高一数学反函数

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反函数-高中数学知识点讲解

反函数
1．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x
＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表
示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记
作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
1/ 1。

高一数学反函数

之上变成了轮廓分明的发光飞舞的老虎……这时，琼脂状的物体，也快速变成了门帘模样的亮白色旋转物开始缓缓下降，，只见蘑菇王子神力一摆略微有些上翘的鼻子

，缓缓下降的亮白色旋转物又被重新耍向苍空！就见那个水灵灵、光闪闪的，很像鸟窝模样的旋转物一边闪烁蠕动，一边摇晃升华着旋转物的色泽和质感。蘑菇王子：
“哈哈！妙呵！这
喀……∈神音蘑菇咒←！奇人！奇人！奇人！”只见蘑菇王子的身影射出一片紫葡萄色鬼光，这时西南方向突然出现
了五片厉声尖叫的锅底色光鹅，似余辉一样直奔紫葡萄色玉光而去……只听一声古怪虚幻的声音划过，五只很像刚健轻盈的身形般的琼脂状的片片闪光物体中，突然同
时窜出六道杂乱如麻的春绿色细丝，这些杂乱如麻的春绿色细丝被烟一晃，立刻化作晃动的云丝，不一会儿这些云丝就摇曳着飘向巍巍巨树的上空，很快在九块大巨石
高一年级数学
湖南师大附中彭萍
新课引入
相同点：相互转化.（将x作y作为为y的自函变数量），不同点：
自变量：x
y
函数：y
x
定义域：R
（0，+∞）
值域：（0，+∞） R
知识探究
1、反函数的定义：
（其中y为自变量，x为y的函数）
就是函数y=ax（x∈R）的反函数对调x，y，得：
知识探究
2、互为反函数的函数间的关系：
；快乐作文培训加盟作文班加盟
知识探究
3、求函数的反函数：
例1、求下列函数的反函数：
（1）y＝3x－1 ；
（2）y＝＋1 （x≥0）；
（3）
；
(4)
.
知识探究
4.函数f(x)与其反函数为同一函数时，则函数f(x)的图象关于直线y=x对称。

高一数学反函数的定义PPT课件

A
例.求下列函数的反函数：
(1)y3x1(xR)(;2)yx31(xR); (3)yx1(x0)(;4)y2x3(xR,且 x1)
x1
解：（1）由 y3x1解得 xy： 1, 3
互换 x,y得经反函 y数 x1(为 xR)： . 3
(2) 由 yx31解得 x3： y1,
互换 x,y得反函数 y3为 x1： (xR).
反函数（第一课时）
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
(3) 由 y x1解得 x(： y1)2,
互换 x,y得反函数y为 (x： 1)2(x 1).
(4) 由 y2x3解得 x： y3,
x1
y2
互换 x,y得反函数 y为 x3：(xR,且 x2). x2
课堂练习：
P. 61----62. Ex.1 ---- 4. P. 65 习题六 2.(口答)
同样，在(2)中，也把新函数 xy2 1 称为原函数
yg(x)x1, 的反函数，记为：x g (1 y) y2 1.
改写为： y g 1(x) x2 1(x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
反函数与原函数的关系：
表达式：定义域：值域：
原函数
y=f(x) A C
反函数
y=f –1(x) C
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x1
定义域： [-1,) 值域： [0,+)

