万能平面尺寸链计算公式及其用法举例
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6
2﹚计算孔 B 中心坐标的公差 在以 O 点为原点的坐标系中，点 B 的位置是通过保证坐标尺寸
X B 和 YB 而得以保证的。因此, 孔心距 LB 也是通过保证 X B 和 YB
而得到保证的，所以, 在由 LB 、X B 和 YB 组成的尺寸链中, LB 是封
2 YB2 闭 环 , X B 和 Y B 是 组 成 环 , 尺 寸 链 函 数 式 为 ： LB ﹦ X B
Ｆ min —封闭环的极小尺寸；
（3）
Z i , min —増环的极小尺寸； J i , max —减环的极大尺寸。 4）封闭环之公差： dF﹦
i 1 n m F F dZ i dJ i Z i i 1 J i
（4）
式中 dF—封闭环的公差；
F Z i —因变量 F﹦f（ Z i , J i ）对增环在给定值处偏导数值的
绝对值;
F J i —因变量 F﹦f（ Z i , J i ）对减环在给定值处偏导数值的
绝对值； dZ i —增环的公差； dJ i —减环的公差； n—尺寸链的增环数； m—尺寸链的减环数。 注意： 在上述公式中角的单位是弧度。在利用式（4）计算封闭环公差 时，如果某角尺寸的公差是以“度” 为单位给出的，就一定要把“度”
万能平面尺寸链计算公式及其用法举例
崔长华
摘要：本文包括三个方面的内容：一是平面尺寸链计算公式；二是公式的用法举例； 三是对几个有关问题的说明。 关键词：平面尺寸链计算
计算尺寸链有两种方法, 一种是极大极小法, 另一种是概率法。 极大极小法是目前在工厂中被广泛采用的一种计算方法。下面介绍 的就是用极大极小法计算平面尺寸链的计算公式。 一、平面尺寸链计算公式 设尺寸链的封闭环与其各组成环间有如下的函数关系： F﹦ｆ（Z i ，J i ） 式中 F—尺寸链的封闭环； Z i —尺寸链的增环（i﹦1、2、3,…,n） ；
为了利用上式计算 H 的最大值与最小值，必须知道各组成环的性 质，为此，必须计算封闭环对组成环的偏导数值。 1）计算封闭环 H 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨别各组
3
B
成环的性质
H B ﹦1； H R ﹦﹣0.34164； H A ﹦0.44721
由上述各偏导数值的符号可知，A 和 B 是尺寸链的増环；R 是尺寸 链的减环。 2）计算高度 H 可能的最大值与最小值 由式﹙2﹚及式﹙3﹚可得：
L AB / X A ﹦ 0.999 ； L AB
/ X B ﹦ 0.999 ； LAB Y A ﹦ 0.0439 ；
7
L AB YB ﹦﹣0.0439
由上述各偏导数值的符号可知， X A 、 X B 和 Y A 是尺寸链的増环，
YB 是减环。
' ' ⑵ 计算公差 d X A 、d X B 、d Y A' 和 d YB' ' ' 由式⑷可得：d LAB ﹦ LAB X A d X A ﹢ LAB X B d X B ﹢ ' L AB Y A d Y A ﹢ LAB YB d YB' ' ' 已知：d LAB ﹦0.18mm ；所以：0.18﹦｜0.999｜d X A ﹢｜0.999｜d X B ' ' ﹢｜0.0439｜d Y A ' ﹢｜﹣0.0439｜d YB' ；取 d X A ﹦d X B ﹦d Y A' ﹦d YB' ' ' ' ' 则 dXA ﹦d X B ﹦d Y A' ﹦d YB' ﹦0.086mm﹙说明：可以取 d X A 、d X B 、d Y A'
A
B1
通过对比零件图和工序图可以看出, 工序尺寸 A 和 B 可以直接取 自于设计尺寸, 而 则需通过计算确定。
1﹚ 画尺寸链图并建立尺寸链函数式
4
B
图 4 为根据零件图和工序图画出的尺寸链图。在该尺寸链图中, 工序尺寸 A、 B/2 及 皆由加工直接保证; 而设计尺寸 B1 2 则是间接
