上海海事大学高数A-B卷试题 答案

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上海海事大学1213数值分析试A卷答案

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上海海事大学2012---2013学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A (答案)学生姓名: 学号: 专业:1. 利用Seidel 迭代法求解Ax=b 时,其迭代矩阵是))-1s U L D B -=(; 当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时,Seidel 迭代法收敛 。

7. 反幂法是求可逆矩阵按模最小 特征值和特征向量的计算方法. 6. QR 法是计算 非奇异矩阵的 所有 特征值和特征向量的计算方法 1. 利用Jacobi 迭代法求解Ax=b 时,其迭代矩阵是)(1U L D B J +=-;当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时,Jacobi 迭代法收敛 。

2. 对于求解Ax=b ,如果右端有b δ的扰动存在而引起解的误差为x δ,则相对误差≤xxδ bbA Cond δ)(3. 幂法是求矩阵 按模最大 特征值和特征向量的计算方法.Jacobi 法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法 六.设方程组Ax=b 有唯一解*x ,其等价变形构造的迭代格式为f Bx x k k +=+)()1(,如矩阵谱半径1)(>B ρ,但B 有一个特征值满足1<λ,求证:存在初始向量)0(x ,使得迭代产生的序列{})(x x 收敛于*x 。

(7分)证明: 由f Bx x k k +=+)()1(,f Bx x +=**()()*)0(1k *)(*)1(---x x B x x B x xk k ++== 对于B 的一个特征值满足1<λ,特征向量设为y ,,,11y y B y By k k ++==λλ故取初始向量y x x +=*)0(,有()y y B x x B x x k k 11k *)0(1k *)1(--++++===λ∞→→==+++k yy x xk k k ,0-11*)1(λλ,所以{})(x x 收敛于*x八.给定函数函数)(x f ,对于一切x ,存在)(x f ',且M x f m ≤'≤<)(0, 证明对于范围M20<<λ内的任意定数λ,迭代过程)(-1k k k x f x x λ=+均收敛于0)(=x f 的根。

上海海事大学0809数值分析试A卷答案

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上海海事大学2021---2021学年第2学期研究生 数值分析 课程考试试卷A 〔答案〕学生姓名: 学号: 专业:一.填空题〔每小格4分〕1.设,1032)(346++-=x x x x f 那么差商=]3,...,3,3[610f 2=]3,...3,3[710f 02.区间[a,b ]上的三次样条插值函数S(x )在[a,b ]上具有直到 2阶导数的 连续函数。

3.插值型数值求积公式的求积系数的表达式为i A =⎰bai dx x l )(那么=∑=ni i A 0b-a4.非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根*x 附近具有 2 阶的收敛速度。

5.f (1)=1,f (2)=4,f (3)=7,那么f [1,2]= 3 ,f [1,2,3]= 06 Jacobi 方法是求解 对称 矩阵的全部特征值和特征向量的计算方法.7.用松弛迭代法求解方程组时,松弛因子必须在[0,2]范围内 . 二.如何对方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7871-1-9901-081-321x x x 进展调整,使得用高斯-赛德尔迭代求解时收敛。

又如取初始向量为T x )0,0,0()0(=,用该方法求近似解)1(+k x ,使得3)()1(10-∞+≤-k k x x 。

〔8分〕解答:调整第一及第三方程,既可得对角占优系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛877901-081-1-1-9321x x x ,所以迭代收敛。

得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9753.09722.07778.0)1(x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9994.09993.09942.0)2(x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9999.09999.09999.0)3(x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000.10000.10000.1)4(x 因为3)3()4(100001.0-∞≤=-x x ,所以最后结果:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000.10000.10000.1)4(x 三.求()x e =x f 在[0,1]上的一次最正确一致逼近多项式。

