新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念学案新人教B版第三册

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高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.3向量数量积的坐标运算b

－b)，所以(a＋mb)·(a－b)＝0，即(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0，所以 m＝233。
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1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： (1)求向量的数量积。利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积。 (2)求模。利用|a|＝ x2＋y2计算两向量的模。 (3)求夹角余弦值。由公式 cos θ＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22求夹角余弦值。 (4)求角。由向量夹角的范围及 cos θ 求 θ 的值。 2．涉及非零向量 a，b 垂直问题时，一般借助 a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0 来解决。
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1．设向量 a＝(1，－2)，向量 b＝(a＋2b)·c＝（）
A．(－15，12)
B．0
C．－3
D．－11
C [依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a
＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3．]
－102 [∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝ 22＋22＝2 2，|b|＝－82＋62＝10.
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝2
－2×4 10＝－
2 10 .]
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3．已知 a＝(3，x)，|a|＝5，则 x＝________。 ±4 [|a|＝ 32＋x2＝5，∴x2＝16.即 x＝±4.]
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合作探究提素养
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2020_2021学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.1_2向量数量积的概念向

课时作业(十三) 向量的数量积一、选择题1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是()A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝()A ．20B ．－20C ．20 3D ．－20 33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ为() A.π6 B.2π3C.π3D.5π64．[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6二、填空题5．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝1，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________．6．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 在e 方向上的投影为－2，则a 与e 的夹角为________．7．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值X 围是________．三、解答题8．已知|a |＝4，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为120°，求|3a －4b |；(2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ.9．已知a ·b ＝20，|a |＝5，求b 在a 方向上的正射影的数量．[尖子生题库]10．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O,2OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB→等于________．课时作业(十三) 向量的数量积1．解析：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0.即a ⊥b .答案：B2．解析：BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝5×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20. 答案：B3．解析：∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a ·b ＝7，∴a ·b ＝－32，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 答案：B4．解析：设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.故选B. 答案：B5．解析：∵(3a ＋2b )⊥(λa －b )，∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝2，|b |＝1，a ⊥b ，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝16. 答案：166．解析：因为a 在e 方向上的投影为－2，即|a |cos 〈a ，e 〉＝－2，所以cos 〈a ，e 〉＝－2|a |＝－12，又〈a ，e 〉∈[0，π]，所以〈a ，e 〉＝120°.答案：120°7．解析：由题意cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0，即1－2λ>0，得λ<12. ∵a ，b 不能共线，即a ≠b ，∴λ≠－2. ∴λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12. 答案：(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 8．解析：(1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. 又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 9．解析：设a ，b 的夹角为θ，则b 在a 方向上的正射影的数量就是|b |cos θ，因为|a ||b |cos θ＝a ·b ＝20，所以|b |cos θ＝20|a |＝205＝4，即b 在a 方向上的正射影的数量是4.10．解析：∵2OA →＋AB →＋AC →＝0，∴OA →＋AB →＋OA →＋AC →＝0，∴OB →＋OC →＝0，即OB →＝－OC →.∴O ，B ，C 共线，BC 为圆的直径．∴AB ⊥AC . 又|OA →|＝|AB →|，∴|OA →|＝|AB →|＝1，|BC →|＝2，|AC →|＝3. 故∠ACB ＝π6.则CA →·CB →＝3×2cos π6＝3. 答案：3。

高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律b

课时
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层
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作
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情
课
境
堂
导
小
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探
提
新
1．两个向量数量积的运算律
素
知
养
(1)交换律：a·b＝ b·a ．
合
作探
(2)结合律：(λa)·b＝ λ(a·b) (λ∈R)．
究
课时分
释
(3)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
层作
疑
合
作
课
探究
(2)已知向量a，b满足|b|＝5，|2a＋b|＝5
3 ，|a－b|＝5
2 ，则|a|
时分
层
释＝________.
作
疑
业
难
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情境导
56 (1)0 (2) 3
[(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2
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·
情
向量的夹角与垂直(chuízhí)问题
课
境
堂
导
【例2】 (1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝ 7，则a，b 小
学
结
·
探新
的夹角为(
)
提素
知
养
合
A．π3
作
B．π6
课
探
时
究释
C．π4
D．23π
分层作

人教B版高中数学必修第三册精品课件第8章向量的数量积与三角恒等变换 8.1.1 向量数量积的概念

2.(1)向量数量积的定义:一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos<a,b>
为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.两个非
零向量a与b的数量积是一个实数.
(2)向量数量积的性质:
a,b都是非零向量.
①|a·b|≤|a||b|;
②a2=a·a=|a|2,即|a|= ·;
④若向量a与b是两个单位向量,则a2=b2;
⑤a在b上的投影是一个实数.
π
解析:①错,当 a·b=0 时,有 a=0 或 b=0 或<a,b>=2 ;②当<a,b>=π 时,有 a·b<0,
∴②错;
③正确,∵当 ·=0
π
∴∠ABC=2 ,∴△ABC
π
时,< , >= ,
2
为直角三角形;
第八章
8.1.1 向量数量积的概念
内
容
索
引
01
自主预习新知导学
02
合作探究释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的运算性质,培养直观想象、数学运算素养.
自主预习新知导学
一、两个向量的夹角
1.若F1和F2是作用于同一点的两个力,则此两个力的张角最大是多少?最小
a 与向量 b 垂直,记作 a⊥b.规定零向量与任意向量
垂直.
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,则< , >=135°;与垂直的向量有
, .
二、向量数量积的定义

