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必修三统计与概率测试题

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高中数学必修3统计测试题及其答案

高中数学必修3统计测试题及其答案

高中数学必修 3 第二章(统计)检测题班级姓名得分一、选择题：（此题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．某单位有老年人28 人，中年人 54 人，青年人 81 人．为了检查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36 的样本，最适合抽取样本的方法是( D )．A ．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，而后分层抽样2．10 名工人某天生产同一部件，生产的件数是15，17，14， 10，15， 17，17，16，14，12．设其均匀数为a，中位数为 b，众数为 c，则有 ( D)．A ．a>b>c B． b>c>a C． c>a>b D．c>b>a3．以下说法错误的选项是 ( B )．A．在统计里，把所需观察对象的全体叫作整体B．一组数据的均匀数必定大于这组数据中的每个数据C．均匀数、众数与中位数从不一样的角度描绘了一组数据的集中趋向D．一组数据的方差越大，说明这组数据的颠簸越大4．以下说法中，正确的选项是 ( C )．A ．数据 5，4，4，3，5，2 的众数是 4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据 2，3，4，5 的标准差是数据 4，6，8，10 的标准差的一半D．频次散布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5．从甲、乙两班分别随意抽出10 名学生进行英语口语测试，其测试成绩的方差分别2 2 ．，则．为 S1 ， 2A )= 13.2 S =26 26(A ．甲班 10 名学生的成绩比乙班10 名学生的成绩齐整B．乙班 10 名学生的成绩比甲班10 名学生的成绩齐整C．甲、乙两班 10 名学生的成绩同样齐整D．不可以比较甲、乙两班10 名学生成绩的齐整程度6．以下说法正确的选项是 ( C )．A．依据样本预计整体，其偏差与所选择的样本容量没关B．方差和标准差拥有同样的单位2 2 2 2 是错的D．假如容量同样的两个样本的方差知足12 ，那么推得整体也知足S1 2S <S <S 7．某同学使用计算器求 30 个数据的均匀数时，错将此中一个数据 105 输人为 15，那么由此求出的均匀数与实质均匀数的差是( B )．A．3.5 B．-3 C． 3 D． -0.58．在一次数学测试中，某小组14 名学生疏别与全班的均匀分85 分的差是： 2，3，-3，-5， 12，12，8，2，-1，4，-10，-2， 5， 5，那么这个小组的均匀分是(B)分．A ．97.2 B． 87.29 C． 92.32 D．82.869．某题的得分状况以下：此中众数是 ( C )．得分 /分0 1 2 3 4百分率 /(％) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2A ．37.0％B． 20.2％C．0 分D．4 分10．假如一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( 10 )．A ．均匀数不变，方差不变B．均匀数改变，方差改变C．均匀数不变，方差改变D．均匀数改变，方差不变11.为检查参加运动会的 1 000 名运动员的年纪状况，从中抽查了 100 名运动员的年纪，就这个问题来说，以下说法正确的选项是A ． 1 000 名运动员是整体C．抽取的 100 名运动员是样本( A)B．每个运动员是个体D．样本容量是 10012．为了检查某产品的销售状况，销售部门从部下的92 家销售连锁店中抽取30 家认识情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( A )A．3,2B．2,3C．2,30D．30,213．某城区有农民、工人、知识分子家庭合计 2 000 家，此中农民家庭 1 800 户，工人家庭100 户．现要从中抽取容量为40 的样本，检查家庭收入状况，则在整个抽样过程中，能够用到以下抽样方法(D)①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A ．②③ B．①③ C．③ D．①②③ 14．以下说法不正确的选项是 ( A )A．频次散布直方图中每个小矩形的高就是该组的频次B．频次散布直方图中各个小矩形的面积之和等于 1C．频次散布直方图中各个小矩形的宽同样大D．频次散布直方图能直观地表示样本数据的散布状况15．容量为 20 的样本数据，分组后的频数以下表：分组[10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在区间 [10,40)的频次为 ( B )A ． 0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.6516.已知 10 名工人生产同一部件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有 ( D )A ． a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a17. 已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(B )A ． 1 B. 2 C. 3 D．218.如图是 2012 年某校举行的元旦诗歌朗读竞赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的均匀数和方差分别为(C)A ． 84,4.84B ．84,1.6C．85,1.6D．85,0.419.某中学有高中生 3500 人，初中生 1500 人．为认识学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为( A) A．100B ．150C ．200D ．25020．样本容量为100 的频次散布直方图以下图．依据样本的频次散布直方图预计样本数据落在 [6， 10)内的频数为 a，样本数据落在 [2，10)内的频次为 b，则 a， b 分别是 ( A )A ．32，0.4 B．8，0.1C． 32，0.1 D．8，0.4二、填空题：（此题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分）21.一个企业共有 240 名职工，下设一些部门，要采纳分层抽样方法从全体职工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有 60名职工，那么从这一部门抽取的职工人数是5。

必修三《概率与统计》测试卷(答案)

必修三《概率与统计》测试卷(答案)

必修三《概率与统计》测试卷一、选择题（共10题，每小题均只有一个正确答案，每小题5分，共50分）1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( A )A.110B.19C.111D.182．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( C )A.116B.18C.14D.123. 设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ A ）A ． 23B ． 13C ． 12D ． 125 4．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( D )A.13B.23C.19D.295．已知正棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得21<-ABC P V ABC S V -的概率是（ B ） A ．43 B ．87 C ．21 D ．41 6．在区域⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为(D )A.π2B.π8C.π6D.π47.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( B )A.14B.13C.12D.238. (2009·辽宁高考)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( B )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π89.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是（ B ）第10题A ．16B ．512C ．712D ．1310.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ A ） A.90 B.75 C. 60 D.45二、填空题（共7题，每小题5分，共35分）11．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有____6____分钟的广告． 12.某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 37 。

必修三统计与概率测试题(6页)

必修三统计与概率测试题(6页)

必修三统计与概率测试题（6页）一、选择题（共60分）下列说法正确的是（）任何事件的概率总是在（0, 1）之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率概率是随机的，在试验前不能确定有两个问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;②从20名学生中选出3 人参加座谈会?则下列说法中正确的是（）①随机抽样法②系统抽样法 B.①分层抽样法②随机抽样法C.①系统抽样法②分层抽样法D.①分层抽样法②系统抽样法A A3?设有一个直线回归方程为y = 2-1.5x ,则变量x增加一个单位时（） A. y 平均增加1.5 个单位 B. y 平均增加2个单位C. y 平均减少1.5 个单位D. y 平均减少2个单位某小卖部销售一品牌饮料的零售价x （元/瓶）与销量y （瓶）的关系统计如下：已知x,y的关系符合线性回归方程 $ = bx + a 其中b = -20 a沖-bx .当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为（）零售价x （元/瓶）3.03.23.43.63.84.0销量y] （瓶）50444340352820TOC \o “1-5” \h \z 22 C . 24 D . 26从一批产品中取出三件产品，设A= “三件产品全不是次品”，B= “三件产品全是次品”，C= “三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A. A与C互斥B. 任何两个均互斥B与C互斥 D. 任何两个均不互斥从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C = ｛抽到三等品｝，且已知 P （A） = 0.65 ,P（B）=0.2 ,P（C）=0.1 。

则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A. 0.70.65C. 0.35D. 0.3A. 0.70.65C. 0.35D. 0.37.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为7.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为（）A.2 辆B.10 辆20 辆 D.70 辆8.盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是（）A.4445B.C.-D.4589909.A.4445B.C.-D.4589909.取一根长度为3m的绳子拉直后在任意位置剪断则剪断后两段绳子的长度均不小于1m的概率为（）111A . 1 B. 1 C. 1 D. 不能确定2 3 4甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b，其中把乙猜的数字记为b，其中a,b讣2,3,4,5,6 ?，若a -b<1，就称甲乙“心有灵犀”。

(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。

(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数； （2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）； （3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ， 由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】 （1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。

高一必修三数学概率与统计专题训练试题及答案

高一必修三数学概率与统计专题训练试题及答案

高一必修三数学概率与统计专题训练试题及答案若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙侯车所需时间为随机变量某，求某的分布列和数学期望;(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率.解(1)某的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下某的数学期望E(某)=102(1)+303(1)+5036(1)+7012(1)+9018(1)=9(245)(分钟).(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P甲10=6(1)，P甲30=2(1)，P甲50=3(1);P乙10=2(1)，P乙30=3(1)，P乙50=6(1)6(1)=36(1).所以所求概率P=6(1)2(1)+2(1)3(1)+3(1)36(1)=108(28)=27(7)，即甲、乙二人候车时间相等的概率为27(7).2.(2022皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，=2().(1)求概率P(=0);(2)求的分布列，并求其数学期望E().解(1)当=0时，即所选的2条面对角线平行，则P(=0)=12(2)=11(1).(2)的可能取值为0，3()，2().则P(=0)=12(2)=11(1)，P3()=12(2)=11(8)，P2()=12(2)=11(2).的分布列如下：E()=011(1)+3()11(8)+2()11(2)=3().3.(2022广州调研)空气质量指数PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2022年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示.(1)试估计甲城市在2022年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数;(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设某为空气质量类别为优或良的天数，求某的分布列及数学期望.解(1)由茎叶图可知，甲城市在2022年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.所以可估计甲城市在2022年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10.(2)某的所有可能取值为0,1,2，因为P(某=0)=15(2)=7(3)，P(某=1)=15(2)=21(10)，P(某=2)=15(2)=21(2)，所以某的分布列为：所以某的均值E(某)=377.5(万元).5.自驾游从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF 段、GH段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.经调查发现，堵车概率某在，1(2)上变化，y在2(1)上变化.在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据.(1)求CD段平均堵车时间a的值;(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.解(1)a=2(1)100(8)+2(3)100(6)+2(5)100(38)+2(7)100(24)+2(9)100(24)=3 .(2)设走甲线路所花汽油费为元，则E()=500(1-某)+(500+60)某=500+60某.设走乙线路多花的汽油费为元，∵EF段与GH段堵车与否相互独立，P(=0)=(1-y)4(1)，P(=20)=(1-y)4(1)，P(=40)=y4(1)，P(=60)=4(1)y，E()=0(1-y)4(1)+20(1-y)4(1)+40y4(1)+604(1)y=40y+5.走乙线路所花的汽油费的数学期望为E(545+)=545+E()=550+40y.依题意，选择走甲线路应满足(550+40y)-(500+60某)0，即6某-4y-50，又3(2)某1,0y2(1)，P(选择走甲线路)=2(1)=8(7).看过的还:。

(好题)高中数学必修三第一章《统计》测试题(包含答案解析)(1)

