Gerschgorin Circle Theorem
趣味数学小故事大全
趣味数学小故事大全我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到其成就的业绩——哥德。
今天小编在这给大家整理了数学小故事大全，接下来随着小编一起来看看吧!数学小故事(一)1.巧测金字塔高度金字塔是埃及的著名建筑，尤其胡夫金字塔最为著名，整个金字塔共用了230万块石头，10万奴隶花了30年的时间才建成这个建筑。
金字塔建成后，国王又提出一个问题，金字塔倒底有多高，对这个问题谁也回答不上来。
国王大怒，把回答不上来的学者们都扔进了尼罗河。
当国王又要杀害一个学者崐的时候，著名学者塔利斯出现了，他喝令刽子手们住手。
国王说：“难道你能知道金字塔的高度吗?”塔利斯说：“是的，陛下。
”国王说：“那么它高多少?”塔利斯沉着地回答说：“147米。
”国王问：“你不要信口胡说，你是怎么测出来的?”塔利斯说：“我可以明天表演给你看。
”第二天，天气晴朗，塔利斯只带了一根棍子来到金字塔下，国王冷笑着说：“你就想用这根破棍子骗我吗?你今天要是测不出来，那么你也将要被扔进尼罗河!”塔利斯不慌不忙地回答：“如果我测不出来，陛下再把我扔进尼罗河也为时不晚。
”接着，塔利斯便开始测量起来，最后，国王也不得不服他的测量是有道理的。
小朋友，你知道塔利斯是如何进行测量的吗? 2. 蜗牛何时爬上井?一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。
它趴在井底哭了起来。
一只癞蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟!哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。
我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了!”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里!”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去!请问这口井有多深?”“哈哈哈……，真是笑话!这井有10米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去呢?”“我不怕苦、不怕累，每天爬一段，总能爬出去!”第二天，蜗牛吃得饱饱的，喝足了水，就开始顺着井壁往上爬了。
集合11
§1 集合的含义
及其表示
一般地，一定范围内某些确定的、不同 的对象的全体构成一个集合(set)． 集合中的每一个对象称为该集合的元素 (element)，简称元． ①确定性：明确的标准；
②互异性：任意两个元素都不相同；
③无序性：元素的排列没有顺序．
集合常用大写拉丁字母表示，如集合A；
而元素用小写拉丁字母表示，如元素a．
≠ ≠
读作： “A真包含于B”或“B真包含A”．
如果集合S包含我们所要研究的各 个集合的全部元素，这时将S看作是一 个全集(universal set)． 通常记作：U． 设AS，由S中不属于A的所有元素组成 的集合称为S的子集A的补集(complementary set)．
记作：∁sA ＝｛x｜xS，且xA｝．
y， o， b， u， n e g
E＝｛1，2，3，4，5｝， F＝｛4，5，6，7｝， G＝｛4，5｝． 1， 2， 3 4， 6， 5 7
一般地，由所有属于集合 由所有属于集合A且属于
集合B的元素构成的集合，称为 的元素构成的集合 A与B
的交集(intersection set)，
记作：A∩B，
赛的有 6名同学．两项比赛中，这个班共有
多少名同学没有参加过比赛？
U
A A∩B B (6) (6) (14)
∁U(A∪B)
解：设A＝｛x｜x为参加排球赛的同学｝， 集合中元素的个数为12； B＝｛x｜x为参加田径赛的同学｝， 集合中元素的个数为20； 则A∩B＝｛x｜x为两项比赛都参加的同学｝， 集合中元素的个数为6； A∪B＝｛x｜x为至少参加一项比赛的同学｝， 集合中元素的个数为12＋20―6＝26． 画出Venn图， 两次比赛均没有参加的共有45―26＝19（人）． 答：这个班共有19位同学两项比赛都没有参加．
gersgorin圆盘定理
gersgorin圆盘定理Gersgorin圆盘定理是一种用于估计矩阵特征值的方法，它由苏联数学家格列高瑞·格尔西亚诺夫（Mark Grigorievich Krein）和德国数学家哈尔特穆特·格尔斯戈林（Semyon Aronovich Gersgorin）分别于1931年和1935年提出。
这个定理使用矩阵的行和列的和来构建一组包含特征值的圆盘，从而给出了特征值的一个范围。
在矩阵论中，矩阵的特征值是一个非常重要的概念，它可以揭示矩阵的很多性质，并在很多实际问题中有着广泛的应用。
特征值的计算是一个复杂的过程，通常需要使用数值方法来近似求解。
而Gersgorin圆盘定理则提供了一种简单而有效的方法来估计特征值的范围。
Gersgorin圆盘定理的核心思想是，一个矩阵的特征值位于其对应的圆盘内部。
这些圆盘的圆心是矩阵的每一行的主对角线元素的和，半径是矩阵的每一行的非主对角线元素的绝对值之和。
换句话说，特征值必须在这些圆盘内部。
我们可以通过一个简单的例子来理解Gersgorin圆盘定理的应用。
假设我们有一个3x3的矩阵A，其元素如下：A = [5, 1, 2][2, 4, 1][3, 2, 6]根据Gersgorin圆盘定理，我们可以计算出每个圆盘的圆心和半径：第一个圆盘的圆心是5，半径是1+2=3；第二个圆盘的圆心是4，半径是2+1=3；第三个圆盘的圆心是6，半径是3+2=5。
