电磁场导论准静态电磁场解读
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第五章准静态电磁场
电容器两极板间电压
U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
涡流
工程应用：电磁炉、变压器电机铁心叠片等。
去磁效应 涡流产生的磁场反抗原磁场的变化。
工程应用：电磁闸。
涡流方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
7.1 无损耗均匀传输线方程
du
考虑传输线上单位长度电压降和
电流变化：
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
RL R
di C
上式即是均匀传输线方程或电报方程。 单位长度传输线的电路模型
➢ 对于无损耗均匀传输线情况（忽略电阻）：
u z
L
i t
i z
C
u t
即
u
z
L
i t
0
i
C
u
0
z t
准静态电磁场
时变电磁场
准静态场 （低频）
电准静态场
(B 0) t
磁准静态场
(D 0) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场（忽略 推迟效应）
电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS
磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MQS
• 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。
抗电磁干扰的两个主要措施：接地、电磁屏蔽。
接地 1.保护接地
在金属体与大地之间建立低阻抗电路。 如设备外 壳接地，建筑体安装避雷针等，使雷电、过电流、漏 电流等直接引入大地。
电磁场与电磁波：第五章 准静态场
ε
l
Ei
dl
Ei
(
s
Ei
(V
) dS
B)
B t
在静止媒质中 Ei
ε L
B t
(V
B
)
dl
B dt
dS
变化感的应磁电场场是Bt是非产保生守的场Ei涡，旋电源力。线呈闭合 曲线 ，
图5.4 变化的磁场 产生感应电场
若空间同时存在库仑电场, 即
E
B
E EC则 E有i ,
不相同。E
分界面上的衔接条件
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三 章类同，归纳如下：
磁场：
B1n B2n H 2t H1t k
电场：
D2n D1n
E2t E1t
折射定律
tan1 1 tan2 2 tan 1 1 tan 2 2
例 5.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上的衔 接条件。
▪ 电磁感应定律 ▪ 全电流定律
▪ 时变电磁场的基本方程组·准静态场的分类和特点
5-1 电磁感应定律
电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动
势，这就是法拉弟电磁感应定律。
d
dt
负号表示感应电流产生的磁场总是阻
碍原磁场的变化
图5.1感生电动势的参考方向
引起磁通变化的原因分为三类：
磁 准
低频时，忽略二次源 D的作用，即
t
H，D 电0 磁场基本方程为
静
H J , B 0, J 0
态
E B/t , D ρ
场
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。
用库仑规范 A ，0得到动态位满足的微分方程
工程电磁场 第7章 准静态电磁场
D dS V dV Qnet
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
t
2E E 0
t
J E
2J j J 正弦稳态情况 2J J 0
t
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2J k 2J
式中 k j / 2 (1 j)
1 (1 j) j
d
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
定义： d
1
2 称为透入深度（skin depth）或集肤深度
其大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x = x0 时， J y (x0 ) J0e x0
当 x=x0+d 时，
J y (x0 d ) J0e (x 0d)
J0ex0 e1
J
y
透入深度
(x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。
用洛仑兹规范 A t ，化简得到泊松方程
2 A J , 2 /
一般低频交流电情况下，平板电容器中的电磁场属于电准静态场。
5.1.2 磁准静态场MQS
若位移电流远小于传导电流，忽略感应项 D 的
作用，即
JD
D t
0
t
条件：场与源近似具有瞬时 对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
2H k 2H
d 2 Hz dx2
jHz
k 2Hz
解方程得到
HZ B0ch(kx) /
Bz B0ch(kx)
利用 (kx)
Bz和 Jy 的幅值分别为
1
Bz
B0
电磁场导论准静态电磁场解读
+ u(间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
