11-12下高数1期中考试试卷答案

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高等数学下11-12期中试题

4、曲面 x x y xyz 9 在点 (1,2,3) 处的切平面方程为 9x 4y 2z 23
法线方程为 x 1 y 2 z 3
9
4
2
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5 、曲面 x 2 y 2 z 2 1 的名称是旋转单叶双曲面，它是由 yoz 平面上的曲线 44
y 2 z 2 1 绕 z 轴旋转而产生的。 4
6、已知 et2 , e t2 是微分方程 x 1 x 4t 2 x 0 的两个线性无关特解，则此方程的通 t
解为: x C1et2 C2et2 其中 C1 , C2 为任意常数。
得分
评卷人
三. 解答下列各题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，总计 48 分）
1、已知点 A(3,1,6) 及点 B(1,5,2) ，试在 yoz 面上求点 P ，使 AP BP ，且
4、设 f (x, y) x2 ( y2 1) tan
x y
，求
f x (x,1) 。
解
(x x)2 x 2
f
x
( x,1)
lim
x0
x
2x
（10 分）
或 f x (x,1) 2x ( y 2 1) tan
x y
x
( x,1)
2x
或 f (x,1) x 2 , f x(x,1) 2x
原方程变为
D(D 1) y Dy 9 y 0 即 D2 y 9y 0
(2 分)
即d2y 9y 0 dt 2
(1)
( 5 分)
这是常系数线性方程,其特征方程为: r 2 9 0 所以, r 3,3
所以方程(1)的通解为: y C1e3t C2e3t , 将 t ln x 代入,得欧拉方程的通解为:

高一下学期数学期中考试卷含答案

高一下学期数学期中考试卷含答案第一部分：选择题（每题2分，共40分）1.已知正整数$a$和$b$满足$a+b=15$，则$a$和$b$的乘积最大为多少？A. 56B. 64C. 72D. 81答案：C2.已知线段AB的长为12，点C是线段AB的中点，点D在线段BC上，且满足BD=DC，则AD的长为多少？A. 4B. 6C. 8D. 12答案：C...（省略部分题目）...第二部分：填空题（每题3分，共30分）1. 若$x=3$，则$2x-1=$ ____答案：52. 若$a:b=2:3$，$b:c=5:4$，则$a:b:c$的比值为 ____ 答案：20:30:12...（省略部分题目）...第三部分：解答题（共30分）1. 求解方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - 5y = -9 \\\end{cases}$$解：将第一个方程乘以2，得到 $4x + 6y = 14$。

将第二个方程乘以5，得到 $20x - 25y = -45$。

将以上两个方程相加，消去$x$得到 $31y = -31$，解得 $y = -1$。

将$y$的值代入第一个方程，得到 $2x + 3(-1) = 7$，解得 $x = 5$。

所以，方程组的解是 $x = 5$，$y = -1$。

2. 计算 $1+2+3+\ldots+100$。

解：这是一个等差数列求和的问题，采用高斯求和法。

首项$a_1=1$，公差$d=1$，末项$a_{100}=100$。

和 $S = \frac{n(a_1 + a_{100})}{2} = \frac{100(1+100)}{2} = 5050$。

所以，$1+2+3+\ldots+100=5050$。

...（省略其他解答题）...以上是高一下学期数学期中考试卷的部分内容，请参考。

精品解析：高一下学期期中考试数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期高一年级数学学科期中考试试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. cos 20°cos 10sin 20sin10°°°-=（）A. sin 10°B. cos 10°C.12【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用直接求解即可.【详解】cos 20°cos 10sin 20sin10°°°-=()cos 2010cos30+==o o o 故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.2. 已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r ，若l 为实数，()b ac l +^r r r，则l 的值为（）A. 311-B. 113-C.12D.35【答案】A 【解析】【详解】因为(1,2)b a l l l +=+r r，()3,4c =r 且()b ac l +^r r r ，所以()0b a c l +×=r r r ，即3(1)80l l ++=，所以311l =-.故选：A ．考点：1、向量的加法乘法运算；2、向量垂直的性质．3. 命题p ：“向量a r 与向量b r 的夹角q 为锐角”是命题q ：“0a b ×>r r”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题首先可根据“向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角”证得“0a b ×>r r ”得出命题p 是命题q 的充分条件，然后通过“0a b ×>r r ”不能证得“向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角”得出命题p 不是命题q 的必要条件，即可得出结果.【详解】当向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角时，因为夹角q 为锐角，所以cos 0q >，cosθ0a b a b ×=××>r r r r，故命题p 是命题q 的充分条件，若0a b ×>r r，则cosθ0a b ××>r r ，090q £<o ，故命题p 不是命题q 的必要条件，综上所述，命题p 是命题q 的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题若p 则q ，如果p 可以证得q ，则p 是q 的充分条件，若果q 可以证得p ，则p 是q 的必要条件，考查推理能力，是简单题.4. 下列四个命题中正确的是（）① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①②③④【答案】B 【解析】【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交②正确 ③正确因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.故选B.【点睛】本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题．.5. 已知正四棱锥的底面边长为2( )A.43B.23C. 【答案】D 【解析】【分析】求出正四棱锥的高后可求其体积.【详解】正四棱锥底面的对角线的长度为故正四棱锥的高为h ==，所以体积为143´=故选D .【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA. 3144AB AC -uuuv uuu v B.1344AB AC -uuuv uuu v C. 3144+AB AC uuuv uuu v D. 1344+AB AC uuuv uuu v 【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+uuu v uuu v uuu v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+uuu v uuu v uuu v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+uuu v uuu v uuu v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v 1113124444BA BA AC BA AC uuuv uuu v uuu v uuu v uuu v =++=+，所以3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 若3cos 22sin()4pa a =-，(,)2pa p Î则sin 2a 的值为( )A.B. C. 79-D.79【答案】C 【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助解公式将3cos 22sin()4pa a =-化简为223(cos sin )sin )a a a a --，再约分后平方，可得结果【详解】解：因3cos 22sin()4pa a =-，所以3cos 22(sin cos cos sin )sin )44p pa a a a a =-=-，223(cos sin )sin )a a a a --，3(cos sin )(cos sin )sin )a a a a a a +--，因为(,)2pa p Î，所以cos sin 0a a -¹，所以3(cos sin )a a +所以cos sin a a +=，两边平方得，212cos sin 9a a +=为所以7sin 29a =-，故选：C【点睛】此题考查正余弦的二倍角公式，辅助角公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.8. 函数()f x =cos()x w j +的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A. 13(,),44k k k Z p p -+Î B. 13(2,2),44k k k Z p p -+ÎC. 13(,),44k k k Z-+Î D. 13(2,244k k k Z-+Î【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42pw j p w j ==，解得=w p ，=4p j ，所以()cos(4f x x p p =+，令22,4k x k k Z pp p p p <+<+Î，解得124k -＜x ＜324k +，k Z Î，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z Î，故选D.考点：三角函数图像与性质二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的的3分，有选错的得0分）9. 已知复数()13(z i i +-﹦其中i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A. 5z ﹦B. 12z i =+C. 复数z 的虚部为2-D. 234z i--﹦【答案】ABCD 【解析】【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后逐个判断.【详解】由()13z i i +-﹦得，3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-5z \﹦， 12z i =+；复数z 的虚部为2-；2234z i=--﹦(1-2i )故选：ABCD【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模、共轭复数的运算.10. 设m 、n 是两条不同的直线，a 、b 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若//m a ，//m b ，则//a b B. 若//a b ，m a Ì，则//m b C. 若//a b ，//m n ，//m a ，则b n//D. 若//m a ，m b Ì，n a b =I ，则//m n 【答案】BD 【解析】【分析】假设直线m 与平面a 、b 的交线平行，结合线面平行的判定定理可判断A 选项的正误；利用面面平行的性质可判断B 选项的正误；直接判断n 与b 的位置关系可判断C 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，假设l a b =I ，m a Ë，m b Ë，//m l ，则//m a ，//m b ，但a 、b 不平行，A 选项错误；对于B 选项，若//a b ，m a Ì，由面面平行的性质可知//m b ，B 选项正确；对于C 选项，若//a b ，//m n ，//m a ，则n b Ì或b n//，C 选项错误；对于D 选项，若//m a ，m b Ì，n a b =I ，由线面平行的性质可知//m n ，D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查线面关系有关命题正误判断，考查推理能力，属于中等题.11.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若b =3c =，3A C p +=，则下列结论正的确的是（）A. cos C =B. sin B =C. 3a = D. ABC S =V 【答案】AD 【解析】【分析】根据正弦定理得到cos C =，sin sin 2B C ==，根据余弦定理得到1a =，ABC S =V 案.【详解】3A C p +=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即32sin cos C C C =´，sin 0C ¹，故cos C =，sin C =，sin sin 22sin cos B C C C ===2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C p==，故2B p=，不满足，故1a =.11sin 122ABC S ab C ==´´=△.故选：AD .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.将函数()22cos 16f x x p p æö=+-ç÷èø的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移()0j j >个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则j 的值可以为（）A.116B.76C.56D.23【答案】AC 【解析】【分析】本题首先可以将()22cos 16f x x p p æö=+-ç÷èø转化为()cos 23f x x p p æö=+ç÷èø，然后通过图象变换得出函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø，最后通过函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø是奇函数即可得出结果.【详解】()22cos 1cos 263f x x x p p p p æöæö=+-=+ç÷ç÷èøèø，所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数()os 3c g x x p p æö=+ç÷èø，再把所得函数的图象向右平移()0j j >个单位长度，得到函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø，因为函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø是奇函数，所以()03cos 0h p jp æö=-+=ç÷èø，即()23k k Z p pjp p -+=+Î，解得16k j =--，故j 的值可以为116、56，故选：AC.【点睛】本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数cos 2y x =的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数cos y x =，再向右平移j 个单位长度得到函数()cos y x j =-，考查推理能力与计算能力，是中档题.三、填空题（本大题共4小题，，每小题5分，共20.0分）13. 若复数21a ii+-为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值为________【答案】12【解析】【分析】将复数化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出a 的值即可．【详解】()()()()212212111122a i i a i a a i i i i Q+++-+==+--+是纯虚数，2102a \-=且2102a +¹，解得12a =.故答案为：12.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．14. 函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________.【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f （x ）＝2cos x +sinx =x sin x）=sin （x +θ），其中tan θ＝2，【点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B w j =++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +£求最值．15. 已知1tan 45p æöa -=ç÷èø，则tan 2a =______．【答案】125-【解析】【分析】本题首先可根据1tan 45p æöa -=ç÷èø得出3tan 2a =，然后通过22tan tan 21tan a a a =-即可得出结果.【详解】因为1tan 45p æöa -=ç÷èø，所以tan tantan 114tan 41tan 51tan tan 4pa p a a p a a --æö-===ç÷+èø+，解得3tan 2a =，则222tan 312tan 21tan 5312aa a===--æö-ç÷èø，故答案为：125-.【点睛】本题考查两角差的正切公式以及二倍角公式的使用，考查的公式为()tan tan tan 1tan tan a b a b a b--=+、22tan tan 21tan a a a=-，考查计算能力，是简单题.16. 在四面体ABCD中，AB CD ==BC DA ==，CA BD ==，则此四面体ABCD 外接球的表面积是__.【答案】14p【解析】【分析】根据对棱长相等可将四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，根据对棱长可求外接球的直径，故可得外接球的表面积.【详解】将该几何体补成如图所示的长方体：设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则22222210513a b a c b c ì+=ï+=íï+=î，所以22214a b c ++=，所以长方体的外接球（即四面体ABCD，其表面积为14p .【点睛】几何体外接球问题，应该先考虑如何确定球的球心，再把球的半径放置在可解的平面图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把几何体补成规则的几何体，通过规则几何体的外接球来考虑要求解的外接球的半径.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 已知单位向量a r ，b r 满足()()2323a b a b -×+=r r r r .（1）求a b ×rr ；（2）求2a b -r r 的值.的【答案】（1）12-；（2.【解析】【分析】（1）利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出；（2）利用数量积运算性质,即可求得答案.【详解】（1）由条件2242633a a b a b b +×-×-=r r r r r r ，即4433a b -×-=rr ，12a b \×=-r r （2）222124441472a b a a b b æö-=-×+=+-´-=ç÷èør r r r r r ，\2a b -=r r 【点睛】本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18. 如图所示，在四棱锥-C ABED 中，四边形ABED 是正方形，点,G F 分别是线段,EC BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC（2）H 是线段BC 的中点，证明：平面//GFH 平面ACD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】()1证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F 故//GF AC ，GF ËQ 面ABC ，AC Ì面ABC ，//GF \面ABC ；()2由点,G H 分别为,CE CB 中点可得：////GH EB AD ，GH ËQ 面ACD ，AD Ì面ACD ，//GH \面ACD ，由()1可知，//GF 面ACD ，且GH GF G Ç=，故平面//GFH 平面ACD ．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.19. 已知函数()22sin cos 3f x x x x p æö=--ç÷èø．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求当,44x p p éùÎ-êúëû时，()f x 值域．【答案】（1）p ；（2）1,12éù-êúëû.【解析】【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域．【详解】(1())22sin cos 3f x x x x p æö=--ç÷èø1cos 22sin 22x x x ö=-÷÷ø12sin 2sin 223x x x p æö=+=+ç÷èø， 22T p p \==，()f x \的最小正周期为p ；(2),44x p p éùÎ-êúëûQ ，52,366x p p p éù\+Î-êúëû，1sin 2123x p æö\-£+£ç÷èø，()f x \的值域是1,12éù-êúëû．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.20.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD P ，BC CD ^，2CD AB ==，45ADC Ð=°，梯形绕着直线AB 旋转一周.（1）求所形成的封闭几何体的表面积；的（2）求所形成的封闭几何体的体积.【答案】(1) (15p + (2) 【解析】【分析】(1)梯形绕着直线AB 旋转一周后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，其表面积++S =圆柱侧面积圆锥侧面积圆柱底面积，计算即可(2)几何体的体积可以看做圆柱的体积减去一个圆锥的体积.【详解】依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由2CD AB ==，45ADC Ð=°可知BC AD ===圆柱底面积（1）其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积22p =´+(12315p p p =++=+.（2）其体积V=圆柱体积-圆锥体积2213p p =´´´==.【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积，体积，属于中档题.21. △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=4p 1+【解析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sin B =，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4p³2ac ﹣2ac ，整理得：ac £，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为1122=（2）=+1．22. 在平面四边形ABCD 中，已知//AD BC ，CBD BDC a Ð=Ð=，ACD b Ð=.（1）若30a =o ，75b =o 5+=，求,AC CD 的长；（2）若90a b +>o ，求证：AB AD <.【答案】（1）AC =CD =；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得出45ACB Ð=o ，ADC 60Ð=o ，再利用正弦定理求得AC =，结合已知条件，即可求出,AC CD 的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出ACB ACD Ð<Ð，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.【详解】（1）由已知得30CBD BDC Ð=Ð=o ，75ACD Ð=o ，所以45ACB Ð=o .因为AD BC ∥，所以30ADB CBD Ð=Ð=o ，45DAC BCA Ð=Ð=o .所以ADC 60Ð=o .在ACD D 中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=ÐÐ，所以sin 60sin 45AC CD =o o ，所以AC =.5=，所以AC =CD =.（2）在ACB D 中，由余弦定理得AB =.在ACD D 中，由余弦定理得AD =因为90a b +>o ，1802ACB a b Ð=--o ，所以()()180218020ACB ACD a b b a b Ð-Ð=---=-+<o o ，即ACB ACD Ð<Ð.又0180ACB <Ð<o o ，0180ACD <Ð<o o ，所以cos cos ACB ACD Ð>Ð，所以AB AD <.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.。

