复变函数 留数和留数定理讲解
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高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
0
的去心邻域内的罗朗展开式为：
sin z
1 z2
z4
L
1n z2n
L
z
3! 5!
2n 1!
故负幂次项 z1的系数 C1 0 ，即
Res
sin z
z
, 0
0
若孤立奇点z0为f (z)的可去奇点，则
Res f (z), z0 0
例1.3
函数
f
(z)
1 z(z 1)2
在
z
1 处有一个
二级极点，这个函数又有下列罗朗展开式：
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
Cm 0
Байду номын сангаас
g z Cm Cm1 z z0 L C1 z z0 m1
C0 z z0 m L
在点 z0 是解析的，且 g z0 Cm 0
由
f
z
gz z z0 m
，有 z
z0 m
f
z
gz
上式两端对 z 求导 m 1 次，并取极限（z z0），
得
lim
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与积分变换5.2留数
m
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
留数的概念及留数的求法课件
问题转化为易于处理的形式。
实例三：在物理中的应用
要点一
总结词
留数在物理问题中的应用
要点二
详细描述
在物理问题中，留数也有广泛的应用，如求解某些电磁场 问题、波动问题等。通过计算留数，可以将这些物理问题 转化为数学问题，从而得到更精确的解析解。
THANKS
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03
留数的求法
利用Cauchy积分公式求留数
总结词
Cauchy积分公式是计算留数的常用方法之一，通过将积分路径进行变形，使得积分路径包含奇点，从而利用公 式计算留数。
详细描述
Cauchy积分公式指出，对于一个在复平面上有奇点的简单闭曲线上的函数f(z)，其沿该曲线的积分等于2πi乘以 该函数在奇点的留数。因此，通过选择适当的积分路径，使得该路径经过函数的奇点，然后利用Cauchy积分公 式即可求得留数。
利用Residue定理求留数
总结词
Residue定理是一种计算复平面上简单闭合曲线上的积分的方法，通过计算奇点的留数，然后利用定 理计算出整个闭合曲线的积分。
详细描述
Residue定理指出，对于复平面上任意简单闭合曲线C，函数f(z)在C上的积分等于2πi乘以函数在C内 部的奇点的留数之和。因此，通过确定函数在内部的奇点，并计算其留数，即可利用Residue定理求 得整个闭合曲线上函数的积分。
利用留定理求留数
总结词
留数定理是复分析中的重要定理之一， 它建立了函数在无穷远点的行为与其在 有限区域内奇点的留数之间的关系。
VS
详细描述
留数定理指出，对于一个在无穷远处有极 点的函数f(z)，其无穷远点的留数等于该 函数在有限区域内奇点的留数之和。因此 ，通过计算函数在有限区域内的奇点留数 ，并利用留数定理，可以求得函数在无穷 远点的留数。
实例三：在物理中的应用
要点一
总结词
留数在物理问题中的应用
要点二
详细描述
在物理问题中，留数也有广泛的应用，如求解某些电磁场 问题、波动问题等。通过计算留数，可以将这些物理问题 转化为数学问题，从而得到更精确的解析解。
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03
留数的求法
利用Cauchy积分公式求留数
总结词
Cauchy积分公式是计算留数的常用方法之一，通过将积分路径进行变形，使得积分路径包含奇点，从而利用公 式计算留数。
详细描述
Cauchy积分公式指出，对于一个在复平面上有奇点的简单闭曲线上的函数f(z)，其沿该曲线的积分等于2πi乘以 该函数在奇点的留数。因此，通过选择适当的积分路径，使得该路径经过函数的奇点，然后利用Cauchy积分公 式即可求得留数。
利用Residue定理求留数
总结词
Residue定理是一种计算复平面上简单闭合曲线上的积分的方法，通过计算奇点的留数，然后利用定 理计算出整个闭合曲线的积分。
详细描述
Residue定理指出，对于复平面上任意简单闭合曲线C，函数f(z)在C上的积分等于2πi乘以函数在C内 部的奇点的留数之和。因此，通过确定函数在内部的奇点，并计算其留数，即可利用Residue定理求 得整个闭合曲线上函数的积分。
利用留定理求留数
总结词
留数定理是复分析中的重要定理之一， 它建立了函数在无穷远点的行为与其在 有限区域内奇点的留数之间的关系。
VS
详细描述
留数定理指出，对于一个在无穷远处有极 点的函数f(z)，其无穷远点的留数等于该 函数在有限区域内奇点的留数之和。因此 ，通过计算函数在有限区域内的奇点留数 ，并利用留数定理，可以求得函数在无穷 远点的留数。
复变函数-留数定理
dz 例 计算积分 ， 其中，C 为 8 2 C ( z i ) ( z 1) ( z 3) 正向圆周： z 2.