根据这些圆盘，我们可以估计出矩阵A的特征值的范围。
特征值必须在这些圆盘内部，即5±3、4±3和6±5之间。
因此，矩阵A的特征值应该在区间[2, 8]内。
Gersgorin圆盘定理的优点是简单易懂，并且可以直观地给出特征值的估计范围。
它在实际问题中的应用非常广泛，特别是在电力系统、控制理论和结构力学等领域。
然而，需要注意的是，Gersgorin圆盘定理只能给出特征值的一个范围估计，并不能准确地计算出特征值的具体值。
gerschgorin圆盘定理
Gerschgorin圆盘定理是由俄国数学家谢尔盖·格鲁斯高林（SergeiGerschgorin）于1931年提出的定理，它提供了一种可以从矩阵的对角线元素和非对角线元素推断出该矩阵特征值的有用方法。
此定理可以看作是微积分学中的极限定理，它把矩阵中的元素及其特征值之间的关系表示为一组圆的集合，因而得名。
根据Gerschgorin圆盘定理，给定一个n阶实对称矩阵A，其特征值λi（i=1,2,...,n）落在以下这n个圆Ci（i=1,2,...,n）内：Ci={x|x-ai<=sum|aik|,k≠i}其中，ai为矩阵A的第i行第i列元素，aik（k≠i）为矩阵A的第i行第k列元素，sum|aik|表示除第i行第i列元素外，矩阵A其他元素的绝对值之和。
这里，我们以一个3阶实对称矩阵A为例，推导Gerschgorin圆盘定理：A=|12 -4 2||-4 6 -3|| 2 -3 5|此时，矩阵A的特征值η1、η2、η3落在以下3个圆C1、C2、C3内：C1={x|x-12<=sum|a1k|,k≠1}C2={x|x-6<=sum|a2k|,k≠2}C3={x|x-5<=sum|a3k|,k≠3}根据矩阵A的结构可以得出：sum|a1k|=|-4|+|2|=6，sum|a2k|=|-4|+|-3|=7，sum|a3k|=|2|+|-3|=5，因此：C1={x|x-12<=6}C2={x|x-6<=7}C3={x|x-5<=5}由此可得，特征值η1、η2、η3分别落在C1、C2、C3三个圆内：C1：η1∈[6,18]C2：η2∈[-1,13]C3：η3∈[0,10]综上，根据Gerschgorin圆盘定理，可以得出矩阵A的特征值ηi（i=1,2,3）的取值范围ηi∈[6,18]∪[-1,13]∪[0,10]。
由于Gerschgorin圆盘定理把矩阵特征值的取值范围准确表示出来，因此，它在多个领域都得到了广泛的应用，如：（1）在电力系统的稳定性分析中，可以利用Gerschgorin圆盘定理对系统扰动响应模型的特征值进行估计，从而推断系统的稳定性。
关于Ostrowski圆盘定理的一个注记
关于Ostrowski圆盘定理的一个注记1999年12月Dec1999应用数学与计算数学CoMMoNAPPLMATHANDCOMPU,1-⑦/3一,77第l3卷第2期V ol13N,a2关于ni『曩理的一个注记(=)/2_/刘彬清V』l上海大学数学系,上海,200436摘要本文对Ostrowski给出的关于矩阵的特征值估计作些讨论,特征值分布特性被揭示,进而得到了一个判定矩阵非奇异性的充分条件.关键词:嬖丝垡:塑韭避()5亡,2,j———走—～,,J6,fVuu'V,,,设c"表示维复向量空间,c…表示nXn复矩阵空间,A∈,记兄=∑,对于矩阵特征值问题:Ax=Ax,X∈,Gerschgorin于1937年对特征值估计得到了着名的圆盘定理:定理1【](Gerschgorin)设A∈,对于的每个特征值A,至少存在一个(1in),使得IA—nI兄(或IA一%I墨G)成立.后由Ostrowski推广了上述结果:定理2121(Ostrowski)设A∈,对于A的特征值A,至少存在一个i(1i),对某一a∈Io,1],使得IA一.I碍qi～成立.推论is](Ostrowski)设A∈C,若对某一∈o,1】,1>Rct一(z=1,2,…,").则A为非奇异阵.本文将对Ostrowski定理作一些讨论,进而得到关于判别A非奇异性的一个充分条件.I进记号:定理3设A∈c…且为不可约矩阵,若A的一个特征值A位于G的边界上,则A位于每个G;(1=1,2,…,n)的边界上.证明先讨论∈(0,1)的情形.设对应于A的特征向量为≠0,∈C,则本文L999年9月9日收到Ax=Ax2l=-1∈叶∈=～<一Ⅱ一.GUm=一G74应用数学与计葬数学l3卷于是(^一.=∑a.ijxjnnA一%∑I.I=∑la~JI.()j=12一n;;对上式右端使用HSlder不等式得妻(妻l).(l击)(击)-1-.,…,;当且仅当向量=(1ai~I.),:1—2一1,i-I-1.一㈤i=1,2,?一,n与向量=(In"I.II),:l...一l,i+1,i=1,2,?一,线性相关时,(1)式第二个不等号中的'号取等号.由A的不可约性,可推知皿≠0,G≠o(i=1,2,…,n),于是()击l喜川l=,,…,n对上式关于i作求和得()击一:击喜川吲击=∑(∑),:(3)击∑r皇==<一<一一2期刘彬清:关于Ostrowskl圆盘定理的一个注记75由定理条件:A位于G的边界上,所以IA一.蟛一即()击…,.,…,所以i=1()I壹i=1c=cI击(比较(3)与(4)必须有(,/击:\一即IA一ⅡI:Rc一.i∈{lI≠0,=1,2,-,)此时(4).(3),(2),(1)必须成为等式.下面证明:≠0,i=1,2,…,n若存在某一io(1n)z.=0,在(1)式中令i=io,注意到(1)式己为等式,所以∑,击:0;即有la~ojIII=0J=1,2,…,io一1,0+1,…,n由A的不可约性,对于指标io及任意J0≠io),一定存在非零元素链aioiln 0,其中1iD,il,i2,…,,且互不相同,由(5)式得la忙,I所以=0又由(1)式得laⅥllxI:0J=1,2,..