高等数学统考卷11-12届附答案

高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。

（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。

（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。

（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

（）5. 偏导数连续必可微。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。

2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。

3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。

4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。

5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。

2. 解释复合函数求导法则。

3. 举例说明什么是隐函数。

山东省济钢高中1112年下学期高一期中考试数学试题(附答案)

山东省济钢高中11-12年下学期高一期中考试数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1.已知数列的一个通项公式为113(1)2n n n n a +-+=-，则5a = （）A ．12B ．12-C ．932D ．932-2. 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）A ．AB > B ．A B <C ．A B ≥D ．A 、B 的大小关系不能确定3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S = （）A ．2B ．73C ．83D ．34. 若数列{}n a 的通项公式为(1)2110n nn n a -⋅=，则{}n a（）A ．为递增数列B ．为递减数列C ．从某项后为递减数列D ．从某项后为递增数列5. 已知0,0x y >>，且131x y+=，则2x y +的最小值为（）A．7+B．C．7+D ．146. 在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7. 已知{}n a 为等差数列且5678678()()0a a a a a a a +++++<，则（）A ．67||||a a >B ．67||||a a <C ．67||||a a =D ．60a =8. 若,,a b c R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的为（）A ．44()()a c b c +>+B ．22ac bc >C ．lg ||lg ||b c a c +<+D ．1133()()a c b c +>+9. 已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为11a b 、，且*11115,,.a b a b N +=∈设*()n n b c a n N =∈，则数列{}n c 的前10项和等于（）A ．55B ．70C ．85D ．10010. 已知ABC ∆内接于单位圆，且ABC ∆面积为S ，则长为sin ,sin ,sin A B C 的三条线段（）A ．不能构成三角形B ．能构成一个三角形，其面积为2SC ．能构成一个三角形，其面积大于 2SD ．能构成一个三角形，其面积小于 2S二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分，各题答案必须填写在答题卷相应位置上，只填结果，不要过程） 11．等比数列{}n a 中，391,82a a ==，则567a a a ⋅⋅的值为． 12．在ABC ∆中，005,105,15a B C ===，则此三角形的最大边的长为． 13．已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -是首项为1，公比为的等比数列，则5a = ．14．已知[1,2],[2,4]a b a b -∈+∈，则42a b -取值范围是．15．{}n a 为等差数列，若120112012201120120,0,0a a a a a >+><，则使前n 项0n S >的最大自然数n 是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1120n n n n a a a a --+-= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21nn a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知A B C 、、成等差数列，a b c 、、成等比数列.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =，求2a c +的值.18.（本小题满分12分）某化工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示）.如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。

高一数学下学期期中考试及参考答案

高一下学期期中考试高一数学考生注意：本卷共三道大题，满分100分，考试时间120分钟。

一.选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin 240的值是( )A. 21-B. 21C. 23-D. 23 2.下列函数中，最小正周期为2π的是( ) A.4sin y x = B.sin cos y x x = C.tan 2xy = D.cos 4y x = 3.半径为10cm ，弧长为20cm 的扇形的圆心角为( )A.︒2B.2弧度C.π2弧度D.10弧度 4.已知在平行四边形ABCD 中，若AC a =，BD b =，则AB =( )A.1()2a b →→-B.1()2b a →→-C. 12a b →→+D.1()2a b →→+5.已知向量=(3, 2),=(x, 4)，若与共线,则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-D.386.若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为( )A.cos 4ππ（，sin ）4 B.2222（，-C.22（--）D.( 1, 1)或(-1,-1) 7.函数)sin(ϕω+=x A y ，（πϕω<>,0）在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为( ) A.)322sin(2π+=x y B.)32sin(2π+=x yC.)32sin(2π-=x y D.)32sin(2π-=x y8.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，由此定义了正弦（sin α）、余弦（cos α）、正切（tan α），其实还有另外三个三角函数，分别是：余切（cot xyα=）、正割（1sec x α=）、余割（1csc y α=）. 则下列关系式错误的是( )A.cos cot sin ααα=B.1sec cos αα=C.1csc sin αα= D.22cot csc 1αα-=二.填空题：本大题共7个小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析(共三套)

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A 版第二册：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。

A 、4-B 、512- C 、1-D 、12．下列说法中错误的是( )。

A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 1353．在下列命题中，正确命题的个数为( )。

①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ；③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；⑤R z ∈的一个充要条件是z z =；⑥1||=z 的充要条件是z z 1=。

A 、1B 、2C 、3D 、4 4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。

A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直5．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。