1 解 记 f (z) ， 则 8 2 ( z i ) ( z 1) ( z 3) 除 点外，被积函数的有限奇点为： i， 1， 3， 由留数总和定理得 Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ] 0 由于奇点 i， 1在圆周C 得内部，由留数定理 及上式得
三、留数定理
定 理 设 函 数 f ( z ) 在 区 域D 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点 zk ( k 1,2, , n) 外 处 处 解 析 , C 为 D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线 ,则
C
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
k 1
4、若z0为f ( z )的m级极点，则
1 d m 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] Re s[ f ( z ), z0 ] ( m 1)! z z0 dz
5、若z0为f ( z )的本性奇点，
将f ( z)在0 z z0 内展开成洛朗级数，求a1;
dz C ( z i )8 ( z 1)2 ( z 3) 2 i{Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1]}
2 i{Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ]}
而
1 1 Re s[ f ( z ), 3] lim( z 3) f ( z ) lim 8 2 z 3 z 3 ( z i ) ( z 1) 4(3 i )8
留数定理与复变函数的积分
留数定理与复变函数的积分留数定理与复变函数的积分留数定理与复变函数的积分是高等数学中关于函数积分的一种重要内容，它在应用数学、物理学和工程学等领域有着很大的用途。
下文介绍一下留数定理与复变函数的积分：一、留数定理1. 概念留数定理（ResidueTheorem）是18世纪荷兰数学家弗兰克·泰勒提出的理论，是用以解决复变函数的积分的一种方法，它可以将某一复变函数的积分问题转化为该函数的根的积分来解决，而这些根可以通过特殊的方法求出。
2.应用由于留数定理，可以把复变函数的积分问题，包括复杂的褶积列、无穷级数等，转换成一系列的极限，利用极限的简单特性，可以将复杂的积分准确合理地解决掉。
这样可以大大缩短计算时间，提高准确度，因此，在工程中有很多应用。
二、复变函数的积分1. 概念复变函数（Complex Function）积分，是指把复变函数分解为可导函数的积分，而复变函数同时又包括实函数积分和虚函数积分，是一种特殊的积分。
2. 公式复变函数积分公式为：$$\int_{\gamma}f(z)dz=\int_a^b(u(z)dx+v(z)dy)$$其中，$\gamma$表示所讨论的积分的边界，$u(z)$与$v(z)$分别是复变函数$f(z)$在$z$处取得实函数与虚函数值。
3. 应用复变函数积分的应用泛泛，在日常生活中有很多使用，比如物理学中单晶极化、多晶变形、电学等、数学与统计学中多元函数的积分及拉格朗日插值等等，复变函数积分在很多领域的应用都显得十分重要。
三、结论留数定理与复变函数的积分是一个关于高等数学中函数积分的重要内容，它在工程学、物理学等领域得以深入的应用，简化了一些复杂的积分问题带来的计算时间，提高了精度，从而起到事半功倍的效果。
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
复变函数留数和留数定理
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理论支撑
复变函数留数和留数定理是数学领域 中非常重要的概念，它们在复分析、 积分方程、特殊函数等领域有着广泛 的应用。留数定理是解决复积分问题 的重要工具，它可以用来计算复平面 上的曲线积分，解决物理和工程领域 中的许多问题。
留数的计算方法包括直接法、参数法 和级数展开法等。其中，直接法是最 常用的方法，通过将函数在奇点附近 进行泰勒展开，然后利用展开式计算 留数。参数法和级数展开法则适用于 某些特殊情况，如函数具有特定的对 称性或周期性等。
2πi f(z0)，其中z0是该开域内的点。
应用范围
02 柯西积分公式适用于解析函数，即在其定义域内可微
的函数。
特殊情况
03
当z0是奇点时，柯西积分公式不适用。
积分定理和路径的选取
积分定理
如果f(z)在包含z0的开
域内解析，则对于该开
域内的任何两个点z1和
z2，有∫f(z)dz
=
∫f(z)dz + f(z2)(z1-
留数定理是复分析中的核心定理之一 ，它建立了奇点、积分和留数之间的 联系。通过留数定理，我们可以将复 杂的积分问题转化为相对简单的留数 计算问题，从而简化计算过程。此外 ，留数定理还可以用来研究函数的奇 点性质和函数在无穷远点的行为等。
对未来研究和应用的展望
深入研究留数定理
应用领域的拓展
尽管我们已经对留数定理有了较为深 入的了解，但仍有许多未解决的问题 和需要进一步研究的方向。例如，对 于具有更复杂奇点的函数，如何更准 确地计算留数？如何利用留数定理解 决更广泛的积分问题？这些都是值得 探讨的问题。
02
复变函数基础知识
复数及其运算
复数
复变函数论钟玉泉第六章
2aπ 2π a 2 b 2 2 b b2
2 2 (a a 2 b 2 ). b
19
dx 例2 计算 0 2 ( a 0). a sin x π π dx dx 解 0 a sin2 x 0 1 cos 2 x a 2 1 π d2 x 令 2x t, 0 1 cos 2 x 2 a 2 1 1 dz 1 2π dt 2 2 0 a 1 cos t 2 z 1 1 ( z 1) 2 z iz a 2 2 dz 2i 2 . z 1 z 2( 2a 1) z 1
1 d 2 3 z sin z Res[ f ( z ),0] lim 2 z . 6 ( 3 1)! z 0 dz z
计算较麻烦.
