函数的应用(一)_函数的概念与性质PPT
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专题03函数的概念与性质高一数学上学期期中考点(人教A版必修第一册)课件
奇函数
偶函数
2 知识回归
知识回顾 8：幂函数的图象与性质
8.1、五个幂函数的图象 (记忆五个幂函数的图象 ）
当 1, 2,3, 1 , 1 时，我们得到五个幂函数： 2
f
(x)
x
；
f
(x)
x2
；
f
(x)
x3
；
f
(x)
1
x2
；
f
(x)
x 1
2 知识回归
知识回顾 8：幂函数的图象与性质 8.2、五个幂函数的性质
3 典型例题讲与练
考点二：函数的值域
【典例
5】（2023·全国·高一专题练习）函数
f
(x)
8x x2
15 3x
4
的值域为（
）
A．
1 7
,
1 3
B．
8 7
,
2
C．
16 7
,
4
D．以上答案都不对
【详解】设题中函数为 y f x ，则 yx2 (3y 8)x 4y 15 0 ，
当 y 0 时， x 15 ；
2 知识回归
知识回顾 3：求函数解析式
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），
可用待定系数法．
（2）换元法：主要用于解决已知 f g x 这类复合函数的解析式，求函数 f x
的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
（3）配凑法：由已知条件 f g x F x ，可将F x 改写成关于 g x 的表达式，
特别地，当函数 f (x) 在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
偶函数
2 知识回归
知识回顾 8：幂函数的图象与性质
8.1、五个幂函数的图象 (记忆五个幂函数的图象 ）
当 1, 2,3, 1 , 1 时，我们得到五个幂函数： 2
f
(x)
x
；
f
(x)
x2
；
f
(x)
x3
；
f
(x)
1
x2
；
f
(x)
x 1
2 知识回归
知识回顾 8：幂函数的图象与性质 8.2、五个幂函数的性质
3 典型例题讲与练
考点二：函数的值域
【典例
5】（2023·全国·高一专题练习）函数
f
(x)
8x x2
15 3x
4
的值域为（
）
A．
1 7
,
1 3
B．
8 7
,
2
C．
16 7
,
4
D．以上答案都不对
【详解】设题中函数为 y f x ，则 yx2 (3y 8)x 4y 15 0 ，
当 y 0 时， x 15 ；
2 知识回归
知识回顾 3：求函数解析式
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），
可用待定系数法．
（2）换元法：主要用于解决已知 f g x 这类复合函数的解析式，求函数 f x
的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
（3）配凑法：由已知条件 f g x F x ，可将F x 改写成关于 g x 的表达式，
特别地，当函数 f (x) 在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
函数的定义与性质
函数的定义与性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在不同的数学分支和实际问题中都起着至关重要的作用。
本文将探讨函数的定义和性质，并从不同角度解释函数的本质。
一、函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用字母表示函数，例如f(x)或g(x)。
函数的定义通常包含以下几个要素：1. 定义域（Domain）：函数的定义域是指输入变量的取值范围。
例如，对于函数f(x) = √x，定义域为非负实数集合[0, +∞)。
2. 值域（Range）：函数的值域是指函数在定义域中能够取到的所有值的集合。
例如，函数f(x) = x²的值域为非负实数集合[0, +∞)。
3. 映射规则（Mapping Rule）：函数的映射规则描述了输入变量和输出变量之间的关系。
例如，函数f(x) = 2x + 1表示将输入变量x乘以2并加1得出输出变量f(x)。
二、函数的性质函数具有多种性质，包括连续性、单调性、奇偶性等。
下面将介绍其中一些常见的性质。
1. 连续性（Continuity）：函数在定义域内的每个点都是连续的。
具体来说，函数在某一点x=a处连续，意味着当x趋近于a时，函数值f(x)趋近于f(a)。
例如，函数f(x) = sinx在其定义域内是连续的。
2. 单调性（Monotonicity）：函数在定义域内的每个点都具有单调性。
单调递增意味着对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)≤f(x₂)；单调递减则意味着对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)≥f(x₂)。
例如，函数f(x) = x³是单调递增的。
3. 奇偶性（Parity）：奇函数具有f(-x) = -f(x)的性质，即关于原点对称；偶函数具有f(-x) = f(x)的性质，即关于y轴对称。
例如，函数f(x) = x³是奇函数，而函数g(x) = x²是偶函数。
人教高中数学必修一B版《函数及其表示方法》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数的概念)
相应的 y 值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，
不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”．在研究函数时，除用符号 f(x)外，还
常用 g(x)，h(x)等来表示函数．
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(2)f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 x＝a 时，函数 f(x)的值， 是一个常量，而 f(x)是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量， f(a)是 f(x)的一个特殊值，如一次函数 f(x)＝3x＋4，当 x＝8 时，f(8) ＝3×8＋4＝28 是一个常数．
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2．两个函数相同 一般地，如果两个函数的定义域 相同 ，对应关系也 相同(即对 自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函 数就是同一个函数．
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[解]