则:Ib:;l击所以z,=0.于是反复利用(1)式得la~,jllqI击推得叶=0=1,2,一,io于是=0与≠0引起矛盾.(5)Ⅱ,J≠nn,十一L+ol一0qo应用数学与计算数学所以≠0i=l,2,?--,所以l^一.l=兄～z=1,2,…,n即入位于每个G(1.2,一,n)的边界上.对于=0,1情况结论仍然成立_1J_于是定理证毕.推论1在定理3的条件下,设z=(Xll.,….)为对应^的特征向量,则(1)≠0z=1,2---,n:(2)当a=i1.1时,lXll=2l==lf_证明(1)在定理3证明中已证得.(2)当a=i1时,因为R≠O:1,2,…,),所以≠0(i=1,2,--,).由的不可约性,对任何i(i=1.2.…,n)必存在0(Jo≠i)使aid.≠0.所以,laij.]l-a.l≠0所以,≠0i=l,2.…m由于(1)已为等式,所以:≈t0=l,2,??,n其中k为仅与有关的非零常数.即lllJl=l.0l.:1,2,--.由的不可约性知,对任何J(J=1,2,?0=1时有ldJxjl因而推得l=;J=12,--,n当a=1时,结论仍然成立_1Jl推论2设A∈且为不可约阵,,n)必存在io(如≠)使n≠0,所以当kiolⅡt.,若对某个a∈[0,l1-I≥霹i=l,2,…,n且至少有一个不等式严格成立,则为非奇异阵.证明用反证法证明.若为奇异阵,则A必有一特征值^:0,不妨设^位于G(1s)中,即所以由定理条件知l^一ol只～lol兄—lnlcl～2期刘彬清:关于Ostrowski圆盘定理的一个注记所以lnl=孵G说明A=0位于G的边界上,由定理3得A=0位于每个Gz(一l,2nI=R~C,1一"z=1.2.,n这与题设至少有一个不等式严格成立相矛盾.因此A为非奇异阵R1=8,R2=9.R3=7,R4=2,C1=6,=8.10,q:2,A为不可约阵,但按行(或列)为非对角占优阵,若取n=,则Ⅱ1lI>R讲,I>西,I蛐I>R毋,II>R讲据推论2知A为非奇异阵参考文献IIR.A.Hom.C.R.Johnson.MatrixanMysis.CambridgeUniversityPress1987,296-232(r~译本).21李乔.矩阵论八讲.上海科技出版社,1988,74-803】李庆杨等.数值分析.华中理工大学出版社,1995,305-308 ANoteontheOstrowskiDiskTheoremBINQINGLIU(Departmento|MathematicsShangha~University,Shanghai2oo4s6)Abstract InthispaperwemakeSOlxlediscussionfortheestimateofthematrixeigenvahie,thatis obtainedbyOstrowske,SOlxledistributioncharacteroftheeigenvahiearedescribed.thenas ufficientconditiontodeterminenonsigularRyofthematrixisgiven keywordsmatrixeigenvalue,disktheoremirreducibility,nonsigularity,,l●●,/0ll2369159217240,,●●●●\=A最唰。
gerschgoring圆盘定理
Gerschgorin 圆盘定理是用来预估矩阵特征值的范围的。
对于一个n ×n 的方阵来说，Gerschgorin 圆盘定理可以判断矩阵的全部特征值落入的圆盘中。
该定理表述为：对于一个复数方阵A，存在一组集中于复平面上以矩阵A的每个元素a[i][j]为中心，以r[i] = ∑|a[i][j]| (i ≠j)为半径的闭圆，称为Gerschgorin 圆盘。
那么A的全部特征值必然落在所有这些圆盘的并集中。
这个定理用起来相当简单。
对于一个n ×n 的方阵来说，有n 个行圆盘和列圆盘，它的特征值就位于这些圆盘中。
所谓的圆盘就是复平面上的一个圆，那么中心就是矩阵的对角线元素，半径则分两种，行圆盘的半径就是某一行除了对角线元素外，所有元素的模长的和，列圆盘则是某一列除了对角线元素外，所有元素的模长的和。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
吴莹莹矩阵论作业
本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。
最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。
本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。
关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。
特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。
因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。
但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。
一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。
况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。
所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。
