实验中学省重点中学推荐生第一次选拔考试数学试卷含答案

A C

B D P O 1 O 2 2012实验中学省重点中学推荐生第一次选拔考试数学试卷 一、选择题(每题4分，共24分)

1．已知P 是半径为15的⊙O 内一点，过点P 的所有弦中，长为整数的弦有24条，则OP 为( )

A ．10

B ．12

C ．15

D ．18

2．如图，反比例函数y ＝－3x

(x ＞0)图象经过矩形OABC 边AB 的中点E ，交边BC 于F 点，连接EF 、OE 、OF ，则△OEF 的面积是( )

A.32

B.94

C.73

D.52

3．已知a 为非负整数，关于x 的方程2x －a 1－x －a ＋4＝0至少有一个整数根，则a 可能取值的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．给出一列数11,12,21,13,22,31,14,23,32,41....1k ,,2k-1,3k-2….k 1

,….在这列数中，第50个值等于1的项的序号．．是:（ ） A ．4900 B ．4901 C ．5000 D ．5001

5．如图：⊙O 1与⊙O 2外切于P ，⊙O 1，⊙O 2的半径分别为2,1.O 1A 为⊙O 2的切线，AB 为⊙O 2的直径，O 1B 分别交⊙O 1，⊙O 2于C,D ，则CD+3PD 的值为（ ）

A ．73

B ．5 2 3

C ．211 3

D ．4 3 3

6．若实数a 、b 满足12

a －a

b ＋b 2＋2＝0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2 B ．a ≥4 C ．a ≤－2或a ≥4 D ．－2≤a ≤4

二、填空题（每小题5分,共30分） 7．现有一副三角板如图，中间各有一个直径为4 cm 的圆洞，现将三角形a 的30°角的那一头插入三角板b 的圆洞内，则三角形a 通过三角板b 的圆洞的那一部分的最大面积为________cm 2.(不计三角板的厚度，精确到0.1 cm 2)

8．已知函数S ＝|x －2|＋|x －4|.若对任何实数x 、y 都有S ≥m (－y 2＋2y )成立，则实数m 的最大值为_______.

9．直线l ：m (2x －y －5)＋(3x －8y －14)＝0被以A (1,0)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦的长为________．

10．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，如果球的半径为4，则三棱柱的体积为 。

11．如图，AB 为⊙O 的直径，C 在⊙O 上，并且OC ⊥AB ，P 为⊙O 上的一点，位于B 、C 之间，直线CP 与AB 的延长线交于点Q ，过点Q 作直线与AB 垂直，交直线AP 于R ，BQ ＝6，则QR= 。

12．如图，双曲线y ＝33x

(x ＞0)的图象上，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，…，△A n －1A n B n 均为正三角形，则点A n 的坐标为________．

三、解答题（共26分）

13．(14分)如图，已知在平面直角坐标系xoy 中，过点P (0,2)任作一条与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于两点

的直线，设交点分别为A 、B ，若∠AOB ＝90°，

(1)判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；

(2)确定抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的解析式；

(3)当△AOB 的面积为42时，求直线AB 的解析式．

14．(12分)直角坐标系中，⊙O 1经过坐标原点，分别与x 轴，y 轴正半轴交于A 、B ，

(1) 如图①若点O 到AB 的距离为125，过点A 的切线与y 轴交点C ，过点O 的切线交AC 于点D ，过点B 的切线交OD 于E ，求1CD ＋1BE

的值。 (2)如图②，若⊙O 1经过M (2,2)，作△BOA 的内切圆直径为d ，求d ＋AB 的值。

参考答案

一、选择题（将正确选项的序号填在相应的表格中，每小题4分，共24分）

题 号

1 2 3 4 5 6

答 案 B B C B D C 二、填空题（每小题5分，共30分）

7. 8+4√3 8. 2 9. 2 √2 10. 384√3 11. 6 12. （2√3n , 0）

三、解答题（共26分）

13．(14分)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0,2)任作一条与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于两点的直线，设交点分别为A 、B ，若∠AOB ＝90°，(1)判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；(2)确定抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的解析式；

(3)当△AOB 的面积为42时，求直线AB 的解析式．

解：(1)A 、B 两点纵坐标的乘积是一确定值．理由：设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋2，

由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋2，y ＝ax 2，

得ax 2－kx －2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2， 则x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－2a . 所以y 1y 2＝ax 21·ax 22＝a 2(x 1x 2)2＝a 2－2a

2＝4……..5分 (2)过点A 作AM ⊥x 轴于M ，过点B 作BN ⊥x 轴于N ，∵∠AOB ＝90°，所以∠AOM ＋∠BON ＝90°，

∴∠AOM ＝∠OBN . ∴Rt △AOM ∽Rt △OBN ，∴AM ON ＝MO NB

， 即y 1x 2＝－x 1y 2，∴－x 1x 2＝y 1y 2，由－－2a ＝4，得a ＝12，∴y ＝12

x 2……………10分 (3)S △AOB ＝x 2－x 1＝x 2＋x 12－4x 1x 2＝4k 2＋16＝42，

∴k ＝±2，∴直线AB 的解析式为y ＝±2x ＋2…………………14分

14．(12分)直角坐标系中，⊙O 1经过坐标原点，分别与x 轴，y 轴正半轴交于A 、B ，(1) 如

图①若点O 到AB 的距离为125

，过点A 的切线与y 轴交点C ，过点O 的切线交AC 于点D ，过点B 的切线交OD 于E ，求1CD ＋1BE

的值。 (2)如图②，若⊙O 1经过M (2,2)，作△BOA 的内切圆直径为d ，求d ＋AB 的值。

解：(1)延长BE 交x 轴于点F ，

作OM ⊥AB 交AB 于点M ，

∵∠OMA ＝∠CAB ＝∠FBA ＝90°，∴BF ∥OM ∥AC .

又 ∵B 、O 、A 为切点，△BOF 、△AOC 为直角三角形，