算符与力学量的关系

算符与力学量的关系
由于φn(x)组成完备系， 组成完备系， ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 所以体系 任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得： 积分得： 展开系数 cn 与x无关。 无关。 φ ∗ ( x )ψ ( x ) dx = φ ∗ ( x )∑ c φ ( x ) dx
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算符与力学量的关系
§3-6-1 力学量算符的本征函数组成完备系
实验上可观测的力学量， 实验上可观测的力学量，要求其算符的平均值为实数, 因此量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符； 因此量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符； 函数的完备性: 厄密算符的本征函数组成完全系： 厄密算符的本征函数组成完全系：任一函数ψ ψ ( x) = ∑cnφn ( x) (x)可按正交归一本征函数{φ(x)} 展开为级数： 展开为级数： n 则称{φn }是完备系 力学量算符的本征函数组成完备系: 力学量算符的本征函数组成完备系: 连续谱情况 在连续谱情况下， 在连续谱情况下，要证明一个算符的本征函数系是否完备， 要证明一个算符的本征函数系是否完备， 有时是很困难的。 有时是很困难的。但经常用到的坐标和动量算符的本征函数 系都是完备的。 系都是完备的。
n
但是对于任何一个力学量算符， 但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备 并无一般证明， 并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。 这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管 怎样， 怎样，由上面分析， 由上面分析，量子力学认为： 量子力学认为：一切力学量算符的本征 函数都组成完备系。 函数都组成完备系。
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
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• 坐标本征函数组成完备系 x Ψx ( x) = x0 Ψx ( x) − ∞ < x0 < +∞ 本征方程 本征值为x0的本征波函数 Ψx ( x) = δ ( x − x0 )
0 0
正交归一化条件 封闭关系： 封闭关系：
∞ * ′ )dx = δ ( x0 − x0 ′) ∫ Ψx0 ( x)Ψx0′ ( x)dx = ∫δ ( x − x0 )δ ( x − x0 −∞ −∞ ∞ ∞ * ∫ Ψx0 ( x′) Ψx0 ( x)dx0 = ∫δ ( x′− x0 )δ ( x − x0 )dx0 = δ ( x′ − x) −∞ −∞ ∞
由于φn(x)组成完备系， 组成完备系， 所以体系 任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： |cn|2 具有几率的意义， 具有几率的意义，cn 称为几率振幅 称为几率振幅
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
1 ipx / h ( ) ψ x = e 例： 动量本征函数： 动量本征函数： p 组成完备系, 2π h 任一状态Ψ 任一状态Ψ可按其展开 Ψ ( x ) = ∫ c( p )ψ p ( x )dp
*
n m
n
可证： 可证：当ψ (x)已归一时， 已归一时，cn也是归一的.
∗ c = φ 即 n ∫ n ( x )ψ ( x ) dx
* * c c φ ∑ ∑ n m ∫ n φ m dx n m
n
|cn|2 具有几率的意义， 具有几率的意义，cn 称为几率振幅 称为几率振幅
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CHAP.3 量子力学中的力学量
§3-1 表示力学量的算符 §3-2 动量算符与角动量算符 §3-3 电子在库仑场中的运动 §3-4 氢原子 §3-5 厄米算符本征函数的正交性 §3-6 算符与力学量的关系 §3-7 算符的对易性 测不准关系
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算符与力学量的关系
§3-6 算符与力学量的关系
1.力学量的可能值 1.力学量的可能值； 力学量的可能值； 本节重点： 本节重点： 2.力学量平均值 2.力学量平均值； 力学量平均值； 3.本征值为分立谱与连续谱的有关公式的对应 3.本征值为分立谱与连续谱的有关公式的对应 按照量子力学， 按照量子力学，在任意态ψ(r)中测量任一力学量F 所得的结 果只能是由算符 F 的本征方程 ˆ φ = λ φ 解得的本征值λ F 之一。 n n n 解得的本征值λn之一。 但是, 但是,还有两点问题没有搞清楚： 还有两点问题没有搞清楚： 1. 测得每个本征值λ 测得每个本征值λn的几率是多少？ 的几率是多少？ 也就是说， 也就是说，哪些本征值能够测到， 哪些本征值能够测到， 对应几率是多少， 对应几率是多少，哪些测不到， 哪些测不到，几率为零. 2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值， 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值. 解决这些问题,从讨论本征函数的另一重要性质入手.
