复变函数 留数和留数定理讲解
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个二级极点 z 0和两个一级极点 z i ,
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
z0
esin z
z
2
(cos 1
z
2z
z2
) 1
1
Res[
f2 (z), i]
lim[( z
zi
i)
z
2
esin (z2
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
z
1)
]
i 2
eish1
sin i eii eii 1 e e1 ish1
2i
i2
21
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
Res[
f 2 ( z ),i]
lim [(z
zi
i)
esin z2(z2
z
] 1)
esin z
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值 除
C
以 2i 后所得的数 称为 f (z)在 z0 的留数. (Residue)
记作 Res[ f (z), z0]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
2. 计算留数的一般公式
f
( z )]
说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则1可看作 规则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1.
7
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那么 z0 为
f (z) 的一级极点, 且有
z n0 (2n 1)!
显然 z0 0 为它的本性奇点,其中 n 0 的项的系
数为 c1 1 ,于是得
Res[sin1 z ,0] c1 1
16
(3) f3(z) z sin2 z, z0 0 .
解：显然 z0 0 是 f3(z) z sin2 z 的一级极点;可是 不能用规则 3求其留数,由规则 1得
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那么
Res[f
(z),
z0 ]
lim(z
z z0
z0 )
f
(z).
6
规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
10
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
Res[
f
(z),0]
(3
1 lim
§5-2 留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
1
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
1
其中 n 4 的项的系数为 c1 1 4! ,从而也有 Res[ f1(z),0] c1 1 4! .
15
(2)f2 (z) sin(1 z) , z0 0 ;
解： f2(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的 Laurent级数为
sin 1 (1)n z 2n1
Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
又是函数 z 5 的五级零点.
于是它是 f1(z) 的四级极点, 可用规则 2计算其留数,其中 m 4,为了计算简便 应当取其中 n 5 ,这时有
Res[
f1 ( z ),0]
1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)
1 4!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
Res[
f3
(
z),
0]
lim(
z0
z
2
sin2 z)
lim(2 z 2sin z cos z) (L'Hospital法则) z0
1
lim
1
z0 cos 2z
17
二、留数定理
• 留数概念的重要性在于下面的留数定理. 它使 得一些积分的计算变得十分容易.
定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析， 在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外解析， 则有
因此
1 lim[
2 z0 (z
1 1)3
(z
1 3)3 ]
14 27
C
z2 z3(z 1)(z
dz 3)
2i( 14
27
1) 2
i
27
25
小结：留数的计算 Re s f (z), z0 0
1 若z0为函数f(z) 的可去奇点，(负幂项的项数为零 个)，则它在点z0的留数为零.
1 4
1 4
0
.
23
例6
计算积分
z2 C z3(z 1)(z 3) dz ,
C为正向圆周 : z 2.
解
被积函数
f
(z)
z3(z
z2 1)(z
3)
除 z 0,
1, 3 点外, 无其他奇点， z 3 在圆外。
z2
所以 C z3(z 1)(z 3) dz
1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
11
解 如果利用Laurent展开式求 c1 较方便:
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z3 z1 , 3! 5!
Res z
Res[
f
(
z),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
.
8
3.典型例题
例1
求
f
(z)
ez zn
在
z
0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
ez zn
,0
(n
1
dn1
1)!
lim
z0
dz
n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
sin z6
z
,0
c1
1 5!
.
12
注意: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开Laurent级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0
lim
zz0
(
z
z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含
z-z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得
Re s f (z), z0 0
5
(2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
Q'(z0 )
的一
6 由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
27
第五章作业：P183
1.（1） （2） （6） （7） 8.（1） （2） （4） （7） 9. （1）（2） 13. （1）（3） （5）
28
C
C
C
0 (柯西积分定理)
2ic1
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
c1
1 2i
C
f (z)dz
f (z)在 z0 的留数 Res[ f (z), z0]
1. 定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
z0的某个去心邻域0 z z0 R内，包含 z0 的
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6
Res
f
(z),0
(6
1 lim 1)! z0
d5 dz5
z6
z
sin z6
z
1 5!