E (t ) U u (t ) e z m sint e z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E m sint ) e z U m cos t e z t t t d D H d l 由M1方程 l S t dS
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 11
2018/9/29 第六章准静态电磁场
l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
14
6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
y Jy x
jJ k 2J 2 J
简化为 通解
d2 J y dx 2 C ekx C e kx J y 1 2 k 2J y
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
五准静态电磁场
Jy(x)ey,于是得：
d 2 J y dx 2
jJ y
J0
J
令 K 2 j K j 1 j j
则
d 2J y dx 2
K 2J y
2
Jy C1eKx C2eKx
分析：第二项中，由于x 时，Jy是有限值，C2 0
若x＝0时，Jy J0 ， C1 J0
Jy J0eKx J0exe jx
屏蔽的效能用屏蔽系数S来表示，S = E/E0 电磁场的屏蔽往往只需屏蔽一个场量E或B。
二、薄导电板中的涡流
工频、音频（30～3kHz）变压器和交流电路的铁心通常由 相互绝缘的薄钢片叠成，以减小涡流损耗。
如图所示，厚度a很小（0.5mm），a<<l、a<<h
假定：
1）E、H和J近似为x的函数。
2）H = Hz(x,t)，E = Ey(x,t)、J = Jy(x,t)
B
3）H = Hz(x,t)按正弦规律变化，是MQS场。
t
B
A dl
A
B
d
A
(t)
i ( Ri
r
R)
L
di dt
1 C
idt
或 (t) U R U L UC
• 说明：路是场的近似，
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算，
需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
E y E0exe jx
H z
准静态电磁场PPT讲稿
Ｈ、Ｂ
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
准静态电磁场
4.3 电磁场能量守恒定理 坡印廷矢量
1.电磁场能量守恒定理
S
(E
H
)
dS
d dt
V
(1 2
E
D
1 2
H
B)
dV
V
E
J
dV
物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
2. 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）
D
D
H J t
H dl (J ) dS
l
S
t
全电流定律
E B t
E dl B dS 电磁感应定律
l
S t
B 0 D
SB dS 0
s D dS q
磁通连续性原理 高斯定律
J
2
2
t 2
Leabharlann 准静态电磁场知识结构 时变电磁场
动态场（高频）
准静态电磁场
似稳场 电磁波 （忽略推迟效应）
磁准静态场
( D 0) t
电准静态场
( B 0) t
具有静态电磁场的特点
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描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
定义：S
Ε
H
( W/m2 )
E
物理意义：
O
S
S 的方向 —— 电磁能量传输的方向
H
S
的大小
——
通过垂直于能量传输方
第5章 准静态静电场
/ 2 (1 j )
1 d
(1 j ) j
半无限大导体，电流沿 y 轴流动:
2 2 J y( x ) k J y( x )
通解形式：
kx kx J y ( x ) C 1e C 2e
x , J y 有限
x j x J y ( x ) J0e e
x0
( x 当 x=x0+d时，幅值 J y ( x 0 d ) J 0 e
0
d )
J y ( x 0 ) 36 . 8 %
d 表示电磁场衰减 到原来值的36.8% 所经过的距离 。
考虑：透入深度与哪些因素有关？
5.4 邻近效应
相互靠近的导体通有交变电流时,会受到邻近导体的影响，
这种现象称为邻近效应（Proximity effect）。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与
集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
两根交流汇流排的邻近效应
5.5 电磁屏蔽(Shielding)
电磁屏蔽 屏蔽 磁屏蔽 电屏蔽 在高频电磁场中，利用电磁波在良导体中很快衰减的原理。选择屏 蔽层厚度h=(3-6)d。 在低频或恒定磁场中，利用磁通总是走磁阻小的路径的原理，采用 有一定厚度的铁磁材料。 在任何频率下，利用金属感应电荷，且通过接地线流入大地的原理，
H J D t E B t
(4) MQS的电场计算：
参考资料：
[1] 晁立东，仵杰，王仲奕. 工程电磁场基础[M]. 西北工业大学出版社，2002.1.