第八章向量的数量积与三角恒等变换知识点清单-高一下学期数学人教B版

新教材人教B版2019版数学必修第三册第八章知识点清单目录第八章向量的数量积与三角恒等变换8. 1 向量的数量积8. 1. 1 向量数量积的概念8. 1. 2 向量数量积的运算律8. 1. 3 向量数量积的坐标运算8. 2 三角恒等变换8. 2. 1 两角和与差的余弦8. 2. 2 两角和与差的正弦、正切8. 2. 3 倍角公式8. 2. 4 三角恒等变换的应用第八章向量的数量积与三角恒等变换8. 1 向量的数量积 8. 1. 1 向量数量积的概念 8. 1. 2 向量数量积的运算律一、两个向量的夹角1. 给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则称 [0，π] 内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b >. 当<a ，b >=π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .2. 规定：零向量与任意向量垂直.3. 两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角. 二、两个向量的数量积（内积） 1. 定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos<a ，b >为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |·cos<a ，b >.2. 性质：设a ，b 是非零向量，θ是它们的夹角，则 (1) a ⊥b ⇔a ·b =0. (2)| a ·b |≤|a ||b |.(3) a ·a =|a |2，即|a |=√a ⋅a . (4)cos<a ，b >=a⋅b|a||b|.3. 两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0， 0°≤θ<90°时)，可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a =0或b =0或θ=90°时)，其中θ为a 与b 的夹角.4. a ·b 中的符号“·”既不能省略，也不能用“×”代替.三、向量的投影1. 向量的投影⃗⃗⃗⃗⃗ =a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，如图1所示，设非零向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为向量a在直线l上的投影向量或投影.B'，则称向量A′B′类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .投影称为a在向量b上的投影. 如图2中，向量a在向量b上的投影为A′B′可以看到，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反.2. 投影的数量一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos<a，b>为向量a在向量b上的投影的.数量，也可以写成a⋅b|b|3. 投影的数量可正、可负，也可为0.四、向量数量积的运算律1. 交换律：a·b=b·a.2. (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b).3. 分配律：(a+b)·c=a·c+b·c.【注意】向量数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c不能推出b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)).五、向量数量积的应用 1. 利用向量的数量积求模a·a=a 2=|a|2或|a|=√a ⋅a 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据，即求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根，即为该向量的模.2. 利用向量的数量积求夹角求两个非零向量a ，b 的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式cos θ=a⋅b |a||b|，根据题中条件分别确定|a|，|b|和a·b 后代入即可. 确定θ时要注意θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈[0，π2)；当cos θ<0 时，θ∈(π2，π]；当cos θ=0时，θ=π2.3. 已知两个向量垂直时，可求相关参数的值. 具体方法是利用向量的数量积为0列出方程(组)，通过解方程(组)求出其中参数的值.8. 1. 3 向量数量积的坐标运算一、向量数量积的坐标运算1. 已知非零向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则 (1)a·b =x 1x 2+y 1y2.(2)|a |=√x 12+y 12.(3)cos<a ，b >=a⋅b|a||b|=1212√x 12+y 12⋅√x 22+y 22.(4)a⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.2. 设非零向量a =(x ，y)，则与a 共线的单位向量的坐标是±(√x 2+y2√x 2+y 2) ，其中正、负号分别表示与a 同向和反向.3. 设非零向量a=(x ，y)，则与a 垂直的单位向量的坐标是±(√x 2+y2√x 2+y 2).二、平面向量数量积的坐标运算及其应用1. 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质. 解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，再进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.2. 与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数与三角函数，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质求出最值.3. 对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系并写出相应点的坐标即可求解.8. 2 三角恒等变换8. 2. 1 两角和与差的余弦 8. 2. 2 两角和与差的正弦、正切一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C α+β，C α-β：同名相乘，符号相反. S α+β，S α-β：异名相乘，符号相同. 二、辅助角公式1. asin x+bcos x=√a 2+b 2sin(x+θ) (a，b 不同时为零)，其中cos θ=√a 2+b 2，sin θ=√a 2+b 2三、两角和与差的正弦、余弦公式的应用 1. 给角求值给角求值题目涉及两角和与差公式的正用和逆用，公式的逆用是三角函数式变形的重要手段，有时还需把三角函数式中的系数0， 12，√22，√32等视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用. 例如： 12cos α-√32sin α=sin π6cos α-cos π6sin α=sin (π6−α).2. 给值求值解决给值求值问题时，应先分析已知角与所求角间的关系，再考虑三角函数名称的联系，最后选择合适的公式求值.分析已知角与所求角之间的关系时，需要恰当地运用拆角、拼角技巧，具体做法如下：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角” 有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.常见的角的代换的形式：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=12[(α+β)+(α-β)]=12[(α+β)-(β-α)]，α+β2=(α−β2)-(α2−β)，α+β=(2α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.3. 给值求角解决给值求角问题的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内. 当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时,一般求余弦值；当所求角的范围是(−π2，π2)或(π2，3π2)时，一般求正弦值.四、两角和与差的正切公式和的应用1. “1”的代换在Tα±β中，若分子中出现“1”，则常利用1=tanπ4来代换，以达到化简求值的目的.2. 整体意识若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑Tα±β的变形公式：①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)，②1∓tan αtan β=tan α±tanβtan(α±β). 五、辅助角公式的应用1. 辅助角公式对三角函数式的化简具有重大意义，基本形式为y=asin x+bcos x= √a2+b2sin(x+φ)，其中tan φ=ba. 运用辅助角公式的前提条件有三个：①同角(均为x)，②齐一次(均为一次的)，③正余全(一个是sin x，一个是cos x).8. 2. 3 倍角公式一、二倍角公式S2α：sin 2α=2sin αcos α.C2α：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.T2α：tan 2α=2tan α1−tan2α.知识拓展倍角公式的变形：①1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.②1+cos 2α=2cos2α，cos2α=1+cos2α2，sin2α=1−cos2α2.③sin 2α=2tan α1+tan2α，cos 2α=1−tan2α1+tan2α.二、利用二倍角公式化简、求值 1. 利用二倍角公式化简、求值的策略2. 利用二倍角公式化简、求值时应分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，充分利用所学的三角函数的和、差、倍角等公式，首先从角入手，分析待化简(求值)的式子中角的特点，然后选择适当公式化未知为已知或化异为同，实现三角函数式的化简、求值.8. 2. 4 三角恒等变换的应用一、三角变换公式名称内容半角公式sinα2=±√1−cosα2；cosα2=±√1+cosα2；tanα2=积化和差公式(1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)]；(2)cos αsin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)]；(3)cos αcos β=12[cos(α+β)+cos(α-β)]；(4)sin αsin β=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式(1)sin θ+sin φ=2sinθ+φ2cosθ−φ2；(2)sin θ-sin φ=2cosθ+φ2sinθ−φ2；(3)cos θ+cos φ=2cosθ+φ2cosθ−φ2；(4)cos θ-cos φ=-2sinθ+φ2sinθ−φ2二、半角公式的运用1. 利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tanα2=sin α1+cosα=1−cos αsinα计算；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2=1−cos α2，cos2α2=1+cos α2计算.(4)下结论：结合(2)求值.三、三角函数式的化简与三角恒等式的证明1. 化简三角函数式的思路三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称. 常用方法：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，弦切互化，特殊角的三角函数与特殊值互化等.化简的结果应满足以下几点：①能求值的尽量求值；②函数名称尽量少；③项数尽量少；④次数尽量低；⑤分母、根号下尽量不含三角函数.2. 证明三角恒等式的思路观察、分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一或消除等式两端的差异，达到证明的目的.。

