北京市首都师范大学附属中学2019-2020年初二上期中数学试卷
2019-2020学年北京师大附属实验中学八年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等3．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）4．如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是（）A．38°B．48°C．62°D．70°5．下列各式分解因式正确的是（）A．（a2+b2）﹣（a+b）＝（a+b）（a+b﹣1）B．3x2﹣6xy﹣x＝x（3x﹣6y）C．a2b2﹣ab3＝ab2（4a﹣b）D．x2﹣5x+6＝（x﹣1）（x﹣6）6．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°9．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4B．6C．7D．810．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上二．填空题（共8小题）11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．12．已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是边形．13．如果x2+mx+1＝（x+n）2，且m＞0，则n的值是．14．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．15．若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为．16．如图，△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB 的动点，则BD+DE的最小值是．17．已知a+b＝4，ab＝﹣5，则﹣ab＝．18．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三．解答题19．因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）20．因式分解：（2a+b）2﹣（a+2b）221.如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C1的坐标；（2）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．22.如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q；23.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．24.如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．25.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到（a+a）2＝a2+2aa+a2这个等式，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+a2+a2＝．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．26.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A ＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．27.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）请说明28是否为“神秘数”；（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．②小仁发现：2016是“神秘数”．28.在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．29.（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于时，线段AC的长取到最大值，且最大值为；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝4，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值为，及此时点P的坐标为．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c＝1：1：）2019-2020学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：B．2．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．3．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点P（2，﹣5）关于x轴对称，∴对称点的坐标为：（2，5）．故选：B．4．如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是（）A．38°B．48°C．62°D．70°【分析】用△ABC≌△ECD求出∠E＝∠A＝48°，再运用三角形内角和求出∠ECD和∠ACB，从而得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，点B、C、D在同一直线上∴∠ACB＝∠D＝62°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°，故选：D．5．下列各式分解因式正确的是（）A．（a2+b2）﹣（a+b）＝（a+b）（a+b﹣1）B．3x2﹣6xy﹣x＝x（3x﹣6y）C．a2b2﹣ab3＝ab2（4a﹣b）D．x2﹣5x+6＝（x﹣1）（x﹣6）【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式＝x（3x﹣6y﹣1），不符合题意；C、原式＝ab2（4a﹣b），符合题意；D、原式＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意，故选：C．6．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，∵点P时直线MN上的点，∴∠MAP＝∠MBP，∴A，C，D正确，B错误，故选：B．7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°，∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，故选：A．9．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4B．6C．7D．8【分析】分为AB＝AC、BC＝BA，CB＝CA三种情况画图判断即可．【解答】解：如图所示：当AB＝AC时，符合条件的点有3个；当BA＝BC时，符合条件的点有3个；当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有7个．故选：C．10．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上【分析】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可得结论．【解答】解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON．∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．二．填空题（共8小题）11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10．【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．【解答】解：因为2+2＝4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2＝10，答：它的周长是10，故答案为：1012．已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是四边形．【分析】根据多边形的外角和为360°，由一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，得到内角和，再根据多边形的内角和定理即可得到多边形的边数．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，设这个多边形为n边形，∴（n﹣2）•180°＝360°，∴n＝4，故答案为：四．13．如果x2+mx+1＝（x+n）2，且m＞0，则n的值是1．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值．【解答】解：∵x2+mx+1＝（x+n）2＝x2+2nx+n2∴m＝2n，n2＝1，∵m＞0，∴n＝1．故答案为：1．14．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，故答案为：13．15．若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为30°．【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，∴120°只能是等腰三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．故答案为：30°．16．如图，△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB 的动点，则BD+DE的最小值是7．【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以解答本题．【解答】解：作BF⊥AC于点F，如右图所示，∵在△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，∠BF A＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BF，∴BF＝7，∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，F∴BD+DE的最小值是BF，∴BD+DE＝7，故答案为：7．17．已知a+b＝4，ab＝﹣5，则﹣ab＝18．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而把已知代入求出答案．【解答】解：﹣ab＝＝，∵a+b＝4，ab＝﹣5，∴原式＝＝18．故答案为：18．18．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故答案为：．三．解答题19．因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【分析】直接找出公因式（a﹣b），进而提取公因式得出答案．【解答】解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．20．因式分解：（2a+b）2﹣（a+2b）2【分析】直接利用平方差公式法分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）＝3（a+b）（a﹣b）．21.如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C1的坐标；（2）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．【考点】P7：作图﹣轴对称变换；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】13：作图题．【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置，再连接即可；（2）根据轴对称进行画图即可．【解答】解：（1）如图1所示：C1（﹣4，3）；（2）如图2所示：点P即为所求．22.如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q；【考点】P1：生活中的轴对称现象．【专题】13：作图题；558：平移、旋转与对称；69：应用意识．【分析】（1）作点P关于AB是对称点P′，连接QP′交AB于M，点M即为所求．（2）作点P关于AB是对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接QP′交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．【解答】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点E，点F即为所求．23.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE＝∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC＝EF，利用等式的性质可得EB＝CF，再由BF＝13，EC＝5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．24.如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB＝∠DBC，从而得证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD在△BOE和△COD中∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠BDE＝90°∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠DOE+∠A＝180°∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．25.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到（a+a）2＝a2+2aa+a2这个等式，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+a2+a2＝30．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝15．【考点】4B：多项式乘多项式；4D：完全平方公式的几何背景．【专题】512：整式；69：应用意识．【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；（3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+4b）＝2a2+8ab+ab+4b2＝2a2+4b2+9ab，即可得到x，y，z的值，即可求解．【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝102﹣2（ab+ac+bc），＝100﹣2×35，＝30．故答案为：30；（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，∵（2a+b）（a+4b），＝2a2+8ab+ab+4b2，＝2a2+4b2+9ab，∴x＝2，y＝4，z＝9．∴x+y+z＝2+4+9＝15．故答案为：15．26.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A ＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【考点】LO：四边形综合题．【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力．【分析】（1）利用三角形的外角的性质，求出∠BOD即可解决问题，通过证明△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得BD＝CE，即可求解；（2）可证△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD＝CE．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC+∠OCB＝60°，∴与∠A相等的角是∠BOD，∠EOC．如图1，过点B作BG⊥CD于G，过点C作CF⊥BE于F．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴OB＝OC，在△BGO和△CFO中，，∴△BGO≌△CFO（AAS），∴BG＝CF，∵∠BOD＝∠A，∴∠BDG＝∠BOD+∠ABE＝∠A+∠ABE＝∠CEF，∵∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，∴△BGD≌△CFE（AAS）∴BD＝CE，∴四边形BCED是等对边四边形；（3）结论：四边形BCED是等对边四边形．理由如下：如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴OB＝OC，在△BGO和△CFO中，，∴△BGO≌△CFO（AAS），∴BG＝CF，∵∠BOD＝∠A，∴∠A+∠DOE＝180°，∠ADO+∠AEO＝180°，∵∠AEO+∠CEF＝180°，∠ADO＝∠BDG，∴∠BDG＝∠CEF，∵∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，∴△BGD≌△CFE（AAS）∴BD＝CE，∴四边形BCED是等对边四边形．27.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）请说明28是否为“神秘数”；（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．②小仁发现：2016是“神秘数”．【考点】59：因式分解的应用．【专题】23：新定义；512：整式；67：推理能力．【分析】（1）根据题意，可以写出28是否可以表示为两个连续的偶数的平方之差，从而可以解答本题；（2）选择其中的一个，先判断，然后说明理由即可．【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是神秘数；（2）当选择①时，两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数是真命题，理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4k2+8k+4﹣4k2＝8k+4，k取非负整数，∴8k+4一定能被4整除，∴两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数；当选择②时，2016是“神秘数”是假命题，理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4k2+8k+4﹣4k2＝8k+4，令8k+4＝2016，得k＝251.5，∵k为非负整数，∴k＝251.5不符合实际，舍去，∴2016是“神秘数”错误．28.在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．【考点】38：规律型：图形的变化类；KJ：等腰三角形的判定与性质；P3：轴对称图形；P7：作图﹣轴对称变换．【专题】13：作图题；558：平移、旋转与对称．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，在图1﹣4和图1﹣5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【解答】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为：1、2、3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．29.（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于CB的延长线上时时，线段AC的长取到最大值，且最大值为a+b；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段CD＝BE，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为9．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝4，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值为4+6，及此时点P的坐标为（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c＝1：1：）【考点】KY：三角形综合题．【专题】152：几何综合题；69：应用意识．【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝P A＝4，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为4+6；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE．②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝9；故答案为CD＝BE，9．（3）如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），∴OA＝4，OB＝10，∴AB＝6，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝4，∴最大值为4+6．如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝10﹣6﹣2＝4﹣2，∴P（4﹣2，2）．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．综上所述，满足条件的点P坐标（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2），AM的最大值为4+6．故答案为4+6，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．。
北京市首都师范大学附属中学2019-2020年初二上期中数学试卷
北京市首都师范大学附属中学2019-2020年初二上期中数学试卷第I 卷（共24分）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。
每题所列选项只有一个最符合题意）1.下图中的轴对称图形有（）A.（1），（2）B.（1），（4）C.（2），（3）D.（3），（4）2.点P （4，5）关于x 轴对称点的坐标是（）A.（-4，-5）B.（-4，5）C.（4，-5）D.（5，4）3.下面计算正确的是（）A.633)(x x B.2446aaa C.2224)()(n m mn mn D.2523aa a4.已知，，65xyy x则22y x 的值是（）A.1B.13C.17D.255.如图，在△ABE 中，∠A=105°，AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C ，且AB=CE ，则∠B的度数是（）A.45°B.60°C.50°D.55°6.已知2)8()16(ya y y ，则a 的值是（）A.8B.16C.32D.647.如图，点P 为∠AOB 内一点，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上一点，当△PMN 的周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB 的度数是（）A.55°B.50°C.40°D.45°8.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交AC 、AD 于点E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM 。
下列结论：DF=DN ；AE=CN ；△DMN 是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.已知1y x ，则222121y xyx =____________ 10.若12kxx是完全平方式，则k=_________11.已知，22n x 则nnx x2223)()(的值为________12.若)()3(2q xxx的乘积中不含2x 项，则q =______13.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG=CD ，F 是GD 上一点，且DF=DE ，则∠E=_______14.如图，在平面直角坐标系中，点A 的横坐标为-1，点B 在X 轴的负半轴上，AB=AO ，∠ABO=30°，直线MN 经过原点O ，点A 关于直线MN 的对称点A 1在x 轴的正半轴上，点B 关于直线MN 的对称点为B 1，则∠AOM 的度数为_____；点B 1的纵坐标为_______三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15.计算（1）)2()48(2342y x y x yx （2）2)1()32()23(x x x16因式分解（1）yx xyy22396（2）3)2()2(a a 17.化简求值（1）若02910422b baa，求22ab ba 的值（2）先化简，再求值：2)12()1(5)23()23(x x x x x ，其中31x四、解答题（本大题共2答题，18题4分，19题6分，共10分）18.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）作出△ABC 关于y 轴对称的△AB 1C 1；（2）点P 在x 轴上，且点P 到点B 与点C 1的距离之和最小，直接写出点P 的坐标为______19.已知x ≠1，计算4323221)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(xx xx x x x x x x x ，，（1）观察以上各式并猜想:__________)1)(1(2nx xxx （n 为正整数）（2）根据你的猜想计算：_______)222221)(21(5432_________222232n （n 为正整数）________)1)(1(2979899xxxxxx （3）通过以上规律请你进行下面的探索：______))((b a b a ________))((22b ab a b a _______))((3223b abba ab a五、解答题（共3大题，20题5分，21题6分，22题7分，共18分）20.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 平分∠ACB ，AD=2.2，AC=3.6求BC 的长.A小聪思考：因为CD 平分∠ACB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC=AC ，连接DE. 这样很容易得到△DEC ≌△DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）. 请回答：（1）△BDE 是_________三角形.（2）BC 的长为__________.参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC 中，AB=AC, ∠A=20°，BD 平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD 的长.21．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.22.如图1，已知A （0，a ），B （b ，0）且228204b b a a （1）A 、B 两点的坐标为A________、B________；（2）如图2，连接AB ，若点D （0，-6），DE ⊥AB 于点E ，B 、C 关于y 轴对称，M 是线段DE 上的一点，且DM=AB ，连接AM ，试判断AC 与AM 之间的位置和数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，若N 是线段DM 上的一个动点，P 是MA 延长线上的一点，且DN=AP ，连接PN 交y 轴于点Q ，过点N 作NH ⊥y 轴于点H ，当N 点在线段DM 上运动时，△MQH 的面积是否为定值？若是，请写出这个值；若不是，请说明理由。
北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
