2.3 运用公式法(含答案)-
2.3运用公式法
2.3运用公式法课时1 利用平方差公式分解因式课练巩固1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A .x 2＋y 2 B .－x 2－y 2 C .－x 2＋y 2 D .x 2－(－y 2)2下列各项不能用平方差公式分解的是（ ）A .42x －2y B .2x －2yC .162x －2y D .222549y x -+ 3.分解因式－4a 2+9b 2的正确结果是（ ） A .(2a ＋3b)(2a-3b) B . (-2a+3b)(-2a-3b) C .(2a ＋3b)(3b-2a) D . (-2a ＋3b)(2a-3b)4.已知5x y +=，2215x y -=，则y x-的值是（ ）A .3B .-3C .5D .-55.216－1可以被下列哪两个10以内的数整除（ ）A. 2和3B.3和5C.2和5D.3和76.分解因式：a 3－25a ＝7.利用分解因式计算：1.222×9－1.332×4＝_________.8.一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为_______米.9.因式分解：（1）16x 2－25y 2；（2）（a ＋2b ）2－（2a －b ）2；（3）xy 2－9x ；（4）81x 4－y 2.10.先分解因式，再求值： （1）xy 3-x 3y ，其中x ＝13，y ＝3. （2）(2x ＋3y )2－(2x －3y )2.其中x ＝16，y ＝18.11.如图，在半径为R 的圆形钢板上，除去半径为r 的四个小圆，利用因式分解计算当R ＝7.8厘米，r ＝1.1厘米时剩余部分的面积.( π取3.14，结果保留三个有效数字)r R12.请用两种不同的方法分解因式:64a a -.比较两种解法,你认为哪种更好一些?从中你能得到什么启示?课时笔记［知识要点］1.把乘法公式（a＋b）（a－b）= a2－b2过来，就得到因式分解的平方差公式：a2－b2 =（a＋b）（a－b）．［温馨提示］平方差公式的特点是：①左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；②右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项为正的那个数．[方法技巧]1．观察一个多项式能否用平方差分解因式，首先应把多项式写成两个式子的平方差的形式．2．如果多项式的项两项都含有公因式，要先提取公因式，再看看能否用平方差分解因式．课时2 利用完全平方公式分解因式课练巩固1.下列多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是( )A .221x x +-B .221x x -+-C .21x x ++ D .214x +2.把代数式ax 2－4ax +4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）A .a (x －2)2B .a (x ＋2)2C .a (x －4)2D . a (x ＋2)(x －2) 3.如果24x mx ++是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A .4B . －4C .±2D .±44.多项式x 2－4x ＋a 可分解为（x ＋b ）2，则a ，b 的值是（ ）．A .a ＝4，b ＝－2B .a ＝－4，b ＝－2C .a ＝4，b ＝2D .a ＝－4，b ＝－2 5.（哈尔滨中考·2010）把多项式2a 2－4ab ＋2b 2分解因式的结果是 .6.已知│x －y │＝3，则222x y xy +- 的值为＿＿＿.7.若222524x kxy y ++可以分解为2(52)x y -，则k 的值是________.8.多项式216ax a -与221632x x -+的公因 式是______________.9.已知正方形的面积为2244x xy y ++（x＜0, y ＜0）,则表示正方形边长的代数式为 .10.把下列各式分解因式： （1）x 2－4xy ＋4y 2； （2）4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3；（3）(x 2＋6x )2＋18(x 2＋6x ) ＋81； （4）(x 2＋y 2)2－4x 2y 2.11.先分解因式，再求值：（1）4x 2－12xy ＋9y 2，其中x=－32，y=－23.（2）a 4－4a 3b ＋4a 2b 2.其中a ＝8，b ＝－2.12.给出三个多项式X =2a 2＋3ab ＋b 2，Y =3a 2＋3ab ，Z = a 2＋ab ，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．课时笔记［知识要点］1.运用公式法：由分解因式与整式乘法的关系可以看出。
2.3运用公式法2
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5、把
1 4
x
2
3 x y 9 y 分解因式得
2
（
2
B
2
）
1 A、 4 x 3 y
B、
2
1 x 3y 2
6、把 A、
分解因式得 x y xy （ ） A 9 3
4
2
4
2 x y 3
2 2
是
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
5x2 x1 Nhomakorabea是
6
a2
4 2 a b 4b 2 否
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式
1 x 3 x 4a
2
2 __ _ _ _x y _ _ y
因式分解——运用公式法
2、完全平方公式因式分解
上节课的回顾 练习:
(1) 3 x 4 y x 2 y
2 2
2 5 a
3
x 5a y
2 3
2
1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（ ） A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
a 2ab b a 2ab b 我们把以上两个式子 叫做完全平方式
2 2
2
2
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
判别下列各式是不是 完全平方式
1x
2
2 xy y
2
2
是
2
运用公式法
运用公式法篇一：运用公式法运用公式法平方差公式22(a+b)(a-b)=a-b公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式。
因此，计算时公式中的字母以可以表示任何数、单项式或多项式，只要符合公式特点，就可以运用平方差公式平方差公式多项式必须是两个数（或式）的平方差，能2够指明二项式中，哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于222公式中的b。
并且把给出的多项式经过简单变形，写成a-b的形式，以便于分解，当公式中的字母表示多项式时，分解过程中需要加中括号，但结果中不能含有中括号，在添、去括号时都应注意是否需要变号。
有些题表面看不符合平方差公式的特点，但仔细观察，它们符合平方差公式的特点，可以应用公式计算。
再次鼓励与提倡解决问题策略的多样化，满足不同学生发展的需求，丰富学生的学习经验，提高思维水平，培养创新意识。
通过介绍同一问题的不同解决方法，让学生感受到分解因式中的一些技巧。
篇二：运用公式法数学微格教学教案科目：数学课题：分解因式——运用公式法执教：袁媛训练技能：设计理念：一、教学内容：北师大版初二下册第二章p54-58页内容。
二、教学目标：1、回固因式分解的概念和复习提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。
三、教学重点：本章内容是分解因式，分成了三小节。
前两节分别讲的是因式分解的概念和提公因式法进行分解因式。
本节要讲的是用公式法进行因式分解。
其重点是熟记乘法公式中的平方差公式与完全平方公式，并结合前两节知识进行因式分解。
四、教学难点：难点是用公式法结合前一节内容进行因式分解。
教学过程：训练技能执教者教学目标袁媛教学课题教学时间分解因式——运用公式法20XX-9-261、复习巩固因式分解定义和提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。
专题4.1 因式分解(提公因式法与运用公式法)(学生版)
专题4.1 因式分解（提公因式法与运用公式法）1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2.会用提公因式法分解因式；3.会用运用公式法分解因式。
