位移法的基本结构及位移法方程
合集下载
结构力学-位移法的典型方程及计算步骤
(e)
依题意可知并根据叠加原理上述条件可写为：
R1=R11+R12+R1P=r11 Z1+r12 Z2+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=r21 Z1+r22 Z2+R2P=0
上述方程称为位移法基本方程，也称为位移法的典型方程。
为了求出典型方程的系数和自由项，可借助于表10-1，绘出基本
结构图，如下图10-7a,b, 和c所示。然后求出各系数和自由项。
r11 1 3i 4i
r12 6i1 0
R1P PL1 0
l
8
Z1=1
4i 1
2
6i 1l
2
Z2=1 1
2
3i M
3 2i 4
(a)
6i 3 l
3i 4 l
(b)
p
MP
PL 3
4
8
(C)
T10-7
1
2
r21 1
2
r22 1
6i l
0
12i
L2
3i
P
L2
2
2
R2P
0
系数和自由项可分为两类，分别由力矩平衡方程 M1=O求得为：
0
6 2 6 9 12 2 11 l Z1 l 2 Z2 16 P 0
Z1 0.02218 Pl Z2 0.02859 Pl 2
M M1Z1 M 2Z2 M P
转到下一节
者的原理有所不同。
§10-7 有侧移的斜柱刚架
B
B’
C’ C
C”
C
A
D
O A,D
B 结点位移图
O为极点,各结点位移前的位置
结构力学 位移法典型方程、计算举例
r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
11第十一章 位移法
A D
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
位移法的基本体系.
3I0
4m
5m
q=20kN/m
4m Δ2
C 3I0 F 4I0 4m
2m
Δ3
D
A
i AB
4I0 B Δ 5I0 1 3I0 E
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
3 1 , iCF 4 2
8
iBC 1 , iCD 1 , iBE
4m
2019/2/28
5m
4m
2m
3
i=1 3B i=3/4
k22=4+3+2=9
k13=k31=?
2 D
i=1
k23=k32=?
A 4 Δ 2=1
i=1 B i=3/4
A
Δ 1=1
i=1
D
C
i=1/2
4m
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
3
i=1
1
9
4m
2019/2/28
4m
A
9/8
i=1 B i=3/4 i=1
(1/12) × 20×52=41.7 D i=1 C
i=1/2
F1P=40–41.7= –1.7 F2P=41.7
4m
F3P=0
E
F
4m
2019/2/28
5m
4m
10
2m
（6）建立位移法基本方程：
9 101 2 2 3 1.7 0 8 1 21 9 2 3 41.7 0 2 9 1 35 1 2 3 0 8 2 48
13.62
A
5.69 M(kN· m)
8-3、8-4位移法的基本未知量和基本结构__典型方程及计算步骤
§6.2.1 位移法的基本未知量
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
确定角位移6个
确定线位移2个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§6.2.1 位移法的基本未知量
1
2
1
1
2
3
§6.2.1 位移法的基本未知量
例1.
B
C
例2.