人大附中 2019-2020 学年度第一学期初一年级数学期中练习一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.壮丽七十载，奋进新时代. 2019 年10 月1 日上午庆祝中华人民共和国成立70 周年大会在北京天安门广场隆重举行，超20 万军民以盛大的阅兵仪式和群众游行欢庆共和国70 华诞，其中20 万用科学计数法表示为（）A. 20×104B. 2×105C. 2×104D. 0.2×106【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的较大数的表示方法表示即可．【详解】解：20万=200 000=2×105．故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A. 2，﹣3，﹣1B. 2，3，1C. 2，3，﹣1D. 2，﹣3，1【答案】A【解析】【分析】根据单项式的系数定义和多项式项的概念得出即可．【详解】二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3，﹣1，故选A．【点睛】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的项和单项式的次数和系数定义的内容是解此题的关键．3.下列计算正确的是（）A. 5a－a = 4B. 3a + 2b = 5abC. 3a2b－3ab2= 0D. a－(2－b)= a－2+b 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项运算法则计算，判断即可．【详解】解：A. 5a－a = 4a，故错误；B. 3a + 2b，不能合并，故错误；C. 3a2b－3ab2，不能合并，故错误；D. a－(2－b)= a－2+b，正确.故选D.【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．4.下表是某地未来四天天气预报表：根据图中的信息可知这四天中温差最大的是A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期四【答案】C【解析】【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】解：A. 星期一：8-0-=8℃；B. 星期二：6-（-1）=7℃；C. 星期三：7-（-2）=9℃；D. 星期四：6-（-2）=8℃.故这四天温差最大的是星期三故选C.【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键．5.若x =－1是关于x 的方程3x + 6 = t 的解，则t 的值为（）A. 3B. －3C. 9D. －9【答案】A【解析】【分析】把x =－1代入3x + 6 = t求出t即可.【详解】解：把x =－1代入3x + 6 = t得t=3故选A.【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6.实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. a＞－4B. bd＞0C. b + c＞0D. | a |＞|b|【答案】D【解析】【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【详解】解：A. 根据数轴可知a＜-4，故错误；B. ∵b＜-1，d=4∴bd<0，故错误；C. ∵-2<b ＜-1，0<c<1∴b + c <0，故错误；D. 54,21a b -<<--<<-Qa b ∴>，故正确.故选D.【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 7.历史上，数学家欧拉最先把关于 x 的多项式用记号 f (x )来表示，把 x 等于某数a 时的多项式的值用f (a )来表示，例如 x =－2 时，多项式 f (x )= x 2 +5x －6 的值记为 f (－2)，那么 f (－2)等于（ ）A. 8B. －12C. －20D. 0【答案】B【解析】【分析】把x=-2代入f （x ）计算即可确定出f （-2）的值．【详解】解：根据题意得：f （-2）= x 2 +5x －6=4-10-6=-12．故选B ．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.初一年级 14 个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他 13 个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积 2 分，负一场积,1 分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项. 若一个班已经完成了所有的比赛，胜m 场，则该班总积分为（ ）A. 2mB. 13－mC. m +13D. m +14 【答案】C【解析】【分析】根据胜一场积2分，负一场积1分，以及胜m 场，进而列出式子求出答案．【详解】解：由题意得：()21313+m m m +-=【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意知道一共参加了13场比赛是解题的关键.9.已知当x =2 时，代数式ax3－bx +3的值为5，则当x =－2 时，ax3－bx +3的值为（）A. 5B. －5C. 1D. －1【答案】C【解析】【分析】把x=2代入代数式，使其值为5确定出8a-2b的值，再将x=-2 代入ax3－bx +3化简得-（8a-2b）+3，再代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：8a-2b+3=5，即8a-2b=2，则当x=-2时，原式=-（8a+2b）+3=-2+3=1，故选C.【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.已知| a| + a = 0，则化简|a－1| +|2a－3| 的结果是（）A. 2B. －2C. 3a－4D. 4－3a【答案】D【解析】【分析】根据| a| + a = 0，可知a≤0，继而判断出a-1，2a-3的符号，后去绝对值求解．【详解】解：∵|a|=-a，∴a≤0．则|a－1| +|2a－3| =-（a-1）-（2a-3）=4－3a．故选D．【点睛】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对二、填空题（本大题共 16 分，每小题 2 分）11.3的相反数是__________．【答案】-3【解析】【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【详解】解：相反数只是符号不同，故3的相反数为−3−3.【点睛】错因分析容易题.失分原因是：相反数与绝对值的概念混淆.12.比较大小：12-____13-（用“＞或=或＜”填空）．【答案】＜【解析】【分析】根据绝对值的性质即可求解.【详解】∵11 23＞∴12-＜13-故填：＜.【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知绝对值的性质.13.如果|m﹣3|+(n+2)2＝0，那么mn的值是_____．【答案】-6【解析】【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出m，n的值，进而得出答案．【详解】∵|m﹣3|+(n+2)2=0，∴m﹣3=0，n+2=0，解得：m=3，n=﹣2，故mn=﹣6，故答案为﹣6．【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．14.请写出一个只含字母x 、y ，系数为3，次数为4 的单项式：_______________.【答案】3x3y【解析】【分析】根据单项式系数和次数的定义求解即可.【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母x、y且系数为3，次数为4的单项式可以写为：3x3y．故答案为3x3y．【点睛】本题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义．15.测得一种树苗的高度与树苗生长的年数有关的数据如下表所示（树高原高100 cm）假设以后每年树苗的高度的变化规律与表中相同，请用含n（n 为正整数）的式子表示生长了n 年的树苗的高度为__________cm.【答案】100+5n【解析】【分析】从上表可以看出，树每年长高5厘米．所以生长了n 年的树苗的高度为100+5n.【详解】解：根据题意有：生长了n 年的树苗的高度为100+5n故答案为100+5n.【点睛】本题的关键是算出树每年长高多少厘米．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．16.下面的框图表示解方程3x + 20 = 4x－25 的流程：请写出移项的依据：__________.【答案】等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【解析】【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：解方程3x+20=4x-25的流程．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式，故答案为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．17.在数轴上，点O 为原点，点A、B分别表示数a 、2，将点A 向右平移1 个单位长度，得到点C，若CO=2BO，则a 的值为____________.【答案】-5或3【解析】【分析】根据CO=2BO可得点C表示的数为±4，据此即可求出a．【详解】解：∵CO=2BO，OB=2∴点C表示的数为±4，∴a=-4-1=-5或a=4-1=3．故答案为-5或3.【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．18.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量= 累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，表中数据可得，该车在两次记录时间段内行驶100 公里的耗电量约为__________度（结果精确到个位）【答案】16.6【解析】【分析】根据累计耗电量公式计算．【详解】解：4100×0.126-4000×0.125=516.6-500=16.6．故答案为16.6．【点睛】本题考查了函数模型的应用，属于基础题．三、解答题（本答题共54分，第19题16分，第20-23每题4分，第24-25题每题5分，第26-27题每题 6分）19.计算题：（1） (－8)－(－15)+(－9)－(－12)（2）－2.5×316(1)()53-÷-（3）－14 ÷[ (－4)2 ×311+3()22÷- （4）(3a －2b )+(4a －9b )【答案】（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b - 【解析】【分析】（1）减法转化为加法，再根据加减运算法则计算可得；（2）把小数化为分数然后除法转化为乘法然后去括号计算即可；（3）化除为乘然后先计算乘方与乘法，再根据加减法运算法则计算即可；（4）去括号然后合并同类项即可.【详解】解：（1）原式= =-8+15-9+12=-17+27=10； （2）原式=583---=2516⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3-4； （3）原式=()1-116-38=-1-16=2⎛⎫÷⨯⨯÷ ⎪⎝⎭116； （4）原式=3249=a b a b +－－711a b -故答案为（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b -. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算与整式的加减运算，关键在于通过正确的去括号和合并同类项对整式进行化简，并熟练掌握有理数的混合运算顺序与运算法则．20.解方程： 3x +3 = 8－12x 【答案】x=13【解析】 【分析】原式移项，然后合并同类项再系数化为1即可. 【详解】解：3x +12x =8-3 解得：x=13 故答案x=13. 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键. 21.先化简，再求值： 5x 2 + 2x －(4x 2－1)+ 2(x －3)，其中 x =－12【答案】2+45x x -，11-4【解析】 【分析】先去括号再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：原式=225 24+16 2=x x x x ++－－2+45x x -把x =－12代入原式得：原式=21+415=22⎛⎫ ⎪⎝⨯-⎭11-4 故答案为2+45x x -，11-4. 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 22.已知3x －y －2 = 0 ，求代数式5(3x －y )2－9x +3 y －13的值. 【答案】1【解析】【分析】根据3x－y－2 = 0得3x－y = 2，把3x－y = 2代入5(3x－y)2－9x +3 y－13化简求解即可. 【详解】解：Q3x－y－2 = 0∴3x－y = 2Q5(3x－y)2－9x +3 y－13=5(3x－y)2－3（3x-y）－135(3x－y)2－3（3x-y）－13=5×22-3×2-13=1故答案为1.【点睛】本题考查代数式化简求值计算，关键是根据已知式子进行解答．23.已知关于x 的方程(| k |－3)x2－(k－3)x + 2m+1= 0 是一元一次方程.（1）求k 的值；（2）若已知方程与方程3x = 4－5x 的解相同，求m 的值.【答案】（1）k=-3；（2）m=-2【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答；（2）先解方程3x=4-5x，再把方程的解代入原方程可得m的值．【详解】解：（1）由题意得|k|-3=0，k-3≠0，∴k=-3；（2）3x=4-5x，3x+5x=4，x=1 2原方程：6x+2m+1=0，把x=12代入：3+2m+1=0，m=-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．24.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米）14，－9，18，－7，3，－6，10，－5，－13（1）通过计算说明B 地在A 地的何位置；（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5 升，油箱容量为50 升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲锋舟在救援过程中是否还需要补充油？【答案】（1）B地在A地东5千米；（2）不需要【解析】【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车的总路程以及每千米耗油，可得耗油量．【详解】解：（1）14-9+18-7+3-6+10-5-13=5，答：B地在A地东5千米；（2）不需要，（14+|-9|+18+|-7|+3+|-6|+10+|-5|+|-13|）×0.5=85×0.5=42.5（升），50-42.5=7.5（升），故途中不需要补充油．故答案为（1）B地在A地东5千米；（2）不需要.【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．25.定义：任意两个数a 、b ，按规则c = a +b－ab 扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1）若a =2，b =－3，直接写出a 、b 的“如意数” c ；（2）若a =2，b = x2 +1，求a 、b 的“如意数” c ，并比较b 与c 的大小；（3）已知a=x2-1，且a 、b 的“如意数” c = x3 +3x2－1，则b = （用含x 的式子表示）【答案】（1）5；（2）b>c ；（3）x+2 【解析】 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断； （2）根据“如意数”的定义即可判断；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b 即可； 【详解】解：（1）根据题意有c=()2-3-2-3⨯=5； （2）根据题意有c=2+ x 2 +1-2×（x 2 +1）=- x 2 +1Q b = x 2 +1， x 2 ≥0∴b>c（3）由题意得x 3+3x 2-1=（x 2-1）b+（x 2-1）+b ， ∴x 2b=x 3+2x 2， ∵x ≠0， ∴b=x+2．故答案为（1）5；（2）b>c ；（3）x+2．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“△”规则如下：对于两个有理数m ， n ， m △ n =||2m n m n-++.（1）计算:1△（－2）= ；（2）判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由；（3）若a 1 =| x －1| ， a 2 =| x －2|，求a 1△ a 2（用含 x 的式子表示）【答案】（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a 1△ a 2= x-1；当x<1.5时，a 1△ a 2= 2-x. 【解析】【分析】（1）利用规定的运算方法代入求得数值即可；（2）把（1）中的数字位置调换，计算后进一步比较得出结论即可；（3）分情况讨论求出a1△a2即可.【详解】解：（1）1△（－2）=()()|1-2|1-22-++=1；（2）具有交换律，理由如下：把（1）中的数字位置调换有（－2）△1=()()|-2-1|-212++=1=1△（－2）∴满足交换律；（3）Q a1=| x－1| ，a2=| x－2|∴a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-当x≥2时，a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=x-1；当1≤x<2时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=|23|12-+x当1≤x<1.5时，a1△a2=|23|1321=222-+-+=-x xx当1.5≤x<2时，a1△a2=|23|1231=1 22-+-+=-x xx当x<1时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=2-x故答案为（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a1△a2=x-1；当x<1.5时，a1△a2= 2-x.【点睛】本题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算．27.如图，设A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中a ij（i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第j 列的数，且a ij取值为1 或－1.a11a12a1na21a22a2na1na2n a nn对于数表A 给出如下定义：记x i 为数表A 的第i 行各数之积，y j为数表A 的第j 列各数之积.令S = (x1+x2++ xn )+(y1+ y2+ yn)，将S 称为数表A 的“积和”.（1）当n = 4 时，对如下数表A，求该数表的“积和” S 的值；11－1－1 1－111 1－1－11－1－111（2）是否存在一个3×3 的数表A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；（3）当n =10 时，直接写出数表A 的“积和” S 的所有可能的取值.【答案】（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20【解析】【分析】（1）根据已知条件直接求解即可；（2）不存A∈S（3，3），使得S =0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（3）根据已知条件求出l（A）关于A∈S（n，n），（k=0，1，2，…，n）的关系式然后代入求值即可.【详解】解：由题意得：（1）S4= (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=（1-1+1+1）+（-1-1+1-1）=0（2）不存在A∈S（3，3），使得S=0．证明如下：假设存在A∈S（3，3），使得S=0．因为x i（A）∈{1，-1}，y j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3），所以x1（A），…，x3（A）；y1（A），…，y3（A），这9个数中有3个1，3个-1．令M=x1（A）•…x3（A）y1（A）…y3（A）．一方面，由于这9个数中有3个1，3个-1，从而M=-1．①另一方面，x1（A）•…x3（A）表示数表中所有元素之积（记这9个实数之积为m）；y1（A）•…y9（A）也表示m，从而M=m2=1．②①、②相矛盾，从而不存在A∈S（3，3），使得S=l（A）=0．(3)（i）对数表A0：a ij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．将数表A0中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．依此类推，将数表A i-1中的a kk由1变为-1，得到数表A k．即数表A k满足：a11=a22=…=a kk=-1（1≤k≤n），其余a ij=1．∴r1（A）=r2（A）=…=r k（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=C k（A）=-1．∴l（A k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．当n =10 时，数表A 的“积和” S 的所有可能的取值为：16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.故答案为（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，难度较大．。
2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．2x+3y＝5xy 3．（2分）将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+4 4．（2分）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）A．P1B．P2C．P3D．P45．（2分）下列说法正确的是（）A．不论x取何值时，（x﹣1）0＝1B．的值比大C．多项式x2+x+1是完全平方式D．4×3100﹣399是11的倍数6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P 的坐标为（）A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）7．（2分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）8．（2分）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP 的值最小时，AP的长为（）A．4B．8C．10D．12二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为．10．（3分）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：．（写出一个即可）11．（3分）已知：4x•9x＝612，则x＝．12．（3分）已知x m＝2，x n＝3，则x m+n＝．13．（3分）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，∠CAD＝°．14．（3分）有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a＞2b），按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD．下面有四种说法：①阴影部分周长为4a；②阴影部分面积为（a+2b）（a﹣2b）；③四边形ABCD四位周长为8a﹣4b；④四边形ABCD的面积为a2﹣4ab+4b2．所有合理说法的序号是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，则AC的长为．三、解答题（本大题共60分，其中17题4分；18题8分；19-24题，每题5分；第25-27题，每题6分）17．（4分）计算：（π﹣3）018．（8分）因式分解（1）x2﹣y2（2）ax2+4ax+4a19．（5分）已知4a2﹣b2＝6，2a+b＝1．（1）求2a﹣b的值．（2）化简代数式[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．21．（5分）先化简，再求值．（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（b+3a），其中a＝2，b＝﹣1．22．（5分）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．23．（5分）双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期．预期一：第1步，销售量扩大为原来的a倍．第2步，再扩大为第1步销售量的b倍．预期二：第1步，销售量扩大为原来的倍．第2步，再扩大为第1步销售量的倍．其中a，b为不相等的正数，请问两种预期中，哪种销售量更多？试说明理由．24．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC 上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．25．（6分）对于多项式A＝x2+bx+c（b，c为常数），作如下探究：（1）不论x取何值，A都是非负数，求b与c满足的条件；（2）若A是完全平方式，①当c＝9时，b＝；当b＝3时，c＝；②若多项式B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，求d的值．26．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请你在图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为Q′，且线段PQ′的中点为M（m，0），则称点P是图形W关于点M（m，0）的“关联点”．（1）如图1，若点P是点Q（0，）关于原点的关联点，则点P的坐标为；（2）如图2，在△ABC中，A（2，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），①将线段AO向右平移d（d＞0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，则d的取值范围是．②已知点S（n+2，0）和点T（n+4，0），若线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，求n的取值范围．2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．2x+3y＝5xy 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故原题计算正确；B、（a3）2＝a6，故原题计算错误；C、a8÷a2＝a6，故原题计算错误；D、2x与3y不是同类项，不能合并，故原题计算错误；故选：A．3．（2分）将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+4【解答】解：根据题意得：a2﹣6a﹣5＝（a2﹣6a+9）﹣14＝（a﹣3）2﹣14，故选：B．4．（2分）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）A．P1B．P2C．P3D．P4【解答】解：如图所示：AB两点关于过点P3的直线对称．故选：C．5．（2分）下列说法正确的是（）A．不论x取何值时，（x﹣1）0＝1B．的值比大C．多项式x2+x+1是完全平方式D．4×3100﹣399是11的倍数【解答】解：当x＝1时，（x﹣1）0无意义，故选项A错误；∵，，∴的值与的值一样，故选项B错误；多项式x2+x+1＝（x+）2+，故选项C错误；4×3100﹣399＝399×（4×3﹣1）＝399×11，则4×3100﹣399是11的倍数，故选项D正确；故选：D．6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P 的坐标为（）A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）【解答】解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，∵点P到∠xOy的两边距离相等，∴点P的坐标为（3，3）故选：C．7．（2分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：C．8．（2分）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP 的值最小时，AP的长为（）A．4B．8C．10D．12【解答】解：如图，作BE⊥AC于点E，交AD于点P，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠DAC＝30°∴PE＝AP当BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP的值最小，此时，AP＝AD＝8．故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为50°或80°．【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°＝80°，则其底角为：＝50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°＝80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．10．（3分）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：AB＝AC（答案不唯一）．（写出一个即可）【解答】解：∵AE平分∠BAC，∵AD＝AD，添加AB＝AC，利用SAS可得△ABD≌△ACD，添加∠B＝∠C，利用AAS可得△ABD≌△ACD，添加∠ADB＝∠ADC，利用ASA可得△ABD≌△ACD，故答案为：AB＝AC（答案不唯一）11．（3分）已知：4x•9x＝612，则x＝6．【解答】解：∵4x•9x＝612，∴22x•32x＝62x＝612，∴2x＝12，解得：x＝6．故答案为：6．12．（3分）已知x m＝2，x n＝3，则x m+n＝6．【解答】解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+n＝x m•x n＝2×3＝6．故答案为：6．13．（3分）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，∠CAD＝82°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵AC＝AD，设∠ACD＝∠ADC＝α，则∠BCD＝60°+α，∵∠DBC＝41°，∴∠ABD＝60°﹣41°＝19°，∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝19°，∴∠BDC＝180°﹣41°﹣（60°+α）＝α﹣19°，∴α＝49°，∴∠ACD＝∠ADC＝49°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝82°，故答案为：82．14．（3分）有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a＞2b），按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD．下面有四种说法：①阴影部分周长为4a；②阴影部分面积为（a+2b）（a﹣2b）；③四边形ABCD四位周长为8a﹣4b；④四边形ABCD的面积为a2﹣4ab+4b2．所有合理说法的序号是①②④．【解答】解：阴影部分周长＝大正方形的周长＝4a，所以①正确；阴影部分面积＝大正方形的面积﹣4个小正方形的面积＝a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），所以②正确；四边形ABCD的周长＝2（a﹣2b）+2（a﹣2b）＝4a﹣8b，所以③错误；四边形ABCD的面积＝（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2．所以④正确．故答案为①②④．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是20．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝，∴△ABC的面积＝，故答案为：2016．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，则AC的长为6．【解答】解：连接CF，如图所示：∵在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝DC，BD⊥AC，∵BC的垂直平分线EF交BC于点E，∴BF＝CF＝6，∴∠DFC＝2∠DBC＝∠ABC＝30°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴DC＝，∴AC＝2DC＝6，故答案为：6．三、解答题（本大题共60分，其中17题4分；18题8分；19-24题，每题5分；第25-27题，每题6分）17．（4分）计算：（π﹣3）0【解答】解：（π﹣3）0＝1+＝1+＝1+（﹣1）＝0．18．（8分）因式分解（1）x2﹣y2（2）ax2+4ax+4a【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）2．19．（5分）已知4a2﹣b2＝6，2a+b＝1．（1）求2a﹣b的值．（2）化简代数式[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b【解答】解：（1）∵4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝6，2a+b＝1，∴2a﹣b＝6；（2）原式＝（a2+b2+2ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2）÷4b＝（4ab﹣2b2）÷4b＝a﹣b＝（2a﹣b），当2a﹣b＝6时，原式＝3．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．【解答】解：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴CF＝AD＝7，∴AB＝AD+BD＝10，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC＝10，∵E是边AC的中点，∴AE＝AC＝5．21．（5分）先化简，再求值．（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（b+3a），其中a＝2，b＝﹣1．