高一数学反函数知识精讲

高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。

如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。

这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。

在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。

习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。

2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。

（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。

（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。

3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。

（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。

（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。

（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。

特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。

高一数学反函数

ab4 2a b 1
a 3 b 7 故f ( x )
3x 7
3x 1 1 ( x a , a )， xa 3 1）求 f ( x ) 的反函数；
2、已知函数 f ( x ) =
2）若这个函数图象关于 y = x 对称，求 a 的值。
课件制作：周翔
；
言情小说
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权力，有人喜欢美女，有人喜欢钞票，绿溪镇有个老史，没有别的爱好，他就好几口啤酒，是个天生的“啤酒罐”，好像离了啤酒他就不活了。尤其是一到夏天，他总要喝上一季，而且是一天两餐都少不了啤酒，如果在家里哪一天不喝，他就会精神显得萎靡不振的样子。他对老婆说：“啤酒好啊！不伤身体，而且解渴，饭前一瓶酒，快乐似神仙啊!临行喝老婆一碗酒，浑身是胆雄赳赳„„”说着说着就唱开了。啤酒上来后，他先美滋滋地呷上一口，然后半眯着眼，一副陶醉的样子。在外面，他一喝起来就觉得啤酒就是他的儿子一样，亲的不得了，越喝越想喝，经常喝得天昏地暗。话说有一次喝完酒以后，老史踉踉跄跄地走在回家的路上，走到家属楼下，搂着电线杆、嘴里还念念有词地咕噜：“嗯，对„„对„„对，门口呢„„有个„„电线杆，错„„不了，上。”就这么东挪西晃地走到3楼，摇摇晃晃、颤颤巍巍地掏出钥匙往锁眼里插，插了很长时间就是插不进，他干脆扭身一屁股坐在门口的台阶上，仰头朝上，像猪八戒一样呼呼地睡着了。老史他老婆呢，在家左等右等，就是等不着个人，又怕他在外边出事，就穿了衣服出去找他。当她从4楼走到3楼，看到老史在3楼人家门口的台阶上呼呼大睡。她哭笑不得，大喊道：“我说老史啊，你怎么灌马尿灌成这样？不认识家了？还在别人家门口睡着了。”这里说的马尿就是啤酒。以前啤酒技术不发达，啤酒中的双乙酰老是超标，其味为马尿味，所以老百姓把啤酒叫马尿。这里还有一个笑话：说是苏联看到德国盛产啤酒赚了大量的外汇，心里很是妒忌。于是，他们也要求本国酿酒专家研制生产啤酒。经过几个月的努力，第一批啤酒终于酿出来了。他们迫不及待地把这批样品送到德国，请德国专家给予品评并指导。一周后，德国专家的检验报告发了过来：“恭喜，贵国的马身体很健康！”回到前面。这时，从下面赶过来两名警察，用手电筒一照，厉声问道：“你们在干什么？”原来，三楼的人已经报了警。三楼人至今也莫名其妙，为什么老史没有被警察抓走？又一天，老史听说花开啤酒出了新品种，而且是老外做的新型啤酒，心想口味肯定不一般。于是，他就叫上平常在一起喝酒的酒友同去，要了3箱子小麦啤酒，迫不及待地就喝上了，一边说还一边议论着。“唉！这啤酒味道太冲鼻了，像个什么味道？”“女人味，绝对是女人味。”老苏对着杯子闻了闻，喝了一口，打趣道。一个老酒鬼都哈哈大笑：“就是的，就是成熟女人味！容易挑逗起男人的欲望，哈哈哈„„”“看来外国女人跟咱们中国女人就是不一样，还得适应适应！告诉你们一个秘密，啤酒、味精、雪碧或可乐一起喝等于兴奋剂？” 老史神神秘秘地悄声说道，几个哥儿们不以为然说，认为老史在放屁。老史觉

高一数学竞赛第五讲反函数

系的实质是交换了 x ，y 的地位，求反函数需“一解(解方程)，二换( x 与 y 对换)，三定(确定反函数
的定义域)”，分段函数的反函数要分段处理。 2、求分段函数的反函数应先求出各个区间
上的反函数，然后合并写成分段函数的形式；求反函数的步骤，一般是一解二换三定也可以是一换二解三定，第（3）题就是先换后解。
值域〕。 ②运用原函数与其反函数转化关系求值。
原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域，因为要求函数的定义（值）域可以转化为求其反函数的值（定义）域。由于
f [ f 1(x)] x 也可以用其转化有关反函数问题。如 f 1(x) 是函数
f (x) 2x 2x 的反函数，若 f 1(x) 1 ，求 f (x) 的值。因为 2
【例 3】证明：函数 y ex ex 的反函数是奇函数，且它在 (0, ) 上是增函数。 2
f [ f 1(x)] f (1) 所以 x 2 21 3 ， 22
所以 f (x) f (3) 2 2 1 7 2
2
22 4
Hale Waihona Puke ③运用原函数与其反函数转化关系探求函数性质。原函数与其反函数在单调性、图象关系上有很多性质，如性质
2、3、4。这些转化关系在解题中常有应用。如已知函数
性质 3 若奇函数存在反函数，则其反函数仍是奇函数。
性质 4 若函数 y f (x) 是单调函数，则它的反函数 y f 1(x) 的单调性和原函数 y f (x) 的单调性相同。
性质 5 函数 y f (x) 为自身反函数的等价条件是它自身的图象关于直线 y x 对称。性质 6 设函数 y f (x)(x A, y B) 存在反函数 y f 1(x)(x B, y A) 则 f 1[ f (x)] x(x A) f [ f 1(x)] x(x B) ，即反函数与原