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一、选择题1．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如下图），已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是（ ）A ．32B ．27C ．24D ．332．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+4．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ）A ．甲得分的极差是11B ．乙得分的中位数是18.5C ．甲运动员得分有一半在区间[]20,30上D ．甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差6．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．187．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+，则表中m 的值为( ) x 8 10 11 12 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．298．有线性相关关系的变量有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知某8个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这9个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．3x =，22s < B ．3x =，22s > C ．3x >，22s <D ．3x >，22s >10．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1311．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位12．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为 A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题13．如图是某地区2018年12个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是______.①2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高；②第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小； ③第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小； ④空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､4月.14．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为__________．15．已知一组数据6,7,8，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为_______. 16．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________． 17．给出下列命题：①若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称； ②点(2,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,3)；③通过回归方程y bx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，所以2()sin(1)f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是大前提不正确. 其中真命题的序号是__________．18．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的男生数是__________．19．已知某产品连续4个月的广告费i x （千元）与销售额i y （万元）（1,2,3,4i =），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①441118,14ii i i xy ====∑∑；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y bx a =+中的0.8b =. 那么广告费用为6千元时，则可预测销售额约为__________万元.20．某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则19a b+的最小值为__________．三、解答题21．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象.光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X （小时）的频率分布直方图如下图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）.（1）求月光照量X （小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量[160,240)X ∈，[240,320)X ∈，[320,400]X ∈的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X 是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X 是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320的概率.22．潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后幼虫会在叶片中啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量．经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y 和夏季平均温度x 有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格． 平均温度C i x ︒ 21 23 25 27 29 31 平均产卵数i y 个711212264115（Ⅰ）根据相关系数r 判断，潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 是否具有较强的线性相关关系，若有较强的线性相关关系，求出线性回归方程y bx a =+，若没有较强的线性相关关系，请说明理由（一般情况下，当0.75r >时，可认为变量有较强的线性相关关系）；（Ⅱ）根据以往的统计，该地区夏季平均气温为()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ，且()125282P ξ<≤=．当该地区某年平均温度达到28C ︒以上时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷（其他情况均不需要人工治理），且虫害一定会导致水稻减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如下： 每次虫害减产损失（元/公顷）10001400用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失Y （元）的数学期望．（经济损失＝减产损失＋治理成本） 参考公式和数据：()()ni i x xy yr --=∑()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-()()61700iii x x y y =--=∑，6214126ii x==∑，61240i i y==∑，()6218816i i y y=-=∑，8.4≈786≈．23． 2.5PM 是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与2.5PM 浓度的数据如下表：（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标； （2）用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时2.5PM 的浓度是多少？（参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-）24．经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数(010)x x <≤与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下的对应数据： （1）试求y 关于x 的回归直线方程；（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为20.05 1.7517.2=-+w x x 万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大.附：回归方程ˆybx a =+中，1221ˆˆˆˆ,ni ii nii x ynx y b ay bx xnx -=-==--∑∑ 25．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 乙班：90 76 86 81 84 87 86 82 85 83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况．26．某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，已知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且2361σ=.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下： ①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n ，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k 题时“花”掉的分数为()0.21,2,k k n =； ③每答对一题得2分，答错得0分；④答完n 题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n 为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？参考数据：若()2~,Z Nμσ，则() 6.827P Z μσμσ-<<+≈，()220.9545P Z μσμσ-<<+≈，()330.9973P Z μσμσ-<<+≈【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【详解】高的比就是频率的比，所以各区间上的频率可依次设为2x,3x,5x,6x,3x,x,，同它们的和为1235631,20x x x x x x x +++++=∴=,所以该班学生数学成绩在［80，100)之间的学生人数是1(56)6011603320x +⨯⨯=⨯⨯=,故选D 2．C解析：C 【解析】试题分析：根据线性回归方程=50+80x 的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可． 解：根据线性回归方程为=50+80x ，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A 正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B 正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C 错误；当月工资为210元时，210=50+80x ，解得x=2， 此时劳动生产率约为2000元，D 正确． 故选C ．考点：线性回归方程．3．D解析：D 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.4．D解析：D 【分析】根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案.A. 甲得分的极差是28919-=，A 错误；B. 乙得分的中位数是161716.52+=，B 错误； C. 甲运动员得分在区间[]20,30上有3个，C 错误； D. 甲运动员得分的平均值为：912131315202628178+++++++=，乙运动员得分的平均值为：914151617181920168+++++++=，故D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.5．A解析：A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6．A解析：A 【分析】由题，中位数为12，求得4x y +=，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x ，y 的值，即可求得答案.由题，因为中位数为12，所以242x yx y +=∴+= 数据的平均数为：1(22342019192021)11.410x y ++++++++++= 要使该总体的标准最小，即方差最小，所以222222.8(1011.4)(1011.4)( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y x y +-+-++-=-+-≥= 当且紧当 1.4 1.4x y -=-，取等号，即2x y ==时，总体标准差最小 此时4212x y += 故选A 【点睛】本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型.7．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x 的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m 的值即可． 【详解】 由题意可得：810111214115x ++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y =⨯+=， 故21252835275m++++=，26m ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．8．D解析：D 【解析】 【分析】 先计算，代入回归直线方程，可得，从而可求得结果.【详解】因为，所以， 代入回归直线方程可求得， 所以， 故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.9．A解析：A【分析】由题意计算出加入新数据后的平均数，然后比较方差【详解】()18138x x +⋯+=, ()181339x x +⋯++=, 3x ∴=，由方差的定义可知加入新数据3，样本数据会变得更加稳定故22s <故选A【点睛】本题主要考查了加入数据后平均数和方差的变化，代入公式计算出结果，较为基础 10．C解析：C【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25，∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．11．C解析：C【解析】【分析】细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论.【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-， 当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位，即减少1.5个单位，故选C.【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目. 12．C解析：C【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数.【详解】 根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为421105020=， 则在高三年级抽取的人数是14001625⨯=人， 故选C.【点睛】该题所考查的是有关分层抽样的问题，在解题的过程中，需要明确无论采用哪种抽样方法，都必须保证每个个体被抽到的概率是相等的，所以注意成比例的问题. 二、填空题13．①②③【分析】根据折线的变化率得到相比去年同期变化幅度､升降趋势逐一验证即可【详解】根据折现统计图可得2月相比去年同期变化幅度最小3月的空气质量指数最高故①正确；第一季度的空气质量指数的平均值最大第 解析：①②③【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度､升降趋势，逐一验证即可.【详解】根据折现统计图可得，2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高，故①正确；第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小，故②正确；第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小，故③正确；空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､9月，故④错误，故答案为：①②③.【点睛】本题考查条形统计图和折线图的应用，重点考查数据分析，从表中准确获取信息是关键，属于中档题型.14．8【分析】先设五个班的人数分别为样本平均数为5又因样本方差为4则代入大于且不相等的整数可得的值依次为24568即可得最大值【详解】解:设五个班的人数分别为则则所以的值依次为24568即有最大值为8故解析：8【分析】先设五个班的人数分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,样本平均数为5,1234525a a a a a ++++=,又因样本方差为4,则()()()()()22222123455555520a a a a a -+-+-+-+-=,代入大于0且不相等的整数,可得1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的值依次为2,4,5,6,8,即可得最大值.【详解】解:设五个班的人数分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a , 则()12345155a a a a a ++++=, 15()()()()()2222212345555554a a a a a ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 则1234525a a a a a ++++=,()()()()()22222123455555520a a a a a -+-+-+-+-=,所以1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的值依次为2,4,5,6,8,即有最大值为8.故答案为: 8【点睛】 本题考查利用平均数公式和方差公式求样本数据中的最大值,是基础题.合理应用公式是关键. 15．2【分析】根据题意列出关于的等量关系式结合求得的值利用方差公式求得结果【详解】一组数据的平均数是8且所以化简得又所以的值分别为或所以该组数据的方差为：故答案是：2【点睛】该题考查的是有关求一组数据的 解析：2【分析】根据题意，列出关于,x y 的等量关系式，结合90xy =，求得,x y 的值，利用方差公式求得结果.【详解】一组数据6,7,8,,x y 的平均数是8，且90xy =，所以6788540x y ++++=⨯=，化简得19x y +=，又90xy =，所以,x y 的值分别为10,9或9,10，所以该组数据的方差为：222222110[(68)(78)(88)(98)(108)]255s =-+-+-+-+-==， 故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的方差的问题，涉及到的知识点有方差公式，属于简单题目. 16．2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合可得最后结果为2【详解】学生总数不能被容量整除根据系统抽样的方法应从总体中随机剔除个体保证整除∵故应从总体中随机剔除个体的数目是2故答案为2【点睛】本题主要考 解析：2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合2544262=⨯+，可得最后结果为2.【详解】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除. ∵2544262=⨯+，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为2.【点睛】本题主要考查系统抽样，属于基础题；从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N 个个体进行编号；（2）当N n 为整数时，抽样距即为N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N '能被n 整除．17．②③【解析】分析：根据函数的周期性可判断①；根据垂直平分线的几何特征可判断②；根据回归直线的实际意义可判断③；根据演绎推理及正弦函数的定义可判断④详解：①若函数满足则函数是周期为2的周期函数但不一定解析：②③【解析】分析：根据函数的周期性，可判断① ；根据垂直平分线的几何特征，可判断②；根据回归直线的实际意义，可判断③；根据演绎推理及正弦函数的定义，可判断④.详解：①若函数()y f x =满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 是周期为2的周期函数，但不一定具有对称性，①错误；②点()()2,1?0,3确定直线的斜率为1-，与直线 10x y -+=垂直，且中点()1,2在直线10x y -+=上，故点()()2,1?0,3关于直线10x y -+=的对称，②正确；③通过回归方程ˆˆˆy bx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势，③正确；④正弦函数是奇函数，()()2sin 1f x x =+是正弦函数，所以()()2sin 1f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是小前提不正确，④错误，故答案为②③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的周期性、点关于直线对称、以及回归分析与“三段论”，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.18．630【解析】每层的抽样比为女生抽了95人所以男生抽取105人因此共有男生人故填630解析：630【解析】 每层的抽样比为200112006=，女生抽了95人，所以男生抽取105人，因此共有男生1056630⨯=人，故填630.19．【解析】因此解析：4.7【解析】18914779,0.80.1424222ˆx y a ====∴=-⨯=- 因此0.860.1 4.7y =⨯-= 20．2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得∴当且仅当即时取等号故答案为2解析：2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得8a b += ∴1911919191()()(19)(10)(1023)28888b a b a a b a b a b a b a b +=⨯++=+++=++≥+⨯=，当且仅当9b a a b=，即36b a ==时，取等号 故答案为2 三、解答题21．（1）平均数为260（小时）；中位数为240（小时）（2）2,1,1（3）15 【分析】（1）利用各频率之和为1，计算出a ，然后根据频率分布直方图以及平均数，中位数的求法，可得结果.（2）根据月光照量[160,240)X ∈、[240,320)X ∈、[320,400]X ∈的频率之比为111::244，结合分层抽样的方法，可得结果. （3）采用列举法，将“6个月份之中随机抽取2个月份”所有情况列举出来，并计算“抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320”的个数，结合古典概型可得结果.【详解】（1）根据各频率之和为1，则0.062580()801a a ⨯++⨯=，解得0.003125a =.月光照量X （小时）的平均数为()802000.00625+2800.0031253600.003125X =⨯⨯+⨯ 所以260X =（小时）设月光照量X （小时）的中位数为0X ，则0[240,320]X ∈.根据中位数的定义，其左右两边的频率相等，都为0.5，可得()00.00625802400.0031250.5X ⨯+-⨯=，解得0240X =.所以月光照量X （小时）的中位数为240（小时）.（2）因为月光照量[160,240)X ∈、[240,320)X ∈、[320,400]X ∈的频率之比为111::244， 所以若准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，那么，抽取的月光照量[160,240)X ∈，[240,320)X ∈，[320,400]X ∈的月份数分别为11142,41,41244⨯=⨯=⨯=. （3）由题意，月光照量[240,320)X ∈的有5，9，10月， 月光照量[320,400]X ∈的有6，7，8月，故从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10月份之中随机抽取2个月份的月光照量X （小时）进行调查，所有的情况有：(5,9),(5,10),(5,6),(5,7),(5,8)；(9,10),(9,6),(9,7),(9,8)；(10,6),(10,7),(10,8)；(6,7),(6,8)；(7,8)共15种；其中，抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320的情况有：(6,7),(6,8),(7,8)共3种；故所抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320的概率31155P ==. 【点睛】 本题考查频率分布直方图中平均数，中位数的计算，以及古典概型的应用，分清题意，熟悉公式，耐心计算，属中档题.22．（Ⅰ）具有较强的线性相关关系，10220y x =-；（Ⅱ）330元【分析】（Ⅰ）代入公式计算r ，再做判断，根据公式求,b a ，即得结果；（Ⅱ）先确定温度达到28C ︒以上时概率，再确定随机变量取法，分别求出对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（Ⅰ）21232527293171121226411526,4066x y ++++++++++=======()()7000.75786n i ix x y y r --==>=>∑ 所以潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 具有较强的线性相关关系， ()()()1217001070n i i i n i i x x y yb x x ==--===-∑∑，401026220a y bx =-=-⨯=- 10220y bx a x ∴=+=-；（Ⅱ）()12528,2P ξ<≤=()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ， ()()12528128,24P P ξξ-<≤∴>== 0,1200,1600Y = 13141163(0)1,(1200),(1600)444101041020P Y P Y P Y ==-===⨯===⨯= 313()01200140033041020E Y =⨯+⨯+⨯=(元) 【点睛】本题考查线性回归方程、数学期望公式、正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题. 23．（1）()54,42（2）0.72 3.12y x =+（3）75.12微克/立方米【分析】（1）求出,x y 从而得到样本点的中心；（2）利用参考公式求出()52150ii x x =-=∑，()()136n i ii x x y y =--=∑，从而得到b ，再将样本中心坐标代入求得a ，从而得到回归方程；（3）将100x =代入回方程，求出y 的值，即可得到答案.【详解】（1）5051545758394042444554,4255x y ++++++++====， 所以样本中心坐标为()54,42.（2）因为()52116991650i i x x =-=+++=∑， ()()1(4)(3)(3)(2)324336n ii i x x y y =--=-⋅-+-⋅-+⋅+⋅=∑， 所以360.7250b ==， 3.12a =， 线性回归方程为0.72 3.12y x =+.（3）0.72100 3.1275.12y =⨯+=（微克/立方米）此时 2.5PM 的浓度是75.12微克/立方米.【点睛】本题考查回归直线方程的最小二乘法求解及回归方程的应用，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确性.24．（1） 1.4518.7y x =-+；（2）3【分析】（1）由表中数据计算x 、y ，求出ˆb、ˆa ，即可写出回归直线方程； （2）写出利润函数z y w =-，利用二次函数的图象与性质求出3x =时z 取得最大值．【详解】解：（1）由表中数据得，1(246810)65x =⨯++++=， 1(16139.57 4.5)105y =⨯++++=， 由最小二乘法求得：22222221641369.58710 4.5561058ˆ 1.452468105640b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-++++-⨯， ˆ10(1.45)618.7a=--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为 1.4518.7y x =-+；（2）根据题意，利润函数为：22( 1.4518.7)(0.05 1.7517.2)0.050.3 1.5z y w x x x x x =-=-+--+=-++， 所以，当0.332(0.05)x =-=⨯-时，二次函数z 取得最大值为1.95； 即预测3x =时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大．【点睛】本题考查了回归直线方程的求法，以及二次函数的图象与性质的应用，考查计算能力． 25．（1）=83.2x 甲，=84x 乙；（2）22=26.36=13.2S S 甲乙，，=5.13S 甲，=3.63S 乙；（3）乙班的总体学习情况比甲班好【解析】试题分析：每组样本数据有10个，求样本的平均数利用平均数公式，10个数的平均数等于这10个数的和除以10；比较平均分的大小可以看出两个班学生平均水平的高低，求样本的方差只需使用方差公式，求这10个数与平均数的差的平方方和再除以10；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 ． 试题 (1)x 甲＝110×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83. 2， x 乙＝110×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84． (2)2S 甲＝110×[(82－83. 2)2＋(84－83. 2)2＋(85－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(80－83. 2)2＋(91－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(74－83. 2)2]＝26. 36， 2S 甲＝110[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13. 2，则s 甲，s 乙≈3. 63．。

(典型题)高中数学必修三第一章《统计》检测(答案解析)

(典型题)高中数学必修三第一章《统计》检测(答案解析)

一、选择题1．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）A．5 B．4 C．3 D．22．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：（）广告费用（万元）销售客（万元）根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为（）A．万元B．万元C．万元D．万元3．从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平,x乙及方差2s甲,2s乙的关系为( )均身高x甲A．x甲>x乙,2s甲>2s乙 B．x甲>x乙,2s甲<2s乙 C．x甲<x乙,2s甲<2s乙 D．x甲<x乙,2s甲>2s乙4．下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A．2018年3月的销售任务是400台B．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年第一季度总销售量为830台D ．2018年月销售量最大的是6月份5．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（ ） A ．70和50B ．70和67C ．75和50D ．75和676．总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．选取的方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）．7806 6572 0802 6314 2947 1821 98003204 9234 4935 3623 4869 6938 7481A ．02B ．14C ．18D ．297．已知某8个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这9个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．3x =，22s < B ．3x =，22s > C ．3x >，22s <D ．3x >，22s >8．如图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图，设1、2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为12s s 、，那么（ ）（注:标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-A ．1212,x x s s >>B ．1212,x x s s ><C ．1212,x x s s <<D ．1212,x x s s9．下列说法正确的是（ ）①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71y x =- ，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于3，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是3333(,)(,)22-∞-. A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④10．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，811．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，若将学生按成绩由低到高编为1-45号，再用系统抽样方法从中抽取9人，则其中成绩在区间[120,135]上的学生人数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种B ．100种C ．90种D ．80种二、填空题13．《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著.该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min ）分别为：93，93，88，81，94，91则这组时间数据的标准差为___________.14．若1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差为__________．15．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．16．某种活性细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示存放温度x（℃）104-2-8存活率y（%）20445680经计算得回归直线方程的斜率为-3.2，若存放温度为6℃，则这种细胞存活的预报值为_____%．17．某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是________18．已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人．19．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为___．20．某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则19a b的最小值为__________．三、解答题21．假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：x（年）12345y（万元）567810由资料可知y 对x 呈线性相关关系． （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）请估计该设备使用年限为15年时的维修费用.参考公式：线性回归方程y bx a =+的最小二乘法计算公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，参考数据：5115263748510120i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑22．某校高一年级举行“抗击新冠肺炎”在线知识问答比赛，现将60名参赛学生的成绩（满分100分）统计如下： 分组 频数 频率 [50，60） 18 0.30 [60，70） 24 0.40 [70，80） 9 0.15 [80，90） 6 0.10 [90，100]30.05（1）根据上面的统计表，作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这60名参赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数.23．2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各地医疗部门迅速进行防控意识宣传和流行病学调查.某疫区随机抽取100人调查其外出时佩戴口罩的情况，结果如下表. 分类佩戴口罩人数/人不佩戴口罩人数/人（1）是否有99.5%的把握认为“是否佩戴口罩与年龄有关”；（2）该疫区某新冠肺炎定点治疗医院统计了确诊患者中年龄x （单位：岁）的重症患者比例（单位：%），得到下表：若y 与x 之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测该医院76岁确诊患者中的重症比例.参考公式和数据：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx yb xn x=-=-=-∑∑，a y bx =-.817010.5657.5637.553 5.552 4.545 3.540 1.5320.52454i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑.82222222217065635345403223256i i x==++++++=∑.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.24．零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布N （μ，σ2）.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸x i（i＝1，2，3，…，10，单位：mm）：用样本的平均数x作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值.（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在（μ﹣3σ，μ+3σ）范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格.（2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在（99.7，100.3）范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元.哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：1021iix=∑≈100601.8，样本方差()22221111n ni ii is x x x nxn n==⎛⎫=-=-⎪⎝⎭∑∑.若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545 25． 2.5PM是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与 2.5PM的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与2.5PM浓度的数据如下表：（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；（2）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时2.5PM的浓度是多少？（参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-）26．在社会实践活动中，“求知”小组为了研究某种商品的价格x（元）和需求量y（件）之间的关系，随机统计了11月1日至11月5日该商品价格和需求量的情况，得到如下资料：日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日x（元）1416182022y（件）1210743该小组所确定的研究方案是：先从这五天中选取2天数据，用剩下的3天数据求线性回归方程，再对被选取的2天数据进行检验.（1）若选取的是11月1日与11月5日两天数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2件，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？参考公式：()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，()89889290939291791x+++++++÷=，635=917=6372x x，∴+⨯∴=，故选D. 2．B解析：B【解析】【分析】先求出，由样本点的中心在回归直线上，可求出，从而求出回归方程，然后令，可求出答案.【详解】由题意，，则样本中心点在回归方程上，则，故线性回归方程为，则广告费用为万元时销售额为万元，故选B.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】利用公式求得x 甲和x 乙，从而得到x 甲和x 乙的大小，观察两组数据的波动程度，可以得到2s 甲与2s 乙的大小，从而求得结果.【详解】 甲班平均身高1691621501601591605x ++++==甲，乙班平均身高1801601501501651615x ++++==乙，所以x x <甲乙，方差表示数据的波动，当波动越大时，方差越大，甲班的身高都差不多，波动比较小，而乙班身高差距则比加大，波动比较大，所以22s s >乙甲，故选C. 【点睛】该题考查的是有关所给数据的平均数与方差的比较大小的问题，涉及到的知识点有平均数的公式，观察数据波动程度来衡量方差的大小，属于简单题目.4．D解析：D 【分析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论． 【详解】对于选项A ，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A 正确． 对于选项B ，由图形得2018年月销售任务的平均值为1(3245810743413)10045012⨯+++++++++++⨯=，所以B 正确． 对于选项C ，由图形得第一季度的总销售量为13002001400 1.28302⨯+⨯+⨯=台，所以C 正确．对于选项D ，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D 不正确． 故选D ． 【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据平均数、方差的概念表示出更正前的平均数、方差和更正后的平均数、方差，比较其异同，然后整体代入即可求解． 【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a 1，a 2，…，a 50， 则a 1+a 2+…+a 50＝50×70，即60+90+a 3+…+a 50＝50×70， （a 1﹣70）2+（a 2﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75， 即102+202+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75． 更正后平均分为x ＝150×（80+70+a 3+…+a 50）＝70； 方差为s 2＝150×[（80﹣70）2+（70﹣70）2+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+50×75﹣102﹣202]＝67． 故选B ． 【点睛】本题考查平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．6．D解析：D 【解析】分析：根据随机数表法则取数：取两个数，不小于30的舍去，前面已取的舍去. 详解：从表第1行5列，6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号为：08，02，14，29．∴第四个个体为29． 选D ．点睛：本题考查随机数表，考查对概念基本运用能力.7．A解析：A 【分析】由题意计算出加入新数据后的平均数，然后比较方差 【详解】()18138x x +⋯+=, ()181339x x +⋯++=,3x ∴=，由方差的定义可知加入新数据3，样本数据会变得更加稳定 故22s < 故选A 【点睛】本题主要考查了加入数据后平均数和方差的变化，代入公式计算出结果，较为基础8．C解析：C 【分析】由茎叶图分别计算出两组数的平均数和标准差，然后比较大小 【详解】读取茎叶图得到两组数据分别为： (1)53565758617072，，，，，， (2)54565860617273，，，，，，()()11503678112022617x kg =+⨯++++++=，()()215046810112223627x kg =+⨯++++++=，1s ==，2s == 则1212,x x s s << 故选C 【点睛】本题给出茎叶图，需要求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识，样本特征数的计算等知识，属于基础题．9．C解析：C 【分析】利用线性回归方程系数的几何意义，圆锥曲线离心率的范围，椭圆的性质，逐一判断即可. 【详解】①设某大学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ），用最小二乘法建立的线性回归方程为y ∧=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，正确；②关于x 的方程x 2﹣mx +1＝0（m ＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；③设定圆C 的方程为（x ﹣a ）2+（x ﹣b ）2＝r 2，其上定点A （x 0，y 0），设B （a +r cosθ，b +r sinθ），P （x ，y ），由12OP =（OA OB +）得0022x a rcos x y b rsin y θθ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消掉参数θ，得：（2x ﹣x 0﹣a ）2+（2y﹣y 0﹣b ）2＝r 2，即动点P 的轨迹为圆， ∴故③不正确；④由22143x y +=，得a 2＝4，b 2＝3，∴1c ==．则F （﹣1，0），如图：过F 作垂直于x 轴的直线，交椭圆于A （x 轴上方），则x A ＝﹣1，代入椭圆方程可得32A y =． 当P 为椭圆上顶点时，P （0FP k =32OA k =-， ∴当直线FP时，直线OP 的斜率的取值范围是32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，． 当P 为椭圆下顶点时，P （0，∴当直线FP时，直线OP，32）， 综上，直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，∪（8，32）． 故选C 【点睛】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、离心率、椭圆简单的几何性质等知识点，属于中档题．10．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图11．B解析：B 【解析】分析：首先写出所有学生的乘积，然后结合系统抽样的方法整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知，学生的成绩如下：111,111,112,113,113； 116,117,117,118,118； 120,120,121,122,122； 123,124,124,126127；128,128,129,129,129； 131,131,131,132,132；132,133,134,134,135； 137,138,138,138,139；140,142,142,143,144.用系统抽样方法从中抽取9人，则每5人中抽取一人，即上述分组中每组抽取一人， 则所抽取的学生的成绩在区间[]120,135上的学生人数为5. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查系统抽样的概念及其应用，茎叶图的识别等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数． 详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组， ∴每个个体被抽到的概率是14， 根据分层抽样要求，应选出8×14=2名女生，4×14=1名男生， ∴有C 82•C 41=112． 故答案为：A ．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平.二、填空题13．【分析】由搜集算法所费的时间的数据求得数据的平均数再结合方差的计算公式即可求解【详解】由题意搜集算法所费的时间的数据可得数据的平均数为所以方差为所以标准差故答案为：【点睛】本题主要考查了数据的平均数解析：【分析】由搜集算法所费的时间的数据，求得数据的平均数，再结合方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，搜集算法所费的时间的数据， 可得数据的平均数为939388819491906x +++++==，所以方差为2222222(9390)(9390)(8890)(8190)(9490)(9190)206s -+-+-+-+-+-==，所以标准差s ==故答案为： 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中解答中熟记数据的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．【分析】根据平均数与方差的概念利用公式准确计算即可求解【详解】由题意数据…这20个数据的平均数为方差为由方差的公式可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用其中解答中熟记平 解析：0.20【分析】根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解． 【详解】由题意，数据1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21， 由方差的公式，可得222212201[()()()]0.2120s a x a x a x =⨯-+-++-=，所以2221220()()() 4.2a x a x a x -+-++-=，所以22222122011[()()()()] 4.20.202121s a x a x a x x x '=⨯-+-++-+-=⨯=， 故答案为：0.20．【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．15．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1解析：1 【解析】 【分析】设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯ ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，由此能求出这组数据的标准差． 【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，∴这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯= ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，∴这组数据的标准差1S =．故答案为1． 【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．34【解析】分析：根据表格中数据求出代入公式求得的值从而得到回归直线方程将代入回归方程即可得到结果详解：设回归直线方程由表中数据可得代入归直线方程可得所以回归方程为当时可得故答案为点睛：求回归直线方解析：34 【解析】分析：根据表格中数据求出,x y ，代入公式求得a 的值，从而得到回归直线方程，将6x =代入回归方程即可得到结果.详解：设回归直线方程3,ˆ2yx a =-+， 由表中数据可得1,50x y ==， 代入归直线方程可得53.2a =，所以回归方程为3,253.ˆ2yx =-+ 当6x =时，可得 3.2653.4ˆ23y=-⨯+=，故答案为34. 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nniiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a =+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.17．【详解】分析：将数据由小到大排列好根据众数中位数平均数的概念得到相应的数据即可详解：根据提干得到中位数为b=15众数为c=17平均数为=a 故故答案为点睛：这个题目考查了中位数众数平均数的概念和计算较解析：a b c <<. 【详解】分析：将数据由小到大排列好，根据众数，中位数，平均数的概念得到相应的数据即可. 详解：根据提干得到中位数为b=15，众数为c=17，平均数为10+12+28+30+16+51=14.710=a.故 a b c <<. 故答案为a b c <<.点睛：这个题目考查了中位数，众数，平均数的概念和计算，较为基础,众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.18．【解析】根据题意可得抽样比为则这次抽样调查抽取的人数是即答案为140 解析：140【解析】根据题意可得抽样比为501,75015= 则这次抽样调查抽取的人数是()114507509002100140,1515++=⨯= 即答案为140.19．30【解析】由题意可得：则成绩不低于分的人数为人解析：30 【解析】 由题意可得：()400.0150.0300.0250.0051030⨯+++⨯=则成绩不低于60分的人数为30人20．2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得∴当且仅当即时取等号故答案为2解析：2 【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得8a b += ∴1911919191()()(19)(10)(1023)28888b a b a a b a b a b a b a b +=⨯++=+++=++≥+⨯=，当且仅当9b aa b=，即36b a ==时，取等号 故答案为2三、解答题21．（1） 1.2 3.6y x =+；（2）21.6万元． 【分析】（1）先求出年限x 和维修费用y 的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a 值，即得线性回归方程；（2）将15x =代入回归直线方程即可求得结果. 【详解】 （1）1234535x ++++==，5678107.25++++==y51120i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑25945nx =⨯=，537.2108nx y =⨯⨯=∴1201081.25545b -==-，7.2 1.23 3.6a =-⨯=∴y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.6y x =+（2）在上述回归方程中，当15x =时得21.6y = ∴该设备使用年限为15年时的维修费用大约为21.6万元． 【点睛】本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，准确合理的运算是解决此类问题的关键，考查运算能力，属于基础题. 22．（1）直方图见解析；（2）67分，65分. 【分析】（1）由统计表算出各频率，作出频率分布直方图；（2）取各组数据中间值乘以频率再相加可得总平均值，求出频率0.5对应的成绩（此成绩在[60，70）之间]． 【详解】（1）根据统计表，作出这些数据的频率分布直方图如图：（2）由表中数据可知，这60名参赛学生成绩的平均数550.3650.4750. 15850.1950.0567x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.因为这60名参赛学生成绩在[50，60）的频率为0.30.5<，成绩在[50，70）的频率为0.70.5>，所以这60名.参赛学生成绩的中位数在[60，70）之间.设这60名参赛学生成绩的中位数为x ，则()0.04600.2x ⨯-=，解得65x =， 故这60名参赛学生成绩的中位数为65分． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图求均值和中位数．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题． 23．（1）有把握；（2）1ˆ84yx =-，11%． 【分析】（1）根据列联表，利用公式计算2K ，对照附表得出结论；（2）计算x 、y ，求出回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算76x =时ˆy的值． 【详解】（1）根据题意，计算22100(45201025)8.1297.89770305545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯； 所以有99.5%的把握认为“是否佩戴口罩与年龄有关”； （2）计算1105(7065635352454032)82x =⨯+++++++=，141(10.57.57.5 5.5 4.5 3.5 1.50.5)88y =⨯+++++++=； 所以122211054124548128ˆ1054232568()2ni ii nii x ynxy bxnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑； 411105ˆˆ8842ay bx =-=-⨯=-； 所以y 关于x 的线性回归方程是1ˆ84yx =-， 计算76x =时，1ˆ768114y =⨯-=， 可以预测该医院76岁确诊患者中的重症比例为11%． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．24．（1）合格，理由见解析；（2）方案2，理由见详解. 【分析】（1）求得10个数据的平均数和标准差，根据题意，即可判断；（2）设出方案2中零件价格的随机变量，结合正态分布求得零件价格的分布列和数学期望，即可比较大小，则问题得解. 【详解】（1）由表格中数据可得：x 1011100.310i i x ===∑，()101022221111(10)0.091010i i i i s x x x x ===-=-=∑∑.故可得：100.3μ=，0.3σ=.因为所有样本都在区间()99.4,101.2， 故该切割设备质量合格.（2）对方案2，设零件价格的随机变量为X ，故X 可取60,100， 根据（1）中所求，可得()()()10099.7100.320.47725P X P x P x μσμ==<<=-<<=；()()6011000.52275P X P X ==-==.故()600.522751000.47725600.51000.477770E X =⨯+⨯>⨯+⨯=>. 又方案1中，每个零件售价均为70， 故可得方案2的利润更大. 【点睛】本题考查平均数和方差标准差的计算，涉及正态分布，随即变量数学期望的求解，属综合中档题.25．（1）()54,42（2）0.72 3.12y x =+（3）75.12微克/立方米 【分析】（1）求出,x y 从而得到样本点的中心； （2）利用参考公式求出()52150ii x x =-=∑，()()136ni ii x xy y =--=∑，从而得到b ，再将样本中心坐标代入求得a ，从而得到回归方程； （3）将100x =代入回方程，求出y 的值，即可得到答案. 【详解】 （1）5051545758394042444554,4255x y ++++++++====，所以样本中心坐标为()54,42. （2）因为()52116991650ii x x =-=+++=∑，()()1(4)(3)(3)(2)324336niii x x y y =--=-⋅-+-⋅-+⋅+⋅=∑，所以360.7250b ==， 3.12a =， 线性回归方程为0.72 3.12y x =+.（3）0.72100 3.1275.12y =⨯+=（微克/立方米） 此时 2.5PM 的浓度是75.12微克/立方米. 【点睛】本题考查回归直线方程的最小二乘法求解及回归方程的应用，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确性.26．（1） 1.534y x =-+；（2）详见解析. 【分析】（1）利用表中数据，分别求得：,x y ，再利用公式求得,b a ，然后写出回归直线方程即可. （2）根据（1）中的回归直线方程，令14x =， 22x =求得相应的y 值，再与实际值结合误差要求比较即可. 【详解】 由表中数据得： ()()1116182018,10747,33x y =++==++= 311610187204366i ii x y==⨯+⨯+⨯=∑，322221161820980ii x==++=∑，3132221336631871.59803183i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===--⨯-∑∑， ()7 1.51834a y bx =-=--⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程是 1.534y x =-+.（2）当14x =时， 1.5143413y =-⨯+=，131212-=<， 当22x =时， 1.522341y =-⨯+=，1322-=≤， 所以（1）中所得到的线性回归方程是可靠的. 【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法以及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案（2套）一、选择题1.下列说法正确的是（）A。

甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3/5，则比赛5场，甲胜3场B。

某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C。

随机试验的频率与概率相等D。

天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2.某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是（）A。

选出1人是班长的概率为1/40B。

选出1人是男生的概率是1/25C。

选出1人是女生的概率是1/15D。

在女生中选出1人是班长的概率是03.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A。

1/2B。

1/3C。

1/4D。

1/84.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、XXX四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A。

对立事件B。

不可能事件C。

互斥但不是对立事件D。

以上答案都不对5.在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）A。

1/10B。

3/10C。

7/10D。

9/106.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（）A。

①②B。

①③C。

②③D。

①②③7.矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（）A。

16B。

16.32C。

16.34D。

15.9688.在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17<a<20的概率是（）A。

3/10B。

高中数学必修三统计概率大题

高中数学必修三统计概率大题

必修三统计概率一．解答题（共26小题）1．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．2．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：分组频数频率[10，15）10 0.25[15，20）24 n[20，25）m p[25，30） 2 0.05合计M 1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．3．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：54．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生 x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x ，y 的值．5．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别 是否需要志愿男 女需要 40 30不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：6．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．7．某网站针对2014年中国好声音歌手A ，B ，C 三人进行网上投票，结果如下：观众年龄 支持A 支持B 支持C20岁以下 200 400 80020岁以上（含20岁） 100 100 400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n 人，其中有6人支持A ，求n 的值．（2）在支持C 的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．P （k 2＞k ） 0.00.010 0.001 k 3.841 6.635 10.8288．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．9．某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112]，[112，114]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单位：元），现从该厂生产的产品A中随机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；（Ⅱ）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率．10．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？12．已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：学生的编号i 1 2 3 4 5数学成绩x 80 75 70 65 60地理成绩y 70 66 68 64 62（1）根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+（其中=0.36）；（2）利用（1）中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩（四舍五入到整数）；（3）若从五人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？13．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：天数t（天） 3 4 5 6 7繁殖个数y（千个） 2.5 3 4 4.5 6（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．14．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？15．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．16．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．17．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人数25 a b（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．18．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．19．某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．20．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．21．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团8 5未参加演讲社团 2 30（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．22．对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：质量段[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]件数 5 a 15 b规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A“型2件（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B“型的概率；（Ⅱ）从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率．23．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．24．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．25．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．26．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．2015年11月17日必修三统计概率参考答案与试题解析一．解答题（共26小题）1．（2014•黑龙江）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．2．（2014•高州市模拟）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：分组频数频率[10，15）10 0.25[15，20）24 n[20，25）m p[25，30） 2 0.05合计M 1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．【专题】计算题；图表型．【分析】（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．【解答】解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，∴所求概率为．【点评】本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．3．（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．4．（2014•烟台三模）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】（I）用分层抽样得到学历为本科的人数，后面的问题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5个人中容易抽取2个，事件数可以列举出，满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生，从列举出的事件中看出结果．（II）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概率，利用解方程思想解出x，y的值．【解答】解：（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m∴解得m=3∴抽取了学历为研究生2人，学历为本科的3，分别记作S1、S2；B1、B2、B3从中任取2人的所有基本事件共10个：（S1，B1）、（S1，B2）、（S1，B3）、（S2，B1）、（S2，B2）、（S2，B3）、（S1，S2）、（B1，B2）、（B2，B3）、（B1，B3）其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S1，B1）、（S1，B2）、（S1，B3）、（S2，B1）、（S2，B2）、（S2，B3）、（S1，S2）∴从中任取1人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为（Ⅱ）解：依题意得：，解得N=78∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20∴，解得x=40，y=5∴x=40，y=5【点评】本题考查分层抽样方法，考查古典概型的概率及其概率公式，考查利用列举法列举出试验包含的所有事件，列举法是解决古典概型的首选方法．5．（2010•河北）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别男女是否需要志愿需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P（k2＞k） 0.0 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【考点】简单随机抽样；独立性检验．【专题】计算题．【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【点评】本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．6．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100] （1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．7．（2015•宿州一模）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A 支持B 支持C20岁以下200 400 80020岁以上（含20岁）100 100 400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴=，解得n=40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P=．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．8．（2015•日照二模）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】（1）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于14秒且小于16秒的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数．（2）按照（1）的方法求出成绩在[13，14）及在[17，18]的人数；通过列举得到m，n都在[13，14）间或都在[17，18]间或一个在[13，14）间一个在[17，18]间的方法数，三种情况的和为总基本事件的个数；分布在两段的情况数是事件“|m ﹣n|＞1”包含的基本事件数；利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．【解答】解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），所以该班成绩良好的人数为27人、（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，设为为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，设为A、B、C、D．若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；若m，n分别在[13，14）和[17，18]内时，A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD有12种情况、所以，基本事件总数为3+6+12=21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种、∴（12分）【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式．9．（2014•岳阳二模）某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112]，[112，114]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单位：元），现从该厂生产的产品A中随机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；。

高三数学练习题：概率与统计

高三数学练习题：概率与统计

高三数学练习题：概率与统计
问题1：
某班有40名学生，其中有30名学生参加了一个数学竞赛。

现在我们从这些学生中随机抽取一名学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位参加了数学竞赛的学生；
b) 抽中一位未参加数学竞赛的学生。

问题2：
某班有50名学生，其中30人喜欢数学，20人喜欢英语，15人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中随机选择一位学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位喜欢数学的学生；
b) 抽中一位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位同时喜欢数学和英语的学生。

问题3：
某地区的天气预报表明，星期一下雨的概率是0.3，星期二下雨的概率是0.4。

而星期一和星期二都下雨的概率是0.15。

现在，我们从这两个星期中随机选择一个天气预报，请计算以下概率：
a) 抽中星期一下雨；
b) 抽中星期二下雨；
c) 抽中星期一和星期二都下雨。

问题4：
某班有90名学生，其中40人喜欢数学，60人喜欢英语，20人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中选择两个学生，请计算以下概率：
a) 抽中两位喜欢数学的学生；
b) 抽中两位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位喜欢数学的学生和一位喜欢英语的学生。

问题5：
某打印店收到100份订单，其中有20份订单有错误。

现在，我们从这些订单中随机抽取一份，请计算以下概率：
a) 抽中一份有错误的订单；
b) 抽中一份没有错误的订单。

(易错题)高中数学必修三第一章《统计》测试题(包含答案解析)(3)

