上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(A卷)
f (n) () .
(1)若 f (x) 2x 1 ，函数 y f (x) 的定义域为 R ，求 f (2) 0,1 和 f (3) 0,1 ；
(2)若函数 y f (x) 的定义域为 D ，且存在正整数 m ，使得对任意的 x D ， f (m)(x) x ，
求证：函数 y f (x) 为 D 上的“单值函数”； (3)设 a (0,1) ，若函数 y f (x) 的定义域为 (0,1] ，且表达式为：
个数为
.
6．函数 f (x) x2 3x 2 的单调递增区间是
．
7．已知 f (x) mx 2 mx 1 ，若函数 y f (x) 的值域为[0, ) ，则实数 m 的取值范围
为
.
8．已知T 是方程 x2 px q 0(p2 4q 0) 的解集， A ={1，3，5，7，9}， B ={1，4，
(1)证明：对任意的 m R ，x y f (x) ； (2)若0, 2 x y f (x)，求实数 m 的取值范围； (3)若x y f (x) [0,3] ，求实数 m 的值.
20．若函数
y
F
(x)
的定义域为
D
，且对于任意的
x 1
、
x2
D，“Fx1Fx2”的充要
条件是“ x1 x2 ”，则称函数 y F (x) 为 D 上的“单值函数”.对于函数 y f (x) ，记
A． x2 3| x |
B． x2 | x |
C． 2x 1
D． x
三、解答题
17．已知常数 a R
，集合
A
x
2x 11 x2
3 ，集合
B
x x2 2ax 3a2 0
.
2015-2016学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数2y x=-的定义域为______．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.315.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞，D.()01，16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．20.设函数()f x x a a=++．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数y =的定义域为______．【答案】[1,2)(2,)-+∞ 【分析】由解析式有意义求解．【详解】由题意1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠．故答案为：[1,2)(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查求函数定义域，属于基础题．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.【答案】若0ab =，则220a b -≤【分析】根据否命题的形式写出即可.【详解】命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题是“若0ab =，则220a b -≤”故答案为若0ab =，则220a b -≤【点睛】本题主要考查了否命题的形式，属于基础题.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2【分析】由2xy =，解出2y x=，代入224x y +中，化简利用基本不等式即可求出x 的值.【详解】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值.故答案为2【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件，考查学生利用知识分析和解决问题的能力，属于基础题.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．【答案】8【分析】求出集合A 中元素，由子集的定义求解．【详解】3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥{012}=，，，子集个数为328=．故答案为：8.【点睛】本题考查求子集个数，掌握子集概念是解题关键．，含有n 元素的集合的子集个数为2n ．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________【答案】223x x -++【分析】求0x <的解析式()f x ，可先求出()f x -的解析式，再利用奇函数()f x 与()f x -的关系求出()f x .【详解】设0x <，则0x ->，所以2()23f x x x -=--，又因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()2()23f x f x x x =--=-++.故答案为223x x -++.【点睛】本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，主要利用转化法把所求转化到已知区间，结合奇偶性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________【答案】3[0,4【分析】由函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，转化为2430kx kx ++≠在R 上恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，即2430kx kx ++≠在R 上恒成立，当0k =时，30≠恒成立，当0k ≠时，则满足2(4)430k k ∆=-⨯⨯<，即2430k k ∆=-<，解得304k <<，综上可得，实数k 的取值范围是3[0,4.故答案为：3[0,4.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的定义，以及一元二次式的恒成立问题，其中解答中合理转化，结合二次函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．【答案】①②【分析】用作差法比较大小证明不等式，举反例说明不等式不成立．【详解】2232(1)20a a a +-=-+>，232a a +>恒成立，①正确；44333322222213()()()()()[()]024a b a b ab a b a b a b a ab b a b a b b +--=--=-++=-++≥，∴4433a b a b ab ++≥恒成立，②正确；2,1a b ==-时，③④均不成立，故答案为：①②．【点睛】本题考查不等式的性质，作差法是证明不等式的基本方法，必须掌握．对不恒成立的不等式可通过举反例说明，较方便．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．【答案】1【分析】由奇偶性求出(),()f x g x ，再由(1)f 求得a ．【详解】∵()()21f xg x x x a +=++，①，∴21()()f x g x x x a-+-=-+，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴21()()f x g x x x a-+=-+，②，（①-②）除以2，得22111()(2f x x x a x x a=-++-+，∴1111(1)(223f a a =-=-+，∵0a >，∴1a =．故答案为：1.【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．