B
C
A 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
2kN/m 16kN
A
i
6m
B
3m
i
3m 16kN
Z1
C
2kN/m
A
B
C
解 （1）选取基本体系。
（2）建立位移法典型方程。
r11Z1 R1 0
（3）求系数和自由项。
4i
Z1=1
r11
A
2i
B
3i 18 6
M 1图
C
4i
3i
6
R1P
A
B
MP图（kN.m）
C
6
18
r11 4i 3i 7i
典型方程
位移法的基本结构及位移法方程
位移法方程
20kN/m
C
D
Z1
F1=0
k11 Z 1 F1P 0
A B
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
a)
MP图(kN· m)
C D F1P C
b)M1图 (1/m)
D Z 1=1 k 11 C
c)
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
1 F1P FP l 8
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
k11 Z 1 F1P 0
将k11和F1P的值代入上式，解得
Z1 F1P FP l k11 64i
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩 可由叠加公式计算，即
M M 1 Z1 M P
8.4
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚 臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综 合体。 所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ” 表示。 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移 的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止 其线位移的附加约束。
c) 基本体系 C
A Z1
重庆大学土木工程学院®
三、位移法方程
P l/2 l/2 l/2 FP lF /2
A A Z 1Z
1
C C Z1 Z
1
F1=0F1=0 FP Z1 Z1 A A Z1 Z Z1 Z1 1
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
M AB
2i AB Z1
3 Pl 56
M BA
4i AB Z1
3Pl 28
M BC
3iBC
Z1
3Pl 16
3Pl 28
MCB 0
（五）作M图：
3Pl
28
P
A
C
3Pl
B
56
M 图 (kN m) 11Pl 56
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
位移法通过引入附加约束，把原 超静定结构转化为若干单跨梁的组合 体，从而把复杂结构的计算问题转化 为简单杆件的分析和综合问题。
B
M BC
M BA
为了区别弯矩转向和力的方向， 在Z1方向上带两道竖杠，以表示 它是转角位移。
平衡条件
MB 0
RB 0
即，RB M BC M BA 0
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
（三）列方程求Z1：
平衡条件
M BA M BC 0
Z1 P
列等截面直杆转角位移方程：
（一）n1：表示刚结点数目：
注意： 1.包含组合结点；
2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。
EI
Z1
Z2
EA
n1=2
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
2、位移法基本未知量数目 （二）n2：独立的结点线位移数目：
认为变形前后杆件两端距离保持不变
n2：由不动点原理来确定； 不动点：无线位移的点。
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
二、位移法基本概念： （一）基本结构：
在原结构上增加一些附加约束（刚臂、支座
链杆），以使原结构变成若干单跨超静定梁的组 合体。该组合体称为位移法基本结构。
位移法—位移法的典型方程和计算实例(建筑力学)
M CA 4i
i
18.94kN m
i
2
i
3.158
M CD 6i
18.95kN m
i
3 21.05
M BD i
20 35.79kN m
4
i
作M图，如图示
位移法
位移法计算步骤归纳如下
（1）确定基本未知量。在原结构上加入附加约束，得到
衡条件求出杆端剪力。
M
B
FQAB
M
A
0
2.5 4 2 20
kN 0
4
0
FQBA
2.5 4 2 20
kN 10kN
4
位移法
同理，取杆件BC，由平衡条件得
FQCB FQBC 10kN
取杆件BD，由平衡条件得
FQDB FQBD 7.5kN
1.5i1 0.9375i 2 15 0
1
3.16
i
2
21.05
i
位移法
（6）作M图
利用叠加公式 M M1Z1 M 2 Z 2 M 计算杆端弯矩
3.158 3 21.05
M AC 2i
i
25.26kN m
i
2
i
3.158 3 21.05
k211 k22 2 F2 0
位移法
（3）求系数和自由项
k11＝4i +6 i＝10 i
k12= -1.5 i ＝k21
k12= -1.5 i
k22 0.75i 0.1875 i 0.9375 i
位移法
F1 0
i
18.94kN m
i
2
i
3.158
M CD 6i
18.95kN m
i
3 21.05
M BD i
20 35.79kN m
4
i
作M图，如图示
位移法
位移法计算步骤归纳如下
（1）确定基本未知量。在原结构上加入附加约束，得到
衡条件求出杆端剪力。
M
B
FQAB
M
A
0
2.5 4 2 20
kN 0
4
0
FQBA
2.5 4 2 20
kN 10kN
4
位移法
同理，取杆件BC，由平衡条件得
FQCB FQBC 10kN
取杆件BD，由平衡条件得
FQDB FQBD 7.5kN
1.5i1 0.9375i 2 15 0