【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2﹣6ab＝﹣4ab，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝8．22．（5分）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．【解答】解：结论：∠ABC＝3∠C．理由：设∠C＝x．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB＝DC，∴∠C＝∠CBD＝x，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝2x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠ABD+∠C＝3x，∴∠ABC＝3∠C．23．（5分）双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期．预期一：第1步，销售量扩大为原来的a倍．第2步，再扩大为第1步销售量的b倍．预期二：第1步，销售量扩大为原来的倍．第2步，再扩大为第1步销售量的倍．其中a，b为不相等的正数，请问两种预期中，哪种销售量更多？试说明理由．【解答】解：预期二的销售量更多，理由为：根据题意得：设原来的销售量为“1”，预期一的销售量为：ab；预期二的销售量为：（）2，∵a≠b，且（）2﹣ab＝﹣ab＝＝＞0，∴（）2＞ab，则预期二的销售量更多．24．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC 上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．【解答】解：（1）∵在四边形ABPQ中，∠BPQ+∠BAQ＝180°，∴∠ABP+∠AQP＝180°，∵∠AQP+∠CQP＝180°，∴∠CQP＝∠ABP，∵∠ABP＝α，∴∠CQP＝α；（2）连接PC，∵AB＝AC，AD为中线，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∵点P是AD上一点，∴PB＝PC，∵AP＝AP，AB＝AC，PB＝PC，∴△ABP≌△ACP（SSS），∴∠ABP＝∠ACP，由（1）知∠CQP＝∠ABP，∴∠ACP＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB＝PQ．25．（6分）对于多项式A＝x2+bx+c（b，c为常数），作如下探究：（1）不论x取何值，A都是非负数，求b与c满足的条件；（2）若A是完全平方式，①当c＝9时，b＝±6；当b＝3时，c＝；②若多项式B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，求d的值．【解答】解：（1）A＝x2+bx+c＝﹣+c＝+，∵≥0，不论x取何值，A都是非负数，∴≥0，∴4c﹣b2≥0；（2）①当c＝9时，∵A是完全平方式，即x2+bx+9＝x2+bx+32是完全平方式，∴b＝±2×3＝±6；当b＝3时，∵A是完全平方式，即x2+3x+c是完全平方式，∴c＝．故答案为：±6；．②∵A是完全平方式，∴设A＝x2+bx+c＝（x+y）2＝x2+2xy+y2①，∵B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，∴设B＝x2﹣dx﹣c＝（x+y）（x+z）＝x2+（y+z）x+yz②，由①式可得：c＝y2，由②式可得：﹣d＝y+z，﹣c＝yz，∴z＝﹣y，∴﹣d＝y+z＝0，∴d＝0．∴d的值为0．26．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请你在图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．【解答】（1）解：图形如图1中所示：（2）解：如图2中，连接DE．∵B，D关于AC对称，∴EB＝ED，∠BEC＝∠DEC＝50°，∵EB＝EF，∠BEF＝40°，∴∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF＝50°﹣40°＝10°，DE＝EF，∴∠DEF＝∠DEC+∠FEC＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴∠EFD＝60°．（3）证明：如图2中，连接BD．∵B，D关于AC对称，∴CB＝CD，∠BCA＝∠ACD，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠BCA＝30°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DB＝DC，∠BDC＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠BDC，∴∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，∵B，D关于AC对称，∴∠EDC＝∠EBC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＝40°，∵EB＝ED，∠BED＝100°，∴∠EBD＝∠EDB＝40°，∴∠FCD＝∠EBD＝40°，∴∠FDC＝∠FCD＝40°，∴FD＝FC．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为Q′，且线段PQ′的中点为M（m，0），则称点P是图形W关于点M（m，0）的“关联点”．（1）如图1，若点P是点Q（0，）关于原点的关联点，则点P的坐标为（﹣，0）；（2）如图2，在△ABC中，A（2，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），①将线段AO向右平移d（d＞0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，则d的取值范围是2＜d≤3．②已知点S（n+2，0）和点T（n+4，0），若线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，求n的取值范围．【解答】解：（1）∵点P是点Q（0，）关于原点的关联点，∴Q′（，0），∵P，Q′关于原点对称，∴P（﹣，0），故答案为（﹣，0）．（2）①如图2中，作△ABC关于点（2，0）对称的△A′B′C′，当平移后的线段OA与△A′B′C′的边有两个交点时，满足条件，观察图象可知当平移后的线段OA经过C′（4，2）时，平移的距离d＝2，当平移后的线段OA经过点（3，0）时，平移的距离d＝3，∴当2＜d≤3时，平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，故答案为：2＜d≤3．②由题意AC与x轴的交点（1，0），（1，0）关于N（n，0）的对称点坐标为（2n﹣1），B（﹣2，0）关于N（n，0）的对称点坐标（2n+2，0），∵线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，∴n+2≤2n﹣1≤n+4或n+2≤2n+2≤n+4，解得3≤n≤5或0≤n≤2，。
2019-2020北京人大附初二上册期中考试试卷数学(含解析).doc
北京人大附中初二上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．分式21a +有意义，则a 的取值范围是（ ）． A ．0a = B ．1a = C ．1a ≠- D ．0a ≠3．下列运算正确的是（ ）．A ．22a a a ⋅=B ．()326a a =C ．()33ab ab =D ．1025a a a ÷=4．点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标是（ ）． A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-5．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）． A ．a b a ba b a b +-=-+ B ．11x x x y x y+--=-- C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．122122x yx y x y x y --=++6．如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，若ABC △的面积是16，则图中阴影部分的总面积是（ ）．A ．6B ．8C ．4D ．127．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，CD AB ⊥与点D ，则BD =（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2DAN MFE DCBA8．如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ∥交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）．A ．11B ．12C ．13D ．149．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后再最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是（ ）．A． B．C． D．10．计算()()23ax b x +-的结果是323927x x x +--，则222a ab b ++的值是（ ）． A ．9 B ．16C ．25D ．36二、填空题（每空2分，共20分）11．若分式2x x-的值为零，那么x 的值为__________．12．比较大小：332__________223．13．已知5a b +=，2215a b -=，则a b -的值是__________．14．如图，从边长为1a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形()1a >，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是__________．EDCBA15．现规定一种运算：2a b a ab*=-，则()1x x*+所表示的代数式是__________．16．计算()()232x k x-+的结果中不含x项，则k的值是__________．17．如图，已知三角形纸片ABC，AB AC=，50A∠=︒，将其折叠，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则DBC∠的度数是__________．(A)EDCBACBA18．如图，在ABC△中，AB AC<，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，8AC=，ABE△的周长为14，则AB的长是__________．ED CBA19．如图，直角三角形纸片ABC中，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点1P；设1P D的中点为1D，第2次将纸片折叠，使点A与点1D重合，折痕与AD交于2P；设21P D的中点为2D，第3次将纸片折叠，使点A与点2D重合，折痕与AD交于点3P；…；设12n nP D--的中点为1nD-，第n次将纸片折叠，使点A与点1nD-重合，折痕与AD交于()2nP n>，若5AD=，则2AP的长为__________，nAP的长为__________．第3次折叠第2次折叠第1次折叠P1P3D2D1DCBAP2D1DCBADCBA三、解答题：（每小题4分，共28分）20．计算：（1）()()22x y x y xy x+-+÷；（2）()()233x y y x y-+-．21．分解因式：（1）39a b ab -；（2）221632x y xy y -+．22．画出ABC △关于直线MN 的对称的图形．M N CBA23．（1）已知2a b -=，求()24a b b -+的值；（2）先化简，再求值：()()()212111x x x --+++，其中234x x -=．四、解答题（每小题4分，共12分）24．如图，AB AC =，ABD ACE ∠=∠，BD 与CE 交于点O ． 求证：OB OC =．OEDCBA25．列方程解应用题：一个长方形鱼池的长比宽多2米，如果鱼池的长和宽分别增加3米，那么这个鱼池的面积将增加39平方米，问这个鱼池原来的宽是多少米？26．如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥与点D ，2ACD B ∠=∠，若8CD =，26AB =，求AC 的长．DCBA五、解答题：（每小题5分，共10分）27．阅读理解应用：选取二次三项式2x bx c ++中的二次项2x 和一次项bx ，再配上一个常数24b ，可以把2x bxc ++变形为2224b b x c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，这种变形的过程叫配方法．例如：()()()2222281812441415x x x x x x x -+=-+=-⋅⋅++=--；根据上述材料，解决下面问题：（1）若代数式2610xx ++可化为()2x a b++，则a b +的值是__________．（2）设()()22M x x =-+，()()211N x x =++，比较M 与N 的 ；（3）若236292m m -+是完全平方数，求正整数m 的值． 28．已知：在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是线段AB 的垂直平分线上一点，连接AD 、BD 、CD ．（1）当60α=︒且D 在线段AB 上时，ACD ∠的大小为__________（直接写出结论）； （2）如图，当100α=︒，20ABD ∠=︒时，求ACD ∠的大小；（3）若点D 在ABC △内部，当ABD ∠的度数是__________时，ACD ∠的大小与（2）中的结果相同，请直接写出结论．DCBA北京人大附中初二上期中数学试卷答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AC B CD B C B A B二．填空题1112 13 14 15 16 17 18 192<3 4ax -4315︒ 6158；121532n n --⨯三．解答题20．（1）()()22x y x y xy x +-+÷2222x y y =-+ 22x y =+．（2）()()233x y y x y -+- 222963x y xy xy y =+-+- 293x xy =-．21．（1）39a b ab - 2(9)ab a =-(3)(3)ab a a =-+．（2）221632x y xy y -+ 22(816)y x x =-+22(4)y x =-．22．作图如下：23．（1）()24a b b -+224a b b =--()()4a b a b b =-+-∵2a b -=，∴原式2()4224a b b a b =+-=-=． （2）()()()212111x x x --+++ 22231121x x x x =-+++++33x x =-+．∵234x x -=， ∴原式437=+=．24．证明：连结BC ， ∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠． 又∵ABD ACE ∠=∠，1ABC ABD ∠=∠-∠， 2ACB ADE ∠=∠-∠，∴12∠=∠．∴OB OC =．25．解：设鱼池原来的宽为x 米，则原长为2x +米．由题意得， (3)(5)(2)39x x x x ++-+=，解方程得4x =．答：鱼池原来的宽为4米．26．解：如图，延长CD 交AB 于点E ． ∵AD 平分BAC ∠, ∴12∠=∠． ∵CD AD ⊥，∴90ADE ADC ∠=∠=︒． ∵在ADE △和ADC △中， 12AD ADADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ADE △≌ADC △（ASA ）． ∴8DE CD ==．AEC ACD ∠=∠．又∵2ACD B ∠=∠,AED B ECB ∠=∠+∠．∴B ECB ∠=∠． ∴16BE CE ==，∴10AC AE AB BE ==-=．27．解：（1）4 （2）N M >． N M -(21)(1)(2)(2)x x x x =++--+ 222314x x x =++-+ 235x x =++21O EDCB A21EDCBA2311()24x =++∵23()02x +≥，∴0N M ->． 故N M >．（3）236292m m -+ 2(18)32m =--．∵若236292m m -+是完全平方数， ∴2236292m m n -+=（n 为正整数）． ∴22(18)32m n --=． ∴(18)(18)32m n m n ---+=．由题意得1818m n p m n q --=⎧⎨-+=⎩，其中p ，q 奇偶性相同，且32p q ⋅=．∴182p qm +=+． 解得27m =，24，12，9． 28．（1）30︒． （2）30ACD ∠=︒．如图，作20EAD ∠=︒，并截取AE AB =． 在BAD △和EAD △中， AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BAD △≌EAD △． ∴ED BD =．∵D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴AD BD =． ∴ED AD =．∵100BAC ∠=︒，∴100202060EAC ∠=︒-︒-︒=︒． 又AE AB AC ==， ∴EAC △是等边三角形． ∴EA EC =．在DAC △和DEC △中， AC EC AD ED CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌DEC △． 故1302ACD ECD ACE ∠=∠==︒． （3）602α-︒．EDCBADA作DAE BAD ∠=∠，并截取AE AB =．同（2）证明，可得AE AB AC ==，DAC △≌DEC △． 假设30DAC ∠=︒，则260ACE DCA ∠=∠=︒． 可得EAC △为等边三角形． ∴60EAC ∠=︒． ∴602BAD DAE α-︒∠=∠=．北京人大附中初二上期中数学试卷部分解析一．选择题1．【答案】A【解析】由轴对称图形的定义知A 不是轴对称图形．故选A ．2．【答案】C【解析】1a ≠-时分式21a +有意义．故选C ．3．【答案】B【解析】()326a a =．故选B ．4．【答案】C【解析】点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标(2,1)--．故选C ．5．【答案】D 【解析】122122x yx yx y x y--=++正确．故选D ．6．【答案】B【解析】阴影部分的总面积是三角形面积的一半，故阴影部分的总面积是8．故选B ．7．【答案】C【解析】Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =， ∴162BC AB ==．在Rt BDC △中，60B ∠=︒， ∴132BD BC ==． 故选C ．8．【答案】B【解析】AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD ∠=∠．∵DE AB ∥，∴BAD ADE ∠=∠．∴CAD ADE ∠=∠，∴7AE DE ==．∴12AC AE CE =+=．故选B ．9．【答案】A【解析】将图形展开后为A 图．故选A ．10．【答案】B【解析】另1x =，则原式2()(2)1392732a b =+⨯-=+--=-， ∴2()16a b +=．故选B ．二、填空题11．【答案】2【解析】x 的值为2时，分式2x x -的值为零．故答案为2．12．【答案】<【解析】333112(2)=，222113(3)=，∵3223<，∴332223<．故答案为<．13．【答案】3【解析】22()()5()15a b a b a b a b -=-+=-=，故3a b -=．故答案为3．14．【答案】4a【解析】矩形面积为22(1)(1)4a a a +--=．故答案为4a ．15．【答案】x -【解析】由题知()21(1)x x x x x x *+=-+=-．故答案为x -．16．【答案】43【解析】()()2223264326(43)2x k x x x kx k x k x k -+=+--=+--． ∵不含x 项，∴430k -=，解得43k =． 故答案为43．17．【答案】15︒【解析】AB AC =，50A ∠=︒，则18050652ABC ︒-︒∠==︒．由折叠的性质知50ABD A ∠=∠=︒，∴15DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒．故答案为15︒．18．【答案】6【解析】由垂直平分线的性质知BE CE =，∴8AE BE AE EC +=+=，∴1486AB =-=．故答案为6．19．【答案】158；534nn ⨯ 【解析】134AD AD =，2134AD AD =，……，134n n AD AD -=， ∴534nn n AD ⨯=． 又12125332n n n n AP AD --⨯==． ∴2158AP =,121532n n n AP --⨯=． 故答案为158，121532n n --⨯。
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级(上)期中数学试卷
16．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且 AE＝AD，则∠CDE＝
度．
17．（3 分）若 m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则 m3﹣2mn+n3 的值为
A．110°
B．115°
C．120°
D．130°
10．（3 分）如图，△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD
上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，∠CPE 的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
二.填空题（本题共 16 分，每小题 3 分）
24．（5 分）如图，点 B、F、C、E 在直线 l 上（F、C 之间不能直接测量），点 A、D 在 l 异 侧，测得 AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若 BE＝10m，BF＝3m，求 FC 的长度．
25．（4 分）已知：如图，点 E 是△ABC 外角∠CAF 平分线上的一点． （1）比大小：BE+EC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）证明（1）中的结论．
11．（3 分）若 xa＝3，xb＝4，xc＝5，则 x2a+b﹣c＝
．
12．（3 分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含 x 一次项，则 m＝
．
13．（3 分）若 x2+mx+16 是完全平方式，则 m 的值是
．
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14．（3 分）如图所示，在△ABC 中，AC＝9cm，DE 垂直平分 AB，如果△DBC 的周长是 16cm，
2019-2020学年北京人大附中八年级(上)期中数学试卷 -(含答案解析)
2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案属于轴对称图案的是()A. B. C. D.2.若分式1有意义，则a的取值范围是()a−1A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. 一切实数3.下列运算中正确的是()A. x2÷x8=x−6B. a⋅a2=a2C. (a2)3=a5D. (3a)3=9a34.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()A. 12B. 1C. √2D. 25.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠BAC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若∠MON=35°，则∠GOH的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是()A. a2+b2=(a+b)(a−b)B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a−b)2=a2−2ab+b28.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB.其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.已知△ABC的三边长a、b、c满足等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形10.点A(−2,1)关于x轴的对称点Aˈ的坐标是()A. (−2,−1)B. (2,1)C. (−2,1)D. (2,−1)二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.当x=_________时，分式2x−3的值为0．2x+312.计算：3−2−(−3)0=______ ．13.计算0.25100×4100=______ ．14.若(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，则a=______．15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3，BC=5，则△ABD的周长是______．16.若m+n=6，mn=4，则m3n+2m2n2+mn3=__________．17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3，5BC=2√10.则AE=______．18.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是______．19.如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有______.(请填序号)三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.(1)分解因式：−4x2+24xy−36y2；(2)分解因式：(2x+y)2−(x+2y)2．(3)分解因式：(p−4)(p+1)+621.计算：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)．22.计算：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2(3)先化简，再求值：(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab其中a=−2，b=−1．23.如图，∠AOB=60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C.点D在∠AOB内，且满足∠APD=∠OPC，DP+PC=10．(1)当PC=6时，求点D到OB的距离；(2)在射线OA上是否存在一定点M，使得MD=MC？若存在，请用直尺(不带刻度)和圆规作出点M(不必写作法，但要保留作图痕迹)，并求OM的长；若不存在，说明理由．24.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB//CD．求证：AB=CD．25.你能求出(x−1)(x99+x98+x97+⋯+x+1)的值吗⋅遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手.先计算下列各式的值： ①(x−1)(x+1)=; ②(x−1)(x2+x+1)=; ③(x−1)(x3+x2+x+1)=;由此我们可以得到(x−1)(x99+x98+⋯+x+1)=;请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：(1)299+298+⋯+2+1;(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1．26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点(不与点C，点D重合)，连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．(1)如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．(2)如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．28.已知：在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，点C(t,0)是x轴上一动点，点M是BC的中点．(1)当点C和点A重合时，求OM的长；(2)若S△ACB=10，则t的值为______；(3)在(2)的条件下，直线AM交y轴于点N，求△ABN的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.答案：A解析：解：若分式1有意义，则a−1≠0，即a≠1，a−1故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.答案：A解析：解：A、x2÷x8=x−6，故原题计算正确；B、a⋅a2=a3，故原题计算错误；C、(a2)3=a6，故原题计算错误；D、(3a)3=27a3，故原题计算错误；故选：A．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方，关键是掌握各运算法则．4.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，又M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．解析：解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=40°，故选C．根据等腰三角形的性质即可得到结论本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键．连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，两图形阴影面积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，∵两图形阴影面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)．故选B．8.答案：A解析：【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的根据角平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC，∵AO=AO，∴△AEO≌△ACO．∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确，④无法判断．故选：A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，是基础知识，较简单．a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，可知道a、b、c分别为3，4，5满足勾股定理，即可判断出三角形的形状．【解答】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了如下内容：关于x轴对称的两个点之间的坐标关系；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题比较容易，可直接利用平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点求得答案．【解答】解：两点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．点A(−2,1)关于x轴的对称点A′的坐标是(−2,−1)．故选A．11.