复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。
因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。
在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。
两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。
因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。
圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。
目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。
本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。
圆盘定理及其应用
圆盘定理及其应用摘要：给除了矩阵特征值的定义及确定特征值范围的圆盘定理，并对特征值估计和定位的圆盘定理进行了深入的研究，同时对对角占优实矩阵给出了更加精确的估计和定位特征值的方法。
由于圆盘定理对估计特征值有其它方法不可替代的优势，所以圆盘定理在各个行业得到了广泛的应用。
在集成电路加工工艺中，有一种工艺是离子注入，它可比较精确的控制离子的注入量和注入位置。
但离子注入后会对半导体的晶格结构造成影响，为了让破坏的晶格得到修复，在离子注入后要对半导体进行退火的加工工艺。
本文就利用圆盘定理，基于模拟退火法提出了一种新的算法，新算法用于解决实特征值的求解问题，具有通用姓，并且具有很高的稳定性。
在精确度要求极高的集成电路退火工艺中，一定会有很好的应用。
关键字：圆盘定理 矩阵特征值 集成电路退火工艺 退火算法一 引言设n n ii C a A ⨯∈=)(，如果存在C ∈λ，n C x ∈，且≠x 0，满足x Ax λ=，则称复数λ为方阵A 特征值，x 为对应于λ的特征向量]1[。
我们知道对每一个方阵n n ii C a A ⨯∈=)(在复数域内有n 个特征值。
特征值理论及应用渗透到数学和其他科学的很多领域。
其主要方面是如何求出n 个特征值。
求方阵n 个特征值从理论上讲是求：0)det(=-A E λ，即0111=++⋅⋅⋅++--n n n n k k k λλλ的根。
当n 5≥时，特征方程没有一般的求根公式。
因此，关于特征值的研究转入两方面内容：第一，近似求特征值；第二，特征值的估计和定位]2[。
事实上，在很多应用方面往往不必精确求出特征值，而是只要一个粗略的估计就可以了。
例如在微分方程和自动控制理论研究中，通过估计矩阵A 的特征值是否均为负实部，便可判定系统的稳定性；与差分方法的稳定性有关的问题、与线性方程组迭代法求解有关问题，需要估计矩阵特征值是否均落在单位圆内等。
因此，特征值的估计和定位一直是人们关注的课题。
gerschgorin隔离特征值
gerschgorin隔离特征值格什科林（Gershgorin）定理是线性代数中关于特征值的一个重要定理，它可以用来判断一个矩阵的特征值位于哪个区域，提供了一种有效的方法来对特征值进行初步估计和分析。
考虑一个n×n的矩阵A，其特征值由方程，λI-A，=0给出，其中I是n×n的单位矩阵，λ是特征值。
格什科林定理指出，每个特征值λ都位于格什科林集合之一中，这些集合定义如下：D_i = {z ∈ C : ，z - a_ii，≤ R_i}，其中i = 1, 2, ..., n，a_ii是A的第i个对角元素，R_i是格什科林半径，定义为R_i = ∑_{j ≠ i}，a_ij。
格什科林集合是由矩阵A的对角元素和非对角元素之和来构成的圆盘，它的中心是对角元素，半径是非对角元素的绝对值之和。
根据格什科林定理，矩阵A的特征值位于所有格什科林集合的并集中。
这意味着我们可以通过计算每个格什科林集合来初步估计特征值的位置。
具体来说，我们可以通过计算每个格什科林集合的中心和半径，然后将它们绘制在复平面上。
特征值很可能位于这些圆盘中，但并不一定在圆盘中心，因为特征值可能出现在圆盘的边界上或圆盘之外。
格什科林隔离特征值的原理可以用来给出特征值的下界和上界估计。
对于上界估计来说，我们可以计算所有格什科林集合的最右侧点的实部，并选择其中最大的值作为特征值的上界。
同样地，对于下界估计来说，我们可以计算所有格什科林集合的最左侧点的实部，并选择其中最小的值作为特征值的下界。
这样一来，我们就可以通过使用格什科林定理，对特征值进行初步的估计和分析。
需要注意的是，格什科林定理只能给出特征值的初步估计，它并不能给出特征值的精确值。
在实际应用中，我们通常需要结合其他更精确的方法，如特征值分解或迭代算法，来获取特征值的精确值。
总之，格什科林定理是线性代数中一个非常重要的定理，它提供了一种有效的方法来对特征值进行初步估计和分析。
Gerschgorin Circle Theorem
Eigenvalues In linear algebra Eigenvalues are defined for a square matrix M. An Eigenvalue for the matrix M is a scalar such that there is a non-zero vector x such that Mx=x. In linear algebra we saw that the Eigenvalues are also roots of the characteristic polynomial det(M-I).