知识点01 因式分解的概念【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【知识拓展1】辨别因式分解与整式乘法例1．（2024·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．2(1)(1)1a a a +-=- B ．43222186?3x y x y x y -=- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2269(3)a a a -+=-【即学即练】1．（2024·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【知识拓展2】应用因式分解的概念求参数例2．（2024·山东中区·初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【即学即练】1．（2024·贵州铜仁·初二期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6B ．5±C ．5D ．5-2．（2024·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知,,m n p 为实数，若1,4x x -+均为多项式32x mx nx p+++的因式，则2286m n p --+=__________.【知识拓展3】错题正解例3．（2024·上海市八年级期中）甲乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4），乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则2a +b ＝_____． 【即学即练】1．（2024·张家界市初二期中）甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a ，分解结果为(x+1)(x+9)，则a -b 的值是__________．知识点02 因式分解的方法（一）提公因式法【知识点】①提公因式法：pa +pb +pc =p (a +b +c )；注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
22.2.3公式法解一元二次方程
22.2.3公式法解一元二次方程一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．（二）能力培养点通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．（三）情感体验点让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学设想1．重点：运用公式法解一元二次方程．2．难点：正确确定系数和准确运用公式．3．疑点：b-4a c<0时，一元二次方程的解．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片2．多媒体课件撷英：http：//【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程（1）用配方法解2x2-8x-9=0．（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）2．课前热身（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？3．合作探究（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；二次项系数化为1得x2-4x-92=0；移项x2-4x=92；配方x 2-4x+22=92+4；（x-2）2=172，x-2解得x 1=2+2x 2=2-2． 引导学生继续解ax 2+bx+c=0（a ≠0）； 二次项系数化为1得x 2+b a x+c a =0； 移项x 2+b a x=-c a；• 配方x 2+2·x ·2b a +（2b a ）2=（2b a ）2-c a即（x+2b a ）2=2244b ac a-． （2）师生互动互动1师：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式中，要求b 2-4ac •≥0•，•那么b 2-4ac<0时会怎样呢？生：当b 2-4ac<0ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数解．明确 b 2-4ac ≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b 2-4ac<0时，此方程无解，•也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a ≠0，所以4a 2>0，当b 2-4ac≥0时，直接开平方得x+2b a =所以x=-2b a =2a 即x=2b a-ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，•直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．互动2P34例6解下列方程：①2x 2+x -6=0； ②x 2+4x=2；③5x 2-4x-12=0； ④4x 2+4x+10=1-8x ．明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（•1）•把方程化为一般形式，•确定a 、b 、c 的值；（2）求出b 2-4ac 的值；（3）若b 2-4ac≥0，把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b 2-4ac<0，此时方程无解．互动3请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x -a ）2=b （b ≥0）时，可用直接开平方法；（2）•当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）•配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）•公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．4．达标反馈选择题：（1）用公式法解方程4x 2+12x+3，得到 （A ）A ．B ．C ．D ． （2）关于x 的方程ax 2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B ）A ．有两个正实数根B ．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值C ．有两个负实数根D ．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值（3）关于x 的一元二次方程k （x 2-2x+1）-2x 2+x=0有两个实数根，则k 的取值范围是（C ）A ．k>-14B ．k ≥-14C ．k>-14且k ≠2D ．k ≥-14且k ≠2 （2）解答题：①用公式法解下列方程⑴6x 2-13x-5=0； ⑵x （x+8）=16；2-4x ⑷-12x 2-3x+6=0； ⑸x 2=2（x+1）； ⑹0.009x 2-3x+6=0；⑺4y 2-）．【答案】 ⑴52，-13⑵± 4②求关于x 的一元二次方程m 2-2m+m （x 2+1）=x 的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】 m ，-1，m 2-m③不解方程，判别下列方程的根的情况．⑴2x 2+3x-4=0； ⑵16y 2+9=24y ； ⑶5（x 2+1）-7x=0．【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根5．学习小结（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b 2-4ac •值的情况可以判别方程根的情况．当b 2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b 2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x 的方程x 2+2（a+1）x+（a 2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a 的值．链接二：根据求根公式b 2-4ac ≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．（1）设x 1、x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：①11x +21x ；②2111x x +1211x x ；③（x 1-x 2）2；④x 13+x 23． （2）已知关于x 的方程2x 2-（4m-3）x+m 2-2=0，根据下列条件，分别求出m •的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．2．巩固练习（1）选择适当的方法解下列关于x 的方程：①（2x2=8； ②12x 2+7x+1=0；③x 2--1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx 2-（3m 2+2）x+6m=0（m ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=-2②x 1=-13，x 2=-14 ③ ④x=-14 ⑤x 1=2m ，x 2=3m （2）用公式法解下列方程．①2x 2-5x+2=0； 2；③2mnx 2+2m 2x=n 2x+mn （mn ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=12 ②x=2③x 1=2n m ，x 2=-m n （3）求证：方程（x-a ）（x-a-b ）=1有两个实数根，其中一个大于a ，另一个小于a ．