1
3.16
i
2
21.05
i
位移法
（6）作M图
利用叠加公式 M M1Z1 M 2 Z 2 M 计算杆端弯矩
3.158 3 21.05
M AC 2i
i
25.26kN m
i
2
i
3.158 3 21.05
k211 k22 2 F2 0
位移法
（3）求系数和自由项
k11＝4i +6 i＝10 i
k12= -1.5 i ＝k21
k12= -1.5 i
k22 0.75i 0.1875 i 0.9375 i
位移法
F1 0
位移法的基本结构及位移法方程精选参考幻灯片
和受力情况与原结构完全A 相同。B
A
B
Z1
Z1
C
EA=∞ D
EI
EI
C
D
C
D
Z1 F1=0
6m 20kN/m
20kN/m
A
B
位移法方程
All Rights Reserved
20kN/m
A
B
基本结构
A
B
基本体系
C
D
Z1 F1=0
k11 Z1F1P0
9
A
B
a) MP图(kN·m)
C
D
F1P
b)
M
图
1
C
l/2 FP l/2
F1=0
FP
F1P
图a所示刚架的基本Z1A未知Z1 量为结C 点A的转Z1角A ZZ1Z11。在结C 点 A
A加一附加刚臂，就得到位移EI法=常的数 基本结构（图b）。同力
法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为
B
基本体系（图c）。
B
B
l l
l
l/2 FP l/2
A
C
Z1
FP
8
C
FP l 8
k11 Z1=1 A
4i
4i
FP l
FP l
2i
16
16
FP l
C
16 A
C
9FP l 64
B
B 2i
B FPl 32
F1P
A
FP l 8
k11 A 4i
4i
在图 M 1 中取结点A为隔离体，由 MA0 ，得
在MP图中取结点A为隔离体，由 MA0 ，得
位移法读书笔记
【读数笔记xxx】第8章8.1 位移法的基本概念位移法与力法的基本区别：1.力法以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，位移法以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。
2.力法是把超静定结构拆成静定结构(即基本结构)，作为其计算单元，而位移法则是把结构拆成杆件，作为其计算单元。
位移法分析中需要解决的三个问题：1.确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系（即杆件分析或单元分析）2.选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。
3.建立求解这些基本未知量的位移法方程（即整体分析）8.2等截面直杆的转角位移方程由8.1可以知道，位移法的计算单元是杆件，所以位移法首先应确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程)。
杆端内力正负号的规定：杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。
对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。
杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。
杆端位移的正负号规定：角位移以顺时针为正，反之为负。
线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。
由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数。
i=EI/l，称为杆件的线刚度。
由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。
其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用表示。
转角位移方程：应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩。
至于杆端剪力，则可根据平衡条件导出为：对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可根据叠加原理，写出如下：8.3位移法的基本未知量位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移和独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符号Zi表示。
、位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之和，即n=ny+nl结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点（半铰结点）数，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内。
位移法的基本结构及位移法方程
EI
EI
A
B
C
D
Z1 F1=0
Aபைடு நூலகம்
B
C
D
A
B
C
D
Z1 F1=0
A
B
例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点C、D的水平 线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构 （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变 形和受力情况与原结构完全相同。
位移法方程
基本结构
基本体系
k1Z 11F1P0
由
，得
M1
刚臂内之反力矩以顺时针为正
MA 0
MA 0
k11 8i
F1P
1 8
FPl
k1Z 11F1P0
01
将k11和F1P的值代入上式，解得
Z1
F1PFPl k11 64i
MM1Z1MP
02
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由叠加
公M 式 计BA算 ，即2i
0 5FPl/32
8.4 位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂
和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。
所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移(但并不阻止 其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ”表示。
M1
C
D
F1P
C
D Z1=1 k11 C
D
(90)
(90)
A -90
B
A
B
A
B
EI 12
EI 12
225
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学讲义位移法
nny nl
2、结点独立角位移数
结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点
（半铰结点）数。 但须注意， 1）当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的
转角时，应一并计入在内作为基本未知量。 2）至于结构固定支座或定向支座处，因其转角等于零或 为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不 独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知量。
MBAiA iB MBFA
例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图
。
解：1)基本未知量为刚结
点B点的角位移Z1，基本体
系如图（B）所示。
用 位
2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 i
EI l
）
移 法
M AB 0 MBA 3iZ1 136FPl MBC 3iZ1 M CB 0
求 3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条
解 件建立方程并求解。
超 静 定 结 构
由图c的平衡条件： MB 0 得：MBAMBC0
6iZ1
3 16
FPl
0
Z1
1 32i
FPl
4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯
矩图。
M AB 0
M
BA
3 32
FPl
MBC
3 32
FPl
M CB 0
9.3 位移法的基本未知量
3.适用范围不同 力 法：超静定结构 位移法：超静定结构，也可用于静定结构。
一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
二、用位移法计算超静定结构的思路
例如：用位移法求解如图所示的刚架。 1.为了使问题简化，作如下计算假定： 1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向
2、结点独立角位移数
结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点
（半铰结点）数。 但须注意， 1）当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的
转角时，应一并计入在内作为基本未知量。 2）至于结构固定支座或定向支座处，因其转角等于零或 为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不 独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知量。
MBAiA iB MBFA
例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图
。
解：1)基本未知量为刚结
点B点的角位移Z1，基本体
系如图（B）所示。
用 位
2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 i
EI l
）
移 法
M AB 0 MBA 3iZ1 136FPl MBC 3iZ1 M CB 0
求 3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条
解 件建立方程并求解。
超 静 定 结 构
由图c的平衡条件： MB 0 得：MBAMBC0
6iZ1
3 16
FPl
0
Z1
1 32i
FPl
4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯
矩图。
M AB 0
M
BA
3 32
FPl
MBC
3 32
FPl
M CB 0
9.3 位移法的基本未知量
3.适用范围不同 力 法：超静定结构 位移法：超静定结构，也可用于静定结构。
一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
二、用位移法计算超静定结构的思路
例如：用位移法求解如图所示的刚架。 1.为了使问题简化，作如下计算假定： 1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向
位移法
位移法位移法也是计算超静定结构的基本方法。
位移法是以结构的结点位移（结点角位移和结点线位移）作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，即可利用位移和内力之间的关系，求出杆件和结构的内力。
在位移法求解超静定问题中，有七大步骤：第一步：分析结构体系（是否为几何不变体系，是否有结点位移），结构体系中的结点位移（结点角位移和结点线位移）就是结构的所求的基本未知量。
第二步：选取基本结构，即在原结构中的基本未知量（结点角位移和结点线位移）处加上约束（刚臂和链杆），均假设顺时针转动。
第三步：列位移法方程：01111=+P R Z r （一个结点位移未知量）当为n 次超静定时，0022112222212111212111=++++=++++=++++nP n nm n n P n n P n n R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r第四步：画P M M 、1图，求nP nm R r 、（画P M M 、1图，通过查表得出，注意形常数及载常数的查法，记住是以顺时针转动为正。