【答案】3【分析】考虑绝对值的性质，方程的唯一实根只能是0，即0x =，由此分析可得结论．【详解】方程2290x a x a ++-=为2290x a x a ++-=，因此原方程有唯一实根，则0x =，290a -=，3a =±，3a =-时，方程为230x x -=，x =0或3，不合题意，3a =时，方程为230x x +=，0x =，3x =-舍去．故答案为：3.【点睛】本题考查方程根的分布，根据绝对值的性质易得结论．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．【答案】[3,1)(3,)--+∞ 【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B∆【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞ ，故答案为：[3,1)(3,)--+∞ 【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B =∅ 可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B =∅ ，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B =∅ 时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．【答案】312【分析】用三角换元法，转化为求三角函数的最值．【详解】设cos ,sin a r b r θθ==，则23r ≤≤，2222222221cos sin cos sin sin 22a ab b r r r r r θθθθθ-+=-+=-21(1sin 2)2r θ=-，因为1131sin 2222θ≤-≤，249r ≤≤，∴21272(1sin 2)22r θ≤-≤．即22a ab b -+的最大值为272，最小值为2，和为312．故答案为：312．【点睛】本题考查由已知条件求最值，解题关键是三角换元，换元后可把两个变量分开，分别求得最值，再结合求得结论．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]【答案】A 【分析】由题意首先求得函数()f x 的定义域，然后求解函数(1)f x +的定义域即可.【详解】由题意可得，函数()f x 的定义域为：[]1,0-，则函数()1f x +的定义域满足：110x -≤+≤，解得：21x -≤≤-，表示为区间形式即[]2,1--.故选A .【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中等题.14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【分析】根据不等式的性质作答．【详解】由22ac bc >能得出a b >，由a bc c >不能得出a b >（0c <时不成立），a b >，显然有a b >（原因是b b ≥），1a b >-时可能有a b <，如12a b =-，因此有两个，①③满足题意．故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．15.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞， D.()01，【答案】B 【分析】求出集合,A B 后可求其交集．【详解】由20x -≥得2x ≤，当0x ≤x >显然成立，当02x <≤时，由x >得22x x ->，解得01x <<，∴(,1)A =-∞，又()(){}|330B x x x =-+>(,3)(3,)=-∞-+∞ ，∴(,3)A B =-∞- ．故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是正确解无理不等式．16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B 【分析】根据新定义运算⊕判断．【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+，,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个．故选：B.【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．【答案】21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【分析】A B A ⋃=得B A ⊆，结合B ≠∅，可根据B 的各种情形分类讨论．【详解】由A B A ⋃=得B A ⊆，由于B ≠∅，∴{1}B =-或者{1}B =或者{1,1}B =-，若{1}B =-，则111(1)a b --=-⎧⎨-⨯-=⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，若{1}B =，则1111a b +=-⎧⎨⨯=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩，若{11}B =-，，则1111a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，即01a b =⎧⎨=-⎩，综上，21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查集合的并集，考查集合间的包含关系，解题关键是根据包含关系确定集合B 中各种可能．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．【答案】（1）21()2f x x x =+；（2）812t m =⎧⎨=⎩．【分析】（1）由()()2f x f x =--得出对称轴，结合点A 坐标可求得,a b ；（2）变形()f x t x -≤得21()02x t t --≤，显然0t >，直接解此不等式，由其解集为[4,]m 可求得,t m ．【详解】∵()()2f x f x =--，∴1x =-是()f x 图象的对称轴，又函数图象过点3(1,)2A ，∴1232baa b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴21()2f x x x =+；（2）2211()()()22f x t x x t x t x x t t --=-+--=--，由题意21()02x t t --≤的解集是[4,]m ，所以0t >，且由21()02x t t --≤得t x t -≤≤+∴4t t m⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得812t m =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查解一元二次不等式，掌握二次函数的性质是解题基础．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．【答案】（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件．【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ；（2）解不等式得集合,A B ，由A B =∅ 求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-；（2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+，若A B =∅ ，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥．∴12a ≥是A B =∅ 的充分非必要条件．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．20.设函数()f x =．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．【答案】（1）1a =时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()f x 是奇函数．；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．证明见解析．【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．根据奇偶性定义证明即可．【详解】（1）1a =时，1()11f x x =++，定义域为210110x x ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，11x -≤≤，此时()2x f x x =+，()2x f x x -=-+，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()22f x x =--，定义域为240220x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，22x -≤≤且0x ≠，此时()22f x x x ==---，()()f x f x x-==-，()f x 是奇函数．（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．与（1）类似，0a >时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得函数定义域是[,]a a -，()2f x x a =+，()2f x x a -=-+与()f x 既不相等也不是相反数，因此()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得定义域是[,0)(0,]a a - ，()a x f x x =-，()()a x f x f x x -==-，()f x 是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题基础．判断奇偶性时应先确定函数定义域，在定义域内函数有时可化简，从而易于判断．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k ++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）k 0<，B 能为有限集；44k -<<-B 中元素个数最少，{2,3,4,5}B =．【分析】（1）对k 分类讨论，利用解一元二次不等式的解法可得；（2）根据A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 为有限集，可得，求出21294k k k++最大值可得集合B 元素个数最少时的集合．【详解】（1）0k =时，不等式为9(211)0x -->．112x <，∴11(,2A =-∞，（2）k 0<时，()21294(21104k k k x x k++-->，又方程()21294()211=04k k k x x k ++--两根为211294k k x k++=，2112x =k 0<时，由对勾函数图象知2112919311()34422k k x k k k ++==++≤<，所以21291142k k x k ++<<，212911(,)42k k A k ++=，（3）0k >时，由21291142k k k ++>得01k <<或9k >，不等式的解为112x <或21294k k x k++>，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，当19k ≤≤时，21291142k k k ++<，不等式的解为112x >或21294k k x k++<，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．综上，k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）∵A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 能为有限集，当0k =时，11(,2A =-∞，此时AB =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当01k <<或9k >，211129(,(,)24k k A k++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当k 0<，212919()344k k k k k++=++,由对勾函数，知函数19(34y k k =++在(,3)-∞-上递增，在(3,0)-上递减，∴3k =-时，19()34y k k =++的最大值为193(3)3432y =-++=-，231112911(,)()2242k k k ++∴⊆，所以当21293142k k k ++<≤,即44k --<<-+B 中元素最少时，{2,3,4,5}B =．【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时需分类讨论，属于中档题．。
复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级
gg
A ．钠离子的电子式： ∶Na∶ gg
C．4 种 ）
D．5 种
gg
B ．氩原子的电子式： ∶Ar∶ gg
C．硼原子的结构示意图：
D ．氟离子的结构示意图：
4．电影《环太平洋》中“危险流浪者”号机甲采用核反应堆作为其能量来源。核 94
Pu
，下列说法中正确的是（
）
A．
241 94
称为 X 与 Y 的对称差）．已知 A y | y x2 2x，x R ，B y | 3≤ y ≤ 3 ，则 A△B __________ ．
11．已知集合 A x | x2 m 2 x 0，x R ，且 A∩ R
列问题：
（ 1）用容量瓶配制一定物质的量浓度的溶液，该容量瓶必须是
__________。
①干燥的
②瓶塞不漏水的
③用欲配制的溶液润洗过的
④以上三项均须要求的
（ 2）若用 Na2 CO3 10H 2O 来配制溶液，需要称量晶体 __________ 克。若所称取的晶体已经有一部分失
去了结晶水，则所配制的溶液浓度偏 __________ 。（填“大 /小”）
）
A ． a 射线是氦原子—— 粒子 B． b 射线是不显电性的电磁波 C． c 射线是带负电荷的电子流 D ．在科学家的不懈努力下人类打开了原子结构的大门
2．有 5 种微粒分别是
40 19
X
、
40 18
Z
、
40 19
Q
、
40 20
R
、
41 20
M
，它们分属（
）种元素。
A．2 种
B．3 种
3．下列微粒结构的表达方式中，正确的是（
Pu
答案版上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(2)
D. f x
x2 9 ， g x x 3 x3
【解析】A 选项对应关系不同， f x x ， g x x2 x ；C、D 选项定义域不相同.
x 3 x y 6 14、 是 成立的（ y 3 x y 9
2 x x 1
的定义域为_______.