(易错题)高中数学必修三第一章《统计》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据x1 3 6 10 y 8a42他由此得到回归直线的方程为ˆ 2.115.5yx =-+，则下列说法正确的是( ) ①变量x 与y 线性负相关 ②当2x =时可以估计11.3y = ③6a = ④变量x 与y 之间是函数关系 A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④2．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（ ）A ．48B ．60C ．64D ．723．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,44．网上大型汽车销售某品牌A 型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系 价格（万元）2523.52220.5销售量（辆） 30 33 36 39已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线性回归方程：8ˆ0ˆybx =+，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ） A ．39B ．42C ．45D ．505．下列说法正确的是（ ）①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71y x =- ，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于3，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是3333(,)(,)22-∞-. A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④6．某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为（ ）A ．15.5B ．15.6C ．15.7D ．167．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和928．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ） A ．31号B ．32号C ．33号D ．34号9．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x 人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为（ ） A ．64B ．96C ．144D ．16010．某校高一年级有学生1800人，高二年级有学生1500人，高三年级有1200人，为了调查学生的视力状况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有60人，则该样本中高三年级的学生人数为( ) A ．60B ．50C ．40D ．3011．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程是（ ）参考公式：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =；A ．0.6274ˆ.2yx =+ B ．0.7264ˆ.2y x =+ C ．0.7164ˆ.1y x =+ D ．0.6264ˆ.2y x =+ 12．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为（ ） A ．3B ．5C ．9D ．11二、填空题13．如图是某地区2018年12个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是______.①2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高；②第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小； ③第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小； ④空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､4月.14．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据()(),1,2,3,,8i i x y i =，其回归直线方程是12y x a =+，且8116i i x ==∑，8148i i y ==∑，则实数a =__________.15．下表记录了某公司投入广告费x 与销售额y 的统计结果，由表可得线性回归方程为^^^y b x a =+，据此方程预报当6x =时，y =__. x4 2 35 y 49263954附：参考公式：^1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---==--∑∑∑∑，^^^a y b x =-16．已知x ，y 的取值如下表： x 2 3 4 5 y2.23.85.56.5从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a 的值为________．17．已知由样本数据集合(){}11,1,2,3,...,x y i n =，求得的回归直线方程为1.2308ˆ.0y x =+，且ˆ4x =，若去掉两个数据点 (4.1，5.7）和(3.9，4.3）后重新求得的回归直线方程l 的斜率估计值为1.2，则此回归直线l 的方程为_______.18．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为______________．19．抽样统计甲、乙两位同学5次数学成绩绘制成如下图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为__________．20．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人．三、解答题21．据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累．某课题研究组欲研究昼夜温差大小()/x ℃与某植物糖积累指数()/y GI 之间的关系，得到如下数据:组数 第一组 第二组第三组第四组第五组第六组昼夜温差/℃x1011 13 12 8 6某植物糖积累指数/y GI20 24 30 28 18 15下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据．（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2．58，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想?（参考公式:回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计()()()211ˆˆˆ,iii ni ni x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ 22．为了了解高中新生的体能情况，某学校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从 左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12﹒（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．23．潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后幼虫会在叶片中啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量．经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y 和夏季平均温度x 有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格． 平均温度C i x ︒ 21 23 25 27 29 31 平均产卵数i y 个711212264115（Ⅰ）根据相关系数r 判断，潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 是否具有较强的线性相关关系，若有较强的线性相关关系，求出线性回归方程y bx a =+，若没有较强的线性相关关系，请说明理由（一般情况下，当0.75r >时，可认为变量有较强的线性相关关系）；（Ⅱ）根据以往的统计，该地区夏季平均气温为()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ，且()125282P ξ<≤=．当该地区某年平均温度达到28C ︒以上时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷（其他情况均不需要人工治理），且虫害一定会导致水稻减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如下：用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失Y （元）的数学期望．（经济损失＝减产损失＋治理成本） 参考公式和数据：()()niix x y y r --=∑()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-()()61700iii x x yy =--=∑，6214126ii x==∑，61240i i y ==∑，()6218816i i y y=-=∑，8.4≈786≈．24．为提高某作物产量，种植基地对单位面积播种数与每棵作物的产量之间的关系进行了研究，收集了10块试验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令2i i u x =，1ii v y =. （1）由最小二乘法得到线性回归方程v u βα=+，求y 关于x 的回归方程； （2）利用（1）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01）附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …(),n n u v 其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u v nu vunuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-.参考数据：1500nii u==∑，140ni i v ==∑，12321n i i i u v ==∑，2135642ni i u ==∑，30 5.48≈.25．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x （分钟）时刻的细菌个数为y 个，统计结果如下：x 1 2 3 4 5 y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x ，y 的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yxn axby bx ====---∑∑） 26．经营费用指流通企业对在经营过程中发生除经营成本以外的所有费用，如管理费用、财务费用、法律费用等，这些费用没有直接用于生产产品或提供服务，但它是影响公司收益的重要因素．某创业公司从2014年开始创业到2019年每年的经营费用y （万元）、年份及其编号t ，有如下统计资料： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 t 1 2 3 4 5 6 y9.512.214.617.419.6m已知该公司从2014年到2019年年平均经营费用为16万元，且经营费用y 与年份编号t 呈线性相关关系．（1）求2019年该公司的经营费用；（2）y 关于t 的回归方程为 2.6y t a =+，求a ，并预测2020年所需要支出的经营费用； （3）该公司对2019年卖出的产品进行质量指标值检测，由检测结果得如图所示频率分布直方图：预计2020年生产产品质量指标值分布与上一年一致，将图表中频率作为总体的概率．当每件产品质量指标值不低于215时为优质品，指标值在185到215之间是合格品，指标值低于185时为次品．出售产品时，每件优质品可获利1.5万元，每件合格品可获利0.7万元，次品不仅全额退款，还要对客户进行赔付，所以每件次品亏损1.3万元．若2020年该公司的产量为500台，请你预测2020年该公司的总利润（总利润=销售利润-经营费用）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案.【详解】① 2.1b =-⇒变量x 与y 线性负相关,正确 ②将2x =代入回归方程，得到11.3y =，正确 ③将(,)x y 代入回归方程，解得6a =，正确 ④变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系，错误 答案为C 【点睛】本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点(,)x y 一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.2．B解析：B 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=， 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=， 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.3．C解析：C 【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为0.47.6y x =-+，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B ：根据表中数据：x =9．可得y =4．即()16+3244m ++=，解得：m=5． 对于C ：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D ：由线性回归方程一定过（x ，y ），即（9，4）． 故选：C ．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.4．B解析：B【解析】分析：先求均值，确定ˆb，再求自变量为19对应函数值得结果.详解：因为2523.52220.5330333639122,344442x y++++++====，所以1348022,3224ˆb-==-所以19(2)8042y=⨯-+=选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y.5．C解析：C【分析】利用线性回归方程系数的几何意义，圆锥曲线离心率的范围，椭圆的性质，逐一判断即可.【详解】①设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为y∧=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；②关于x的方程x2﹣mx+1＝0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；③设定圆C的方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2＝r2，其上定点A（x0，y0），设B（a+r cosθ，b+r sinθ），P（x，y），由12OP =（OA OB+）得22x a rcosxy b rsinyθθ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消掉参数θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2＝r2，即动点P的轨迹为圆，∴故③不正确；④由22143x y+=，得a2＝4，b2＝3，∴1c==．则F（﹣1，0），如图：过F作垂直于x轴的直线，交椭圆于A（x轴上方），则x A＝﹣1，代入椭圆方程可得32Ay=．当P 为椭圆上顶点时，P （0FP k =32OA k =-， ∴当直线FP 时，直线OP 的斜率的取值范围是32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，．当P 为椭圆下顶点时，P （0，∴当直线FP 时，直线OP 的斜率的取值范围是（8，32），综上，直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，∪，32）． 故选C 【点睛】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、离心率、椭圆简单的几何性质等知识点，属于中档题．6．B解析：B 【分析】由频率分布直方图分别计算出各组得频率、频数，然后再计算出体重的平均值 【详解】由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：0.10.20.250.250.15，，，，，0.05 频数为：367.57.54.51.5，，，，， 则平均值为：113136157.5177.519 4.521 1.515.630⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选B 【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，需要注意计算不要出错7．A解析：A 【解析】8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87，89,90,91,92,93,94,96，中位数是91,92,的平均数91.5，平均数是87+89+90+91+92+93+94+968=91.58．C解析：C 【解析】 【分析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号. 【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷，已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号， 故选C. 【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816，因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人，即可求出20～30岁年龄段的人数. 【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816, 因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人,所以，20～30岁龄段的人有480128192160--=，故选D. 【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题10．C解析：C 【分析】设该样本中高三年级的学生人数为x ，则1800601200x=，解之即可 【详解】设该样本中高三年级的学生人数为x ，则1800601200x =，解得40x =， 故选C ． 【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，属基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果． 【详解】由题意，b=22222210078102801088411488116905108841001021081141165108⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯++++-⨯=0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴y =0.72x+6.24， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.12．D解析：D 【解析】分析：一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；；依此规律求解即可．详解：：∵一组数据12,,,n x x x 的平均数为3， ∴另一组数据1232,32,,32n x x x +++的平均数121211323232[32]33211n n x x x x x x n n n=++++⋯++=++⋯++=⨯+=（）（）， 故选D.点睛：本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．二、填空题13．①②③【分析】根据折线的变化率得到相比去年同期变化幅度､升降趋势逐一验证即可【详解】根据折现统计图可得2月相比去年同期变化幅度最小3月的空气质量指数最高故①正确；第一季度的空气质量指数的平均值最大第解析：①②③ 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度､升降趋势，逐一验证即可. 【详解】根据折现统计图可得，2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高，故①正确；第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小，故②正确；第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小，故③正确； 空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､9月，故④错误， 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查条形统计图和折线图的应用，重点考查数据分析，从表中准确获取信息是关键，属于中档题型.14．5【分析】求出数据的中心（26）代入回归直线方程即可【详解】由已知∵回归直线方程一定过样本点中心∴∴故答案为：5【点睛】本题考查了线性回归方程考查了计算能力和逻辑推理能力属于一般题目解析：5 【分析】求出数据的中心（2，6），代入回归直线方程即可. 【详解】由已知2x =，6y =，∵回归直线方程12y x a =+一定过样本点中心(),x y ∴1622a =⨯+ ∴5a = 故答案为：5 【点睛】本题考查了线性回归方程，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.15．5【分析】根据表中数据先求出回归方程然后将代入可得到答案【详解】由题意故回归方程为当时【点睛】本题考查了回归方程的求法考查了学生的计算求解能力属于基础题解析：5 【分析】根据表中数据，先求出回归方程，然后将6x =代入，可得到答案． 【详解】 由题意，2345 3.54x +++==，49263954424y +++==，4144492263395544 3.54263558847i ii x y xy =-=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-=∑，2211649254 3.5 3.55nii x nx =-=+++-⨯⨯=∑，479.45ˆb ==，42ˆˆ9.4 3.59.1ay bx =-=-⨯=，故回归方程为9.194ˆ.y x =+， 当6x =时，9.19.4665.5y =+⨯=. 【点睛】本题考查了回归方程的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题．16．—061【分析】根据所给条件求出把样本中心点代入回归直线方程可以得到关于的方程解出即可得到答案【详解】根据题意可得则这组数据的样本中心点是代入到回归直线方程故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程解题解析：—0.61【分析】根据所给条件求出x ，y ，把样本中心点()x y ，代入回归直线方程 1.4ˆ6ˆyx a +＝，可以得到关于ˆa的方程，解出即可得到答案 【详解】 根据题意可得23453.54x +++== 2.2 3.8 5.5 6.54.54y +++==则这组数据的样本中心点是()3.54.5，代入到回归直线方程 1.4ˆ6ˆyx a +＝ 4.5 1.46 3.ˆ5a∴⨯+＝ ˆ0.61a=- 故答案为0.61- 【点睛】本题考查了线性回归方程，解题的关键是线性回归方程一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一，是线性回归方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．17．【解析】【分析】由题意求出样本中心点然后求解新的样本中心利用回归直线的斜率估计值为求解即可得到答案【详解】有样本数据点集合求得的回归直线方程为且去掉两个数据点和重新求得的回归直线的斜率估计值为回归直解析： 1.20.2y x ∧=+. 【解析】 【分析】由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，利用回归直线l 的斜率估计值为1.2，求解即可得到答案 【详解】 有样本数据点集合(){}11123,...,x y i n =，，，，求得的回归直线方程为 1.2308ˆ.0y x =+，且ˆ4x=， 1.2340.0ˆ85y=⨯+=， 去掉两个数据点()4.15.7，和()3.94.3，，ˆ4x =，ˆ5y =， 重新求得的回归直线l 的斜率估计值为1.2，回归直线方程设为 1.2ˆyx a =+，代入()45，，解得0.2a = ∴回归直线l 的方程为 1.2.2ˆ0y x =+ 故答案为 1.2.2ˆ0yx =+ 【点睛】本题主要考查的是数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键。

必修3统计、概率数学试题(含标准答案)

必修3统计、概率数学试题(含标准答案)

一、选择题：（以下每小题有且仅有一个正确答案，每小题4分，共12题合计48分）1、我校高中生共有2700人,其中高一级900人,高二级1200人,高三级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,则高一、高二、高三各级抽取的人数分别为 ( ) A.45,75,15 B. 45,45,45 C.30,90,15 D. 45,60,302、200辆汽车经过某一雷达地区， 时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为( ) A 、2辆 B 、10辆 C 、20辆 D 、70辆3、右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，下列对乙运动员的判断错误的是 （ ） A ．乙运动员的最低得分为0分 B ．乙运动员得分的众数为31 C ．乙运动员的场均得分高于甲运动员 D ．乙运动员得分的中位数是284、若样本,,21x x …，n x 的平均数、方差分别为x 、2s ，则样本531+x ，532+x ，…，53+n x 的平均数、方差分别为（ ）A ．x 、2sB ．53+x 、2sC ．53+x 、29sD ．53+x 、2)53(+s5、给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x 为某一实数时可使20x <”是不可能事件③“明天顺德要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D.36、下列各组事件中,不是互斥事件的是( )A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于95分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%7、袋中装有6个白球,5只黄球,4个红球,从中任取1球,抽到的不是白球的概率为 ( ) A. 25 B. 415C. 35 D.非以上答案甲 乙8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 4 13 8 9 3 1 6 1 74 48、．设有一个直线回归方程为ˆˆ2 1.5yx =-,则变量x 增加一个单位时( ) A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位C. y 平均减少 1.5 个单位D. y 平均减少 2 个单位9、①学校为了了解高一学生的情况,从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90～100分,12人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m 决赛的6名同学安排跑道.就这三件事,合适的抽样方法为 ( ) A. 分层抽样,分层抽样,简单随机抽样 B. 系统抽样,系统抽样,简单随机抽样 C. 分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样 D. 系统抽样,分层抽样,简单随机抽样10、下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；④线性回归直线必过样本中心点；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究。

(必考题)高中数学必修三第一章《统计》检测题(含答案解析)

(必考题)高中数学必修三第一章《统计》检测题(含答案解析)

一、选择题1．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均不变 B ．这组新数据的平均数为am C ．这组新数据的方差为2a nD ．这组新数据的方差不变2．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④3．在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为125-号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为()A ．95B ．96C ．97D ．984．有线性相关关系的变量有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．5．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08156．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ） A ．30B ．25C ．20D ．157．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为39．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1310．已知x ，y 的取值如表： x 2 6 7 8y若x ，y 之间是线性相关，且线性回归直线方程为，则实数a 的值是A ．B ．C ．D ．11．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变12．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表： 时间周一 周二 周三 周四 周五 车流量x （万辆）100102108114116浓度y （微克）78 80 8488 90根据上表数据，用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程是（ ）参考公式：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =；A ．0.6274ˆ.2yx =+ B ．0.7264ˆ.2y x =+ C ．0.7164ˆ.1y x =+ D ．0.6264ˆ.2y x =+ 二、填空题13．已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.14．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7615．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为______.16．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．17．抽样统计甲、乙两位同学5次数学成绩绘制成如下图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为__________．18．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．19．为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2000名男生中体重在7078()kg ~的人数为__________．20．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：x1 2 3 4 5 y 7.06.5m3.82.2已知x 和y 具有线性相关关系，且回归方程为 1.238.69y x =-+，那么表中m 的值为__________．三、解答题21．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x （单位：亿元）对年盈利额y （单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额i x 和年盈利额i y 的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x ty e λ+=，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．令2i i u x >，()ln 1,2,,10ii v y i ==⋅⋅⋅，经计算得如下数据：xy()1021ii x x =-∑()1021ii yy =-∑uv2621565 26805.36()1021ii uu =-∑()()101iii u u y y =--∑()1021ii v v =-∑()()101iii x x v v =--∑11250130 2.612（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程;（系数精确到0.01）（ⅱ）若希望2021年盈利额y为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额x为多少亿元？（结果精确到0.01）附：①相关系数12211()()()()ni iinni ii ix x y yrx x y y===--=--∑∑∑，回归直线ˆˆˆy a bx=+中：121()()ˆ()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-②参考数据：ln20.693≈，ln5 1.609≈．22．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为 1.70.5n m=-，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单位：万元）的散点图如图所示.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.附：回归直线y bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，a y bx=-.23．某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x的值；并估计出月平均用水量的众数.（2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在[10,12)这一组的用户中抽取多少户？（4）在第（3）问抽取的样本中，从[10,12)[12,14)这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？24．某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如下：-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80) x的分组[0.20,0)企业数13403584（1）估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例；（2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.25．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：x℃272930323335气温()数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，，(,)n n x y 的回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=- 26．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。