高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.3向量数量积的坐标运算b

,cos<a,b>=
.
解析:c=a+4b=(-6,12),|c|= (-6)2 + 122 =6 5.
·
||·||
10
10
cos<a,b>=
答案:6 5
=
-4+8
4+16 4+4
=
10
.
10
4.已知a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),且a与b的夹角大于90°,则实数m
的取值范围为
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)解:∵ ⊥ ,四边形 ABCD 为矩形,
∴ = .
设点 C 坐标为(x,y),则(1,1)=(x+1,y-4).
+ 1 = 1,
= 0,
∴
得
∴C 点坐标为(0,5).
= 5.
-4 = 1,
∵=(-2,4),=(-4,2),
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课标阐释
1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数
量积的坐标运算.
2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长
度、角度、垂直等相关问题.
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思维脉络
1.已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若e1,e2是两个互相垂直且分别与
x轴、y轴正半轴同向的单位向量,则a,b如何用e1,e2来表示?并求出
解:(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.
(2)方法一:∵a=(3,-1),b=(1,-2),

新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第八章向量数量积的概念向量数量积的运算律

如图（1 ）, 当〈 a， b 〉 <π2 时，��′��′的方向与b的方向相同，而且
| ��′��′|＝|a|cos〈a，b〉；
图（1）
如
图（2）
,当〈a
，b〉
＝π时
2
，
��′��′为零向量，即| ��′��′|＝0；
如
图
（
3
）
另外，我们还能得到数量积的如下性质. （3）a，b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即
�� ⊥ �� ⇔ �� · ��＝0.
（4）如果a，b都是非零向量，则
cos〈a，b〉＝
��∙��
.
点拨 1.性质（1）中，当且仅当�� ∥ ��时，等号成立，此性质可用来解决不等式的相关问题. 2.性质（2）用数量积来求向量的模.实现了实数运算与向量运算的相互转化. 3.性质（3）可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系. 4.性质（4）是数量积定义的变形，又称为夹角公式，建立了向量与三角函数的联系.
π
例如，下图中向量a与b的夹角为π4，即〈a，b〉＝ 4 .
类似地，上图中，向量a与c的夹角为π2，即〈a，c〉＝π2；向量a与d的夹角为0，即〈a，d〉＝0；向量a与e的夹角为π，即〈a，e〉＝ π .
根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且
0≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝〈b，a〉. 当〈a，b〉＝π2时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. 由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.

