三角形中的最值问题PPT课件
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解：由已知 sin(A B) sin( C)
2 又三角形是锐角三角形，
c2 6c 8 0 c 2或c 4
当c 2时，b2 c2 a2 4 0
A B C ,又A B C
2
B
4
cosC 0 A为钝角，舍去. c 4
b
（1）法一
（1）法 二
（2）法一 （2）法二
下一题8
•
9
变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c.
(1)由余弦定理b2 c2 a2 2ac cosB
(2)求 a cosC c cos A的范围. b
4
44
2 sin(2A 3 ) 2
2
42
所求范围为（-1，1）.
12
变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c. (2)求 a cosC c cos A的范围.
b
解：由已知 sin(A B) sin( C)
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
4
3．三角形面积公式 S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB 4.基本不等式：
a 0,b 0 a b 2 a（b 当且仅当a b取等）
5
引 例 ： 在 ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且 满 足
3
重要公式 正弦定理
余弦定理
abc sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
余弦定理 变形
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cosB
2 sin(2A ) 4
A , 2 sin(2A ) 1,1
4 2
4
13
变式2.在锐角ABC中，3a 2c sin A (1)求C（2）若c 2，求AB边上中线长的最大值.
解：设AB边上的中线为CD，由CD 1 (CA CB) 2
得：CD 2 1 (a2 b2 2ab cosC) 1 (a2 b2 ab)
4
4
a cosC c cos A sin AcosC sin C cos A
b
sin B
sin(A C) 2 sin(2A 3 )
2
4
2
A B C ,又A B C
2
B
4
ABC为锐角三角形，
A
4
2
2A 3
c 3,ccos B 2a bcosC .
（1）求角 C 的大小； （2）求 ABC 的周长的最大值.
6
方法总结
最值处理的常用方法： ①利用三角形中的有关条件和正余弦定理转化为基本 不等式来解决；
②转化为函数（常用 y Asin(x ) ）的最值来
加以解决.
7
变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c sin(A B) cosC, (1)若a 3 2,b 10,求c. (2)求 a cosC c cos A的范围.
11
变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c.
(2)求 a cosC c cos A的范围. b
解：由已知 sin(A B) sin( C)
2 又三角形是锐角三角形，
（2）由题意，B C 3 A
10
变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c.
(2)求 a cosC c cos A的范围. b
解：(1) sin(A B) cos(A C) (cosB sin B)(sin A cos A) 0
2 又三角形是锐角三角形，
A B C ,又A B C
2
B
4
（2）由余弦定理得：
a a2 b2 c2 c b2 c2 a2
原式
2ab
2bc
b
a2 c2 sin 2 A sin 2 C
b2
1
2
2[sin2 A sin2 (3 A)] 4
2
引言： 纵观近几年高考对三角形的考查，三角形中的最值问题已成
为高考命题的一个热点.重点放在正余弦定理与三角函数性质、基 本不等式和向量知识的结合上；要求同学们有较强的逻辑思维能 力、准确的计算能力，才能顺利解答.
但是从实际来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，同学们 在解决问题的过程中感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一 定难度外，主要是我们对三角恒等变换还不够熟练，还有就是没有形 成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本节课 就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1
考点分类
2014年
Ⅰ卷 Ⅱ卷
2015年
Ⅰ卷 Ⅱ卷
2016年
Ⅰ卷
Ⅱ卷
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（乙） （甲）
合计
Ⅲ卷 （丙）
三角公式的 恒等变换和 求值
三角函数图 像与性质
第8题 第14题 第8题
第6题
第8题 第10题 第12题
第9题 第7题
第5题 3年5考 第14题 3年6考
解三角形
第16题 第4题 第16题 第17题 第17题 第13题 第8题 3年7考
ABC为锐角三角形
sin B cosB 0
B
4
(1)由余弦定理b2 c2 a2 2ac cosB
当c 2时，b2 c2 a2 4 0
c2 6c 8 0 c 2或c 4
cosC 0 A为钝角，舍去. c 4
2 又三角形是锐角三角形，
c2 6c 8 0 c 2或c 4
当c 2时，b2 c2 a2 4 0
A B C ,又A B C
2
B
4
cosC 0 A为钝角，舍去. c 4
b
（1）法一
（1）法 二
（2）法一 （2）法二
下一题8
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变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c.