7
解
如果利用洛朗展开式求 c1 较方便:
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z
第六章 留数理论及其应用 第一节 留数
1. 留数的定以及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数
1
定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在 点a的某去心邻域0<|z-a|<R内解析，则称积分 1 f ( z )dz ( :| z a | ,0 R) 2i Re s f ( z ). 为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：
例1 计算积分
z5 I dz 6 1 z Z 2
例2 利用无穷远点的留数计算积分 z13 dz I | z| 3 ( z 2 5)3 ( z 4 1) 2
15
第二节 用留数定理计算实积分
某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复 变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分 值，这时计算某些实积分的有效途径之一。
复变函数 第五章 留数
f ( z) 1 ( z z0 )
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
new第二节留数及留数定理
L
那么
( 0 z a ),
(z a)m f (z) cm cm1(z a) L c1(z a)m1 c0(z a)m
L cn(z a)mn L
d m1 dzm1
[(
z
a)m
f (z)]
c1(m 1)! c0m(m 1)L
2(z a)
L cn(m n)L (n 2)(z a)n1 L
记作
Re
s[
f
(z), ]或
Re s z
f
(z), 即
1
1
Re s[ f (z), ]
f (z)dz
f (z)dz.
2 i C
2 i C
无穷远点留数计算：
义：
Re
s[
f
(z),
]
1
2
i
C
n定0 c义nzn：dz
n0
2c定ni C义 zn：dz
C1 .
定义1 ：
1
作变换 z
,则
z3 3和 点,利用外部区域的留数定理,有
dz
C (z i)10(z 1)(z 3)
2i{Re s[ f (z), 3] Re s[ f (z), ]}
例12 设C为 | z | 2正向，计算积分
I
C
(
ez z(1
z
)2
sin
z
1) 4
dz.
解
I
C
ez z(1
z)2
dz
C
sin
z
1
4
dz
C
ez z(1
z)2
dz 0
由留数定理得
I
2 i
Re
复变函数-留数定理资料
当 m 1时
z Re s[ f ( z ),1] lim( z 1) f ( z ) lim 1 z 1 z 1 z 2
当m 2时
( m 1) 1 m Re s[ f ( z ),1] lim( z 1) f ( z ) ( m 1)! z 1
z 例 求 dz | z| 3 ( z 1)( z 2)
z 解 :由于 f ( z ) 在圆周 | z | 3内部有一个一级 ( z 1)( z 2) 极点 z 1, 和一个一级极点z 2
ze z 例 求 Re s[ 2 ,1] z 1
解： 显然，z 1是f ( z )的一级极点，
ze z e ze z 所以 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
或者：取P ( z ) ze z , Q( z ) z 2 1
所以 而
C
f ( z )dz 2iRe s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 1]
ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 z 1 z 1 2
ze z e1 Re s[ f ( z ), 1] lim( z 1) 2 z 1 z 1 2 于是得到 e e 1 ze z C z 2 1 dz 2i 2 2 2i ch 1
P (1) e Re s[ f ( z ),1] Q(1) 2
1 例 求 Re s[ 2 , i] 3 ( z 1)
解： 由于 f ( z )
1 ( z i )3 ( z i )3
所以z i是f ( z )的三级极点。
复变函数-5.2 留数
R [f( e z ) ,0 s ] 0 .