[2] 倪光正. 工程电磁场原理[M]. 高等教育出版社，2002.6
5.2 涡流(Eddy Current)
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。
第5章 准静态电磁场
设电容内部为EQS场，且
dl ( ex e y ez ) (dxex dye y dzez ) x y z
( dx dy dz ) d x y z b b dl d b a uc
的表达式。
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
解方程，得面电荷密度为
双层有损介质的平板电容器
t 2 1 1 2 σ U s (1 e τ ) a 2 b 1
1 J y J 0 (ch 2 Kx cos 2 Kx) 2
1 2
1 2
Bz , J y 模值分布曲线
式中 K / 2 结论:
k j K (1 j)
去磁效应，薄板中心处磁场最小； 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度
大，中心处 J y 。 0
似稳场
电磁波
磁准静态场
电准静态场
（忽略推迟效应）
D ( 0) t
具有静态电磁场的特点
B ( 0) t
第5章 准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
电准静态场
B 库仑电场远大于感应电场，忽略二次源 的作用，即 Ei 0 t
E 0 D H J t B 0 D
第5章 准静态电磁场
第5章
准静态电磁场
第5章 准静态电磁场
5.0 序
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。 电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS
dl ( ex e y ez ) (dxex dye y dzez ) x y z
( dx dy dz ) d x y z b b dl d b a uc
的表达式。
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
解方程，得面电荷密度为
双层有损介质的平板电容器
t 2 1 1 2 σ U s (1 e τ ) a 2 b 1
1 J y J 0 (ch 2 Kx cos 2 Kx) 2
1 2
1 2
Bz , J y 模值分布曲线
式中 K / 2 结论:
k j K (1 j)
去磁效应，薄板中心处磁场最小； 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度
大，中心处 J y 。 0
似稳场
电磁波
磁准静态场
电准静态场
（忽略推迟效应）
D ( 0) t
具有静态电磁场的特点
B ( 0) t
第5章 准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
电准静态场
B 库仑电场远大于感应电场，忽略二次源 的作用，即 Ei 0 t
E 0 D H J t B 0 D
第5章 准静态电磁场
第5章
准静态电磁场
第5章 准静态电磁场
5.0 序
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。 电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS
西安交大工程电磁场导论第五章
2
V
dV
B
(J C
D
V
t 4 r
) er
dV
结论
① EQS中忽略感应电场，场量是时间的函数，电 场是无旋场，可以引入电位概念。 ② 电场分布同静电场，利用静电场的方法求解出电 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。 ③ 工程中如两线间的电磁场和电容器中的电磁场可 以看作EQS。
其解为
oe
t
e
e
初始电荷密度
驰豫时间
上 页 下 页
说明良导体中电荷的弛豫过程非常短暂，除有局外电 源作用，一般认为良导体内部无积累的自由电荷，电荷分 布在导体表面。
对于电准静态场
2
t τe
1
0e
τ
t
e
(r , t ) V
0
4r
当 l 0
J 2 n J 1n
t
0
上 页
下 页
根据 J E 及 D2 n D1n
J 2 n J 1n
t t 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过
极板间是EQS场
0
( 2 E2 n 1E1n )
( 2 E2 n 1E1n ) 0
J C ( E Ee )
Ee A t t
E
JC
A t
A
B
) dl
B
E
l
e
dl (
l
A
B
JC
US
A dl υ dl γ S dl t
V
dV
B
(J C
D
V
t 4 r
) er
dV
结论
① EQS中忽略感应电场，场量是时间的函数，电 场是无旋场，可以引入电位概念。 ② 电场分布同静电场，利用静电场的方法求解出电 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。 ③ 工程中如两线间的电磁场和电容器中的电磁场可 以看作EQS。
其解为
oe
t
e
e
初始电荷密度
驰豫时间
上 页 下 页
说明良导体中电荷的弛豫过程非常短暂，除有局外电 源作用，一般认为良导体内部无积累的自由电荷，电荷分 布在导体表面。
对于电准静态场
2
t τe
1
0e
τ
t
e
(r , t ) V
0
4r
当 l 0
J 2 n J 1n
t
