线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

例1．(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2,⋯,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x̅ y ̅ w ̅

46.6 563 6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中w i =√x i ，w ̅ =1

8 ∑w i 8i=1，

，I ）根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +d √x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

，II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z =0.2y −x ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1,v 1) (u 2,v 2) ，…，(u n ,v n ) 其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β

̂=∑

(u i −u)(v i −v)

n

i=1∑(u i −u)2

n

i=1，α̂=v −β

̂u . 【答案】(Ⅰ)y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；(Ⅱ)y ̂=100.6+68√x ；(Ⅲ)(i)答案见解析；(ii)46.24千元.

【解析】（I ）由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （II ）令w =√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d

̂=∑(w i −w)(y i −y)

8

i=1∑(w i −w)28

i=1=

108.81.6

=68，

∴ĉ=y −d ̂w =563−68×6.8=100.6， ∴y 关于w 的线性回归方程为y ̂=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ̂=100.6+68√x .

（III ）(ⅰ)由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y ̂=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值为ẑ=576.6×0.2−49=66.32.

，ⅱ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值ẑ=0.2(100.6+68√x)−x =−x +13.6√x +20.12， 所以当√x =13.62

=6.8，即x =46.24时，ẑ取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

例2．某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学

生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%

转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难。现统计了该地级市2013年到

2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和

表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y（万元）近似满足关系式

y=C1⋅2C2x，其中C1,C2为常数。（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）

其中k i=log2y i，k̅=1

5

∑5i=1k i

（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；

（Ⅰ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？

附：对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),⋯,(u n,v n)，其回归直线方程v=βu+α的斜率和截距

的最小二乘估计分别为β̂=∑n

i=1

(u i−u̅)(v i−v̅)

∑n i=1(u i−u̅)2

,α̂=v̅−β̂u̅.

【答案】（Ⅰ）2.8（万）;（Ⅱ）1624万.

【详解】（Ⅰ）因为x̅=1

5

(13+14+15+16+17)=15，所以∑5i=1(x i−x̅)2=(−2)2+(−1)2+12+22=10.

由k=log

2y得k=log

2

C1+C2x，所以C2=∑5i=1(x i−x̅)(k i−k̅)

∑5i=1(x i−x̅)2

=1

10

，log

2

C1=k̅−C2x̅=1.2−1

10

×15=−0.3，

所以C1=2−0.3=0.8，所以y=0.8×2x10.当x=18时，2018年人均可支配年收入y=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8（万）

（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人

一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人， 2018年人均可支配收入比2017年增长

0.8×21.8−0.8×21.7

0.8×21.7

=20.1−1=0.1=10%

所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1-10%)=2520人，

很困难的学生有4200×(1-20%)+2800×10%=3640人

一般困难的学生有7000×(1-30%)+4200×20%=5740人.

所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万.