答案：32解析：【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】的值为0，解：∵分式2x−32x+3∴2x−3=0且2x+3≠0，．解得：x=32故答案为32．12.答案：−89解析：解：原式=19−1=−89幂的负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1．本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算，属较简单题目．13.答案：1解析：解：原式=(0.25×4)100=1．故答案为：1．直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．此题主要考查了积的乘方运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.答案：−5解析：解：(x−a)(x−5)=x2−5x−ax+5a=x2+(−5−a)x+5a，∵(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，∴−5−a=0，a=−5．故答案为：−5．根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出−5−a=0，求出即可．本题考查了多项式乘以多项式法则，解一元一次方程等知识点的应用．15.答案：8解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.答案：144解析：【分析】本题考查知识点是因式分解，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用因式分解中的提取公因式法与公式法，掌握整体带入法，方可得出答案．题中m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2，整体带入：mn、(m+n)的值即可得出答案．【解答】解：因为m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2=4×62=144，所以答案为144．17.答案：5解析：【分析】根据已知条件设BD=3x，AB=5x，根据勾股定理得到AD=√AB2−BD2=4x，根据等腰三角形的性质得到AC=5x，求得CD=x，根据勾股定理列方程得到AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=8−m，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵sinA=35，∴设BD=3x，AB=5x，∴AD=√AB2−BD2=4x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=x，∵BD2+CD2=BC2，∴(3x)2+x2=(2√10)2，∴x=2，(负值舍去)，∴AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，则∠AFE=90°，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8−m，∵sinA=EFAE =35，∴8−mm =35，∴m=5，∴AE=5．故答案为：5．18.答案：√3解析：【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，=72°，∴∠B=∠ACB=180°−36°2∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴BC=CE=AE=√3，故答案为√3．19.答案：①②③④解析：解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°−15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；所以①正确；②∵CA=CB，CA=CE，∴CB=CE，∵∠CAD=∠AEC=15°，∴∠ACE=180°−15°−15°=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=150°−90°=60°，∴△BCE是等边三角形；所以②正确；③∵△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，∵∠AEC=15°，∴∠AEB=60°−15°=45°，所以③正确；④在DE上取一点G，使DC=DG，连接CG，∵∠EDC=60°，∴△DCG是等边三角形，∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，∴∠GCE=150°−60°−45°=45°，∴∠ACD=∠GCE=45°，∵AC=CE，∴△ACD≌△ECG，∴EG=AD，∴DE=EG+DG=AD+DC，所以④正确；正确的结论有：①②③④；故答案为：：①②③④．①先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE= 60°即可；②先利用等角对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；③利用差可求得结论：∠AEB=∠BEC−∠AEC；④截取DG=DC，证明△DCG是等边三角形，再证明△ACD≌△ECG，利用线段的和与等量代换可得结论．本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握．20.答案：解：(1)原式=−4(x2−6xy+9y2)=−4(x−3y)2；(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y−x−2y)=3(x+y)(x−y)；(3)原式=p2−3p+2=(p−1)(p−2)．解析：(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(2)原式利用平方差公式分解即可；(3)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21.答案：解：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)=(x2+2x+1)+(x2−2x)−(x2−1)=x2+2x+1+x2−2x−x2+1=x2+2．解析：本题主要考查整式的混合运算.利用完全平方公式、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可．22.答案：解：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3=9a2⋅a6÷a3=9a5；(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2=x2−x−6−(x2−4x+4)=3x−10；(3)(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab=a2−b2−(a2−2ab)=2ab−b2，把a=−2，b=−1代入上式可得：原式=2×(−2)(−1)−(−1)2=3．解析：(1)直接利用积的乘方运算以及结合同底数幂的乘除运算法则化简求出答案；(2)直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案；(3)直接利用多项式乘以多项式运算法则以及多项式除以单项式运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．此题主要考查了整式的混合运算−化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.答案：解：(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC=10，PC=6，∴PD=4，∵∠AOB=60°，∴∠OPC=∠APD=30°，∴∠DPE=30°，PD=2，∴DE=12易得四边形PCHE为矩形，∴EH=PC=6，∴DH=DE+EH=2+6=8，即点D到OB的距离为8；(2)存在．如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN=12×10=5，在Rt△OMN中，ON=√33MN=5√33，∴OM=2ON=10√33．解析：本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直角三角形三边的关系．(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD=4，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DE=12PD=2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH即可；(2)如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利用∠D′PA=∠DPA=30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′=MD，而MD′=MC，所以点M 满足MD=MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN=5，根据含30度的直角三角形三边的关系求出ON、OM即可．24.答案：证明：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，{∠B=∠C ∠A=∠DOA=OD,∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=CD．解析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质，此题基础题，比较简单．首先根据AB//CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．25.答案：解： ①x2−1; ②x3−1; ③x4−1;x100−1．(1)299+298+⋯+2+1=(2−1)×(299+298+⋯+2+1)=2100−1．(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1=−14×(−3−1)×[(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1] =−14×[(−3)51−1]=351+1．4解析：【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.直接利用规律填空．(1)将式子乘以(2−1)，利用题中的规律计算即可得到结果；×(−3−1)，利用(1)的结论即可得到所求式子的值．(2)将所求式子乘以−1426.答案：证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠PAD．在△ABD和△APD中，∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD=∠B，PD=BD．∵∠B=2∠C，∴∠PDC=∠C．∴PD=PC．∴AB+BD=AP+PC=AC．解析：本题考查全等三角形的判定和性质，先在在边AC上截取AP=AB，连接PD.因为AD平分∠BAC 交BC于点D，利用角平分线的定义可知∠BAD=∠PAD，根据全等三角形的判定可知△ABD≌△APD，再根据全等三角形的性质得出对应角和对应边的相等关系，结合∠ABC=2∠C进一步可求证结果。
精品解析：北京市朝阳区首都师范大学附属实验学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年度首师大附初二上期中数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1.手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线对折后两端完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,判断即可.【详解】A选项不是轴对称图形,故不选A;B选项不是轴对称图形,故不选B;C选项不是轴对称图形,故不选C;D选项是轴对称图形，故选D.故选D.【点睛】此题考查的是轴对称图形的判定，利用轴对称图形的定义判断一个图形是否为轴对称图形是解决此题的关键.2.下列计算正确的是（）.A. a2∙a3=a5B. (a2)3=a5C. a8÷a2=a4D. 2x+3y=5xy【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和同类项的定义逐一判断即可.【详解】A. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：a2∙a3= a2+3=a5，故A正确；B. 幂的乘方，底数不变，指数相乘：(a2)3= a2×3=a6，故B错误；C. 同底数幂相除，底数不变，指数相减：a8÷a2=a8－2= a6，故C错误；D. 2x和3y不是同类项，不能合并，故D错误.故选A.【点睛】此题考查的是幂的性质和同类项的定义，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和同类项的定义是解决此题的关键.3.将多项式a2-6a-5变为(x+p)2+q的形式，结果正确的是（）.A. (a+3)2-14B. (a-3)2-14C. (a+3)2+4D. (a-3)2+4【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式配方即可.【详解】解：a2-6a-5= a2-6a+9-9-5=(a-3)2-14故选B.【点睛】此题考查的是配方，掌握完全平方公式的特征是解决此题的关键.4.下图的方格纸中有若干个点，若A、B两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）.A. P 1B. P 2C. P 3D. P 4【答案】C【解析】【分析】 根据两点的对称轴即两点连线的垂直平分线，利用勾股定理分别求出选项中各点到A 、B 的距离，再根据垂直平分线的性质即可判断.【详解】解：连接P 1B ，P 2A ，P 3A ，P 3B ，P 4B ，设正方形的边长为1，P 4O=a ，如下图所示∵A 、B 两点关于过某点的直线对称∴此点在AB 的垂直平分线上∴此点到A 、B距离相等由图可知：P 1A=1根据勾股定理：P 1∴P 1A ≠P 1B ，故A 选项不符合题意；由图可知：P 2B=2根据勾股定理：P 2∴P 2B ≠P 2A ，故B 选项不符合题意；根据勾股定理：P 3P 3∴P 3A= P 3B ，故C 选项符合题意；由图可知P 4A=1+a根据勾股定理：P 4当P4A＝P4B时，即1+a解得：a=0（与图不符）∴P4A≠P4B，故D选项不符合题意.故选C.【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质和勾股定理，掌握线段的对称轴：垂直平分线及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.5.下列说法正确的是（）.A. 不论x取何值，（x-1）0=1B.2662的值比2432大C. 多项式x2+x+1是完全平方式D. 4⨯3100-399是11的倍数【答案】D【解析】【分析】根据一个数的0次幂有意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律逐一判断即可. 【详解】A. 因为0的0次幂无意义，所以x－1≠0，故A错误；B. 因为26636926416==，2439216=，所以22646322=，故B错误；C. 多项式x2+x+1中，一次项系数不符合首尾没平方之前的两倍，不是完全平方式，故C错误；D. 4⨯3100-399=399×（4×3－1）=399×11∵399×11÷11=399∴4⨯3100-399是11的倍数，故D正确.故选D.【点睛】此题考查的是一个数的0次幂有意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律，掌握任何非0数的0次幂都等于1，完全平方公式的特征和乘法分配律是解决此题的关键.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0,8），点B （6,8），若点P 同时满足下列条件：①点P 到A ,B 两点的距离相等；②点P 到∠xOy 的两边距离相等.则点P 的坐标为（ ）.A. （3,5）B. （6,6）C. （3,3）D. （3,6）【答案】C【解析】【分析】 由点P 到A 、B 两点的距离相等，故P 在AB 的中垂线上，再根据点P 到∠xOy 的两边距离相等，故点P 在∠xOy 的角平分线上，可在图中作出点P ，然后根据A 、B 的坐标即可求出P 点坐标.【详解】解：∵点P 到A,B 两点的距离相等，点P 到∠xOy 的两边距离相等∴点P 在AB 的中垂线上，也在∠xOy 的角平分线上∵点P 即为AB 的中垂线与∠xOy 的角平分线的交点，如下图所示，点P 即为所求∵AB ⊥y 轴∴AB 的中垂线∥y 轴∴点P 的横坐标与AB 中点的横坐标相等，且AB 中点横坐标为：0632+= ∴P 点横坐标为3∵点P在∠xOy的角平分线上∴P点横坐标=P点纵坐标=3∴点P的坐标为（3,3）故选C.【点睛】此题考查的是垂直平分线的判定和角平分线的判定，利用垂直平分线的判定和角平分线的判定确定P点位置，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征，求点的坐标是解决此题的关键.7.点（-2,3）关于x轴的对称点为（）.A. （-2,-3）B. （2,-3）C. （2,3）D. （3,-2）【答案】A【解析】【分析】根据关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求出.【详解】解：∵关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数∴点（-2,3）关于x轴的对称点为：（-2,-3）故选A.【点睛】此题考查的是求一个点关于x轴对称的对称点的坐标，掌握关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解决此题的关键.8.已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12,若点P在线段AD上运动，当12AP+BP的值最小时，AP的长为（）.A. 4B. 8C. 10D. 12 【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得：∠CAD=∠ABF=∠CBF=12∠BAC=30°，从而可得：PD=12AP，故12AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值，根据垂线段最短的性质即可判断BF即为PD＋BP的最小值，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求AP即可.【详解】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示∵等边△ABC中AD⊥BC，∴∠CAD=∠ABF=∠CBF=12∠BAC=30°，∴PD=12AP∴12AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短∴BF即为PD＋BP的最小值∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示∵∠CAD=∠ABF=∠CBF =30°∴AP= BP，PD=12BP=12AP∵AD=12∴AP＋PD=12∴AP＋12AP=12解得：AP=8故选B.【点睛】此题考查的是求线段和的最值问题和直角三角形的性质，掌握“胡不归问题”的作图方法和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键.二、填空题（每小题3分，共24分）9.等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为________．【答案】50°或80°【解析】①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°−80°）÷2 =50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．10.如图，已知AE平分∠BAC,点D是AE上一点，连接BD,CD.请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD.添加的条件是：____.（写出一个即可）【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE（四者选一即可）【解析】【分析】先找到证△ABD≌△ACD的已知条件，然后再根据全等三角形的判定定理添加条件即可.【详解】解：∵AE平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD∵AD=AD再添加AB=AC,可用SAS证明△ABD≌△ACD；再添加∠B=∠C,可用AAS证明△ABD≌△ACD；再添加∠BDA=∠CDA,可用ASA证明△ABD≌△ACD；再添加∠BDE=∠CDE,根据等角的补角相等，可得：∠BDA=∠CDA,可用ASA证明△ABD≌△ACD；故答案为：AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE（四者选一即可）【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键. 11.已知：4x⋅9x=612，则x=____.【答案】6【解析】【分析】逆用积的乘方和幂的乘方将等式左侧变形，然后列方程即可.【详解】解：∵4x⋅9x=612∴（4×9）x=612∴36x=612∴（62）x=612∴62x=612∴2x=12解得：x=6故答案为：6.【点睛】此题考查的是幂的性质，掌握逆用积的乘方和幂的乘方是解决此题的关键.12.已知x m=2,x n=3，则x m+n=____.【答案】6【解析】【分析】逆用同底数幂的乘法即可.【详解】解：x m+n=x m·x n=2×3=6故答案为：6【点睛】此题考查的是幂的性质，掌握逆用同底数幂的乘法是解决此题的关键.13.如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD,使AC=AD,连接BD,若∠DBC=41°，∠CAD=________°.【答案】82°【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，从而求出∠ABD的度数，然后根据已知条件可得：AB=AD，根据等边对等角即可得：∠ADB=∠ABD，利用三角形的内角和即可求出∠BAD，从而求出∠CAD的度数.【详解】解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°∵AC=AD，∠DBC=41°∴AB=AD，∠ABD=∠ABC－∠DBC=19°∴∠ADB=∠ABD=19°∴∠BAD=180°－∠ADB－∠ABD=142°∴∠CAD=∠BAD－∠BAC=82°故答案为：82°.【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是60°和等边对等角是解决此题的关键.14.有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a>2b）,按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD.下面有四种说法：①阴影部分周长为4a;②阴影部分面积为（a+2b）（a-2b）;③四边形ABCD周长为8a-4b;④四边形ABCD的面积为a2-4ab+4b2.所有合理说法的序号是____.【答案】①②④.【解析】【分析】①利用平移法即可发现阴影部分的周长=大正方形的周长，计算大正方形的周长即可；②用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可；③先证出四边形ABCD 是正方形，然后计算出ABCD 的边长，即可计算它的周长；④根据③中的边长求面积即可.【详解】解：①如下图所示：利用平移法可发现：阴影部分的周长=大正方形的周长=4a ，故①正确；②阴影部分的面积=大正方形的面积－四个小正方形的面积= a 2-4b 2=（a +2b ）（a -2b ）故②正确；③由图可知：AB=a －2b ，AD=a －2b ，∠BAD=90°∴四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABCD 的周长为：4（a －2b ）=4a －8b故③错误；④正方形ABCD 的面积为：（a －2b ）2= a 2-4ab +4b 2 故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】此题考查的是整式的乘法，掌握数形结合的数学思想、平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键. 15.如图，在△ABC 中，∠B =30°，AD ⊥BC 于点D ，如果AB =8,BC =10,则△ABC 的面积是____. 【答案】20 【解析】【分析】根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出高AD，然后再根据面积公式求面积即可. 【详解】解：∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，AB=8∴AD=12AB=4∴S△ABC=12BC·AD=20故答案为：20.【点睛】此题考查的是直角三角形的性质及面积公式，掌握30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键.16.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=30°，BD平分∠ABC交AC于点D,BC的垂直平分线EF交BC于点E,交BD于点F,若BF=6,则AC的长为____.【答案】6.【解析】【分析】连接FC，根据等腰三角形的性质即可得：∠ABD=∠CBD=12∠ABC=15°，BD⊥AC，AD=CD，然后根据垂直平分线的性质可得：FB=FC=6，根据等边对等角可得：∠FCB=∠FBC=15°，再利用三角形的外角的性质求出∠DFC=30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出DC，从而求出AC.【详解】解：连接FC∵AB=BC,∠ABC=30°，BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=15°，BD⊥AC，AD=CD∵EF垂直平分BC∴FB=FC=6∴∠FCB=∠FBC=15°∴∠DFC=∠FCB＋∠FBC=30°∴CD=12FC=3∴AC= AD＋CD=6故答案为：6.【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和直角三角形的性质，掌握等边对等角、三线合一、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键.三、解答题（本大题共60分，其中17题4分；18题8分；19-24题，每题5分；第25-27题，每题6分）17.计算：55527 (3)(14)π⨯-+-【答案】0【解析】【分析】根据任何非0数的0次幂都等于1和逆用积的乘方计算即可.【详解】解：55527 (3)(14)π⨯-+-=()5527 1(14)⨯+-=5514114+- =()11+-=0【点睛】此题考查的是幂的性质，掌握任何非0数的0次幂都等于1和逆用积的乘方是解决此题的关键. 18.因式分解（1）x 2-y 2（2）ax 2+4ax +4a【答案】（1）（x ＋y ）（x －y ）；（2）a （x +2）2【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可.【详解】解：（1）x 2-y 2=（x ＋y ）（x －y ）（2）ax 2+4ax +4a= a （x 2+4x +4）= a （x +2）2【点睛】此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法因式分解和公式法因式分解是解决此题的关键. 19.已知4a 2-b 2=6,2a +b =1.（1）求2a-b 的值.（2）化简代数式[a 2+b 2+2b (a -b )-(a -b )2]÷4b ，并求值【答案】（1）6；（2）化简：22a b-；求值：3.【解析】【分析】（1）将4a2-b2因式分解，再用整体代入法代入即可求出2a-b的值；（2）先将代数式化简，然后再用整体代入法代入求值即可.【详解】解：（1）∵4a2-b2=（2a+b）（2a-b），4a2-b2=6,2a+b=1∴2a-b=6（2）[a2+b2+2b(a-b)-(a-b)2]÷4b=22222222[]4a b ab b a ab b b++--÷-+=2]4[24ab b b÷-=() 224b a bb-=22 a b-将2a-b=6代入原式=3.【点睛】此题考查的是因式分解和整式的乘、除法，掌握用平方差公式因式分解和完全平方公式是解决此题的关键.20.如图，在△ABC中，∠B=∠ACB,D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB=3,CF=7,求AE.【答案】5【解析】【分析】先证△ADE ≌△CFE ，得到AD=CF=7，从而求出AB 的长，再根据等角对等边即可得：AC=AB ，最后根据AE=12AC ，即可求出AE. 【详解】解：∵E 是边AC 的中点∴AE=EC=12AC ∵CF ∥AB∴∠A=∠FCE在△ADE 和△CFE 中 A FCE AE ECAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CFE∴AD=CF=7∴AB=AD+DB=10∵∠B =∠ACB∴AC=AB=10∴AE=12AC=5 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和等角对等边是解决此题的关键.21.先化简，再求值.(a +b )2-(a +b )(a -b )-2b (b +3a )，其中a =2,b =-1.【答案】化简：-4ab ；值为：8.【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则计算即可.【详解】解：(a+b)2-(a+b)(a-b)-2b(b+3a)= a2+2ab+b2- a2+b2-2 b2-6ab=-4ab将a=2,b=-1代入得：原式=-4×2×（-1）=8【点睛】此题考查的是整式的乘法，掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则是解决此题的关键.22.在△ABC的边AC上取一点，使得AB=AD,若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明.【答案】∠ABC =3∠C，理由见解析.【解析】【分析】根据等边对等角即可得：∠ABD=∠ADB，然后根据垂直平分线的性质可得：DB=DC，再根据等边对等角即可得：∠DBC=∠C，根据三角形外角的性质，可得∠ADB=∠DBC＋∠C=2∠C，从而得到∠ABD=2∠C，即可得到∠ABC与∠C的数量关系.【详解】解：∠ABC =3∠C，理由如下：∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB∵点D 恰好在BC 的垂直平分线上∴DB=DC∴∠DBC=∠C∴∠ADB=∠DBC ＋∠C=2∠C∴∠ABD=2∠C∴∠ABC=∠ABD ＋∠CBD=2∠C ＋∠C=3∠C【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和外角的性质，掌握等边对等角、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此题的关键.23.双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期.预期一：第1步，销售量扩大为原来的a 倍.第2步，再扩大为第1步销售量的b 倍.预期二：第1步，销售量扩大为原来的2a b +倍；第2步，再扩大为第1步销售量的2a b +倍；其中a ,b 为不相等的正数，请问两种预期中，哪种销售量更多？试说明理由.【答案】当b －a ＞0或b －a ＜﹣2时，预期二的销售量更多；当﹣2＜b －a ＜0时，预期一的销售量更多；b －a =﹣2时两者销售量一样多.