10
5
-15
-10
-5
5
10
We see all the Eigenvalues lie inside the union of all the circles.
-5
-10
-15
For several algorithms in numerical analysis we often need to be able to find a value that is “close” to the value we wish to estimate. This is true for finding solutions of equations as well as Eigenvalues.
-15
Union of the Circles
In the Gerschgorin Circle Theorem the y-axis is interpreted as the imaginary axis. Since the roots of the characteristic polynomial could be complex numbers they take on the form x+iy where i is the square root of -1.
Gersgorin圆盘定理专题的教学探讨
年 提 出 ， 特 征值 估 计 中最 古 老 ， 简 单 和 是 最 最优 美的结 果之 一 ： 定理 １Ｇ ｒｇ ｒ 圆盘定 （ ｅｓ ｏ ｉ ｎ
６（） Ｕ ｛ ： 一 （）Ｃ ｝ Ａ ， Ｉ 口 ｌ 。ｉ ） 。 ｚ ｚ （
①作 者 简 介 ： 申淑 谦 ： ， 男 汉族 ， ９ ８ ９ 生 ， 师 ， 士 ， ｌ ７年 月 讲 博 现从 事 线 性 方 程 组 求 解 方 面的 研 究 ， 主持 国家 自然 科 学 基 金 天 元数 学 专 项基 金 青 年基 金 （ ０ ２ ０ ６ － 项 。 １９ ６ ８ ）
［ ． 南理 工 大 学 出版 社 ， ０ ６． Ｍ】华 ２０ Ｇｅ ｓ ｒｎ圆盘 定理 改 进 至 三 行 或 三 行 以 ［ ｒ ｇｏ ｉ ３ ］黄 廷 祝 ， 守 铭 ， 正 良 ． 阵理 论 【 ． 钟 李 矩 Ｍ】 迭 代 法 的 收 敛 性 时 ， 估 计 预 条 件 矩 阵 特 需 上 ， 件 必 然 要 加 强 ， 到 ｌ ８ 年 ， 名 的 条 直 ２ 著 ９ 高 等 教 育 出版 社 ， ０ ４ ２０ ． 征 值 的 分 布 是 否 聚 集 ； 系统 与控 制 理 论 在 ｒ ａｄ 借 中 ， 过 估 计矩 阵 特 征 值 是 否具 有 负 实 部 计 算 数 学 家 Ｂ ｕ ｌ ｉ 助 图论 解 决 了 此 问 通 题 ， 出 了著 名 的 新 包 含 域 。 实 上 ， 阵 提 事 矩 来判 断 系 统是 否稳 定 。 因而 ， 过矩 阵元 素 通 那 么 任 取 三 行 可 以 吗 ？ 幸 的 是 ， 论 不 结 不 再 成 立 ， 以 举 出 反 例 。因 此 ， 将 可 要
８ ２
中国科教创新导千 Ｃ ｉ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｉ ｏ ａ ｉｎ Ｈ ｒ ｌ Ｕ ｈｎ Ｅ ｕ ａ ｉ ｎ ｖ ｔ ｅ ａｄ ａ ｏ ｎ ｏ
庞加莱 指数定理
庞加莱指数定理庞加莱指数定理，又称庞加莱-霍普夫定理，是微分几何中的基本定理之一，由法国数学家亨利·庞加莱于1885年提出。
庞加莱指数定理是研究曲线在复平面上的闭合积分与曲线所围面积之间的关系。
本文将从庞加莱指数定理的定义、基本性质以及应用等方面进行详细阐述。
一、庞加莱指数定理的定义庞加莱指数定理是研究曲线在复平面上的闭合积分与曲线所围面积之间的关系的一个重要结论。
设f(z)是一个在开区域D上解析的函数，曲线L位于D内部，闭合积分C(f(z)dz)与曲线L所围的区域R有如下关系：C(f(z)dz)=2πi·N(f,L),其中，N(f,L)表示f(z)在闭合曲线L内部的零点个数，称为曲线L所围的静态次数。
N(f,L)是一个整数值。
二、庞加莱指数定理的基本性质1.零点个数的计算：静态次数N(f,L)与f(z)在闭合曲线L内的零点个数有如下关系：N(f,L)=∮(f'(z)/f(z))dz，其中，∮表示曲线L的闭合积分。
根据此关系，我们可以计算曲线L内f(z)的零点个数。
2.描述曲线L内函数f(z)的性质：若f(z)在闭合曲线L内部的静态次数N(f,L)为正，则f(z)在曲线L内部有N(f,L)个零点；若静态次数N(f,L)为负，则相应有|N(f,L)|个极点。
3.庞加莱-霍普夫定理：对于闭合曲线L和内部解析函数f(z)，如果曲线L在分别围绕f(z)的所有零点和极点一圈，那么闭合积分C(f(z)dz)等于零。
三、庞加莱指数定理的应用庞加莱指数定理在微分几何以及复变函数的研究中具有重要的应用价值，下面介绍一些主要应用。
1.流量计算：庞加莱指数定理可以用于计算流线场上的流量。
设流线场的速度矢量场为F(x, y)，曲线L上的速度矢量为V，曲线L所围的区域R为面积S，则流量Q满足Q=∮(F·V)ds=∮(|F|cosθ)ds=∮(F·n)ds=∮(F·T)ds=2πi·N(F,L )，其中θ为速度矢量F与曲线L的夹角，n为单位法向量，T为单位切向量。
矩阵不等式
H
(a1 , a1 ) H A11 H 0 A1
1
利用对于任给的 0 有 A1
| H |2 / H A1