.
13
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
解：z0 0是函数 e z 1 的一级零点,
在圆周 z 2 的内部 , 所以
C
z
4
z
1
dz
2iRes[ f (z),1] Res[ f (z),1]
Res[ f (z), i] Res[ f (z),i]
由规则3
P(z) Q( z )
z 4z3
1 4z2
,
C
z
4
z
1
dz
2i
1 4
1 4
由Laurent级数展开定理, 定义留数的积分值是f(z)在环
域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
Re s f (z), z0 c1
1
2i
C
f
zdz
(1)若z0为函数f(z) 的可去奇点, (负幂项的项数为零
个), 则它在点z0的留数为零.
注：当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时,若 g 为偶
2i{Res[ f (z), 0] Res[ f (z), 1]}
24
Res[
f
(
z
),
1]
lim[(
z1
z
1)
z
3
(
z
z
2 1)(z
] 3)
1 2
Res[ f (z), 0] 1 lim[ z 2 ] 1 lim[ 1 1 ] 2 z0 (z 1)(z 3) 4 z0 z 1 z 3
n
C f (z)dz 2i Re s f (z), zk k 1
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例4.
计算下列积分(1)
I1
e z dz z 2 z(z 1)2
解：被积函数 f1(z) ez [z(z 1)2 ] 的奇点 z 0 和z 1
都在圆 z 2 的内部,由规则1,2可得以下结果
另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5
1
1 z5
1
z
1 z4
1 2! z 3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
f
( z )]
26
5 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。
若 P(z0 ) 0 ，Q(z0)=0且
级极点，且有 Re s f (z),
Q ' ( z0
z0
)P(0z，0 ) 则z0为f(z)
lim [
zi
z2
(
z
] i)
1 2i
esin(-i)
-i 2
e-ish1
最后由留数定理得积分值为
I2
2i[1
1 2i
(eish1
e-ish1 )]
2i[1 sin(sh1)]
22
例5
计算积分
z
C
z4
1
dz
,
C为正向圆周:
z 2.
解
被积函数 z 有四个一级极点 1 , i 都 z4 1
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
z0
esin z
z
2
(cos 1
z
2z
z2
) 1
1
Res[
f2 (z), i]
lim[( z
zi
i)
z
2
esin (z2
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
z
1)
]
i 2
eish1
sin i eii eii 1 e e1 ish1
2i
i2
21
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
Res[
f 2 ( z ),i]
lim [(z
zi
i)
esin z2(z2
z
] 1)
esin z
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值 除
C
以 2i 后所得的数 称为 f (z)在 z0 的留数. (Residue)
记作 Res[ f (z), z0]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
2. 计算留数的一般公式
f
( z )]
说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则1可看作 规则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1.
7
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那么 z0 为
f (z) 的一级极点, 且有
z n0 (2n 1)!
显然 z0 0 为它的本性奇点,其中 n 0 的项的系
数为 c1 1 ,于是得
Res[sin1 z ,0] c1 1
16
(3) f3(z) z sin2 z, z0 0 .
解：显然 z0 0 是 f3(z) z sin2 z 的一级极点;可是 不能用规则 3求其留数,由规则 1得
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那么
Res[f
(z),
z0 ]
lim(z
z z0
z0 )
f
(z).
6
规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
10
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
Res[
f
(z),0]
(3
1 lim
§5-2 留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
1
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
1
其中 n 4 的项的系数为 c1 1 4! ,从而也有 Res[ f1(z),0] c1 1 4! .
15
(2)f2 (z) sin(1 z) , z0 0 ;
解： f2(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的 Laurent级数为
sin 1 (1)n z 2n1
Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
又是函数 z 5 的五级零点.
于是它是 f1(z) 的四级极点, 可用规则 2计算其留数,其中 m 4,为了计算简便 应当取其中 n 5 ,这时有
Res[
f1 ( z ),0]
1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)
1 4!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
Res[
f3
(
z),
0]
lim(
z0
z
2
sin2 z)
lim(2 z 2sin z cos z) (L'Hospital法则) z0
1
lim
1
z0 cos 2z
17
二、留数定理
• 留数概念的重要性在于下面的留数定理. 它使 得一些积分的计算变得十分容易.