【解析】【分析】分别表示出预期一和预期二的销售量，然后利用作差法比较大小即可.【详解】解：设原来的销售量为x依题意：预期一的销售量为：ax ＋a b x ；依题意：预期二的销售量为：2a b x +⎛⎫ ⎪⎝⎭＋22a b x +⎛⎫ ⎪⎝⎭；()222a b a b x x ax abx ++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =222a b a b x ax x abx ⎡⎤++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦=22224b a a ab b x x ab ⎡⎤-++⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =22224b a a ab b x x ⎛⎫--+⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()224b a b a x x --⎛⎫+∙ ⎪⎝⎭ =()42b a x b a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ①当b －a ＞0时， ∵x ＞0，b －a ＞0,2＋b －a ＞0 ∴()420b a x b a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ 此时预期二的销售量更多； ②当﹣2＜b －a ＜0时 ∵x ＞0，b －a ＜0,2＋b －a ＞0 ∴()420b a x b a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭ 此时预期一的销售量更多； ③当b －a ＜﹣2时 ∵x ＞0，b －a ＜0,2＋b －a ＜0 ∴()420b a x b a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ ∴此时预期二的销售量更多；④当b －a =﹣2时∵x ＞0，b －a ＜0,2＋b －a =0 ∴()420b a x b a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭此时两者销售量一样多综上所述：当b －a ＞0或b －a ＜﹣2时，预期二的销售量更多；当﹣2＜b －a ＜0时，预期一的销售量更多；b －a =﹣2时两者销售量一样多..【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和比较大小，掌握用作差法比较大小和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.24.如图，已知△ABC 中，AB =AC ,AD 为中线，点P 是AD 上一点，点Q 是AC 上一点，且∠BPQ +∠BAQ =180°. （1）若∠ABP =α，求∠PQC 的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP =PQ .【答案】（1）α；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由四边形内角和即可求出∠AQP ，从而求出∠PQC ；（2）过点P 分别作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，证明△PEB ≌△PFQ 即可.【详解】解：（1）∵∠BPQ +∠BAQ =180°，∠ABP =α∴∠AQP=360°－∠BPQ －∠BAQ －∠ABP=180°－α∴∠PQC=180°－∠AQP=α（2）过点P 分别作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵AB =AC ,AD 为△ABC 的中线∴AD 平分∠BAC∴PE=PF在△PEB 和△PFQ 中90=PEB PFQ PBE PQFPE PF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△PEB ≌△PFQ∴BP=PQ【点睛】此题考查的是四边形的内角、等腰三角形的性质和全等三角形的判定，掌握四边形的内角和等于360°、三线合一和用AAS 判定两个三角形全等是解决此题的关键.25.对于多项式A =x 2+bx +c （b 、c 为常数），作如下探究： （1）不论x 取何值，A 都是非负数，求b 与c 满足的条件；（2）若A 是完全平方式，①当c =9时，b = ;当b =3时，c = ;②若多项式B =x 2-dx -c 与A 有公因式，求d 的值.【答案】（1）240c b -≥；（2）①±6；94；②0. 【解析】【分析】（1）根据完全平方的非负性配方即可；（2）①根据完全平方公式的特征即可求出；②根据A 是完全平方式，可设()22222A x bx c x y x xy y =++=+=++①，再根据多项式B =x 2-dx -c 与A 有公因式，可设()()()22+y++z =B x dx c x y x z x x yz =--=++②，然后利用对应系数法可得：2c y =，y+z =d c yz -=-，从而得出z y =-，即可求出d 的值.【详解】解：（1）2A x bx c =++ =22222b b x bx c ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2224b b x c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=22424b c b x -⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∵202b x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，不论x 取何值，A 都是非负数 ∴2404c b -≥ ∴240c b -≥（2）①当c=9时∵A 是完全平方式，即x 2+bx +9= x 2+bx +32是完全平方式， ∴b=±2×3=±6；当b =3时∵A 是完全平方式即x 2+3x +c 是完全平方式 ∴23924c ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ②∵A 是完全平方式，设()22222A x bx c x y x xy y =++=+=++①∵B =x 2-dx -c 与A 有公因式 ∴设()()()22+y++z =B x dx c x y x z x x yz =--=++② 由①式可得：2c y =，由②式可得：y+z =d c yz -=-，故z y =-∴+z 0y d -==解得：0d =【点睛】此题考查的是整式的乘法和完全平方公式，掌握配方法、完全平方公式的特征和对应系数法是解决此题的关键.26.如图，△ABC 中，AB =BC ,∠ABC =120°，点E 是AC 上一点，连接BE ，且∠BEC =50°，D 为点B 关于直线AC 的对称点，连接CD ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转40°得到线段EF ，连接DF .（1）请你在下图中补全图形；（2）请写出∠EFD 的大小，并说明理由；（3）连接CF ,求证：DF =CF .【答案】（1）图见解析；（2）60°；理由见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接ED，根据对称性质可得：ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°，再根据旋转性质可得：BE=EF，∠BEF=40°，从而得出EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°，即可判定△EFD为等边三角形，从而求出∠EFD 的大小；（3）连接BF并延长交DC于G，利用等边对等角求出∠BCA，根据对称的性质可得：CB=CD，∠BCG=2∠BAC=2∠DCA=60°,再求出∠CBG的度数，从而可判定BG⊥CD，再根据30°所对的直角边是斜边的一半，即可证出G是CD的中点，从而得到BG垂直平分CD，根据垂直平分线的性质即可证DF=CF. 【详解】补全图形如下所示：（2）连接ED，∵D为点B关于直线AC的对称点∴ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°∵EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF∴BE=EF，∠BEF=40°∴EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°∴△EFD 为等边三角形∴∠EFD =60°（3）连接BF 并延长交DC 于G∵AB=AC ，∠ABC=120°∴∠A=∠BCA=12（180°－∠ABC ）=30° ∵D 为点B 关于直线AC 的对称点∴CB=CD ，∠BCG=2∠BAC=2∠DCA=60°∵BE=EF ，∠BEF=40°∴∠EBF=∠EFB=12（180°－∠BEF ）=70° ∠EBC=180°－∠BEC －∠BCE=100°∴∠CBG=∠EBC －∠EBF=30°∴∠BGC=180°－∠CBG －∠BCG=90°∴BG ⊥CD ，CG=12BC=12CD ∴G 为CD 的中点∴BG 垂直平分CD∴DF =CF .【点睛】此题考查的是等边三角形的判定、垂直平分线的判定及性质和直角三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定定理、垂直平分线的定义和性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键. 27.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W ,若点Q 为图形W 上任意一点，点Q 关于第一、三象限角平分线的对称点为Q',且线段PQ',的中点为M（m,0）,则称点P是图形W关于点M（m,0）的“关联点”.（1）如图1，若点P是点Q(0,15)关于原点的关联点，则点P的坐标为;（2）如图2，在△ABC中，A（2,2），B（-2,0），C（0，-2），①将线段AO向右平移d（d>0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2,0）的关联点，则d的取值范围是 .②已知点S（n+2,0）和点T（n+4,0）,若线段ST上存在△ABC关于点N（n,0）的关联点，求n的取值范围.【答案】（1）（15-，0）；（2）⎺23d<≤；②02n≤≤或35n≤≤.【解析】【分析】（1）设P点坐标为（a，b），根据“关联点”的定义、中点的坐标公式和关于第一三象限角平分线对称的两点坐标规律即可求出；（2）①先求出原AC与x轴的交点，然后根据△ABC是轴对称图形，且对称轴为第一、三象限角平分线和“关联点”的定义可得：“关联点”定义中Q'为OA关于（2,0）的对称线段O'A'与≥ABC边的交点，平移线段O'A'可发现：当A'在C左侧，O'过点（1,0）或在（1,0）右侧时符合题意，最后列不等式即可；②由S、T的坐标可知：线段ST是x轴的一部分，线段ST关于N点的对称线段S' T'也是x轴的一部分，从而判断出定义中Q'是≥ABC边与x轴的交点，由图可知：点Q'只有（-2，0）和（1,0）两种可能，再根据线段S ' T '需过（-2，0）或（1,0）分类讨论并列不等式即可.【详解】解：（1）设P 点坐标为（a ，b ）∵点Q 关于第一、三象限角平分线的对称点为Q '5根据关于第一三象限角平分线对称的两点坐标规律：点Q 的横坐标为点Q '的纵坐标，点Q 的纵坐标为点Q '的横坐标4点Q '的坐标为：（15，0）4点P 是点Q (0,15)关于原点的关联点∴P Q '的中点为原点 41502002ab⎧+⎪=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：150a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故P 点坐标为：（15-，0）；（2）设原AC 的解析式为y=kx ＋b将A 、C 两点坐标代入：222k bb =⎧⎨-=⎩＋解得：22k b =⎧⎨=-⎩∴原直线AC 的解析式为：y=2x-2当y=0时，解得：x=1故原AC 与x 轴的交点为（1,0）由图可知：△ABC 是轴对称图形，且对称轴为第一、三象限角平分线由“关联点”的定义可知：定义中Q 在△ABC 边上∴点Q '也在≥ABC 边上∵将线段AO 向右平移d （d >0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC 关于点（2,0）的关联点， ∴点Q '和线段OA 上的点必关于点（2,0）对称，此时O 点坐标为（d ，0），A 点坐标为（2＋d ，2） 故作出OA 关于（2,0）的对称线段O 'A '，其中O '坐标为（4－d ，0），A '坐标为（2－d ，－2），Q '也必在O 'A '上即点Q '为O 'A '与≥ABC 边的交点，∵线段上存在两个△ABC 关于点（2,0）的关联点，∴O 'A '与≥ABC 边必须有两个交点才满足题意如图中蓝线所示，平移O 'A '可发现，当A '与C 重合时，与≥ABC 边有一个交点，继续向左平移即可有两个交点，当O '过点（1,0）也有两个交点，继续向左平移就只有一个交点故当A '在C 左侧，O '过点（1,0）或在（1,0）右侧时符合题意∴2041d d -<⎧⎨-≥⎩解得：23d <≤.②∵点S （n+2,0）和点T （n+4,0）∴线段ST 是x 轴的一部分∵线段ST 上存在△ABC 关于点N （n ,0）的关联点∴故S 、T 关于点N （n ,0）的对称点S '坐标为（n －2,0），T '坐标为（n －4,0），定义中Q '在线段S ' T '上（x 轴上），∴Q '即为≥ABC 边与x 轴的交点由图可知，点Q '只有（-2，0）和（1,0）两种可能∴线段S ' T '需过（-2，0）或（1,0）当S ' T '过（-2，0）时4222n n -≤-⎧⎨-≥-⎩解得：02n ≤≤；当S ' T '过（1，0）时4121n n -≤⎧⎨-≥⎩解得：35n ≤≤.综上所述：02n ≤≤或35n ≤≤.【点睛】此题考查的是新定义类问题，此题难度较大，理解“关联点”的定义、掌握关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标规律、用待定系数法求一次函数解析式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.。
北京师大附中2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式：，，x2+y2，5，，，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，那么等于（）A．B．C．D．3．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC4．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠25．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS6．下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣29．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（）A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC二．填空题（共8小题）11．用科学记数法表示：0.00000108＝．12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．13．若（2x+5）﹣3有意义，则x满足的条件是．14．计算：．15．如果多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，那么m的值为．16．当x＝时，分式的值为0．17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝°．18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n＝．（用含n的代数式表示）三．解答题（共11小题）19．分解因式：（1）（2）a3﹣2a2b+ab220．计算：（1）（2）（3）21．先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．22．解方程：﹣＝1．23．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．24．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．25．阅读下面的材料，解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求x y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．26．一块含45°的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为，位置关系为；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．27．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．28．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p ≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．29．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写出此时对应的α的大小（不用证明）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式：，，x2+y2，5，，，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．2．已知，那么等于（）A．B．C．D．【分析】由题干条件求出a、b的关系，然后求出．【解答】解：由原式子可得出：5（a﹣b）＝3a，即：2a＝5b；所以＝，故选：B．3．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AE＝DF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：A．4．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠2【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵使分式有意义，∴x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：D．5．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS【分析】根据AB＝CD、AD＝CB、BD＝DB，利用全等三角形判定定理SSS即可证出△ABD ≌△CDB．【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS）故选：A．6．下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、原式＝﹣1，不是最简分式；B、是最简分式；C、原式＝，不是最简分式；D、原式＝＝，不是最简分式；故选：B．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD．【解答】解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝4cm，∴点D到AB的距离DE是4cm．故选：B．8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】分式方程的增根即为使分式方程无意义的解，即使分式分母为零的解，可得方程的增根是x＝2．先求出分式方程的根，使其等于2，可求a的值．【解答】解：程方成左右同时乘2（x﹣2），得2+6（x﹣2）＝a解得：x＝∵x＝2是分式方程的增根，∴＝2∴a＝2故选：B．9．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（）A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【分析】A、证明△ACD≌△BCE即可得出答案；B、根据等边三角形性质得出AB＝BC，只有F为AC中点时，才能推出AC⊥BE．C、由△ACG≌△BCF，推出CG＝CF，根据∠ACG＝60°即可证明；D、根据等边三角形性质得出∠CFG＝∠ACB＝60°，根据平行线的判定推出即可．【解答】解：A、∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACD＝∠ECB，在△ACD与△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，正确，故本选项错误；B、根据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC⊥BE错误，故本选项正确；C、△CFG是等边三角形，理由如下：∵∠ACG＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BCA，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，在△ACG和△BCF中∵，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF，又∵∠ACG＝60°∴△CGH是等边三角形，正确，故本选项错误；D、∵△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°＝∠ACB，∴FG∥BC，正确，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．用科学记数法表示：0.00000108＝ 1.08×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000108＝1.08×10﹣6．故答案为：1.08×10﹣6．12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 2 块．【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．13．若（2x+5）﹣3有意义，则x满足的条件是．【分析】根据负整数指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．【解答】解：∵（2x+5）﹣3有意义，∴2x﹣5≠0，∴x满足的条件是x≠﹣．故答案为：x≠﹣．14．计算：＝1 ．【分析】题目中只有乘除运算，按照运算法则按顺序计算即可．【解答】解：原式＝x＝1故答案为1．15．如果多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，那么m的值为3或﹣1 ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，∴m﹣1＝±2，解得：m＝3或﹣1，故答案为：3或﹣116．当x＝﹣1 时，分式的值为0．【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x2﹣1＝0，且x2﹣2x+1≠0，∴（x﹣1）（x+1）＝0且（x﹣1）2≠0，解得，x＝﹣1．故答案是：﹣1．17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝135 °．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案为：135．18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n＝．（用含n的代数式表示）【分析】根据题意按规律求解：b1＝2（1﹣a1）＝2×（1﹣）＝＝，b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）＝×（1﹣）＝＝，…．所以可得：b n的表达式b n＝．【解答】解：根据以上分析b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）＝．三．解答题（共11小题）19．分解因式：（1）（2）a3﹣2a2b+ab2【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2．20．计算：（1）（2）（3）【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和绝对值的意义求解可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（3）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣1﹣（﹣1）＝﹣2﹣+1＝﹣1﹣；（2）原式＝÷•＝••＝；（3）原式＝﹣＝＝﹣．21．先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后选一个使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：1﹣÷＝1﹣＝1﹣＝＝，当x＝2时，原式＝＝．22．解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．23．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．【分析】证明△ABC≌△BDE（AAS），即可求解．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠CBA，而∠A＝∠DBE，AB＝BD，∴△ABC≌△BDE（ASA），∴AC＝BE．24．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，利用高铁列车比普通快车用时少了20分钟得出等式进而求出答案．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．根据题意得：﹣＝，解得：x＝180，经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5x＝1.5×180＝270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．25．阅读下面的材料，解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求x y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．【分析】（1）已知等式左边变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出所求；（2）已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围即可．【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，∴x2 +4x+4+x2﹣2xy+y2＝0，∴（x+2）2+（x﹣y）2＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣2，∴x y＝（﹣2）﹣2＝；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝5，b＝4，∴1＜c＜9．26．一块含45°的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为CE＝BD，位置关系为CE⊥BD；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ACE＝∠ABC，即可证BD⊥CE；（2）①由题意画出图形；②由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ACE＝∠ABC，即可证BD⊥CE；【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，且AD＝AE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：CE＝BD，CE⊥BD；（2）①如图2所示：②仍成立．证明：∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ABD＝135°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝90°，∴CE⊥BD．27．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝30 ．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝9 ．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．．【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；…（4分）（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴，∴x+y+z＝9，故答案为：9；…（6分）（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）28．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p ≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【分析】（1）根据题意可设m＝n2，由最佳分解定义可得F（m）＝＝1；（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）＝18，即y＝x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝18，∴y＝x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）＝，F（24）＝＝，F（35）＝，F（46）＝，F（57）＝，F（68）＝，F（79）＝，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．29．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写出此时对应的α的大小（不用证明）．【分析】（1）①由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD；②由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠DBC，由三角形内角和定理可求解；（2）由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得∠AEC＝∠DBC，由三角形内角和定理可求解．【解答】证明：（1）①∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE＝BD，②∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∵∠AFB＝180°﹣∠EAC﹣∠DBC＝180°﹣（∠EAC+∠AEC），且∠AEC+∠EAC＝∠BCE＝α，∴∠AFB＝180°﹣α；（2）∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴∠AEC＝∠DBC，∵CB＝CE，∠ECB＝α，∴∠CEB+∠CBE＝180°﹣α；∵∠AFB＝∠AEB+∠FBE＝∠AEC+∠CEB+∠FBE＝∠DBC+∠FBE+∠CEB＝∠CBE+∠CEB，∴∠AFB＝180°﹣α，且∠AFB＝150°，∴α＝30°。