【答案】 略（4）已知关于x 的方程2x 2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c 和x 的值．【答案】 c=498，x=-74（5）关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是什么？【答案】 k>-1且k ≠0（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．①2x 2+4x+35=0； ②4m （m-1）+1=0；③0.2x 2-5=32x ； ④4（y 2+0.99）=2.4y ；⑤12x 2； ⑥t 2+15）． 【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根7．求证：关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k 2+5>0，•所以原方程有两个不相等的实数根．（三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法3．公式法解一元二次方程公式法：___________________ 例题讲解：___________公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________注意事项：_________________六、资料下载已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？已知方程ax 2+bx+c=0，变形为x 2+b a x+c a=0，变形为 （x+2b a ）2=2244b ac a- 依求根公式得它的两根为x 1，x 2＝2b a-± 可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．可以算出：x 1+x 2=-b a ；x 1·x 2=c a （根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．例1 已知方程5x 2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．解法一 设方程的另一根为x 1，那么根据根与系数的关系，得2x 1=-65， ∴x 1=-35， 又-35＋2＝－15k -，∴k-1=-5（-35+2）， k -1=-7，k=-6， 答：方程的另一根是-35，k 的值是-6． 解法二 ∵2是方程5x 2+（k-1）x-6=0的根．∴5×22+（k-1）×2-6=0k=-6又设方程的另一个根是x 2，则2x 2=-65，x 2=-35， 答：方程的另一个根是-35，k 的值是-6． 例2 已知方程2x 2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求参数m 和两个根．解 ∵x 1-x 2=1，∴（x 1-x 2）2=1，（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，（12m-）2－12m+×4=1整理，得m2-10m-11=0，（m-11）（m+1）=0，∴m1=11，m2=-1，当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，解得x1=2，x2=3，当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．解∵3x1-x2=4，∴3（x1+x2）-4x2=4，∵x1+x2=-3，∴3×（-3）-4x2=4，x2=-134，将x2=-134代入原方程，得（-134）2＋3×（-134）+m=0m=－13 16．。
2.3 运用公式法
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
学习 过程 预 习 导 （3） （1+2x） （1–2x）= 学 学 习 研 讨 1、分解因式：7x2-21x 2、填空： （1） （x+3） （x–3） =
学习内容
； （2） （4x+y） （4x–y）= ； （4） （3m+2n） （3m–2n）=
； ．
活动一 阅读课本 54 页上面部分内容并回答问题： 1、 观察式子 a2-b2,x2-25,9x2-y2 (1) 他们有没有相同的因式？他们能不能分解因式？ (2) 小组讨论，它们有什么共同特征？ (3) 你能按照（2）的特征再举几个例子吗？ 2、结合预习导学 2，完成下列填空 （1）9m2–4n2= （3）x2–9= ； （2）16x2–y2= ； （4）1–4x2= ． ；
（4）(m－a)2－(n＋b)2 （5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
2、 如图， 在一块边长为 a 的正方形纸片的四角， 各 形．用 a 与 b 表示剩余部分的面积，并求当
剪去一个边长为 b 的正方 a=3.6，b=0.8 时的面积．
a b
延 伸 拓 展 总结 反思 作业 1.解： （1）a2－81=（a+9） （a－9）; 2 （2）36－x =（6+x） （6－x）; 2 （3）1－16b =1－（4b）2=（1+4b） （1－4b）; 2 2 （4）m －9n =（m +3n） （m－3n）; 2 2 （5）0.25q －121p =（0.5q+11p） （0.5q－11p）; 2 （6）169x －4y2=（13x+2y） （13x－2y）; 2 2 2 2 （7）9a p －b q =（3ap+bq） （3ap－bq）; （8） 已知 a、b 为正整数，且 a2-b2=45，求符合要求的 a、b 的值。
2.3.2 运用公式法(二)
一、）请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－）用简便方法计算，并写出运算过程：二、2+b2－2ab－1ma－mb+2a－2b3－aax2+ay2－2axy－ab2三、好好想一想n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是）一条水渠，其横断面为梯形，根据图时的面积.图2—3—1，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用作业导航了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握运用公式法分解因式的方法，会利用分解因式进行简便计算与化简.一、选择题1.－(2a－b)(2a+b)是下列哪一个多项式的分解结果( )A.4a2－b2B.4a2+b2C.－4a2－b2D.－4a2+b22.多项式(3a+2b)2－(a－b)2分解因式的结果是( )A.(4a+b)(2a+b)B.(4a+b)(2a+3b)C.(2a+3b)2D.(2a+b)23.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A.x2+xy+y2B.x2－2x－1C.－x2－2x－1D.x2+4y24.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )A.10B.20C.－20D.±205.在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm2B.105 cm2C.108 cm2D.110 cm2二、填空题6.多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.8.若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________.9.若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.10.已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为________.三、解答题11.分解因式(1)3x4－12x2(2)9(x－y)2－4(x+y)2(3)1－6mn+9m2n2(4)a2－14ab+49b2(5)9(a +b )2+12(a +b )+4 (6)(a －b )2+4ab12.(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值. (2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求21(a 2+b 2)－ab 的值. 13.利用简便方法计算: (1)2001×1999(2)8002－2×800×799+799214.如图1，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2a)厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.图115.对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？参考答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D二、6.a－b7.y－x8.2 9.1或－9 10.25三、11.(1)3x2(x+2)(x－2) (2)(5x－y)(x－5y) (3)(3mn－1)2(4)(a－7b)2(5)(3a+3b+2)2(6)(a+b)2112.(1)2 (2)213.(1)3999999 (2)114.128平方厘米15.略2.3 运用公式法同步练习1．