2021年必修三统计与概率单元考试题

2021年必修三统计与概率单元考试题

2019-2020学年高二（上）数学1必修三《统计与概率》单元考试题（考试时间：120分钟）班级姓名一、单选题（每小题5分，共40分。

每小题有且只有一个正确选项。

）1．光明中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（）A． B． C． D．2．如图，矩形中点位边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（）A． B． C． D．3．某杂志社对一个月内每天收到的稿件数量进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是（）A． 47，45 B． 45，47 C． 46，46 D． 46，454．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A. B. C. D.5．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲丙相邻的概率为（）A． B． C． D．6．掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是3点的概率为（）A． B． C． D．7．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是()A． 5，10，15，20，25 B． 3，13，23，33，43C． 1，2，3，4，5 D． 2，4，8，16，328．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程为eq \o(y,\s阀))＝7.8x＋40.2.零件数x(个)12345加工时间y(min)50677179表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为()A．55 B．55.8 C．59 D．51二、多选题（每小题5分，共10分。

高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)

高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)

高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)高中数学必修三第三章《概率》章节练题一、选择题（每小题3分，共18分）1.下列试验属于古典概型的有（）。

A.1个B.2个C.3个D.4个2.任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是（）。

A。

B。

C。

D。

补偿训练】一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

3.在全运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手。

若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

4.任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|+|y|≤3中的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

6.如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系是（）。

A。

P1=P2 B。

P1>P2 C。

P1<P2 D。

无法比较二、填空题（每小题4分，共12分）7.一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则a+b能被3整除的概率为（）。

8.已知函数f(x)=log2x，x∈R。

在区间[1,8]上任取一点x，使f(x)≥-2的概率为（）。

补偿训练】已知直线y=x+b，b∈[-2，3]，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是（）。

A。

B。

C。

D。

9.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=√(x)与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组[0,1]的均匀随机数，a=RAND，b=RAND；②做变换，令x=4a，y=√(b)；③判断(x,y)是否在阴影部分中，若是则计数器加1；④重复上述步骤n次，估计S≈n×计数器/.则利用上述方法，当n=时，估计得到的阴影部分的面积S≈（）。

(必考题)高中数学必修三第一章《统计》测试(包含答案解析)(1)

(必考题)高中数学必修三第一章《统计》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元2．2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，下表为某小型工厂2-5月份生产的口罩数（单位：万） 月份x 2 3 4 5 口罩数y4.5432.5口罩数y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a =-+，则a 的值为（ ） A ．6.1B ．5.8C ．5.95D ．6.753．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.54．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．815． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（ ）A ．这10天中有3天空气质量为一级B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日6．网上大型汽车销售某品牌A 型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系 价格（万元） 25 23.5 22 20.5 销售量（辆）30333639已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线性回归方程：8ˆ0ˆybx =+，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ） A ．39 B ．42C ．45D ．507．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和928．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x 人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为（ ） A ．64 B ．96C ．144D ．1609．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A ．90.5B ．91.5C ．90D ．9110．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变11．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位12．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 温度℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数15615013212813011610489937654根据上表数据确定的线性回归方程应该是（ ）A ．ˆ 2.352147.767yx =-+ B ．ˆ 2.352127.765yx =-+ C ．ˆ 2.35275.501yx =+D ．ˆ 2.35263.674yx =+ 二、填空题13．已知某产品连续4个月的广告费i x （千元）与销售额i y （万元）（1,2,3,4i =）满足4115ii x==∑，4112i i y ==∑，若广告费用x 和销售额y 之间具有线性相关关系，且回归直线方程为^y bx a =+，0.6b =，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为___万元. 14．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________15．某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．16．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为______.17．已知一组数据：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5，则该数据的方差是__________． 18．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表：X 1011.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．19．某中学调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30.根据直方图，这400名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是__________人．20．某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则19a b+的最小值为__________．三、解答题21．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9x （2）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：77211134.4,140i ii i i x yx ====∑∑.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-22．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下： 年份 2014 2015 20162017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 6 数量y （辆）4196116190218275（1）若该小区私家车的数量y 与年份编号x 的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x 的线性回归方程，并用相关指数2R 分析其拟合效果（2R 精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位. 参考数据：61936ii y==∑，614081i i i x y ==∑，62191ii x ==∑，()62137586i i y y=-=∑.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-，相关指数()()221211ni ii n ii y y R yy==-=--∑∑，残差e y y =-.23．2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．某读书APP 抽样调查了非一线城市M 和一线城市N 各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．（1）请填写以下22⨯列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？活跃用户 不活跃用户 合计城市M 城市N 合计（2）以频率估计概率，从城市M 中任选2名用户，从城市N 中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（3）该读书APP 还统计了2018年4个季度的用户使用时长y （单位：百万小时），发现y 与季度（x ）线性相关，得到回归直线为ˆ4ˆyx a =+，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（5x =）该读书APP 用户使用时长约为多少百万小时． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.001 0k5.0246.6357.87910.82824．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x （分钟）时刻的细菌个数为y 个，统计结果如下：x 1 2 3 4 5 y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x ，y 的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yx n axby bx ====---∑∑） 25．某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）（2）某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,...,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.（参考公式：s =（3）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为35,55,105米，每个售价相应依次为1500,2000,4000元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：22221044100,19236864,11012100===）26．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如22⨯下列联表：（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b cd =+++.独立性检验临界值表：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】试题分析：根据线性回归方程=50+80x 的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可． 解：根据线性回归方程为=50+80x ，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A 正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B 正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C 错误；当月工资为210元时，210=50+80x ，解得x=2， 此时劳动生产率约为2000元，D 正确． 故选C ．考点：线性回归方程．2．C解析：C 【分析】求得 3.5x y ==，得到样本中心点(3.5,3.5)，再把样本中心点代入回归直线方程得解. 【详解】由表可得 3.5x y ==，带入线性回归方程中有 3.50.7 3.5 5.95=+⨯=a ， 故选：C . 【点睛】本题考查利用线性相关关系求回归直线方程，属于基础题.3．A解析：A 【分析】计算得到 4.5x =，114t y +=，代入回归方程计算得到答案. 【详解】3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144t t y ++++==，中心点(),x y 过ˆ0.70.35yx =+， 即114.50.70.354t +=⨯+，解得3t =. 故选：A . 【点睛】本题考查了回归方程的相关问题，意在考查学生的计算能力.4．A解析：A 【解析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解． 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C 【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果. 【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A 正确； 从图可知从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低，所以B 正确； 从图可知，这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日，所以D 正确； 由图可知，这10天中 2.5PM 日均值的中位数是4145432+=，所以C 不正确； 故选C. 【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.6．B解析：B 【解析】分析：先求均值，确定ˆb，再求自变量为19对应函数值得结果. 详解：因为2523.52220.5330333639122,344442x y ++++++====，所以1348022,3224ˆb-==- 所以19(2)8042y =⨯-+=选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .7．A解析：A 【解析】8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87，89,90,91,92,93,94,96，中位数是91,92,的平均数91.5，平均数是87+89+90+91+92+93+94+968=91.58．D解析：D 【解析】 【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816，因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人，即可求出20～30岁年龄段的人数. 【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816, 因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人,所以，20～30岁龄段的人有480128192160--=，故选D. 【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题9．A解析：A 【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可. 【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95， 所以中位数为90+91=90.52，故选A. 【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.10．A解析：A 【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，，所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势． 【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．11．C解析：C 【解析】 【分析】细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论. 【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-， 当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位， 即减少1.5个单位，故选C. 【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目.12．A解析：A 【解析】分析：先观察表中数据的规律，确定回归系数b 的符号，再计算x 和y ，代入选项确定正确答案.详解：由表中数据规律发现：热饮杯数y 随当天气温x 升高而减少，则0b <，排除C 、D. 计算1169=(504712151923273136)1111x -++++++++++= 11228=(15615013212813011610489937654)111.641111y ++++++++++=≈ 将x 代入选项A ，得1692.352147.767111.6311ˆy=-⨯+= 将x 代入选项B ，得1692.352127.76591.6311ˆy=-⨯+= 所以选项A 正确. 故选A.点睛：本题考查线性回归方程的求法与应用，一次项系数b 符号的判断和回归直线过样本中心点(,)x y 是解题关键.二、填空题13．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令x＝5解得y 即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（3）又回归直线过（3）即3＝06×+解得＝所以回归直线方程为y ＝06x+令x ＝5时解析：75 【解析】 【分析】计算x ，y ，然后将x ，y 代入回归直线得a ，从而得回归方程，然后令x ＝5解得y 即为所求． 【详解】 ∵4115i i x ==∑，∴154x =， ∵4112i i y ==∑，∴1234y ==， ∴样本中心点为（154，3）， 又回归直线0.6ˆyx a =+过（154，3），即3＝0.6×154+a ，解得a ＝34， 所以回归直线方程为y ＝0.6x +34， 令x ＝5时，y ＝0.6×5+34＝3.75万元 故答案为：3.75． 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，以及利用线性回归方程进行预测，要注意回归直线必过样本中心点.14．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18 【解析】 【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，即可解得. 【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，解得18x =. 【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.15．25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果详解：因为成绩在80分以下的概率为所以成绩在80分以上的概率为因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长解析：25 【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为(0.0050.03+0.0410=0.75+⨯），所以成绩在80分以上的概率为10.750.25-=，因此成绩在80分以上的人数为0.25100=25.⨯点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.16．2【解析】分析：根据方差的计算公式先算出数据的平均数然后代入公式计算即可得到结果详解：平均数为：即答案为2点睛：本题考查了方差的计算解题的关键是方差的计算公式的识记它反映了一组数据的波动大小方差越大解析：2 【解析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果． 详解：平均数为：2345645+++++=，()22222211[2434445464]4114255s =⨯-+-+-+-+-=⨯+++=（）（）（）（）（）．即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．1【解析】分析：先利用平均数公式求出平均数再利用方差公式即可得结果详解：的平均数为的方差为故答案为点睛：本题考查主要考查平均数公式与方差公式属于基础题样本数据的算术平均数公式；样本方差公式标准差解析：1 【解析】分析：先利用平均数公式求出平均数，再利用方差公式即可得结果. 详解：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5的平均数为5.7+5.8+6.1+6.4+6.56.15=，5.7,5.8,6.1,6.4,6.5∴的方差为()()()()()222225.76.1+5.8 6.1+6.1 6.1+6.4 6.1+6.5 6.10.15-----=，故答案为0.1.点睛：本题考查主要考查平均数公式与方差公式，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式12n 1(x +x +...+x )x n =；样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，标准差s =18．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b 的正负，决定正相关与负相关.19．280【解析】由频率分布直方图得这名大学生中每周的自习时间不少于小时的频率为这名大学生中每周的自习时间不少于小时的人数为故答案为解析：280 【解析】由频率分布直方图得这400名大学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为()0.16+0.080.04 2.50.7,+⨯=∴这400名大学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为4000.7280⨯=，故答案为280.20．2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得∴当且仅当即时取等号故答案为2解析：2 【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得8a b += ∴1911919191()()(19)(10)(1023)28888b a b a a b a b a b a b a b +=⨯++=+++=++≥+⨯=，当且仅当9b aa b=，即36b a ==时，取等号 故答案为2三、解答题21．（1）0.5 2.3y x =+；（2）6800元. 【分析】（1）根据表中数据计算出4x =， 4.3y =，再结合参考数据利用公式即可计算出,b a ，进而得出线性回归方程； （2）将9x =代入即可预测. 【详解】解：（1）由表可得：123456747++++++==x ，2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y ++++++==，又77211134.4,140i ii i i x yx ====∑∑，71722217134.474 4.30.5140747i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 4.30.54 2.3a y bx ∴=-=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为0.5 2.3y x =+；（2）由（1）可得：0.5 2.3y x =+，∴当9x =时，0.59 2.3 6.8y =⨯+=，即该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为6800元. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查由线性回归方程进行预测，属于基础题. 22．（1）ˆ465yx =-；拟合效果较好；（2）至少需要规划409个停车位 【分析】（1）由已知数据求得ˆb与ˆa 的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得2R ，根据与1的接近程度分析拟合效果；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取9x =求得y 值即可． 【详解】 解：（1）1(123456) 3.56x =+++++=，19361566y =⨯=．6162221640816 3.5156ˆ46916356i ii ii x yxy bxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ15646 3.55ay bx =-=-⨯=-． y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ465y x =-．1x =时，ˆ41y=，2x =时，ˆ87y =，3x =时，ˆ133y =， 4x =时，ˆ179y=，5x =时，ˆ225y =，6x =时，ˆ271y =． 621()556ii i yy =-=∑．6221621()556110.9737586()ii i ii yy R yy ==-=-=-≈-∑∑， 相关指数2R 近似为0.97，接近1，说明拟合效果较好； （2）在（1）中求得的线性回归方程中，取9x =， 可得ˆ4695409y=⨯-=． 故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划409个停车位． 【点睛】本题考查线性回归方程与相关指数的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 23．(1)见解析；(2)见解析；(3) 22.3百万小时 【分析】（1）根据频率分布直方图求数据填入对应表格，再根据卡方公式求2K ，最后对照数据作判断，（2）先确定随机变量取法，再判断从M 城市中任选的2名用户中活跃用户数服从二项分布，从N 城市中任选的1名用户中活跃用户数服从两点分布，进而求得对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得期望，（3）先求均值，解得ˆa，再估计5x =对应函数值. 【详解】（1）由已知可得以下22⨯列联表：计算()2220060208040200K 9.5247.8791001001406021⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ ， 所以有99．5%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关． （2）由统计数据可知，城市M 中活跃用户占35，城市N 中活跃用户占45， 设从M 城市中任选的2名用户中活跃用户数为X ，则3~2,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭设从N 城市中任选的1名用户中活跃用户数为Y ，则Y 服从两点分布，其中()415P Y ==． 故0,1,2,3ξ=，()()()20221400055125P P X P Y C ξ⎛⎫===⋅==⋅=⎪⎝⎭； ()()()()()2012224321*********555125P P X P Y P X P Y C C ξ⎛⎫===⋅=+=⋅==⋅+⋅⋅⋅=⎪⎝⎭；()()()()()2122223431572112055555125P P X P Y P X P Y C C ξ⎛⎫===⋅=+=⋅==⋅⋅+⋅⋅=⎪⎝⎭；()()()222343632155125P P X P Y C ξ⎛⎫===⋅==⋅= ⎪⎝⎭． 故所求ξ的分布列为()428573601232125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由已知可得 2.5x =，又12.3y =，可得12.34ˆ2.5a=⨯+，所以ˆ 2.3a =，所以4 2.3ˆy x =+． 以5x =代入可得ˆ22.3y=（百万小时）， 即2019年第一季度该读书APP 用户使用时长约为22.3百万小时． 【点睛】本题考查频率分布直方图、回归直线方程以及分布列和数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题.24．（Ⅰ）图象见解析，正相关；（Ⅱ）ˆ0.7 1.5yx =+，当15x =时细菌个数为12个. 【分析】（Ⅰ）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果； （Ⅱ）利用公式代入数据计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（Ⅱ）由数据计算得，()11234535x =⨯++++=，()123445 3.65y =⨯++++=，1122334445561ni ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，22222211234555n i i x ==++++=∑122216153 3.67ˆ0.7555310ni ii ni i x y nx yxbx n ==-⨯⨯====-⨯--∑∑，ˆˆ 3.60.73 1.5a y bx =-=-⨯=， 所以ˆ0.7 1.5yx =+， 当0.7 1.512x +=时，解得15x =. 所以当15x =时细菌个数为12个. 【点睛】本题考查了散点图、线性回归方程及其应用，属于基础题.25．（1）中位数为71.4；平均数为71；（2）平均数为90；标准差为53）3700元.【分析】（1）利用频率分布直方图能求出中位数、平均分；（2）由题意，求出剩余8个分数的平均值，由10个分数的标准差，能求出剩余8个分数的标准差；（3）求出将3座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费． 【详解】（1）因为0.050.150.250.450.5++=<0.050.150.250.350.80.5+++=> 所以中位数为x 满足7080x <<由80()0.350.10.10.510x -⨯++=，解得608071.47x =-≈ 设平均分为y ，则0.05450.15550.25650.35750.1850.19571y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意，剩余8个分数的平均值为01010080908x x --==因为10个分数的标准差6s ==所以2222110...10(6)10(90)81360x x ++=⨯+⨯=所以剩余8个分数的标准差为0s ===（3）将3座教学楼完全包裹的球的最小直径为：210=<=因此若用一个覆盖半径为105米的屏蔽仪则总费用为4100元；70<= 因此若用3个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为4800元； 将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径为：110=<=70>=因此若用1个覆盖半径为55米和1个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为3700元； 所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为3700元. 【点睛】本题考查中位数、平均数、标准差、最小费用的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．（1）分布列见解析，1；（2）0.10=P ，理由见解析. 【分析】（1）按照分层抽样计算“科学用眼”和“不科学用眼”的抽取人数，随机变量X 的取值可能为0，1，2，然后计算概率得出分布列及其数学期望； （2）按照公式计算2K 的值，然后由临界值表得出结果即可. 【详解】（1）“科学用眼”抽156245⨯=人，“不科学用眼”抽306445⨯=人，则随机变量X0=，1，2，∴343641(0)205====CP XC，122436123(1)205C CP XC====，21243641(2)205C CP XC====，分布列为：0120121555EX=⨯+⨯+⨯=；（2）22100(45153010)3.03075255545⨯-⨯=≈⨯⨯⨯K，由表可知2.706 3.030 3.840<<，∴0.10=P.【点睛】本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查独立性检验，考查逻辑思维能力和计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于常考题.。