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题）．1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b =2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC <<4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b +9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒10．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，CPE ∠的度数是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-= ．12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = ．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 ．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为 ．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = ．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 度．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为 ．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = ．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．23．已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM 上作一点C ，使AC AB =；②作ABM ∠的角平分线交AC 于D 点；③在射线CM 上作一点E ，使CE CD =，连接DE ．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并证明．24．如图，点B 、F 、C 、E 在直线l 上(F 、C 之间不能直接测量），点A 、D 在l 异侧，测得AB DE =，//AB DE ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DEF ∆≅∆；（2）若10BE m =，3BF m =，求FC 的长度．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC + AB AC +（填“>”、“ <”或“=” )（2）证明（1）中的结论．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最 值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b = 解：A ．2a a a -÷=-，故本选项不合题意；B ．325a a a =g ，故本选项不合题意；C ．224()a a =，正确，故本选项符合题意；D ．2363()a b a b =，故本选项不合题意．故选：C ．2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、是轴对称图形；B 、不是轴对称图形；C 、不是轴对称图形；D 、不是轴对称图形；故选：A ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC << 解：第三边BC 的取值范围是5353BC -<<+，即28BC <<．故选：D ．4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ． 解：这个正多边形的边数是n ，则(2)180720n -︒=︒g ，解得：6n =．则这个正多边形的边数是六，故选：D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-解：根据两点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得(2)2a =--=，3b =．5a b ∴+=故选：C ．6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒ 解：①若100︒的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：18010080︒-︒=︒；②若100︒的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：18010080︒-︒=︒；∴它的顶角为：180808020︒-︒-︒=︒；∴它的顶角的度数为：80︒或20︒．故选：C ．7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒解：80A ∠=︒Q ，40ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒，ABC DCB ∆≅∆Q ，60DCB ABC ∴∠=∠=︒，20ACD DCB ACB ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b + 解：由题可知，9张卡片总面积为2244a ab b ++，22244(2)a ab b a b ++=+Q ，∴大正方形边长为2a b +．故选：A ．9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒ 解：Q 矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=︒，1805032652︒-︒∴∠=∠==︒， Q 矩形对边//AD BC ，180318065115AEF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：B ．10．如图，ABC∆是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，CPE∠的度数是()A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE PC+最小，⊥，Q是等边三角形，AD BC∆ABC∴=，PC PB∴+=+=，PE PC PB PE BE即BE就是PE PC+的最小值，Q是等边三角形，ABC∆∴∠=︒，BCE60=，Q，AE EC=BA BC∴⊥，BE AC∴∠=︒，BEC90∴∠=︒，EBC30Q，=PB PC∴∠=∠=︒，PCB PBC30∴∠=∠+∠=︒，CPE PBC PCB60故选：C．二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-=5． 解：3a x =Q ，4b x =，5c x =，2a b c x +-∴ 2()a b c x x x =÷g2345=⨯÷ 945=⨯÷365=． 故答案为：365 12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = 12 ．解：(8)(23)mx x +-2231624mx mx x =-+-23(224)16mx m x =-+-+，Q 多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，2240m ∴-=，解得：12m =，故答案为：12．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 8± ．解：216x mx ++Q 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为 7cm ．解：DE Q 垂直平分AB ，DB DA ∴=，DBC ∆Q 的周长是16cm ，16BC CD BD cm ∴++=，即16BC AC cm +=，又9AC cm =，7BC cm ∴=，故答案为：7cm ．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = 9 ．解：AD BC ⊥Q ，90ADB ∴∠=︒，60B ∠=︒Q ，18030BAD ADB B ∴∠=︒-∠-∠=︒，6AB =Q ，132BD AB ∴==， 3DC BD =Q ，9DC ∴=，故答案为：9．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 10 度．解：AB AC =Q ，∴设B C x ∠=∠=度，EDC a ∠=，DEA ∠Q 是DCE ∆的外角，故DEA x a ∠=+，在等腰三角形ADE 中，AE AD =，ADE x a ∴∠=+．在ABD ∆中，20x x a a +=++，解得10a =，则10CDE ∠=度．故填10．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为 2- ．解：22m n =+Q ，22()n m m n =+≠，22m n n m ∴-=-，m n ≠Q ，1m n ∴+=-，∴原式(2)2(2)m n mn n m =+-++222mn m mn mn n =+-++2()m n =+2=-．故答案为2-．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = 464x 或8x 或8x - ．解：根据完全平方公式定义得，当464P x =时，组成的完全平方式可变为22(18)x +；当8P x =时，组成的完全平方式可变为2(14)x +；当8P x =-时，组成的完全平方式可变为2(14)x -；故答案为：464x 或8x 或8x -．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-解：（1）2332(2)x y xy -2326(4)x y x y =g494x y =；（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-21153mn m =--+． 20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+解：（1）22282(4)2(2)(2)x x x x -=-=+-；（2）32221025(1025)(5)x y x y xy xy x x xy x -+=-+=-．21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-． 解：原式2(21)(2)(2)4(1)x x x x x =-++---222441444x x x x x =-++--+23x =-， 当13x =-时，原式269=-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A 2-，3 )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．解：（1）如图1，△111A B C 即为所求；（2）由（1）可知，答案为：2-，3；1-，0；1-，2；（3）如图2所示，点D的坐标为(0,1)-或(2,1)-或(0,3)．23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC AB=；②作ABM∠的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE CD=，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．解：（1）如图所示：（2）BD DE=，证明：BDQ平分ABC∠，1 12ABC∴∠=∠．AB AC=Q，4ABC∴∠=∠．114∴∠=∠．2Q，CE CD=∴∠=∠．23Q，∠=∠+∠4231∴∠=∠．342∴∠=∠．13∴=．BD DE24．如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB DE∠=∠．=，//AB DE，A D（1）求证：ABC DEF∆≅∆；（2）若10BF m=，求FC的长度．=，3BE m【解答】（1）证明：//Q，AB DE∴∠=∠，ABC DEF在ABC∆中∆与DEFABC DEFAB DE A D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABC DEF ∴∆≅∆；（2）ABC DEF ∆≅∆Q ，BC EF ∴=，BF FC EC FC ∴+=+，BF EC ∴=，10BE m =Q ，3BF m =，10334FC m ∴=--=．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC+ > AB AC +（填“>”、“ <”或“=”)（2）证明（1）中的结论．解：（1）结论：BE EC AB AC +>+．故答案为>．（2）理由：在AF 上截取AH ，使得AH AC =．AC AE =Q ，CAF HAE ∠=∠，AE AE =，()EAC EAH SAS ∴∆≅∆，EC EH ∴=，EB EH BH +>Q ，EB EC AB AC ∴+>+．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最 值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）22(41)(47)9x x x x +++++，设24x x y +=，原式(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =++4(2)x =+；（3）设22x x y -=，原式(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =-+4(1)x =-；（4）22(2)(22)1x x x x --+-222(2)2(2)1x x x x =-+--222(2)2(2)12x x x x =-+-+-22(21)2x x =-+-4(1)2x =--，故当1x =时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最小值，最小值为2-． 故答案为：C ；4(2)x +；1，小．27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：Q 直线m 是线段AB 的垂直平分线， AC BC ∴=，EA EB =，EAC EBC ∴∠=∠．ACD ∆Q 为等边三角形，CD AC BC ∴==，EDC EBC ∴∠=∠，EAC EDC ∴∠=∠．（2）如图2中，结论：EB EC ED =+．理由：设CD 交AE 于J ，在EA 上取一点H ，使得EH ED =． ADC ∆Q 是等边三角形，DA DC AC ∴==，60ADC DCA ∠==︒， Q 直线m 垂直平分线段AB ， CA CB CD ∴==，CDB CBE ∴∠=∠，EA EB =Q ，CA CB =，EAB EBA ∴∠=∠，CAB CBA ∠=∠， EAC EBC ∴∠=∠，JDE JAC ∴∠=∠，DJE AJC ∠=∠Q ，DJE AJC∽，∴∆∆∴∠=∠=︒，60DEJ JCAQ，=ED EH∴∆是等边三角形，DEH=，ADJ HDE∴∠=∠，DH DE Q，DA DC=ADH CDE SAS∴∆≅∆，()∴=，AH EC∴=+=+，EA EH AH DE ECQ直线m垂直平分线段AB，∴=，EA EB∴=+．EB EC ED。
2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷-（含答案解析）
2019-2020学年北京⼈⼤附中⼋年级（上）期中数学试卷-（含答案解析）2019-2020学年北京⼈⼤附中⼋年级（上）期中数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）1.下列图案属于轴对称图案的是()A. B. C. D.2.若分式1有意义，则a的取值范围是()a?1A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. ⼀切实数3.下列运算中正确的是()A. x2÷x8=x?6B. a?a2=a2C. (a2)3=a5D. (3a)3=9a34.如图，点P是∠AOB的⾓平分线OC上⼀点，PD⊥OA，垂⾜为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()A. 12B. 1C. √2D. 25.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠BAC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.如图，∠MON内有⼀点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若∠MON=35°，则∠GOH的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图1，在边长为a的正⽅形中剪去⼀个边长为b的⼩正⽅形(a>b)，把剩下部分拼成⼀个梯形(如图2)，利⽤这两幅图形⾯积，可以验证的公式是()A. a2+b2=(a+b)(a?b)B. a2?b2=(a+b)(a?b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a?b)2=a2?2ab+b28.如图，已知AD是△ABC的⾓平分线，CE⊥AD，垂⾜为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB.其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.已知△ABC的三边长a、b、c满⾜等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是()A. 等腰三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 锐⾓三⾓形D. 钝⾓三⾓形10.点A(?2,1)关于x轴的对称点A?的坐标是()A. (?2,?1)B. (2,1)C. (?2,1)D. (2,?1)⼆、填空题（本⼤题共9⼩题，共18.0分）11.当x=_________时，分式2x?3的值为0．2x+312.计算：3?2?(?3)0=______ ．13.计算0.25100×4100=______ ．14.若(x?a)(x?5)的展开式中不含有x的⼀次项，则a=______．15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3，BC=5，则△ABD的周长是______．16.若m+n=6，mn=4，则m3n+2m2n2+mn3=__________．17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3，5BC=2√10.则AE=______．18.如图所⽰，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是______．19.如图，点D为等腰直⾓△ABC内⼀点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上⼀点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三⾓形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有______.(请填序号)三、解答题（本⼤题共9⼩题，共52.0分）20.(1)分解因式：?4x2+24xy?36y2；(2)分解因式：(2x+y)2?(x+2y)2．(3)分解因式：(p?4)(p+1)+621.计算：(x+1)2+x(x?2)?(x+1)(x?1)．22.计算：(1)(?3a)2?(a2)3÷a3(2)(x?3)(x+2)?(x?2)2(3)先化简，再求值：(a+b)(a?b)?(4a3b?8a2b2)÷4ab其中a=?2，b=?1．23.如图，∠AOB=60°，点P为射线OA上的⼀动点．过点P作PC⊥OB于点C.点D在∠AOB内，且满⾜∠APD=∠OPC，DP+PC=10．(1)当PC=6时，求点D到OB的距离；(2)在射线OA上是否存在⼀定点M，使得MD=MC？若存在，请⽤直尺(不带刻度)和圆规作出点M(不必写作法，但要保留作图痕迹)，并求OM的长；若不存在，说明理由．24.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB//CD．求证：AB=CD．25.你能求出(x?1)(x99+x98+x97+?+x+1)的值吗?遇到这样的问题，我们可以先思考⼀下，从简单的情形⼊⼿.先计算下列各式的值：①(x?1)(x+1)=;②(x?1)(x2+x+1)=;③(x?1)(x3+x2+x+1)=;由此我们可以得到(x?1)(x99+x98+?+x+1)=;请你利⽤上⾯的结论，完成下⾯两题的计算：(1)299+298+?+2+1;(2)(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1．26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的⼀个动点(不与点C，点D重合)，连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．(1)如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．(2)如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接⽤等式表⽰线段AC、CE、CM之间的数量关系．28.已知：在平⾯直⾓坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，点C(t,0)是x轴上⼀动点，点M是BC的中点．(1)当点C和点A重合时，求OM的长；(2)若S△ACB=10，则t的值为______；(3)在(2)的条件下，直线AM交y轴于点N，求△ABN的⾯积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.答案：A解析：解：若分式1有意义，则a?1≠0，即a≠1，a?1故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.答案：A解析：解：A、x2÷x8=x?6，故原题计算正确；B、a?a2=a3，故原题计算错误；C、(a2)3=a6，故原题计算错误；D、(3a)3=27a3，故原题计算错误；故选：A．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘⽅法则：底数不变，指数相乘；积的乘⽅法则：把每⼀个因式分别乘⽅，再把所得的幂相乘进⾏计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘⽅和积的乘⽅，关键是掌握各运算法则．4.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，⼜M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据⾓平分线的性质求出PE，根据三⾓形中位线定理计算即可．本题考查的是⾓平分线的性质、三⾓形中位线定理，掌握⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等是解题的关键．解析：解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=40°，故选C．根据等腰三⾓形的性质即可得到结论本题考查了等腰三⾓形的性质，三⾓形的内⾓和，熟练掌握等腰三⾓形的性质是解题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的⾓是解题的关键．连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代⼊数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了平⽅差公式的⼏何表⽰，表⽰出图形阴影部分⾯积是解题的关键．第⼀个图中的⾯积=a2?b2，第⼆个图中梯形的⾯积=(2a+2b)(a?b)÷2=(a+b)(a?b)，两图形阴影⾯积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：第⼀个图中的⾯积=a2?b2，第⼆个图中梯形的⾯积=(2a+2b)(a?b)÷2=(a+b)(a?b)，∵两图形阴影⾯积相等，∴a2?b2=(a+b)(a?b)．故选B．8.答案：A解析：【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等⼏何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的根据⾓平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的⾓平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC，∵AO=AO，∴△AEO≌△ACO．∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确，④⽆法判断．故选：A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应⽤，是基础知识，较简单．a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为(a?3)2+(b?4)2+(c?5)2=0，可知道a、b、c分别为3，4，5满⾜勾股定理，即可判断出三⾓形的形状．【解答】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a?3)2+(b?4)2+(c?5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了如下内容：关于x轴对称的两个点之间的坐标关系；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题⽐较容易，可直接利⽤平⾯直⾓坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点求得答案．【解答】解：两点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．点A(?2,1)关于x轴的对称点A′的坐标是(?2,?1)．故选A．11.答案：32解析：【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分⼦等于零且分母不等于零．【解答】的值为0，解：∵分式2x?32x+3∴2x?3=0且2x+3≠0，．解得：x=32故答案为32．12.答案：?89解析：解：原式=19?1=?89幂的负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进⾏计算，任何⾮0数的0次幂等于1．本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算，属较简单题⽬．13.答案：1解析：解：原式=(0.25×4)100=1．故答案为：1．直接利⽤积的乘⽅运算法则将原式变形求出答案．此题主要考查了积的乘⽅运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.答案：?5解析：解：(x?a)(x?5)=x2?5x?ax+5a=x2+(?5?a)x+5a，∵(x?a)(x?5)的展开式中不含有x的⼀次项，∴?5?a=0，a=?5．故答案为：?5．根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出?5?a=0，求出即可．本题考查了多项式乘以多项式法则，解⼀元⼀次⽅程等知识点的应⽤．15.答案：8解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三⾓形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.答案：144解析：【分析】本题考查知识点是因式分解，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运⽤因式分解中的提取公因式法与公式法，掌握整体带⼊法，⽅可得出答案．题中m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2，整体带⼊：mn、(m+n)的值即可得出答案．【解答】解：因为m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2=4×62=144，所以答案为144．17.答案：5解析：【分析】根据已知条件设BD=3x，AB=5x，根据勾股定理得到AD=√AB2?BD2=4x，根据等腰三⾓形的性质得到AC=5x，求得CD=x，根据勾股定理列⽅程得到AD=8，设AE=m，则DE=8?m，过E作EF⊥AB于F，根据⾓平分线的性质得到EF=DE=8?m，根据三⾓函数的定义即可得到结论．本题考查了解直⾓三⾓形，等腰三⾓形的性质，⾓平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵sinA=35，∴设BD=3x，AB=5x，∴AD=√AB2?BD2=4x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=x，∵BD2+CD2=BC2，∴(3x)2+x2=(2√10)2，∴x=2，(负值舍去)，∴AD=8，设AE=m，则DE=8?m，过E作EF⊥AB于F，则∠AFE=90°，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8?m，∵sinA=EFAE =35，∴8?mm =35，∴m=5，∴AE=5．故答案为：5．18.答案：√3解析：【分析】本题考查了等腰三⾓形的判断和性质、折叠的性质以及三⾓形内⾓和定理的运⽤，证明△BCE是等腰三⾓形是解题的关键．由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三⾓形即可得到BC=CE，问题得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，=72°，∴∠B=∠ACB=180°?36°2∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴BC=CE=AE=√3，故答案为√3．19.答案：①②③④解析：解：①∵△ABC是等腰直⾓三⾓形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°?15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；所以①正确；②∵CA=CB，CA=CE，∴CB=CE，∵∠CAD=∠AEC=15°，∴∠ACE=180°?15°?15°=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=150°?90°=60°，∴△BCE是等边三⾓形；所以②正确；③∵△BCE是等边三⾓形，∴∠BEC=60°，∵∠AEC=15°，∴∠AEB=60°?15°=45°，所以③正确；④在DE上取⼀点G，使DC=DG，连接CG，∵∠EDC=60°，∴△DCG是等边三⾓形，∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，∴∠GCE=150°?60°?45°=45°，∴∠ACD=∠GCE=45°，∵AC=CE，∴△ACD≌△ECG，∴EG=AD，∴DE=EG+DG=AD+DC，所以④正确；正确的结论有：①②③④；故答案为：：①②③④．①先根据等腰直⾓三⾓形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三⾓形外⾓的性质求出∠CDE=∠BDE= 60°即可；②先利⽤等⾓对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；③利⽤差可求得结论：∠AEB=∠BEC?∠AEC；④截取DG=DC，证明△DCG是等边三⾓形，再证明△ACD≌△ECG，利⽤线段的和与等量代换可得结论．本题考查了等腰三⾓形、全等三⾓形的性质和判定、等腰直⾓三⾓形、等边三⾓形等特殊三⾓形的性质和判定，熟练掌握有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形这⼀判定等边三⾓形的⽅法，在⼏何证明中经常运⽤，要熟练掌握．20.答案：解：(1)原式=?4(x2?6xy+9y2)=?4(x?3y)2；(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y?x?2y)=3(x+y)(x?y)；(3)原式=p2?3p+2=(p?1)(p?2)．