填空：（1）多项式各项的公因式是___________；（2）多项式各项的公因式是_________；（3）如果是一个完全平方式，那么k的值是__________；（4）（）．2．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．利用分解因式计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．4．先分解因式，再求值：（1），其中；（2），其中．5．对于任意自然数是否能被24整除？为什么？参考答案1．（1） ；（2）；（3）9；（4） ．2．（1） ；（2） ；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．（1）27.6；（2）125；（3）10100；（4）0.0395；（5）9801；（6）7；（7）6.32；（8）5000．4．（1） ，当 时，原式＝9216；（2） ，当时，原式＝100．5．，能被24整除．2.3 运用公式法 同步练习一、选择题1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.-a 2+b 2B.-x 2-y 2C.49x 2y 2-z 2D.16m 4-25n 2 2.下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）①x 2-4x+4; ②6x 2+3x+1; ③ 4x 2-4x+1; ④ x 2+4xy+2y 2 ; ⑤9x 2-20xy+16y 2A.①②B.①③C.②③D.①⑤3.在多项式:①16x 5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x 2;④-4x 2-1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）A.①②B.③④C.①④D.②③ 4.分解因式3x 2-3x 4的结果是（ ）A.3(x+y 2)(x-y 2)B.3(x+y 2)(x+y)(x-y)C.3(x-y 2)2D.3(x-y )2(x+y) 25.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A.2B.4C.2y 2D.4y 26.若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）A.-5B.3C.7D.7或-1 7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ） A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数. 二、填空题8.（ ）2+20pq+25q 2= （ ）29.分解因式x 2-4y 2= ___________ ; 10.分解因式ma 2+2ma+m= _______ ;11.分解因式2x 3y+8x 2y 2+8xy 3 __________ .12.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被 _____ 整除。
第三周第一课时八下2.3运用公式法分解因式
运用公式法2一：课标与教材分析1、课标要求，会用完全平方公式分解因式（直接运用公式不超过两次）2、教材分析：本节主要让学生经历通过逆向运用整式乘法的完全平方公式得出因式分解的完全平方公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
在呈现形式上让学生对比平方差公式分解因式的方法来探究分解因式的完全平方公式法。
在教学中进一步让学生经历观察、类比、归纳，小组讨论的数学方法来获取知识。
二、学情分析1、学生已经知道的：学生对因式分解的概念、方法等有了必要的认识和理解，并在整式乘法的公式中，学生已经学习了完全平方公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．2、学生想知道的：如何用完全平方公式分解因式，学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
3、学生能自己解决的：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识，本节课学生能类比平方差公式学习完全平方公式，进一步体会整式乘法与分解因式之间的关系。
学困生分析：部分学生完全平方公式掌握不好，对于公式中的两数乘积的2倍，学生时常忘掉。
需要先复习掌握此公式。
三、教学目标1、知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2、数学思考：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．3、问题解决：会用完全平方公式进行因式分解；4、情感态度、：通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．四、教学重点：会用完全平方公式进行因式分解；教学难点：知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．五、难点突破方法：让学生观察，讨论，总结，教师强调运用完全公式分解因式具备的三个条件，并强化练习。
123运用公式法(二)教案
12.3运用公式法（二）一、教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.二、教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.（五）教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. 三、教学方法观察—发现—运用法四、教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n －3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2（2）－x 2－4y 2+4xy=－（x 2－4xy +4y 2）=－［x 2－2·x ·2y +（2y ）2］=－（x －2y ）2Ⅲ.课堂练习a .随堂练习1.解：（1）是完全平方式x 2－x +41=x 2－2·x ·21+（21）2=（x －21）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.（3）是完全平方式41m 2+3 m n +9n 2 =（21 m ）2＋2×21 m ×3n +（3n ）2 =（21 m +3n ）2 （4）不是完全平方式2.解：（1）x 2－12xy +36y 2=x 2－2·x ·6y +（6y ）2=（x －6y ）2;（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2=（4a 2+3b 2）2（3）－2xy －x 2－y 2=－（x 2+2xy +y 2）=－（x +y ）2;（4）4－12（x －y ）+9（x －y ）2=22－2×2×3（x －y ）+［3（x －y ）］2=［2－3（x －y ）］2=（2－3x +3y ）2Ⅳ.课时小结这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. Ⅴ.课后作业习题12.51.解：（1）x 2y 2－2xy +1=（xy －1）2;（2）9－12t +4t 2=（3－2t ）2;（3）y 2+y +41=（y +21）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;（5）42x +xy +y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab +4=（ab －2）22.解：（1）（x +y ）2+6（x +y ）+9=［（x +y ）+3］2=（x +y +3）2;（2）a 2－2a （b +c ）+（b +c ）2=［a －（b +c ）］2=（a －b －c ）2;（3）4xy 2－4x 2y －y 3=y （4xy －4x 2－y 2）=－y （4x 2－4xy +y 2）=－y （2x －y ）2;（4）－a +2a 2－a 3=－（a －2a 2+a 3）=－a （1－2a +a 2）Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a 和b ，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a 和b ；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a 3b －4a 2b 2+ab 3=ab （4a 2－4ab +b 2）=ab （2a －b ）2。
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要讲述了一元二次方程的解法——公式法。
通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
本节课通过公式法解一元二次方程，使学生能够更加深入地理解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
但部分学生对于公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，加强学生对公式法的理解和运用。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。