《高等数学》考试试卷A卷及答案解析

《高等数学》考试试卷A卷及答案解析

《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一.填空题(共24分,每小题3分)1.设函数x y z =,则__________________________=dz .2.方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=,则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=,t y cos 1-=,2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序,得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ,则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题(共12分,每小题3分)1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ,则λ=( ).(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的( ). (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向,则下列曲线积分不等于零的是( ).(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是( ).(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题:(共59分)1.(7分)求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. (7分)设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中()v u f ,具有二阶连续偏导数,求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3.(7分)计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2,其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4.(7分)将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数,并写出可展区间5.(7分)计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰,其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. (8分) 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7. (8分)计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8.(8分)利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四.(5分)设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明:级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题(共24分,每小题3分) 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题(共12分,每小题3分) 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题(共64分) 1. (7分)解: 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ,⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=,2=xy f ,2-=yy f 4 分 在(0,0)处, 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC , ∴(0,0)为非极值点. 5 分在(2,2)处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.(7分) 解:2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. (7分) 解:⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. (7分)解:1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.(7分)解::1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.(8分)解 (1)先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ,21=r ,12=rx x e c e c Y 221+= 3 分(2)求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根,故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(,则b ax x Q +='2)(,a x Q 2)(=''将)(x Q ',)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a , 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a , x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.(8分) 解:⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. (8分) 解:由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.(5分)解:对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理,有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

高等数学A(二)(商船)期末考卷及解答海大

高等数学A(二)(商船)期末考卷及解答海大

⾼等数学A(⼆)(商船)期末考卷及解答海⼤⾼等数学A (⼆)试卷(商船)⼀、单项选择题(在每个⼩题四个备选答案中选出⼀个正确答案,填在题末的括号中)(本⼤题分4⼩题, 每⼩题3分, 共12分)1、设Ω为正⽅体0≤x ≤1;0≤y ≤1;0≤z ≤1.f (x ,y ,z )为Ω上有界函数。

若,则答 ( )(A) f (x ,y ,z )在Ω上可积 (B) f (x ,y ,z )在Ω上不⼀定可积 (C) 因为f 有界,所以I =0 (D) f (x ,y ,z )在Ω上必不可积 2、设C 为从A (0,0)到B (4,3)的直线段,则( )3、微分⽅程''+=y y x x cos 2的⼀个特解应具有形式答:()(A )()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 (B )()cos Ax Bx x 22+ (C )A x B x cos sin 22+(D )()cos Ax B x +2 4、设u x x y=+arcsin22则u x= 答()(A)x x y22+ (B)-+y x y22(C) y x y22+ (D) -+x x y22⼆、填空题(将正确答案填在横线上) (本⼤题分3⼩题, 每⼩题3分, 共9分)1、设f x x x x (),,=-<≤---<02220ππππ,已知S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数,则S 94π??=______ 。

2、设f (x ,y ,z )在有界闭区域Ω上可积,Ω=Ω1∪Ω2,,则 I =f (x ,y ,z )d v =f (x ,y ,z )d v +___________________。

3、若级数为2121n nn -=∞∑,其和是_____ 。

三、解答下列各题(本⼤题5分)设函数f (x ,y ,z )=xy +yz +zx -x -y -z +6,问在点P (3,4,0)处沿怎样的⽅向 l ,f 的变化率最⼤?并求此最⼤的变化率四、解答下列各题(本⼤题共5⼩题,总计30分) 1、(本⼩题5分)计算y z z x z x x y y x y z d d )(d d )(d d )(-+-+-??∑,其中光滑曲⾯∑围成的Ω的体积为V 。

高等数学A(二)B期末考卷及解答海大

高等数学A(二)B期末考卷及解答海大

高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题(每题1分,共5分)1. 设函数f(x)在x=0处可导,且f'(0)=2,则下列选项中正确的是()A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且满足0≤f(x)≤1,则下列选项中正确的是()A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=3,则下列选项中正确的是()A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0),则下列选项中正确的是()A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导,且f'(x)>0,则下列选项中正确的是()A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题(每题1分,共5分)1. 函数f(x)在x=0处可导,则f(x)在x=0处连续。

