用数形结合的方法解题

1 引言

数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；

②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。

2 文献综述

2.1国内外研究现状

数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。

2.2国内外研究现状评价

文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。

2.3提出问题

如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不

争的事实是—学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。

3 数形结合思想概述

1、数形结合思想的概念

数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。

以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。

以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。

2、数形结合思想应遵守的原则

（1）等价性原则。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导致表示的数不完整。

（2）双向性质原则。利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析，另一方面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进行代数分析或对代数问题进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。

（3）简单性原则。简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去追求某一种模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。

3、数形结合思想的的解题方法

（1）图示法

如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。

（2）区域法

如用不等式的几何意义表示平面区间。

（3）坐标法

如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。

（4）特征法

如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。

4 数形结合思想在解题中的应用

4.1在集合中的应用

集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补运算的考查是检验掌握知识的关键。通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用数形结合能快速解决集合问题。

例1 若集合⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<<⎭⎬⎫

⎩⎨⎧===)0(sin 5cos 5),(πθθθy x y x A ｜，集合{}b x y y x B +==｜

),(且φ≠B A ，则b 的取值范围为__＿.

解析：集合A 可以变为{}50,25/),(22≤<=+=y y x y x A ，显然，A 表示以（0，0）为圆心，以5为半径的圆在X 轴的上方的部分，B 表示斜率为1=K ，纵截距为b 的直线，要使φ≠B A ，即使直线b x y +=与圆2522=+y x （x 轴上半部分）有公共点。

图1 由图1知25b 5-≤≤.

4.2在函数中的应用

函数问题是高中数学的一大重难点,然而若注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜率问题、直线的纵截距问题等，则可使问题迎刃而解。

例2 已知函数34F 2+-=x x x ）（，求函数)(x F 的单调区间，并指出单调性。

解析：当034-2≥+x x 即1≤x 或3≥x 时，34-F 2+=x x x ）

（

当034-2≤+x x 即31<

（ 所以⎪⎩⎪⎨⎧<<+≥≤-=）（）（

或）（）（3112--)

31(12-F 2

2

x x x x x x 如图2所示

图2

所以函数)(x F 的单调区间有：(-∞，1]，[1,2]，[2，3]，[3，+∞）.其中增区间是[1,2]与[3，﹢∞﹚，减区间是﹙－∞，1]与[2,3].

4.3在数列中的应用

若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题的本质构造几何图形突破数列问题。

例3 若数列{}n a 为等差数列，p q q p ==a a ，求q p +a .

解析：设q p <等差数列n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，

故三点）（q p ,、）（p q ,、）（m q p ,+共线，设m q p =+a ，由已知得三点）（q a p ,，）

（p a q ,，）

（q p a q p ++,共线。