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§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
当系统处于波函数ψ 所描写的状态时， 所描写的状态时， ˆ 的本征值 {λn} 之一， 测量力学量F所得数值， 所得数值，必为算符 F 之一， 称为几率振幅） 测得某个本征值λn 的几率为 |cn|2 .（cn称为几率振幅）
ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L
力学量算符 LZ 2 L , LZ 无穷深势阱 H 线性谐振子 H 本征函数系 1/2 φm(ϕ)=1/( )=1/(2 1/(2π) exp[im xp[imϕ] Ylm(θ，ϕ) 1/2 ψn = (1 (1/a) sin[( sin[(n [(nπ(x+a) /2a /2a)] 2a)] 2 2 ψn(x) = Nnexp[xp[-α x /2]Hn(αx)
Baidu Nhomakorabea因为:
x δ ( x − x0 ) = x0 δ ( x − x0 )
0
完备性， 完备性，任何波函数都可以向 δ ( x − x0 ) “展开”： ∞ Ψ( x) = ∫ Ψ( x0 )δ ( x − x0 )dx0
• 动量本征函数组成完备系
−∞
动量算符的本征函数系是定义在整条实轴 (−∞< x < ∞) 上的平面 波，作为Fourier 变换的基底， 变换的基底，其完备性是显然的。 其完备性是显然的。 r r r 3 r r r r 3 r or Ψ(r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p (r )d p ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d p 4
∫
m
∫ * = ∑ cn ∫ φm ( x )φn ( x )dx = ∑ cnδ mn = c m n
m n n n
n
1 = ∫ ψ ∗ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑cnφn ∑cmφm dx = n m * = ∑∑cn cmδnm = ∑ cn*cn = ∑| cn |2
ψ ( x ) = ∑ cnφn ( x ) = φm ( x )
1 | cn | = 0
2
n
测得λ 测得λn 的几率是 |cn|2 表明， 表明，测量 F 得λm 的几率为 1, 因而有确定值。 因而有确定值。
n=m n≠m
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§3-6-3 力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次， 其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为： 次测量的平均值为： 4 x1 + 6 x 2 4 6 = x1 + x 2 = ω 1 x1 + ω 2 x 2 = ∑ ω i xi x= i 10 10 10 ˆ ψ ( x )dx F = ∫ψ * ( x ) F 同样， 同样，在任一态 ψ(x) 中测量 * 证： ˆ 某力学量 F 的 = ∫ ∑ c nφ n ( x ) F ∑ c mφ m ( x ) dx n m 平均值(在理论 * * ˆ φ m ( x ) dx = c c φ 上)可写为： ∑ n ∑ m ∫ n ( x )F 可写为：
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力学量有确定值的条件
推论： 推论：当体系处于ψ 当体系处于ψ(x) 态时， 态时，测量力学量F具有确定值的充 要条件是ψ 要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态。 的一个本征态。 i. 必要性。 必要性。若F具有确定值λ 具有确定值λ则ψ(x) 必为 F 的本征态 证： 根据基本假定， 根据基本假定，测量值必为本征值之一， 测量值必为本征值之一，令λ =λm 是 F 的 一个本征值， 一个本征值，满足本征方程 确定值的意思就是 ˆφ ( x ) = λ φ ( x ) F n = 1, 2 , L , m , L 每次测量都为λ n n n 每次测量都为λ 。 且测得可能值是： 且测得可能值是： λ1,λ2,...,λm … 又根据基本假定， 又根据基本假定， ψ ( x ) = φn(x) 组成完备系， 组成完备系，
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力学量有确定值的条件
推论： 推论：当体系处于ψ 当体系处于ψ(x) 态时， 态时，测量力学量F具有确定值的充 要条件是ψ 要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态。 的一个本征态。 证：ii. 充分性。 充分性。若ψ(x)是 F 的一个本征态， 的一个本征态，即 ψ(x)= φm(x)，则 F 具有确定值。 具有确定值。 根据基本假定， 根据基本假定，力学量算符 F 的本征函数组成完备系。 的本征函数组成完备系。
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§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
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粒子动量几率分布函数 c( p)
假设 Ψ(x) 是归一化波函数， 是归一化波函数，则 c(p) 也归一。 也归一。
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算符与力学量的关系
• 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数 组成完备系（ 组成完备系 （ 参看： 参看 ： 梁昆淼： 梁昆淼 ： 《 数学物理方法》 数学物理方法 》 第十二章 §43；王竹溪、 王竹溪、郭敦仁， 郭敦仁，《特殊函数概论》 特殊函数概论》1.10 用正交函数 ˆ φ n = λ nφ n 组展开 p41），即若 ），即若： 即若： F 则任意函数ψ 则任意函数ψ(x) 可按φ 可按φn(x) 展开： 展开： ψ ( x) = ∑cnφn ( x) • 除上面提到的动量本征函数外, 已经证明一些力学量算符的 已经证明一些力学量算符的 本征函数也构成完备系， 本征函数也构成完备系，如下表： 如下表：
∑ c φ ( x)
n n n
现在只测得λ 现在只测得λm，所以 |cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。
相应几率是： 相应几率是： |c1|2, |c2|2, … ,|cm|2...
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于是得 ψ(x)= φm(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个本征态。 的一个本征态。