()2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导,则f(x)在[a,b]上一定连续。

()3. 矩阵A的行列式为0,则A不可逆。

()4. 二重积分的值与积分次序无关。

()5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f'(x)>0。

()三、填空题(每题1分,共5分)1. 设函数f(x)=x^33x,则f'(x)=______。

高等数学试卷与答案 第一学期期末考试 上海海事大学 高等数学A船(A)

高等数学试卷与答案 第一学期期末考试 上海海事大学    高等数学A船(A)

上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第一学期期末考试 《 高等数学A (船) 》(A 卷)班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 2、设F (x)=⎰-x adt t f a x x )(2,其中)(x f 为连续函数,则)(lim x F a x →等于( )(A )、2a (B)、 )(2a f a (C)、 0 (D)、 不存在3、 已知函数)(x f 在1=x 处可导,且导数为2,则 =--→xf x f x 2)1()31(lim0 ( )(A )3 (B) -3 (C )-6 (D )64、xx x ee 1011lim+-→的极限为 ( )(A )1 (B) -1 (C) 1或 -1 (D )不存在 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、____________2lim 20的值等于-+-→x xx e e x 2、__________________)sin (cos 2 •232⎰=+ππ-•dx x x --------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------23、=-+∞→xx x x )1212(lim 4、已知当x x x sin 0-→时,与3ax 是等价无穷小,则=a 三 计算题(必须有解题过程)(本大题分11小题,每小题5分,共55分) 1、(本小题5分))2(lim 2x x x x -++∞→ 计算极限2、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=10111arctan )1()(2x x x x x f 研究f (x )的连续性。

高等数学A(二)2022-2022(A)试卷及解答

高等数学A(二)2022-2022(A)试卷及解答

高等数学A(二)2022-2022(A)试卷及解答--------------------------------------------------------------------------------------上海海事大学试卷2022—2022学年第二学期期末考试《高等数学A(二)》(A卷)(本次考试不能使用计算器)班级学号姓名总分题目得分阅卷人一二12345678910四一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)(本大题分3小题,每小题4分,共12分)某y1、函数f(某,y)某2y20装订(某,y)(0,0)(某,y)(0,0)在点(0,0)处()线------------------------------------------------------------------------------------(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C)连续但不可导;(D)可导但不连续.2、函数z某2y在点(3,5)沿各方向的方向导数的最大值为()(A)3;(B)0;(C)5;(D)23、设Ω是由3某2+y2=z,z=1-某2所围的有界闭区域,且f(某,y,z)在Ω上连续,则f(某,y,z)dv()dy1某23某2y2(A)2d某(C)12014某20f(某,y,z)dz(B)dz01某某dyzy23zy23f(某,y,z)d某111y2dy21y22d某1某23某2y2f(某,y,z)dz(D)d某121214某214某2dy3某2y21某2f(某,y,z)dz第1页共8页二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分3小题,每小题4分,共12分)1、设函数zz(某,y)由方程zez某y所确定,则dz2、微分方程yye某的通解为0,某2,已知S(某)是f(某)的以2为周期的3、设f(某)某,某022正弦级数展开式的和函数,则S9=4三计算题(必须有解题过程)(本大题分10小题,共70分)1、(本小题7分)z2z设zarcin(某0),求,22某某y某yy2、(本小题7分)计算二重积分ID1in2(某y)d某dy,D:0某2,0y23、(本小题7分)判别下列级数的敛散性,并说明绝对收敛还是条件收敛。

高等数学A(一)2021-2022(A)

高等数学A(一)2021-2022(A)