高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念教案新人教B版

8.1.1 向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.【知识导学】知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个□01非零向量a ，b (如图所示)，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称□02[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作□03〈a ，b 〉．(2)规定□040≤〈a ，b 〉≤π.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝□05〈b ，a 〉．(3)垂直：当〈a ，b 〉＝□06π2时，称向量a 和向量b 互相垂直，记作□07a ⊥b .在讨论垂直问题时，规定□08零向量与任意向量垂直． (4)①当〈a ，b 〉＝□090时，a 与b 同向； ②当〈a ，b 〉＝□10π时，a 与b 反向； ③当〈a ，b 〉＝□11π2或a 与b 中至少有一个为零向量时，a ⊥b . 知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称□01|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 和b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝□02|a ||b |cos 〈a ，b 〉．由定义可知，两个非零向量a 与b 的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝□01|a |cos 〈a ，e 〉． (2)a ⊥b ⇒□02a ·b ＝0，且□03a ·b ＝0⇒a ⊥b . (3)a ·a ＝□04|a |2，即□05|a |＝a ·a .(4)cos 〈a ，b 〉＝□06a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)． (5)|a ·b |□07≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB →＝a ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则称向量A ′B ′→为向量a 在直线l 上的□01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l 上的投影称为a 在向量b 上的□02投影．如图2中，向量a 在向量b 上的投影为□03A ′B ′→.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量□04共线，但它们的方向既有可能□05相同，也有可能□06相反．知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向□01相同，而且|A ′B ′→|＝□02|a |cos 〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，A ′B ′→为零向量，即|A ′B ′→|＝□030；当〈a ，b 〉>π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向□04相反，而且|A ′B ′→|＝□05－|a |cos 〈a ，b 〉．一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称□06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是□07非负数，也可能是□08负数．两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．【新知拓展】1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值． 2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°. 3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)若a ·b >0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a 与b 共线同向，a ·b >0. (2)a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 中至少有一个为0.(3)a ·b <0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a 与b 共线反向，a ·b <0.特别注意a ，b 共线同向与共线反向的特殊情况，即a ·b >0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．(2)利用公式变式cos θ＝a ·b|a ||b |求夹角，应正确求出两个整体：数量积a ·b 与模积|a ||b |，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a ·b ＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ·b ＝0，则a ⊥b .( )(2)两个向量的数量积是一个向量．( ) (3)当a ∥b 时，|a ·b |＝|a |·|b |.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知向量a 与轴l 的夹角为30°且|a |＝3，则a 在轴l 上的投影的数量为________． (2)已知|a |＝4，|b |＝22，且a 与b 的夹角为135°，则a·b ＝________.(3)在直角坐标系xOy 内，已知向量AB →与x 轴和y 轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA →在x 轴、y 轴上的投影的数量分别为________和________．答案 (1)32 (2)－8 (3)12|AB →| －32|AB →|题型一两个向量的夹角例1 已知向量a ，b 的夹角为60°，试求下列向量的夹角： (1)－a ，b ；(2)2a ，23b .[解] 如图，由向量夹角的定义可知： (1)向量－a ，b 的夹角为120°. (2)向量2a ，23b 的夹角为60°.金版点睛(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意区别向量的夹角和直线的夹角，两者的范围不同，前者是[0°，180°]，后者是[0°，90°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角，作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．[跟踪训练1] 已知向量a 与b 的夹角为60°且|b |＝12|a |，求a －b 与a 的夹角．解如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠BOA ＝60°，连接BA ，则BA →＝a －b .取OA 的中点D ，连接BD ， ∵|b |＝12|a |，∴OD ＝OB ＝BD ＝DA ，∴∠BDO ＝60°＝2∠BAO ， ∴∠BAO ＝30°.∴a －b 与a 的夹角为30°. 题型二向量的数量积定义例2 已知|a |＝5，|b |＝2，若： (1)a ∥b ； (2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°. 分别求a ·b .[解] (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角为0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝5×2×1＝10；若a 与b 反向，则它们的夹角为180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝5×2×(－1)＝－10. (2)当a ⊥b 时，则它们的夹角为90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝5 3. 金版点睛求平面向量的数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积． (2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.[跟踪训练2] 已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.题型三向量在直线上的投影例3 已知直线l ，(1)向量|OA →|＝4，〈OA →，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1； (2)向量|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1； (3)向量|OC →|＝4，〈OC →，l 〉＝120°，求OC →在l 上的投影的数量OC 1. [解] (1)OA 1＝4cos60°＝4×12＝2；(2)OB 1＝4cos90°＝4×0＝0；(3)OC 1＝4cos120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 金版点睛对向量在直线上的投影的理解从定义上看，向量b 在直线上的投影是一个向量，其在直线上的投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，该数量为正实数．(2)当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，该数量为负实数． (3)当θ＝0时，该数量为|b |. (4)当θ＝π时，该数量为－|b |. 注意：此处b 为非零向量． (5)当θ＝π2时，该数量为0.[跟踪训练3] 已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为π3时，a 在e 方向上的投影的数量为( )A ．4 3B ．4C ．4 2D ．8＋32答案 B解析因为a 在e 方向上的投影的数量为|a |cos π3＝4，故选B.题型四向量数量积的几何意义例4 已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为( )A ．3 B.92 C ．2D.12 [解析] a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.[答案] B 金版点睛利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量．代入向量数量积的公式即可．[跟踪训练4] 已知a ·b ＝16，若a 在b 方向上的投影的数量为4，则|b |＝________. 答案 4解析设a 与b 的夹角为θ，∵a·b ＝16，∴|a ||b |cos θ＝16.又∵a 在b 方向上的投影的数量为4， ∴|a |cos θ＝4，∴|b |＝4.1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影的数量为( ) A.125B ．3C ．4D ．5答案 A解析设a 与b 的夹角为θ，则向量a 在b 上的投影的数量为|a |cos θ＝a ·b |b |＝125. 2．已知|a |＝4，|b |＝2，当它们之间的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．8答案 B解析根据向量数量积的定义得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×cos π3＝4.3．设e 1，e 2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是( ) A ．e 1·e 2＝1 B ．e 1·e 2＝－1 C ．|e 1·e 2|＝1 D ．|e 1·e 2|<1答案 C解析当e 1，e 2同向时，e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝1×1×cos0°＝1，当e 1，e 2反向时，e 1·e 2＝|e 1||e 2|·cos〈e 1，e 2〉＝1×1×cos180°＝－1.4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答案 B解析由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝6，且AB →·AC →＝18，则△ABC 的形状是________．答案等边三角形解析 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ， ∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.又∵|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形．。

