与圆有关的比例线段

探究 将图2 20中的AB向上 或向下 平移, 使AB 不再是直径图2 21, 结论1还成立吗? 连结AD、BC, 请同学们自己给出证明 .
探究 上面讨论了CD AB的情形, 进一步地, 如果 CD与AB不垂直, 如图2 22, CD、AB是圆内的任意 两条相交弦, 结论1是否仍然成立?
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五 与圆有关的比例线段
前面我们讨论了与圆有关 的角之间的关系自然的 . , 我们 可以讨论与圆有关的线段 的关系及其度量问题.下面沿 用从特殊到一般的思路, 讨论与圆的相交弦有关的问题 . 探究 如图2 20, AB是圆O的直径, CD AB, AB与CD 相交于P, 线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系?
单击图标, 打开几何画板 , 进行探究实验.
由上述探究和论证 , 我们有
切割线定理 从圆外一点引圆的切线 和割线, 切线长是这点到割线与 圆交点 的两条线段长的比例中 项.
D
设 P为圆外一点, 过 P 的圆的切线的切点为 A, 称 PA为 P点到圆的 切线长.
C
P
O
AB
图2 25
D
探究 在图2 25中, 使 割线 PD绕 P点运动到 切线位置 图 2 26, 可 以得出什么结论?
图2 23
D C
P
A
O
B
探究 使圆的两条相交弦的交点 P 从圆内运动到圆上 图 2 23 , 再到圆外图 2 24, 结论 1 是否 还能成立?
图2 24
单击图标, 打开几何画板 , 进行探究实验.
当点 P在圆上时 , PA PB 0, 所以 PA PB PC PD仍成立. 当点 P在圆外时 , 在图 2 24中, 连接 AD、BC, 容易证明 PAD PA PD ~ PCB, 所以 ,即 PC PB 1 PA PB PC PD.
D
C,PA
O
B
图2 23
D C
P
A
O
B
根据上述探究和论证, 我们有
割线定理 从圆外一点引圆 图2 24 的两条 割 线 , 这一点到每条 割 线与圆的交点的两条线段长的积相等.
下面继续用运动变化思 想探究.
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置 图 2 25, 是否还有PA PB PC PD ?
图2 27
证明 如图 2 27, 连结OA、 OC, 则OA PA, OC PC.
因为OA OC, OP OP,
所以RtOAP RtOCP.
故 PA PC, APO CPO.
CD
P
O
AB
图2 26
思考 由切割线定理能证明切线长定 理吗? 在图2 26中,由 P 向圆任作一条 割线试一试 .另外 , 你能将切线长定理 推广到空间的情形吗?
例1 如图2 28 ,圆内的 两条弦AB、CD相交于圆
A
C P
B
O 内一点P,已知PA PB 1 D 4, PC PD.求CD的长 . 4 图2 28 4 1 解 设CD x, 则PD x, PC x. 5 5
由相交弦定理 , 得 PA PB PC PD.
从图 2 25变到图 2 26 时, 点C与点 D重合 ,因此 2 2 1式变为 PA PC , 所 以PA PC .
C
P
O
AB
图2 25
CD
P
O
AB
图2 26
结合切线的性质定理 , 我们有
A
P
O
C
切线长定理 从 圆 外一点引 圆的两条切线, 它们的切线长 相等,圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角.
C
证明
1因为EF // CB,
所以 DEF DCB . A 因为DCB和DAB都 是弧DB上的圆周角 , 所以 DAB DCB DEF.
O
B E D
F
G
图2 29
又DFE EFA, 故DFE ~ EFA .
例 2 如图2 29, E是圆内两弦AB和CD的交点, 直线EF // CB,交AD的延长线于F , FG切圆于G. 求证 : 1DFE ~ EFA; 2 EF FG.
事实上, AB、CD是圆内的任意两条相交 弦时, 结论 1仍然成立,而且证明方法不变.请同学们自己给出 证明. 由上述探究及论证 , 我们有
相交弦定理 圆内的两条相交弦, 被交点分成的 两条线段长的积相等 .
D
C,PA
O
B
以上通过考察 相交 弦交角变化中 有关线段的关系 , 得出相交弦定理. 下面从 新的角度考察与圆有关的 比例线段.
连接 AC、AD, 同样可以证明 PAC ~ PDA ( 请同学们自 己证明 ),因而 1 式仍然成立 . 在这种情况下 , A、B两点重 合, PA PB PC PD, 变形为 : 2 PA2 PC PD.
D C
P
A
O
B
图2 24
D C
P
O
AB
图2 25
2由1知DFE ~ EFA,
EF FD 所以 ,即 FA EF 2 EF FA FD .
A
C
O
B E D
F
因为 FG是圆的切线 , 所以 FG FA FD,
2
G
图2 29
故 FG2 EF 2 , 即 FG EF .
例 3 如图2 30 , 两 圆相交于A、B两点, P为两圆公共弦AB 上任一点, 从 P引两 圆的切线 PC 、PD, 求证 : PC PD.
1 4 所以 4 4 x x, x 10. 故CD 10 . 5 5
例 2 如图2 29, E是圆内两弦AB和CD的交点, 直线EF // CB,交AD的延长线于F , FG切圆于G. 求证 : 1DFE ~ EFA; 2 EF FG.
单击图标, 操作几何画板实验 .
单击图 标, 用几 何画板作一 系列探究实 验.
D A A P C B D P B A D P B
O
O
C
O
C
图2 20
图2 21
图2 22
连接AD、BC, 则由圆周角定理的推论 可得 : A C. PA PC 故Rt APD ~ Rt CPB.则 .即PA PB PC PD. PD PB