2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的公式法解法。
2.运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握一元二次方程的公式法解法。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的配方法解法，引导学生思考：是否有一元二次方程的通用解法？从而引出本节课的内容——公式法。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的公式法解法，引导学生理解公式法的原理。
公式法解一元二次方程的步骤：（1）确定方程的系数a、b、c；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出方程的解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固公式法解一元二次方程的方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法解一元二次方程的应用场景。
让学生举例说明，培养学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对公式法解一元二次方程有一个清晰的认识。
2.3运用公式法
任何一个正奇 你发现了什么规 数都可以表示 律？能用因式分 解来说明你发现 成两个相邻自 的规律吗？ 然数的平方差。 对于正奇数 2n+1(n为自然 2 2 数)，有 n 1 n
1 3 5 7 …
1 12 02
3 22 12
5 32 22
7 42 32
…
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1 n n 1 n 2n 1
1.把下列各式分解因式
(1)(a 2 b 2 ) 2 4 a 2 b 2
（1）x -12xy+36y (1)18a2-50 4 2 2 4 (2)16a +24a b +9b (2)-3ax2+3ay4 2 2 (3)-2xy-x -y (3)(a+b)2-4a2 2 (4)4-12(x-y)+9(x-y) (4)-25x2y2+100 2+2a2x+a3; (5) ax 2 2 (5)4(a-b) -9(2a+3b) 2+6xy－3y2. (6) － 3 x 2 2 2 (6)(x +3x) -(x+1)
已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
3.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
4.如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ A、20 B、-20 C、10 D、-10 5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ A 、6 B、±6 C、3 D、±3 ） ）
北师大版数学九年级上册：2.3.1 公式法 同步练习(含答案)
2.3.1 公式法一、选择题1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是()A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=32.用公式法解方程x2-4x=2,其中b2-4ac的值是()A.16B.24C.8D.43.一元二次方程2x2-x-1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断4.[2020·黔西南州] 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()A.m<2B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠15.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根二、填空题6.已知一元二次方程x2-3x-a=0,当a=-6时,方程的根的情况为;若方程有两个相等的实数根,则a=.7.一元二次方程3x2=4-2x的解是.,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是12是.9.(1)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是;(2)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是.10.在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的解为.三、解答题11.不解方程,判断下列方程的根的情况:=0; (2)16x2-24x+9=0;(1)2x2-3x-32(3)x2-4√2x+9=0; (4)3x2+10=2x2+8x.12.用公式法解下列方程:(1)x2-5x+4=0;(2)x2+3x=0;(3)2x2-3x+9=0;8(4)2x2-3√3x+3=0;(5)0.3y2+y=0.8;(6)6x2-11x+4=2x-2;(7)(3x+2)(x+3)=x+14.13.已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).(1)求证:方程一定有实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.14.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC的三边长.(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.15.[分类讨论题] 已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)试说明无论k取何值,这个方程一定有实数根;(2)已知等腰三角形ABC的一边a为1,若另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.详解详析1.D2.B [解析] 方程x 2-4x=2可化为x 2-4x-2=0.∵a=1,b=-4,c=-2,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=16+8=24.故选B .3.A [解析] ∵b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.故选A .4.D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2x+1=0有实数根,∴{m -1≠0,Δ=22-4×1×(m -1)≥0,解得m ≤2且m ≠1.故选D .5.A [解析] ∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b 2-4ac=16-4×1×5=-4<0,所以原方程的根的情况是没有实数根.故选A .6.无实数根 -947.x 1=-1+√133,x 2=-1-√133[解析] 3x 2=4-2x ,3x 2+2x-4=0,则b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,故x=-2±√526,则x 1=-1+√133,x 2=-1-√133.故答案为x 1=-1+√133,x 2=-1-√133. 8.12 [解析] ∵b 2-4ac=0,∴一元二次方程有两个相等的实数根,∴此方程的另一个根为12.9.(1)0 (2)k<-1[解析] (1)一元二次方程x 2-2x-m=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4+4m>0,∴m>-1.故答案为0.(2)由题意可知Δ=4+4k<0,∴k<-1.故答案为k<-1.10.x 1=-1+√52,x 2=-1-√5211.解:(1)2x 2-3x-32=0,∵Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×-32=21>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)16x 2-24x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)x 2-4√2x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-4√2)2-4×1×9=-4<0,∴方程没有实数根.(4)3x 2+10=2x 2+8x ,即x 2-8x+10=0,∵Δ=b 2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0,∴方程有两个不相等的实数根.12.解:(1)∵a=1,b=-5,c=4,∴Δ=b 2-4ac=(-5)2-4×1×4=9>0,∴x=5±√92=5±32,∴x 1=1,x 2=4. (2)∵a=1,b=3,c=0,∴Δ=b 2-4ac=32-4×1×0=9>0,∴x=-3±√92×1,∴x 1=0,x 2=-3.