(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 课件
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函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
函数的性质综合应用
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数，一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称
（三）奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
（1）定义 设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x)， 则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期，所有周期中最小的正数，称为最小正周期，简称周期。
变式：设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7－x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上 －30， 30 与x轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 0， 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点 而区间 30,30 上有6个周期，故在闭区间－30， 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3．已知函数f ( x)
2
第1课时 函数的单调性 课件(42张)
点拨：二次函数的单调性与对称轴有关．
与二次函数单调性相关的参数问题 (1)若已知函数的单调区间，则对称轴即区间的端点； (2)若已知函数在某区间上的单调性，则该区间是函数相关区间的子区间，利用端 点关系求范围．
பைடு நூலகம் 【加固训练】
函数 f(x)＝x2＋(2a＋1)x＋1 在区间[1，2]上单调，则实数 a 的取值范围是( )
创新思维 抽象函数的单调性(逻辑推理) 【典例】已知函数 f(x)对任意的 a，b∈R，都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当 x>0 时，f(x)>1. 求证：f(x)是 R 上的增函数； 【证明】设 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 x2－x1>0，即 f(x2－x1)>1， 所以 f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝ f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. 所以 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)是 R 上的增函数．
范围为－32，＋∞ ∪－∞，－25 .
解不等式
【典例】(2020·昆明高一检测)已知 f(x)是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等
式 f(x2－x)－f(x)＞0 的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】选 B.因为 f(x)是定义在 R 上的减函数，则 f(x2－x)－f(x)＞0.所以 f(x2－ x)＞f(x)，所以 x2－x＜x.即 x2－2x＜0，解可得 0＜x＜2.即不等式的解集为(0，2).
基础类型二 利用定义证明函数的单调性(逻辑推理) 【典例】证明：函数 f(x)＝x2－x 1 在区间(－1，1)上单调递减．
函数的定义与性质
函数的定义与性质函数在数学中起着至关重要的作用，它不仅是数学领域的基础概念，也是解决实际问题的重要工具。
下面将对函数的定义以及函数的性质进行探讨。
一、函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
通常表示为f(x)，其中x为输入变量，f(x)为输出变量。
函数可以用各种形式的表达式来表示，例如：f(x) = x^2 + 1。
这个函数的定义域是实数集，值域是大于等于1的实数集。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是输入变量的取值范围，而值域是输出变量的取值范围。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或其他有限范围。
2. 单调性：函数的单调性指函数在定义域内的取值随输入变量的增减而增减。
函数可以是递增的、递减的或具有单调区间。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指函数在定义域内的取值与输入变量的正负关系。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
4. 对称性：函数的对称性指函数图像关于某直线或某点对称。
常见的对称性包括x轴对称、y轴对称和原点对称。
5. 极值：函数的极值是指在定义域内取得的最大值和最小值。
极值可能出现在函数的临界点或者开区间的端点。
6. 周期性：函数的周期性指函数的取值在一定区间内以一定规律重复出现。
周期函数的图像是具有规律性波动的。
7. 反函数：函数的反函数指将输出变量作为输入变量的函数。
反函数通过交换输入输出变量的角色来表示，通常表示为f^(-1)(x)。
函数的性质不仅有助于我们深入理解函数的本质，还可以应用于各种数学问题的解决。
在微积分、代数和数值计算等领域中，函数的性质被广泛应用。
总结起来，函数的定义与性质是数学领域中的基础概念，通过对函数进行定义和分析，我们可以深入理解数学问题的本质，并应用于实际问题的求解中。
正是因为函数的重要性，我们才能更好地掌握数学的精髓，为解决实际问题提供有效的工具和方法。
人教数学B版必修一《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的表示方法)
(4)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3，x≤x>1，1 是分段函数．(3)× (4)√
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x2＋1，x≤1，
2．设函数 f(x)＝2x，x>1，
则 f(f(3))＝( )
A.15
B．3
2
13
C.3
D. 9
D [∵f(3)＝23≤1，
∴f(f(3))＝232＋1＝193.]