解析：(1)原式提取公因式，再利⽤完全平⽅公式分解即可；(2)原式利⽤平⽅差公式分解即可；(3)原式整理后，利⽤⼗字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运⽤，熟练掌握因式分解的⽅法是解本题的关键．21.答案：解：(x+1)2+x(x?2)?(x+1)(x?1)=(x2+2x+1)+(x2?2x)?(x2?1)=x2+2x+1+x2?2x?x2+1=x2+2．解析：本题主要考查整式的混合运算.利⽤完全平⽅公式、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则进⾏运算，再合并同类项即可．22.答案：解：(1)(?3a)2?(a2)3÷a3=9a2?a6÷a3=9a5；(2)(x?3)(x+2)?(x?2)2=x2?x?6?(x2?4x+4)=3x?10；(3)(a+b)(a?b)?(4a3b?8a2b2)÷4ab=a2?b2?(a2?2ab)=2ab?b2，把a=?2，b=?1代⼊上式可得：原式=2×(?2)(?1)?(?1)2=3．解析：(1)直接利⽤积的乘⽅运算以及结合同底数幂的乘除运算法则化简求出答案；(2)直接利⽤多项式乘以多项式运算法则求出答案；(3)直接利⽤多项式乘以多项式运算法则以及多项式除以单项式运算法则化简，进⽽代⼊已知数据求出答案．此题主要考查了整式的混合运算?化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.答案：解：(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC=10，PC=6，∴PD=4，∵∠AOB=60°，∴∠OPC=∠APD=30°，∴∠DPE=30°，∴DE=1PD=2，2易得四边形PCHE为矩形，∴EH=PC=6，∴DH=DE+EH=2+6=8，即点D到OB的距离为8；(2)存在．如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN=1 2×10=5，在Rt△OMN中，ON=√33MN=5√33，∴OM=2ON=10√33．解析：本题考查了作图?复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进⾏作图，⼀般是结合了⼏何图形的性质和基本作图⽅法．解决此类题⽬的关键是熟悉基本⼏何图形的性质，结合⼏何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直⾓三⾓形三边的关系．(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD=4，利⽤含30度的直⾓三⾓形三边的关系得到DE=12PD=2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH即可；(2)如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利⽤∠D′PA=∠DPA=30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′=MD，⽽MD′=MC，所以点M 满⾜MD=MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN=5，根据含30度的直⾓三⾓形三边的关系求出ON、OM即可．24.答案：证明：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，{∠B=∠C ∠A=∠DOA=OD,∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=CD．解析：此题主要考查了全等三⾓形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平⾏线的性质，此题基础题，⽐较简单．⾸先根据AB//CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．25.答案：解：?①x2?1;?②x3?1;?③x4?1;x100?1．(1)299+298+?+2+1=(2?1)×(299+298+?+2+1)=2100?1．(2)(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1=?14×(?3?1)×[(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1] =?14×[(?3)51?1]=351+1．4解析：【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.直接利⽤规律填空．(1)将式⼦乘以(2?1)，利⽤题中的规律计算即可得到结果；×(?3?1)，利⽤(1)的结论即可得到所求式⼦的值．(2)将所求式⼦乘以?1426.答案：证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD．∵AD是△ABC的⾓平分线，∴∠BAD=∠PAD．在△ABD和△APD中，∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD=∠B，PD=BD．∵∠B=2∠C，∴∠PDC=∠C．∴PD=PC．∴AB+BD=AP+PC=AC．解析：本题考查全等三⾓形的判定和性质，先在在边AC上截取AP=AB，连接PD.因为AD平分∠BAC 交BC于点D，利⽤⾓平分线的定义可知∠BAD=∠PAD，根据全等三⾓形的判定可知△ABD≌△APD，再根据全等三⾓形的性质得出对应⾓和对应边的相等关系，结合∠ABC=2∠C进⼀步可求证结果。
北京首都师范大学第二附属中学2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题
北京首都师范大学第二附属中学2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面四个图形中为轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列3根小木棒能摆成三角形的是（ ）．A ．5cm ，6cm ，13cmB ．3cm ，3cm ，4cmC ．4cm ，3cm ，7cmD ．2cm ，3cm ，6cm3．下列运算正确的是（ ）．A ．236a a a ⋅=B ．352()a a =C ．624a a a ÷=D ．235(2)8b b = 4．已知点1(,3)P a ，2(2,)P b 关于x 轴对称，则a 的值为（ ）．A ．3-B ．2C ．3D ．2- 5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A ．8或10 B ．8 C ．10 D ．6或12 6．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆∆≌的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC ∠=∠ C ．BCA DCA ∠=∠D ．90B D ∠=∠=︒ 7．已知3a b -=，2ab =，则22a ab b -+的值为（ ）．A ．11B ．13C ．9D ．88．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A ．2mnB ．（m+n ）2C ．（m-n ）2D ．m 2-n 29．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 是ABC △内两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=︒，若6BE =，2DE =，则BC 的长度是（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题 10．分解因式：a x 2﹣a y 2= ．11．若0(2)1x -=有意义，则x __________．12．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为_____．13．若294x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为__________．14．如图，钝角三角形纸片ABC 中，110BAC ∠=︒，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ，若点F 恰好在BA 的延长线上，则ADF ∠=__________．三、解答题15．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：线段a ．求作：等腰ABC ∆，使,AB AC BC a ==，BC 边上的高为2a ．作法：如图，（1）作线段BC a =；（2）作线段BC 的垂直平分线DE 交BC 于点F ；（3）在射线FD 上顺次截取线段FG GA a ==，连接,AB AC ．所以ABC ∆即为所求作的等腰三角形．请回答：得到ABC ∆是等腰三角形的依据是：①_____：②_____．16．计算：(3)(21)x x +-．17．因式分解：222269x y xy y -+．18．先化简，再求值 x 2(x-1)- x(x 2+x-1)，其中x=12. 19．如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC ．求证：AD=BC ．20．已知平面直角坐标系中，点(3,3)A --，(2,2)B --．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．（2）请直接写出点C 的坐标为__________．（3）请画出ABC △关于y 轴对称的111A B C △，并直接写出1A 、1B 、1C 的坐标．21．如图，点D 在△ABC 的AB 边上，且∠ACD=∠A（1）作△BDC 的平分线DE ，交BC 于点E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE 与直线AC 的位置关系（不要求证明）.22．如图，在ABC △中，AB AC =，BD 、CE 是腰AB 、AC 上的高，交于点O ． （1）求证：OB OC =．（2）若65ABC ∠=︒，求COD ∠的度数．23．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：222211111124112422x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式．（2）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数． 24．如图1，2OA =，4OB =，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ．（1）求C 点的坐标．（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt APD ，过D 作DE x ⊥轴于E 点，求OP DE -的值．25．已知：在ABC △中，60ABC ∠<︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，点E 在线段CD 上（点E 不与点C 、D 重合），且2EAC EBC ∠=∠． （1）如图1，若27EBC ∠=︒，且EB EC =，则DEB ∠=__________︒，AEC ∠=__________︒．（2）如图2，①求证：AE AC BC +=．②若30ECB ∠=︒，且AC BE =，求EBC ∠的度数．参考答案1．C【解析】解：A 是中心对称图形，不是轴对称图形，故A 错误；B 是中心对称图形，不是轴对称图形，故B 错误；C 是轴对称图形，故C 正确；D 是中心对称图形，不是轴对称图形，故D 错误．故选C ．2．B【解析】解：A ．5613+<，不能构成三角形，故A 错误；B ．334+>，能构成三角形，故B 正确；C ．437+=，不能构成三角形，故C 错误；D ．26+3<，不能构成三角形，故D 错误．故选B ．3．C【解析】解：A ．235a a a ⋅=，故A 错误；B ．236()a a =，故B 错误；C ．624a a a ÷=，故C 正确；D ．236(2)8b b =，故D 错误．故选C ．4．B【解析】解：∵1(,3)P a ，2(2,)P b 关于x 轴对称，∴2a =．故选B ．5．C【解析】试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10， 综上所述，它的周长是10．故选C ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．C【分析】由图形可知AC=AC ，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中∵AB=AD ，AC=AC ，A 、添加CB CD =，根据SSS ，能判定ABC ADC ∆∆≌，故A 选项不符合题意； B 、添加BAC DAC ∠=∠，根据SAS 能判定ABC ADC ∆∆≌，故B 选项不符合题意； C ．添加BCA DCA ∠=∠时，不能判定ABC ADC ∆∆≌，故C 选项符合题意；D 、添加90B D ∠=∠=︒，根据HL ，能判定ABC ADC ∆∆≌，故D 选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．7．A【解析】解：2222()2()9211a ab b a b ab ab a b ab -+=-+-=-+=+=．故选A ．8．C【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n ），故正方形的面积为（m+n ）2．又∵原矩形的面积为4mn ，∴中间空的部分的面积=（m+n ）2-4mn=（m-n ）2． 故选C ．9．B【解析】解：延长AD 交BC 于点F ，延长ED 交BC 于点G ．∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AF BC ⊥，BF FC =，∴90DFC ∠=︒. ∵60E EBC ∠=∠=︒，∴60EGB ∠=︒，∴6EB EG BG ===．∵2DE =，∴4DG =．∵90DFG ∠=︒，60DGF ∠=︒，∴30FDG ∠=︒，∴122FG DG ==，∴4BF BG FG =-=，∴28BC BF ==．故选B ．点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出FG 的长是解决问题的关键．10．a(x+y)(x －y)【解析】试题分析：应先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．原式=a(x 2−y 2)=a(x+y)(x －y)．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．2≠【解析】解：∵0(2)1x -=，有意义，∴20x -≠，∴2x ≠．故答案为：≠2．12．80︒或20︒【解析】解：若顶角的外角是100︒，则顶角是80︒．若底角的外角是100︒，则底角是80︒，顶角是20︒．故答案为80°或20°． 13．12±【解析】解：∵294x kx ++是一个完全平方式，∴2294(32)x kx x ++=±，∴12k =±．故答案为：±12．14．40︒【解析】解：∵D 是AC 的中点，∴AD CD DF ==．∵110BAC ∠=︒，∴70FAD ∠=︒，∴18027040FDA ∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：40°． 点睛：本题考查了折叠问题．得到所求角所在的三角形的形状是解决本题的突破点． 15．（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形.【分析】根据题意可知：DE 垂直平分BC ，根据线段垂直平分线定理得到AB=AC ，进而得到三角形ABC 是等腰三角形，将定理填入题中即可.【详解】根据题意知，∵DE 垂直平分BC ，∴AB AC =，∴ABC ∆是等腰三角形，其依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形，故答案为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查线段垂直平分线定理以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 16．2253x x +-【解析】试题分析：根据多项式乘法法则计算即可．试题解析：解：原式2263x x x =-+-2253x x =+-．17．22(3)y x -【解析】试题分析：提公因式后再用公式法分解即可．试题解析：解：原式22(69)y x x =-+22(3)y x =-．18．-2x 2+x,0.【分析】先去括号，再化简，最后代入求值.【详解】解：原式=x 3-x 2-x 3-x 2+x=x 3-x 3-x 2-x 2+x=-2x 2+x当x=时【点睛】本题考查的是多项式，熟练掌握计算法则是解题的关键.19．证明见解析．【分析】因为AE=CF ，所以AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ，因为AD ∥BC ，所以∠A=∠C ，再有∠B=∠D ，根据“AAS”即得△AFD ≌△BEC ，于是AD=CB ．【详解】解：AE=CF ，AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ，AD ∥BC ，∠A=∠C ，在△AFD 与△BEC 中A CB D AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△AFD ≌△BEC ，∴AD=CB ．【点睛】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定与性质．20．（1）见解析；（2）(1,0)C ；（3）见解析，1(3,3)A ，1(2,2)B -1(1,0)C -【解析】试题分析：（1）根据A 点坐标建立平面直角坐标系即可；（2）根据点C 在坐标系中的位置写出其坐标即可；（3）分别作出各点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可．试题解析：解：（1）如图；（2）由图可知，(1,0)C ．（3）如图，111A B C △即为所求，1(3,3)A ，1(2,2)B -1(1,0)C -．21．（1）作图见解析；（2）DE∥AC.【解析】【分析】(1)、根据角平分线的画法画出角平分线；(2)、根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE 和AC 平行.【详解】解：(1)、如图所示：（2）DE∥AC∵DE 平分∠BDC， ∴∠BDE=12∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=12∠BDC， ∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．(2)、DE∥AC.考点：(1)、角平分线的画法；(2)、角平分线的性质.22．（1）见解析；（2）50COD =︒∠【解析】试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC =∠ACB ，然后证明△BEC ≌△CDB ，得到∠ECB =∠DBC ，从而得证；（2）首先求出∠A 的度数，得到∠ACE 的度数，进而求出∠COD 的度数．试题解析：解：（1）∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵BD 、CE 是△ABC 的两条高线，∴∠BEC =∠BDC =90°．在△BEC 和△CDB 中，∵∠BEC =∠CDB ，∠EBC =∠DCB ，BC =CB ，∴△BEC ≌△CDB ，∴∠DBC =∠ECB ，∴OB =OC ．（2）∵∠ABC =65°，AB =AC ，∴∠A =180°-2×65°=50°，∴∠ACE =90°－∠A =40°，∴∠CO D =90°－∠ACE =90°－40°=50°．23．（1）(5)(8)x x +-；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；（2）根据配方法把x 2+y 2-4x -6y +15变形成（x -2）2+（y -3）2+2，再根据平方的非负性，可得答案．试题解析：解：（1）22223334034022x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2316924x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3133132222x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (5)(8)x x =+-．（2）证明：222416x y x y +--+ 22(21)(44)11x x y y =-++-++22(1)(2)11x y =-+-+．∵2(1)0x -≥，2(2)0y -≥，∴22(1)(2)110x y -+-+>．故x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数． 24．（1）点C 的坐标为(6,2)--；（2）2OP DE -=【解析】试题分析：（1）如图1，过C 作CM ⊥x 轴于M 点，则可以求出△MAC ≌△OBA ，可得CM =OA =2，MA =OB =4，即可得到结论；（2）如图2，过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE =OQ ，利用三角形全等的判定定理可得△AOP ≌△PQD ，进一步可得PQ =OA =2，即OP -DE =2．试题解析：解：（1）如图1，过C 作CM ⊥x 轴于M 点．∵∠MAC +∠OAB =90°，∠OAB +∠OBA =90°，∴∠MAC =∠OBA ．在△MAC 和△OBA 中，∵∠CMA =∠AOB =90°，∠MAC =∠OBA ，AC =AB ， ∴△MAC ≌△OBA (AAS)，∴CM =OA =2，MA =OB =4，∴OM =OA +AM =2+4=6，∴点C 的坐标为(-6，-2)．（2）如图2，过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE =OQ ，∴OP -DE =OP -OQ =PQ ．∵∠APO +∠QPD =90°，∠APO +∠OAP =90°，∴∠QPD =∠OAP ．在△AOP 和△PQD 中，∵∠AOP =∠PQD =90°，∠OAP =∠QPD ，AP =PD ，∴△AOP ≌△PQD (AAS)，∴PQ =OA =2，即OP -DE =2．点睛：本题重点考查了三角形全等的判定定理，两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．25．（1）54︒，99︒；（2）①见解析；②20EBC ∠=︒【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB=27°，根据角平分线的性质得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分线的性质得到∠ACD=∠ECB=27°，因为∠EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°-27°-54°=99°；（2）在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF，构造全等三角形，由全等三角形的性质推出AE=FE，再根据FB=FE，得到AE=FB，即可得出AE+AC=FB+FC=BC；（3）在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF，连接AF，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AFC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC=∠F AE，由∠F AC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠F AE，于是得出∠EBC的度数．试题解析：解：（1）∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB=27°，∴∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECB=27°．∵∠EAC=2∠EBC=54°，∴∠AEC=180°-27°-54°=99°．故答案为：54°，99°．（2）①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM=ME，∴∠MBE=∠MEB．∵∠EAC=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，∴∠EAC=∠EMC．在△ACE与△MCE中，∵∠CAE=∠CME，∠ACE=∠MCE，CE=CE，∴△ACE≌△MCE(AAS)，∴AE=ME， AC =CM，∴AE=BM，∴BC=BM+CM=AE+AC．②如图2在BC上取一点M，使BM=ME，连接AM．∵∠ECB=30°，∴∠ACB=60°，由①可知，△AMC是等边三角形（M点与B点重合），∴AM=AC=BE．在△EMB与△MEA中，∵AE=BM，EM=EM，AM=BE，∴△EMB≌△MEA，∴∠EBC=∠MAE．∵∠MAC=60°，∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，∴∠MAE=20°，∠EAC=40°，∴∠EBC=20°．点睛：本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质的综合应用，正确作出辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．。
【20套试卷合集】北京师范大学附属中学2019-2020学年数学八上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年八上数学期中模拟试卷含答案(时间：120分钟，总分120分)一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．25的平方根是（）A．±5 B．5 C D．-52. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，， C．6，7，8 D．2，3，43. ，0，1-2，，﹣，0.1113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B．2 C．1 D. 34. 若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是( )．A．（3，5）B．（3，-5 ）C．（-3，5）D．（-3，-5）5. 与1+最接近的整数是（）A．4 B．3 C．2 D． 16. 若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）A．（3，0）B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3）D．（0，3）或（0，–3）7. 下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（）A．y＝2x＋8 B．y＝－2＋4x C．y＝－2x＋8 D．y x 8. 陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（）A. 16B. 18C. 19D. 159. 点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝－4x + 3 图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）．A.y1＞y2B.y1＞y2 ＞0C.y1＜y2D.y1＝y210. 正方形ABCD在直角坐标系中如图放置，B点的坐标是（-2，0），C点的坐标是（2，0），则A点的坐标是（）A. （4，-2）B. （-2，1）C. （2,4）D. （-2，4）11. 一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12. 若方程组45ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则a+b的值为（）A．3 B．-3 C．﹣2 D． 213. 如图，已知直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则n的值是（）A．34B．1C．43D．1.514. 若直角三角形的两边长为a、b ，且满足，则该直角三角形的斜边长为( )．A．5 BC．4 D．5或415. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米) 与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t =54或154．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个第15题图二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）16. 绝对值等于2的数是17. 已知点P （3，a ）关于y 轴的对称点为Q （b ，2），则ab= ． 18. 将直线y=2x-1向上平移3个单位，得到的函数关系式是 19. 若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，则m ﹣3n 的立方根是 ．20. 一个实数的两个平方根分别是a+2和2a －5，则a= .21. 在直角坐标系中，直线y=x+2与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 1C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y=x+2上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分 三角形的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…S n ，则S n 的值为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. 计算：(每小题4分，共16分) (1)25520-+(3) 024(1⨯（4）解方程组：32842m n m n -=-⎧⎨+=⎩第21题图23.（6分）如图，每个小正方形的边长为1个单位(1)写出格点△ABC 各顶点的坐标， (2)求△ABC 的面积. 24. (7分)联通公司手机话费收费有A 套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B 套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种.设A 套餐每月话费为y 1（元），B 套餐每月话费为y 2（元），月通话时间为x 分钟．（1）分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式． （2）月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？（3）什么情况下A 套餐更省钱？25. （7分）一架云梯AB 长25米,如图那样斜靠在一面墙AC 上,这时云梯底端B 离墙底C 的距离BC 为7米.(1) 求云梯的顶端与地面的距离AC 的长；(2) 如果云梯的顶端A 下滑了4米,那么它的底部B 在水平方向向右滑动了多少米?26.（8分）(1)已知a+2b+1的平方根为±3,3a+2b 的算术平方根为4,求a+2b 的平方根.(2)已知13的整数部分为a，小数部分为b，试求1)4b a的值.27.（8分）如图，直线y=kx-2与x轴、y轴分别交于B、C两点，其中OB=1.(1)求k的值；(2)若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-2上的一个动点.当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；(3)探索：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形.