第七讲 方差分析

• 三、方差分析的类型 • 1。单因素方差分析（one-way ANOVA） 也称为完全随机设计(completely random design)的方差分析。该设计只能分析一个 因素下多个水平对试验结果的影响。 • 2。双因素方差分析（two-way ANOVA） 称为随机区组设计（randomized block design）的方差分析。该设计可以分析两 个因素。一个为处理因素，也称为列因素； 一个为区组因素，也称为行因素。
i j
2 ij j i
( X
ij
)2
• •
• • •
计算公式
• 三、计算实例 • 例4.2 某医院研究五种消毒液对 四种细菌的抑制效果。抑制效果用 抑菌圈直径（mm）表示。数据见表 4-5。试分析五种消毒液对细菌有 无抑制作用，对四种细菌的抑制效 果有无差异。
表4－5 消毒液对不同细菌的抑 制效果
细菌类型 大肠杆菌 绿边杆菌 葡萄球菌 痢疾杆菌 ∑j X 各组均数 ∑j X
2
消毒液类型 A 15 11 25 20 71 17 ． 75 1371 B 17 12 28 17 74 18 ． 50 1506 C 15 14 25 19 73 18 ． 25 1407 D 14 13 30 13 70 17 ． 50 1434 E 12 9 22 17 60 15 ． 00 998
• 2.常用符号及其意义
• ⑴： 所 将第i个处理组的j个数据合计后平方，再将 有i个处理组的平方值合计。 • ( X ) ⑵： 将第j个区组的i个数据合计后平方，再将所 有j个区组的平方值合计。 ⑶ 各种变异来源 SS总：总变异, 由处理因素、区组因素及随机误差的综 合作用而形成。 SS处理：各处理组之间的变异，可由处理因素的作用所 致。 SS区组或SS配伍：各区组之间的变异，可由区组因素的 作用所致。 SS误差：从总变异中去除SS处理及SS区组后剩余的变异。 此变异由个体差异和测量误差等随机因素所致。
第四章 方差分析
• 学习要求： • 1。掌握方差分析的基本思想； • 2。掌握单因素、双因素方差分析的应用条件、 意义及计 算方法； • 3。熟悉多个均数间两两比较的意义及方法； • 4。了解方差齐性检验和t’检验的意义及方法； • 5。熟悉变量变换的意义和方法。
第一节
方差分析的基本思想
• 一、方差分析的用途及应用条件 • 方差分析（analysis of variance，缩写为ANOVA） • 是常用的统计分析方法之一。其应用广泛，分析效率高 , 节省样本含量。 • 主要用途有： • ①进行两个或两个以上样本均数的比较； • ②可以同时分析一个、两个或多个因素对试验结果的作用 和影响； • ③分析多个因素的独立作用及多个因素之间的交互作用； • ④进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 • 方差分析对分析数据的要求及条件比较严格，即要求各样 本为随机样本，各样本来自正态总体，各样本所代表的总 体方差齐性或相等。
• 三。计算实例 • 例 4.1 科 研 人 员 研 究 细 胞 增 殖 核 抗 原 （PCNA）在胃癌组织（A组），胃癌旁组织 （ B 组）及正常胃粘膜组织（ C 组）中的表 达状况。检测结果用表达指数来表示。 • 数据见表 4 － 2 。试分析 PCNA 在三种胃组织 中的表达有无差异。
表4－2 PCNA在三种不同胃组织中的 表达结果 不同胃组织Xi
• 4。各种变异除以相应的自由度，称为均方， 用MS表示，也就是方差。当H0为真时，组 间均方与组内均方相差不大，两者比值F值 约接近于1。 即 F＝组间均方／组内均方≈1。 • 5。当H0不成立时，处理因素产生了作用， 使得组间均方增大，此时，F＞＞1，当大 于等于F临界值时，则P≤0.05。可认为H0 不成立，各样本均数不全相等。
