甘肃省民乐一中、张掖二中2020届高三数学上学期第一次调研考试(12月)试题 理

民乐一中、张掖二中2020届高三第一次调研考试

数学(理) 试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1z i =-，（其中i 为虚数单位， z 是z 的共轭复数），则z

zi i

+=（ ） A ． 2

B ． 2i +

C ． 2i -+

D ． -2

2．已知集合22

{|1}23

x y A y =+=，集合2{|4}B x y x ==，则A B ⋂=（ ） A ． 0,3⎡⎤⎣⎦

B ． 3,3⎡⎤-⎣⎦

C ． )

3,⎡+∞⎣

D ． )

3,⎡-+∞⎣

3．已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r

，点

O 为直线BC 外一点，则12017a a += ( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

4．过抛物线2

4y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，

则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为 （ ） A ． 2

B ．3

C ．4

D ．5

5．已知m R ∈，“函数21x

y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ． 必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．

83 B ． 16

3

C ．

20

3

D ． 8

7．5

12a x x x x ⎛

⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中

常数项为( )

A ．-40

B ．-20

C ．20

D ．40

8．2020年东京夏季奥运会将设置4100⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自

由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成， 每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种布阵的方式. A ． 6

B ． 12

C ． 24

D ． 144

9. 已知函数()()22

log 3,2,{2

1,2

x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（ ）

A. 1

B. 1-

C. 2-

D. 2

10．若函数()()sin 2()2f x x π

φφ=+<

的图像关于点,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称，且当127,,

1212

x x ππ

⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时， ()()120f x f x += ()12x x ≠，则()12f x x +=（ ）

A ．

B ． -

C ．

D ． 11．在平面直角坐标系中,双曲线22

1124

x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的

直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，若△FAB 的面积为l 的斜率为 （ ） A ．

1313

2 B ．21 C ．4

1 D ．

77

12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=， ()13f -=，数

列{}n a 满足11a =且()1n n n a n a a +=- ()

*n N ∈，则()()3637f a f a +=（ ） A ． -2

B ． -3

C ． 2

D ． 3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若060B =， 2c =， b =，则

a =__________．

14．抛物线2

2y x x =-+与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷一点(),P x y ，则

y x >的概率为__________.

15．已知,,,A B C D 四点在球O 的表面上，且2AB BC ==， AC =若四面体ABCD

的体积的最大值为4

3

，则球O 的表面积为__________． 16．已知111

2sin

,3sin ,3cos ,233

a b c ===则,,a b c 的大小关系是__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()

*n N ∈. （1）证明： {}1n a +是等比数列；

（2）令1

2n

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18．在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次．某同学在A 处的投中率10.25q =，在B 处的投中率为2q ，该同学选择先在A 处投第一球，以后都在B 处投，且每次投篮都互不影响，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

X 0 2 3 4 5

P 0.03 2p 3p 4p 5p

（1）求2q 的值；

（2）求随机变量X 的数学期望()E X ；

（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B 处投篮得分超过3分的概率的大小．

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥，

262CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.

（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；

（2）试问在线段PC 上是否存在点F ，使二面角F BE C --的

余弦值为3

3

，若存在，请确定点F 的位置；若不存在，

请说明理由.