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得到的尺寸; 所以在由 B1 2 、 A、B 2 和 组成的尺寸链中, B1 2 是封 闭环。尺寸链函数式为：B 1 ﹦B﹣2A/tan 2﹚计算 的基本尺寸 由式⑴可得： B1, g ﹦ Bg -2 Ag /tan g 已知 ：B 1 ﹦20.25mm 0.25mm；B﹦30.05mm 0.05mm；A﹦ 20mm 0.1mm 。 代入上式得： g ﹦ 7614 ' 3﹚计算封闭环 B1 对各组成环的偏导数値并辨别各组成环的性 质
J i —尺寸链的减环（i﹦1、2、3，…，m） 。﹙如何辨别增环和
减环，在本文的第三部分有详细说明。﹚ 其中 Z i 和 J i 皆为独立变量，则尺寸链封闭环的基本尺寸、极大 尺寸、极小尺寸及公差可分别用以下各式计算： 1﹚封闭环的基本尺寸： F g ﹦f（Z i , g ,J i , g ） 式中 F g —封闭环的基本尺寸；
代入已知数，得： max ﹦ 76 26' ； min ﹦ 76 2 ' 即 ﹦ 7614 ' 12 ' 例 3、图 5 所示为孔 O、孔 A 和孔 B 三孔之尺寸关系, 各孔中 心距的基本尺寸和公差为已知。 同时, 在以孔 O 中心为原点的直角 坐标系中, 孔 A 和孔 B 中心坐标的基本尺寸 X A 和 Y A 、X B 和 YB 也已 知。试计算各坐标的公差为何值时才能保证各孔中心距的公差。
将相应数值代入上述两式，得： LA, max ﹦132.055﹤132.105；
代入上式，即
' 0.18﹦｜0.999｜d X A ﹢｜0.999∣ 0.072﹢∣0.0439∣d Y A' + ' ' ｜﹣0.0439｜ 0.072 ；取 d X A ﹦d Y A' ，则 d X A ﹦d Y A' ﹦0.1mm；由于 ' ' dXA 和 d Y A' 小于 d X A 和 d Y A ，所以 d X A 和 d Y A 应取 d X A 和 d Y A' 之值， ' 即 d X A ﹦d Y A ﹦d X A ﹦d Y A' ﹦0.1mm。综上所述，可得：d X B ﹦d YB
⑴ 计算封闭环 LA 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨别各 组成环的性质
L A X A ﹦0.1112; L A Y A ﹦0.9938
由上述各偏导数值的符号可知, X A 和 Y A 都是尺寸链的增环。 ⑵ 计算 X A 和 Y A 的公差 d X A 和 d Y A 由式﹙4）可得： d LA ﹦ LA X A dX A ﹢ LA Y A d Y A 已知：d LA ﹦0.21mm；所以：0.21﹦｜0.1112｜d X A ﹢ ｜0.9938｜d Y A ；取 d X A ﹦d Y A ,则 d X A ﹦d Y A ﹦0.19mm 。
Z i , g —増环的基本尺寸；
（1）
J i , g —减环的基本尺寸。 2）封闭环的极大尺寸： F max ﹦f（Z i , max ,J i , min ）
1
（2）
式中 F max —封闭环的极大尺寸； Z i , max —增环的极大尺寸； J i , min —减环的极小尺寸。 3）封闭环的极小尺寸： F min ﹦ｆ（Z i , min ,J i , max ） 式中
2
换成弧度。例如当给出的角的公差为“1 ” 时，就应把“1 ” 换成 0.01745329rad 二、平面尺寸链计算公式用法举例 下面所举六个例子所涉及的问题为：工艺尺寸换算、尺寸的间接 测量以及工艺装备设计等内容， 都是在日常工作中经常遇到的平面尺 寸链问题， 通过这些例子可以对平面尺寸链计算公式的用法有一个明 确的认识并能获得一些计算尺寸链的技巧。 例 1、图 1 所示为一弧面垫块的零件图。当该零件按图示尺寸加 工时，试确定高度尺寸 H 可能的最大值与最小值。
﹦0.072mm；d X A ﹦d Y A ﹦0.1mm 。 4﹚确定公差带和基本尺寸的相对位置并验算
8
⑴ 使 X A ﹦14.676mm 0.05mm ；Y A ﹦131.182mm 0.05mm ；验算 能否满足 LA ﹦132mm 0.105mm 之要求
2 2 2 2 由式⑵及式⑶得： LA, max ﹦ X A ； LA, min ﹦ X A , max Y A, max , min Y A, min