• 3。计算各部分变异的均方 在方差分析中，方差也称 为均方，是各部分的离均差平方和除以其相应的自由度， 用MS表示。基本公式为：MS＝SS／ν。 • 4。计算统计量F值 F值是指两个均方之比。一般是用较 大的均方除以较小的均方。故F值一般不会小于1。 • 5。确定P值，推断结论 根据分子ν1，分母ν2，查F界 值表（方差分析用），得到F值的临界值（critical value），即：如果F≥F界值，则P≤0.05，在α=0.05水 准上拒绝H0,接受H1。可以认为各样本所代表的总体均数 不全相等。如果想要了解哪两个样本均数之间有差异，可 以继续进行各样本均数的两两比较。
3。三因素方差分析 也称为拉丁方设计（Latin square design）的方差分析。该设计特点是，可 以同时分析三个因素对试验结果的作用，且三个 因素之间相互独立，不能有交互作用。 4 。 析 因 设 计 （ factorial design ） 的 方 差 分 析 当两个因素或多个因素之间存在相互影响或交互 作用时，可用该设计来进行分析。该设计不仅可 以分析多个因素的独立作用，也可以分析多个因 素间的交互作用，是一种高效率的方差分析方法。
标本Xj 1 2
A
56 46
B
30 37
C
21 14
3
… ∑Xj ni 均数 ∑Xj2
39
… 553 10 55.30 31291
20
… 221 9 24.56 6273
27
… 100 8 12.5 1672 874 （∑X） 27 （ N） 32.37（总均值） 39236（ ∑X2）
• 检验步骤及方法 • ⑴建立检验假设 • H0 ：PCNA在三种组织中的表达指数相同， μ1 ＝ μ2 ＝ μ3； • H1：PCNA在三种组织中的表达指数不全相同。 • α＝0.05, • ⑵计算检验统计量F值 由表4-2的数据计算有： • 校正系数 C ＝（ ∑ X ） 2 ／ N ＝（ 874 ） 2 ／ 27 ＝ 28291.70 • SS总＝∑X2－C＝39236-28291.70=10944.3 • υ总＝N－1=27-1=26
表4－2 结果
标本Xj 1 2
PCNA在三种不同胃组织中的表达
不同胃组织Xi
A
56 46
B
30 37
C
21 14
3
… ∑Xj ni 均数 ∑Xj2
39
… 553 10 55.30 31291
20
… 221 9 24.56 6273
27
… 100 8 12.5 1672 874 （∑X） 27 （ N） 32.37（总均值） 39236（ ∑X2）
• 四、方差分析的基本步骤 • 1。计算总变异：指所有试验数据的离均差 平方和。
SS总 ( X X ) 2 X 2 (X ) 2 / N
C (X ) / N
2
• 2。计算各部分变异 ：单因素方差分析中，可以分出 组间变异（SS组间）和组内变异（SS组内）；双因素方差 分析中，可以分出处理组变异（SS处理），区组变异（SS 区组）或称为配伍组变异（SS配伍）及误差变异（SS误差）。
∑i X 73 59 130 86 348 （∑X） 17．4（总均数） 6716 ∑X ）
2
• • • •
• • • • • •
检验步骤及方法 （1）建立检验假设 1)对处理因素作用的检验假设 H0 ：五种消毒液的消毒效果相同， μ 1 ＝ μ 2 ＝ μ ＝μ 4＝μ 5； H1：五种消毒液的消毒效果不全相同。 α ＝0.05 2)对区组因素作用的检验假设 H0 ：四种细菌的抑菌圈直径相同， μ 1 ＝ μ 2 ＝ μ ＝μ 4； H1：四种细菌的抑菌圈直径不全相同。 α ＝0.05
• υ组间＝k-1=3-1=2 • SS 组 内 ＝ SS 总 － SS 8965.98=1978.32
SS组间
i
组 间
＝ 10944.3-
( X ij ) 2
j
ni
(553) 2 (221 ) 2 (100) 2 C 28291 .70 10 9 8
37257 .68 28291 .70 8965.98
第二节
单因素方差分析
• 1 。特点 单因素方差分析是按照完全随机设计 的原则将处理因素分为若干个不同的水平，每个 水平代表一个样本，只能分析一个因素对试验结 果的影响及作用。其设计简单，计算方便，应用 广泛，是一种常用的分析方法，但其效率相对较 低。该设计中的总变异可以分出两个部分， • 即SS总＝SS组间＋SS组内。 • 2。常用符号及其意义 • （1）Xij 意义为第i组的第j个数据。其中下标 i 表 示列，j 表示行。 • （2） X 意义为将第i组的全部j个数据合计。