第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2012 — 2021 学年第一学期期末考试《 高等数学A (一)》(A 卷) (本次考试不能使用计算器)班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、x x x x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-+++∞→lim 极限的值为( )(A) 0 ; (B) ∞; (C) 4 ; (D)41 2、xx xx 2)4(lim +∞→的值为( ) (A) 1 ; (B) ∞; (C) 8e ; (D) e3、1→x 时,与无穷小x -1等价的是( ) (A)()3121x - ; (B) ()x -121 ; (C) ()2121x - ; (D) x -1.4、 已知xe xf x x f x x x f y --='+''=1))((3)()(2满足对一切实数;若对)(x f 在某一点00≠x 为驻点,则下列正确的是( ) (A) )(0x f 为极大; (B) )(0x f 为极小;(C) )(0x f 为非极值; (D) )(0x f 为极大值或极小与0x 的正负有关--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、=+++++∞→4333321limn n n 2、=-+-+∞→)2(lim 112xxx ee x3、已知广义积分⎰∞+∞-dx exk =1,则k=4、=-+⎰-33239)4(dx x x ____三 计算题(必须有解题过程,否则不给分) (本大题分10小题,每题6分,共 60分)1、型.的间断点,并判定其类确定)1(sin )(-=x x xx f π.及求且不为零存在所确定由方程组、设22,)()()()()(2dxyd dx dy t f t f t t f y t f x x y y ''⎩⎨⎧'-='==第 3 页 共 6 页3、设 )(x f =x x -2⎰⎰+120)(2)(dx x f dx x f , 求 )(x f 在1=x 处的切线方程4、.4d 22⎰-x xx 求5、求处可导在 ,,已知 ,1 11)(21=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=⎰x x b x •••x dt te x f x at b a ,第 4 页 共 6 页6、y xyx y x y y '+==求所确定由方程设,ln )(。

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高等数学A (一)B 试卷
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
[][][]上的定积分,.在 差上的积分与一个常数之,.在 .一个原函数
.原函数一般表示式 的
是,则 连续,,在、设b a D b a C B A x f x F b x a t x f x F b a x f b x
)( )()( )()()()(d )()()(1≤-≤=⎰
-
(
)
.
11
)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 2222
2C x D C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则、设 (
)
2
112212121)()()()()(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s b
a ---+=⎰ 则如图表示的面积和、
123)30(01343. . . . )内的实根的个数为( ,在、方程D C B A x x =+-
()
4
)(2)(1)(0)()cos 1)x 1ln(x 522
2
2 (、 D C B A dx x ⎰-=-+++π
π
二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分2小题, 每小题5分, 共10分)
1、.________________ln cot ln lim
的值等于x
x
x +→
2、已知
是的一个原函数cos (),x x
f x =⋅⎰x x x x f d cos )(则___________.
三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
在求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线⎩
⎨⎧=-=--+0100
52:1z z y x l
垂直的直线方程。

四、解答下列各题
(本大题共3小题,总计18分) 1、(本小题6分)

.d )(ln 2
x x 求 
2、(本小题6分)

求⎰-1
0221dx x x
3、(本小题6分)
设非零向量,满足25235b +⊥-+⊥-,求(,)∧。

五、解答下列各题
(本大题共2小题,总计13分) 1、(本小题7分)
).0()()1,0(:),()1()(,]1,0[)(00ϕ='∈ϕ-=ϕx f x x x x f x 使存在求证可导在设
2、(本小题6分)
的微分关于试求确定了函数 设参数方程x y x y y t
e y t
t x t
),(cos sin 2
=⎪⎩⎪⎨⎧=+=。

六、解答下列各题
(本大题共2小题,总计15分) 1、(本小题7分)
.12cos 22所围成公共部分面积和求由双纽线==r r θ
2、(本小题8分)
才使表面积最小。