从而有|det(A)|2[(a1,a1)|H|2/HA1]det(A1) 我们可以取 =ek,这样我们就有 |det(A)|2[(a1,a1)maxk>1|(a1,ak)|2/(ak,ak)]det(A1) （*） 类似推导可以得到命题的证明。 不等式的几何意义在于: [(a1,a1)maxk>1|(a1,ak)|2/(ak,ak)] =||a1||2[1 (maxk>1|(a1,ak)|/(||ak||||a1||) )2] = ||a1||2sin2(a1ak) 如下图所示的多面体的体积应该等于底面积乘以高, 也就是底面积乘以向量 h 的长度。根据正弦函数的定义， h 的长度等于 a1 和底面的投影 OP 夹角的正弦乘以 a1 的长度。 由于正弦函数为在[0,/2]内为单调增加的，因此高 h 的长度 小于 a1 的长度乘以 a1 和底面的任何一条边 ak 的夹角的正弦， 即为角 a1OPa1Oak 成立。从而我们的估计为 a1q 的长度， 也就是|a1p| |a1q|
a
s 2
n
ks s
=0
1
(2 k n)
则有 akk
k
n
ak1 ask
s 2 sk
n
s k
(2 k n)
如果| k| 1, 则可得
| akk || ak1 | | ask |
s 2 sk
(2 k n)
这和 A 对角占优矛盾。 因此| k|=max {|2|, …,|n|} <1 成立。 利用分块矩阵的性质和 x(1)的定义，我们有 det(A)=det A
格林陶定理
格林陶定理格林陶定理，又称为格林陶不动点定理（Brouwer fixed-point theorem），是数学分析中的一个重要定理，由荷兰数学家列奥波德·格林陶（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）于1910年提出。
该定理在拓扑学中具有广泛的应用，被认为是现代数学的基石之一。
定理的表述格林陶定理表述如下：对于任意一个连续的、从单位闭球（也称为n维球面）到自身的映射，至少存在一个不动点。
换句话说，无论如何将一个球面上的点映射到球面上的其他点，总能找到至少一个点保持不动。
定理的证明格林陶定理的证明相对较为复杂，需要运用拓扑学中的一些基本概念和定理。
下面简要介绍一种证明思路。
首先，我们需要定义什么是一个连续的映射。
在数学中，连续映射是指在给定拓扑空间中，原空间中的每个点的邻域都能被映射到目标空间中的邻域。
这种定义保证了映射的连续性，即原空间中的点在映射后仍然保持接近性。
接下来，我们引入一个重要的概念，即同伦。
同伦是指在两个拓扑空间之间存在一个连续映射，这个映射可以通过连续地变形将一个空间映射到另一个空间。
同伦的概念是格林陶定理证明的关键。
然后，我们使用反证法来证明格林陶定理。
假设不存在不动点，即对于任意的映射，所有的点都能被映射到其他点。
我们可以构造一个连续映射，将单位闭球映射到自身的边界上。
根据我们的假设，这个映射是连续的，但没有不动点。
接着，我们利用同伦的概念来推导出矛盾。
通过同伦，我们可以将单位闭球映射到球面上的一个点，这个点必定是球面上的一个不动点。
这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，证明了格林陶定理的正确性。
定理的应用格林陶定理在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1.经济学：格林陶定理可以用于证明经济学中的一些基本定理，如存在性定理和均衡定理。
2.地理学：该定理可以用于研究地球表面的地貌和地理现象，如山脉的形成和河流的分布。
3.计算机科学：格林陶定理可以应用于计算机图形学中的几何变换和形状生成算法的设计。
盖尔圆盘定理
盖尔圆盘定理
盖尔圆盘定理
引言
在数学中，盖尔圆盘定理是一种用于计算平面上最大的无重叠圆的问题的方法。
该定理由德国数学家弗ェ利克斯·克莱因于1876年提出，并由德国数学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹和瑞士数学家雅各布·斯泰纳一同证明。
定义
在平面上，给定n个点，求最大的无重叠圆的半径r。
定理
盖尔圆盘定理：当n个点都被包含在半径为r的圆内时，最大的无重叠圆的半径r为：
r = min{d(i,j)/2} (1 ≤ i, j ≤ n)
其中d(i,j)表示第i个点和第j个点之间的距离。
证明
首先，假设存在一个不包含任何其他点的最大无重叠圆C。
则C必然
以其直径为半径包含两个点a和b。
因此，C不能再包含其他任何与a 或b相邻接的点了。
接着，我们将这些不与a或b相邻接的点移除，并将a和b作为新的起始点。
然后继续寻找新的不与已选取点相邻接且距离最近的点c，并将其加入到圆C中。
如此循环，直到所有的点都被加入到圆C中为止。
因此，我们可以得到一个包含所有n个点的最大无重叠圆C。
而根据
定义，该圆的半径r等于min{d(i,j)/2} (1 ≤ i, j ≤ n)。
结论
盖尔圆盘定理提供了一种简单而有效的方法来计算平面上最大的无重
叠圆。
它在计算机图形学、计算几何和其他相关领域中得到了广泛应用。
利用Gersgorin圆盘定理判定特征值的范围
于虚特征值成对出现 ， 因此这 ３ 个特征值 中至少有一个实特征值 ， 所以 Ａ至少有两个实特征值 ， 证毕。 推论 ３ Ａ一 于 ０ ， 则 Ａ 的所 有 特 征值 都 在 区域 Ｇ（ Ｄ Ａ Ｄ） 一
』 ｌ ｚ Ｅ Ｃ： Ｉ ｚ － ａ Ｉ ≤ 寺蚤 』 ｌ ａ ｑ Ｉ ｝ Ｊ 中。