⑴ 计算封闭环 LB 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨别各组 成环的性质
LB / X B ﹦0.5532； LB / YB ﹦0.833
由上述各偏导数值的符号可知, X B 和 YB 都是尺寸链的增环。 ⑵ 计算 X B 和 YB 的公差 d X B 和 d YB 由式﹙4﹚可得： d LB ﹦ LB X B d X B ﹢ LB YB d YB ；已知：d LB ﹦0.1mm ； 所以：0.1﹦｜0.5532｜d X B ﹢｜0.833｜d YB ；取 d X B ﹦d YB ，则 d X B ﹦d YB ﹦0.072mm 。 3）计算在由 LAB 、 X A 、 X B 、Y A 和 YB 组成的尺寸链中 X A 、 X B 、
和 d YB ' 相等，也可以根据加工难易各取不同的值） 。 由于 X A 、 X B 、Y A 和 YB 都是公共组成环，其公差应取各有关尺寸
' ' 链中最小的公差。而 d X B 和 d YB' 大于 d X B 和 d YB ，所以 d X B 和 d YB' 应 ' 取 d X B 和 d YB 之值，即 d X B ﹦d YB' ﹦d X B ﹦d YB ﹦0.072mm。为了充分 ' 利用 LAB 的公差 d LAB ，当 d X B 和 d YB' 改变时，处在同一个尺寸链中的 ' ' dXA 和 d Y A' 也应当进行调整。 为此， 将 d XB ﹦0.072mm 和 d YB' ﹦0.072mm
' ' Y A 和 YB 的公差 d X A 、d X B 、d Y A' 和 d YB'
在以 O 点为原点的坐标系中，孔心距 LAB 是由 X A 、 X B 、Y A 和 YB 共同保证的。因此， LAB 是尺寸链的封闭环， X A 、 X B 、 Y A 和 YB 是 组成环，尺寸链函数式为： LAB ﹦ X A X B 2 Y A YB 2 ⑴ 计算封闭环 LAB 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨別各 组成环的性质
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1﹚计算孔 A 中心坐标的公差 在以 O 点为原点的坐标系中, 点 A 的位置是通过保证坐标尺寸
X A 和 Y A 而得以保证的。 因此, 孔心距 LA 也是通过保证 X A 和 Y A 而被
保证的。所以, 在由 LA 、 X A 和 Y A 所组成的尺寸链中, LA 是封闭
2 Y A2 环, X A 和 Y A 是组成环。尺寸链函数式为： LA ﹦ X A
B1 / B ﹦1； B1 / A ﹦﹣0.49； B1 / ﹦42.4014
由上述各偏导数值的符号可知，B 和 是尺寸链的增环；A 是尺寸 链的减环。 4﹚计算α的极大值和极小值 由式⑵及式⑶可得： B1, max ﹦ Bmax ﹣2 Amin /tan max
B1, min ﹦ Bmin ﹣2 Amax /tan min
2 Amax H max ﹦B max ﹢R min ﹣ Rmin 1 2
2 2
H min ﹦B min ﹢R max - R 已知：B﹦10mm
2 max
1 Amin 2
0.2mm；R﹦30mm
0.2mm；A﹦40mm
0.1mm。将相应数值分别代入上述两式，得：H max ≈17.95mm；H min ≈ 17.33mm 。 例 2、 图 2 为一锥孔套的零件图。 图 3 为加工该锥孔套的工序图。 试确定各工序尺寸。
高度尺寸 H 的最大值与最小值可以通过尺寸链计算确定。在由 H、 A、B 和 R 组成的尺寸链中，由于尺寸 A、B 和 R 都是由加工直接保证 的尺寸，所以是尺寸链的组成环；而 H 是间接得到的尺寸，故 H 是尺 寸链的封闭环。尺寸链函数式为：
1 H﹦B﹢R﹣ R A 2
2 2
2﹚计算孔 B 中心坐标的公差 在以 O 点为原点的坐标系中，点 B 的位置是通过保证坐标尺寸
X B 和 YB 而得以保证的。因此, 孔心距 LB 也是通过保证 X B 和 YB