浙江高一下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则虚部为（） 12z i =-i z A ． B ．C ．D ．12i -22-【答案】D【解析】利用复数虚部的定义即可得出答案．【详解】是虚数单位），的虚部是． 12z i =-∴z 2-故选：D ．【点睛】本题考查复数的虚部的定义，属于基础题.2．已知，，，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（） ()1,1a = ()2,0b = ()2,4c =rA ．，B ．，C ．，D ．，a b c -a b c + a 2b c -a 2bc +【答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合基底向量的定义逐项分析判断.【详解】对于A ：，则， ()0,4b c -=-r r()141040⨯--⨯=-≠可得，不共线，则，可以作为一组基底，故A 正确；a b c - a b c -对于B ：，则，()4,4b c +=r r14140⨯-⨯=可得，共线，则，不可以作为一组基底，故B 错误；a b c + a b c +对于C ：，则，()22,4b c -=-r r ()141260⨯--⨯=-≠可得，不共线，则，可以作为一组基底，故C 正确；a 2bc - a2b c - 对于D ：，则，()26,4b c +=r r141620⨯-⨯=-≠可得，不共线，则，可以作为一组基底，故D 正确； a 2b c + a2b c + 故选：B.3．在中，若，则角C 等于（） ABC A 222a b c +=A ． B ． C ． D ．30︒60︒150︒120︒【答案】A【分析】根据余弦定理可得的值，即得答案．cos C【详解】在中，，可得 ABC A 222a b c +=222cos 2a b c C ab +-===由于，故， 0180C ︒<<︒30C =︒故选：A ．4．已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面，，下列命题正确的是（） αβA ．若，，则 B ．若，，则l α∥//l β//αβl α⊥l m ⊥//m αC ．若，，则 D ．若，，，，则l α⊥l β⊥//αβl ⊂αm α⊂//l β//m β//αβ【答案】C【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.【详解】对于A ：若，，则平面，的位置关系有：平行、相交，故A 错误； //l α//l βαβ对于B ：若，，则的位置关系有：或，故B 错误； l α⊥l m ⊥,m α//m αm α⊂对于C ：若，，根据线面垂直的性质可知：，故C 正确；l α⊥l β⊥//αβ对于D ：根据面面平行的判定定理可得：若相交，则，否则不成立，故D 错误. ,l m //αβ故选：C.5．设向量与的夹角为，定义.已知向量a b θsin cos a b a b θθ⊕=+ a，则（）1a b -=r r a b ⊕=A BC D ．【答案】C【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量与的夹角，代入新定义求解即可.a b【详解】由题意得，1a b -===解得 cos θ=又，所以 []0,πθ∈sin θ=所以a b ⊕+==故选：C6．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中，则在图1中（） 23DH DA =EF EG=A ．B ．C ．D ．49481427827【答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥为正三棱锥，设正方D HJK -体的棱长为3，则，2DH DK DJ ===所以，则题图1中，11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△2433V EF =⋅=则，所以. 427EF =481EF EG =故选：B7．已知中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 下列选项中正确的是（） ABC A A ．若，则是锐角三角形 222a b c +>ABC A B ．若，则是直角三角形 sin cos A B =ABC A C ．若，则是等腰三角形22tan tan a B b A =ABC A D ．若，则是等边三角形 ()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=ABC A 【答案】D【分析】根据正、余弦定理结合三角函数、三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于A ：若，则，222a b c +>222cos 02a b c C ab+-=>因为，可得为锐角，()0,πC ∈C 但不确定是否为锐角，所以不能确定的形状，给A 错误； ,A B ABC A 对于B ：因为，则，()0,πA ∈sin cos 0A B =>可得，且或，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭可得或，故B 错误；π2A B =-π2A B =+对于C ：若，由正弦定理可得：， 22tan tan a B b A =22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⨯=⨯因为，则，(),0,πA B ∈sin 0,sin 0A B ≠≠可得，整理得， sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =所以或，即或， 22A B =22πA B +=A B =π2A B +=可知是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；ABC A 对D ：因为，则， (),,0,πA B C ∈()()()π,π,π,π,π,πA B B C C A -∈--∈--∈-可得，()(]()(]()(]cos 1,1,cos 1,1,cos 1,1A B B C C A -∈--∈--∈-若，则， ()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=()()()cos 1,cos 1,cos 1A B B C C A -=-=-=可得，即， 0,0,0A B B C C A -=-=-=A B C ==则是等边三角形，故D 正确； ABC A 故选：D.8．如图，平面平面，，且为正三角形，点D 是平面内的动点，ABCD 是PAB ⊥αAB α⊂PAB A α菱形，点O 为AB 中点，AC 与OD 交于点Q ，，且，则PQ 与l 所成角的正切值的最l ⊂αl AB ⊥小值为（）A ．B ．CD 33+【答案】D【分析】根据题意分析可得PQ 与l 所成角即为，设，分析可得PQN ∠ABC θ∠=，换元结合基本不等式运算求解.tan PQN ∠=【详解】分别过作的垂线，垂足为，连接， ,D Q AB ,M N PN 由题意可得：PQ 与l 所成角即为，PQN ∠因为，平面平面，平面平面，平面， QN AB ⊥PAB ⊥αPAB ⋂AB α=QN ⊂α所以平面，QN ⊥PAB 平面，则，PN ⊂PAB QN PN ⊥设，3,AB ABC θ=∠=在Rt 中，可得， ADM △3sin ,3cos DM AM θθ==且，111sin ,cos 332QN DM ON OM θθ====+又因为为正三角形，点O 为AB 中点，则PAB A ,PO AB PO⊥=可得PN ===则 tan PN PQN QN ∠====令，则，()8cos 7,9t θ=+∈cos 8t θ=-可得tan PQN ∠==因为，即时，等号成立，63t t +≥=63t t=t =所以， tanPQN ∠≥=即PQ 与l 故选：D.【点睛】关键点睛：寻找合适变量表示相关长度，本题选择，进而可结合基本不等式运ABC θ∠=算求解.二、多选题9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（） A ． 234i i i i 0+++=B ．2i 1i +>+C ．若，则z 在复平面内对应的点位于第四象限()212i z =-D ．已知复数z 满足，则复数z 对应点的集合是以O 为圆心，以2为半径的圆 2z =【答案】AD【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项. 【详解】A. ，故A 正确； 234i i i i i 1i 10+++=--+=B.虚数不能比较大小，故B 错误；C. ，则z 在复平面内对应的点为，在第三象限，故C 错误；()212i 34i z =-=--()3,4--D.根据复数模的几何意义，可知D 正确. 故选：AD10．关于平面向量，下列说法正确的是（）A ．若，，则a b ∥b c ∥a c ∥B ．若，，则在方向上的投影向量是()1,2a =r ()4,3b = a b 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．若，，且与的夹角为钝角，则 (),2a λ= ()1,1b λ=+- a b()2,1λ∈-D ．若且，则四边形ABCD 为菱形 OA OC OB OD +=+AB AD AC AB AD AC+= 【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ；根据投影向量的概念判断B ；根据向量夹角的概念判断C ；由向量的线性运算得，可得是平行四边形，则，由条件结合平面向AB DC =ABCD AB AD AC += 量基本定理可判断D ．【详解】若，虽然有，，但不一定有，A 错；0b = a b ∥b c ∥a c∥，，则在方向上的投影向量是，B 正确；()1,2a =r ()4,3b = a b24686(,5,55(43)a b b b b⋅+==当时，，两向量方向相反，夹角为不是钝角，C 错；2(2,1)3λ=-∈-2a b =- π若，即，则，OA OC OB OD +=+ OB OA OC OD -=- AB DC = 所以是平行四边形，则，ABCD AB AD AC +=又，即，则， ||||||AB AD ACAB AD AC +=||||||||AC AC AB AD AC AB AD += ||||1||||AC AC AB AD == 所以，所以是菱形，D 正确． AB AD AC == ABCD故选：BD ．11．在棱长为1的正方体中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（） 1111ABCD A B C D -A ．过点，E ，F 的平面截正方体所得的截面周长为1D 1111ABCD ABCD -B ．异面直线与 1DD 1B FC ．点P 为正方形内一点，当//平面时，DP 1111D C B A DP 1B EF D ．当三棱锥的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为1B BEF -3π2【答案】BCD【分析】对于A ：根据平行关系求截面，进而可得周长；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：转化为长方体的外接球分析运算. 【详解】对于A ：连接， 11,AC A C 因为为的中点，则//，,E F ,AB BC EF AC 又因为//，，则为平行四边形，可得//， 1AA 1CC 1AA =1CC 11AAC C AC 11A C 则//，EF 11A C 过作//，设，则//， 1D KL 11A C 1111,KL A B K KL B C L ==I I KL EF 可得，111111,KA A B LC B C ==连接，设，连接，,KE LF 11,KE AA G LF CC H ==I I 11,D G D H 可得过点，E ，F 的平面截正方体所得的截面为五边形，1D 1111ABCD A B C D -1EFHD G 因为，则，112,2KA AE LC CF ==11222,233GA AG HC CH ====可得 11D G D H GE HF EF ====所以截面周长为A 错误； 22=对于B ：因为//，则异面直线与所成角为，1DD 1BB 1DD 1B F 1∠BB F 可得，所以B 正确； 111B F BB ==111cos BB BB F B F ∠==对于C ：取的中点，连接，111111,,A B A D C D ,,M Q N ,,,,AM MN QN DN NQ 由题意可得：//，，则为平行四边形，所以//， AE 1B M 1AE B M =1AEB M 1B E AM 又因为//，，且//，，MN 11A D 11MN A D =AD 11A D 11AD A D =可得//，，则为平行四边形，所以//， MN AD MN AD =AMND AM DN 可得//，1B E DN 平面，平面，则//平面， 1B E ⊂1B EF DN ⊄1B EF DN 1B EF 又因为//，且//，可得//， QN 11A C EF 11A C QN EF 平面，平面，则//平面，EF ⊂1B EF QN ⊄1B EF QN 1B EF ，平面，所以平面//平面，DN QN N =I,DN QN ⊂DNQ DNQ 1B EF 则点P 在线段上，可得QNQN DQ QN ===所以当点P 为线段的中点时，，QNDP =故C 正确；对于D ：三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，1B BEF -1,,B B BE BF因为，可得外接球的半径， 111,2B B BE BF ===R ==所以外接球的表面积，故D 正确；23π4π2S R ==故选：BCD.12．如图，在中，，，点D 与点B 分别在直线AC 两侧，且ABC A BC =60BAC ∠=︒2AD =，BD 长度为何值时，恰有一解（）DC =ACD AA ．6B ．C ．D ．215【答案】ABD【分析】在中，利用余弦定理可得，进而可得，在中，利用正、余ABC A 2AB m =AC BC ⊥ACD A弦定理可得，，在中，利用余弦定理分析运算即可. 216cos m θ=-2sin sin ACD mθ∠=BCD △【详解】在中，设，ABC A 0BC ==>由余弦定理可得：，2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠则，即， 2221322m AB m mAB =+-´2220AB mAB m --=解得或（舍去）， 2AB m =AB m =-则，可得. 222AC BC AB +=AC BC ⊥在中，设，ACD A ADC θ∠=由余弦定理可得：， 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠即， 24122216cos m θθ=+-⨯⨯=-由正弦定理可得，则， sin sin AD AC ACD ADC=∠∠sin 2sin sin AD ADC ACD AC m θ∠∠==在中，由余弦定理可得：，BCD △2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠则222π312cos 31212sin 2BD m ACD m m ACD ⎛⎫=+-⨯+∠=++⨯∠ ⎪⎝⎭，()π316cos 1224sin 48sin 603θθθ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭因为，则，()0,πθ∈ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭若恰有一解，则或，ACD A πππ,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ32θ-=可得或，(260BD ∈-+2108BD =，(((2263660,9660=∈-+=∈-+，((222144160,108525⎛⎫=∉--= ⎪⎝⎭故A 、B 、D 正确，C 错误. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：在处理解三角形的范围（或最值）问题时，常利用正、余弦定理进行边化角，再结合三角函数分析求解.三、填空题13．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且A B C '''A ABC A D ¢B C ''轴，轴，，，则的面积是________．A D y ''∥BC x ''∥2AD ''=2B C ''=ABC A【答案】4【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可. 【详解】由图象知：，，2BC B C ''==24''==AD A D ，为的中点，AD BC ⊥D BC 的面积.ABC A 142S BC AD =⨯⨯=故答案为：4.14．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为104π________．【答案】【分析】由圆台的体积求得圆台的高h ，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果. 【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的高为h ，则该圆台的体积为，则， 22152ππ(2626)104π33V h h =⨯++⨯⨯==6h =作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M ，下底面圆心为N ，MD ＝2，NC ＝6，过D 作DE ⊥NC ，则EC ＝6－2＝4，又DE ＝h ＝6，所以圆台的母线长为． DC ==故答案为：15．矩形ABCD 中，，，AD 的中点为M ，折叠矩形使得点A 落在边CD 上，则点4AB =3AD =M 到折痕的距离的取值范围是________．【答案】80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设折叠矩形使得A 落在边上，当在D 处时，此时折痕过M ，即点M 到折痕CD 1A 1A EF 的距离为0．当到C 处时，取得最大值，求出，即可求出答案. 1A ||MN ||MN 【详解】设折叠矩形使得A 落在边上，CD 1A 当在D 处时，此时折痕过M ，即点M 到折痕的距离为0． 1A EF 当从D 向C 运动的过程中（如图1），1A 中点为O ，则，过M 作于点N ， 1AA OM AD ⊥MN EF ⊥则，此时在增大，也增大， ||||sin MN OM MOF =∠OM sin MOF ∠故当到C 处时，取得最大值（如图2），1A ||MN 此时，所以，5||2,sin c 4os OM MOF BAC =∠=∠=8||5MN =故点M 到折痕的距离的取值范围是．80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：．80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．平面向量，且，则的取()20,1,2,3i a i == 1230a a a ++= 012013023a a a a a a a a a ++++++++ 值范围是________．【答案】⎡⎤⎣⎦【分析】由题意可得，，对应的点在半径为2的圆上，且是等边三角形，且1a 2a 3a,,A B C ABC A 所求表达式转化为，从而问题转化为圆上的点到点的距离之和，030201a a a a a a -+-+- E ,,A B C 即，再利用不等式的性质以及三角形的性质即可求解.EA EB EC ++【详解】因为向量满足，且，i a2(0,1,2,3)i a i == 310i i a ==∑ 所以，，对应的点在半径为2的圆上，且是等边三角形，1a 2a 3a,,A B C ABC A 且， 012013023030201a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=-+-+- 即圆上的点到点的距离之和，即， E ,,A B C EA EB EC ++若点不与重合，不妨设点在上， E ,,A B C E A AC 则，，EA EC AC +>EB AB >，EA EB EC AB AC ++>+故点在圆上运动时，， E EA EB EC AB AC ++≥+又因为为半径为2的圆的内接等边三角形，ABC A所以，4AC AB ===所以EA EB EC ++≥由余弦定理可得：且， 2222cos AC EA EC EA EC AEC =+-⋅∠2π3AEC ∠=即，所以， ()212EA EC EA EC =+-⋅()()221124EA EC EA EC EA EC ⋅=+-≤+可得，当且仅当即点与点（的中点）重合时，等号成立， 4EA EC +≤EA EC =E D A AC 又因为，所以当且仅当点是、、的中点时，等号成4EB BD ≤=8EA EB EC ++≤E A AC A AB A BC立，所以的取值范围为， 012013023a a a a a a a a a ++++++++⎡⎤⎣⎦故答案为：.⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是利用已知条件将，，对应的点在单位圆1a 2a 3a,,A B C 上，且是半径为2的圆的内接正三角形，将问题转化为圆上的点到三点的距离之和.ABC A ,,A B C四、解答题17．在复平面内，复数，对应的点分别为，，，且为纯虚数． 1z 2z ()1,3-(),1a a R ∈21z z (1)求a 的值；(2)若的共轭复数是关于x 的方程的一个根，求实数p ，q 的值． 1z 1z 20x px q ++=【答案】(1)3 (2)， 2p =-10q =【分析】（1）首先根据复数的几何意义表示，再表示，根据复数的特征，求参数的值； 12,z z 21z z a （2）首先将复数代入方程，根据实部和虚部为0，求实数的值. 1z ,p q 【详解】（1）由复数的几何意义可知，，， 113i z =-2i z a =+ ()()()()()()21i i 13i 13i 13i 13i a a z z +++==--+()()331i 10a a -++=为纯虚数，， 21z z30310a a -=⎧∴⎨+≠⎩3a ∴=（2），113i z =+由条件可知，，即()()213i 13i 0p q ++++=()()863i=0p q p -++++，解得：， 80630p q p -++=⎧⎨+=⎩2p =-10q =18．如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且P ABCD -ABCD ，棱的中点为.60,,BAD PD DC PB AC ∠=⊥⊥PD M(1)求证：平面；PD ⊥ABCD (2)若的面积是到平面的距离. PDB △PBCM 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用三棱锥的体积关系，求解点到平面的距离即可. P BCM 【详解】（1）因为为菱形，所以. ABCD AC BD ⊥又因为，平面 ,AC PB PB BD B ⊥⋂=,PB BD ⊂PBD 所以平面.AC ⊥PBD 因为平面，所以.PD ⊂PBD PD AC ⊥又由已知，平面 ,PD DC AC DC C ⊥⋂=,AC DC ⊂ABCD 所以平面. PD ⊥ABCD （2）因为为的中点，M PD 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. P MCB D MCB 由（1）知，平面，所以PD ⊥ABCD 1S 2PBD BD PD =⋅⋅=A又因为，所以，所以60BAD ∠= 2BD =PD =12MD PD ==设点到平面的距离为，所以. D BCM d M BCD D BCM V V --=因为，所以11sin 602222BCD S BC CD =⋅⋅︒=⨯⨯=A 13M BCD BCD V S MD -=⋅=A在中，MCB △MB ===MC =，2BC =所以，又，所以222101044cos 2205BMC M MB MC BC MB C +-+-===∠⋅()0,πBMC ∠∈，3sin 5BMC ∠==所以，所以113sin 3225MCB MB MC S B MC ⋅∠=⋅==△13D MCB MCB V S d -=⋅⋅=A所以.d 19．在①，②，③的面积为cos cos a B b A c b -=-tan tan tan tan 0A B C B C ++=ABC A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． ()1sin sin sin 2a b B c C a A +-在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______． ABC A (1)求角A ；(2)若，的面积． 8a =ABC AABC A 【答案】(1) π3A =(2)【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）若选①，由及正弦定理，得cos cos a B b A c b -=-，sin cos cos sin sin sin A B A B C B -=-即，()sin cos cos sin sin sin A B A B A B B -=+-即， sin cos cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B B -=+-所以， 2cos sin sin A B B =因为,所以， 0πB <<sin 0B ≠所以，又, 1cos 2A =0πA <<所以．π3A =若选②，由，得tan tan tan tan 0A B C B C ++=，()tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B +==-+=--⋅，tan tan B A B =⋅因为,所以，当时，不存在， 0πB <<tan 0B ≠π2B =tan B所以，又, tan A =0πA <<所以．π3A =若选③，因为的面积为，ABC A ()1sin sin sin 2a b B c C a A +-所以， ()11sin sin sin sin 22ABC S a b B c C a A bc A =+-=△即， 222b c a bc +-=所以，又, 2221cos 22b c a A bc +-==0πA <<所以．π3A =（2）由（1）知，， π3A =∵ ABC A∴，即 ()11sin 22a b c bc A ++=⋅()8b c ++=，182b c bc ++=①由余弦定理，得，即， 222π2cos 3a b c bc =+-2212642b c bc +-⋅=所以，()2364b c bc +-=②联立，得，解得，①②2183642bc bc ⎛⎫--= ⎪⎝⎭44bc =所以．1442ABC S =⨯=△20．在中，已知，，P 在线段BC 上，且，Q 是边AB （含端点）上ABC A 2AB =3AC =13BP BC =的动点；(1)若，O 是AP 中点，求证：C ，O ，Q 三点共线．25AQ AB =(2)若存在点Q 使得，求的取值范围及的最大值． AP CQ ⊥cos BAC ∠AQC S A 【答案】(1)证明见解析(2)31,46⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明；（2）根据向量垂直的可得，结合函数的单调性分析运算.()47cos 362BAC t ∠=---【详解】（1）因为，所以，即；13BP BC =1133AP AB AC AB -=- 1233AP AC AB =+ 又因为O 为线段AP 的中点，所以，111263AO AP AC AB ==+u u u r u u u r u u u r u u u r因为，所以， 25AQ AB = 25QC AB AC =-+ 又因为1536OC AC AO AB AC =-=-+所以，因此C ，O ，Q 三点共线.56OC QC =（2）可得，1233AP AC AB =+ 又因为，设， CQ AQ AC =-()01AQ t AB t ≤=≤ 则，CQ t AB AC =- 由可得，即， AP CQ ⊥ 0AP CQ ⋅= ()12033AC AB t AB AC ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭所以，即， 2212203333t AC AB AC t AB AC AB ⋅-+-⋅= 286cos 3033t BAC t -⨯∠-+=整理得，()()()()8873247333cos 2222362t t BAC t t t ----∠===-----因为，在上单调递增，[]0,1t ∈()47362y t =---[]0,1故； ()4731cos ,36246BAC t ⎡⎤∠=--∈--⎢⎥-⎣⎦又因为 1sin 332AQC ABCS tS tAB A C BAC ⨯==⨯==△△可知是关于t 的函数在上单调递增，所以当时，． ABC S A []0,11t =ABC S A 21．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，P ABCD -90ADC BCD ∠=∠=︒，，，平面平面ABCD ，点M 在线段PB 上，平面22AD BC ==3DC =PA PD =PAD ⊥PD //MAC ．(1)判断M 点在PB 的位置并说明理由； (2)记直线DM 与平面PAC 的交点为K ，求的值； DKKM(3)若异面直线CM 与PA ，求二面角的平面角的正切值． M CD A --【答案】(1)M 为PB 上靠近B 的三等分点，理由见解析 (2) 3DKKM=【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，由平面MAC ，根据线面平行的性质可得答案； PD //（2）连接OP ，则，由可求得结果；OP DM K ⋂=//PD OM （3）取AD 中点H ，过M 作，可知，取AB 靠近A 的三等分点N ，可知MG BH ⊥//MG PH ，所以或其补角就是异面直线CM 与AP 所成角，由条件证得平面ABCD ，//MN PA CMN ∠PH ⊥平面ABCD ，令，计算，，，，利用余弦定理，由MG ⊥PH t =MG MN CN CM，解得，过G 作交CD 于Q ，由平面MGQ 得cos CMN =∠42310t t -=t GQ CD ⊥CD ⊥，所以就是所求二面角的平面角，求解即可.CD MQ ⊥MQG ∠【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OM ，因为平面MAC ，平面PBD ，平面平面，则． PD //PD ⊂MAC ⋂PBD OM =//PD OM 因为，所以， 22//,A AD D BC BC ==12BO OD =则O 为BD 靠近B 的三等分点，所以M 为PB 上靠近B 的三等分点．（2）如图，连接OP ，则， OP DM K ⋂=因为，则． PD OM ∥3DK PD BDKM OM BO===（3）取AD 中点H ，连接PH ，HB ，过M 作，可知．MG BH ⊥//MG PH 取AB 靠近B 的三等分点N ，连接MN ，NC ，可知， //MN PA 所以或其补角就是异面直线CM 与AP 所成角，如图．CMN ∠因为平面平面ABCD ，平面平面ABCD ，，平面， PAD ⊥PAD ⋂AD =PH AD ⊥PH ⊂PAD 所以平面ABCD ，因此平面ABCD ．PH ⊥MG ⊥令，，计算得：，，PH t =0t >1133MG PH t ==13M PA N ==，53C N ==，1,1,GB BC GC ==∴= C M ==所以，，即，解得 222cos 2CM MN CN CM MN CMN +-==∠⋅42310t t -=t =过G 作交CD 于Q ，连接MQ ．GQ CD ⊥平面ABCD ，平面ABCD , ,MG ⊥ CD ⊂MG CD ∴⊥，平面MGQ ，平面MGQ ， GQ MG G = ,GQ MG ⊂CD \^平面MGQ ，，MG ⊂ CD MQ ∴⊥所以就是所求二面角的平面角， MQG ∠所以， tan 3MG MQG t GQ ==∠。

