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。

（2）、2

111)2)(1(111+-+=++=⨯+n n n n a a n n ⇒n T =)

2(11541431321+⨯++⋯+⨯+⨯+⨯n n ）（ ⇒n T =4

22121211141313121+=+-=+-++⋯+-+-n n n n n 故：n T =4

2+n n

例5⇒⇒⇒令T n T 2⇒)222221(132n n n n T ⨯-+⋯++++-=-

⇒)22

121(n n

n n T ⨯----= ⇒12)1(+⨯-=n n n T

故：n n n n n n n S 2)1(1

1212)1()111(⨯-++-=+⨯-++-=

例6：求数列{2)1

(n n x x +}的前n 项和n S 分析：将2

)1(n n n x x a +=用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。 解：2)1(n n n x x a +==22

)1(12)(n n n n x x x x +⨯⨯+=n n x x 2212++=n

n x x 22)1(2++

])1

(2[])1

(2[])1

(2[224422

n n n x x x x x x S +++⋯++++++= ⇒])1

()1()1[()222()(242242n

n n x x x x x x S +⋯++++⋯++++⋯++=

①x ②x ①x ②x =122222222-⨯⨯-++x x x x x x n n =)1()

1

(22222-⨯⨯-⨯x x x x x n n

=)1(1

222--x x x n n

综上所述：

①1=x 时，n n n n G M T S n n n n 42=++=++=

②1≠x 时，)

1(1212222222--++--=++=+x x x n x x x G M T S n n n n n n n 这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。

第六类：拆项求和法

在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。

例7：求数列9，99，999，… 的前n 项和n S

分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式110-=n

a 可转化为一

例8=n n n )2(1)1(2-++ 解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。

这篇文章中，有6类重要方法，8个典型例题，大部分常见数列的前n 项和都可以求出来了，由于知识的不完备，在该类知识上还有些缺憾，在此希望这篇文章可以带给学习数列的同学们多一些帮助。