微分方程例题选解演示教学

微分方程例题选解

微分方程例题选解

1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==

。 解：原方程化为 x

y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e x

e y dx x x dx x x ⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 2

1[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2

y x x =+。

2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。

解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+，

分离变量得 dx x u

du 12=-， 积分得 C x u

+=ln 1， 原方程的通解为 ln x y x C

=+。

3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。

解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。

原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ，

由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---

4222244

1)(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(4

14224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ，

原方程的通解为 C y y x x =--42242。

注：此题也为齐次方程。

4. 求解微分方程2''1(')y y =+。

解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx

dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2

1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。

5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。

解：特征方程为 0222=--r r ，特征根为 i r ±=1，

通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。

6. 求解微分方程2'''(21)x y y x e -=+。

解：对应齐次方程的特征方程为02=-r r ，特征根为01=r ，12=r ，

齐次通解为 x e C C Y 21+=。

可设待定特解 x e b ax y 2)(*+=，代入原方程得

12)(23+=++x b ax a ，

比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x y 2)1(*-=，

原方程的通解为 212(1)x x y C C e x e =++-。

7. 求解微分方程''4x y y xe -=。

解：对应齐次方程的特征方程为012=-r ，特征根为11=r ，12-=r ，

齐次通解为 x x e C e C Y -+=21。

可设待定特解 x e b ax x y )(*+=，代入原方程得

x b ax a 4)2(22=++，

比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x x y )(*2-=，

原方程的通解为 212()x x x y C e C e x x e -=++-。

8. 求解微分方程3''6'9(62)x y y y e x -+=+。

解：对应齐次方程的特征方程为0962=+-r r ，特征根为321==r r ，

齐次通解为 x e x C C Y 321)(+=。

可设待定特解 x e b ax x y 32)(*+=，代入原方程得

2626+=+x b ax ，

比较系数得 1=a ，1=b ，从而x e x x y 323)(*+=，

原方程的通解为 332312()()x x y C C x e x x e =+++。

9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos ()sin (=++++dy y x dx y y xy 。 解： 由 dy y x dx y y xy )cos ()sin (++++

ydy xdy ydx ydx xydx cos sin ++++=

y d xdy ydx ydx xydx sin )(sin ++++=

)sin ()sin (y xy d dx y xy +++=，

原方程化为 dx y

xy y xy d -=++sin )sin (， 积分得 C x y xy ln )sin ln(+-=+，

从而通解为 x Ce y xy -=+sin 。

10. 选择适当的变量代换求解微分方程x y x y y x tan )1(22-+='+。 解：设22y x u +=，则u

y y x u '+='，原方程化为 x u u u tan )1(-='， 分离变量得 xdx du u tan )1

11(=-+，

积分得 C x u u +-=-+cos ln )1ln(， 原方程的通解为C x y x y x =+-+++cos ln )1ln(2222。

11. 利用代换x

u y cos =将方程x e x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解。

解：由x y u cos =，得

x y x y u sin cos -'='，

x y x y x y u cos sin 2cos -'-''=''。

原方程化为 x e u u =+''4，

其通解为 5

2sin 2cos 21x

e x C x C u ++=， 原方程的通解为 x

e x C x x C y x

cos 5sin 2cos 2cos 21++=。

12. 设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解为

x x e x e y )1(2++=。试确定常数c b a ,,，并求该方程的通解。

解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为

0)2)(1(=--r r ，即0232=+-r r ，

于是 3-=a ，2=b 。

将x xe y =1代入方程，得

x x x x ce xe e x e x =++-+2)1(3)2(， 1-=c 。

原方程的通解为 x x x xe e C e C y ++=221。

13. 已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数非齐

次线性微分方程的三个解，求此微分方程。

解：由题设特解知原方程的通解为x x x xe e C e C y ++=-221，特征根为1-和2， 所以特征方程为

0)2)(1(=-+r r ，即022=--r r ，

故可设此微分方程为

)(2x f y y y =-'-''，

将x xe y =代入方程，得x e x x f )21()(-=，

故所求方程为y y y 2-'-''x e x )21(-=。

14. 设)(r f u =满足方程42222=∂∂+∂∂y

u x u ，其中22y x r +=，求)(r f 。 解：)(r f r x x u '=∂∂，)()(322222r f r y r f r x x u '+''=∂∂，)()(32

2222r f r

x r f r y y u '+''=∂∂， 4)(1)(2222='+''=∂∂+∂∂r f r r f y

u x u ，