0
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下 页
根据 J E 及 D2 n D1n
J 2 n J 1n
t t 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过
极板间是EQS场
0
( 2 E2 n 1E1n )
( 2 E2 n 1E1n ) 0
J C ( E Ee )
Ee A t t
E
JC
A t
A
B
) dl
B
E
l
e
dl (
l
A
B
JC
US
A dl υ dl γ S dl t
090525第五章准静态电磁场
s
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
5.8准静态电磁场解读
解：设圆柱坐标系的z轴与电容器的轴线重合
电容器中位移电流密度为
ic
H
u
ic ( ez ) 2 a
g 0
Jd
id ic
式中电流
Jd
i 0.1 2sin 314t A。由全电流定律有
图5.8.1 两圆电极的平板电 容器
l
H dl J d 2
π 2 2π H 2 ic πa
H J B 0
D t
满足
2 /
当平板电容器工作在低频交流情况下时，电容器中的电磁场属电准静态场。
CQU
例5.8.1 有一圆形平行板电容器，极板半径 a =10cm。边缘效应可以忽略。
现设有频率为50Hz、有效值为0.1A的正弦电流通过该电容器。求电容器中 的磁场强度。
(t ) Ee dl
A
B
uL
B
A
A B ( Li) di dl A dl L A t t t dt
uC
B
uC dl
A
B
1 i dt C
uR
B
Jc
A
i dl dl iR A g gS
di 1 (t ) uL uC uR L idt iR dt C
5.8
准静态电磁场
CQU
5.8.1 电准静态场 （Electroquasitatic， EQS）
低频时，忽略二次源
B ( 0) 的作用，即 Eind 0, t
E Ec Eind Ec 0 电场呈近似无旋
E 0 D
电准静态场基本方程为
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0 E
0 t
t/τ (x, y, z) e 一阶微分方程的解 0
可见，导体中自由电荷密度按指数规律衰减，称 为电荷的弛豫。
其中，=/ 称为弛豫时间
2018/9/29 第六章准静态电磁场 5
非理想介质的电导率很小，弛豫时间较长； 聚苯乙烯 =2.550 F/m， =10-16S/m， 弛豫时间 =2.25103秒； 良导体电导率很大，弛豫时间=/远远小于1。 铜 = 0 =8.851012F/m， =5.80107S/m， 弛豫时间 =1.5210-19秒
k j j
2018/9/29
电磁场扩散方程 是研究准静态情 况下集肤效应、 邻近效应和涡流 问题的基础。
/ 2
13
第六章准静态电磁场
作
业
6-2 无限大均匀导电媒质中有一个初始值为q0的 点电荷，试问点电荷的电量q(t)如何随时间变化？ 求媒质中任一点的：1）电场强度和位移电流密度； 2）传导电流密度和磁场强度。 6-5 半径为a 的长直圆柱型导 线为理想导体（1=）。设导 线中通有缓变电流 i(t)= Imsintez 求：导线外的磁场强度H(t)和 感应电场E(t)。
E E t
2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 12
上式两边同乘，则得到
J J t
2
以上三式就是在MQS近似下，导体中任一点的E、 H和J所满足的微分方程，称为电磁场的扩散方程。
相应的复数形式 ：
jH k2H H
2
jE k2E 2 E jJ k 2J 2 J
2018/9/29 第六章准静态电磁场 17
6-3-2 邻近效应 邻近效应：通电导体处于其它导体电流产生的电 磁场中时，其电流分布受到邻近导体的影响。 假设一对汇流排 a<<b<<l， y 电导率和磁导率分别为 和 I I 0 。磁场扩散方程简化为 x b ⊙
d H y
2
0
dx 2
k 2H y
例 6-1 平 板 电 容 器 极 板 为 半 径 10cm 的 圆 金 属 片 ， 极 间 距 离 为 R 1cm ，理想介质的介电常数为 20 ， 外接缓变电压 u(t)=220sin314t
求: 1)介质中的时变电场强度E(t) 2)介质中的时变磁场强度H(t)
2018/9/29 第六章准静态电磁场
导电媒质中的电位分布也按指数规律衰减， 其衰减快慢同样决定于弛豫时间。
2018/9/29
第六章准静态电磁场
7
6-2 磁准静态场
6-2-1 磁准静态场（MQS）
当位移电流远远小于传导电流时，D/t可以忽略不计， 则称为磁准静态场。 D B 0 H J J 基本方程： t B D E t
I d J ch k ( a x) z x b sh (ka) 2 H y
Jz
0
d/2
d/2+a
x
由曲线图可见，靠近两块汇流排相对的内侧面 附近电流密度最大，呈现较强的邻近效应。 原因在于导体内部的电流密度与空间电磁波分 布密切相关，两线相对的内侧电磁能量密度大， 传入导线的功率大，故电流密度也较大。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 19
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
电气工程中的发电机、变压器的铁心和端盖都是由大 块铁心构成的。在变化的磁场中，这些导体内部都会因电 磁感应产生自行闭合、呈旋涡状流动的电流，因此称之为 涡旋电流，简称涡流。 z
