理论力学竞赛讲稿讲解
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D
（3）
ds
d
v0
2r
二十五、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有 打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌， 猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生， 易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受 伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖， 其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一 头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打 开了瓶盖。
y
(R
r)
sin
e
sin
纯滚动时，满足： R r( )
则：
x
(R
r
)
cos
e
cos(R
r
r
)
y
(R
r) sin
e sin(
R
r
r
)
当机构参数满足： R 2r, e r
时，图形曲线退化为直线。
（3）对 a cos(3 )
F st
N1
4
(1
a
) a
N3
F 4
(1
s a
t) a
F st
N2
4
(1
a
) a
N4
F 4
(1
s a
t) a
注意上面计算的压力应大于或等于零，其条件为:
s t a
如出现负值，则该桌腿不承担压力，压力由其余三 条腿承担这时问题是静定的，可由平衡方程解得。 这里不再加以讨论。
理论力学竞赛 练习题
二十一、一重F置于有四条腿的边长为a的正方形桌面上的一点 （如图），求每条腿上的压力。桌面可视为刚性。
解：设z轴向上，坐标原点位于桌面 中心。各腿的反力为N1，N2，N3， N4，腿的抗压刚度设为k,变形前桌 面四角的坐标为: （a,a,0）, （-a,a,0）, （a,-a,0） （-a,-a,0）
的曲线方程，在图2示直角坐标中可表示为
x cos y sin
进一步：
x a cos(3) cos
y
a
cos(3
)
sin
利用三角公式变换：
x
a 2
cos(4 )
cos(2
)
y
a 2
sin(4 )
sin(2
)
（２）
解 塑性碰撞可看成是一个约束，碰撞前后为一过程，
碰撞开始和碰撞结束的角速度分别为：0 1
碰撞结束后上， 滚圆柱体为定轴转动，
设滚动结束后其角速度为 2
滚动过程的任意位置的角速度为
1
O
C
Ah
问题就可解了。
首先考虑碰撞过程
碰撞前平面运动：平移+转动
碰撞前后圆柱对A的动量矩守有：
（对A点）
变形后四角的坐标为: （a,a,-N1/k）, （-a,a, -N2/k）, （-a,-a, -N3/k）, （a,-a, -N4/k） 由于桌面视为刚性，这四点仍在同一平面上， 这四点共面的条件是:
a a N1 / k 1
a
a
N2 /k
1 0
a a N3 / k 1
a a N4 /k 1
（1）多长时间后，它们能聚在一起，讨论它们之间的事。 （2）当夹角为θ时，A虫到中点的距离r。 （3）在夹角为θ处，A虫爬行轨迹的曲率半径ρ。 （河海大学）
B
A
r
θ
C
D
解：（1）用相对运动， B t=4小时。
（2）
r
v0 2
r
v0 2
C
r 2 2e 4
A r θθ
二十二、设计一辆赛车,使它能在由静止发动时,获得可能的最大加 速度.我们假定赛车的发动机施加确定的很大的转矩于后轮,我们的 问题是要确定赛车的最佳重量分布.需要考虑的作用于赛车的外力 有(1)重力；（2）轮子上支持赛车的法向力；（3）摩擦力。图示 给出了赛车的草图。其中赛车的重心C的高度位置h确定,需要确定 重心到后轮中心的距离。（中国矿业大学）
(1)本问题与力学中的什么内容有关系?
（2) 若筷子弯曲太大如何处理?
(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛， 筷子何处最易折断？
解：（1）实际上，这个方法中应用了杠杆原理．筷子在这 里充当了杠杆。
（2）若筷子弯曲太大，可把两支叠在一起用。这样可 提高抗弯截面系数。
（3）左手手指充当了支点．（这个方法中，大拇指压住瓶盖 的主要目的，是防止其余四指(支点)向下打滑，图1可简化成 图2所示的力学模型，设杠杆两端一边是右手施加的力F，一 边是瓶盖施加的力Q ，
3gh
0
3R
3
2h
gR h
欲使上式成立，应有：2 3gh 3 g R h,
即 h3R 7
如 h 3 R ，则本题无解。 7
r
二十八、假想在平原上有一只野兔和一只猎狗，在某一时刻同时 发现对方。野兔立即向洞穴跑去，猎狗也立即向野兔追去。在追 击过程中，双方均尽全力奔跑，假设双方速度大小不变，方向可 变。问： （1）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，求猎狗的运动方程和运动轨 迹。 （2）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，试确定猎狗的初始位置范围， 使得猎狗在这一范围内出发，总可以在野兔进洞前追上它。
Manc MR2 Mg cos 90 N
1 2
J
2
A1
MgR
1 2
J
A 2
Mg
R
sin
h
解得：
N
7 3
Mg
sin
MR
2 1
4 3
Mg
R R
h
N 可见
sin
为最小
R R
h
时，台阶的法向反力
的最小值，即：
N min
7 3
作纯滚动，小齿轮上有偏心点，其偏心距为e。要求徒弟根 据给定的材料设计、 一套简单的机构，绘制精美的几何图形。 聪明的徒弟很快领会师傅的意图，将大齿轮固定，小齿轮的 偏心点处安装画笔，如图1示，当小齿轮在大齿轮内滚动时， 画笔下出现了精美的几何图形。 下面的问题交给聪明的你，相信你能解答 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）求出偏心点（画笔）的轨迹方程，图形的几何形状与何 参
Mg
R R
h
来自百度文库
MR
3R 2h 3R
0
4 3
Mg
R R
h
Mg
R R
h
MR 20
3R 2h 3R
要使碰撞后圆柱始终与A保持接触地滚上台阶，应满足条件
Nmin 0 即：
0
3R
3
2h
gR h
于是所求范围为
2 3R 2h
AO l1 BO l2
Q l2 F l1
由于 l2 l1
，所以 Q F
即右手只要稍加力，就可能打开瓶盖。把筷子作为一 受力杆件，最大弯矩在O处（图3示），即左手手指与 筷子接触处最容易折断。
二十六、一天，师傅欲检验徒弟知识的灵活应用能力，准备
了半径分别为 Ｒ、r(R>r)两齿轮O1、O2小齿轮可在大齿轮内
Mv0 R h J00 JA1
C
式中 v0 R0,
J0
1 2
MR2 ,
A
JA
3 2
MR2 ,
得碰撞终了时圆柱的角速度 :
1
3R 2h 3R
0
其次考虑滚上过程，碰撞后A处无滑动，圆柱绕A转动， 在滚上过程中系统的机械能守恒有：
1 2
J
A
2 1
MgR
1 2
J
2
A2
Mg
R
h
要使圆柱能够滚上台阶，须使滚上后的角速度 2
满足条件：
2
2 1
4gh 3R2
3R 2h 3R
0
2
4gh 3R2
0
因此得： 0
3R
2
2h
3gh
在滚上过程的任一位置，圆柱的角速度为
法向反力为 N , 与水平成角
由质心运动定理和系统的机械能守恒有：
对照（2）问题中的轨迹方程
x
y
(R (R
r) cos r) sin
e cos(R r )
r
e sin( R r )
r
作 4
变换，
x
(R
r)
cos
4
y
(R
r)
sin
4
e cos(R r 4 )
r
e sin( R r 4 )
10
m 600
600
图（１）
8m 图（２）
地面有一圆锥台形的大坑（图1），见图2，底面直径为8m，深 10m，坑壁倾角600。现假设有两人落入坑中。若人与坑壁的摩 擦因数为1.0，请问两人是否可以沿坑壁爬上地面，为什么？ （需作必要的计算）。
（2）如给他们两张梯子（图3）、两个销钉（图4）、两块 板（图5）和一根带有弯钩的伸缩杆（图6，长约4～6m）。 梯子两端都有圆柱形孔（孔径略大于销钉的直径）。假设它 们的质量都不计，梯子、板、坑壁之间的摩擦也不计，人与 梯子、板之间有摩擦，摩擦因数为0.8。 问两人利用这些工具是否可以离开坑到达地面？要说明过 程及符合哪些力学原理。（给出2种或2种以上方法本小题 才能得满分）
即 N1－N2＋N3－N4＝0，根据平衡方程有:
M x 0, (N1 N2 )a (N3 N4 )a Ft 0
M y 0, (N2 N3 )a (N1 N4 )a Fs 0
Fz 0, N1 N2 N3 N4 0
由以上四方程解得:
r
（３）
由式（2）、（3）对比知，当机构参数满足：
R 3 a, r a,e 1 a
2
2
时即可画出要求的三叶玫瑰线图形。
二十七 均质圆柱体质量为M，半径为R，沿水平面以角速度0
作无滑动滚动，与一高度为h和的直角台阶相碰撞，如图
所示。若碰撞是塑性的， 要求碰撞后圆柱体能始终保持
接触地滚上台阶，求0值的范围.
方法二：首先用销钉、梯子、拉杆安装成人字梯，调整拉 杆的长度使梯子某一横杆与地面高度一致，把人字梯放在 底面中间，然后两人各扛一块板，从人字梯两边同时上爬， 以保证梯子不动（质心守恒），爬到上部后，把板搁在梯 子和坑边的地面上（板要保持水平，不然，由于没有摩擦 而不能平衡），最后两人同时登上板，沿板向相反方向走 向坑边（两人要注意协调质心位置，使梯子不滑动，越慢 越容易做到）。
t
xr xr0 0 vr cosrdt
t
yt yr0 0 vr sinrdt
而猎狗在追击过程中满足 xd2 yd2 vd
yd yr yd xd xr xd
(2)
由式（2）可解出猎狗的运动微分方程
解:很大的转矩于后轮,则 前轮F=0 由铅直方向平衡： N1＋N2-mg=0
对于重心的力矩平衡：
N2 b2-N1 b1-Fh=0 水平方向有：F=ma
摩擦力： F N 2
在N1=0时，N2＝mg
amax
(N2 )max
m
g
mgb2 mamaxh mgh
b2 h
二十三、分析计算题：如何逃离大坑
解：（1）为方便可如图建立坐标。 在任意时刻t
野兔R的位置为 (xr , yr )
y vr
r
R
奔跑的方向与x轴夹角为 r
猎狗D的位置为 (xd , yd )
O
Dx
奔跑的方向由D指向R. 且设 vr , vd 大小均为常量
vd 1 vr
出于一般性的考虑，认为 r
可以变化，则时刻 t 野兔的位置为
12m 图3
图６
12m
10m
图4
图5
（3）两人是否可以不借助于任何工具，各自离开坑到达地面。 说明方法和作必要的计算。给出一种可行方法即可。
（本题人的几何尺寸不考虑）
解：（1）无法爬上去
因为： tan 60 0 tanm tan 45 0
（2）方法一：把梯子一头顶住坑角（一人压住），另一头 靠在坑壁。一人沿梯子先爬上去，然后拉住梯子，让另一 人爬上去。
数有关？当图形曲线退化为直线时，机构参数满足何关系? （3）当几何图形为图2示的三叶玫瑰曲线 a cos(3) 时，
机构参数与曲线方程中的参数满足何关系？
图2
解：（1）本问题与力学中点的运动轨迹、运动合成有关
oxy （2）取定坐标
如图3示，小齿轮上偏心点坐标为
(x, y) ，图示位置时： x (R r) cos e cos
（3）可以。人只要通过跑步，绕坑壁转圈，当达到一定的速度 后，人就可以沿坑壁逐渐上移，直至到达地面。到达地面时 所需的最小速度为：
mg tan15 0 m 2 R 0.5176rad / s
v R 5.06m / s (R=10*tg30+4=9.78)
边长4米的正方形房间，初始时刻四角各有一只臭虫。其中A、C 为雄性，B、D为雌性。A相中了B，B相中了C，C相中了D，D相 中了A。它们同时以每小时1米的速度向自己的意中虫爬去，且眼 里只有“我的那个它”。请计算：
（3）
ds
d
v0
2r
二十五、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有 打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌， 猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生， 易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受 伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖， 其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一 头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打 开了瓶盖。
y
(R
r)
sin
e
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纯滚动时，满足： R r( )
则：
x
(R
r
)
cos
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cos(R
r
r
)
y
(R
r) sin
e sin(
R
r
r
)
当机构参数满足： R 2r, e r
时，图形曲线退化为直线。
（3）对 a cos(3 )
F st
N1
4
(1
a
) a
N3
F 4
(1
s a
t) a
F st
N2
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(1
s a
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注意上面计算的压力应大于或等于零，其条件为:
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如出现负值，则该桌腿不承担压力，压力由其余三 条腿承担这时问题是静定的，可由平衡方程解得。 这里不再加以讨论。
理论力学竞赛 练习题
二十一、一重F置于有四条腿的边长为a的正方形桌面上的一点 （如图），求每条腿上的压力。桌面可视为刚性。
解：设z轴向上，坐标原点位于桌面 中心。各腿的反力为N1，N2，N3， N4，腿的抗压刚度设为k,变形前桌 面四角的坐标为: （a,a,0）, （-a,a,0）, （a,-a,0） （-a,-a,0）
的曲线方程，在图2示直角坐标中可表示为
x cos y sin
进一步：
x a cos(3) cos
y
a
cos(3
)
sin
利用三角公式变换：
x
a 2
cos(4 )
cos(2
)
y
a 2
sin(4 )
sin(2
)
（２）
解 塑性碰撞可看成是一个约束，碰撞前后为一过程，
碰撞开始和碰撞结束的角速度分别为：0 1
碰撞结束后上， 滚圆柱体为定轴转动，
设滚动结束后其角速度为 2
滚动过程的任意位置的角速度为
1
O
C
Ah
问题就可解了。
首先考虑碰撞过程
碰撞前平面运动：平移+转动
碰撞前后圆柱对A的动量矩守有：
（对A点）
变形后四角的坐标为: （a,a,-N1/k）, （-a,a, -N2/k）, （-a,-a, -N3/k）, （a,-a, -N4/k） 由于桌面视为刚性，这四点仍在同一平面上， 这四点共面的条件是:
a a N1 / k 1
a
a
N2 /k
1 0
a a N3 / k 1
a a N4 /k 1
（1）多长时间后，它们能聚在一起，讨论它们之间的事。 （2）当夹角为θ时，A虫到中点的距离r。 （3）在夹角为θ处，A虫爬行轨迹的曲率半径ρ。 （河海大学）
B
A
r
θ
C
D
解：（1）用相对运动， B t=4小时。
（2）
r
v0 2
r
v0 2
C
r 2 2e 4
A r θθ
二十二、设计一辆赛车,使它能在由静止发动时,获得可能的最大加 速度.我们假定赛车的发动机施加确定的很大的转矩于后轮,我们的 问题是要确定赛车的最佳重量分布.需要考虑的作用于赛车的外力 有(1)重力；（2）轮子上支持赛车的法向力；（3）摩擦力。图示 给出了赛车的草图。其中赛车的重心C的高度位置h确定,需要确定 重心到后轮中心的距离。（中国矿业大学）
(1)本问题与力学中的什么内容有关系?
（2) 若筷子弯曲太大如何处理?
(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛， 筷子何处最易折断？
解：（1）实际上，这个方法中应用了杠杆原理．筷子在这 里充当了杠杆。
（2）若筷子弯曲太大，可把两支叠在一起用。这样可 提高抗弯截面系数。
（3）左手手指充当了支点．（这个方法中，大拇指压住瓶盖 的主要目的，是防止其余四指(支点)向下打滑，图1可简化成 图2所示的力学模型，设杠杆两端一边是右手施加的力F，一 边是瓶盖施加的力Q ，
3gh
0
3R
3
2h
gR h
欲使上式成立，应有：2 3gh 3 g R h,
即 h3R 7
如 h 3 R ，则本题无解。 7
r
二十八、假想在平原上有一只野兔和一只猎狗，在某一时刻同时 发现对方。野兔立即向洞穴跑去，猎狗也立即向野兔追去。在追 击过程中，双方均尽全力奔跑，假设双方速度大小不变，方向可 变。问： （1）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，求猎狗的运动方程和运动轨 迹。 （2）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，试确定猎狗的初始位置范围， 使得猎狗在这一范围内出发，总可以在野兔进洞前追上它。
Manc MR2 Mg cos 90 N
1 2
J
2
A1
MgR
1 2
J
A 2
Mg
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解得：
N
7 3
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4 3
Mg
R R
h
N 可见
sin
为最小
R R
h
时，台阶的法向反力
的最小值，即：
N min
7 3
作纯滚动，小齿轮上有偏心点，其偏心距为e。要求徒弟根 据给定的材料设计、 一套简单的机构，绘制精美的几何图形。 聪明的徒弟很快领会师傅的意图，将大齿轮固定，小齿轮的 偏心点处安装画笔，如图1示，当小齿轮在大齿轮内滚动时， 画笔下出现了精美的几何图形。 下面的问题交给聪明的你，相信你能解答 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）求出偏心点（画笔）的轨迹方程，图形的几何形状与何 参
Mg
R R
h
来自百度文库
MR
3R 2h 3R
0
4 3
Mg
R R
h
Mg
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h
MR 20
3R 2h 3R
要使碰撞后圆柱始终与A保持接触地滚上台阶，应满足条件
Nmin 0 即：
0
3R
3
2h
gR h
于是所求范围为
2 3R 2h
AO l1 BO l2
Q l2 F l1
由于 l2 l1
，所以 Q F
即右手只要稍加力，就可能打开瓶盖。把筷子作为一 受力杆件，最大弯矩在O处（图3示），即左手手指与 筷子接触处最容易折断。
二十六、一天，师傅欲检验徒弟知识的灵活应用能力，准备
了半径分别为 Ｒ、r(R>r)两齿轮O1、O2小齿轮可在大齿轮内
Mv0 R h J00 JA1
C
式中 v0 R0,
J0
1 2
MR2 ,
A
JA
3 2
MR2 ,
得碰撞终了时圆柱的角速度 :
1
3R 2h 3R
0
其次考虑滚上过程，碰撞后A处无滑动，圆柱绕A转动， 在滚上过程中系统的机械能守恒有：
1 2
J
A
2 1
MgR
1 2
J
2
A2
Mg
R
h
要使圆柱能够滚上台阶，须使滚上后的角速度 2
满足条件：
2
2 1
4gh 3R2
3R 2h 3R
0
2
4gh 3R2
0
因此得： 0
3R
2
2h
3gh
在滚上过程的任一位置，圆柱的角速度为
法向反力为 N , 与水平成角
由质心运动定理和系统的机械能守恒有：
对照（2）问题中的轨迹方程
x
y
(R (R
r) cos r) sin
e cos(R r )
r
e sin( R r )
r
作 4
变换，
x
(R
r)
cos
4
y
(R
r)
sin
4
e cos(R r 4 )
r
e sin( R r 4 )
10
m 600
600
图（１）
8m 图（２）
地面有一圆锥台形的大坑（图1），见图2，底面直径为8m，深 10m，坑壁倾角600。现假设有两人落入坑中。若人与坑壁的摩 擦因数为1.0，请问两人是否可以沿坑壁爬上地面，为什么？ （需作必要的计算）。
（2）如给他们两张梯子（图3）、两个销钉（图4）、两块 板（图5）和一根带有弯钩的伸缩杆（图6，长约4～6m）。 梯子两端都有圆柱形孔（孔径略大于销钉的直径）。假设它 们的质量都不计，梯子、板、坑壁之间的摩擦也不计，人与 梯子、板之间有摩擦，摩擦因数为0.8。 问两人利用这些工具是否可以离开坑到达地面？要说明过 程及符合哪些力学原理。（给出2种或2种以上方法本小题 才能得满分）
即 N1－N2＋N3－N4＝0，根据平衡方程有:
M x 0, (N1 N2 )a (N3 N4 )a Ft 0
M y 0, (N2 N3 )a (N1 N4 )a Fs 0
Fz 0, N1 N2 N3 N4 0
由以上四方程解得:
r
（３）
由式（2）、（3）对比知，当机构参数满足：
R 3 a, r a,e 1 a
2
2
时即可画出要求的三叶玫瑰线图形。
二十七 均质圆柱体质量为M，半径为R，沿水平面以角速度0
作无滑动滚动，与一高度为h和的直角台阶相碰撞，如图
所示。若碰撞是塑性的， 要求碰撞后圆柱体能始终保持
接触地滚上台阶，求0值的范围.
方法二：首先用销钉、梯子、拉杆安装成人字梯，调整拉 杆的长度使梯子某一横杆与地面高度一致，把人字梯放在 底面中间，然后两人各扛一块板，从人字梯两边同时上爬， 以保证梯子不动（质心守恒），爬到上部后，把板搁在梯 子和坑边的地面上（板要保持水平，不然，由于没有摩擦 而不能平衡），最后两人同时登上板，沿板向相反方向走 向坑边（两人要注意协调质心位置，使梯子不滑动，越慢 越容易做到）。
t
xr xr0 0 vr cosrdt
t
yt yr0 0 vr sinrdt
而猎狗在追击过程中满足 xd2 yd2 vd
yd yr yd xd xr xd
(2)
由式（2）可解出猎狗的运动微分方程
解:很大的转矩于后轮,则 前轮F=0 由铅直方向平衡： N1＋N2-mg=0
对于重心的力矩平衡：
N2 b2-N1 b1-Fh=0 水平方向有：F=ma
摩擦力： F N 2
在N1=0时，N2＝mg
amax
(N2 )max
m
g
mgb2 mamaxh mgh
b2 h
二十三、分析计算题：如何逃离大坑
解：（1）为方便可如图建立坐标。 在任意时刻t
野兔R的位置为 (xr , yr )
y vr
r
R
奔跑的方向与x轴夹角为 r
猎狗D的位置为 (xd , yd )
O
Dx
奔跑的方向由D指向R. 且设 vr , vd 大小均为常量
vd 1 vr
出于一般性的考虑，认为 r
可以变化，则时刻 t 野兔的位置为
12m 图3
图６
12m
10m
图4
图5
（3）两人是否可以不借助于任何工具，各自离开坑到达地面。 说明方法和作必要的计算。给出一种可行方法即可。
（本题人的几何尺寸不考虑）
解：（1）无法爬上去
因为： tan 60 0 tanm tan 45 0
（2）方法一：把梯子一头顶住坑角（一人压住），另一头 靠在坑壁。一人沿梯子先爬上去，然后拉住梯子，让另一 人爬上去。
数有关？当图形曲线退化为直线时，机构参数满足何关系? （3）当几何图形为图2示的三叶玫瑰曲线 a cos(3) 时，
机构参数与曲线方程中的参数满足何关系？
图2
解：（1）本问题与力学中点的运动轨迹、运动合成有关
oxy （2）取定坐标
如图3示，小齿轮上偏心点坐标为
(x, y) ，图示位置时： x (R r) cos e cos
（3）可以。人只要通过跑步，绕坑壁转圈，当达到一定的速度 后，人就可以沿坑壁逐渐上移，直至到达地面。到达地面时 所需的最小速度为：
mg tan15 0 m 2 R 0.5176rad / s
v R 5.06m / s (R=10*tg30+4=9.78)
边长4米的正方形房间，初始时刻四角各有一只臭虫。其中A、C 为雄性，B、D为雌性。A相中了B，B相中了C，C相中了D，D相 中了A。它们同时以每小时1米的速度向自己的意中虫爬去，且眼 里只有“我的那个它”。请计算：