新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1.1

题型三与向量模有关的问题例 3 设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|等于 () A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
解析：由于|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝3，所以|a＋2b|＝ 3，故选 B.
答案：B
跟踪训练 3 已知 x＝1 是方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 的根，且 a2＝4， a 与 b 的夹角为 120°，求向量 b 的模．
当且仅当|cos θ| ＝1，
即 cos θ ＝±1，θ ＝0 或 π 时，取“ ＝”，
所以|a→·b→|≤|a→||b→|，cos θ
→→ ＝|a→a |·|bb→|.
例 4 已知|a|＝3，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝3a＋5b， d＝ma－3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且 a·b＝－12，则 a 在 b 方向上的正射影的数量为________，b 在 a 方向上的正射影的数量为________．
【解析】 (2)设 a 与 b 的夹角为 θ，则有 a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12，所以向量 a 在向量 b 方向上的正射影的数量为|a|·cos θ＝a|b·b| ＝－512＝－152；向量 b 在向量 a 方向上的正射影的数量为|b|·cos θ＝a|a·b| ＝－312＝－4. 【答案】(2)－152 －4
答案：C
3．如图，在△ABC 中，A→C，A→B的夹角与C→A，A→B的夹角的关系为________．
解析：根据向量夹角定义可知向量A→B，A→C夹角为∠BAC，而向量C→A，A→B夹角为 π－∠BAC，故二者互补．
答案：互补
4．已知等边△ABC 的边长为 4，则B→A·B→C＝____8____.

新教材人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换精品教学课件(共236页)

2
如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD,则△ABD为等边三角形,
所以AC⊥BC,∠BAC=30°,所以向量BC与 C的A 夹角为90°, AB与 C的A夹角为150°. 答案:90° 150°
【类题通法】求平面向量的夹角的方法技巧 (1)已知平面向量的长度和数量积,利用夹角余弦公式计算cos<a,b>= a b ,
提示:(1)W=10×6=60(J). (2)W=10×6×cos 60°=30(J). (3)W=|F||s|cos θ(J).
2.向量的夹角:正方形ABCD,如图.
(1)向量 AB与AD 的夹角等于__2___,表示为〈_A__B_，A__D_〉__2___. (2)向量 AB与CA 的夹角等于__34___,表示为〈_A__B_，C_A__〉__3_4__.
【典例3】(1)已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影的数量为 3 ,则a与b的
2
夹角为 ( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知平面向量|a|=2,|b|=6且a·b=-4,则a在b上投影的数量为
,b在
a上投影的数量为
.
【思维导引】(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos<a,b>,再求向量的
=18+36-18=36.
【类题通法】关于向量数量积的几点注意事项
两个向量的数量积与实数的积有很大区别:
(1)两个非零向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定.
(2)计算两个平面向量的数量积,首先要明确两个平面向量的长度和夹角,再利
用向量的数量积公式计算a·b=|a||b|cos<a,b>.

高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律b

2.填空:
向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数λ,则
交换律
结合律
分配律
a·b=b·a
(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)
a·(b+c)=a·b+a·c
3.做一做:已知|a|=2,|b|=5,<a,b>=120°,求(2a-b)·a.
答案:13
12/13/2021
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
是(
)
π
π
A.6
2π
B.3
C. 3
解析:由题意知 a2=2a·b,b2=2a·b,
1
2
·
所以 cos<a,b>=||||
π
即<a,b>= .
3
所以|a|=|b|,a·b= |a|2,
12/13/2021
答案:B
1
= 2,
5π
D. 6
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.(双空)已知|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为60°,则|2a-b|=
探究一
探究二
探究三
解:(法一)|a+b|= ( + )2 =
思维辨析
当堂检测
||2 + ||2 + 2·
π
52 + 52 + 2 × 5 × 5 × cos 3=5√3.
|a-b|= (-)2 =
||2 + ||2 -2·
π
= 52 + 52 -2 × 5 × 5 × cos 3=5.
π
典例已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为3,求|a+b|,|a-b|.

高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦学案新人教B版第三册

8.2.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？[提示]依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝y 1，cos α＝x1，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α).1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )A．12B．13C．32D．33A[原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝12.]2.化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)C．cos αD．cos βC[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]3.cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________.12[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]A．2－64B．6－24C．2＋64D．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.[思路探究]利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．(1)C[cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24.](2)[解] ①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝22，所以原式＝22.②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．1.求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． [解](1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.【例2】(1)已知cos α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，2π，则cos α－3＝________. (2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．[思路探究](1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α.(1)3－4310 [因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32＝3－4310.] (2)[解] 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π. 又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.(3)求解.结合公式C α±β求解便可.2.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值．[解] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010 ＝22. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．3.设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3.[证明] 由0<α<π2，0<β<π2，知0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－1114，故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝12，∴β＝π3.1.若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2.利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)． 3.若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？ [提示] cos(α－β)＝2－a 2－b22.【例4】若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A ．33B ．－33 C ．539D ．－69[思路探究] 利用角的交换求解，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. C [∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C ．]巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等.4．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2的值．[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sin α sin β. ②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.1.下列式子中，正确的个数为( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sinα，故②错误，故选A ．]2.已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A ．3365 B ．－3365C ．5475D ．－5475A [因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A ．]3.sin 75°＝________. 6＋24[sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24.] 4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值． [解] ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12， ∴π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35>12，11 ∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45， sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.。