）第五步：求解未知位移n Z 。
第六步：求杆端弯矩：P R Z M M +=11（一结点位移未知量）P n n i i R Z M Z M Z M Z M M ++++++= 2211（n 个结点位移未知量）此步骤的正负号规定容易与力法正负号规定混淆。
在位移法中，杆端弯矩以顺时针转动为正，逆时针转动为负。
第七步：求跨中弯矩（针对于集中力作用在跨中处以及均布荷载作用情况），作M图，Q图（注意：求跨中弯矩时的正负号规定，同力法一样）讨论：针对位移法中正负号规定判断需要注意的问题。
1、什么是杆端弯矩？例如：如图所示超静定梁假如截AB杆研究，就会暴露出三个内力（弯矩，剪力，轴力），现只研究弯矩，如图所示（夸张放大画出来）：图中所标的即为杆端弯矩，它的作用是相对于杆端而言的。
2、如何判断正负号及运用正负号画弯矩图？M为正的上图中杆端弯矩的方向是假设出来的，由图可知，杆ABM为负的（逆时针）。
8.4 位移法的基本结构及位移法方程
8.4
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（ 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚 臂和附加支座链杆） 得到的三种基本超静定杆的综 臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综 合体。 合体。 所谓附加刚臂， 所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上， 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移 的附加约束，用黑三角符号“ ” 但并不阻止其线位移)的附加约束 但并不阻止其线位移 的附加约束，用黑三角符号“ 表示。 表示。 所谓附加支座链杆， 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移 的结点上沿线位移的方向， 的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止 其线位移的附加约束。 其线位移的附加约束。
F1P = FQFCA + FQFDB = 45 + 0 = 45 kN
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院
C
D
F1P
C
D
Z 1=1 k 11
C
D
(90) A -90 B C
F FQCA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
F1P A
FP C
c)
B
基本体系
B
d)
锁住结点
F11
基本结构在结点位移Z 基本结构在结点位移 1和荷 载共同作用下， 载共同作用下，刚臂上的反 力矩F1必定为零 必定为零（ ）。 力矩 必定为零（图c）。
Z1 A Z1 Z1
C
F1 = F11 + F1P = 0
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（ 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚 臂和附加支座链杆） 得到的三种基本超静定杆的综 臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综 合体。 合体。 所谓附加刚臂， 所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上， 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移 的附加约束，用黑三角符号“ ” 但并不阻止其线位移)的附加约束 但并不阻止其线位移 的附加约束，用黑三角符号“ 表示。 表示。 所谓附加支座链杆， 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移 的结点上沿线位移的方向， 的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止 其线位移的附加约束。 其线位移的附加约束。
F1P = FQFCA + FQFDB = 45 + 0 = 45 kN
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院
C
D
F1P
C
D
Z 1=1 k 11
C
D
(90) A -90 B C
F FQCA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
F1P A
FP C
c)
B
基本体系
B
d)
锁住结点
F11
基本结构在结点位移Z 基本结构在结点位移 1和荷 载共同作用下， 载共同作用下，刚臂上的反 力矩F1必定为零 必定为零（ ）。 力矩 必定为零（图c）。
Z1 A Z1 Z1
C
F1 = F11 + F1P = 0
结构力学——位移法
15
75 105 180
45 180
135 45
165
135
M(kN m)
第四节 用位移法求解某些特殊问题
４支座变位问题
Z1
Z2
i3
i1
i2
如左图刚架体系所示，发生支座变位
1 ，2 ， ，求该体系在支座变位
情况下所产生的弯矩图
Z3
在 Z1 1 作用下所产生的弯矩图
1
2i3
3i1 4i3
2
M1
1 L
１、两端固支
M AB
4iA
2iB
6i
AB L
M
f A
6i
AB L
M
f BA
q B
EI
B AB
M BA
Q BA
QAB
MAB
MBA L
QfAB
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfAB
QBA
MAB
MBA L
QfBA
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfBA
结构力学
第三章 位移法
一、等直杆的转角位移方程 二、按基本结构建立典型方程 三、按节点和截面平衡条件建立位移法方程 四、用位移法求解某些特殊问题
第一节 等直杆的转角位移方程
P
一．等直杆的转角位移方程
A MAB
已知AB杆，杆端位移为
A
A B AB
