微分方程例题选解演示教学
一阶微分方程的求解ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
y=2/t*x+t^2*exp(t ）
[T Y]=Trapezia_reckon (' euler_3_3_2',[1 2],0,10)
第19页
不同求解器特点
3.3
一阶微分方程的求解
求解器 ode45 ode23
求解问题
特点
非刚性
一步算法；4，5阶 Runge-Kutta算法
非刚性
一步算法；2，3阶 Runge-Kutta算法
y(tk1 ) h
y(tk )
y'(tk1 )
其近似值：
yk1 yk y'k1 h 欧拉隐式公式
第9页
一阶微分方程的求解
3.3 后向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk1 , yk1 )
在任一步长内，用一段直线
代替函数 y(曲t)线，此直
线段斜率等于该函数在该 步长终点斜率。
y(tn )
0 0.345919876 0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527 7.963873479
y(tn ) yn
0 -0.098362899 -0.240212999 -0.433745533 -0.688050221 -1.013245028 -1.420624329 -1.922824060
误差称为截断误差。尚有一个误差称为舍入误差，这种误差是由于
计算时数值舍入引起。
第3页
一阶微分方程的求解
前向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk , yk )
在任一步长内，用一段直 线代替函数 y(t曲) 线，此直 线段斜率等于该函数在该 步长起点斜率。
(完整版)微分方程例题选解
微分方程例题选解1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==。
解：原方程化为x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e xe y dx x x dx x x⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2y x x =+。
2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。
解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+， 分离变量得 dx x udu 12=-， 积分得C x u+=ln 1， 原方程的通解为 ln xy x C=+。
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。
解：此题为全微分方程。
下面利用“凑微分”的方法求解。
原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-=)2(414224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。
注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。
解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dxdp +=， 分离变量得dx p dp=+21，积分得 1arctan C x p +=，于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
微分方程解法ppt课件
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
微分方程数值解法 ppt课件
6
0.6 0.757147 0.735294
7
0.7 0.688354 0.671141
8
0.8 0.622018 0.609756
9
0.9 0.560113 0.552486
10 1.0 0.503642 0.500000
11 1.1 0.452911 0.452489
12 1.2 0.407783 0.409836 ppt课件
ppt课件
14
1741年 - 1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所 长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人 口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作。 1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失 明。 Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速 度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成 果74卷。
22
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
隐式欧拉法的局部截断误差： NhomakorabeaRi
y(xi1)
yi1
h2 2
y(xi ) O(h3)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
ppt课件
23
梯形公式 /*trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
yi 1
yi
h 2 [ f (xi ,
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
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26
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出
yn1 yn hf xn, yn
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微分方程例题选解微分方程例题选解1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==。
解：原方程化为 xy x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e xe y dx x x dx x x ⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2y x x =+。
2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。
解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+，分离变量得 dx x udu 12=-， 积分得 C x u+=ln 1， 原方程的通解为 ln x y x C=+。
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。
解：此题为全微分方程。
下面利用“凑微分”的方法求解。
原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ，由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(414224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。
注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。
解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dxdp +=， 分离变量得 dx p dp =+21，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。
解：特征方程为 0222=--r r ，特征根为 i r ±=1，通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。