(易错题)高中数学必修三第一章《统计》测试题(包含答案解析)

(易错题)高中数学必修三第一章《统计》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（C︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：︒171382月平均气温x C月销售量y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a=+中的2b=-，气象部门预测下个月的平均气温为6C︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）A．58件B．40件C．38件D．46件2．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A．45,75,15 B．45,45,45 C．45,60,30 D．30,90,15a a>得到一组新3．一组数据的平均数为x，方差为2s，将这组数据的每个数都乘以()0数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均数为x B．这组新数据的平均数为a x+C．这组新数据的方差为2as D．这组新数据的标准差为2a s4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，⋯，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号200,480的人数为落入区间[]A．7 B．9 C．10 D．125．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B ．该校只有50名学生不喜欢阅读C ．该校只有50名学生喜欢阅读D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸6．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,47．网上大型汽车销售某品牌A 型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系 价格（万元） 25 23.5 22 20.5 销售量（辆）30333639已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线性回归方程：8ˆ0ˆybx =+，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ） A ．39B ．42C ．45D ．508．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．139．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A ．90.5B ．91.5C ．90D ．9110．已知x ，y 的取值如表： x 2 6 7 8y若x，y之间是线性相关，且线性回归直线方程为，则实数a的值是A．B．C．D．11．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲.乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合12．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为A．12 B．14 C．16 D．18二、填空题13．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发.市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最小值是______.14．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为__________．15．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是____________.16．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．17．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．18．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为______.19．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1 ，0，4，x，y，14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．20．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．三、解答题21．据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累．某课题研究组欲研究昼夜温差大小()/x ℃与某植物糖积累指数()/y GI 之间的关系，得到如下数据:组数 第一组 第二组第三组第四组第五组第六组昼夜温差/℃x1011 13 12 8 6某植物糖积累指数/y GI20 24 30 28 18 15下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据．（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2．58，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想?（参考公式:回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计()()()211ˆˆˆ,iii ni ni x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ 22．某市政府针对全市10所由市财政投资建设的企业进行了满意度测评，得到数据如下表： 企业abcdefghij满意度x （%） 21 33 24 20 25 21 24 23 25 12 投资额y （万元）79868978767265625944y x （2）约定：投资额y 关于满意度x 的相关系数r 的绝对值在0.7以上（含0.7）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则根据满意度“末位淘汰”规定，关闭满意度最低的那一所企业，求关闭此企业后投资额y 关于满意度x 的线性回归方程（精确到0.1）.参考数据：22.8x =，71y =，1022110248i i x x =-≈∑，643.7，10110406i i i x y x y =-=∑，222851984=，2287116188⨯=.附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.线性相关系数ni ix y nx yr -=∑.23．学校食堂统计了最近5天到餐厅就餐的人数x （百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量y （袋），得到如下统计表：（1）根据所给的5组数据，求出关于的线性回归方程ˆˆybx a =+； （2）已知购买食材的费用C （元）与数量y （袋）的关系为()()40020,036380,36y y x N C y y y N ⎧-<<∈⎪=⎨≥∈⎪⎩，投入使用的每袋食材相应的销售单价为700元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1500人到食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑24．假设关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：由资料可知y 对x 呈线性相关关系． （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）请估计该设备使用年限为15年时的维修费用.参考公式：线性回归方程y bx a =+的最小二乘法计算公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，参考数据：5115263748510120i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑25．某土特产销售总公司为了解其经营状况，调查了其下属各分公司月销售额和利润，得到数据如下表：在统计中发现月销售额x 和月利润额y 具有线性相关关系．(Ⅰ)根据如下的参考公式与参考数据，求月利润y 与月销售额x 之间的线性回归方程； (Ⅱ)若该总公司还有一个分公司“雅果”月销售额为10万元，试求估计它的月利润额是多少？(参考公式：1221ni i i n i i x y nx y b x nx==-⋅=-∑∑，a y b x =-，其中：1112niii x y ==∑，21200)nii x==∑．26．经营费用指流通企业对在经营过程中发生除经营成本以外的所有费用，如管理费用、财务费用、法律费用等，这些费用没有直接用于生产产品或提供服务，但它是影响公司收益的重要因素．某创业公司从2014年开始创业到2019年每年的经营费用y （万元）、年份及其编号t ，有如下统计资料：y 9.5 12.2 14.6 17.4 19.6 m已知该公司从2014年到2019年年平均经营费用为16万元，且经营费用y 与年份编号t 呈线性相关关系．（1）求2019年该公司的经营费用；（2）y 关于t 的回归方程为 2.6y t a =+，求a ，并预测2020年所需要支出的经营费用； （3）该公司对2019年卖出的产品进行质量指标值检测，由检测结果得如图所示频率分布直方图：预计2020年生产产品质量指标值分布与上一年一致，将图表中频率作为总体的概率．当每件产品质量指标值不低于215时为优质品，指标值在185到215之间是合格品，指标值低于185时为次品．出售产品时，每件优质品可获利1.5万元，每件合格品可获利0.7万元，次品不仅全额退款，还要对客户进行赔付，所以每件次品亏损1.3万元．若2020年该公司的产量为500台，请你预测2020年该公司的总利润（总利润=销售利润-经营费用）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+上且2b =-，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58yx =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.2．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 3．D解析：D 【分析】根据平均数及方差的定义可知，一组数据的每个数都乘以a 得到一组新数据，平均值变为原来a 倍，方差变为原来2a 倍. 【详解】设一组数据1234,,,,,n x x x x x ⋯的平均数为x ，方差为2s , 则平均值为()12341n ax ax ax ax ax ax n++++⋯+=， ()()()()()22222212341n s x x x xx xx xx x n ⎡⎤=-+-+-+-+⋯+-⎢⎥⎣⎦，()()()()()222222212341n ax axax axax axax axax ax a s n ⎡⎤∴-+-+-+-+⋯+-=⋅⎢⎥⎣⎦故选：D. 【点睛】本题主要考查了方差，平均数的概念，灵活运用公式计算是解题关键，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以301=-n a n 为通项公式的等差数列，令*200301480,≤-≤∈n n N ，解不等式可得结果． 【详解】每组人数=9603230÷=人，即抽到号码数的间隔为30，因为第一组抽到的号码为29，根据系统抽样的定义，抽到的号码数可组成一个等差数列，且*2930(1)301,=+-=-∈n n n n N a ，令200301480≤-≤n ，得2014813030≤≤n ，可得n 的取值可以从7取到16，共10个，故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键．5．A解析：A 【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果. 【详解】根据频率分布直方图可列下表：故选A. 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.6．C解析：C 【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为0.47.6y x =-+，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B ：根据表中数据：x =9．可得y =4．即()16+3244m ++=，解得：m=5． 对于C ：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D ：由线性回归方程一定过（x ，y ），即（9，4）． 故选：C ．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.7．B解析：B 【解析】分析：先求均值，确定ˆb，再求自变量为19对应函数值得结果.详解：因为2523.52220.5330333639122,344442x y++++++====，所以1348022,3224ˆb-==-所以19(2)8042y=⨯-+=选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y.8．C解析：C【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．9．A解析：A【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95，所以中位数为90+91=90.52，故选A.【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题. 10．B解析：B【分析】根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标．【详解】根据题意可得，，由线性回归方程一定过样本中心点，．故选：B．【点睛】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．11．A解析：A【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（s，t），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（s，t）．【详解】∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是（s，t）∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线l1和l2都过点（s，t）∴两条直线有公共点（s，t）故选A．【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．12．C解析：C【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数.根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为421105020=， 则在高三年级抽取的人数是14001625⨯=人， 故选C. 【点睛】该题所考查的是有关分层抽样的问题，在解题的过程中，需要明确无论采用哪种抽样方法，都必须保证每个个体被抽到的概率是相等的，所以注意成比例的问题.二、填空题13．4【分析】首先设个班抽取的人数由小到大分别为根据题意得到再求数据中的最小值即可【详解】设个班抽取的人数由小到大分别为由题知：即若时则则四个数为：或此时一定有相同的数与已知矛盾若时则则四个数为：此时为解析：4 【分析】首先设5个班抽取的人数由小到大分别为12345,,,,x x x x x ，根据题意得到()()()()()22222123457777720x x x x x -+-+-+-+-=，再求数据中的最小值即可.【详解】设5个班抽取的人数由小到大分别为12345,,,,x x x x x ，由题知：()()()()()222221234517777745x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦， 即()()()()()22222123457777720x x x x x -+-+-+-+-=. 若13x =时，则()()()()2222234577774x x x x -+-+-+-=， 则()()()()222223457,7,7,7x x x x ----四个数为：1,1,1,1或4,0,0,0， 此时2345,,,x x x x 一定有相同的数，与已知矛盾.若14x =时，则()()()()22222345777711x x x x -+-+-+-=， 则()()()()222223457,7,7,7x x x x ----四个数为：1,0,1,9， 此时12345,,,,x x x x x 为4,6,7,8,10，符合题意. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查方差的定义，熟记定义为解题的关键，属于中档题.14．8【分析】先设五个班的人数分别为样本平均数为5又因样本方差为4则代入大于且不相等的整数可得的值依次为24568即可得最大值【详解】解:设五个班的人数分别为则则所以的值依次为24568即有最大值为8故解析：8 【分析】先设五个班的人数分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,样本平均数为5,1234525a a a a a ++++=,又因样本方差为4,则()()()()()22222123455555520a a a a a -+-+-+-+-=,代入大于0且不相等的整数,可得1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的值依次为2,4,5,6,8,即可得最大值. 【详解】解:设五个班的人数分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a , 则()12345155a a a a a ++++=, 15()()()()()2222212345555554a a a a a ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 则1234525a a a a a ++++=,()()()()()22222123455555520a a a a a -+-+-+-+-=,所以1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的值依次为2,4,5,6,8, 即有最大值为8. 故答案为: 8 【点睛】本题考查利用平均数公式和方差公式求样本数据中的最大值,是基础题.合理应用公式是关键.15．