【答案】 2,1
1, 2 ； 1,2 ，本题需注意定义域只能写成区间
2 x 0 2 x 2 【解析】由 ，即 x 2,1 x 1 x 1 0
或是集合的形式，避免写不等式的形式. 4、已知集合 A 1, 2,3, 4 ， B 1, 2 则满足 A C B C 的集合 C 有_______个. 【答案】4; 【解析】由条件 A C B C 可知， B B
复旦大学附属中学 2014-2015 学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷
（时间 90 分钟，满分 120 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 44 分）
6 1、用列举法表示集合 A a N* , a Z _______. 5 a
【答案】 1, 2,3, 4 ；
充要条件是“ a b 0 ”. 其中，正确结论的个数 是_______. ．． 【答案】3 个； 【解析】①正确，由于 2015 能够被 5 整除；②错误， 3 1 5 2 ，故 3 2 ；③正确， 将整数按照被 5 除分类，刚好分为 5 类；④正确. 10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费 p （万元）与仓库 到停车库的距离 x （公里）成反比，而每月库存货物的运费 k （万元）与仓库到停车库的距 离 x （公里）成正比. 如果在距离停车库 18 公里处建仓库，这两项费用 p 和 k 分别为 4 万元 和 144 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离 x _______公里. 【答案】 2 ； 【解析】 设 p 所以 p
上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一下学期期末数学试题(原卷版)
上海市复旦附中2014-2015高一年级期末考试数学试卷分析第二部分优秀试题精讲1.已知数列{}n a 满足:*434121,0,,N n n n n a a a a n --===∈,则2014a =___________.2.等差数列{n a }前n 项和为n S .已知1m a -+1m a +-2m a=0，21m S -=38,则m=_______.3.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.4.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ． 5.若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 （ ） A. {a 2k+1}B. {a 3k+1}C. {a 4k+1}D. {a 6k+1}6.已知点11,3⎛⎫⎪⎝⎭是函数()(0,1)xf x a a a =>≠图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足:当2n ≥时,都有1n n S S --=(1)求c 的值;(2)求证:为等差数列,并求出n b . (3)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在实数m ,使得对于任意的*N n ∈都有n T m ≥,若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说明理由.第三部分 试卷展示大学附属中学2014学年第二学期高一年级数学期来考试试卷一､填空题(每题4分,共48分7.求值：2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____．8.等比数列{}n a 中,若245,20a a ==,则6a =__________.9.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前10项和10S =________. 10.函数arccos 2y x =-的反函数为__________.11.已知数列{}n a 满足:*434121,0,,N n n n n a a a a n --===∈,则2014a =___________.12.等差数列{n a }前n 项和为n S .已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38,则m=_______.13.已知函数13()2sin 122f x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,1()f x -为()f x 的反函数,则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______(用反三角形式表示).14.方程sin 2cos ,[0,2]x x x π=∈的解集是____________. 15.函数y =的定义域为____________.16.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.17.当01x ≤≤时，不等式sin 2xkx π≥成立，则实数k 的取值范围是______________.18.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ． 二､选择题(每题4分,共16分)19.不等式tan 2x <<的解集是（ ） A. |arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B. 2|arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C. |22arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D. 2|2arctan 22,3x k x k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭20.对数列{}n a ,“0n a >对于任意*N n ∈成立”是“其前n 项和数列{}n S 为递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 非充分非必要条件21.设{(,)|cos(arccos )},{(,)|arccos(cos )}A x y y x B x y y x ====,则A B =I ( ) A. {(,)|,11}x y y x x =-≤≤ B. 11(,)|,22x y y x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭C. {(,)|,01}x y y x x =≤≤D. {(,)|,0}x y y x x π=≤≤22.若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 （ ） A. {a 2k+1}B. {a 3k+1}C. {a 4k+1}D. {a 6k+1}三､解答题(共5题,共56分)23.解方程:cos2cos sin x x x =+.24.已知方程240x ++=有两个实根12,x x ,记12arctan ,arctan x x αβ==,求αβ+的值.25.已知点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足:当2n ≥时,都有1n n S S --=(1)求c 的值;(2)求证:为等差数列,并求出n b . (3)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在实数m ,使得对于任意的*N n ∈都有n T m ≥,若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说明理由.26.某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为n a 万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为n b 万元,求n a 和n b ;(2)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元,进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元,求n A 和n B ;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?27.如果有穷数列123,,,m a a a a L (m 为正整数)满足1211,,m m m a a a a a a -===L ,即1(1,2,,)i m i a a i m -+==L ,那么我们称其为对称数列.(1)设数列{}n b 是项数为7的对称数列,其中,1234,,,b b b b 为等差数列,且142,11b b ==,依次写出数列{}n b 的各项;(2)设数列{}n c 是项数为21k -(正整数1k >)的对称数列,其中121,,,k k k c c c +-⋯是首项为50,公差为-4的等差数列.记数列{}n c 的各项和为数列21k S -,当k 为何值时,21k S -取得最大值?并求出此最大值;(3)对于确定的正整数1m >,写出所有项数不超过2m 的对称数列,使得211,2,2,,2m -⋯依次为该数列中连续的项.当1500m >时,求其中一个数列的前2015项和2015S .。
