高等几何试题(1)

高等几何》试题(１)

1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x y 1 0，x y 1 0 ，且点( 1，1) 的象为原

点.( 15 )

2. 利用仿射变换求椭圆的面积.( 10 )

3.

写出直线2x1 +3x2- x3=0, x轴, y轴, 无穷远直线的齐次线坐标.( 10 )

4. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 )

5. 已知A (1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5), 验证它们共线, 并求( AB,CD ) 的值.( 8 )

6. 设P1 (1,1,1), P2 (1,-1,1), P4 (1,0,1) 为共线三点, 且( P1P2,P3P4 )=2, 求P3的坐标.( 12 )

7. 叙述并证明帕普斯(Pappus) 定理.( 10 )

8. 一维射影对应使直线l 上三点P (-1), Q (0), R (1) 顺次对应直线l 上三点P (0), Q (1), R (3), 求这个对应的代数表达式.( 10 )

9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 )

《高等几何》试题(２)

1.求仿射变换x 7x y 1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线. ( 15 )

2. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 )

3. 求证a (1,2,-1) , b (-1,1,2), c (3,0,-5) 共线,并求l的值,使

c i la i mb i (i 1,2,3). ( 10 )

4.

已知直线l 1 , l 2 , l 4的方程分别为2x1 x2 x3 0，x1 x2 x3 0，

x1 0 ，且(l1l2,l3l4) ，求l2的方程.( 15 )

3

5. 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 )

6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. ( 10 )

1

7. 求两对对应元素,其参数为 1 ,0 2, 所确定对合的参数方

2

程. ( 10 )

8.

两个重叠一维基本形 A B,A B 成为对合的充要条件是对应点的参数 与 程: a b( )

d 0(ad b 2 0) ( 15 )

《高等几何》试题(３)

1. 求仿射变换 x 7x y 1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线 . ( 15 )

2. 求椭圆的面积 .( 10 )

3. 写出直线 2x 1+3x 2- x 3=0, x 轴, y 轴, 无穷远直线的齐次线坐

标 .( 10 )

4. 叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )

5. 已知直线

l 1

,l 2,l 4的方程分别为 2x 1 x 2 x 3 0， x 1 x 2 x 3 0，

2

x 1 0，且(l 1l 2,l 3l 4) ，求l 2的方程.( 15)

1 1

2

3

4 3 2

6. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合

7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系 , 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系

[2005 — 2006 第二学期期末考试试题 ]

《高等几何》试题( A )

一、 填空题(每题 3 分共 15分)

1、

是仿射不变量， 是射影不变量

2、 直线 3x y 0 上的无穷远点坐标为

3、 过点( 1,i,0 )的实直线方程为

4、 二重元素参数为 2 与 3 的对合方程为

5、 二次曲线 6x 2

y 2

11y 24 0 过点 P (1,2)的切线方程

二、 判断题(每题 2 分共 10分)

1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形

2、射影对应保持交比不变， 也保持单比不变

满足以下方

. ( 15 ) . ( 20 )

3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边

4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集

5 、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线

三、（7 分）求一仿射变换，它使直线x 2y 1 0 上的每个点都不变，且使点（

变为（-1 ，2）

四、（8 分）求证:点A（1,2, 1）,B（ 1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求t,s

使c i ta i sb i ,（i 1,2,3）

/ 3x 2

五、（10 分）设一直线上的点的射影变换是x/ 3x 2证明变换有两个自对应点，x4

对应点与任一对对应点的交比为常数。

六、（10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

七、（10 分）

2 2 2

（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2x12 3x22 x32 6x1x2 2x1x3 4x2x3

（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。（写出作法，并画图）

八、（10 分）叙述并证明德萨格定理的逆定理

九、（10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5, 1] 交点且属于二级曲线

2 2 2

4u12 u22 2u32 0 的直线

十、（10 分）已知A,B,P,Q,R 是共线不同点，

如果（ PA, QB） 1,（QR, AB） 1,求（ PR, AB）

《高等几何》试题（B）

一、填空题（每题3分共15分）

x /

7x y 1

1、仿射变换/的不变点为

y/4x 2y 4

2、两点决定一条直线的对偶命题为

3、直线[i ,2,1-i] 上的实点为

（）

（）1,-1 ）

且这两自0 的极线