线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

线性回归方程——非线性方程转化为线性方程例1．(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2,⋯,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x̅ y ̅ w ̅46.6 563 6.8289.81.61469108.8表中w i =√x i ，w ̅ =18 ∑w i 8i=1，，I ）根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +d √x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；，II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z =0.2y −x ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1,v 1) (u 2,v 2) ，…，(u n ,v n ) 其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=∑(u i −u)(v i −v)ni=1∑(u i −u)2ni=1，α̂=v −β̂u . 【答案】(Ⅰ)y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；(Ⅱ)y ̂=100.6+68√x ；(Ⅲ)(i)答案见解析；(ii)46.24千元.【解析】（I ）由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （II ）令w =√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d̂=∑(w i −w)(y i −y)8i=1∑(w i −w)28i=1=108.81.6=68，∴ĉ=y −d ̂w =563−68×6.8=100.6， ∴y 关于w 的线性回归方程为y ̂=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ̂=100.6+68√x .（III ）(ⅰ)由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y ̂=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值为ẑ=576.6×0.2−49=66.32.，ⅱ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值ẑ=0.2(100.6+68√x)−x =−x +13.6√x +20.12， 所以当√x =13.62=6.8，即x =46.24时，ẑ取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.例2．某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。

经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难。

现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y（万元）近似满足关系式y=C1⋅2C2x，其中C1,C2为常数。

（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）其中k i=log2y i，k̅=15∑5i=1k i（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅰ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),⋯,(u n,v n)，其回归直线方程v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑ni=1(u i−u̅)(v i−v̅)∑n i=1(u i−u̅)2,α̂=v̅−β̂u̅.【答案】（Ⅰ）2.8（万）;（Ⅱ）1624万.【详解】（Ⅰ）因为x̅=15(13+14+15+16+17)=15，所以∑5i=1(x i−x̅)2=(−2)2+(−1)2+12+22=10.由k=log2y得k=log2C1+C2x，所以C2=∑5i=1(x i−x̅)(k i−k̅)∑5i=1(x i−x̅)2=110，log2C1=k̅−C2x̅=1.2−110×15=−0.3，所以C1=2−0.3=0.8，所以y=0.8×2x10.当x=18时，2018年人均可支配年收入y=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8（万）（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人， 2018年人均可支配收入比2017年增长0.8×21.8−0.8×21.70.8×21.7=20.1−1=0.1=10%所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1-10%)=2520人，很困难的学生有4200×(1-20%)+2800×10%=3640人一般困难的学生有7000×(1-30%)+4200×20%=5740人.所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万.例3．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l 所示： 表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y =a +bx 与y =c ⋅d x (c，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)，(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； 参考数据：其中υi =1gy i ,υ=17∑υi 7i=1参考公式：对于一组数据(u 1,υ1),(u 2,υ2),⋅⋅⋅,(u n ,υn )，其回归直线υ̂=a ̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i υi −nuυni=1∑u i 2−nu 2ni=1,a ̂=υ−β̂u ̂. 【答案】（1）y =c ⋅d x ，2，3470【详解】（1）根据散点图判断，y =c ⋅d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型； （2）∵y =c ⋅d x ，两边同时取常用对数得：1gy =1g(c ⋅d x ) =1gc +1gd ⋅x ， 设1gy =v, ∴v =1gc +1gd ⋅x∵x =4,v =1.54, ∑x i 27i=1=140， ∴l g ̂d =∑x i v i 7i=1−7xv ∑x i2−7x 27i=1=50.12−7×4×1.54140−7×42=728=0.25，把样本中心点(4,1.54)代入v =1gc +1gd ⋅x ,得: l g ̂c =0.54， ∴v ̂=0.54+0.25x ，∴l g ̂y =0.54+0.25x ，∴y 关于x 的回归方程式：y ̂=100.54+0.25x =100.54×(100.25)x =3.47×100.25x，把x =8代入上式，y ̂=3.47×102=347， 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470，例4．近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2（1）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8 , 16]”为事件A ，试估计A 的概率； （2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x (单位：年)表示二手车的使用时间，y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用y =e a+bx 作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表（表中Y i =lny i ，Y =110∑Yi 10i=1，，①根据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),⋯(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑u i v i n i=1−nu̅ v ̅∑u i 2ni=1−nu ̅2,α̂=v̅−β̂ u ̅， ②参考数据：e 2.95≈19.1 , e 1.75≈5.75 , e 0.55≈1.73 , e −0.65≈0.52 , e −1.85≈0.16，【答案】（1）0.40；（2）y ̂=e 3.55−0.3x 0.29万元【详解】（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28，在(12,16]的频率为0.03×4=0.12 ,所以P (A )=0.28+0.12=0.40，（2）①由y =e a+bx 得lny =a +bx ，即Y 关于x 的线性回归方程为Ŷ=a +bx ， 因为b ̂=∑x i Y i −10x̅⋅Y ̅10i=1∑x i 2−10x̅210i=1=79.75−10×5.5×1.9385−10×5.52=−0.3，a ̂=Y ̅−b ̂⋅x̅=1.9−(−0.3)×5.5=3.55 所以Y 关于x 的线性回归方程为Y ̂=3.55−0.3x ， 即y 关于x 的回归方程为y ̂=e 3.55−0.3x ②根据①中的回归方程y ̂=e 3.55−0.3x 和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在(0，4]的平均成交价格为e 3.55−0.3×2=e 2.95≈19.1，对应的频率为0.2， 使用时间在(4，8]的平均成交价格为e 3.55−0.3×6=e 1.75≈5.75，对应的频率为0.36， 使用时间在(8，12]的平均成交价格为e 3.55−0.3×10=e 0.55≈1.73，对应的频率为0.28，使用时间在(12，16]的平均成交价格为e3.55−0.3×14=e−0.65≈0.52，对应的频率为0.12，使用时间在(16，20]的平均成交价格为e3.55−0.3×18=e−1.85≈0.16，对应的频率为0.04所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10% =0.29092≈0.29万元例5．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． y （微克）x （千克）其中ω=x 2（I ）根据散点图判断，y ̂=bx +a 与y ̂=dx 2+c ，哪一个适宜作为蔬菜农药残量y ̂与用水量x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(Ⅱ)若用解析式y ̂=dx 2+c 作为蔬菜农药残量y ̂与用水量x 的回归方程，求出y ̂与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1) (Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据√5≈2.236) 附：参考公式：回归方程y ̂=a ̂+b̂x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1, a ̂=y ̅−b ̂x̅ 【答案】（1）见解析； （2）y ̂=−2.0x 2+60.0；（3）需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜. 【详解】（I ）根据散点图判断y ̂=dx 2+c 适宜作为蔬菜农药残量y ̂与用水量x 的回归方程类型； （Ⅱ）令w =x 2，先建立y 关于w 的线性回归方程， 由于d̂=∑(w i −w )8i=1(y i −y )∑(w i −w )8i=12=−751374≈−2.0，∴ĉ=y −d̂w =38+2×11=60． ∴y 关于w 的线性回归方程为y ̂=−2.0w +60.0， ∴y 关于x 的回归方程为y ̂=−2.0x 2+60.0．(Ⅲ)当y ̂<20时，−2.0x 2+60.0<20 ，x >2√5≈4.5∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜。