算符与力学量的关系
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
[H ˆ,L ˆz][2L ˆ2 r2,L ˆz]21 r2[L ˆ2,L ˆz]0
[Lˆ2, Lˆz ] 0
共同本征函数 n lm (r,,) R n l(r)Y lm (,)
[例题]证明(原课件):
[pˆx,F(x)]i
F x
解:取任意函数,由于
[p ˆx,F (x)] i[ xF F x]
i[ F F F ] i F
x x x x
因是任意的函数,所以
[pˆx,F(x)]i
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i x gsna i
* n j
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i 1
i 1
sn
sn
aiGji g ai ji G jin * jG ˆn id x ,jin * j n id x
[ x ˆ ,p ˆ y ] [ x ˆ ,p ˆ z ] [ y ˆ ,p ˆ x ] [ y ˆ ,p ˆ z ] [ z ˆ ,p ˆ x ] [ z ˆ ,p ˆ y ] 0
2,角动量算符的对易式: Lˆ rˆ pˆ
[L ˆx,L ˆy]L ˆxL ˆyL ˆyL ˆx(yp ˆzzp ˆy)(zp ˆxxp ˆz)
H ˆ nlmEn nlm,En2e 2n s42
L ˆ 2n lm ( l 1 ) l2n lm ,L 2 l( l 1 )2
L ˆz n lmmn lm ,L zm
在nlm态下,能量,角动量平方,角动量z分量
量子力学 第一节 力学量算符 教案
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
3.6算符与力学量的关系
或 : c d ( F 具 有 连 续 谱 )
* 其 中 :c d
c ( F 具 有 分 立 谱 ) , 其 中 : c d ( , ) ( x ) d x [ c ] d x c d x
* c () t ) ( x ,t ) d x n n(x
( x x )( x x ) ( x x ) . . . ( x x )
11 2 2 nn
* * ( x , t )[ ( x ) ( x , t ) d x ] ( x ) [( x ) ( x ) ] ( x , t ) d x n n n n
§3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity
一、厄密算符本征函数的完备性 (Completeness of Hermitian operator eigenfunction) 二、力学量的可能测值 (Possible values Mechanical quantities)
0
x2dx 2 4 (1 x ) 32
0
w( p)dp 1
第三章 量子力学中的力学量 Mechanical quantity in quantum mechanics
§3.1 表示力学量的算符 Operators expressed the mechanical quantities
n n n * n n
* m * mn n * nm n
3.6算符与力学量的关系
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，
0
x n e ax dx
n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0
2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
量子力学讲义II.力学量与算符
II.力学量与算符1.量子力学中与力学量有关的基本假设有哪些？关于力学量及其表示，量子力学有三条基本假定：(1)有关量子体系运动的每一个力学量都可以用一个线性厄密算符来表示．(2)对于该力学量的测量值，必定是相应的线性厄米算符的本征值之一．(3)如果体系处于态，该态可按算符的本征态展开那么在态中，测量力学量取值的概率正比于展开系数的模的平方．以上三条假定，共同给出了关于力学量的完整概念．可见，在量子力学中，力学量与态是相对独立的概念。
而力学量算待与其数值也有不同含义．在经典物理中，力学量可由运动状态完全确定，不必引入算符表示．并且，力学量与其数值也是一体的概念．2. 量子力学为什么要用算符表示力学量 ?用算符表示力学量，是由于量子体系所固有的波粒二象性所要求的．这正是量子力学处理方法上的基本特点之一．我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波．因此，即使在确定的量子态中，也并非各种力学量都有完全确定区而是一般地表现为不同数值的统计分布．这就注定了经典力学量的表示方法 (可由运动状态完全决定)不再适用，因此需要寻求新的表示方法．我们从力学量平均值的表示式出发，来说明引入算符的必要性．如果体系处于态中，则它的位置平均值为类似地，它的动量平均位也可表示为但是要求出第二个积分，必须将表示为的函数．然而这是办不到的．因为按不确定关系的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中按上式求动量平均值．我们可先在动量表象中求出动量平均值，再转换到坐标表象中去．利用有可见，若在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相当，实际上，任何一个力学量在自身表象(连续谱)中计算其平均值，都与一个特定的算符相当，这就自然地引入了算符表示的概念．用算符表示力学量的问题还可以从另一角度来说明．我们知道量子力学中，力学与力学量之间的关系，从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学．然而在数学中，算符与算符之间一般并不满足交换律．也就是存在不对易的情形．因此用算符表示力学量是适当的．3.什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？含有算符的方程称为的本征值方程, 为的一个本征值，而则称为的属于本征值的本征函数．如果算符代表一个力学量，上述概念物理意义如下：当体系处于的本征态时，测量的数值是确定的，恒等于，并且根据本章开头列出的假设，当体系处于任意态时，单次测量的值必等于它的诸本征值之一．4.什么是算符的期望值(平均值)？它们有什么物理意义？力学量的平均值(或称期望值)的一般定义为它的意义包括以下几点：(1)当体系处于态时，就等于对于的所有测量值的平均；(2)如为的一个本征态，则就等于对应的本征值；(3)如果可在经典力学与量子力学间建立对应关系，那么与经典力学量对应的便是量子力学中的力学量的平均值。
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆ ˆ y ] z,p ˆ ˆx 0 [z,p
ˆx,p ˆ y ] p ˆx,p ˆz ˆ y,p ˆz [p p 0
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0
ˆ G ˆF ˆ G ˆF ˆG ˆ) a ˆG ˆ ) = (F 则： (F n n
ˆ G ˆF ˆG ˆ) n = a n (F
n
n
ˆF ˆ ˆ G ˆ =F ˆ G ˆG ˆ G ˆF ˆG ˆ) n = F 而 (F n n n n n n
ˆx p ˆ x x 作用在任意波函数 ( x ) 上，即： ˆ x xp 将 x, p
(x (x)) ˆx p ˆ x x (x) x(i ) (x) xp x i x x (x) x (x) (x) i x i x i
定理2（定理1的逆定理）：如果两个算符对易，则这
两个算符有组成完全系的共同本征函数。
ˆ 的完全本征函数系，且本征值 证明：设{ n }是 F n
非简并。
ˆ 则： F n n n
n 1,2,3,
①
ˆ 和G ˆ 对易，则： 而F
ˆF ˆ ）= G ˆ ) ˆ = (G ˆ (G F n n n n
ˆ 有确定值 n ，…（按3.6节讲的基本假 有确定值 n ， G ˆ ,ˆ ˆ ,… ˆ,G 设）。于是会存在这样的态，在这些态中，H I， F
代表的力学量可同时取确定值。
结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件
是在这些力学量算符的共同本征态中。
例如：
ˆ y， ˆ x， ˆ z 对易，则它们有完全共同的本 ①动量算符 p p p
4. 力学量与算符
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系
对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）
力学量与算符
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
算符与力学量的关系_第三章
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）
a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在 态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基 本 假 设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算 符，它们的本征函数 组成完全系。当体系 处于波函数 所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值 之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2
C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关， 由此得到动量 的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4
9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加 原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结 注 果符合而得到验证 意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数 值，而是具有一系列的可能值，这些可能值 就是该力学量算符的本征值，测得该可能值 的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）
量子力学中的量子力学力学量的算符关系
量子力学中的量子力学力学量的算符关系量子力学是研究微观粒子行为和性质的理论框架，它描述了自然界中微观领域中的物质和能量的行为方式。
在量子力学中，量子力学力学量的算符关系是描述物理量之间的对易关系或反对易关系的数学表达式。
这些算符关系是量子力学理论的基石，对于量子力学系统的描述和计算具有重要意义。
一、量子力学力学量的基本概念在量子力学中，力学量指的是描述物理系统状态的特性，比如位置、动量、角动量、能量等。
这些力学量由相应的物理量算符来表示，量子态的演化和测量是通过这些算符的操作来实现的。
在量子力学中，力学量算符是一种特殊的线性算符，它们作用于量子态（波函数或矢量表示）来得到相应的测量结果。
力学量算符的本征态对应于测量得到的确定值，而本征值则是该测量值对应的物理量数值。
二、量子力学力学量的算符关系量子力学力学量的算符关系可以通过对易关系或反对易关系来描述。
对于可同时测量的力学量，它们的算符满足对易关系；而对于不可同时测量的力学量，它们的算符满足反对易关系。
1. 对易关系对易关系表示两个力学量算符的乘积与其反序乘积之间的关系。
对于两个可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足对易关系：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示算符的对易子。
对于满足对易关系的力学量算符，它们的本征态可以共享相同的基础。
2. 反对易关系反对易关系描述的是两个不可同时测量的力学量算符之间的关系。
对于不可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足反对易关系：{A, B} = AB + BA = 0其中{A, B}表示算符的反对易子。
反对易关系的存在意味着这两个力学量之间存在一定的互换关系，即测量一个力学量会影响到另一个力学量的测量结果。
三、具体力学量的算符关系1. 位置和动量在量子力学中，位置算符和动量算符是最基本的力学量。
它们的算符关系由玻尔-海森堡不确定关系给出：Δx · Δp ≥ h/4π其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
算符与力学量的关系
１１９§3.6 算符与力学量的关系重点: 完全性关系，算符与力学量的关系的基本假设 难点: 完全性关系一、厄米算符的本征函数的完全性 1.复习§3.1的两个假定假定1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算符表示。
假定2：算符Fˆ的本征值集合即是测量体系力学量F 可能得到的所有量值；体系处在F ˆ的属于本征值的本征态nψ时，测力学量F ，得到确定值n λ。
但是在任意态ψ中（非F ˆ的本征态），此时Fˆ与代表的力学量F 的关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。
2.完全性：若F ˆ是满足一定条件⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΦΦ级数收敛的平方可积的n n F ˆ)2(F ˆ)1(的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系)x (1Φ、)x (2Φ…)x (n Φ…对应的本征值为1λ、2λ…n λ…，则任一函数)x (Ψ可以按)x (n Φ展为级数：)x (C )x (n nn Φ=Ψ∑ ①式中n C 是与x 无关的展开系数。
我们称本征函数)x (n Φ的这种性质为完全性，或者说)x (n Φ组成完全系。
１２０说明：①展开系数∫ΨΦ=∗dx )x (C n n以)x (m ∗Φ左乘)x (C )x (n nn Φ=Ψ∑，且对x 的整个区域积分有m mn n n mnn n nn m m C C dx )x ()x (C dx)x (C dx )x ()x (=δ=ΦΦ=ΦΦ=ΨΦ∑∫∑∑∫∫∗∗∗即：∫ΨΦ=∗dx )x (C n n ② ②表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。
3.展开系数2n C 的物理含义：设)x (Ψ为归一化的波函数，则根据)x (n Φ是正交归一化的完全函数系，有：1dx )x ()x (ΨΨ=∫∗=dx C C n nn m mm Φ⋅Φ∑∫∑∗∗==ΦΦ∗∗∫∑dx C C n m n n ,m m n ,m n n ,m m C C δ∑∗2nn C ∑=即：1C 2nn=∑因左边是总几率，所以2n C 有几率的意义。
3.6 算符与力学量的关系
该方法常被称为概率平均法
• 考虑到厄米算符本征态的完备性 ψ (x) = ∑cnϕn (x) n 及正交归一性可得
* ψ (x) Fψ (x)dx = ∑c c ∫ϕ (x) F ϕn (x)dx = ∑λncmcnδmn =∑λn cn ∫ * * m n * m m,n m,n n ∧ ∧ 2
x= 4x1 + 6x2 4 6 = 10 x1 + 10 x2 = ω1 x1 +ω2 x2 = ∑ ωi xi 10 i
对于任意的微观态 ψ (x) ，知道了力学 λn 及概率 cn 2 后，该状 量的全部可能取值 态下力学量的平均值由以下公式给 出
F = ∑ cn λn
2 n
(3.6-4） ）
2 2 2 2 = 2δn,1 + δn,3 − δn,1 = δn,1 + δn,3 2 2 2 2 2 2 c3 = 仅有 c1 = 所以能量的可能值及概率为 2 2 ℏ2π 2 1 2 1 2 9ℏ2π 2 E1 = c1 = c3 = E3 = 概率 2 2µa2 概率 2 2 2µa
• 解法 解法2
∑
i =1
5
| A|2 | c( pi ) |2 = 2πℏ[22 + (−1)2 + (−1)2 + 12 + 12 ] 16 =| A|2 πℏ = 1
1 A= πℏ
∑
i =1
5
| A|2 | c( pi ) |2 = 2πℏ[22 + (−1)2 + (−1)2 + 12 + 12 ] 16 =| A|2 πℏ = 1
1 4 5 2 =c + = c 9 9 9
2
1.7-量子力学中的算符和力学量
算符即运算规则算符即运算规则。
它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。
例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。
量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。
例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。
例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。
算符与力学量的关系
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k
)2
5k 22
8
2 4
2
(
k
)2
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
Fˆn nn
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
(x) cnn( x)
n
(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
证明这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化则能谱分布情况分立谱连续谱cossincossinmama写出t时刻的波函数
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7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
2
粒子动量几率分布函数 c( p)
假设 Ψ(x) 是归一化波函数， 是归一化波函数，则 c(p) 也归一。 也归一。
6
算符与力学量的关系
• 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数 组成完备系（ 组成完备系 （ 参看： 参看 ： 梁昆淼： 梁昆淼 ： 《 数学物理方法》 数学物理方法 》 第十二章 §43；王竹溪、 王竹溪、郭敦仁， 郭敦仁，《特殊函数概论》 特殊函数概论》1.10 用正交函数 ˆ φ n = λ nφ n 组展开 p41），即若 ），即若： 即若： F 则任意函数ψ 则任意函数ψ(x) 可按φ 可按φn(x) 展开： 展开： ψ ( x) = ∑cnφn ( x) • 除上面提到的动量本征函数外, 已经证明一些力学量算符的 已经证明一些力学量算符的 本征函数也构成完备系， 本征函数也构成完备系，如下表： 如下表：
2
算符与力学量的关系
§3-6-1 力学量算符的本征函数组成完备系
实验上可观测的力学量， 实验上可观测的力学量，要求其算符的平均值为实数, 因此量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符； 因此量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符； 函数的完备性: 厄密算符的本征函数组成完全系： 厄密算符的本征函数组成完全系：任一函数ψ ψ ( x) = ∑cnφn ( x) (x)可按正交归一本征函数{φ(x)} 展开为级数： 展开为级数： n 则称{φn }是完备系 力学量算符的本征函数组成完备系: 力学量算符的本征函数组成完备系: 连续谱情况 在连续谱情况下， 在连续谱情况下，要证明一个算符的本征函数系是否完备， 要证明一个算符的本征函数系是否完备， 有时是很困难的。 有时是很困难的。但经常用到的坐标和动量算符的本征函数 系都是完备的。 系都是完备的。
算符与力学量的关系
力学量有确定值的条件
推论： 推论：当体系处于ψ 当体系处于ψ(x) 态时， 态时，测量力学量F具有确定值的充 要条件是ψ 要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态。 的一个本征态。 i. 必要性。 必要性。若F具有确定值λ 具有确定值λ则ψ(x) 必为 F 的本征态 证： 根据基本假定， 根据基本假定，测量值必为本征值之一， 测量值必为本征值之一，令λ =λm 是 F 的 一个本征值， 一个本征值，满足本征方程 确定值的意思就是 ˆφ ( x ) = λ φ ( x ) F n = 1, 2 , L , m , L 每次测量都为λ n n n 每次测量都为λ 。 且测得可能值是： 且测得可能值是： λ1,λ2,...,λm … 又根据基本假定， 又根据基本假定， ψ ( x ) = φn(x) 组成完备系， 组成完备系，
∫
m
∫ * = ∑ cn ∫ φm ( x )φn ( x )dx = ∑ cnδ mn = c m n
m n n n
n
1 = ∫ ψ ∗ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑cnφn ∑cmφm dx = n m * = ∑∑cn cmδnm = ∑ cn*cn = ∑| cn |2
CHAP.3 量子力学中的力学量
§3-1 表示力学量的算符 §3-2 动量算符与角动量算符 §3-3 电子在库仑场中的运动 §3-4 氢原子 §3-5 厄米算符本征函数的正交性 §3-6 算符与力学量的关系 §3-7 算符的对易性 测不准关系
1
算符与力学量的关系
§3-6 算符与力学量的关系
1.力学量的可能值 1.力学量的可能值； 力学量的可能值； 本节重点： 本节重点： 2.力学量平均值 2.力学量平均值； 力学量平均值； 3.本征值为分立谱与连续的有关公式的对应 按照量子力学， 按照量子力学，在任意态ψ(r)中测量任一力学量F 所得的结 果只能是由算符 F 的本征方程 ˆ φ = λ φ 解得的本征值λ F 之一。 n n n 解得的本征值λn之一。 但是, 但是,还有两点问题没有搞清楚： 还有两点问题没有搞清楚： 1. 测得每个本征值λ 测得每个本征值λn的几率是多少？ 的几率是多少？ 也就是说， 也就是说，哪些本征值能够测到， 哪些本征值能够测到， 对应几率是多少， 对应几率是多少，哪些测不到， 哪些测不到，几率为零. 2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值， 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值. 解决这些问题,从讨论本征函数的另一重要性质入手.