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20
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形 表示为定义在A上的函数图像的是( )
A
B
C
D
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21
(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x12345
y45321
A.1
B．2
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，
44
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45
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式 表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解 析式有意义的实数集 R 或 R 的子集．
2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与 x 轴、y 轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．
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37
[解] (1)列表
x2345 …
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图像
可知其值域为(0,1]．
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(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：
第三章函数的概念与性质章末总结课件-2025届高三数学一轮复习
B.−
3
2
7
4
C.
5
2
D.
【解析】由于f x + 1 为奇函数，所以函数f x 的图象关于点 1,0 对称，即有
f x + f(2 − x) = 0，所以f 1 + f 2 − 1 = 0，得f 1 = 0，即a + b = 0 ①.
由于f x + 2 为偶函数，所以函数f x 的图象关于直线x = 2对称，即有
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量（单位：千瓦·时）
低谷电价（单位：元/（千瓦·时））
50及以下的部分
0.288
超过50不超过200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦·时，低谷时间段用电量为100千瓦·时，
148.4
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为______元.（用数字作答）
当−1 < k < 0时， f x 在x = 1处取得最小值f 1 = −1,在x = 3处取得最大值
f 3 =
1
− .
k
3−2x
例2 画出函数y =
的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在[−1,2]上的值域.
x−3
3−2x
6−2x −3
3
【解析】y =
=
= −2 −
.
x−3
x−3
x−3
设f x =
最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市
用丙车比用乙车更省油
图3-4
第04课函数性质的综合应用(课件)
【反思】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变
量转化到已知解析式的定义域内求解．
一、【考点逐点突破】
【考点 5】函数的周期性与偶函数之性质判断 【典例】(多选)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上单调递减，下面关于 f(x)的判断正确的 是( ) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．f(x)在[2,4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线 x＝2 对称
【解析】因为函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称， 所以函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以 f(2 020)＋f(2 022)＝f(2 020)＋f(2 020＋2) ＝f(2 020)＋f(－2 020)＝f(2 020)－f(2 020)＝0，所以 f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4. 【反思】由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可推导出周期性，二是可 利用奇偶性、对称性画草图，利用图象判断周期性．
故 f(8)＝0.故 f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在 f(x＋8)＋f(x)＝0 中，令 x＝－3，得 f(5)＋f(－3)＝0，得 f(5)＝－
f(－3)＝f(3)＝5，则 f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以 f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选 B.
一、【考点逐点突破】
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数的单调性)
函数，则实数 a 的取值范围是________．
(2)已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)， 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
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则实数 x 的取值范围为________．
D．y＝1－x
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3．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调
(－∞，1] [因为 f(x)＝x2－2x＋3
减区间是________．
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是图象开口向上的二次函数，其对称 轴为 x＝1，所以函数 f(x)的单调减区
所以 a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
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2．(变条件)若本例(2)的函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求 x
的范围．
课件
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课件 课件
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[解] 由题意可知，
2x－3>0，
5x－6>0， 2x－3<5x－6，
若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)>f(b)时，a<b.
2．决定二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置，即字母 a 的符号及－2ba的大小．
《函数的概念》函数的概念与性质PPT
可以用任意的字母表示,如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a等,那么,不同的字
母表示对两个函数是否为同一个函数有影响吗?
提示:自变量、因变量和对应关系用什么字母表示与函数无关,
不影响两个函数的关系.
