函数单调性的习题及答案

函数单调性的习题及答案

函数的单调性（一）

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（

）

A ．y =2x ＋1

B ．y =3x 2＋1

C ．y =

D ．y =2x 2＋x ＋1

2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］

上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于

（

）

A ．－7

B ．1

C ．17

D ．259．函数的递增区间依次是

（

）A ．B ．C ．D 10．已知函数在区间上是减函数，

则实数的取值范围是（ ）

A ．a ≤3

B ．a ≥－3

C ．a ≤5

D ．a ≥3

10．已知函数的单调递减区间上是减函

x

2

)2()(||)(x x x g x x f -==和]

1,(],0,(-∞-∞)

,1[],0,(+∞-∞]1,(),,0[-∞+∞)

,1[),,0[+∞+∞()()2

212

f x x

a x =+-+(]4,∞-a ()()2212f x x

a x =+-+(]

4,∞-

数，则实数的取值范围是（ ）

A ．a ≤3

B ．a ≥－3

C ．a ≤5

D ．a ≥3

二、填空题：

13．函数y =(x －1)-

2的减区间是___

_．

14．函数y =x －2＋2的值域为__

___．

15、设是上的减函数，则的单调递减区间为

.

16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．

三、解答题：

17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f () = f (x )－f (y )

（1）求f (1)的值． （2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f () ＜2 ．

a x

-1()y f x =R ()3y f x =-y x x

1

18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？

如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．

19．试讨论函数f (x )=在区间［－1，1］上的

单调性．

2

1x

20．设函数f (x )=－ax ，(a ＞0)，试确定：当

a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函

数．

21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并

且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．

1

2 x

22．已知函数f (x )=

，x ∈［1，＋∞］

（1）当a =时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．

x

a

x x ++222

1)

参考答案

一、选择题： CDBBD ADCCA BA 二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.，

三、解答题：17.解析：①在等式中，则f (1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则

故原不等式为：即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，

故不等式等价于：

18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减

函数，证明如下：

设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．

[)3,+∞⎥⎦

⎤

⎝⎛-∞-21,0≠=y x 令.2)6(2)36(),6()36()6

36

(==∴-=f f f f f ),36()1

()3(f x

f x f <-+.23153036

)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x

f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋

x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋)2＋x 22］．

∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋)2＋x 22＞0，

∴f (x 1)＞f (x 2)．

∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)

－

f (x 2)=

－

=

=

∵x 2－x 1＞0，

＞0，∴当x 1＞0，x 2＞

0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．

当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=

在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=

在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋且x 1＜x 2，则

f (x 1)－f (x 2)=

－

－a (x 1－x 2)=

－a (x 1－x 2)

=(x 1－x 2)(

－a )

22

x 43

22

x 43

2

1

1x -2

2

1x -2

2

2

12

22

111)1()1(x x x x -+----2

2

2

1121211))((x x x x x x -+-+-2

2

2

111x x -+-2

1x -2

1x -)∞1

2

1+x 1

2

2+x 1

12

22

122

21+++-x x x x 1

12

22

12

1++++x x x x