力学量算符 LZ 2 L , LZ 无穷深势阱 H 线性谐振子 H 本征函数系 1/2 φm(ϕ)=1/( )=1/(2 1/(2π) exp[im xp[imϕ] Ylm(θ，ϕ) 1/2 ψn = (1 (1/a) sin[( sin[(n [(nπ(x+a) /2a /2a)] 2a)] 2 2 ψn(x) = Nnexp[xp[-α x /2]Hn(αx)
算符与力学量的关系
由于φn(x)组成完备系， 组成完备系， ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 所以体系 任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得： 积分得： 展开系数 cn 与x无关。 无关。 φ ∗ ( x )ψ ( x ) dx = φ ∗ ( x )∑ c φ ( x ) dx
n
但是对于任何一个力学量算符， 但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备 并无一般证明， 并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。 这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管 怎样， 怎样，由上面分析， 由上面分析，量子力学认为： 量子力学认为：一切力学量算符的本征 函数都组成完备系。 函数都组成完备系。
算符与力学量的关系
力学量有确定值的条件
推论： 推论：当体系处于ψ 当体系处于ψ(x) 态时， 态时，测量力学量F具有确定值的充 要条件是ψ 要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态。 的一个本征态。 证：ii. 充分性。 充分性。若ψ(x)是 F 的一个本征态， 的一个本征态，即 ψ(x)= φm(x)，则 F 具有确定值。 具有确定值。 根据基本假定， 根据基本假定，力学量算符 F 的本征函数组成完备系。 的本征函数组成完备系。
ψ ( x ) = ∑ cnφn ( x ) = φm ( x )
1 | cn | = 0
2
n
测得λ 测得λn 的几率是 |cn|2 表明， 表明，测量 F 得λm 的几率为 1, 因而有确定值。 因而有确定值。
n=m n≠m
11
算符与力学量的关系
§3-6-3 力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次， 其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为： 次测量的平均值为： 4 x1 + 6 x 2 4 6 = x1 + x 2 = ω 1 x1 + ω 2 x 2 = ∑ ω i xi x= i 10 10 10 ˆ ψ ( x )dx F = ∫ψ * ( x ) F 同样， 同样，在任一态 ψ(x) 中测量 * 证： ˆ 某力学量 F 的 = ∫ ∑ c nφ n ( x ) F ∑ c mφ m ( x ) dx n m 平均值(在理论 * * ˆ φ m ( x ) dx = c c φ 上)可写为： ∑ n ∑ m ∫ n ( x )F 可写为：
由于φn(x)组成完备系， 组成完备系， 所以体系 任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： |cn|2 具有几率的意义， 具有几率的意义，cn 称为几率振幅 称为几率振幅
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
1 ipx / h ( ) ψ x = e 例： 动量本征函数： 动量本征函数： p 组成完备系, 2π h 任一状态Ψ 任一状态Ψ可按其展开 Ψ ( x ) = ∫ c( p )ψ p ( x )dp
算符与力学量的关系
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
当系统处于波函数ψ 所描写的状态时， 所描写的状态时， ˆ 的本征值 {λn} 之一， 测量力学量F所得数值， 所得数值，必为算符 F 之一， 称为几率振幅） 测得某个本征值λn 的几率为 |cn|2 .（cn称为几率振幅）