高数(下)11--12期中试卷解答

上海应用技术学院2011—2012学年第二学期《高等数学（工）2》期中试卷答案一．单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内，错选、多选或未选均无分．1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．B ； 5．D ． 6．A ． 7．D ； 8．B ．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分．9． 4； 10．224x y z +=； 11．11213x y z --==- 12．1yf f ''-； 13； 14．12．三．计算题（本大题共9小题，第20、21小题，每题5分，其余每题6分，共52分）．15．已知j i a +=，k j b +-=2，求以a 、b 为邻边的平行四边形的面积及a 边上的高h ．解： )2,1,1(120011--=-=⨯k j i b a …………………………………………………（2分） 6)2()1(1222=-+-+=四边形s ………………………………………………（4分）（2）3116=+==a s h 四边形…………………………………………………………（6分） 16．求过点)2,0,1(M 及直线111123x y z -++==--的平面方程．解：在直线L 上取点)1,1,1(--N ，)3,1,0(--=…………………………………（1分）直线L 的方向向量(1,2,3)L s =--………………………………………………………（2分）所求平面的法向量s n L ⨯= )1,3,3(310321-=----=k j i…………………………（4分）所求平面的方程：0)2()0(3)1(3=---+-z y x ，即133=-+z y x ………………（6分）17．设)ln(2y x x z +=，求)1,1(x z ∂∂，)1,1(2y x z∂∂∂．解：yx x y x x x z +++=∂∂2)ln(2……………………………………………………………（2分） )1,1(x z∂∂ 2ln 221+= …………………………………………………………………（3分） 222)(2y x xy x y x z ++=∂∂∂……………………………………………………………………… （5分） )1,1(2y x z∂∂∂43=……………………………………………………………………………（6分） 18．设(,,)z f x u v =，y u x =，x v y =，其中(,)f u v 具有连续的偏导，求 x z ∂∂和yz ∂∂．解：()()y x x u v z f f x f y x x x∂∂∂=++∂∂∂ 1ln y x x u v f y x f y y f -=+⋅⋅+⋅⋅……………………………………………………（3分） ()()y x u v z f x f y y y y ∂∂∂=+∂∂∂ 1ln y x u v x x f x y f -=⋅⋅+⋅⋅……………………………………………………………（6分）19．求曲面2arctany z x =在点(1,1,)2π处的切平面方程和法线方程．解：(1,1)222(1,1)1x y f x y =-=-+…………………………………………………………（1分）(1,1)222(1,1)1x xf x y ==+………………………………………………………………（2分）切平面方程：(1)(1)2z x y π-=--+-，即2x y z π-+=……………………………（4分）法线方程：112111z x y π---==--．………………………………………………………（6分） 20．已知级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和21n n s n =+，写出此级数，并求其和．解：12(1)n n n u s s n n -=-=+………………………………………………………………（2分）而1122u s ==，故所求级数为112(1)n n n u n n ∞∞===+∑∑………………………………………（3分） 12lim 2(1)n n n s n n ∞→∞===+∑……………………………………………………………………（5分） 21．判别级数21cos 34n n n n π∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑的收敛性．解：2cos 344n n n n n n n u v π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=≤=…………………………………………………………（2分）对于级数14n n n ∞=∑，11141lim lim 144n n n n n n v n v n ρ++→∞→∞+==⋅=<…………………………………（3分）由比值判别法得114nn n n n v ∞∞===∑∑收敛………………………………………………………（4分）由比较判别法知道211cos 34n n n n n n u π∞∞==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=∑∑收敛．……………………………………（5分）22．给定幂级数212n n x n ∞=∑，求（1）幂级数的和函数；（2）数项级数112n n n ∞=⋅∑的和．解：由22212()2lim lim ()(22)n n n n n nx u x n ρx u x n x ++→∞→∞==⋅=+当1x <时，级数收敛，当1x =时，112n n ∞=∑发散；故收敛域为(1,1)-．……………（2分）令21()2n n x s x n ∞==∑，(0)0s =，逐项求导：2121()1n n x s x x x ∞-='==-∑……………………（3分）所以22001()()(0)()ln(1)12xxx s x s x s s x dx dx x x '=-===---⎰⎰（11x -<<）…（4分）取(1,1)x =-，2111111ln 22222nn n n s n n ∞∞=====⋅∑∑ 11ln 22n n n ∞==⋅∑．……………………………………………………………………………（6分） 23．将函数2()ln(3)f x x x =-展开成1x -的幂级数．解 2()ln(3)ln ln(3)f x x x x x =-=+- ……………………………………………（1分）ln[1(1)]ln[2(1)]x x =+-+--(1)ln 2ln[1(1)]ln 12x x -⎡⎤=++-+-⎢⎥⎣⎦………………………………………（3分） 12111(1)(1)ln 2(1)(1)2n n n n n n n x x n n ∞∞--==--=+-⋅+-⋅⋅∑∑ 111(1)ln 2(1)2n n n n x n ∞-=-⎡⎤=+--⋅⎢⎥⎣⎦∑……………………………………………（5分）使上式成立的x 应满足111x -<-≤，且1112x --≤<，即02x <≤．……………（6分）四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．24．求二元函数22(,)(1)ln f x y x y y y =++的极值．解：(,)f x y 的定义域是{}(,),0D x y x y =-∞<<+∞>222(1)02ln 10f x y x f x y y y∂⎧=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=++=∂⎪⎩ ………………………………………………………………（2分） ⇒ (,)f x y 的唯一驻点1(0,)e -……………………………………………………………（3分） 2222(1)f y x ∂=+∂，24f xy x y ∂=∂∂，22212f x y y∂=+∂………………………………………（4分）在1(0,)e -点处，0A >，0B =，0C > ⇒ 20AC B -> ………………………（6分）故(,)f x y 在1(0,)e -取得极小值11(0,)f e e --=-．………………………………………（7分）25．设函数()u z ϕ=，(,)z z x y =是由方程20yz t x z e e dt +-=⎰所确定的二元函数，()z ϕ可微，试证明：220x y u u e x y-∂∂+⋅=∂∂．证明：()u z z x x ϕ∂∂'=∂∂，()u z z y yϕ∂∂'=∂∂……………………………………………………（2分） 2(,,)y z t xF x y z z e e dt =+-⎰ 2x x F e =，2y x F e =-，1z z F e =+………………………………………………………（4分） 21xx z z F z e x F e ∂=-=-∂+，21y y z z F z e yF e ∂=-=∂+………………………………………………（6分） 222222()()011x y x y x y u u u u e e e z e z x y e e ϕϕ--∂∂-''+⋅=+⋅⋅=∂∂++．……………………………（7分）。

高一下学期期中考试数学试卷含答案

（1）求函数 y f (x) 的表达式及最小正周期；
（ 2 ）若函数 f ( x )在 x x0 处取得最大值，若数列 { an } 满足 an nx 0(n N* ) ，求
f (a1 ) f (a2 ) f (a3) 的值 .
4
20. (本题满分 12 分)
解关于
的不等式
的不等式 B.
的解集为空集，则
C.
D.
二、填空题 : 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答卷相应的横线上．
13. 不等式
的解集是
．
14. 已知数列
是递增的等比数列，且
，
于
．
15. 如图，位于
处的信息中心获悉：在其正东方向相距
的
处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息
所以
，故
．
（ 2）由正弦定理可得于是，
…………………4 …分 ……………………分５
， …………分６
………………9…分
因为锐角
中，
，所以
，
， …………10 分
所以所以
，可得：周长的取值范围为：
， …………11分． …………21分
19. 解：（ 1）由题意得 f (x) (sin 2x) (cos 2x)
时，
，………… 分1
，解集为
； …………3 分
（Ⅱ）当
时，对应方程两根为
，由对应二次函数开口向下，
由的图象知，解集为
……………………5 分…
（Ⅲ）当
时，
①当
时，
，解集为
②当
时，
,解集为