10
§5.2 留数
第 五 章 解 z0是 f (z) 的本性奇点，
留 数
将 f (z) 在 z0的去心邻域内洛朗展开，有
及 其 应
f(z)(1z)e1z (1z)(11 z2 !1 z23 !1 z3)
用
(11)1,
2! z
R[ef(sz),0]3. 2
11
§5.2 留数
第
五
章 解 z1是 f (z) 的本性奇点，
留
数
将 f (z) 在 z0的去心邻域内洛朗展开，有
及 其
f(z)z2cos 1 (z11)2cos1
应
z1
z1
用
[(z 1 )2 2 (z 1 ) 1 ](1 2 !(z 1 1 )2 4 !(z 1 1 )4 )
(21) 1 ,
用
1 z(1 z z2 )(1 1 z 2 !1 z2 )
1(1111),
z
2! 3!
R [fe (z ),s 0 ] (1111)e.
2! 3! 13
§5.2 留数
第
五
章 解 方法一 利用洛朗展式求留数
留 数
将 f (z) 在 z0的去心邻域展开，得
及
其 应
f(z)z 1 6[z (z 3 1 !z3 5 1 !z5 7 1 !z7 )]
方法二 利用高阶导数公式求解
I2πi 1lim (ez1) πi .
2!z 0 24
§5.2 留数
z 1
z1
sin2 z2
z
sin21.
I 2 π i ( R [ f ( z ) e ,0 ] s R [ f ( z ) e , 1 ] ) s 2πisin21.
第四章留数定理
l
f ( z) d z
f ( z) d z
j 1 l j
n
2 π i Res f (b j ).
j 1
n
D bn l3 b3 ln l2 b1 l1
b2
l
[证] 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,...,n)用互不包含的 正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有
-1
2 2 3 ( z - z0 ) f(z)= a -1 + a0 ( z - z0 ) + a1 ( z - z0 ) + a2 ( z - z0 ) +……
z z0
lim ( z - z 0 ) f ( z ) = a -1 =Resf( z0 )
P( z ) z 0 点是解析的， 对于 f(z)可表示为形式 f(z)= 时，且 P(z),Q(z)在 Q( z )
我们也可以下式 来求留数:
P( z ) P ( z 0 ) lim ( z - z 0 ) f ( z ) = lim( z - z0 ) = z z0 z z0 Q( z ) Q ' ( z 0 )
z ez f ( z) 2 z -1
z ez e Res f (1) ; | z 1 2z 2 z ez e -1 Res f (-1) . | 2 z z -1 2
z - np = lim =1（n 为偶数）或-1（n 为奇数） z np sin z
ze z dz 2 例 4 计算积分 C z - 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z
l
f ( z) d z
n
j 1 ze f ( z) 2 [ 解 ]由于 z - 1 有两个一阶极点 +1,-1, 而
复变函数第五章 留数理论及其应用
由规则3
P( z) z 1 = 3= 2, Q ( z ) 4 z 4z
此法在很多情况下此法更为简单.
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除 点外没有 解 函数 4 z 1
其他奇点. 根据定理 5.2与规则4: z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C 1 1 = 2iRes f 2 ,0 z z z = 0. = 2iRes , 0 4 1 z
k =1
n
C
Res[ f ( z ), zk ] f ( z )dz = 2i k =1
= 2iRes[ f ( z ), ].
n
(留数定理)
计算积分
C
f ( z )dz
计算无穷远点的留数.