1【分析】因为题目中要去掉一个最高分所以对进行分类讨论然后结合平均数的计算公式求出结果【详解】若去掉一个最高分和一个最低分86分后平均分为不符合题意故最高分为94分去掉一个最高分94分去掉一个最低分解析：1 【分析】因为题目中要去掉一个最高分，所以对x 进行分类讨论，然后结合平均数的计算公式求出结果 【详解】若4x >，去掉一个最高分()90x +和一个最低分86分后，平均分为()1899291949291.65++++=，不符合题意，故4x ≤，最高分为94分，去掉一个最高分94分，去掉一个最低分86分后，平均分()18992909192915x +++++=，解得1x =，故数字x 为1 【点睛】本题考查了由茎叶图求平均值，理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果，注意分类讨论16．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1解析：1 【解析】 【分析】设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯ ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，由此能求出这组数据的标准差． 【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ， 则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，∴这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯= ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，∴这组数据的标准差1S =．故答案为1． 【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力解析：1 【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果. 详解：7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=． 点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.18．2【解析】分析：根据方差的计算公式先算出数据的平均数然后代入公式计算即可得到结果详解：平均数为：即答案为2点睛：本题考查了方差的计算解题的关键是方差的计算公式的识记它反映了一组数据的波动大小方差越大解析：2【解析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果． 详解：平均数为：2345645+++++=，()22222211[2434445464]4114255s =⨯-+-+-+-+-=⨯+++=（）（）（）（）（）．即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．19．【解析】分析：根据中位数为求出是代入平均数公式可求出从而可得出平均数代入方差公式得到方差详解中位数为这组数据的平均数是可得这组数据的方差是故答案为点睛：本题主要考查平均数与方差属于中档题样本数据的算 解析：743【解析】分析：根据1,0,4,,,14x y -中位数为5，，求出x 是6 ，代入平均数公式，可求出7y =，从而可得出平均数，代入方差公式，得到方差. 详解1,0,4,,7,14x -中位数为45,52x+∴=，6x ∴=，∴这组数据的平均数是10461456y -+++++=，7y =可得这组数据的方差是()17436251148163+++++=，故答案为743. 点睛：本题主要考查平均数与方差，属于中档题.样本数据的算术平均数公式为12n 1(x +x +...+x )x n=．样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-. 20．35【解析】79+78+80+80+x+85+92+967=85解得x=5根据中位数为83可知y=3故yx=35 解析：【解析】,解得,根据中位数为,可知,故.三、解答题21．（1）171277y =⨯；（2）该小组所得线性回归方程是理想的． 【分析】（1）根据数据求出ˆb与ˆa 的值，即可求出y 关于x 的线性回归方程； （2）分别计算出1月份和6月份对应的预测值，与检验数据作差取绝对值，再与2.58进行比较即可得到结论． 【详解】（1）由表中2月至5月份的数据， 得11(1113128)11,(24302818)2544x y =+++==+++=，故有()()520(1)2513(3)(7)34iii x x y y =--=⨯-+⨯+⨯+-⨯-=∑，()5222222021(3)14ii x x =-=+++-=∑，34171712,251114777b a y bx ∴===-=-⨯=-， 即y 关于x 的线性回归方程为171277y =⨯； （2）由171277y =⨯，当10x =时，171215810777y =⨯-=， 1581820 2.5877-=<， 当6x =时，1712906777y =⨯=， 901515 2.5877-=<， 则该小组所得线性回归方程是理想的． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，解题方法如下：（1）结合题中所给的数据，根据最小二乘法系数公式起的ˆb与ˆa 的值，得到回归直线方程；（2）将相应的变量代入，得到的值域题中条件比较，得到结论. 22．（1）0.63；（2）ˆ0.757.4yx =+. 【分析】（1）代入公式即可得出结果.（2）由（1）可知，因为0.630.7<，所以投资额y 关于满意度x 没有达到较强线性相关，所以要关闭j 企业.重新计算，代入公式即可求出结果. 【详解】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得10104060.63643.7i ix yx yr -=≈≈∑ （2）由（1）可知，因为0.630.7<，所以投资额y 关于满意度x 没有达到较强线性相关，所以要关闭j 企业. 重新计算得22.810122162499x ⨯-'===，7110446667499y ⨯-'===， 922222192481022.812924118.4i i xx ='-≈+⨯--⨯=∑， 9194061022.87112449247482iii x yx y =''-≈+⨯⨯-⨯-⨯⨯=∑.所以919221982ˆ0.690.7118.49i ii ii x yx y bxx ==''-=≈≈≈'-∑∑， ˆˆ740.692457.4457.4ay bx ''=-≈-⨯=≈. 所以所求线性回归方程为ˆ0.757.4yx =+. 23．（1） 2.51y x =-；（2）食堂购买36袋食，能获得最大利润，最大利润为11520元. 【分析】（1）本题首先可根据题中所给数据求出x 、y ，然后根据51522155i ii ii x y x yb xx==-⋅=-∑∑求出b ，最后根据a y bx =-求出a ，即可得出结果；（2）本题首先可根据 2.51y x =-得出预计需要购买食材36.5袋，然后分为36y <、36y ≥两种情况进行讨论，分别求出最大值后进行比较，即可得出结果.【详解】（1）由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii ii x y x yb xx==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-，故y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-.（2）因为 2.51y x =-，所以当15x =时36.5y =，即预计需要购买食材36.5袋，因为()()40020,036380,36y y x N C y y y N ⎧-<<∈⎪=⎨≥∈⎪⎩， 所以当36y <时，利润()7004002030020L y y y =--=+， 此时当35y =时，max 300352010520L =⨯+=， 当36y ≥时，由题意可知，剩余的食材只能无偿退还， 此时当36y时，700363803611520L =⨯-⨯=，当37y =时，利润70036.53803711490L =⨯-⨯=，综上所述，食堂应购买36袋食，才能获得最大利润，最大利润为11520元. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查回归方程的应用，考查学生的数据处理能力以及运算求解能力．考查分类讨论思想，属于中档题． 24．（1） 1.2 3.6y x =+；（2）21.6万元． 【分析】（1）先求出年限x 和维修费用y 的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a 值，即得线性回归方程； （2）将15x =代入回归直线方程即可求得结果. 【详解】 （1）1234535x ++++==，5678107.25++++==y51120i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑25945nx =⨯=，537.2108nx y =⨯⨯=∴1201081.25545b -==-，7.2 1.23 3.6a =-⨯=∴y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.6y x =+（2）在上述回归方程中，当15x =时得21.6y = ∴该设备使用年限为15年时的维修费用大约为21.6万元． 【点睛】本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，准确合理的运算是解决此类问题的关键，考查运算能力，属于基础题.25．（1）ˆ0.50.4yx =+（2）5.4万元 【解析】 试题分析：(1)首先由题意求得平均数6, 3.4x y ==，然后利用系数公式计算可得回归方程为0.5.4ˆ0yx =+ .(2)由题意结合(1)中的结论预测可得“雅果”分公司的月利润额是5.4万元. 试题(Ⅰ) 由已知数据计算得：5n =，6, 3.4x y ==1221511256 3.40.5,20056653.40.560.4ni i i n i i x y xy b x x a ==--⨯⨯===-⨯⨯-=-⨯=∑∑∴线性回归方程为0.5.4ˆ0yx =+ (Ⅱ)将x =10代入线性回归方程中得到0.5100.4ˆ 5.4y=⨯+=（万元） ∴估计“雅果”分公司的月利润额是5.4万元26．（1）22.7万元；（2）6.9；25.1万元；（3）254.9万元. 【分析】（1）根据均值定义列式计算；（2）求出t ，代入方程可得a ，令7t =代入可得估计值；（3）由频率分布直方图是三种产品的概率，得三种产品的件数，根据各产品赢利可计算出总赢利，注意减去（2）中估计的经营费用． 【详解】 （1）9.512.214.617.419.6166my +++++==．解得22.7m =，即2019年该公司的经营费用为22.7万元． （2） 3.5t =，16y =，所以 2.6 6.9a y t =-=，取7t =，代入得25.1y =，预测2020年所需要支出的经营费用为25.1万元． （3）由图可得生产优质品的概率是0.1，生产合格品的概率是0.79，生产次品的概率是0.11，则预测该公司2020年的总利润为1.50.15000.70.79500 1.30.1150025.1254.9⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-=（万元）． 【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查频率分布直方图及其期望，考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．。

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20
C. 0.35
D. 0.3
、选择题（共60 分）
1. 下列说法正确的是（
）
A. 任何事件的概率总是在（0, 1）之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D. 概率是随机的，在试验前不能确定
2. 有两个问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内 有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;②从20名学生中选出3
人参加座谈会•则下列说法中正确的是 A.①随机抽样法②系统抽样法 B. C.①系统抽样法②分层抽样法
D.
A
3 •设有一个直线回归方程为 y 2
A. y 平均增加1.5个单位 C. y 平均减少1.5个单位 （）
①分层抽样法②随机抽样法 ①分层抽样法②系统抽样法
A
1.5x ,则变量x 增加一个单位时（）
B. y 平均增加2个单位 D. y
平均减少2个单位
已知x,y 的关系符合线性回归方程$ $x $其中$
20 a y $x •当单价为4.2元时,
B. 22 C . 24 D . 26
5. 从一批产品中取出三件产品，设 A= “三件产品全不是次品”，B= “三件产品全是次品”， C= “三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A. A 与C 互斥
B. 任何两个均互斥
C. B 与C 互斥
D.
任何两个均不互斥
6. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件 C = ｛抽到三等品｝，且已知 P （A ） = 0.65 ,P （B ）=0.2 ,P （C ）=0.1 。

则事件“抽到的不是一等 品”的概率为（ ）
4.某小卖部销售一品牌饮料的零售价 x （元/瓶）与销量y （瓶）的关系统计如下:
估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为 （）
A. 0.7
B. 0.65
C.20 辆
44
A. 44
45 9.取一根长度为
成绩的茎叶图如图，贝U 甲班、乙班的最
7.200辆汽车经过某一雷达地区,
时速频率分布直方图如右图所示, 则时速超过70km/h 的汽车数量为（） A.2 辆 B.10 辆
D. 70 辆
8.盒中有10个大小、形状完全相同的小
球，其中 少有1个白球的概率是（）
1 1
B. 1
C.丄
5
45
3m 的绳子拉直后在任意位置剪断
8个白
球、2个红球，则从中任取2球，至
D .89
90
,则剪断后两段绳子的长度均不小于 1m 的概
的点数之和不小于10的概率为
14.甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验,
率为（）
1
A . 1B. 2 D. 不能确定 10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字, 记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为b ，其中a,b 1,2,3,4,5,6 ，若a 1，就称甲乙“心有灵犀”。

现任意 找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ 1 2 A.丄
B . 2 9 9
11. 已知正棱锥S — ABC 1
V P ABC V S ABC 的概率是（ 2 A 3 7 A. B.- 4 8 12. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 C . Z 18 的底面边长为4 ,
D . 3，在正 棱锥内任取一点 P ，使得 C.
1
2
n 作为点
D. 1
4
P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2
=25外的概 率是（）
A. § 36 C. 5 12
D
E
、填空题。

(共 20 分)
13.每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以 1、 2、 3、 4、5、6） •连续抛掷2次，贝U 2次向上
咼成绩各是 ，从图中看
班的平均成绩较高。

5 7
6 2 5 9
7
2 5 7 8 9
3 1
4 4 7 9 9 2
(16
15•已知｛x 1,x 2, x 3,……x n ｝的平均数为1,方差是2,则3x 1 _____ ，万差疋 __________ 。

16. ______________________________________________ 如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒 子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是 _______________________________________________ .
三、解答题
17. （满分12分）有编号为A,A 2丄，Ao 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数 据: 编号
A A 2 A A A A A A 8 A 9 A 0
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品。

（1） 从上述10个零件中随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率； （2） 从一等品零件中，随机抽取2个：
① 有零件的编号列出所有可能的抽取结果； ② 求这2个零件直径相等的概率。

18. （满分10分）已知一批产品共有10件，其中8件正品,2件次品.
（1） 若从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的均为正品的概率； （2） 若从中一次取出3件，求3件均为正品的概率.
19. （满分14分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取 40名学生的笔试成绩，按 成绩共分成五组：第1组［75,80），第2组［80,85］，第3组［85,90］，第4组［90,95］，第5
8
9
4 1 8
7 5
4 2 1 7
4
4 6
2,
2的平均数是
组［95,100］，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生
（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图。

（2）根据样本频率分布直方图估计样本的众数，中位数和平均数。

⑶如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中选出5人，再从这5人中选2人, 那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
20. （ 12分）满分一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1, 2, 3, 4. （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求*m+2的概率。

21. （满分12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料：
若由资料知y对x呈线性相关关系。

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程y bx a的回归系数a,b ；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
n
洛y i nx y
b i 1 a y bx
n
2 2
x i nx。

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