偏微分方程的解法

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在本问题中，泛定方程是常系数的；根据前边的讨论， 在本问题中，泛定方程是常系数的；根据前边的讨论，该方程的附
λ 2 − a 2 = 0 ;且解为 λ = ± a .故原方程的通解可以表示为: 加方程为： 故原方程的通解可以表示为: 加方程为：
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
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故原方程满足初始条件的 解可以表示为: 故原方程满足初始条件的特解可以表示为: 满足初始条件
1 1 x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ]+ ∫ ψ ( x ') dx ' 2 2a x − at
其中的 ϕ 为任意二次可微函数. ( x ) ,ψ ( x ) 为任意二次可微函数.
回 顾
1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解
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方程的通解和特解
7.4 例子 7.4 二阶线性非齐次偏微方程 u xy
2
通解是 = 2 y − x 的通解 通解
1 2 u ( x, y ) = xy − x y + F ( x ) + G ( y ) , 2
u ( x, t ) = ∫ v ( x, t ;τ ) dτ
t 0
1 x + a(t −τ ) 而且 v ( x,τ ) = ∫x−a(t −τ ) f ( x ',τ ) dx ' 2a
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根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为： 根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：
1 t x+a(t −τ ) u(x, t) = ∫ ∫ f (ξ,τ )dξdτ 2a 0 x−a(t −τ )
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vtt − a 2 vxx = 0, ( −∞ < x < +∞,τ < t < τ + ∆τ ) v ( x,τ ) = 0, vt ( x,τ ) = f ( x,τ )
而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加, 而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加,即:
1.行波法； 1.行波法； 行波法 2.分离变量法； 2.分离变量法； 分离变量法 3.幂级数解法； 3.幂级数解法； 幂级数解法 4.格林函数法； 4.格林函数法； 格林函数法 5.积分变换法； 5.积分变换法； 积分变换法 . 变换法； 变换法；
.变分法； .变分法； 变分法 . .数 .数 解法； 解法； 法
一般地, 一般地,对于一个任意的二次函数
f ( x1 ,L , xn ) =
总可以化为如下标准形式： 总可以化为如下标准形式：
n n
i , j =1
∑ a x x + ∑b x + c
ij i j i =1 i i
n
n
f ( x1 ',L , xn ') = ∑ di x 'i2 + ∑ bi ' xi ' + c ' 二次型的主轴定理
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例 7.6 求解如下定解问题：
utt − a uxx = f (x, t),(−∞< x < ∞, t > 0) ut (x,0) =ψ (x) u(x,0) = ϕ(x),
2
本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为: 解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
2
数学物理方程的分类
考察二元二次方程： 考察二元二次方程：
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0
2 2
容易知道, 容易知道,若设 δ 知道
= b 2 − 4ac ,则分别当 δ > 0、δ = 0 和
平面上的双曲线、抛物线和椭圆。 δ < 0 时该方程分别对应于 xy 平面上的双曲线、抛物线和椭圆。
u = u1 + u2
是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解: 其中 u1 是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解:
utt − a 2u xx = 0, ( −∞ < x < ∞, t > 0 ) u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ ( x )
n − 1 个 d i 同号,另一个反号， 同号,另一个反号，
d i ≠ 0 ,正和负的个数都不止一个
由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点 总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。
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两个自变量的情形
抛物型： 抛物型：
u xx = bu x + cu y + du + f
椭圆型： 椭圆型： 双曲型： 双曲型：
i
n
(D D
x
y
= Dy Dx )
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符号的不同可以划分方程的类型如下： 的不同可以划分方程的类型如下 根据 d i 符号的不同可以划分方程的类型如下： 有某些 d i 所有 d i
= 0，
抛物型； 抛物型； 椭圆型； 椭圆型； 双曲型； 双曲型； 超双曲型。 超双曲型。
≠ 0 ，且均同号， 且均同号，
d’Alembert公式 公式
考察泛定方程的通解: 考察泛定方程的通解: 泛定方程 作一变换: 作一变换: x ' =
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
x + at ,则有 f1 ( x + at ) = f1 ( x ') .这表明在相对于
运动的坐标系中来看, 原来坐标轴以速度 a 运动的坐标系中来看,通解中的第一部分贡献是和 时间无关的;回到原来坐标系中观察, 时间无关的;回到原来坐标系中观察,则第一部分贡献的波形随时间变 轴正向移动.同理, 化以速度 a 沿 x 轴正向移动.同理,通解中第二部分可以看作另外一列 反向传播的行波的贡献. 反向传播的行波的贡献.