优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)
3.在无穷远点处留数的计算 •规则4
z = 0是p( z )的 三 级 零 点 , 是f (z)的三级极点。
1 z sin z z sin z 由规则2 Re s ,0 = lim " 6 3 z (3 1)! z0 z
若将f ( z )作Laurent级数展开 :
z sinz 1 1 3 1 5 = 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 = 3 3! z 5! z
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] = c1 = f ( z )dz 2i c
( 2)
二、利用留数求积分
1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点
第四章留数定理
第四章 留数定理
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
复变函数中的留数定理及其推导
复变函数中的留数定理及其推导复变函数中的留数定理是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们求解一些非常复杂的积分问题。
在本文中，我们将深入探讨留数定理的本质及其具体推导方法。
一、留数定理的基本概念留数定理是由法国数学家留数（Cauchy）于19世纪初发现的。
它是一种重要的数学工具用于计算复平面上的奇异积分。
在这里，我们先来了解一下什么是“奇异点”。
奇异点是指函数在该点没有定义或不连续的点，如可以取无穷大的点、极点和孤立奇点等。
我们以一个简单的例子来说明：$I=\int_{C}\frac{1}{z-1}dz$其中，C为包围点z=1的任意一条简单闭合曲线。
当C逆时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于无穷大，而当C顺时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于负无穷大。
由此可见，积分$I$的值与曲线C的方向有关，这意味着函数$\frac{1}{z-1}$在点z=1处存在奇异性。
点z=1称为函数$\frac{1}{z-1}$的极点。
对于复系数函数$f(z)$，其在点z0处的留数（Residue）可表示为：$Res[f(z),z0]=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z0}dz$其中，C为包围点z0的任意一条简单闭合曲线，而留数的定义正是以上积分的结果。
二、留数定理的述现在我们来到了本文的重点：留数定理。
若$\Omega$是以平面上一条简单闭曲线为界的区域，则对于任意在$\Omega$上除点z1,z2，... ,zk外解析的函数$f(z)$，有：$\int_{C}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}Res[f(z),zk]$其中，C是一条位于$\Omega$内的任意简单闭曲线，zk是$\Omega$内的孤立奇点（即除极点、可去奇点外的奇异点）。
这就是留数定理的本质。
简单来说，留数定理告诉我们：如果一个复变函数在某些点处存在奇异性，则通过沿着包围这些点的任意简单闭曲线进行积分，积分结果正比于这些奇点处的留数之和。
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另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5
1
1 z5
1
z
1 z4
1 2! z 3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,
Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0
lim
zz0
(
z
z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
个二级极点 z 0和两个一级极点 z i ,
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
z0
esin z
z
2
(cos 1
z
2z
z2
) 1
1
Res[
f2 (z), i]
lim[( z
zi
i)
z
2
esin (z2
C
C
C
0 (柯西积分定理)
2ic1
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
c1
1 2i
C
f (z)dz
f (z)在 z0 的留数 Res[ f (z), z0]
1. 定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
z0的某个去心邻域0 z z0 R内，包含 z0 的
又是函数 z 5 的五级零点.
于是它是 f1(z) 的四级极点, 可用规则 2计算其留数,其中 m 4,为了计算简便 应当取其中 n 5 ,这时有
Res[
f1 ( z ),0]
1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)
1 4!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
Res[
f
(
z),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
.Leabharlann 83.典型例题例1
求
f
(z)
ez zn
在
z
0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
ez zn
,0
(n
1
dn1
1)!
lim
z0
dz
n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
1 4
1 4
0
.
23
例6
计算积分
z2 C z3(z 1)(z 3) dz ,
C为正向圆周 : z 2.
解
被积函数
f
(z)
z3(z
z2 1)(z
3)
除 z 0,
1, 3 点外, 无其他奇点， z 3 在圆外。
z2
所以 C z3(z 1)(z 3) dz
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
sin z6
z
,0
c1
1 5!
.
12
注意: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开Laurent级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那么
Res[f
(z),
z0 ]
lim(z
z z0
z0 )
f
(z).
6
规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值 除
C
以 2i 后所得的数 称为 f (z)在 z0 的留数. (Residue)
记作 Res[ f (z), z0]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
2. 计算留数的一般公式
z n0 (2n 1)!
显然 z0 0 为它的本性奇点,其中 n 0 的项的系
数为 c1 1 ,于是得
Res[sin1 z ,0] c1 1
16
(3) f3(z) z sin2 z, z0 0 .
解：显然 z0 0 是 f3(z) z sin2 z 的一级极点;可是 不能用规则 3求其留数,由规则 1得
2i{Res[ f (z), 0] Res[ f (z), 1]}
24
Res[
f
(
z
),
1]
lim[(
z1
z
1)
z
3
(
z
z
2 1)(z
] 3)
1 2
Res[ f (z), 0] 1 lim[ z 2 ] 1 lim[ 1 1 ] 2 z0 (z 1)(z 3) 4 z0 z 1 z 3
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
f
( z )]
26
5 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。
若 P(z0 ) 0 ，Q(z0)=0且
级极点，且有 Re s f (z),
Q ' ( z0
z0
)P(0z，0 ) 则z0为f(z)
函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含
z-z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得
Re s f (z), z0 0
5
(2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
§5-2 留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
1
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
Q'(z0 )
的一
6 由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
27
第五章作业：P183
1.（1） （2） （6） （7） 8.（1） （2） （4） （7） 9. （1）（2） 13. （1）（3） （5）
28
z
1)
]
i 2
eish1
sin i eii eii 1 e e1 ish1
2i
i2
21
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
Res[
f 2 ( z ),i]
lim [(z
zi
i)
esin z2(z2
z
] 1)
esin z
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6
Res
f
(z),0
(6
1 lim 1)! z0
d5 dz5
z6
z
sin z6
z
1 5!
.
13
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;