(3)∵a=2,b=-3,c=98,∴Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×98=9-9=0, ∴x=-(-3)±√02×2,∴x 1=x 2=34. (4)∵a=2,b=-3√3,c=3,∴Δ=b 2-4ac=(-3√3)2-4×2×3=3>0,∴x=3√3±√32×2=3√3±√34, ∴x 1=√3,x 2=√32.(5)移项,得0.3y 2+y-0.8=0.∵a=0.3,b=1,c=-0.8,∴Δ=b 2-4ac=12-4×0.3×(-0.8)=1.96>0,∴y=-1±√1.962×0.3=-1±1.40.6, ∴y 1=23,y 2=-4.(6)原方程可化为6x 2-13x+6=0.∵a=6,b=-13,c=6,∴Δ=b 2-4ac=(-13)2-4×6×6=25>0,∴x=13±√252×6=13±512, ∴x 1=32,x 2=23.(7)原方程可化为3x 2+10x-8=0,∵a=3,b=10,c=-8,∴Δ=b 2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,∴x=-10±√1966, 即x=-5±73,∴x 1=23,x 2=-4.13.解:(1)证明:∵m ≠0,Δ=[-(m-2)]2-4m ×(-2)=m 2-4m+4+8m=m 2+4m+4=(m+2)2≥0, ∴方程一定有实数根.(2)由(1)易得x=m -2±(m+2)2m ,∴x 1=1,x 2=-2m , 当整数m 取±1,±2时,x 2为整数.∵方程有两个不相等的整数根,∴-2m ≠1,∴m ≠-2,∴整数m 的值为-1,1,2.14.解:(1)△ABC 是直角三角形.理由:∵原方程有两个相等的实数根,∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c.∵(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,∴2ax2+2ax=0,而a≠0,∴x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.15.[解析] (1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.(2)分b=c,b=a两种情况.解:(1)∵Δ=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,这个方程一定有实数根.(2)①若b=c,则Δ=0,即(k-2)2=0,∴k=2,∴方程可化为x2-4x+4=0,∴x1=x2=2,则b=c=2,∴△ABC的周长为5;②若b=a=1(或c=a=1),则1是方程x2-(k+2)x+2k=0的一个根.把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,∴原方程可化为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴a=b=1,c=2(或a=c=1,b=2),此时不满足三角形的三边关系,舍去.综上所述,△ABC的周长为5.。
华东师大版九年级数学上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计
4.能够运用公式法求解实际问题中涉及的一元二次方程，并解决相关问题。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过自主探究、合作交流、问题解决等方式，培养以下能力：
1.自主探究：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现一元二次方程的解法——公式法的规律；
1.基础练习题：完成课本P118页第1、2、3题，巩固求根公式的应用。
2.提高练习题：完成课本P119页第4、5题，进一步掌握一元二次方程解的性质及求解方法。
3.实际应用题：根据以下情境，列出一元二次方程并求解。
（1）某学生参加篮球比赛，比赛开始时，他距离篮筐3米。在比赛过程中，他向前跳起，跳跃高度为0.5米。求他距离篮筐的最短距离。
（3）在实际应用中，如何判断一元二次方程的解是否符合题意？
5.课后反思：请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习过程中遇到的困难和收获，并对学习方法进行反思，以提高学习效率。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
3.遇到问题时，积极思考，可向同学或老师请教。
4.课后反思要真实、具体，以便找到适合自己的学习方法。
（2）某商品的成本为1000元，售价为x元。根据市场调查，每提高10元售价，销量增加5件。已知该商品销售总收入与成本相等时，求售价x。
4.探究性问题：小组合作，探讨以下问题，并在下节课上分享讨论成果。
（1）为什么一元二次方程的求根公式中要加上“±”？
（2）当判别式Δ=b²-4ac=0时，方程的解具有什么特点？
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考过程和合作交流情况，了解学生对知识的掌握程度；
运用公式法(共10篇)
运用公式法(共10篇)运用公式法（一）: 求初中因式分解公式越多越好2楼的，拿这些简单的公式糊弄谁呢一．运用公式法在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：1.a^+2ab+b^=(a+b)^2.a^-b^=(a+b)(a-b)3.x^-3x+2=(x-1)(x-2)4.(a1+a2+.+an)^2=(a1^2+a2^2+a3^2+.+an^2)+(2a1*a2*a3*.an)+(2a2*a3*a4*. an)+(2a3*a4*a5.an)+.+2an-1*an5.a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数6.a^n+b^n=(a+b)[(a^(n-1)-a^(n-2)*b+...+(-1)^(n-2)*a*b^(n-2)+(-1)^(n-1)*b^(n-1)],n是奇数二．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．三．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)运用公式法（二）: 运用公式法（1-1/2 ）（1-1/3 ）（1-1/4 ） (1)1/n ）(n+1)/2n1-1/n =(1+1/n)(1-1/n)【运用公式法】运用公式法（三）: 如何应用公式法来分解因式【运用公式法】1.熟悉公式,主要是：平方差、立方差、立方和、和平方、差平方、和立方、差立方等.2.灵活掌握,配合拆项、添项、去项,创造条件,向公式靠拢.3.与提取公因式、分组等分解因式方法相配合.4.多做多想、积累经验.运用公式法（四）: 在运用中,怎样来区别分解因式“提公因式法” 和运用公式法“平方差公式” …我总是搞混乱了,提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.运用公式法：就是利用解方程的方法进行因式分解.平方差公式：（a+b）=a+2ab+b或者（a-b）=a-2ab+b运用公式法（五）: 解方程（1）2（x-3）2=8（直接开平方法）（2）4x2-6x-3=0（运用公式法）（3）（2x-3）2=5（2x-3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=-12（运用适当的方法）（1）（x-3）2=4x-3=2或x-3=-2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=-6，c=-3，b2-4ac=（-6）2-4×4×（-3）=84，x=6±842×4=3±214，x1＝3+214，x2＝3−214；（3）移项得，（2x-3）2-5（2x-3）=0，因式分解得，（2x-3）（2x-3-5）=0，x1＝32，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x1=-4，x2=-5．运用公式法（六）: 举出一个既能用提公因式法，又能运用公式法进行因式分解的多项式：______．xy（x-y）2=x3y-2x2y2+xy3．故既能用提公因式法，又能运用公式法进行因式分解的多项式为x3y-2x2y2+xy3．运用公式法（七）: 运用公式法的题目问题49(a-b)的平方-16(a+b)的平方(2x+y)的平方-(x+2y)的平方(x的平方+y的平方)的平方-x的平方Y的平方3ax的平方-3ay的四次方P的四次方-149(a-b)" -16(a+b)"=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(11a-3b)(3a-11b)(2x+y)" - (x+2y)"=(2x+y-x-2y)(2x+y+x+2y)=(x-y)(3x+3y)=3(x-y)(x+y)(x"+y")" -x"y"=(x"+y"+xy)(x"+y"-xy)3ax"-3ay""=3a(x"-y"")=3a(x-y")(x+y")P""-1=(P"-1)(P"+1)=(P-1)(P+1)(P"+1)运用公式法（八）: 问一道初二题,是关于运用公式法的李明今天买了一些圆珠笔和铅笔,妈妈问他买了多少笔,他说:“我买了x支圆珠笔,y支铅笔,刚好符合‘4x^2-9y^2=19’”,你知道李明买了多少支圆珠笔多少支铅笔吗运用平方差公式,得4x^2-9y^2=19(2x+3y)(2x-3y)=19×1可知2x+3y>2x-3y,所以必有2x+3y=192x-3y=1以上两式相加,得4x=20x=5,将x=5代入2x-3y=1得y=3答：李明买了5支圆珠笔,3支铅笔.运用公式法（九）: 9X +10X-4=0运用公式法9X +10X-4=0a=9 b=10 c=-4代入求根公式得x=[-10±√(100+144)]/18=(-10±2√61)/18 x1=(-5+√61)/9 x2=(-5-√61)/9运用公式法（十）: a-a^5运用公式法分解因式 a(1-a)(1+a)(1+a^2)运用公式法分解因式剩余法公式运用。