(1)由余弦定理b2 c2 a2 2ac cosB
(2)求 a cosC c cos A的范围. b
4
44
2 sin(2A 3 ) 2
2
42
所求范围为（-1，1）.
12
变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c. (2)求 a cosC c cos A的范围.
b
解：由已知 sin(A B) sin( C)
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
4
3．三角形面积公式 S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB 4.基本不等式：
a 0,b 0 a b 2 a（b 当且仅当a b取等）
5
引 例 ： 在 ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且 满 足
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重要公式 正弦定理
余弦定理
abc sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
余弦定理 变形
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cosB
2 sin(2A ) 4
A , 2 sin(2A ) 1,1
4 2
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变式2.在锐角ABC中，3a 2c sin A (1)求C（2）若c 2，求AB边上中线长的最大值.
解：设AB边上的中线为CD，由CD 1 (CA CB) 2
得：CD 2 1 (a2 b2 2ab cosC) 1 (a2 b2 ab)
4
4
a cosC c cos A sin AcosC sin C cos A
b
sin B
sin(A C) 2 sin(2A 3 )
2
4
2
A B C ,又A B C
2
B
4
ABC为锐角三角形，
A
4
2
2A 3
c 3,ccos B 2a bcosC .
（1）求角 C 的大小； （2）求 ABC 的周长的最大值.
6
方法总结
最值处理的常用方法： ①利用三角形中的有关条件和正余弦定理转化为基本 不等式来解决；
②转化为函数（常用 y Asin(x ) ）的最值来
加以解决.
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变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c sin(A B) cosC, (1)若a 3 2,b 10,求c. (2)求 a cosC c cos A的范围.
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变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c.
(2)求 a cosC c cos A的范围. b
解：由已知 sin(A B) sin( C)
2 又三角形是锐角三角形，
（2）由题意，B C 3 A
10
变式1.在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c
sin(A B) cosC,
(1)若a 3 2,b 10,求c.
(2)求 a cosC c cos A的范围. b
解：(1) sin(A B) cos(A C) (cosB sin B)(sin A cos A) 0
2 又三角形是锐角三角形，
A B C ,又A B C
2
B
4
（2）由余弦定理得：
a a2 b2 c2 c b2 c2 a2
原式
2ab
2bc
b
a2 c2 sin 2 A sin 2 C
b2
1
2
2[sin2 A sin2 (3 A)] 4
2
引言： 纵观近几年高考对三角形的考查，三角形中的最值问题已成
为高考命题的一个热点.重点放在正余弦定理与三角函数性质、基 本不等式和向量知识的结合上；要求同学们有较强的逻辑思维能 力、准确的计算能力，才能顺利解答.
但是从实际来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，同学们 在解决问题的过程中感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一 定难度外，主要是我们对三角恒等变换还不够熟练，还有就是没有形 成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本节课 就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1
考点分类
2014年
Ⅰ卷 Ⅱ卷
2015年
Ⅰ卷 Ⅱ卷
2016年
Ⅰ卷
Ⅱ卷
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（乙） （甲）
合计
Ⅲ卷 （丙）
三角公式的 恒等变换和 求值
三角函数图 像与性质
第8题 第14题 第8题
第6题
第8题 第10题 第12题
第9题 第7题
第5题 3年5考 第14题 3年6考
解三角形
第16题 第4题 第16题 第17题 第17题 第13题 第8题 3年7考
ABC为锐角三角形
sin B cosB 0
B
4
(1)由余弦定理b2 c2 a2 2ac cosB
当c 2时，b2 c2 a2 4 0
c2 6c 8 0 c 2或c 4
cosC 0 A为钝角，舍去. c 4