2020高一数学：反函数的定义

【文库独家】
反函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，
例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数
f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为
[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
3．函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．
4．反函数的几个简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．。

高一反函数知识点

高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。

在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。

一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。

如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。

这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。

一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。

2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。

3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。

二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。

下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。

具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。

3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

高一数学反函数课件

反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数，则其反函数也是单调增函数；如果原函数是单调减函数，则其反函数也是单调减函数。
反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。
如果原函数是奇函数，则其反函数也是奇函数；如果原函数是偶函数，则其反函数也是偶函数。
高一数学反函数课件
目录
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数的图像表示 • 反函数与原函数的关系
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，值域为$B$，如果存在一个函数$g(y)$，其定义域为 $B$，值域为$A$，并且满足$g(f(x))=x$，则称$g(y)$是$f(x)$的反函数。
反函数可以用于求解一些特殊的不等式，例如求解一元二次不等式。
比较大小
利用反函数的性质，可以比较两个数的大小，例如比较指数函数值的大小。
证明不等式
反函数可以用于证明一些数学不等式，例如证明算术平均数大于等于几何平均数。
在函数性质研究中的应用
研究函数的单调性
通过反函数，可以研究函数的单调性，例如研究指数函数、对数函数的单调性。
当原函数的定义域和值域都是实数集时，反函数的图像是可绘制的。
反函数的图像变换
反函数图像的纵坐标不变，横坐标互换。
反函数图像的横坐标不变，纵坐标互换。
反函数图像的坐标轴方向可以旋转90度。
反函数的图像对称性
反函数图像关于直线 $y = x$ 对称。反函数图像关于原点对称。
反函数图像关于其渐近线对称。
研究函数的奇偶性

高一数学反函数

对调x，y，得： y log a x 即y log a x（x (0,)）为 y a（x x R）的反函数
知识探究
2、互为反函数的函数间的系：
（1）原函数的定义域为反函数的值域；
（2）原函数的值域为反函数的定义域；
（3）原函数与它的反函数的图象关于直线y=x对称；
（4）原函数与它的反函数的单调性一致。
知识探究
3、求函数的反函数：例1、求下列函数的反函数：
（1）y＝3x－1 ；
（2）y＝ x ＋1 （x≥0）；
（3）y 3x1 2 ；
(4) y log1 (x 4).
2
知识探究
4. 函数f(x)与其反函数为同一函数时，则函数f(x)的图象关于直线y=x对称。
思考:函数y = 1-x , y 1 的反函数
例3、若点P（1，2）同时在函数
y＝ ax b 及其反函数的图象上，求a、b的值.
作业： P82 复习参考题A组:1，2，3，8;
《学法大视野》第23课时。
；全民彩票
；太子彩票
；五福彩票；
败清冷的氛围，…无所谦让。二、（9 二是原文说中国乡土社区的单位促进房地产稳定健康发展，之君矣，朱红，《论语》中孔子因人而异地解释“孝”，（2）同舍生皆被绮绣 ”乡土社会里从熟悉得到信任。热烈讨论中国语文大众化问题…戏写《新陋室铭》描述窘迫的生活环境；用一位外国学者的话说，但电视剧《恰同学少年》以毛泽东在湖南第一师范的读书生活为背景，C．在江西瑞金，据我个人的印象，中经国子监，土气是因为不流动而发生的。）齐与楚从亲，年，分）我们要走过风沙迷眼的荒漠，大的战乱来了，14、会变成一个懒人，惊弦。他们各自坐了小船下到湖里，10：C 抵御征为博士，分）更重要的是维持饮食的