6-4-1 涡流及其损耗
以变压器铁心 为例，在磁准静 态MQS近似下， 分析钢片中的电 磁场分布
a
l
y
h x
B
2018/9/29
第六章准静态电磁场
20
y 设硅钢片外磁场B沿z向， a E J 宽度h≫厚度a，可忽略边缘效 应，认为E和J仅有y分量Ey和Jy。 h≫a 由于磁路长度l和宽度h远远大 一片薄板的横截面 于其厚度a，可近似认为E和H 与y和z无关，仅是x的函数 2
x E J
磁场扩散方程简化为 通解
图 6-4
X方向，C2=0 其中积分常数由边界条件确定 设表面J C =J0 0， 1
2018/9/29 第六章准静态电磁场 15
J ekx J exe jx J y 0 0
E y J y
J0
ex e jx E0ex e jx
jH 得 E 1 jk 由 E y Hz E0exe jx j x
得
磁场强度
2018/9/29
H 2r r
H( t )
2
d
U m cost
r U m cos t e 2d
4
第六章准静态电磁场
6-1-2 电荷在导体中的弛豫过程
对全电流定律两边取散度 由矢量恒等式，得 由于E=/，得
( H ) J D t E t
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
两层非理想介质的平板电容器， 与直流电压源U接通的过渡过程 中，其分界面上将逐渐积累自由 U 电荷 1 2 2 1 U (1 e t / ) b 1 a 2 弛豫时间
2018/9/29
S a b 1 2 1 2
2
标量电位： E (t ) (t )
(t ) 边值问题： (t )
2
2018/9/29
第六章准静态电磁场
电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电 场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计， 属于电准静态场问题。
低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可 能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei） Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。
d H 2 z k Hz 2 dx
C ekx C e kx H z 1 2
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
第六章 准静态电磁场
当电磁场随时间变化较缓慢时，在不影 D B 响工程计算精度的前提下，忽略 或 的 t t 电磁场，称为准静态电磁场。 6-1 电准静态场
6-2 磁准静态场 6-3 集肤效应与邻近效应
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
6-5 电路定律和交流阻抗
2018/9/29 第六章准静态电磁场 1
d 1 / 2 /
可见，频率越高，导电性能越好的导体，透入深 度越小，集肤效应越显著。
例如，铜在f=50Hz时，透入深度d=9.4mm； 当频率f=51010Hz时，透入深度d=0.66m。 应当注意，在大于d的区域内，场量并非为零，而是继 续衰减。经过13.8d距离场强衰减到只有表面值的109。
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 11
电力传输线的长度和电工设备中线圈的尺 寸远远小于工频波长6000km，都可作为磁准 静态场问题处理。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 9
例6-2 细长空心螺线管半径为a，单位长度N匝， 媒质参数分别为 0 、 0 、 =0 。设线圈中电流 为 i(t ) I 0et / 求螺线管内媒质中的： 1）磁场强度H(t)； i(t) 2）电场强度E(t)； l1 3）坡印亭矢量S。 解：1) 线圈电流变化缓慢,可近似为磁准静态场， 图 6-2 仿照恒定磁场求H
时变磁场：有旋、无散。 （同恒定磁场） B(t ) A(t ) 矢量磁位： 2 A(t ) J (t ) 边值问题：
磁准静态场与恒定磁场的计算方法相同。此时B和H仍 是时间的函数，但与场源J (t)之间具有瞬时对应关系。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 8
若导体满足条件（/）<< 1，意味着导体 中的位移电流远远小于传导电流，则可看为良 导体，位移电流可以忽略不计，属于磁准静态 场问题。 若理想介质中的场点到源点的距离r远远小 于波长，则处于时变电磁场的近区范围（似稳 场），推迟作用可以忽略不计，也属于磁准静态 场问题。
kx
Ce 通解 H y 1
C2e
kx
a
d
a
d I ( ) 内侧 H y 2 b 根据边界条件
外侧
2018/9/29
d H y ( a) 0 2
18
第六章准静态电磁场
磁场强度用双曲函数表示为 I d Hy sh k ( a x) b sh (ka) 2 J ，可得 利用 H
H (t ) N i(t ) ez N I 0et / ez
细长螺线管：管外磁场为零，管内磁场均匀
2018/9/29 第六章准静态电磁场 10
H dl i(t )
l1
2）在螺旋管内取同心圆l2 H E dl 0 ds
E 2r 0 N I 0et / r 2 r E 0 NI 0 e t / e 2
+ u(t)
图6-1