如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a,只要自变量取值范围相同,它们就是同
一个函数.
即
||- ≠ 0,
≠ -2,
解得 x<0,且 x≠-2.
|| ≠ ,
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
4- ≥ 0,
≤ 4,
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
即
≠ 1.
-1 ≠ 0,
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
课堂篇
探究学习
探究一
4
3
2
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含于{y|0≤y≤2},故成立;
8
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含{y|0≤y≤2},故不成立;
3
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故成立.故选 C.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
区间
分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的方法是:先求
函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函
数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达
式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
母表示对两个函数是否为同一个函数有影响吗?
提示:自变量、因变量和对应关系用什么字母表示与函数无关,
不影响两个函数的关系.
如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a,只要自变量取值范围相同,它们就是同
一个函数.
即
||- ≠ 0,
≠ -2,
解得 x<0,且 x≠-2.
|| ≠ ,
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
4- ≥ 0,
≤ 4,
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
即
≠ 1.
-1 ≠ 0,
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
课堂篇
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探究一
4
3
2
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含于{y|0≤y≤2},故成立;
8
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含{y|0≤y≤2},故不成立;
3
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故成立.故选 C.
答案:C
课堂篇
探究学习
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探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
区间
分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的方法是:先求
函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函
数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达
式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
高中数学必修一教学课件 3.1.1 函数的概念及其表示
解析：由 2－x≥0 解得 x≤2，所以 M＝(－∞，2]，所以∁R M ＝(2，＋∞)． 答案：A
2．函数 f(x)＝x－x1的定义域为________． 解析：要使x－x1有意义，需满足xx－≥10≠，0， 解得 x≥0 且 x≠1，故函数 f(x)的定义域为{x|x≥0 且 x≠1}．
又因为 g(x)＝x＋1 2，
所以 g(f(2))＝g(10)＝101＋2＝112，
g(a)＋g(0)＝a＋1 2＋12(a≠2)．
答案：10
1 12
a＋1 2＋12
(2)(2018·杭州七校联考)求下列函数的值域： ①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③y＝2xx－＋31；④y＝2x－ x－1. [解析] ①观察法：因为 x∈{1,2,3,4,5}，分 别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． ②配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由 x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数 的值域为[2,6)．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的 三要素，缺一不可．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．
()
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个 x 可以对应着值
域中不同的 y.
()
(4)在函数的定义中，集合 B 是函数的值域．
的实数集合；
(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式
子都有意义；
(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际
问题有意义．
[对点练清]
函数的概念(1)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
350km/h后，运行了1h就前进了350km”你认为这个说法正确吗？
3）你认为如何表述s与t的对应关系才能更精确？
问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不
超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每
周付一次工资
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？
工作时间/天 1
2
3
4
5
6
所得工资/元 350
700
1050
1400
1750
2100
（2）一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？
（3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出
这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？
（4）问题1和2中函数的对应关系相同，你认为他们是同一个
函数吗？为什么？
150
问题三：右图是北京市2016
57}
B4 = r 0＜r ≤ 1
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但是他们都有如下特
征：对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系，在数集B中
都有唯一确定的数y和它对应。
w=350d
一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个数x，按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一
确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
中的一个函数
记作y = f x ，x ∈ A
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x
相对应的y值叫作函数值，函数值的集合ሼf x 丨x ∈ A}叫作
函数的值域
下列集合A到集合B的对应哪些是函数：
3）你认为如何表述s与t的对应关系才能更精确？
问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不
超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每
周付一次工资
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？
工作时间/天 1
2
3
4
5
6
所得工资/元 350
700
1050
1400
1750
2100
（2）一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？
（3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出
这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？
（4）问题1和2中函数的对应关系相同，你认为他们是同一个
函数吗？为什么？
150
问题三：右图是北京市2016
57}
B4 = r 0＜r ≤ 1
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但是他们都有如下特
征：对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系，在数集B中
都有唯一确定的数y和它对应。
w=350d
一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个数x，按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一
确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
中的一个函数
记作y = f x ，x ∈ A
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x
相对应的y值叫作函数值，函数值的集合ሼf x 丨x ∈ A}叫作
函数的值域
下列集合A到集合B的对应哪些是函数：
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产文具盒(
)
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套
解析:因利润z=12x-(6x+30 000),
所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000
套.