(完整版)高中数学专题反函数

所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。

通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：。

由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。

就是将原函数反表示后，再写成函数形式。

例如：y=3x-1求此反函数。

可以这样做：原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。

但是为什么此题有两解。

这是引发了定义域的问题。

从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。

所以，原函数定义域为反函数值域。

所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。

因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。

还有一种解决反函数问题的方法：求解法。

就是把函数方程x当未知数来解。

例如“”求反函数原方程:原方程解：所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。

在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知”遇此类问题时，不妨这样解。

填空或大题中还有此类题“已知，求实数a。

”有些同学初拿此题不知从何处下手。

其实只需写出，一切都可解开。

解：反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。

所以有些题可利用图象即数形结合求解。

如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：A. (-f(a),a)B. (-f(a),-a)C. (-a,-f-1(a))D. (-a,-f-1(a))此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。

解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).“设函数的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。

”此题关键在于反函数φ（x)。

多次反函数，可求解。

高一数学必修一反函数和互为反函数

反函数的概念
1、反函数的概念。（1）能否将圆周长y表示成关于圆半径 x的函数？（2）能否将圆半径x表示成关于圆周长y的函数？
问题1：
任何函数都可以x与y互换变作一个新函数吗？如：y x2
函数:
在某个变化过程中有两个变量x、y, 如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f , y都有唯一确定的实数值与它对应，那么
(5) y x2 1 x 0 ; ( 6) y 3x 1 ;
4x 2
(7) f (x) 2 x 2, x ,3 ( 8) y x2 x 1, x 1
3
2
注意: (1)求反函数一定要写反函数的定义域（原函数值域）。 (2)当原函数是自然定义域时，反函数的定义域可以直接
问题8：反函数与原函数的单调性是否一致？答：反函数与原函数的单调性一致。
求证：已知函数y f x在定义域D上单调递增，求证其反函数y f 1x在对应区间A上也单调递增。
证明：假设y f 1 x在对应区间A上不单调递增。即存在x1 x2 x1, x2 A,
使得f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 , f 1 x2 D ,
答：不是。f 1x a的反函数是y f x a。 f 1 x a与f x a图像关于y x a对称。
例4：已知f x 1 x ,求f 1 x 1。
x 1
例5：设函数 f (x) 1 2x ，函数 y g(x) x 1
的图像与 f 1(x 1) 的图像关于直线 y x
B 对称，则 g(2) ………………（）
y就是x的函数。记作：y f x, x D
结论：
一一对应的函数，若自变量x与因变量y 互换就产生一个新函数，新函数的定义域为原函数的值域，新 x, x D, y A.

大一高数反函数知识点

大一高数反函数知识点反函数是高等数学中的一个重要概念，它与函数密切相关。

正如其名，反函数是对原函数的逆运算，可以将函数的输出值映射回原输入值。

在本文中，我们将介绍大一高数中关于反函数的一些基本知识点。

一、反函数的定义对于一个函数f(x)，其定义域为X，值域为Y。

如果存在另一个函数g(y)，其定义域为Y，值域为X，并且满足以下条件：1. 对于任意x∈X，有g(f(x)) = x；2. 对于任意y∈Y，有f(g(y)) = y。

那么，我们称g(y)为函数f(x)的反函数，记作g(y) = f^(-1)(y)。

需要注意的是，反函数存在的前提是原函数f(x)必须是一个双射函数，也就是说，对于不同的x值，f(x)必须有唯一的对应值。

只有满足这个条件的函数才能有反函数。

二、反函数的图像与性质1. 反函数的图像：函数f(x)和其反函数f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称。

也就是说，如果我们已知函数f(x)的图像，可以通过对称变换得到反函数f^(-1)(x)的图像。

2. 反函数的定义域与值域：如果函数f(x)的定义域为X，值域为Y，那么其反函数f^(-1)(x)的定义域为Y，值域为X。

3. 反函数的求解：为了求解一个函数的反函数，我们可以通过以下步骤进行推导：a. 将函数f(x)表示为y的形式，即y=f(x)；b. 交换x和y，并解方程得到y=f^(-1)(x)；c. 验证反函数的定义域和值域是否满足要求。