下面根据杆端约束情况来确定等
QAB
直杆的转角位移方程
qL
L 2
MEB 0
M BE
Q BE
qL
QBE qL
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C D F1P C
b) M 1 图
D Z 1=1 k 11
c)
C
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
D
F FQ DB=0
F1P
分别在MP图和 M 1 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体， F 0 如图8-17所示。由剪力平衡条件 ，得 x
Z
三、位移法方程
l/2 A Z1 FP l/2
l/2
FP l/2
C
F1=0
A
Z1 Z 1
C
Z1
EI =常数
l
FP F1=0 FP Z1 Z1 C A A Z 1Z Z1 Z1 1
F1P
P F1P
F
FP
C
C
A
A
C
EI =常数
B
l
B
B
B
B
B
c)
A
基本体系
F11 Z1
d)
F11 Z1 A Z1
C
锁住结点
M图
4i
重庆大学土木工程学院®
A
4i
C C EA =∞ D 例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点 C、D D的水 平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构 EI EI （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形 和受力情况与原结构完全相同。 A B A B
k Z F 0 11 1 1P
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平 衡条件 。 为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
F l/32 2 i M 0 5 BA P M 0 Fl/16 4 i F l AB P P 64 M l/8 F l/16 4 i i F AC P P M F l / 8 5 F l / 32 2 i P P CA
位移法的基本结 构及位移法方程
Z1 F Z2 C A D Z3 G H Z3 E B
Z4 F Z3 C A D E B G H
a)
原结构及其基本未知量
b)
基本结构
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
二、位移法的基本体系
A
1
l/2
FP l/2 C
F1=0 Z1 A
1 1
FP C
F1P A
Z Z1。在结点 图a所示刚架的基本未知量为结点 A的转角 Z Z Z A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图 b）。同力 EI =常数 法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为 B B 基本体系（图c）。
1
l
B
l/2 A Z1 Z1
FP l/2 C
F1=0 A Z1 Z1 A
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
k11 8 i
1 F FPl 1P 8
k Z F 0 11 1 1P
将k11和F1P的值代入上式，解得
F F l 1P P Z 1 k 64 i 11
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由 叠加公式计算，即
F1P
FP l 8
FP
FP l 8 C 4i
k11
A FP l 8 B
Z 1=1 A 4i
2i C FP l 16
FP l 16 A 9 FP l 64 B FP l 32
FP l 16 C
B
2i k11
F1P A FP l 8
A 4i
4i
在图 M 1 中取结点A为隔离体，由 M 0 ，得 A 在MP图中取结点A为隔离体，由 M 0 ，得 A 刚臂内之反力矩以顺时针为正
FP l 8 FP FP l 8 C FP l 8 B B 4i k11 FP l 16 A 9 FP l 64 B FP l 32 FP l 16 C
F1P
A
Z 1=1 A 4i
2i C FP l 16
2i k 图 M 1
11
FP l All Rights Reserved 8 A
F 1P M
P图
20kN/m 6m
Z1
Z1
Z1 C EA =∞ D EI EI
Z1 C D
20kN/m
C
D
Z1
F1=0
20kN/m
6m
A
B
A
B
A
B
基本结构
基本体系
Z1 F1=0
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
A B
20kN/m
位移法方程
k Z F 0 11 1 1P
C
D
a)
MP图(kN· m)
C
A C 基本结构在结点位移 Z
C
1和荷载
A Z1
共同作用下，刚臂上的反力矩F1必 定为零（图c）。
B
Z1
Z1
B
B
F F F 0 1 11 1 P
重庆大学土木工程学院®
B
e)
放松结点
All Rights Reserved
F F F 0 1 11 1 P
式中，Fij表示广义的附加反力矩（或反力），其中第一个 下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起 反力矩的原因。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚 臂上的反力矩，则有 F11=k11
FP l/2
F1P A
F1=0 Z1 C A Z1 Z1
FP
FP C
F11
C C C
F1P A A
Z1
Z Z 1
1
Z1 EI =常数
l
Z1
EI =常数 B
l
BB
B
B
B
B
B
a) A
原结构 C
b)
A
基本结构 C
F11 Z1 A Z1
c) 基本体系
C
F11 Z1 A Z1
Z1
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
M M Z M 1 1 P