下期中高一级数学试卷带答案

下期中高一级数学试卷带答案大家在学习数学的时候我们要知道自己是怎么样的一个成绩从哪里学习起来哦，今天小编就给大家分享一下高一数学吗，欢迎大家一起来收藏哦高一数学下期中试卷带答案一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)1.sin135°=.2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC= .3.直线y=2x+1的斜率为.4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为.5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3= .6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为.8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= .9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r= .10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n= .11.已知cos(α﹣)=﹣，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，则sin = .12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin(2B+ )= .13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b 是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是.14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为.15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则S12= .16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为.17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC 的长为.二、解答题18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;(2)已知tanα= ，求tan2α的值.19.在△ABC中，(1)已知 a=2bsinA，求B;(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.21.过点P(﹣3，﹣4)作直线l，当l的斜率为何值时(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?22.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)求数列{ }的前n项和Tn.23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 .(1)求的值;(2)若，求tanA及tanC的值.24.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC 平行，DF过点A，EF过点C;方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C.(1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;(2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.参考答案与试题解析一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)1.sin135°=.【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值.【解答】解：sin135°=sin=sin45 .故答案为： .2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC= 1 .【考点】正弦定理.【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出.【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，∴AC= .故选1.3.直线y=2x+1的斜率为 2 .【考点】直线的斜率.【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可.【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2.故答案为：2.4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为 3 .【考点】圆的标准方程.【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径.【解答】解：由圆(x﹣1)2+y2=9，得r2=9，∴r=3.即圆(x﹣1)2+y2=9的半径为3.故答案为：3.5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3= 3 .【考点】等差数列的通项公式.【分析】由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.即可得出.【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.∴2×2=1+a3，解得a3=3.故答案为：3.6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为π.【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f(x)=sin2x+sinxcosx+2化为：f(x)= sin(2x﹣ )+ ，利用周期公式即可求得其周期.【解答】解：∵f(x)=sin2x+sinxcosx= + sin2x= (sin2x﹣cos2x)+= sin(2x﹣ )+ ，∴其最小正周期T= =π.故答案为：π.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b= ，再由余弦定理求得cosA= 的值.【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b= .再由余弦定理可得 cosA= = =﹣，故答案为：﹣ .8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= ﹣10 .【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等;两直线垂直，斜率之积等于﹣1，分别求得m、n的值，可得m+n的值.【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为，直线l2的斜率为﹣2，且l1∥l2，∴ =﹣2，求得m=﹣8.由于直线l3的斜率为﹣，l2⊥l3，∴﹣2×(﹣)=﹣1，求得n=﹣2，∴m+n=﹣10，故答案为：﹣10.9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r= 2 .【考点】直线与圆相交的性质.【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x﹣4y+5=0的距离d= r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案.【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心(0，0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos = r，即 = r，解得r=2，故答案为：2.10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n= 3 .【考点】等比数列的前n项和.【分析】an=3× ，可得前n项之积Tn= ，对n分类讨论，底数与1比较大小关系即可得出.【解答】解：an=3× ，∴前n项之积Tn=3n× = = ，由于n≤3时，≥1;由于n≥4时， <1.∴n=3时，前n项之积最大，故答案为：3.11.已知cos(α﹣)=﹣，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，则sin = .【考点】三角函数的化简求值.【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin(α﹣ )和cos( ﹣β)的值，再利用两角差的正弦公式求得sin 的值.【解答】解：∵cos(α﹣ )=﹣，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，∴α﹣∈( ，π)，sin(α﹣ )= = ; ﹣β∈(0， )，cos( ﹣β)= = .则sin =sin[(α﹣ )﹣( ﹣β)]=sin(α﹣ )cos( ﹣β)﹣cos(α﹣ )sin( ﹣β)= • + • = .12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin(2B+ )= .【考点】三角函数的化简求值.【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值.【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣∈( ，π)，∴B∈(0， )，∴sinA= = ，则由正弦定理可得 = = ，∴sinB= ，cosB= = ，∴sin2B=2sinBcosB= ，∴cos2B=1﹣2sin2B= ，sin(2B+ )=sin2Bcos +cos2Bsin = • + • = ，故答案为： .13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b 是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是[ ， ] .【考点】两条平行直线间的距离.【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2= = = ，由0≤c≤ 和不等式的性质可得.【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，∴两平行线间的距离d= ，故d2= = = ，∵0≤c≤ ，∴0≤4c≤ ，∴﹣≤﹣4c≤0，∴ ≤1﹣4c≤1，∴ ≤ ≤ ，∴ ≤d2≤ ，∴ ≤d≤故答案为：[ ， ]14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为 3 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围.【解答】解：易知M(x0，1)在直线y=1上，设圆C的方程为(x﹣2)2+y2=1与直线y=1的交点为T，假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，因为T(2，1)，所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT= = ≥tan45°=1，即|x0﹣2|≤1，则﹣1≤x0﹣2≤1，即1≤x0≤3故x0∈[1，3].则x0的最大值为3，故答案为：3.15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则S12= 3 .【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式an，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算 S12的值.【解答】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，且Sn+1=Sn+an+1，∴(an﹣an+1)Sn+ anan+1+an﹣an+1=0，∴S n+ +1=0;又∵a1=1，令n=1，则1+ +1=0，解得a2= ，同理可得a3= ，猜想an= ;下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1= =1，成立;②假设当n≤k(k∈N*)时成立，ak= ，则Sk= = ;∵Sk+ +1=0，∴ + +1=0，解得ak+1= ;因此当n=k+1时也成立，综上，对于n∈N*，an= 都成立;由等差数列的前n项和公式得，Sn= ;∴ S12= × =3.16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为.【考点】余弦定理.【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数.【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，①2+②2得：(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=37，化简得：9+16+24(sinAcosB+cosAsinB)=37，即sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC= ，又∠C∈(0，π)，∴∠C的大小为或，若∠C= π，得到A+B= ，则cosA> ，所以3cosA> >1，∴3cosA+4sinB>1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠ π，∴满足题意的∠C的值为 .则∠C的大小为 .故答案为：17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC 的长为 3 .【考点】三角形中的几何计算.【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得= ，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC 【解答】解：∵ =2∴ = = =∵AD=| |= ，AC=| |=3，A= ，设AB=c∴ =| || |cosA=则13= =∴13=1整理可得，2c2 ﹣54=0∵c>0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=二、解答题18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;(2)已知tanα= ，求tan2α的值.【考点】二倍角的正切;二倍角的正弦.【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α 的值.(2)由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.【解答】解：(1)∵已知sinα= ，α∈( ，π)，∴cosα=﹣ =﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣ .(2)∵已知tanα= ，∴tan2α= = = .19.在△ABC中，(1)已知 a=2bsinA，求B;(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB= ，即可得出;(2)利用余弦定理即可得出.【解答】解：(1)∵ a=2bsinA，由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，s inA≠0，化为sinB= ，B∈(0，π)，∴B= 或 .(2)∵a2+b2+ ab=c2，∴cosC= = =﹣，又C∈(0，π)，∴C= .20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.【考点】待定系数法求直线方程.【分析】(1)由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可;(2)可设直线l的方程为kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得k 的方程，解方程可得.【解答】解：(1)∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣，∴由垂直关系可得所求直线的斜率k= ，又直线过点A(2，3)，∴方程为y﹣3= (x﹣2)化为一般式可得2x﹣3y+5=0;(2)∵直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，∴可设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得 =3，解得k=±∴直线l的方程为y=± x，即3x±4y=021.过点P(﹣3，﹣4)作直线l，当l的斜率为何值时(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?【考点】直线的点斜式方程.【分析】(1)当l经过圆心Q(1，﹣2)时，可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，利用点斜式即可得出.(2)设直线l的方程为：y+4=k(x+3)，化为kx﹣y+3k﹣4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q(1，﹣2)到直线l的距离d= =2，解出即可.(3)由于l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d= = ，解出k即可.【解答】解：(1)当l经过圆心Q(1，﹣2)时，可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，∴直线l的方程为：y+2= (x﹣1)，化为x﹣2y﹣5=0.(2)设直线l的方程为：y+4=k(x+3)，化为kx﹣y+3k﹣4=0，∵直线l与圆相切，∴圆心Q(1，﹣2)到直线l的距离d= =2，化为：3k2﹣4k=0，解得k=0或.∴当k=0或时，直线l与圆相切.(3)∵l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2，∴直线l的距离d= = ，化为13k2﹣16k+1=0，解得k= .∴当k= 时，满足条件.22.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)求数列{ }的前n项和Tn.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.【分析】(1)设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求;(2)直接利用等差数列的前n项和公式求解;(3)把数列{an}的通项公式代入，利用错位相减法求前n项和Tn.【解答】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2=0，a6+a8=﹣10，得，解得 .∴an=1﹣(n﹣1)=2﹣n;(2) = ;(3) = ，∴ ，，两式作差得： = = .∴ .23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 .(1)求的值;(2)若，求tanA及tanC的值.【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数;两角和与差的正切函数.【分析】(1)利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin(A+C)，代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值;(2)由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为π﹣(A+C)，利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值.【解答】解：(1)∵ ，cos2C=1﹣2sin2C，∴ ，∵C为三角形内角，∴sinC>0，∴ ，∵ ，∴ ，∴sinC= ，即2sinB=sinAsinC，∵A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，∵sinA•sinC≠0，∴ ;(2)∵ ，∴ ，∵A+B+C=π，∴ .∴ ，整理得tan2C﹣8tanC+16=0，解得：tanC=4，将tanC=4代入得： =4.24.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC 平行，DF过点A，EF过点C;方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C.(1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;(2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】(1)在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈(0， )，表示出三角形DEF面积S1，利用基本不等式求出最小值;(2)在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈(0，)，表示出三角形DEF面积S1，利用辅助角公式求出最小值.【解答】解：(1)在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈(0， )，则，…因为DE∥AC，所以∠E=α，，且，即，…解得，…所以，所以当sin2α=1，即α=45°时，S1有最小值. …(2)在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈(0， )，则，解得，…三角形CBE中，有，解得，…则等边三角形的边长为，…所以边长的最大值为，所以面积S2的最大值为.…高一数学下学期期中试题参考第一卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为( )A.2,4,4B.-2,4,4C.2,-4,4D.2,-4,-42.某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.抽签法3. 函数y=cosx•tanx的值域是( ).A.(-1,0)∪(0,1)B.[-1,1]C.(-1,1)D.[-1,0]∪(0,1)4. 如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x 值为( )A.0B.1C.2D.115. 圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1) 2=4外切，则m的值为( )A.2或-5B.-5C.2D.不确定6.若那么的值为( )A.0B.1C.-1D.7. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是( )A.甲的极差是29B.乙的众数是21C.甲罚球命中率比乙高D.甲的中位数是248 . 为三角形ABC的一个内角,若 ,则这个三角形的形状为 ( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9.方程 =lgx的根的个数是( )A.0B. 2C. 1D.无法确定10. △ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(-5,2,1)，C(-83，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是( )A.4B.3C.2D.111. 在内，使的成立的的取值范围是( )A.( )B.( )C.( )D.( )12.下列说法正确的是( ).A.在0，π2内sinx>cosxB.函数y=π1+tan2x的最大值为πC.函数y=2sinx+π5的图象的一条对称轴是x=45πD .函数y=sin 2x的图象可以由函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位得到第二卷(非选择题共90分)二.填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若一直线与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k=_______14.已知tan α=2，则sin2( + )+sin cos -2cos2(- )的值为______15.若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为x，方差为0.21，则a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________.16. 在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得方程x2+2ax-b2+π2=0有实根的概率为_______三.解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：零件的个数x(个) 2 3 4 5加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^，并预测加工10个零件需要多少时间?18.(12分)统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人,并根据所得数据画了样本频率分布直方图,每个分组包含左端点,不包含右端点,如第一组表示收入在500~1 000元.(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样法抽出100人作进一步分析,则月收入在2 000~2 500元的应抽取多少人?(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数;19.(12分) 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n20.(12分) 已知函数，其部分图象如图所示.(1)求函数的表达式;(2)求方程 , 的解.21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.22.(12分) 已知函数，(1)求的单调增区间;(2)若， =a有且仅有一个根,求a的范围.高一年级数学试题答案选择题：BBCCA CDBCD CB填空题：13. 0 14. 45 15. 0.2 16.1-π417. 解：由表中数据得：i=14xiyi=52.5，x=3.5，y=3.5，i=14x2i=54.代入公式得b^=0.7，a^=1 .05∴y^=0.7x+1.05. -----8分将x=10代入回归直线方程，得y^=0.7×10+1.05=8.05(h).∴预测加工10个零件需要8.05 h. --------10分18. 解:(1)因为(0.000 2 +0.000 4+0.000 3+0.000 1)×500=0.5,所以a==0.000 5, ---3分月收入在2 000元~2 500元的频率为0.25,所以抽取的100人中月收入在2 000元~2 500元的人数为0.25×100=25(人). ------6分(2)因为0.000 2×(1 000-500)=0.1,0.000 4×(1 500-1 000)=0.2,0.000 5×(2 000-1 500)=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,所以样本数据的中位数是1 500+ =1 900(元). ------9分(750×0.000 2+1 250×0.000 4+1 750×0.000 5+2 250×0.000 5+2 750×0.000 3+3 250×0.000 1)×500=1 900(元).所以样本数据的平均数为1 900元. -----12分19. 解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个.因此所求事件的概率P=26=13. -------6分(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.又满足m+2≤n的事件的概率为P1=316，故满足n20. 解：(1)且过，则 ----6分( 2)当时，，----------- 12分21. 设所求圆的圆心为C(a, a-1),半径为r(r>0),则点C到直线l2的距离d1= = . --------3分点C到直线l3的距离是d2= = . ---------6分由题意,得 -------9分解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25. ----12分22.(1) ，，增区间为 ; ----- -6分( 2)由图像可知 =a有且仅有一个根时a的范围为{a︱或a=2} ------12分高一年级数学下学期期中试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卷上)1.设全集U=A∪B={1，2，3，4，5}，A∩(∁UB)={1，2}，则集合B=( )A.{2，4，5}B.{3，4，5}C.{4， 5}D.(2，4)2.过点M(﹣3，2)，N(﹣2，3)的直线倾斜角是( )A. B. C. D .3.函数的零点落在的区间是( )4.计算sin105°=()A. B. C. D.5.函数的图像( )A.关于点对称，B.关于直线对称，C.关于点对称，D.关于直线对称6.要得到函数的图像，只需将函数的图像( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度7.已知，则 ( )A. B. C. D.8.已知2sinα+cosα= ，则tan2α=( )A. B. C.- D.-9.函数y=2cos2 -1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数10.函数的最小值为 ( )A. B. C. D.11.设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n; ②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β;③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m ⊥γ ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②③ C.③④ D.①④12.已知则方程所有实根的个数是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案写在答题卷上)13.已知则14.经过点，且与直线 =0垂直的直线方程是15.已知函数若对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是16.设常数a使方程在闭区间[0,2 ]上恰有三个解，则。