2 2 12 2 k 2
即要求检验假设为 此假设的意义为，在某处理因素的不同水平下， 各样本的总体均数相等。 H :
0 1 2 k
• 1。设某因素有多个水平，即试验数据产生 多个样本。由多个样本的全部数据可以计 算出总变异，称为总的离均差平方和。即 SS总。 • 2。数理统计证明，SS总可以由几个部分构 成。单因素方差分析中， SS总由组间变异 和组内变异构成。 • SS总＝SS组间＋SS组内。 • 3。组间变异主要受到处理因素和个体误差 两方面影响，组内变异主要受个体误差的 影响。当H0 为真时，由于处理因素不起作 用，组间变异只受个体误差的影响。此时， 组间变异与组内变异相差不能太大。
表4－3 方差分析表
变异来 源 （1） SS总 SS 自由 度 F值 F0.0 5 F0.0 1 P值
均方
（2）
（3） （4）
（5） （6） （7） （8）
10944 26 .30
SS组间
SS组内
8965. 98 1978. 32
2
24
4482. 54.3 3.40 99 9 82.43
5.61 <0.0 1
5。正交试验设计的方差分析 如果 要分析的因素有三个或三个以上， 可进行正交试验设计（orthogonal experimental design）的方差分 析。当分析因素较多时，试验次数 会急剧增加，用此设计进行分析则 更能体现出其优越性。该设计利用 正交表来安排各次试验，以最少的 试验次数，得到更多的分析结果。
第三节
双因素方差分析
• 一、特点及意义 • 1. 特点 按照随机区组设计的原则来分析两个因 素对试验结果的影响及作用。其中一个因素称为 处理因素，一般作为列因素；另一个因素称为区 组因素或配伍组因素，一般作为行因素。两个因 素相互独立，且无交互影响。双因素方差分析使 用的样本例数较少，分析效率高，是一种经常使 用的分析方法。 • 但双因素方差分析的设计对选择受试对象及试验 条件等方面要求较为严格，应用该设计方法时要 十分注意。该设计方法中，总变异可以分出三个 部分： • SS总＝SS处理＋SS区组＋SS误差

二、方差分析的基本思想 处理因素可分为若干个等级或不同类型，通常 称为水平。在不同的水平下进行若干次试验并取 得多个数据，可以将在每个水平下取得的这些数 据看作一个样本。若某个因素有四个水平，每个 水平的数据代表一个样本，则获得四个样本的数 据。 设有k 个相互独立的样本，分别来自 k 个正态总体 X1，X2，…Xk，且方差相等，
ij j
( X
ij
)2
•Leabharlann Baidu（3） 平方，
i
j
将第i组的j个数据合计后 再将所有各i组的平方值合
计。 • （4）变异来源 ①SS总：表示变异由处 理因素及随机误差共同所致；② SS组间： 表示变异来自处理因素的作用或影响； ③ SS 组内 ：表示变异由个体差异和测量 误差等随机因素所致。
计算公式
MS组内
SS组内
组内
1978 .32 82.43 24
MS组间
SS组间
组间

8965 .98 4482 .99 2
• (3) 列方差分析表 见表4-3。 • (4 ）确定 P 值 根据 α ＝ 0.05 ， υ1 ＝ υ 组间 ＝ 2 ， υ2＝υ组内＝24，查附表4，F界值表，得F界值： F0.01(2,24)=5.61 。 本 例 F ＝ 54.39 ， 大 于 界 值 F0.01(2,24)=5.61，则P<0.01。 • （ 5 ）推断结论 由于 P ＜ 0.01 ，在 α ＝ 0.05 水准 上拒绝 H0 ，接受 H1 ，差异有统计学意义。可以认 为 PCNA 在三种不同胃组织中的表达指数不全相同。 • 该结论的意义为，至少有两种组织的 PCNA 表达指 数不同。如果想确切了解哪两个组织的 PCNA 表达 指数有差异，可进一步作多个样本均数的两两比 较。