F l/32 2 i M 0 5 BA P M 0 Fl/16 4 i l P AB F P 64 M l/8 F l/16 4 i i F AC P P l/8 5 F l/32 2 i CA P P F M
b) M 1 图
D Z 1=1 k 11
c)
C
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
D
F FQ DB=0
F1P
分别在MP图和 M 1 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体， F 0 如图8-17所示。由剪力平衡条件 ，得 x
Z
三、位移法方程
l/2 A Z1 FP l/2
l/2
FP l/2
C
F1=0
A
Z1 Z 1
C
Z1
EI =常数
l
FP F1=0 FP Z1 Z1 C A A Z 1Z Z1 Z1 1
F1P
P F1P
F
FP
C
C
A
A
C
EI =常数
B
l
B
B
B
B
B
c)
A
基本体系
F11 Z1
d)
F11 Z1 A Z1
C
锁住结点
M图
4i
重庆大学土木工程学院®
A
4i
C C EA =∞ D 例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点 C、D D的水 平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构 EI EI （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形 和受力情况与原结构完全相同。 A B A B
k Z F 0 11 1 1P
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平 衡条件 。 为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
F l/32 2 i M 0 5 BA P M 0 Fl/16 4 i F l AB P P 64 M l/8 F l/16 4 i i F AC P P M F l / 8 5 F l / 32 2 i P P CA
位移法的基本结 构及位移法方程
Z1 F Z2 C A D Z3 G H Z3 E B
Z4 F Z3 C A D E B G H
a)
原结构及其基本未知量
b)
基本结构
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
二、位移法的基本体系
A
1
l/2
FP l/2 C
F1=0 Z1 A
1 1
FP C
F1P A
Z Z1。在结点 图a所示刚架的基本未知量为结点 A的转角 Z Z Z A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图 b）。同力 EI =常数 法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为 B B 基本体系（图c）。
1
l
B
l/2 A Z1 Z1
FP l/2 C
F1=0 A Z1 Z1 A
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
k11 8 i
1 F FPl 1P 8
k Z F 0 11 1 1P
将k11和F1P的值代入上式，解得
F F l 1P P Z 1 k 64 i 11
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由 叠加公式计算，即
F1P
FP l 8
FP
FP l 8 C 4i
k11
A FP l 8 B
Z 1=1 A 4i
2i C FP l 16
FP l 16 A 9 FP l 64 B FP l 32
FP l 16 C
B
2i k11
F1P A FP l 8
A 4i
4i
在图 M 1 中取结点A为隔离体，由 M 0 ，得 A 在MP图中取结点A为隔离体，由 M 0 ，得 A 刚臂内之反力矩以顺时针为正
FP l 8 FP FP l 8 C FP l 8 B B 4i k11 FP l 16 A 9 FP l 64 B FP l 32 FP l 16 C
F1P
A
Z 1=1 A 4i
2i C FP l 16
2i k 图 M 1
11
FP l All Rights Reserved 8 A
F 1P M
P图
20kN/m 6m
Z1
Z1
Z1 C EA =∞ D EI EI
Z1 C D
20kN/m
C
D
Z1
F1=0
20kN/m
6m
A
B
A
B
A
B
基本结构
基本体系
Z1 F1=0
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
A B
20kN/m
位移法方程
k Z F 0 11 1 1P
C
D
a)
MP图(kN· m)
C
A C 基本结构在结点位移 Z
C
1和荷载
A Z1
共同作用下，刚臂上的反力矩F1必 定为零（图c）。
B
Z1
Z1
B
B
F F F 0 1 11 1 P
重庆大学土木工程学院®
B
e)
放松结点
All Rights Reserved
F F F 0 1 11 1 P
式中，Fij表示广义的附加反力矩（或反力），其中第一个 下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起 反力矩的原因。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚 臂上的反力矩，则有 F11=k11
FP l/2
F1P A
F1=0 Z1 C A Z1 Z1
FP
FP C
F11
C C C
F1P A A
Z1
Z Z 1
1
Z1 EI =常数
l
Z1
EI =常数 B
l
BB
B
B
B
B
B
a) A
原结构 C
b)
A
基本结构 C
F11 Z1 A Z1
c) 基本体系
C
F11 Z1 A Z1
Z1
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
M M Z M 1 1 P
F l/32 2 i M 0 5 BA P M 0 Fl/16 4 i l P AB F P 64 M l/8 F l/16 4 i i F AC P P l/8 5 F l/32 2 i CA P P F M