厦门理工学院11-12下高数1期中考试试卷答案2

2
=
16 32 16 16 1 2 (sin sin 3 ) |0 = 3 9 3 3 3
2
………….6 分
解法二: I

0
d r 2 dr 2 d
0 2
2

2cos
0
r 2 dr
…………..3 分
=
16 32 16 16 16 16 1 2 …………..6 分 2 cos3 d = (sin sin 3 ) |0 = 3 9 3 3 0 3 3 3
（B）2 （C）3 （D）4
]
8．设 L 以 (1,1) ， (1,1) ， (1,1) ， (1,1) 为顶点的正方形周边，为逆时针方向，栏则姓名

L
x 2 dy y 2 dx
（B）2
u
[ （C）1
2
]
（A）4
（D）0
9．设 z e sin v ，而 u x ， v
2
( x y z )dS

[ （C） a （D）0 [ （C）1 （D）0
]
（B） a
y
3
6．设 z x ，则（A） e
1
z y
( e ,1)
=
]
（B） e
7. 设曲线积分学号（A）1 线

L
( x 4 4 xy t 1 )dx (6 xt y 2 5 y 4 )dy 与路径无关，则 t [
e （A）（B） e x y 10. lim = ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
（A） 1 得分阅卷人（B） 1
2

部分高数一(微积分)2011-2012年自考试题及答案

全国2011年1月自学考试高等数学（一）试题课程代码:00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．函数f （x ）=2+x +ln （3-x ）的定义域是（ )A ．［-3，2］B ．［—3,2）C ．［-2，3)D ．［—2,3］2．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1sin x x x x k 在x =0处连续,则常数k 的取值范围为(） A ．k ≤0 B ．k 〉0C ．k 〉1D ．k >23．曲线y =2ln 33-+x x 的水平渐近线为( )A ．y =-3B ．y =-1C ．y =0D ．y =24．定积分⎰---11d 2e e x xx =（）A ．0B ．e 1C ．1D ．e5．若0),(,0),(0000==''y x f y x f y x ，则点（x 0，y 0)是函数f (x ,y )的( ）A ．极小值点B ．极大值点C ．最值点D ．驻点二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．已知2ln )1(222-=-x x x f ，则f （x ）=_________。

7．函数f （x ）=6512--+x x x 的间断点是_________.8．设函数y =sin （2x +2x ），则d y =_________。

9．极限x x x x ln 1lim 1-→=_________.10．曲线y =ln （1+x 2)的凹区间为_________.11．函数f (x )=2e x x 的单调减少区间是_________. 12．定积分⎰--222d 4x x =_________。

13．极限x t t x x ⎰→020d sin lim =_________.14．无穷限反常积分⎰∞-02d e x x =_________.15．设二元函数z =cos （2y -x ）,则yx z ∂∂∂2=_________. 三、计算题（一）（本大题共5小题,每小题5分，共25分）16．求极限xx x x sin 11lim 0--+→。

河北省衡水中学11-12学年高一下学期期中考试(数学理)

河北省衡水中学11-12学年高一下学期期中考试（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．=-)623cos(π（） A 、23 B 、21C 、-23D 、-21 2）ABC3，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是（） A、或4 ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5θθsin ≥的概率为（） A C D 、256．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则（）AC 、D 、sin cos ,a θθ+=()0,1a ∈tan θ3-7．将直线10x y +-=绕点（1，0）沿逆时针方向旋转15︒得到直线l ，则直线l 与圆22(3)4x y ++=的位置关系是（）A 、相交B 、相切C 、相离D 、相交或相切8．方程a x =+)32sin(2π在],0[π上有两个不等的实数根21,x x ，则=+21x x （）A 、πB 、6π C 、6π或67π D 、与a 的取值有关 9．为得到函数的图象，只需将函数）A B C D 10，且，则下面结论正确的是（）A 、B 、C 、D 、 11．已知函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=，则f(x)的值域是（）A 、]1,1[-B 、]1,22[-C 、]22,1[-D 、]22,1[-- 12 ） A 、 sin(cos )x B 、 sin(sin )x C 、 cos(sin )x D 、 cos(cos )x第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

高一下学期期中考试数学试题(解析版)

【答案】
【解析】
【分析】由已知得在中利用正弦定理求得在中利用余弦定理即可得解.
【详解】在中已知
在中
由正弦定理得
在中
利用余弦定理知 .
故答案为：
16.如图四棱锥的底面四边形ABCD为正方形四条侧棱点E和F分别为棱BC和PD的中点.若过A､E､F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为则该四棱锥的外接球的体积为___________.
【小问1详解】
如图：
在上取一点N使得连接CNEN则则
又∵ ∴四边形是平行四边形
∴ 且．
同理四边形DNEA是平行四边形∴ 且
又且 ∴ 且
∴四边形CNEB是平行四边形
∴ 且
∴ 且
∴四边形平行四边形从而BE F四点共面；
【小问2详解】
由(1)知平面平面
∴ 平面 ①
取BG中点为I连接则G是 H是 ∴ ∥HG
【详解】解：由得
即正确；
令满足但不满足错误；
令
则
又正确；
正确．
故选：ACD．
10.下列说法正确的是（）
A.对于任意两个向量若且与同向则
B.已知为单位向量若则在上的投影向量为
C.设为非零向量则“ ”是“存在负数使得 ”的必要不充分条件
D. 则与的夹角是锐角
【答案】BC
的最小值为
所以的长度范围是
故选：B
二､多选题：本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分.
9.已知且．下列说法正确的是（）
A.若则 B.若则
C. D.

天津科技大学11-12高数(1.1)期中试卷答案

7. 已知21()1df x dx x=+, 则()f x = . 答: arctan x C +. 注：答为arctan x 扣1分 8.当∞→n 时，如果nk1sin 与n1为等价无穷小，则k = . 答:2.9. 若函数31,1(), 1.x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩，在),(+∞-∞上连续，则a = .答:2-.10. 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得)(ξf '= .答:()()f b f aa-.二、单项选择题（每小题3分,共18分）1. 若极限0lim =∞→n n x ，而数列}{n y 有界，则数列}{n n y x （Ａ）.(A) 收敛于0； (B) 收敛于1； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定. 2. 0=x 是函数1()12xf x =-的（ C ）间断点. (A) 可去； (B) 跳跃； (C) 无穷； (D) 振荡. 3．设函数()(1)(2)(2011)f x x x x x =+++ ，则=')0(f （ C ）. (A) !n ； (B) 2010!； (C) 2011!； (D) 2012!. 4．若函数)(x f 、()g x 都可导，设[()]y f g x =，则d d yx=（ B ）. (A) {[()]}()f g x g x ''⋅； (B) [()]()f g x g x ''⋅； (C) [()]()f g x g x '⋅； (D) [()]f g x '.5．若函数)(x f 与)(x g 对于开区间),(b a 内的每一点都有)()(x g x f '='，则在开区间),(b a 内必有（ D ）(其中C 为任意常数).解：原式=x x x xx x x x cos sin lim 1)sin 1(cot 1lim 020++→→-=-⋅ (3分)1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=++→→xx x x x ．(6分)4. lim n →∞⎛⎫+ 解：设22212111nn nn x n ++++++=，(1分)则，≤n xn y nnn ==+++1111222 ； (2分) ≥n xn z nnn n nn nn nn =+=+=++++++/1111112222，(3分) 因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，(4分)由夹逼定理112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n . (6分)五.（8分）已知函数2arcsin(),0,()2b,0ax x fx x x x >⎧=⎨++≤⎩在0x =点可导, 求常数b a 、的值.解：要使)(x f 在0x =处可导，必须)(x f 在0x =处连续，(1分) 而0(0)lim arcsin()0x f ax ++→==；(0)f b =.(2分)由(0)(0)f f +=，有0b =. (3分) 又 000()(0)arcsin()(0)lim lim lim 0x x x f x f a x a xf a x x x++++→→→-'====-，(4分) 200()(0)2(0)lim lim 20x x f x f x xf x x---→→-+'===-.(5分)由)(x f 在0x =处可导，有(0)(0)f f -+''=(6分), 得2a =.(7分) 故当0,2a b ==时，函数)(x f 在0x =处可导. (8分)六．证明题（12分）若函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =,(1)1f =. 证明: (1) 存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-;(2) 存在两个不同的点,(0,1)a b ∈,使得()()1f a f b ''=. 证明：(1) 令()()1g x f x x =+-, (1分) 则()g x 在[0,1]上连续, (2分)又(0)10g =-<，(1)10g =>(3分)，由零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使得()()10g f ξξξ=+-=(5分), 即()1f ξξ=-.(6分)(2) 分别在[0,]ξ和[,1]ξ上应用拉格朗日中值定理 (7分),。