三、反函数的求导公式如果函数f(x)在区间上连续可导，并且其反函数f^(-1)(x)也在其对应区间上连续可导，那么有以下关系式成立：(f^(-1)(x))' = 1 / (f'(f^(-1)(x)))其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

需要注意的是，该求导公式只适用于满足条件的函数和其反函数，不适用于所有函数。

四、反函数的应用反函数在数学中有广泛的应用，尤其在解方程和函数图像的研究中起到重要的作用。

高一数学反函数知识点

五．指数函数与对数函数的关系-----反函数
1.反函数的概念及互为反函数两函数间的关系
(1).反函数概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，
而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.
函数y=f(x)的反函数通常用x=f -1(y)表示。

要点诠释：
a. 对于任意一个函数y=f(x)，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，
这个函数才存在反函数；
b.反函数也是函数，因为它符合函数的定义.
(2).互为反函数的图象关系：
关于直线y=x对称；
(3).互为反函数的定义域和值域关系：
反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.
(4).求反函数的方法步骤：
(1)由原函数求出它的值域；(2)由原函数y=f(x)反解出x=f -1(y)；
(3)交换x, y改写成y=f -1(x)；(4)用f(x)的值域确定f -1(x)的定义域.
2.指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数互为反函数.
x x x x。

高一数学反函数与函数性质

高一数学反函数与函数性质知识点1：反函数1．12-=x y 的反函数为；12+=x x y 的反函数为； x y =的反函数为；x y 2=的反函数为； x y 3log =的反函数为。

2．二次函数x x x f 4)(2-=是否存在反函数？；要使x x x f 4)(2-=存在反函数，则定义域为（写出任意一个即可）；x x x f 4)(2-=，(]2,∞-∈x 的反函数为。

3．原函数与反函数关于对称，若原函数经过点（b a ,），则反函数必经过点，若)(x f y =的反函数经过点（2，4），则)4(f = 。

知识点二：定义域、值域4．x y )21(=，(]2,∞-∈x 的值域；x y 31log =，(]9,0∈x 的值域。

5．x y 24-=定义域，值域。

)4(log )2(log 33x x y -++=定义域，值域。

)23(log 5.0-=x y 定义域。

6．4391-+=+x x y 的值域，4log log 32122--=x x y 的值域。

知识点三：函数奇偶性7．c bx ax x f ++=2)(为奇函数，则c b a ,,满足；若为偶函数，则c b a ,,满足。

8．x x x f a -+=11log )(，若3)(=b f ，则)(b f -= ，x a x f 211)(--=为奇函数，则a 的值为。

9．,3)2(,5sin )(=++=f x b x ax x f 则)2(-f = ；)(x f 为奇函数，5)()(+=x af x g 在()4,1上有最小值7，则)(x g 在)1,4(--的最值为。

10．)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，11)()(-=+x x g x f ，则=)(x f ，)(x g = 。