新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦教案新人教B版第三

新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦教案新人教B 版第三册(教师独具内容)课程标准：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能用两角和与差的余弦公式进行简单的恒等变换．教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用．教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.【知识导学】知识点一两角和与差的余弦公式两角差的余弦公式：cos(α－β)＝□01cos αcos β＋sin αsin β；两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝□02cos αcos β－sin αsin β.两角α，β的差(或和)的余弦公式右端是两角α，β的余弦之积与正弦之积的□03和(或差)．知识点二角的变换：β＝(α＋β)－□01α；2α＝(α＋β)＋□02(α－β)，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－□03⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β. 【新知拓展】1．两角和与差的余弦公式的结构特征即公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．2．公式的适用条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角“α”，“α－β2”相当于公式中的角“β”．因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．3．“给角求值”“给值求值”问题“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．4．解决“给值求角”问题的注意点“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于任意的实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( ) (2)对任意的α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( ) (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2α.( )答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为( ) A ．－32B.32C.22 D ．－22(2)下列式子中，正确的个数为( ) ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A ．0 B ．1 C ．2D ．3(3)①cos165°＝________；②若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.答案 (1)B (2)A (3)①－6＋24 ②15题型一给角求值例1 求下列各式的值：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π12；(2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°； (3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°.[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π12＝cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32. (3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°) ＝－sin17°sin43°＋sin73°sin47° ＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43° ＝cos(17°＋43°)＝cos60°＝12.金版点睛利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路(1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°＝45°－30°或15°＝60°－45°)，直接应用公式求值．(2)逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导公式等工具，构造两角和与差的余弦公式的展开式，然后逆用公式求值．[跟踪训练1] 求值： (1)cos105°＋sin195°；(2)cos(x ＋27°)·cos(18°－x )－sin(x ＋27°)·sin(18°－x )．解 (1)cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°) ＝2cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°·cos30°＋sin135°·sin30°) ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×32＋22×12＝2－62. (2)cos(x ＋27°)·cos(18°－x )－sin(x ＋27°)·sin(18°－x )＝cos[(x ＋27°)＋(18°－x )] ＝cos45°＝22. 题型二给值求值例2 已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．[解] 由条件，得3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，∴cos(α＋β)＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－513＋⎝⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.金版点睛给值求值的解题步骤(1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异．(2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．(3)求解．结合公式C α±β求解便可．[跟踪训练2] 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( ) A.3－4310 B.4－3310C.23－35D.3－235答案 A解析 ∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310. 题型三给值求角例3 已知α，β为锐角，sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，求cos β的值及β的大小．[解] ∵α为锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17. 又∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． ∵sin(α＋β)＝5314<sin α，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 即cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝－1114. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β为锐角，∴β＝π3.金版点睛解答给值求角问题的步骤(1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角所在的范围． (3)根据角的范围写出所求的角． [跟踪训练3] 已知A ，B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 的大小为________．答案7π4解析 ∵A ，B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－31010.∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. ∴A ＋B ＝7π4.题型四证明三角恒等式例4 证明：cos(α＋β＋γ)＋cos(α＋β－γ)＋cos(γ＋α－β)＋cos(γ－α＋β)＝4cos αcos βcos γ.[证明] 原式左边＝cos[(α＋β)＋γ]＋cos[(α＋β)－γ]＋cos[γ＋(α－β)]＋cos[γ－(α－β)]＝cos(α＋β)cos γ－sin(α＋β)sin γ＋cos(α＋β)cos γ＋sin(α＋β)sin γ＋cos γcos(α－β)－sin γsin(α－β)＋cos γcos(α－β)＋sin γsin(α－β)＝2cos(α＋β)cos γ＋2cos(α－β)cos γ ＝2cos γ[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝2cos γ·2cos αcos β ＝4cos αcos βcos γ＝右边，所以等式成立．金版点睛证明三角恒等式遵循的原则由繁到简，化异为同．常用的方法有：由一边到另一边(即由等式的一边开始逐步化简到与另一边相同为止)；左右归一(左右两边同时化简为一个相同的式子)等．[跟踪训练4] 证明：cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－sin 2β. 证明原式左边＝(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β) ＝cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β ＝cos 2α－cos 2αsin 2β－sin 2β＋cos 2αsin 2β ＝cos 2α－sin 2β＝右边，所以等式成立．1．cos π12cos π6－sin π12sin π6的值为( )A.12 B.22C.32D ．1答案 B解析原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝cos π4＝22. 2．计算cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是( ) A ．1 B.22C.32D.12答案 B解析原式＝cos70°cos25°＋sin70°sin25°＝cos(70°－25°)＝cos45°＝22. 3．计算：cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 答案 12解析原式＝cos40°cos20°－sin40°sin20°＝cos60°＝12.4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为______．答案4－26解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.5．已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，求cos(α－β)的值．解 ∵sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－53.又∵cos β＝－34，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin β＝－74.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－74 ＝35－2712.。