若存在，请写出满y=kx-2足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.28．（5分）如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC 、EC ．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD= x ． （1）用含x 的代数式表示AC+CE 的长；（2）求AC+CE 的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式()912422+-++x x 的最小值是.一、选择题1.A2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.A9.A 10.D 11.C 12.A 13.C 14.D 15.D 二、填空题16. ±2 17.-6 18. y=2x+2 19. 2 20.1 21. 22n ﹣1 三、解答题22.（1）1 （2（3）3+ (4) 21m n =-⎧⎨=⎩23.(1)A(2,2) B(-2,-1) C(3,-2) (2) 面积：9.5 24. （1）A 套餐的收费方式：y 1=0.1x+15； B 套餐的收费方式：y 2=0.15x ； （2）由0.1x+15=0.15x ，得到x=300，答：当月通话时间是300分钟时，A 、B 两种套餐收费一样；（3）当月通话时间多于300分钟时，A 套餐更省钱． 25．（1）24米 （2） 8米 26. （1）±22 （2）127. 解：（1）∵OB=1∴B 点坐标为：()1,0把B 点坐标为：()1,0代入y= kx-2得 k=2（2）∵S =y 21⨯⨯OB ∵y=2x -2 ∴S =()12x-22⨯∴S =1x -（3）①当S =1时，x-1=1∴x=2，y=2x-2=2∴A点坐标为（2，2）时，△AOB的面积为1②存在.满足条件的所有P点坐标为：P1(2,0), P2(4,0), P3(22,0), P4(-22,0).28.（1）2）10 （3）132019-2020学年八上数学期中模拟试卷含答案一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1．下列说法正确的是A ．轴对称图形的对称轴只有一条B ．对称轴上的点没有对称点C ．角的对称轴是它的角平分线D ．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称2．如图1，已知DB AC =，要使⊿ABC ≌⊿DCB ，只需增加的一个条件是A ．D A ∠=∠B ．DCA ABD ∠=∠C ．DBC ACB ∠=∠D ．DCB ABC ∠=∠第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，△ACB ≌△A'CB'，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，两条角平分线BE 、CD 相交于点O ，则图中全等等腰三角形有 A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对5．下列结论正确的是A ．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B ．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C ．两个等边三角形全等D ．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 6．等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是A ．25,24,7===c b aB ．5.2,2,5.1===c b aC ．25,2,34a b c ===D ．15,8,17a b c ===8．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=5，BE=12，则阴影部分的面积是C C BB 'A 'A ．129B ．139C ．149D ．169二、填空题（每小题3分，共30分）9．若等腰三角形的一个角为50°，则底角为 ▲ ．10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，如果斜边AB ＝5cm ，那么斜边上的高CD ＝ ▲ cm ．11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，则AD= ▲ ．12．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为800 cm 2，则斜边长为 ▲ ．13．一个三角形三边长的比为5:4:3，它的周长是60cm, 这个三角形最大边上的中线长是 ▲．14．等腰三角形腰长10cm ，底边16cm ，则腰上的高是 ▲ ．15．如图△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝▲ 度16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，交AB 于点E ，如果BC=6，△BDC 的周长为18，那么AB= ▲ ．第15题图 第16题图 第17题图 第18题图17．如图，∠AOB=90°，OA=0B ，直线l 经过点O ，分别过A 、B 两点作AC ⊥l 交l 于点C ，BD ⊥l 交l 于点D ，若AC=9，BD=5，则CD= ▲ ．18．已知：如图在△ABC,△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）． 错误的结论有 ▲ （填序号）． 三、解答题（本题共9题，共66分）19．（6分）如图，△ABD ≌△EBC ，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，第12题图B ABCABDEFGB（1）求DE 的长。
2019-2020学年度北京市首师大附中八年级上期中考试数学试题
2019-2020学年度首师大附初二上期中一、选择题(每小题2分，共16分)1.手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.下列计算正确的是（ ）A ．235a a a =gB ．()325a a =C ．224a a a +=D ．235x y xy += 3.将多项式265a a --变为()2x p q ++的形式，结果正确的是（ ）A ．()2314a +-B ． ()2314a --C ．()234a ++D ．()234a -+4.下图的方格纸中有若干个点，若AB 两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（ ）A ．1PB ．2P C. 3P D ．4P5.下列说法正确的是（ ）A.不论x 取何值时，()011x -= B.2662的值比2432大 C.多项式21x x ++是完全平方式D.10099433⨯-是11的倍数6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,8A ，点()6,8B ，若点P 同时满足下列条件:①点P 到, A B 两点的距离相等;②点P 到xOy ∠的两边距离相等.则点P 的坐标为( )A ． ()3,5B ．()6,6 C. ()3,3 D ．()3,67.点()2,3-关于x 轴的对称点为（ ）A ．()2,3--B ．()2,3- C. ()2,3 D ．()3,2-8、已知等边ABC ∆中, 12AD BC AD ⊥=,若点P 在线段AD .上运动，当12AP BP +的值最小时，AP 的长为（ ）A ．4B ．8 C. 10 D ．12二、填空题(每小题3分，共24分)9.已知等腰三角形的一个外角是100︒，则这个等腰三角形的底角大小是10.如图，已知AE 平分BAC ∠，点D 是AE 上一点，连接, BD CD .请你添加一一个适当的条件，使ABD ACD ∆∆≌.添加的条件是: (写出一个即可)11.已知：12496x x -g，则x =． 12.已知2,3m n x x ==，则m n x +=．13.如图，以等边ABC ∆的边AC 为腰作等腰CAD ∆,使AC AD =连接BD ，若41,DBC CAD ︒∠=∠=︒14.有一个边长为a 的大正方形和四个边长为b 的全等的小正方形(其中2a b >) , 按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD .． 下面有四种说法:①阴影部分周长为4a ;②阴影部分面积为()()22a b a b +-;③四边形ABCD 四位周长为84a b -:④四边形ABCD 的面积为2244a ab b -+。
2020北京首师大附中初二(上)期中数学(教师版)
（1）作 角平分线 ；
（2）作 边的中线
26.若一个整数能表示成 （ ， 是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如： 是“智慧数”，因为 ；再如： （ ， 是整数），所以 也是“智慧数”．
（1）请你再写一个小于 的“智慧数”，并判断 是否为“智慧数”（填是或者否）；
（2）已知 （ ， 是整数）， 是常数，要使 为“智慧数”，试求出符合条件的一个 值，并说明理由；
28.在平面直角坐标系中，对任意的点 ，定义 的绝对坐标 ，任取点 ， ， ， ，若此时 成立，则称点 ， 相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是．
① ， ．
② ， ．
（2） 对于点 ，其中 ， ，其中 ， 是整数．则所有满足条件的 点有个；
求所有满足 条件 所有点中与点 相关的点的个数；
对于满足 条件的所有点中取出 个点，满足在这 个点中任意选择 ， 两点，点 ， 都相关，求 的最大值．
10.在 中， ， ，点 是边 上一定点，此时分别在边 ， 上存在点 ， 使得 周长最小且为等腰三角形，则此时 的值为（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.点A(3，－2)关于x轴对称的点的坐标是________．
12.因式分解： __________．
2020北京首师大附中初二（上）期中数学
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
北京首师大二附中2019-2020学年八年级上学期9月月考数学试卷(word版,含答案)
北京首师大二附中2019-2020学年八年级上学期9月月考数学试卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列银行图标中，是轴对称图形的是（）A．徽商银行B．中国建设银行C．交通银行D．中国银行2．如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹）（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF为（）A．38°B．40°C．42°D．44°4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm6．在平面直角坐标系中，已知点P（a，5）在第二象限（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（）A．（﹣a，5）B．（a，﹣5）C．（﹣a+2，5）D．（﹣a+4，5）7．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，且AB＝5，AC＝3，则下列说法错误的是（）A．△DBI和△EIC是等腰三角形B．DI＝1.5IEC．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115˚8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（）A．αB．90°﹣αC．45°D．α﹣45°10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（）A．2﹣B．C．1﹣D．2﹣二、填空题（每小題4分，共24分）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，则∠DAC等于°．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝AD，AB＝BD．13．如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm．14．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，则△ABC的周长为．15．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换（a，b），则经过第2019次变换后所得的A点坐标是．16．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，AB于E，F点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 的周长的最小值为．三、解答题（本题共36分）17．如图所示，五边形ABCDE中，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD．18．如图，△ABC中，AD⊥BC，交AC于点F，交BC于点E（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．19．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，试判断△ADE的形状．20．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°；（3）在（2）的条件下，连接DE，求α的值．21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系北京首师大二附中2019-2020学年八年级上学期9月月考数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是1号袋，故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．3．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝68°，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，计算即可．【解答】解：∵∠BAC＝112°，∴∠C+∠B＝68°，∵EG、FH分别为AB，∴EB＝EA，FC＝FA，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝68°，∴∠EAF＝44°，故选：D．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．4．【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移2个单位得到点P1，∴点P1的坐标是（3，1），∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①6cm为腰，2cm为底；②4cm为底，2cm为腰，故舍去．∴其周长是14cm．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是2，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是2，∴直线为：x＝2，∵点P（a，8）在第二象限，∴a到2的距离为：2﹣a，∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：4﹣a+2＝4﹣a，故P点对称的点的坐标是：（﹣a+7，5）．故选：D．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键．7．【分析】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为8．【解答】解：∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理，CE＝EI．∴△DBI和△EIC是等腰三角形；∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝65°，∴∠BIC＝115°，故选项A，C，D正确，故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．8．【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．【解答】解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图5，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．9．【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．【解答】解：如图，连接AB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．10．【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA＝DA'＝DB，从而可得∠ADA'＝2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'＝2∠ADE，可得∠ADE＝∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1＝2，求出h1＝2﹣1＝1，同理h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离h n＝2﹣，据此可得答案．【解答】解：连接AA1．由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA4，又∵D是AB中点，∴DA＝DB，∴DB＝DA1，∴∠BA1D＝∠B，∴∠ADA3＝2∠B，又∵∠ADA1＝5∠ADE，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴AA1⊥BC，∴AA1＝6，∴h1＝2﹣6＝1，同理，h2＝7﹣，h2＝2﹣×＝8﹣…∴经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离h n＝5﹣．∴h2018＝2﹣，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．二、填空题（每小題4分，共24分）11．【分析】由等腰三角形的性质可求得∠C，再根据平行线的性质可求得∠DAC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAC＝130°，∴∠C＝＝25°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝25°，故答案为：25．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和平行线的性质，根据等腰三角形的两底角相等求得∠C的度数是解题的关键．12．【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，故答案为：36°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．13．【分析】根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；根据全等三角形的性质得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形，∴PN＝PM＝MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝7cm，∴MC＝4cm故答案为：4cm．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．14．【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据△ADC 的周长为10可得AC+BC＝10，又由条件AB＝7可得△ABC的周长．【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心AB的长为半径画弧，N，作直线MN，连接AD．∴MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，∵AB＝3，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+7＝17．故答案为17．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．15．【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，b）．故答案为：（﹣a，b）【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．16．【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+．故答案为：9．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题（本题共36分）17．【分析】连接AC，AD，可证明△ABC≌△AED，进而得到AC＝AD，再利用等腰三角形的性质：三线合一即可得到AF⊥CD．【解答】证明：连接AC，AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是连接AC，AD构造全等三角形．18．【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC＝7cm，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝∠AED＝35°；（2）∵△ABC周长13cm，AC＝8cm，∴AB+BE+EC＝7cm，即2DE+3EC＝7cm，∴DE+EC＝DC＝3.5cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．19．【分析】先证明△ABE≌△ACD，再证明∠DAE＝∠EAB＝60°，进而得到△ADE是等边三角形．【解答】证明：△ADE是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是先证明△ABE≌△ACD．20．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，求出∠BEC＝α＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可；（3）求出∠DCE＝90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°﹣α＝15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，即∠ABD＝30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，∴α＝30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．21．【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；（2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD ＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案；（3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝．∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．∴DA＝DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE＝BE＝．∴BC＝BE．∴△EBC是等边三角形；（2）结论：AD＝DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，又∵DM＝DW，∴△WDM是等边三角形，∴MW＝DM，在△WGM和△DBM中，∵∴△WGM≌△DBM，∴BD＝WG＝DG+DM，∴AD＝DG+DM．（3）结论：AD＝DG﹣DN．证明：延长BD至H，使得DH＝DN．由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠2＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠2+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．。
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北京市首都师范大学附属中学2019-2020年初二上期中数学试卷
第I 卷（共24分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。
每题所列选项只有一个最符合题意） 1.下图中的轴对称图形有（ ）
A.（1），（2）
B.（1），（4）
C.（2），（3）
D.（3），（4） 2.点P （4，5）关于x 轴对称点的坐标是（ ）
A.（-4，-5）
B.（-4，5）
C.（4，-5）
D.（5，4） 3.下面计算正确的是（ ）
A.6
3
3)(x x = B.2446a a a =⋅ C.2
2
2
4
)()(n m mn mn =-÷- D.2
523a a a =+
4.已知，，65==+xy y x 则2
2y x +的值是（ ）
A.1
B.13
C.17
D.25
5.如图，在△ABE 中，∠A=105°，AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C ，且AB=CE ，则∠B 的度数是（ ）
A.45°
B.60°
C.50°
D.55°
6.已知2
)8()16(-=+-y a y y ，则a 的值是（ ）
A.8
B.16
C.32
D.64
7.如图，点P 为∠AOB 内一点，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上一点，当△PMN 的周长最小时，∠OPM=50°， 则∠AOB 的度数是（ ）
A.55°
B.50°
C.40°
D.45°
8.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交AC 、AD 于点E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM 。
下列结论：①DF=DN ；②AE=CN ；③△DMN 是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第II 卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9.已知1=+y x ，则222
1
21y xy x ++=____________
10.若12
+-kx x 是完全平方式，则k=_________ 11.已知，22=n
x
则n
n x x 2223)()(-的值为________
12.若)()3(2q x x x -+-的乘积中不含2
x 项，则q =______
13.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG=CD ，F 是GD 上一点，且DF=DE ，则∠E=_______
14.如图，在平面直角坐标系中，点A 的横坐标为-1，点B 在X 轴的负半轴上，AB=AO ，∠ABO=30°，直线MN 经过原点O ，点A 关于直线MN 的对称点A 1在x 轴的正半轴上，点B 关于直线MN 的对称点为B 1，则∠AOM 的度数为_____；点B 1的纵坐标为_______
三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 15.计算
（1）)2()48(2
3
4
2
y x y x y x -÷- （2）2
)1()32()23(--+-x x x
16因式分解
（1）y x xy y 2
2
3
96+- （2）3)2()2(+-+a a
17.化简求值
（1）若0291042
2
=+-+-b b a a ，求2
2
ab b a +的值
（2）先化简，再求值：2
)12()1(5)23()23(-----+x x x x x ，其中
3
1-
=x
四、解答题（本大题共2答题，18题4分，19题6分，共10分） 18.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 （1）作出△ABC 关于y 轴对称的△AB 1C 1；
（2）点P 在x 轴上，且点P 到点B 与点C 1的距离之和最小，直接写出点P 的坐标为______
19.已
知x
≠
1
，
计
算
4
3
2
3
2
2
1)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(x x x x x x x x x x x -=++--=++--=+-，，
（1）观察以上各式并猜想:__________)1)(1(2
=+⋅⋅⋅+++-n
x x x x （n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：
①_______)222221)(21(5
4
3
2
=+++++- ②_________22223
2
=+⋅⋅⋅+++n （n 为正整数） ③________)1)(1(2
97
98
99
=+++⋅⋅⋅+++-x x x x x x （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①______))((=+-b a b a
②________))((2
2
=++-b ab a b a
③_______))((3
2
2
3
=+++-b ab b a a b a
五、解答题（共3大题，20题5分，21题6分，22题7分，共18分） 20.阅读下面材料：
小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 平分∠ACB ，AD=2.2，AC=3.6求BC 的长.
A
小聪思考：因为CD 平分∠ACB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC=AC ，连接DE. 这样很容易得到△DEC ≌△DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）. 请回答：（1）△BDE 是_________三角形.
（2）BC 的长为__________.
参考小聪思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知△ABC 中，AB=AC, ∠A=20°，BD 平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD 的长.
21．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；
（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.
22.如图1，已知A （0，a ），B （b ，0）且2
28204b b a a -=+- （1）A 、B 两点的坐标为A________、B________；
（2）如图2，连接AB ，若点D （0，-6），DE ⊥AB 于点E ，B 、C 关于y 轴对称，M 是线段DE 上的一点，且DM=AB ，连接AM ，试判断AC 与AM 之间的位置和数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N 是线段DM 上的一个动点，P 是MA 延长线上的一点，且DN=AP ，连接PN 交y 轴于点Q ，过点N 作NH ⊥y 轴于点H ，当N 点在线段DM 上运动时，△MQH 的面积是否为定值？若是，请写出这个值；若不是，请说明理由。
A
B
C
P
A
B
C
P
图 1。