上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(A卷)
上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（A 卷）一、填空题1．关于x 的不等式()100ax a +<>的解集为．2．已知集合{}1,31M a =--，则实数a 的取值范围为．3．已知集合{}43A x x =-<≤，{}29B x x =>，则A B =．4．已知函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为．5．已知集合{}1,2,4C ⊆，且满足：“若x C ∈则2x C ∉”，则满足条件的集合C 的个数为．6．已知函数()13,1,4,1a x x y a x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩是(),∞∞-+上的严格增函数，则实数a 的取值范围为．7．若对一切实数x ，不等式12x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为．8．关于x 的不等式20ax bx c +->（a ，b ，c 均为实数）的解集为()1,3-，则关于x 的不等式220cx bx a -+<解集为．9．已知关于x 的不等式223220242024x x x ax ++-≥在0x >时恒成立，则实数a 的取值范围为．10．已知函数()y f x =定义在()0,∞+上，且对任意的1>0x ，20x >，12x x ≠，都有()()2112211x f x x f x x x ->-，()37f =，则不等式()22121f x x -≥-的解集为．11．已知函数()y f x =，[]0,1x ∈，且同时满足下列三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，都有()()11f x f x +-=成立；②对任意的[]0,1x ∈，都有()210x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立；③对于1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤成立，则20242025f ⎛⎫=⎪⎝⎭．12．已知正数a 、b 、c 满足24a b +=，1c >，则22bc c c a b +-+的最小值为．二、单选题13．如果0a b <<，那么下列不等式恒成立的为（）．A ．2ab a >B ．2ab b <C ．1111a b >++D ．11a b-<-14．设集合{}22,,Z M x x m n m n ==-∈，{}21,Z T t t k k ==+∈，则“t M ∈”是“t T ∈”的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要15．已知a ，b 为常数，且()2xf x ax b=+，满足()11f =．若关于x 的方程()2f x x =只有一解，则a b -的值的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对16．已知()341xf x x x =+++，若存在[]1,2a ∈，使得不等式()()2228f x ax f a x --+->能成立，则实数x 的取值范围为（）．A ．()(),02,-∞+∞B ．()(),12,-∞+∞C ．()2,+∞D ．(),1-∞三、解答题17．已知全集U =R ，集合103x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，2{|()(2)0}B x x a x a =---≤．(1)当12a =时，求A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．18．为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨．．的平均处理成本最低？(2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值．19．教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边AB 依墙脚线，围成ABC V 或围成四边形ABCD ．请完成以下问题：(1)如图1，围成ABC V ，两边之和12AC BC +=，且90ACB ∠=︒，求ABC V 的面积1S 的最大值；(2)如图2，围成平行四边形ABCD ，且12AD DC CB ++=，求平行四边形ABCD 的面积2S 的最大值．20．已知函数()a f x x x a =+-，其中a R ∈．（1）判断函数()a y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）记点()00,P x y ，求证：存在实数a ，使得点P 在函数()a y f x =图像上的充要条件是00y x ≥；（3）对于给定的非负实数a ，求最小的实数()l a ，使得关于x 的不等式(1)()a a f x f x +≥对一切[(),)x l a ∈+∞恒成立.21．若函数=的定义域、值域均为[],a b ，则称=为[],a b 上的方正函数；(1)若21322y x x =-+为区间[]()1,1b b >的方正函数，求实数b 的值；(2)是否存在实数对(),a b ，使得函数()1xf x x=-+为区间[](),a b a b <上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对(),a b ，若不存在，请说明理由；=-+，求非负实数a的取值范围，满足：存在实数(3)设=B2+B+，()2g x cx bx a,b c，使得(),()y f x y g x==均为[]1,1-上的方正函数．。
《解析》2014-2015学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷Word版含解析
2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是．2．不等式，当且仅当a=时，等号成立．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=．4．求值：=．5．函数的定义域为．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于016．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是﹣1．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取﹣1，0，1，看得到的集合N能否满足N⊊M，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值．解答：解：N⊊M，∴N的元素都是M的元素；若a=0，1时，显然不满足集合的互异性；若a=﹣1，则N={﹣1，1}，满足N⊊M；∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质．2．不等式，当且仅当a=±1时，等号成立．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立．故答案为：±1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知，求出函数g（x），h（x）的定义域，进而可得函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式．解答：解：∵函数g（x）=x﹣，（x≥﹣），h（x）=，（x≥﹣，且x≠0）∴函数f（x）=g（x）+h（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）故答案为：x+，（x≥﹣，且x≠0）点评：本题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个基本函数定义域对复合函数定义域的影响．4．求值：=4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算．解答：解：===．故答案为：4．点评：本题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法则的记忆与运用，是基础题．