新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用教

新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用教案新人教B版第三册(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)．教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.【知识导学】知识点一二倍角公式S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α. 知识点二半角公式sin α2＝□01± 1－cos α2； cos α2＝□02± 1＋cos α2； tan α2＝□03± 1－cos α1＋cos α＝□04sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点三积化和差公式cos αcos β＝12[□01cos(α＋β)＋□02cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[□03cos(α＋β)－□04cos(α－β)]． sin αcos β＝12[□05sin(α＋β)＋□06sin(α－β)]，cos αsin β＝12[□07sin(α＋β)－□08sin(α－β)]．知识点四和差化积公式cos x ＋cos y ＝□012cos x ＋y2cosx －y2， cos x －cos y ＝□02－2sin x ＋y2sinx －y2，sin x ＋sin y ＝□032sin x ＋y2cos x －y2， sin x －sin y ＝□042cos x ＋y 2sinx －y2.【新知拓展】1．倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．前提：所含各三角函数有意义．2．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后再根据α2所在范围选用符号．(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：αα2sin α2 cos α2tan α2第一象限第一、三象限＋、－＋、－＋第二象限第一、三象限＋、－＋、－＋第三象限第二、四象限＋、－－、＋－第四象限第二、四象限＋、－－、＋－(4)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos2α＝2cos α都不成立．( ) (4)若角α是第一象限角，则sin α2＝1－cos α2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(1)sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34(2)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33(3)已知cos α＝13，则cos2α等于________．(4)tan22.5°＝________.答案 (1)B (2)A (3)－79(4)2－1题型一利用倍角公式化简求值例1 (1)计算：①cos4α2－sin4α2＝________；②12－cos 2π8＝________； (2)化简：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________；(3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.[解析] (1)①cos4α2－sin4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2α2－sin2α2·⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2＝cos α.②原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(2)原式＝2cos 10°－60°2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. (3)原式＝cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αcos2α＝1.[答案] (1)①cos α ②－24(2) 2 (3)1 金版点睛倍角公式转化的策略(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提． (2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化． (3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键．提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12；(2)2tan15°1－tan 215°. 解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)2tan15°1－tan 215°＝tan30°＝33. 题型二半角公式的应用例2 已知sin φcos φ＝60169，且π4<φ<π2，求sin φ，cos φ的值．[解] ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169，又∵π4<φ<π2，∴π2<2φ<π，sin φ>0，cos φ>0，∴cos2φ<0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169，∴sin φ＝1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213， cos φ＝ 1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 金版点睛利用半角公式化简的基本思路(1)降次．一般运用公式cos 2α2＝1＋cos α2，sin2α2＝1－cos α2化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．(2)统一函数名称．化多种三角函数为单一的三角函数． (3)统一角．化多角为单一角，减少角的种类．(4)弦切互化．一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定．[跟踪训练2] 已知cos α＝－35，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2.解 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限的角．∴sin α2>0，cos α2<0，tan α2<0， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－352＝－55， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351－35＝－2. 题型三证明三角恒等式例3 证明下列等式：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos2A cos2B .[证明] 左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos2A cos2B －sin2A sin2B ＋cos2A cos2B ＋sin2A sin2B )＝cos2A cos2B ＝右边，所以原等式成立．金版点睛证明的原则及一般步骤(1)化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．[跟踪训练3] 证明：sin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1sin2x ＝tan x2.证明左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋1－2sin 2x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1＋2sin 2x 2＋1sin2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 24sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 2sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2·si n x 2cos x2·cos x＝cos x ·si nx2cos x2·cos x＝tan x2＝右边，所以原等式成立.题型四运用公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x cos x ＋1＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2 ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.函数f (x )取得最大值时自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (2)由(1)，得f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由题意，得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，因此函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．金版点睛利用公式研究三角函数性质的思路要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而依据y ＝sin x 或y ＝cos x 的性质对所求函数进行性质研究．[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 所以当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.1．已知cos α＝－35，则cos2α等于( )A.725 B ．－725C.2425D ．－2425答案 B解析 cos2α＝2cos 2α－1＝－725.2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为______．答案 43解析由角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α＝－2，由倍角公式得tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 3．函数y ＝sin 2x 的最小正周期为__________．答案 π解析因为y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2＝－12cos2x ＋12，所以T ＝2π2＝π.4．化简1＋sin98°＝__________. 答案 2cos4° 解析1＋sin98°＝sin49°＋cos49°2＝|sin49°＋cos49°|＝sin49°＋cos49° ＝2sin(49°＋45°)＝2sin94°＝2cos4°.5．已知cos α8＝－45，8π<α<12π，求sin α4，cos α4，tan α4.解 ∵8π<α<12π，∴π<α8<3π2，∴sin α8＝－1－cos2α8＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35，∴sin α4＝2sin α8cos α8＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝2425，cos α4＝2cos 2α8－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－452－1＝725，∴tan α4＝sinα4cosα4＝247.。