而得到保证的，所以, 在由 LB 、X B 和 YB 组成的尺寸链中, LB 是封
2 YB2 闭 环 , X B 和 Y B 是 组 成 环 , 尺 寸 链 函 数 式 为 ： LB ﹦ X B
Ｆ min —封闭环的极小尺寸；
（3）
Z i , min —増环的极小尺寸； J i , max —减环的极大尺寸。 4）封闭环之公差： dF﹦
i 1 n m F F dZ i dJ i Z i i 1 J i
（4）
式中 dF—封闭环的公差；
F Z i —因变量 F﹦f（ Z i , J i ）对增环在给定值处偏导数值的
绝对值;
F J i —因变量 F﹦f（ Z i , J i ）对减环在给定值处偏导数值的
绝对值； dZ i —增环的公差； dJ i —减环的公差； n—尺寸链的增环数； m—尺寸链的减环数。 注意： 在上述公式中角的单位是弧度。在利用式（4）计算封闭环公差 时，如果某角尺寸的公差是以“度” 为单位给出的，就一定要把“度”
万能平面尺寸链计算公式及其用法举例
崔长华
摘要：本文包括三个方面的内容：一是平面尺寸链计算公式；二是公式的用法举例； 三是对几个有关问题的说明。 关键词：平面尺寸链计算
计算尺寸链有两种方法, 一种是极大极小法, 另一种是概率法。 极大极小法是目前在工厂中被广泛采用的一种计算方法。下面介绍 的就是用极大极小法计算平面尺寸链的计算公式。 一、平面尺寸链计算公式 设尺寸链的封闭环与其各组成环间有如下的函数关系： F﹦ｆ（Z i ，J i ） 式中 F—尺寸链的封闭环； Z i —尺寸链的增环（i﹦1、2、3,…,n） ；
为了利用上式计算 H 的最大值与最小值，必须知道各组成环的性 质，为此，必须计算封闭环对组成环的偏导数值。 1）计算封闭环 H 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨别各组
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B
成环的性质
H B ﹦1； H R ﹦﹣0.34164； H A ﹦0.44721
由上述各偏导数值的符号可知，A 和 B 是尺寸链的増环；R 是尺寸 链的减环。 2）计算高度 H 可能的最大值与最小值 由式﹙2﹚及式﹙3﹚可得：
L AB / X A ﹦ 0.999 ； L AB
/ X B ﹦ 0.999 ； LAB Y A ﹦ 0.0439 ；
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L AB YB ﹦﹣0.0439
由上述各偏导数值的符号可知， X A 、 X B 和 Y A 是尺寸链的増环，
YB 是减环。
' ' ⑵ 计算公差 d X A 、d X B 、d Y A' 和 d YB' ' ' 由式⑷可得：d LAB ﹦ LAB X A d X A ﹢ LAB X B d X B ﹢ ' L AB Y A d Y A ﹢ LAB YB d YB' ' ' 已知：d LAB ﹦0.18mm ；所以：0.18﹦｜0.999｜d X A ﹢｜0.999｜d X B ' ' ﹢｜0.0439｜d Y A ' ﹢｜﹣0.0439｜d YB' ；取 d X A ﹦d X B ﹦d Y A' ﹦d YB' ' ' ' ' 则 dXA ﹦d X B ﹦d Y A' ﹦d YB' ﹦0.086mm﹙说明：可以取 d X A 、d X B 、d Y A'
A
B1
通过对比零件图和工序图可以看出, 工序尺寸 A 和 B 可以直接取 自于设计尺寸, 而 则需通过计算确定。
1﹚ 画尺寸链图并建立尺寸链函数式
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B
图 4 为根据零件图和工序图画出的尺寸链图。在该尺寸链图中, 工序尺寸 A、 B/2 及 皆由加工直接保证; 而设计尺寸 B1 2 则是间接