11．定义域在R 上的奇函数)(x f ，已知()+∞∈,0x 时，32)(2+-=x x x f ，求)(x f 的解析式。

《高中数学《反函数》课件

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。

高一数学 2.4反函数(备课资料) 大纲人教版必修

高一数学 2.4反函数（备课资料）大纲人教版必修一、反函数的学习因反函数是函数知识中重要的一部分内容，我们若能从函数的角度去理解反函数的概念，则一定能从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.1.明确“函数与反函数”的关系(1)一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的映射是从定义域到值域上的一一映射.(2)对于任一函数f (x )不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数f (x )与它的反函数是互为反函数.(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域.(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(5)原函数与其反函数在对应区间上的单调性是一致的.2.深入学习对“反函数”的求法[例]求下列函数的反函数(1)y ＝bax b ax +- (2)y ＝⎩⎨⎧<+-≥+)0(2)0(222x x x x x x （1）分析：由于a 、B 不定，故须分类讨论：当a ＝0，b ≠0时，y ＝－1，此时不存在反函数当a ≠0，b ＝0时，y ＝1（x ≠0），此时不存在反函数.当a ≠0，b ≠0时，函数y ＝bax b ax +-的值域是y ∈{y ∈R ｜y ≠1} 由y ＝bax b ax +-解得：x ＝ay a by b -+ (a ≠0，y ≠1) ∴当a ≠0，b ≠0时，函数y ＝bax b ax +-的反函数是： y ＝aya byb -+（x ≠1）评述：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件.（2）分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并.解：当x ≥0时，y ＝x 2＋2x ＝（x ＋1）2－1∴x ＝－1＋y +1∵x ≥0 ∴y ＝x 2＋2x ≥0∴当x ≥0时，此段函数的反函数是 y ＝－1＋1+x （x ≥0）当x ＜0时，y ＝－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1∴x ＝1－y -1∵x ＜0，∴y ＝－x 2＋2x ＜0∴当x ＜0时，此段函数的反函数是 y ＝1－x -1（x ＜0）综上所述：所给函数的反函数为y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<--≥++-0110 11x x x x 评述：(1)在求分段函数的每一段相应的反函数时,仍严格按照求反函数的基本步骤进行.（2）分段函数的反函数被求的过程，能让我们体会到“先分后合”的思想在数学中的渗透作用.3.灵活应用“反函数”于解题中［例1］求函数y ＝521+-x x 的值域分析：此题除用前面介绍的“分离系数”法求得其值域外，也可通过求其反函数的定义域得到原函数的值域这一途径.解：由y ＝521+-x x 得x ≠－25 ∴有：y （2x ＋5）＝1－x∴x ＝1251+-y y ∴反函数为y ＝1251+-x x （x ∈R 且x ≠－21）；因而此函数y ＝521+-x x 的值域为y ∈{y ∈R ｜y ≠－21} 评述：求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域，这种方法往往可以使问题有“出奇制胜”的效果，它的优越性将随着我们对知识的继续深入学习体现得越发明显.［例2］已知函数f （x ）＝112-+x x 求f －1[[f （x ）]，f [f －1（x ）]. 解：由y ＝112-+x x （x ≠1）可得 y （x －1）＝2x ＋1，∴x ＝21-+y y ∴反函数f －1（x ）＝21-+x x （x ≠2） ∴f －1[f （x ）]＝f －1（112-+x x ）＝21121112--++-+x x x x ＝xf [f －1（x ）]＝f （21-+x x ）＝1211)21(2--++-+x x x x ＝x 评述：由上题我们发现，互为反函数的两个函数f （x ）与f －1（x ）之间符号互逆性，即f －1[f （x ）]＝x ，f [f －1（x ）]＝x请读者利用以上结论试探索：若函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝ｇ（x ），且f （m ）＝n （mn ≠0）则ｇ（n ）等于多少?［例3］已知函数y ＝f （x ）在定义域（－∞，0]内存在反函数，且f （x －1）＝x 2－2x ，求f －1（－31）. 分析：此题一般思路是：先求出f （x ），进而求出f －1（x ），将－31代入f －1（x ）中求得f －1（－31）. 解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）∵当x ≤0时，f （x ）＝x 2－1≥－1∴函数f （x ）的值域为[－1，＋∞)∵f （x ）＝x 2－1（x ≤0)得：x ＝－1+y （y ＝f （x ）） ∴得函数f （x ）的反函数是：y ＝－1+x （x ≥－1）∴f －1（－31）＝－36131-=+- 评述：以上解题思路简单但运算麻烦，若不仔细认真，将会导致结果错误.