21.2.3因式分解法课后练「含答案」
1．一元二次方程(1)2(1)x x x -=-的解完全正确的是（ ）A ．2x =B ．122,1x x ==C ．122,1x x =-=D ．123,1x x ==-2．方程23x x =的解是（ ）A ．0x =B ．13x =C ．113x =-，20x =D ．113x =，20x =3．已知a b c ，，满足0,420a b c a b c ++=++=，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的解的情况为（ ）A ．121,2x x ==B ．121,2x x =-=-C ．方程的解与a b ，的取值有关D ．方程的解与a b c ，，的取值有关4．若实数x 满足方程()()22280x x x x +×+--=，那么2x x +的值为（ ）A ．2-B ．4C ．2-或4D ．2或4-5．如图，在ABCD Y 中，AE BC ^于点E ，BE a =，2AE CE a ==，且a 是一元二次方程2340x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（ ）A ．6+B ．8C ．10D ．4+6．如果2368x x +-的值与221x -的值相等，则x = ．7．一元二次方程()()240x x --=的较大的根是 ．8．定义：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根为a b ，，且满足2a b =，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）方程 29180x x -+= (选填“是”或“不是”)“倍根方程”．（2）若()()50x x a --=是“倍根方程”，则=a9．一个菱形的边长是方程29180x x -+=的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．10．解方程．(1)220x -=（公式法）；(2)22330x x +-=（配方法）；(3)()()22221y y +=+（因式分解法）．11．已知关于x 的一元二次方程()22210x k x k k -+++=．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若ABC V 的两边,AB AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当ABC V 是直角三角形时，求k 的值．12．阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，21x =，1x \=±；当4y =时，24x =，2x \=±；\原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)方程4260x x --=的解为________．(2)仿照材料中的方法，尝试解方程()()2224120x x x x +-+-=．【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：∵(1)2(1)x x x -=-，∴(1)(2)0x x --=，∴20x -=或10x -=，∴1221x x ==，，故选：B ．2．D【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉其解法是解决问题的关键．利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：Q 23x x =，\ 230x x -=，即(31)0x x -=，\ 113x =，20x =，故选：D ．3．A【分析】根据已知条件求出a b c 、、之间的关系，代入方程即可解答．本题考查了一元二次方程的概念及利用因式分解法解一元二次方程，理解一元二次方程的概念是解题的关键．【详解】解：∵0a b c ++=,420a b c ++=，∴a c b +=-①，42a c b +=-②，∴-②①得3b a =-，将3b a =-代入0a b c ++=得：30a a c -+=，∴2c a =，将3b a =-，2c a =代入20(0)ax bx c a ++=¹得：()2320a x x -+=，∵0a ¹，∴2320x x -+=，∴()()120x x --=，解得121,2x x ==，故选A ．【分析】此题考查了换元法解一元二次方程．设2y x x =+，则原方程转化为关于y 的新方程，通过解新方程来求y 的值，即2x x +的值．【详解】解：设2y x x =+，原方程变形为()280y y --=，整理得：2280y y --=，解得：1242y y ==-，，当14y =时，24x x +=，即240x x +-=，此时()21414170D =-´´-=>；当22y =-时，22x x +=-，即220x x ++=，此时2141270D =´´=-<-；此时方程220x x ++=无解；∴24x x +=．故选：B5．A【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得a ，再根据勾股定理求得AB ，从而计算出ABCD Y 的周长即可．【详解】解：a Q 是一元二次方程2340x x +-=的根，2340a a \+-=，即()()140a a -+=，解得，1a =或4a =-（不合题意，舍去）．∴1BE =，2AE CE ==，在Rt ABE △中，AB ===，3BC EB EC \=+=，ABCD \Y 的周长())2236AB BC =+==+故选：A ．6．7-或1【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识，根据题意得到方程2236821x x x +-=-，求出方程的解即可．【详解】解：根据题意得：2236821x x x +-=-，∴2670x x +-=，分解因式得：(7)(1)0x x +-=，∴70x +=，10x -=，解方程得：17x =-，21x =．故答案为：7-或1．7．4x =【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，先运用因式分解法解一元二次方程，再根据两根的大小得到较大的根，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【详解】解：(2)(4)0x x --=20x \-=或40x -=，解得12x =，24x =，\较大的根是4x =，故答案为：4x =．8． 是 10或52【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义：（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；（2）先解方程得到125x a x ==，，再根据“倍根方程”的定义求解即可．【详解】解：（1）∵29180x x -+=，∴()()360x x --=，解得1236x x ==，，∴212x x =，∴方程 29180x x -+=是 “倍根方程”．故答案为：是；（2）解方程()()50x x a --=得125x a x ==，，∵()()50x x a --=是“倍根方程”，∴2510a =´=或15522a =´=，故答案为：10或52．9．【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，先解方程得出16x =，23x =，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为=，再由面积公式计算即可．【详解】解：29180x x -+=Q ，()()630x x \--=，解得：16x =，23x =，Q 菱形一条对角线长为6，\菱形的边长为6，\菱形的另一条对角线为=\菱形的面积为162´´=故答案为：10．(1)12x x ==(2)1x =2x =(3)11y =-，21y =．【分析】本题考查解一元二次方程，（1）根据公式法直接求解即可；（2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解；（3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】（1）解：220x -=，1a =，b =-2c =，∵2244120b ac -=--´´=，∴x ==，∴12x x ==（2）解：22330x x +-=两边都除以2，得233022x x +-=．移项，得23322x x +=．配方，得22233332424x x æöæö++=+ç÷ç÷èøèø，即2333416x æö+=ç÷èø，开平方，得34x +=即x x ∴1x =2x （3）解：原方程可变形为()()222210y y +-+=．∴()()2212210y y y y ++++--=．