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得到的尺寸; 所以在由 B1 2 、 A、B 2 和 组成的尺寸链中, B1 2 是封 闭环。尺寸链函数式为：B 1 ﹦B﹣2A/tan 2﹚计算 的基本尺寸 由式⑴可得： B1, g ﹦ Bg -2 Ag /tan g 已知 ：B 1 ﹦20.25mm 0.25mm；B﹦30.05mm 0.05mm；A﹦ 20mm 0.1mm 。 代入上式得： g ﹦ 7614 ' 3﹚计算封闭环 B1 对各组成环的偏导数値并辨别各组成环的性 质
J i —尺寸链的减环（i﹦1、2、3，…，m） 。﹙如何辨别增环和
减环，在本文的第三部分有详细说明。﹚ 其中 Z i 和 J i 皆为独立变量，则尺寸链封闭环的基本尺寸、极大 尺寸、极小尺寸及公差可分别用以下各式计算： 1﹚封闭环的基本尺寸： F g ﹦f（Z i , g ,J i , g ） 式中 F g —封闭环的基本尺寸；
代入已知数，得： max ﹦ 76 26' ； min ﹦ 76 2 ' 即 ﹦ 7614 ' 12 ' 例 3、图 5 所示为孔 O、孔 A 和孔 B 三孔之尺寸关系, 各孔中 心距的基本尺寸和公差为已知。 同时, 在以孔 O 中心为原点的直角 坐标系中, 孔 A 和孔 B 中心坐标的基本尺寸 X A 和 Y A 、X B 和 YB 也已 知。试计算各坐标的公差为何值时才能保证各孔中心距的公差。
将相应数值代入上述两式，得： LA, max ﹦132.055﹤132.105；
代入上式，即
' 0.18﹦｜0.999｜d X A ﹢｜0.999∣ 0.072﹢∣0.0439∣d Y A' + ' ' ｜﹣0.0439｜ 0.072 ；取 d X A ﹦d Y A' ，则 d X A ﹦d Y A' ﹦0.1mm；由于 ' ' dXA 和 d Y A' 小于 d X A 和 d Y A ，所以 d X A 和 d Y A 应取 d X A 和 d Y A' 之值， ' 即 d X A ﹦d Y A ﹦d X A ﹦d Y A' ﹦0.1mm。综上所述，可得：d X B ﹦d YB
⑴ 计算封闭环 LA 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨别各 组成环的性质
L A X A ﹦0.1112; L A Y A ﹦0.9938
由上述各偏导数值的符号可知, X A 和 Y A 都是尺寸链的增环。 ⑵ 计算 X A 和 Y A 的公差 d X A 和 d Y A 由式﹙4）可得： d LA ﹦ LA X A dX A ﹢ LA Y A d Y A 已知：d LA ﹦0.21mm；所以：0.21﹦｜0.1112｜d X A ﹢ ｜0.9938｜d Y A ；取 d X A ﹦d Y A ,则 d X A ﹦d Y A ﹦0.19mm 。
Z i , g —増环的基本尺寸；
（1）
J i , g —减环的基本尺寸。 2）封闭环的极大尺寸： F max ﹦f（Z i , max ,J i , min ）
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（2）
式中 F max —封闭环的极大尺寸； Z i , max —增环的极大尺寸； J i , min —减环的极小尺寸。 3）封闭环的极小尺寸： F min ﹦ｆ（Z i , min ,J i , max ） 式中
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换成弧度。例如当给出的角的公差为“1 ” 时，就应把“1 ” 换成 0.01745329rad 二、平面尺寸链计算公式用法举例 下面所举六个例子所涉及的问题为：工艺尺寸换算、尺寸的间接 测量以及工艺装备设计等内容， 都是在日常工作中经常遇到的平面尺 寸链问题， 通过这些例子可以对平面尺寸链计算公式的用法有一个明 确的认识并能获得一些计算尺寸链的技巧。 例 1、图 1 所示为一弧面垫块的零件图。当该零件按图示尺寸加 工时，试确定高度尺寸 H 可能的最大值与最小值。
﹦0.072mm；d X A ﹦d Y A ﹦0.1mm 。 4﹚确定公差带和基本尺寸的相对位置并验算
8
⑴ 使 X A ﹦14.676mm 0.05mm ；Y A ﹦131.182mm 0.05mm ；验算 能否满足 LA ﹦132mm 0.105mm 之要求