征值 ， 从 而 Ａ 至少 有 个互 异 的实特 征值 。
例 １ 矩 阵
９ ｉ １ ８
Ａ： ＝
０ １
Ｏ ０
至少 有两 个实 特征 值 。
证明 Ａ 的 ４个盖 氏 圆盘为
Ｇ ：ｌ 一９ １ ≤４ Ｇ２：Ｉ ｚ 一８ ｌ ≤２ Ｇ 。：Ｉ 一４ Ｉ ≤１ Ｇ４ ：Ｉ 一 １ ｌ ≤１ 从 而 Ｇ４ 为孤立 圆盘 ， 含 一个 实特 征值 ， 而Ｇ Ｕ Ｇ ２ Ｕ Ｇ３ 联通 ， 从 而 它 们 中含 Ａ 的另外 ３个 特 征值 ， 由
滕 常春 （ 潍 坊 学 院 ，山东 潍 坊
摘
２ ６ １ ０ ６ １ ）
２
要： 本 文介绍 了 Ｇｅ ｒ ｓ ｇ ｏ ｒ ｉ ｎ圆盘 定理 和 几个推 论 ， 并利 用 它们判 定矩 阵的特征 值 的 范 围。
． 一 一 Ｚ ４
关键 词 ： Ｇ ｅ ｒ ｓ ｇ ｏ ｒ ｉ ｎ圆盘 ； 特征 值 ； 孤 立 中图分 类号 ： Ｏ１ ５ １ ． ２ 文献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ １ －４ ２ ８ ８ （ ２ ０ １ ４ ） Ｏ ２ 一Ｏ １ ０ ３ 一Ｏ ２
＊ 收 稿 日期 ： ２ Ｏ １ ３ 一ｌ １ —１ ２
作者简介 ： 滕 常春（ １ ９ ７ ９ 一） ， 男， 山 东昌乐人 ， 潍坊 学院数 学与信 息科 学学院讲师 。研究方 向： 代数 半群 ， 代数表 示。
gershigorin圆的半径
gershigorin圆的半径gershigorin圆是一种用于确定矩阵特征值范围的方法，它将矩阵的特征值限制在某个圆中。
在本篇文章中，我将逐步解释gershigorin圆的概念、应用以及计算方法。
第一部分：什么是gershigorin圆？gershigorin圆是由格尔什戈林（Gershgorin）在1931年提出的，用于矩阵特征值范围估计的方法。
它利用矩阵的元素大小来限制矩阵特征值所在的范围。
gershigorin圆的核心思想是将矩阵的每个特征值限定在以矩阵主对角线上的元素为圆心、以该元素的绝对值作为半径的圆内。
第二部分：gershigorin圆的应用gershigorin圆在实际应用中具有广泛的用途。
其中一个重要的应用是矩阵特征值的大致估计。
通过将矩阵的特征值限制在gershigorin圆的范围内，我们可以快速、粗略地估计矩阵特征值的取值范围，从而帮助我们更好地理解矩阵的性质和行为。
另一个重要的应用是在矩阵分析和控制系统设计中。
gershigorin圆可以用来确定矩阵的稳定性。
如果矩阵的所有圆都位于单位圆内部，则该矩阵是稳定的。
这使得gershigorin圆成为分析和设计控制系统稳定性的有用工具。
第三部分：gershigorin圆的计算方法计算gershigorin圆的方法相对简单。
首先，给定一个n x n的矩阵A，我们遍历矩阵的每一行i，并计算该行的所有元素之和，记为Ri。
然后，计算矩阵A的主对角线元素aii的绝对值，记为di。
最后，以di为圆心，以Ri-di为半径绘制圆。
这个过程可以通过以下步骤进行具体操作：1. 初始化一个空的圆集合。
2. 对于矩阵A的每一行i，计算该行的元素之和Ri以及主对角线元素的绝对值di。
3. 根据计算得到的Ri和di，以di为圆心，Ri-di为半径绘制一个圆。
4. 将绘制的圆添加到圆集合中。
5. 返回圆集合作为gershigorin圆的结果。
通过计算得到的gershigorin圆，我们可以获得矩阵特征值的范围估计，并进一步进行矩阵分析和控制系统设计。
盖尔方德-施耐德定理
盖尔方德-施耐德定理
盖尔方德-施耐德定理，也称为维格纳-维尔斯特拉斯定理，是数学中的代数基本定理之一。
它断言：任何一个复系数多项式都可以唯一地分解成一次和二次因式的积。
具体地说，对于一个复系数多项式f(x)，它可以表示为以下形式的积：
f(x) = a(x - z1)(x - z2)...(x - zm)(x^2 + bx + c1)(x^2 + bx + c2)...(x^2 + bx + cr)
其中，a是一个非零常数，zi是复数（不一定互不相同），b和ci是实数（不一定相同），m和r是非负整数。
这个定理的重要性在于它对于整个代数学的发展和应用做出了重要贡献。
它是代数基本定理的一种形式，它确保了每一个多项式都可以唯一地分解成几个简单的因式。
在实际应用中，盖尔方德-施耐德定理允许我们通过对多项式进行因式分解来解决各种问题，例如求解方程、计算积分和求解微分方程等。
因此，这个定理是代数学的一个基本工具，应用广泛。
生态学重要定律
生态学重要定律霍普金斯定律1918年霍普金斯提出的生物气候定律：在其它因素相同的条件下，北美温带地区，每向北移纬度1°向东移经度5°，或上升约122米，植物的阶段发育在春天和初夏将各延期四天；在晚夏和秋天则各提前四天等等。
葛洛格规则(Gioger's rule): 温血动物在温暖地区的个体黑色素增多,在干旱地区则红,黄,棕色为多,在寒冷地区色素逐渐减弱。
耐受性定律亦称为谢尔福德耐性定律（Shelford’s law of tolerance）:是美国生态学家V.E. Shelford 于1913年提出的。
生物对其生存环境的适应有一个生态学最小量和最大量的界限，生物只有处于这两个限度范围之间生物才能生存，这个最小到最大的限度称为生物的耐受性范围。
生物对环境的适应存在耐性限度的法则称为耐受性定律。