∴330y +=，10y -=，∴11y =-，21y =．11．(1)见解析(2)k 的值为12或3【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10D =>进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法可求出,AB AC 的长，分BC 为直角边及BC 为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k 的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k 值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．【详解】（1）由题意得：22[(21)]4()10k k k D =-+-´+=>∴方程有两个不相等的实数根（2）∵()22210x k x k k -+++=，即()[(1)]0x k x k --+=解得：12,1x k x k ==+当BC 为直角边时，2225(1)k k +=+，解得：12k =当BC 为斜边时，222(1)5k k ++=，解得：123,4k k ==-（不合题意，舍）综上：k 的值为12或312．(1)1x =2x =(2)13x =-，22x =；【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．（1）结合材料，利用2x m =，再换元，求出m 的值，再代入求出x 即可；（2）结合材料，利用2x x n +=，再换元，求出n 的值，再代入求出x 即可．【详解】（1）解：设2x m =，则原方程变为260m m --=，解得：13m =，22m =-，当3m =时，23x =，解得x =当2m =-时，22x =-，方程无解；故原方程的解为：1x =2x =，故答案为：1x =2x =．（2）解：设2x x n +=，则原方程变为24120--=n n ，解得：16n =，22n =-，当6n =时，26x x +=，解得：13x =-，22x =；当2n =-时，22x x +=-，即220x x ++=，Q 2141270D =´´=-<-，\方程无解；故原方程的解为：13x =-，22x =．。
2.3用公式法求解一元二次方程(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的公式法求解。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用。公式法求解是通过判别式来判断方程的根的情况，并利用特定公式来求解。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个物体自由落下，不计空气阻力，我们如何根据下落时间和重力加速度来计算落地时的速度？通过公式v^2 = 2gh，我们可以将这个问题转化为一元二次方程的求解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“一元二次方程在工程学中如何应用？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.3用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节选自教材第二章第三节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a, b, c是常数且a ≠ 0）。
2.求解一元二次方程的公式：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a。
4.通过小组合作与交流，培养学生的团队协作能力和表达沟通能力，增强合作意识与集体荣誉感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元二次方程的公式法求解过程及其应用。
-公式法求解一元二次方程的一般步骤，包括确定a、b、c的值，计算判别式b^2 - 4ac，根据判别式的值选择合适的求解方法。
-应用公式法解决实际问题，如物体自由落体运动、投资收益计算等。
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2.3 运用公式法
一、选择题
1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）
A．－a4－b4B、－4a2+b2C、1、21－b2D、9a2－16b2 2．下列各式中，能用公式法分解因式的是（）
A．a2+2ab－b2B、－a2+2ab+b2; C．a2+ab+b2D、1
4
a2－ab+b2
3．把169（a－b）2－196(a+b)2分解因式得（）
A．－784ab B、－(a+b)(27a+b); C、108ab D、－(27a+b)(a+27b)
4、下列分解因式：
①－a2－b2=(－a+b)(－a－b); ②a4b2－16=(a2b+4)(a2b－4);
③a2－16b2=(a+16b)(a－16b); ④(a－b)2－c2=a2－2ab+b2－c2;
⑤1
9
a2－
2
3
a+1=(
1
3
a－1)2. 其中正确的有（）
A．1个B、2个C、3个C、4个
5、如果25m2+k+81n2是一个完全平方式,那么k的值为( )
A、45mn
B、90mn
C、±45mn
D、±90mn
6、下列多项式中,分解因式的结果是－(x+6)×(x－6)的值为( )
A、x2－36
B、－x2－36
C、－x2+36
D、x2+36
二、填空题：
1.多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式
可以是____________。
（填上一个你认为正确的即可）
2.利用分解因式计算：1.222×9－1.332×4=_________;
3、
1
16
a4b2－81c2=( )2－( )2=_____________;
4、分解因式:x3－x=_____________;
5、两个连续奇数的平方差是___________的倍数、
6、请写出一个三项式
．．．,使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解：你编写的三项式是__________,分解因式的结果是__________________________.
三、计算题：
1.分解因式:
(1)(2x－1)2－(x+2)2(2)4m2－12mn+9n2; (3)m3+2m2n+mn2(4)－a2c2－c4+2ac3
2.先分解因式,再求值:
(1)(2x+3y)2－(2x－3y)2,其中x=1
6
,y=
1
8
; (2)a4－4a3b+4a2b2,其中a=8,b=－2;
3.若n是整数，则（2n+1）2－1是否能被整除？为什么？
五、若|m－6|=0成立，试分解因式：(x2+m)2－nx2。
五、如图，在半径为R的圆形钢板上，除去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R=7、8厘米,r=1、1厘米时剩余部分的面积。
( 取3、14,结果保留三个有效数字)
六、把下列各式分解因式：
1、1
2
a2+ab+
1
2
b2；2、(x－y)(x－3y)+y2
七、分解因式:：x4+4。
(提示:可通过添项,将多项式配成一个完全平方式,再进行分解)
答案：
一、1．A 2、D 3、D 4、B 5、D 6、C
二、1、6x(或814x 4) 2、6.32 3、14a 2b,9c,(14a 2b+9c)( 14
a 2
b －9c) 4、x(x+1)(x －1) 5、8 6、答案不惟一,如:ax 2+2ax+a, a(x+1)2、
三、1、(1)解:原式=[(2x －1)+(x+2)][(2x －1)－(x+2)]
=(2x －1+x+2)(2x －1－x －2)
=(3x+1)(x －3)
(2)解:原式=(2m)2－2·2m ·3n+(3n)2
=(2m －3n)2
(3)解:原式=m(m 2+2mn+n 2)
=m(m+n)2
(4)解:原式=－c 2(a 2+c 2－2ab)=－c 2(a －c)2
2、(1)解:原式=(2x+3y+2x －3y)(2x+3y －2x+3y)
=(4x)×(6y)=24xy
代入,x=1
6,y=1
8得24xy=1
2.
(2)原式=a 2(a 2－4ab+4b 2)=a 2(a －2b)2
代入得a 2(a －2b)2=82×(8+4)2
=9216
3、解:(2n+1)2－1=2n(2n+2)=4n(n+1)
∵n,n+1为两个连续偶数,∴n(n+1)为偶数
∴(2n+1)2－1能被8整除
四、解：由已知：90
60m -=⎧⎪=
可求得 m=9,n=36
此时,(x 2+m)2－nx 2
=(x 2+9)2－36x 2
=(x 2+9+6x)(x 2+9－6x)
=(x+3)2(x －3)2
五、解：剩余部分的面积为：
S=πR 2－4πr 2
=π（R 2－4r 2）
=π（R+2r ）（R －2r ）
=π（7.8+2×1.1）(7.8－2×1.1)
=π×10×5.6
=56π
≈56×3.14
≈176(cm2)
答:剩余部分的面积约为176cm2.
六、1．解：原式=1
2
（a2+2ab+b2）=
1
2
(a+b)2
2、解：原式=x2－3xy－xy+3y2+y2
=x2－4xy+4y2
=(x－2y)2
四．解：原式=x4+4+4x2－4x2
=x4+4x2+4－4x2
=(x2+2)2－4x2
=(x2+2x+2)(x2－2x+2).。