2 2 2 2 由式⑵及式⑶得： LA, max ﹦ X A ； LA, min ﹦ X A , max Y A, max , min Y A, min
⑴ 计算封闭环 LB 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨别各组 成环的性质
LB / X B ﹦0.5532； LB / YB ﹦0.833
由上述各偏导数值的符号可知, X B 和 YB 都是尺寸链的增环。 ⑵ 计算 X B 和 YB 的公差 d X B 和 d YB 由式﹙4﹚可得： d LB ﹦ LB X B d X B ﹢ LB YB d YB ；已知：d LB ﹦0.1mm ； 所以：0.1﹦｜0.5532｜d X B ﹢｜0.833｜d YB ；取 d X B ﹦d YB ，则 d X B ﹦d YB ﹦0.072mm 。 3）计算在由 LAB 、 X A 、 X B 、Y A 和 YB 组成的尺寸链中 X A 、 X B 、
和 d YB ' 相等，也可以根据加工难易各取不同的值） 。 由于 X A 、 X B 、Y A 和 YB 都是公共组成环，其公差应取各有关尺寸
' ' 链中最小的公差。而 d X B 和 d YB' 大于 d X B 和 d YB ，所以 d X B 和 d YB' 应 ' 取 d X B 和 d YB 之值，即 d X B ﹦d YB' ﹦d X B ﹦d YB ﹦0.072mm。为了充分 ' 利用 LAB 的公差 d LAB ，当 d X B 和 d YB' 改变时，处在同一个尺寸链中的 ' ' dXA 和 d Y A' 也应当进行调整。 为此， 将 d XB ﹦0.072mm 和 d YB' ﹦0.072mm
' ' Y A 和 YB 的公差 d X A 、d X B 、d Y A' 和 d YB'
在以 O 点为原点的坐标系中，孔心距 LAB 是由 X A 、 X B 、Y A 和 YB 共同保证的。因此， LAB 是尺寸链的封闭环， X A 、 X B 、 Y A 和 YB 是 组成环，尺寸链函数式为： LAB ﹦ X A X B 2 Y A YB 2 ⑴ 计算封闭环 LAB 对各组成环在给定值处的偏导数值并辨別各 组成环的性质
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1﹚计算孔 A 中心坐标的公差 在以 O 点为原点的坐标系中, 点 A 的位置是通过保证坐标尺寸
X A 和 Y A 而得以保证的。 因此, 孔心距 LA 也是通过保证 X A 和 Y A 而被
保证的。所以, 在由 LA 、 X A 和 Y A 所组成的尺寸链中, LA 是封闭
2 Y A2 环, X A 和 Y A 是组成环。尺寸链函数式为： LA ﹦ X A
B1 / B ﹦1； B1 / A ﹦﹣0.49； B1 / ﹦42.4014
由上述各偏导数值的符号可知，B 和 是尺寸链的增环；A 是尺寸 链的减环。 4﹚计算α的极大值和极小值 由式⑵及式⑶可得： B1, max ﹦ Bmax ﹣2 Amin /tan max
B1, min ﹦ Bmin ﹣2 Amax /tan min
2 Amax H max ﹦B max ﹢R min ﹣ Rmin 1 2
2 2
H min ﹦B min ﹢R max - R 已知：B﹦10mm
2 max
1 Amin 2
0.2mm；R﹦30mm
0.2mm；A﹦40mm
0.1mm。将相应数值分别代入上述两式，得：H max ≈17.95mm；H min ≈ 17.33mm 。 例 2、 图 2 为一锥孔套的零件图。 图 3 为加工该锥孔套的工序图。 试确定各工序尺寸。
高度尺寸 H 的最大值与最小值可以通过尺寸链计算确定。在由 H、 A、B 和 R 组成的尺寸链中，由于尺寸 A、B 和 R 都是由加工直接保证 的尺寸，所以是尺寸链的组成环；而 H 是间接得到的尺寸，故 H 是尺 寸链的封闭环。尺寸链函数式为：
1 H﹦B﹢R﹣ R A 2
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