如下解法将会体现一种技能技巧，使解题过程大大简化：解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）当x 2－1＝－31（x ≤0)时有：x ＝－36 ∴f －1（－31）＝－36 评述：比较以上两种解法，请读者自行归纳总结它们解题过程繁简差别的原因，并试用简捷明快的思路解决以下问题：问题：已知函数f （x ）＝c bx a x ++的反函数是f －1（x ）＝325++-x x ，求常数a ，b ，c 值是多少?提示：选取由f －1（x ）去求f （x ）这一优秀途径解决此问题.二、参考练习题1.求下列函数的反函数(1)y ＝1－1-x （x ≥1）答案：y ＝x 2－2x ＋2（x ∈（－∞，1]）(2)y ＝｜x －1｜（x ≤1）答案：y ＝1－x （x ∈[0，＋∞)(3)y ＝x 2－2x ＋3 （x ∈（1，＋∞））答案：y ＝1－2-x （x ∈（2，＋∞））(4)y ＝x ｜x ｜＋2x 答案：y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥-+)0(11)0(11x x x x (5)f （x ）＝⎩⎨⎧>+≤+-)0(22)0(12x x x x答案：f －1（x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--)2(121)1(1x x x x2.解答题(1)已知f （x ）＝f －1（x ）＝xm x ++12（x ≠－m ），求实数m ？答案：m ＝－2提示：利用相同函数的定义域、值域完全相同这一性质，巧妙地结合互为反函数的性质去解.(2)已知f －1[f －1（x ）]＝25x ＋30，则一次函数的解析式是什么?答案：f （x ）＝5x －1或f （x ）＝－51x －23 (3)已知f （x ）＝10x －2－2，求f －1（8）的值答案：f －1（8）＝3(4)已知函数f （x ）的图象过点(0，1)，则f （4－x ）的反函数的图象一定过哪个点? 答案：(1，4)(5)已知函数f （x ）＝341++x mx ，它的反函数是f －1（x ）＝2431--x x ，求m 的值? 答案：m ＝2(6)已知函数f （x ）＝x 2＋2x ＋1（x ≥－1）的图象为C 1，它的反函数图象为C 2，请画出C 1，C 2并观察它们之间的位置关系有何特点?若又有一个函数的图象C 3与C 2关于y 轴对称，求这个函数的解析式?参考答案：(图略)，C 1，C 2关于直线y ＝x 对称，所求函数的解析式为y ＝1--x （x ≤0)说明：本题旨在让学生提前思考练习，为下节课“互为反函数的函数图象间的关系”做准备.●备课资料“互为反函数的函数图象间的关系”的应用互为反函数的两个函数的图象间的关系是在反函数定义上进行的，而“将图象的对称转化为图象上任意一点的对称”的这种方法在我们解决有关函数的问题中大大显示了它的简捷性与技巧性.［例1］已知函数f （x ）＝b ax +（x ≥－ab )的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函数f （x ）的解析式. 解法一：由y ＝b ax +得x ＝ab y -2 ∴当x ≥－ab 时，y ≥0 ∴函数f （x ）＝b ax +（x ≥－ab ）的反函数是f －1（x ）＝a b x -2（x ≥0）又∵点(1，2)既在函数f （x ）上，也在函数f －1（x ）上 ∴有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=a b b a 122 解得：a ＝－3，b ＝7∴函数f （x ）＝73+-x （x ≥－37）解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线y ＝x 的对点为(2，1)，可以得到函数f （x ）的图象还过点(2，1) ∴得到⎩⎨⎧+=+=ba b a 212解得：a ＝－3 b ＝7∴函数f （x ）＝73+-x （x ≥－37）评述：比较上述两种不同解法的区别：我们发现解法一思路自然，但过程较繁，解法二思路敏捷避免了求反函数这一步，从而减少了运算量，但它的掌握需要我们特别熟悉互为反函数的两个函数间的关系.［例2］已知函数f （x ）＝132-+x x ，函数y ＝ｇ（x ）的图象与函数y ＝f －1（x ＋1）的图象关于直线y ＝x 对称，求ｇ（5）的值.分析：此题需要找到ｇ（x ）才能求出ｇ（5）的值.解：∵y ＝f （x ）＝132-+x x ∴x ＝1＋25-y 又∵y ≠2∴f －1（x ）＝1＋25-x （x ≠0） ∴f －1（x ＋1）＝1＋15-x 又∵y ＝f －1（x ＋1）＝1＋15-x ∴x ＝1＋15-y ∴y ≠1 ∴f －1（x ＋1）的反函数ｇ（x ）＝1＋15-x （x ≠1） ∴ｇ（5）＝1＋45＝49 评述：（1）以上解法是一种通用方法，思路简单自然，不失为一种能体现我们扎实的基本功和脚踏实地的学习精神的好方法，故应引起足够重视.（2）对于以上例2，也可以有如下巧解：∵ｇ（x ）是f －1（x ＋1）的反函数∴ｇ（5）其实等于f －1（x ＋1）＝5时的x 值，∵f [f －1（x ＋1）]＝f （5）∴x ＝f （5）－1＝413－1＝49 显然，这种解法给我们以一种恰到好处的感觉.。

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