高一数学下学期期中联考试题含解析试题 3

六校结合体2021级高一第二学期期中联考数学试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．请把答案填写上在答题卡．．．相应位置．．．．上．，，〔，〕，那么角与的终边的位置关系是〔〕A. 重合 B. 关于原点对称 C. 关于轴对称 D. 关于轴对称【答案】D【解析】【分析】根据终边一样的角的特点，判断出终边位置，从而得到对称关系.【详解】与终边一样与终边一样又，即终边关于轴对称与终边关于轴对称此题正确选项：【点睛】此题考察角的终边的位置关系，根据终边一样的角的特点得到结果，属于根底题. 的终边经过点，那么的正切值为〔〕.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义即可得到结果.【详解】由正切定义可知：此题正确选项：【点睛】此题考察任意角三角函数的定义，属于根底题.3.化简得〔〕.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两角和差公式将原式整理为，再利用诱导公式求值即可.【详解】此题正确选项：【点睛】此题考察利用两角和差正弦公式求值问题，属于根底题.中，，，，那么角的度数为〔〕.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理求得，根据三角形中大边对大角的关系确定的度数.【详解】由正弦定理得：此题正确选项：【点睛】此题考察正弦定理解三角形问题，易错点是忽略三角形大边对大角的特点，造成求解错误.，，和平面，以下命题中正确的选项是〔〕.A. 假设，，那么B. 假设，，那么C. 假设，，，，那么D. 假设，，那么【答案】B【解析】【分析】通过正方体可以找到选项的反例，从而得到正确.【详解】在如以下图所示的正方体中：，面，此时面，可知错误；面，，，此时面，可知错误；，，此时，可知错误；根据一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条，可知正确.此题正确选项：【点睛】此题考察空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，属于根底题.，圆心角为，那么该扇形的面积为〔〕.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据扇形面积公式代入求解即可.【详解】根据扇形面积公式：此题正确选项：【点睛】此题考察扇形面积公式的应用，属于根底题.的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象的函数解析式为〔〕.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】向右平移个单位长度得：所有点横坐标变为原来倍得：此题正确选项：【点睛】此题考察三角函数图象的平移变换和伸缩变换，属于根底题.中，，那么此三角形的形状为〔〕.A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理将代入等式，整理可得边之间的关系，从而得到三角形形状.【详解】由余弦定理可得：整理可得：，即那么为等腰三角形此题正确选项：【点睛】此题考察利用余弦定理判断三角形形状的问题，关键是可以通过余弦定理将边角关系式变成边长之间的关系.，那么的值是〔〕.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式可求得，利用诱导公式可知，从而得到结果. 【详解】此题正确选项：【点睛】此题考察二倍角公式、诱导公式的应用，关键在于可以通过诱导公式将所求三角函数变为角的二倍角的形式.，给出以下四个结论：①函数的最小正周期为；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于点对称；④函数在上是单调增函数．其中正确结论的个数是〔〕.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象与性质，依次判断各个选项，从而得到正确结果.【详解】①函数最小正周期为：，可知①正确；②当时，；又不是对称轴，可知②错误；③当时，；又不是对称中心，可知③错误；④当时，；当时，为单调增函数，可知④正确综上所述，①④正确此题正确选项：【点睛】此题考察的图象与性质，主要考察了最小正周期、对称轴与对称中心、单调区间的问题，解决问题的主要方法是整体对应法.和，侧棱长为，那么该棱台的侧面积为〔〕.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据长度关系求解出棱台每个侧面的面积，加和可得棱台的侧面积.【详解】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形等腰梯形的高为：等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：此题正确选项：【点睛】此题考察空间几何体侧面积的求解问题，属于根底题.中，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，那么该三棱锥外接球的外表积为〔〕.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据面面垂直关系得到面，通过长度关系可求得外接圆圆心到四个顶点的间隔相等，可知即为外接球的球心，从而可得外接球半径，进而求得外表积.【详解】由题意可得图形如以下图所示：其中为中点，为外接圆圆心为边长为的等边三角形在上，且，又为以为斜边的等腰直角三角形，所以面面，面面，面面即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径三棱锥外接球外表积此题正确选项：【点睛】此题考察三棱锥外接球的外表积求解的问题，关键是可以通过长度关系确定外接球球心的位置.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．请把答案填写上在答题卡相．．．．应位置．．．上．13.如图，在正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线与所成角的大小为_____.【答案】【解析】【分析】根据三角形中位线将问题转变为求解与所成角，根据边长关系可求得结果. 【详解】连接，为中点那么与所成角即为与所成角在中，，可知为等边三角形此题正确结果：【点睛】此题考察立体几何中异面直线所成角的求解，关键是通过平移找到所成角，并将所成角放入三角形中来求解，属于根底题.14.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，是的中点，那么三棱锥的体积为____.【答案】【解析】【分析】取中点，通过三角形中位线可判断出面，从而将所求三棱锥体积利用切割的方式变为，分别求解体积得到结果.【详解】取中点，连接为中点且又面面此题正确结果：【点睛】此题考察三棱锥体积的求解问题，关键是通过切割的方式将所求体积变为高易于求解的椎体体积的求解问题.15.化简得_____.【答案】2【解析】【分析】将正切化弦，通分后利用辅助角、二倍角公式化简整理可将原式变为，根据互余的角的特点，化简得到结果.【详解】此题正确结果：【点睛】此题考察利用三角恒等变换化简求值的问题，涉及到切化弦和辅助角公式、二倍角公式的应用.中，，，角的平分线交边于点，的面积为，那么的长为_____. 【答案】【解析】【分析】根据余弦定理和三角形面积公式可求得，利用构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】由余弦定理可得：那么又此题正确结果：【点睛】此题考察余弦定理、三角形面积公式的应用，关键是可以通过面积桥的方式构造出关于的方程.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．请在答题卡指定区域内答题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．17.，.〔1〕求的值；〔2〕求的值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据同角三角函数关系和的范围求得；〔2〕利用同角三角函数关系求得，再利用二倍角公式求得和，通过两角和差余弦公式求得结果.【详解】〔1〕，，又〔2〕，，【点睛】此题考察同角三角函数关系、二倍角公式和两角和差公式的应用，属于常规题型.18.如图，在正方体中，，分别为，的中点.〔1〕求证：；〔2〕求证：.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕通过三角形中位线证得，再根据线面平行的断定定理证得结论；〔2〕根据线面垂直的断定定理证得面，根据线面垂直的性质得到，再根据〔1〕中的证得结论.【详解】〔1〕连结分别是的中点又面，面面〔2〕面，面正方形又，面，面面又面由〔1〕知【点睛】此题考察线面平行关系的证明、线线垂直关系的证明.在立体几何证明问题时，假设证明结论为线线垂直，那么通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直的性质得到结论的方法.中，内角，，所对的边分别为，，，，且.〔1〕求；〔2〕假设，求.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理化简边角关系式，得到，从而求得；〔2〕根据求得，根据正弦定理求得结果.【详解】〔1〕由正弦定理可知：〔2〕由正弦定理得：【点睛】此题考察正弦定理解三角形的问题，其中涉及到同角三角函数的求解、三角形内角和关系、两角和差公式的应用，属于常规题型.20.如图，在四棱锥中，，，，，.〔1〕求证：；〔2〕假设为棱上一点，且，求的值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据面面垂直性质可得面，再利用线面垂直性质得到；又，根据线面垂直的断定定理得到面，通过面面垂直断定定理得到结论；〔2〕根据线面平行的性质定理证得，从而将所求比例变为求解，再根据平行关系可知，根据长度关系得到结果.【详解】〔1〕面面，面面，，面面，又面又，面面面面〔2〕连结交于，连接面，面，面面又【点睛】此题考察面面垂直关系的证明、根据线面平行求解长度关系的问题，其中涉及到线面垂直的断定与性质、面面垂直的性质、线面平行的性质的应用.，.〔1〕求函数的单调增区间；〔2〕假设≤对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用二倍角公式和辅助角公式将整理为，将整体对应的单调增区间，求出的范围即可；〔2〕将问题转化为，通过复原将问题转化为，；根据单调性求得，从而得到结果.【详解】〔1〕由得：单调增区间为：〔2〕由得：当时，令，那么，又在单调递增【点睛】此题考察的单调区间的求解、与三角函数有关的恒成立问题.解决恒成立问题的关键是通过别离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，需要注意的是自变量的取值范围.22.如图，有一个三角形的停车场，其中，两边，足够长，在上的处安装一个可旋转监控探头，米，探头监控视角始终为，〔，都在上，且＞〕，设.〔1〕假设，求的面积；〔2〕当监控探头旋转时，请用表示监控区域的面积，并求当为多大时，监控区域的面积取最小值.【答案】〔1〕150；〔2〕，面积最小【解析】【分析】〔1〕根据角度关系可知为等腰直角三角形，解出，从而求得面积；〔2〕根据正弦定理，分别用表示出，根据三角形面积公式进展整理化简，根据积化和差公式整理出，从而确定当时，取最小值，从而得到.【详解】〔1〕为等腰直角三角形〔2〕中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：又当，即当时，监控区域的面积取最小值【点睛】此题考察三角形面积公式的应用，重点考察面积最值的求解.关键是可以利用正弦定理将所求面积表示为变量的函数，根据积化和差公式进展整理化简，从而确定将问题转化为正弦函数最值的求解.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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证明：令，则
，，
所以，
…………..5分
于是，
（A）4（B）2（C）1（D）0
9．设，而，，则在点处的值为[]
（A）（B）（C）（D）
10. = [ ]
（A）（B）（C）（D）不存在
得分
阅卷人
三、计算题（每题6分，共18分），请
把答案写在问题的下面。
解:将直线化为参数方程得 ………………2分
代入平面方程得
,得 ………………3分
得分
阅卷人
二、选择题（每题2分，共20分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
A班:B
B班:A
B
B
D
B
D
1.函数可微是其两个偏导数连续的[ ]
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）无关条件
2．设由所确定的函数，则 =[ ]
（A）（B）（C）（D）
3．曲线在区域内的弧长为[ ]
（A）（B）（C）（D）
4．直线L：与平面的关系是[ ]
（A）垂直相交（B）相交但不垂直（C）平行（D）L在上
5.(B班同学做,A班不做)设平面区域由与两坐标轴所围成，若，，，则它们之间的大小顺
（A）（B）（Ｃ）（Ｄ）
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解：的参数方程为：，，的方程为：，
的方程为：，
，（算对一个2分）
于是 …………..8分
4.计算，其中是由曲面及平面所围成的闭区域.
解：令，…………..2分，则积分区域为 ………….4分
故原式= …………..5分
= …………..7分
= = …………..8分
得分
阅卷人
五、证明题（6分）设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足
2、学生在考试之前必须填写考试学年学期、课程名称、考试地点、时间及试卷卷别。
3、字迹要清楚，保持卷面清洁。试卷、草稿纸随答题纸一起交回。
4、采用流水作业评卷的，阅卷教师须在题号后签名。
学年学期：11-12学年第2学期考试课程：高数Ⅰ期中考试
考试地点：考试时间：
试卷卷别：A卷（）B卷（）考试方式：闭卷
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5(A班同学做,B班不做)设是上半球面 , ,则第一类曲面积分 [ ]
(A) （B）（C）（D）0
6．设，则 =[ ]
（A）（B）（C）1（D）0
7.设曲线积分与路径无关，则 [ ]
（A）1（B）2（C）3（D）4
8．设以，，，为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则 [ ]
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2．某工厂要造一长方体形状的库房，其体积为1500 ，前墙和房顶每单位面积的造价分别是其他墙面造价的3倍和1.5倍，问库房前墙长和高为多少时，库房造价最小？（墙厚忽略不计）。
解:设前墙长,高分别为米，其他墙面造价为1单位/米 ,则库房的深为，因此库房的造价…………..1分
= =
= = ………….6分
解法二: …………..3分
= = = …………..6分
得分
阅卷人
四、解答题（每题8分，共32分），请
把答案写在问题的下面。
1．求由曲线与直线及所围成的平面图形的面积及绕轴旋转的旋转体体积。
解: 得交点 …………..1分
= = …………..4分
= = …………..8分
5.yoz平面上的曲线绕y轴旋转一周而成的曲面方程为_____________
6.设 ,则 _____________________
7.改变二次积分的次序，则 =___________________
8.(B班同学做,A班同学不做)设的定义域为
8.(A班同学做,B班同学不做)设，则梯度 =____________。
所以得交点为 ………………4分
于是所求垂线的方程为
……………法线方程.
解:令 ,则 , ,
, , ………………2分
所以所求的切平面方程为 ,即 ………………4分
所求的法线方程为: ,即: ………………6分
3.设积分区域为 , ，求
解法一: …………..3分
= …..4分
令解得： ………….6分
(又，，
在点，有，且
所以点是极小值点，…………..6分
这部分内容若没写不扣分!!!!!!)
根据题意确实存在最小值且仅有唯一驻点，故点是最小值点，即当前墙长为10米，高为7.5米时，造价最省。…………..8分
3．，其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
得分
阅卷人
一、填空题（每题3分，共24分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
题号
1
2
3
4
答案
题号
5
6
7
8
答案
+
A:
B:
1．设，则 =______________
2.过z轴和点的平面方程为_____________________
3.设，，则以、为邻边的平行四边形的面积为______
4.设，则 =_________________
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1、学生的系、专业、级别、班级、姓名、学号必须写在考生信息栏内指定的位置。