6. 求解微分方程2'''(21)x y y x e -=+。
解：对应齐次方程的特征方程为02=-r r ，特征根为01=r ，12=r ，齐次通解为 x e C C Y 21+=。
可设待定特解 x e b ax y 2)(*+=，代入原方程得12)(23+=++x b ax a ，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x y 2)1(*-=，原方程的通解为 212(1)x x y C C e x e =++-。
7. 求解微分方程''4x y y xe -=。
解：对应齐次方程的特征方程为012=-r ，特征根为11=r ，12-=r ，齐次通解为 x x e C e C Y -+=21。
可设待定特解 x e b ax x y )(*+=，代入原方程得x b ax a 4)2(22=++，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x x y )(*2-=，原方程的通解为 212()x x x y C e C e x x e -=++-。
8. 求解微分方程3''6'9(62)x y y y e x -+=+。
解：对应齐次方程的特征方程为0962=+-r r ，特征根为321==r r ，齐次通解为 x e x C C Y 321)(+=。
可设待定特解 x e b ax x y 32)(*+=，代入原方程得2626+=+x b ax ，比较系数得 1=a ，1=b ，从而x e x x y 323)(*+=，原方程的通解为 332312()()x x y C C x e x x e =+++。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos ()sin (=++++dy y x dx y y xy 。
解： 由 dy y x dx y y xy )cos ()sin (++++ydy xdy ydx ydx xydx cos sin ++++=y d xdy ydx ydx xydx sin )(sin ++++=)sin ()sin (y xy d dx y xy +++=，原方程化为 dx yxy y xy d -=++sin )sin (， 积分得 C x y xy ln )sin ln(+-=+，从而通解为 x Ce y xy -=+sin 。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x y x y y x tan )1(22-+='+。
解：设22y x u +=，则uy y x u '+='，原方程化为 x u u u tan )1(-='， 分离变量得 xdx du u tan )111(=-+，积分得 C x u u +-=-+cos ln )1ln(， 原方程的通解为C x y x y x =+-+++cos ln )1ln(2222。
11. 利用代换xu y cos =将方程x e x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解。
解：由x y u cos =，得x y x y u sin cos -'='，x y x y x y u cos sin 2cos -'-''=''。
原方程化为 x e u u =+''4，其通解为 52sin 2cos 21xe x C x C u ++=， 原方程的通解为 xe x C x x C y xcos 5sin 2cos 2cos 21++=。
12. 设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解为x x e x e y )1(2++=。
试确定常数c b a ,,，并求该方程的通解。
解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为0)2)(1(=--r r ，即0232=+-r r ，于是 3-=a ，2=b 。
将x xe y =1代入方程，得x x x x ce xe e x e x =++-+2)1(3)2(， 1-=c 。
原方程的通解为 x x x xe e C e C y ++=221。
13. 已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。
解：由题设特解知原方程的通解为x x x xe e C e C y ++=-221，特征根为1-和2， 所以特征方程为0)2)(1(=-+r r ，即022=--r r ，故可设此微分方程为)(2x f y y y =-'-''，将x xe y =代入方程，得x e x x f )21()(-=，故所求方程为y y y 2-'-''x e x )21(-=。
14. 设)(r f u =满足方程42222=∂∂+∂∂yu x u ，其中22y x r +=，求)(r f 。
解：)(r f r x x u '=∂∂，)()(322222r f r y r f r x x u '+''=∂∂，)()(322222r f rx r f r y y u '+''=∂∂， 4)(1)(2222='+''=∂∂+∂∂r f r r f yu x u ，]4[)(111C dr e e r f dr r dr r +⎰⎰='⎰-)2(112C r r+=， ⎰+=dr C r rr f )2(1)(12212ln C r C r ++=。
15. 设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程 ⎜⎠⎛⎜⎠⎛++=≤+22224224)21()(ty x t dxdy y x f e t f π 求)(t f 。
解：由于 ⎜⎠⎛⎜⎠⎛+≤+222422)21(ty x dxdy y x f ⎜⎠⎛⎜⎠⎛=πθ2020)21(t rdr r f d ⎜⎠⎛=t dr r rf 20)21(2π 所以 dr r rf e t f t t )21(2)(2042⎜⎠⎛+=ππ， 求导得 )(88)(24t f t te t f t πππ+='，]8[)(8482C dt e e t e t f tdt t tdt +⎰⎰=-⎰ππππ)4(242C t e t +=ππ， 由1)0(=f ，得1=C ，因此242)14()(t e t t f ππ+=。
16. 设)(x f 连续可微，1)0(=f ，确定)(x f ，使曲线积分⎰+-L dy x f ydx x f x )()]([ 与路径无关，并计算⎰+-=)1,1()0,0()()]([dy x f ydx x f x I 。
解：由曲线积分与路径无关，得 )()(x f x x f -='，)()(C dx xe e x f dx dx +⎰⎰=⎰-x Ce x -+-=)1(，由1)0(=f ，得2=C ，从而 =)(x f x e x -+-21，于是 ⎰--+-+-=)1,1()0,0()21()21(dy e x ydx e I x x edy e 22101==⎰-。
17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为c 020时，一物体由c 0100冷却到c 060须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的c 0100降低到c 030。
解：设在时刻t 物体的温度为)(t T ，则有)20(--=T k dtdT ，且100)0(=T ，60)20(=T 分离变量得 kdt T dT -=-20， 积分得 C kt T ln )20ln(+-=-，即 kt Ce T -+=20，由100)0(=T 得 80=C ，kt e T -+=8020，再由60)20(=T 得 kt e -+=802060， 202ln =k ， 故t e T 202ln 8020-+=，令30)(=t T ，得 t e 202ln 802030-+=，60=t 。
共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的c 0100降低到c 030。
18. 设物体A 从点)1,0(出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。