具体可定义为：任何一种环境因子对每一种生物都有一个耐受性范围，范围有最大限度和最小限度，一种生物的机能在最适点或接近最适点时发生作用，趋向这两端时就减弱，然后被抑制。
这就是耐受性定律。
谢尔福德耐性定律在生物的生长和繁殖所需要的众多生态因子中，任何一个生态因子在数量上的过多过少或质量不足，都会成为限制因子。
即对具体生物来说，各种生态因子都存在着一个生物学的上限和下限（或称“阀值”），它们之间的幅度就是该种生物对某一生态因子的耐性范围（又称耐性限度）。
E. P. Odum （ 1973 ）等对耐性定律作了如下补充：（ 1 ）同一种生物对各种生态因子的耐性范围不同，对一个因子耐性范围很广，而对另一因子的耐性范围可能很窄。
（ 2 ）不同种生物对同一生态因子的耐性范围不同。
对主要生态因子耐性范围广的生物种，其分布也广。
仅对个别生态因子耐性范围广的生物，可能受其它生态因子的制约，其分布不一定广.（ 3 ）同一生物在不同的生长发育阶段对生态因子的耐性范围不同，通常在生殖生长期对生态条件的要求最严格，繁殖的个体、种子、卵、胚胎、种苗和幼体的耐性范围一般都要比非繁殖期的要窄。
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For several algorithms in numerical analysis we often need to be able to find a value that is “close” to the value we wish to estimate. This is true for finding solutions of equations as well as Eigenvalues.
10
2 3 4 M 2 5 8 0 3 1
10
5
-15
-10
-5
5
-5
The red dots to the right mark the actual 10 location of the Eigenvalues
5
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5
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5
10
We see all the Eigenvalues lie inside the union of all the circles.
-5
-10
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-15
Union of the Circles
In the Gerschgorin Circle Theorem the y-axis is interpreted as the imaginary axis. Since the roots of the characteristic polynomial could be complex numbers they take on the form x+iy where i is the square root of -1.
Gerschgorin Circle Theorem
Eigenvalues In linear algebra Eigenvalues are defined for a square matrix M. An Eigenvalue for the matrix M is a scalar such that there is a non-zero vector x such that Mx=x. In linear algebra we saw that the Eigenvalues are also roots of the characteristic polynomial det(M-I).
7 1 0 M 2 5 0 4 4 3
The circles that bound the Eigenvalues are:
C1: Center point (1,0) with radius r1 = |0|+|7|=7
C2: Center point (-5,0) with radius r2=|2|+|0|=2 C3: Center Point (-3,0) with radius r3=|4|+|4|=8
ri mij
j 1 j i
n
The Gerschgorin Circle Theorem basically says that the Eigenvalues for a matrix can not get too far from its diagonal entries. In fact if you remember from linear algebra if the matrix is upper or lower triangular the Eigenvalues are exactly the diagonal entries. Consider the following example. The circles that bound the Eigenvalues are: C1: Center point (4,0) with radius r1 = |2|+|3|=5 C2: Center point (-5,0) with radius r2=|-2|+|8|=10 C3: Center Point (3,0) with radius r3=|1|+|0|=1