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行波法 d’Alembert公式 公式
行波法是以自变量的线性组合作变量代换， 行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进 行求解的一种方法， 行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有 效. 一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为： 一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：
utt − a 2u xx = 0 u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) ut ( x, 0 ) = ψ ( x )
其中 Fຫໍສະໝຸດ Baidu
( x )、G ( y ) 是任意两个独立的函数.
1 2
如果指定 F
( x ) =0，
特解. G ( y ) = 0 ; 则 u ( x, y ) = xy 2 − x 2 y 是原方程的一个特解 特解
一般地，一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。
i =1 i =1
3
类似地， 类似地，二阶线性偏微分方程
∑a u
ij i, j
n
xi x j
+ ∑ bi u xi + cu + f = 0
i
n
一定可以改写为如下“形式”： 一定可以改写为如下“形式”
∑d u
i
n
i xi ' xi '
+ ∑ b 'i u xi ' + c ' u + f ' = 0
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例 7.5 求解如下定解问题：
utt − a uxx = x + at, u( x,0) = 0,
2
(−∞ < x < +∞, t > 0) ut ( x,0) = 0
解: 由上述讨论可知,该定解问题的解为: 由上述讨论可知,该定解问题的解为:
1 t x + a(t −τ ) u ( x, t ) = ∫0 ∫x−a(t −τ ) ( x '+ aτ ) dx ' dτ 2a 1 2 1 3 = xt + at 2 6
常系数线性偏微分方程
如果在二阶线性偏微分方程
∑a u
ij i, j
n
xi x j
+ ∑ bi u xi + cu + f = 0
i
n
所有系数均为常数, 则方程可以进一步简化为: 进一步简化为 中, 所有系数均为常数, 则方程可以进一步简化为:
∑ d 'u
i i
n
xi xi
+ c 'u + f ' = 0
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d’Alembert公式的应用 公式的应用 1.齐次偏微分方程的求解 P172） 1.齐次偏微分方程的求解 （P172） 2.非齐次偏微分方程的求解 2.非齐次偏微分方程的求解
utt − a 2u xx = f ( x, t ) , ( −∞ < x < +∞, t > 0 ) u ( x, 0 ) = 0, ut ( x, 0 ) = 0
该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系 施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思 路出发求解问题被称为冲量原理法 冲量原理法。 冲量原理法
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∆τ
时间(足够短) 时间(足够短) 内,外力的冲量为
f ( x,τ ) ∆τ , τ
时刻该冲量在弦 时刻该冲量在弦 该冲量
中引起的振动可以由以下方程确定: 引起的振动可以由以下方程确定:
u2 是上述纯强迫振动问题的解. 是上述纯强迫振动问题的解.
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求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足 相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问 题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理， 直接求出定解问题的解。
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数 学 物 理 方 程 的 求 解
u xx + a 2u yy = bu x + cu y + du + f
u xx − a 2u yy = bu x + cu y + du + f
显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程； 一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型 方程。
（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 Poisson方程和Schr 是什么类型的方程？） 是什么类型的方程？） 6
f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ϕ ( x )
把通解代入初始条件易得: 把通解代入初始条件易得:
1 x f1 ( x ) − f 2 ( x ) = ∫ ψ ( x ') dx ' + C0 a x0
1 1 x f1 ( x ) = [ϕ ( x ) + ∫ ψ ( x ') dx ' + C ] 2 a x0 从中易解得: 从中易解得: 1 1 x f 2 ( x ) = [ϕ ( x ) − ∫ ψ ( x ') dx ' − C ] 2 a x0