定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析， 在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外解析， 则有
因此
1 lim[
2 z0 (z
1 1)3
(z
1 3)3 ]
14 27
C
z2 z3(z 1)(z
dz 3)
2i( 14
27
1) 2
i
27
25
小结：留数的计算 Re s f (z), z0 0
1 若z0为函数f(z) 的可去奇点，(负幂项的项数为零 个)，则它在点z0的留数为零.
1 4
1 4
0
.
23
例6
计算积分
z2 C z3(z 1)(z 3) dz ,
C为正向圆周 : z 2.
解
被积函数
f
(z)
z3(z
z2 1)(z
3)
除 z 0,
1, 3 点外, 无其他奇点， z 3 在圆外。
z2
所以 C z3(z 1)(z 3) dz
1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
11
解 如果利用Laurent展开式求 c1 较方便:
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z3 z1 , 3! 5!
Res z
Res[
f
(
z),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
.
8
3.典型例题
例1
求
f
(z)
ez zn
在
z
0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
ez zn
,0
(n
1
dn1
1)!
lim
z0
dz
n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
sin z6
z
,0
c1
1 5!
.
12
注意: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开Laurent级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0
lim
zz0
(
z
z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含
z-z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得
Re s f (z), z0 0
5
(2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
Q'(z0 )
的一
6 由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
27
第五章作业：P183
1.（1） （2） （6） （7） 8.（1） （2） （4） （7） 9. （1）（2） 13. （1）（3） （5）
28
C
C
C
0 (柯西积分定理)
2ic1
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
c1
1 2i
C
f (z)dz
f (z)在 z0 的留数 Res[ f (z), z0]
1. 定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
z0的某个去心邻域0 z z0 R内，包含 z0 的
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6
Res
f
(z),0
(6
1 lim 1)! z0
d5 dz5
z6
z
sin z6
z
1 5!
.
13
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
解：z0 0是函数 e z 1 的一级零点,
在圆周 z 2 的内部 , 所以
C
z
4
z
1
dz
2iRes[ f (z),1] Res[ f (z),1]
Res[ f (z), i] Res[ f (z),i]
由规则3
P(z) Q( z )
z 4z3
1 4z2
,
C
z
4
z
1
dz
2i
1 4
1 4
由Laurent级数展开定理, 定义留数的积分值是f(z)在环
域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
Re s f (z), z0 c1
1
2i
C
f
zdz
(1)若z0为函数f(z) 的可去奇点, (负幂项的项数为零
个), 则它在点z0的留数为零.
注：当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时,若 g 为偶
2i{Res[ f (z), 0] Res[ f (z), 1]}
24
Res[
f
(
z
),
1]
lim[(
z1
z
1)
z
3
(
z
z
2 1)(z
] 3)
1 2
Res[ f (z), 0] 1 lim[ z 2 ] 1 lim[ 1 1 ] 2 z0 (z 1)(z 3) 4 z0 z 1 z 3
n
C f (z)dz 2i Re s f (z), zk k 1
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例4.
计算下列积分(1)
I1
e z dz z 2 z(z 1)2
解：被积函数 f1(z) ez [z(z 1)2 ] 的奇点 z 0 和z 1
都在圆 z 2 的内部,由规则1,2可得以下结果
另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5
1
1 z5
1
z
1 z4
1 2! z 3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
f
( z )]
26
5 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。
若 P(z0 ) 0 ，Q(z0)=0且
级极点，且有 Re s f (z),
Q ' ( z0
z0
)P(0z，0 ) 则z0为f(z)
lim [
zi
z2
(
z
] i)
1 2i
esin(-i)
-i 2
e-ish1
最后由留数定理得积分值为
I2
2i[1
1 2i
(eish1
e-ish1 )]
2i[1 sin(sh1)]
22
例5
计算积分
z
C
z4
1
dz
,
C为正向圆周:
z 2.
解
被积函数 z 有四个一级极点 1 , i 都 z4 1