答案:D
反思感悟 一次函数模型的应用
利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答
时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二Βιβλιοθήκη 探究三探究四思维辨析
随堂演练
变式训练 1商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个
5元,该商店推出两种优惠办法:
(1)买一个茶壶赠一个茶杯;
(2)按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),
间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润
是多少?
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每
2
2
2
+ .
4
2
当 = ,即 A= 时,D 取得最大值.
2
4
2
答案:(1)D (2) 4
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思维辨析
随堂演练
一次函数模型的应用
例1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系
为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生
要注意自变量的取值范围.
课堂篇
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思维辨析
随堂演练
变式训练2某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄
水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供
水总量为120 6 吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水
x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;
当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法(1)更省钱;
当x>34时,y1>y2,优惠办法(2)更省钱.
课堂篇
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思维辨析
随堂演练
二次函数模型的应用
函数和幂函数模型解
决一些简单的实际问
题.
课前篇
自主预习
利用具体函数模型解决实际问题
1.常见的数学模型有哪些?
提示:利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容,具体
函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,
希望同学们能重点运用一次函数、二次函数、、幂函数和分段函
数等常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型:
箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x
的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在
一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.
课堂篇
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思维辨析
随堂演练
解:(1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨,
则 y=400+60t-120 6,
令 6=x,则 x =6t,即
2
(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,
因此应用也十分广泛.
课前篇
自主预习
2.数学模型可以用下面的图表来表示解决过程.
课前篇
自主预习
3.做一做
假设某种商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系
R=a ,广告效应D=R-A,则当A=
时,取得最大的广告效
应.
解析
D=a -A=-( ) +a =2
例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不
得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格
销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关
系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之
2
t= 6 ,
所以 y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,
∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40,
即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池存水量最少,只有 40 吨.
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b 为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的
应用题考查中最为常见.
(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利
润为1 125元.
课堂篇
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
反思感悟 二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、
换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的
对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定
《函数的应用(一)》函数的概念与性 质PPT
函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
-1《函数的应用(一)》函数的概念与性 质PPT
首页
课标阐释
思维脉络
1.理解函数是描述客
观世界中变量关系和
规律的重要数学语言
和工具.
2.在实际情境中,会选
择合适的函数类型刻
画现实问题的变化规
律.
3.会应用一次、二次
付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并
讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
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随堂演练
解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=20×4+5(x4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法(2)可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且
)
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套
解析:因利润z=12x-(6x+30 000),
所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000
套.
答案:D
反思感悟 一次函数模型的应用
利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答
时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
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变式训练 1商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个
5元,该商店推出两种优惠办法:
(1)买一个茶壶赠一个茶杯;
(2)按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),
间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润
是多少?
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化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每
2
2
2
+ .
4
2
当 = ,即 A= 时,D 取得最大值.
2
4
2
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例1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系
为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生
要注意自变量的取值范围.
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变式训练2某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄
水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供
水总量为120 6 吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水
x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;
当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法(1)更省钱;
当x>34时,y1>y2,优惠办法(2)更省钱.
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函数和幂函数模型解
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1.常见的数学模型有哪些?
提示:利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容,具体
函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,
希望同学们能重点运用一次函数、二次函数、、幂函数和分段函
数等常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型:
箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x
的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在
一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.
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解:(1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨,
则 y=400+60t-120 6,
令 6=x,则 x =6t,即
2
(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,
因此应用也十分广泛.
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2.数学模型可以用下面的图表来表示解决过程.
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3.做一做
假设某种商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系
R=a ,广告效应D=R-A,则当A=
时,取得最大的广告效
应.
解析
D=a -A=-( ) +a =2
例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不
得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格
销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关
系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之
2
t= 6 ,
所以 y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,
∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40,
即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池存水量最少,只有 40 吨.
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b 为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的
应用题考查中最为常见.
(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利
润为1 125元.
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构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、
换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的
对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定
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观世界中变量关系和
规律的重要数学语言
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付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并
讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
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解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=20×4+5(x4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法(2)可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且