问各边长为多少时关系:其底边成其体积为的无盖的箱子欲做一个底面为长方形,,
2136,3cm
七、解答下列各题
(本大题共2小题,总计15分) 1、(本小题7分)
求的间断点并判定其类型.f x e e x
x
()=
++2332
11
2、(本小题8分)
y y x x e x y y y '+=-=求所确定由设 ,)ln()(
八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
的极值点
是不是试判定且适合:的某邻域内有三阶导数在设)(,0)(,0)( , 0)(,)(00000x f x x f x f x f x x f >'
''=''='
高等数学A (一)B 试卷(答案)
注:各主观题答案中每步得分是标准得分,实际得分应按下式换算:第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分
N =N ⨯
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
1、B
2、A
3、C
4、答:B
5、C 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分2小题, 每小题5分, 共10分)
1、答 -1 10分
2、⎪⎭
⎫ ⎝
⎛==⋅
⎰⎰
)cos d(cos d cos )(x x
x x x x x x f
c x
x +2
)cos (21 三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
解:π的法向量为{1,1,1}n =
,S 1210
1
210=-=-{,,}, 5分
}3,2,1{1-=⨯=S n S ,x y z -=-=+-41223
3。

10分 四、解答下列各题
(本大题共3小题,总计18分) 1、(本小题6分)

x x d )(ln 2
⎰-=xdx x x ln 2)(ln 2
5分 C x x x x x ++-=2ln 2)(ln 2
10分
2、(本小题6分)
令x t =sin
原式=⎰sin cos 220
2t tdt π
4分 =
-⎰
(s i n s i n )24
2
t t dt π
6分
=⋅-⨯⋅1223422
ππ 9分 =
π16
10分
3、(本小题6分)
解:(25)()0,
(23)(5)0a b a b a b a b +⋅-=+⋅-=, 3分
即 232 a a b +⋅-502 b = 27152
a a
b -⋅- b 20=, 6分
有 -⋅= a b b 2
,
a 24=
b 2,cos(,)||||
a b a b a b ∧=⋅=-12, 8分
即 (,)
a b ∧=23
π。

10分
五、解答下列各题
(本大题共2小题,总计13分) 1、(本小题7分)
证法在上适合拉格朗的中值定理条件故必存在适合
101010.()[,],(,)f x x ∈ 3分
'=
--=--=f x f f ()()()
()()()01010
00100ϕϕ
10分
证法证明令2010.
:()()()()()()F x f x x x x x
=-=--ϕϕϕ
4分
则在可导连续则,即在上满足罗尔定理的条件
F x F F F x ()[,],()()()()()[,]01001001=-=-ϕϕ
则至少存在使x F x 00010∈'=(,),() 8分 又,则'='-'=F x f x f x ()()()()()ϕϕ000
10分
2、(本小题6分)
dy dx e t t t t t =-+(cos sin )
cos 2 7分
dy e t t t t
dx t =-+(cos sin )cos 2
10分
六、解答下列各题
(本大题共2小题,总计15分) 1、(本小题7分)
解交点:,cos ,
(,),(,)r r ==⎧⎨⎩-12216162θππ
2分
S d =⋅+⎰42612226
4
(
cos )π
ππ
θθππ 6分 =+4121
2
264(
sin )π
θππ 8分 =-
+
233
π
.
10分
2、(本小题8分)

故 分(箱子表面积为高为则宽为解:设底边长为772
362332
)222
, , 2 , 22
2 x h h x x xh x h x xh x S h x x ==⋅⋅+=++=
,唯一驻点 ,)(6216
12cm x x
x S =-='
0432
23>+=''x
S

表面积最小。

时高分别为宽箱子的长也是最小值点是极小值点故10,4,3,6,,,,61 cm cm x =
七、解答下列各题
(本大题共2小题,总计15分) 1、(本小题7分)
因为f ()003
2
-=
4分
f e e e e
x x
x
x x
x ()lim
lim
002332
233200
1100
11+=++=++
→+→+ 8分
=
2
3
所以是的跳跃间断点x f x =0() 10分
2、(本小题8分)
y
x y y e y +'
+=
-'11 7分 1
)(1-+++=
'y x e y
x y y
10分 八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
因 故 在处取得极小值''='''>''=f x f x f x x f x ()()()()0000000
5分
则在的某一去心邻域内不变号x f x 00'>()()
8分
故不是的极值点x f x 0() 10分。

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