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2.向量数量积的定义
一般地，当 a 与 b 都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量 a 与 b 的数量积(也
称为内积)，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
[ )π
0， (1)当〈a，b〉∈ 2 时，a·b>0;
π 当〈a，b〉＝ 2 时，a·b＝0；
( ] π ，π 当〈a，b〉∈ 2 时，a· b<0. (2)两个非零向量 a，b 的数量积的性质：
(2)先由平面向量数量积的公式计算 cos 〈a，b〉，再计算投影的数量．
2
3
(1)A(2)－3 －2 [(1)因为向量 b 的模为 1.且 b 在 a 方向上的投影的数量为 2 ，则
3 |b|cos 〈a，b〉＝ 2 ，
3
π
得 cos 〈a，b〉＝ 2 ，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝ 6 ＝30°.
4．(2019·青岛高一检测)如图，圆心为 C 的圆的半径为 r，弦 AB 的长度为 2，则 A→B A→C
· 的值为( )
A．r
B．2r
C．1
D．2
A→C A→B D [如图，作 AB 的中点 H，连接 CH，则向量在方向上的投影的数量为
A→C AH＝| |cos ∠CAB，
A→B A→C A→B A→C
22 3 [因为 a 是单位向量，且 3a·b＝|b|，则 3|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|，得 cos 1
〈a，b〉＝3， 8
又 sin2〈a，b〉＋cos 2〈a，b〉＝1，得 sin2〈a，b〉＝9.又 0≤〈a，b〉≤π，得 22
sin〈a，b〉＝ 3 .]
与向量数量积有关的概念
【例 2】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)
(2)如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D．
因为 AB＝AC，
1 所以 BD＝2BC＝2，
B→A
B→D
于是| |cos∠ABC＝| |
＝12|B→C|＝12×4＝2，
B→A B→C B→A B→C 所以 · ＝| || |cos∠ABC＝4×2＝8.]
1.在书写数量积时，a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
①如果 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0；
②如果向量 a 与 b 满足 a·b<0，则 a 与 b 所成的角为钝角；
A→B B→C ③△ABC 中，如果 · ＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.
B→A B→C (2)已知等腰△ABC 的底边 BC 长为 4，则 · ＝________.
2.知识导图
物理背景——向量数量积——概念公式
∣
几何意义与变形公式
π 1.已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝ 3 ，则 a·b＝( )
A．2
B．3
C．6
D．0
π
π
1
B [因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝ 3 ，则 a·b＝|a||b|cos 3 ＝2×3×2＝3.]
(2)先由向量的数量积公式计算 B，再由平面几何性质计算∠ACB，∠BAC，最后求向量
的夹角．
(1)D(2)90° 150° [ (1)因为向量|a|＝2，|b|＝ 3，且 a·b＝－3，所以 cos
a·b
3
〈a，b〉＝|a||b|＝－ 2 ，
5π
又〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝ 6 .
不等式恒等式
|a·b|≤ |a||b| a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝ a·a
向量垂直的充要条件
a⊥b ⇔a·b＝0
3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)给定平面上的一个非零向量 b，设 b 所在的直线为 l，则向量 a 在直线 l 上的投影
称为 a 在向量 b 上的投影．
(2)一般地，如果 a，b 都是非零向量，则|a|cos 〈a，b〉为向量 a 在向量 b 上的投影的数量．
对小车做的功(取 cos37°≈0.8)为_____．小车克服阻力做的功为______．
8 J 6 J [拉力 F 对小车做的功 WF＝FScos θ＝5×2×0.8 J＝8 J，小车克服阻力做的功为 W 克 f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．]
平面向量的夹角【例 1】(1)(2019·东营高一检测)已知向量|a|＝2，|b|＝ 3，且 a·b＝－3，则
2.求平面向量数量积的方法： (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b＝|a||b|cos θ. (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求 a·b.
3.给出下列判断：①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是三个非零向量，若
a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b 共线
A→B A→H
所以 · ＝| || |cos ∠CAB＝| || |＝2.]
5．已知向量 a 在向量 b 上的投影的数量是 2，|b|＝3，则 a·b＝________. 6 [因为向量 a 在向量 b 上的投影的数量是 2，|b|＝3，则 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|＝2×3＝6.]
[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
(1)③④(2)8 [(1)由数量积的定义知 a·b＝|a||b|·cos θ(θ 为向量 a，b 的夹角)
．
①若 a·b＝0，则 θ＝90°或 a＝0 或 b＝0，故①错；
②若 a·b<0，则 θ 为钝角或 θ＝180°，故②错；
A→B B→C ③由 · ＝0 知 B＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由 a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
(2)因为平面向量|a|＝2，|b|＝6 且 a·b＝－4，
1 所以|a||b|cos 〈a，b〉＝－4，得 cos 〈a，b〉＝－3.
所以 a 在 b 上投影的数量为|a|cos
2 〈a，b〉＝－3，b 在 a 上投影的数量为|b|cos
〈a，b〉＝－2.]
关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项 1向量 a 在 b 所在直线上的投影是一个向量，向量 a 在 b 所在直线上的投影的数量是一个实数. 2向量 a 在向量 b 上的投影的数量是|a|cos 〈a，b〉，向量 b 在向量 a 上的投影的数量是|b|cos〈a，b〉，二者不能混为一谈.
8.1.1 向量数量积的概念
学习目标
核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量 1.通过物理学中力对物体做功引出向量
积的含义及其物理意义．(难点)
的数量积概念，培养学生数学抽象的素
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关
养．
系．(重点)
2.利用向量的投影领会向量的数量积的
3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数几何意义，提高学生几何直观的数学素
A→B B→C (2)在△ABC 中，因为 AB＝4，BC＝2， · ＝－4，
A→B B→C
A→B B→C
所以| || |cos 〈，〉＝－4，
1
得 4×2cos(π－B)＝－4，所以 cos B＝2，得 B＝60°.
如图，延长 BC 到 D，使 CD＝BC，则△ABD 为等边三角形，所以
B→C C→A
若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a·c＝－b·c，所以
|a·c|＝|b·c|，故②正确；
a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；
对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；
(3)两个非零向量 a，b 的数量积 a·b，等于 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
π
1.已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为 3 ，则 a 在 b 方向上的投影为( )
33
32
1
3
A． 2 B． 2 C．2 D．2
π3
D [向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3×cos 3 ＝2.故选 D．]
量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点) 养.
1.两个向量的夹角
O→A
O→B
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的
∠AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． π
(2)当〈a，b〉＝ 2 时，称向量 a 与向量 b 垂直，记作 a⊥b.
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
(2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6 且 a·b＝－4，则 a 在 b 上投影的数量为
________，b 在 a 上投影的数量为________．
[思路探究](1)向量 b 在 a 方向上的投影的数量为|b|cos 〈a，b〉，再求向量的夹角．
当 a 与 b 的夹角为 0°时，也有 a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上
可知①②⑥正确．]
平面向量数量积的几何意义
【例 3】(1)(2019·永州高一检测)已知向量 b 的模为 1，且 b 在 a 方向上的投影的数
3 量为 2 ，则 a 与 b 的夹角为( )
1.对正投影的三点诠释
(1)a·b 等于|a|与 b 在 a 方向上的正投影的乘积，也等于|b|与 a 在 b 方向上的正投