点到直线的距离教案公开课

《点到直线的距离》教案

教学目标

（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。 教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习 教学工具：计算机多媒体、三角板 教学过程：

一、 创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子：

如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？

这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。 二、师生互动 、探究新知

教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P （x 0 ,y 0）和一条定直线l ： Ax+By+C=0，那么如何求点P 到直线l 的距离d ？请学生思考并回答。

学生：先过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|PQ|的长度就是点P 到直线l 的距离d ，将点线距离转化为定点到垂足的距离。

接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）

(1)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0C

d y B

=+

）

仓库

(2) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+C=0（A ≠0）的距离d ；（答案：0C

d x A

=+

） 第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。

教师：根据以上2题的运算结果，你能得到什么启示？

学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显示并板书：

B C By B C

y y y PQ C By l A Q +=

+

=-==+=000,0:0时，当 A

C Ax A C

x x x PQ C Ax l B Q +=

+

=-==+=000,0:0时，当 教师：当0≠AB 时，那么，而当直线是倾斜位置时，0:=++C By Ax l ，此时直线含有多个字母则较难；,虽然有一些思路，但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。点

到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（1）、（2）的启示或者是以前学过的方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论

学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……

教师根据学生提出的方案，收集思路。

思路一：利用定义

①求垂线PQ 的方程（由PQ ⊥l 以及直线l 的斜率可知垂线PQ

②求交点Q 坐标（联立方程组求解）

③两点间距离公式

上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎——运算较为繁琐。

l l )

（思路一）解：直线PQ ：()()000,x x x x A

B

y y ≠-=

-，即00Ay Bx Ay Bx -=- 由⎩

⎨⎧=++-=-000C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2

2002B A AC ABy x B x Q +--=

()()2

02

0y y x x

d Q Q

-+-=

∴

教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐。如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提出问题：根据以往求两点间距离公式的图形构造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图形？如何构造？

思路二： 利用直角三角形等面积法 如图，设A ≠0，B ≠0。 引导过程：

①点P 的坐标的意义。

②过P 分别作x 轴、y 轴的垂线。

③构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。 ④如果知道面积和底边，就可以求出高。现在 要求RP 、PS 、SR 的长度。

⑤两点间距离公式，转化问求R 、P 、S 的坐标。

多媒体显示、师生一起推导：

（思路二）解：设()00,y x P ，()

Q Q y x Q ,，()0,y x R R ，()S y x S ,0 00=++C By Ax R ，A

C

By x R +-

=0；00=++C By Ax S ，B C Ax y S +-=0

A

C

By Ax x x RP R ++=

-=000

()0022

A Ax By C A

B -++=

+2220000022Q B x ABy AC A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022

Ax By C

B A B ++=-

+=

00Ax By

C =

++

B

C

By Ax y y PS S ++=

-=000

由PS PR RS PQ ⋅=⋅， RS

PS PR PQ ⋅=

而2

2PS

RP RS +=2

22

200B

A B A C

By Ax +++= 2200B A AB

C

By Ax +++=

2

2

00B

A C

By Ax PQ +++=

∴

思路三：将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。

各小组同学都运用了不同的解法， 此类题解法灵活多样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。

说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。如果学生没有想到思路三，教师提示做课后思考作业题目。

教师提问：①上式是由条件下时当0≠AB 得出，对时，或当00==B A 成立吗？（成立） 1.当A=0，B ≠0时，0:=+C By l 此时，直线为：B

C

y -

=,直线为平行于x 轴（或重合于x 轴）的直线 则：2200000)(B A C By Ax B C By B C

y B C y PS PQ +++=+=+=--==

2.当A ≠0，B=0时，0:=+C Ax l

此时，直线为：A

C

x -=，直线为平行于y 轴（或重合于y 轴）的直线

则：2200000)(B

A C By Ax A C Ax A C

x A C x PR PQ +++=+=+=-

-==

②点P 在直线l 上成立吗？（成立）

③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

由此推导出点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax+By+C=0距离公式：