5．函数的定义域为（0，7）．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满足：解得：0＜x＜7故函数的定义域为（0，7）故答案为：（0，7）点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答本题的关键．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：由y=x2+1（x≤﹣1），得x2=y﹣1，∴x=（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．点评：本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=3．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立∴恒成立，即（a+1）2﹣4a≤0，可得（a﹣1）2≤0恒成立∴a=1，b=2；a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为6．考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由题意应对a进行分类：a=0时和a≠0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值．解答：解：①当a=0时，∵f（﹣1）=f（3），∴函数f（x）是常函数，即a=b=0，∴f（x）=6，则f（2）=6，②当a≠0时，则函数f（x）是二次函数，∵f（﹣1）=f（3），∴f（x）的对称轴是：x=1，∴f（2）=f（0）=6，综上得，f（0）=6故答案为：6．点评：本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f（2）=f（0）求解，易错点易忘对a进行讨论．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），再由函数的解析式可得对称中心是（a，1 ），比较可得a的值解答：解：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），又函数f（x）==1+的对称中心是（a，1 ），∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为（a，1）是解题的关键，是基础题．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．考点：反函数．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x 互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求也m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故答案为﹣．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；此时f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故答案为：奇函数点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件．解答：解：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，0，a≥0，“a=0”⇒“a≥0”，反之不成立．故选A点评：本题考查充要条件的判断，属基本题．14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）考点：抽象函数及其应用．分析：因为所给选项为比较函数值的大小，所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此分析f（4+x）=f（4﹣x）的含义也就成了解答本题的关键．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=4对称，∴f（2）=f（6），f（3）=f（5），又∵f（x）在（4，+∞）上为减函数，∴f（5）＞f（6），∴f（5）=f（3）＞f（2）=f（6）．故选D．点评：（1）f（a+x）=f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）f（a+x）=﹣f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点（a，0）对称；（3）f（a+x）=f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=对称；（4）f（a+x）=﹣f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点对称．特别地，当a=b=0时，有f（﹣x）=f（x）及f（﹣x）=﹣f（x），f（x）分别表示偶函数与奇函数．15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．解答：解：由于实数x0是方程f（x）=0的解，则f（x0）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），即有f（x1）＞0，故选C．点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．16．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：把已知利用对数的运算性质变形求解log a2，log a11的值，然后利用对数的换底公式得到log211．解答：解：∵log a484=m，∴，即①，又log a88=n，∴log a8+log a11=n，即3log a2+log a11=n②，联立①②得：，．∴log211===．点评：本题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的计算题．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．考点：其他不等式的解法；函数的图象．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集．解答：解：（1）对于函数f（x）=，当x≥0时，f（x）=（x﹣3）（x﹣1）；当x＜0时，f（x）=﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣﹣，故函数f（x）的图象如图所示．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}．点评：本题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．解答：解：y′=1﹣=，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴函数在x=时取得最小值，∴+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，∵x≥4，不合题意，∴x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．解答：解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，得到f（﹣x）=﹣f（x），解方程即可求a的值；（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，则+=0，即﹣a﹣2x+a•2x+1=0，则（1﹣a）（1﹣2x）=0，∵x≠0，∴1﹣a=0．即a=1．此时f（x）=．（2）由y=得（2x﹣1）y=2x+1．即y•2x﹣y=1+2x，即（y﹣1）•2x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，∴y≠1，则2x=，由2x=＞0得y＞1或y＜﹣1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由2x=，得x=log2，即f（x）的反函数f﹣1（x）=log2，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）∵f﹣1（x）＞log2．∴log2＞log2．①若k＞0，则x+1＞0，即x＞﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＞1，此时不等式等价为＞，即，则0＜x﹣1＜k，即1＜x＜k+1，②若k＜0，则x+1＜0，即x＜﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＜﹣1，此时不等式等价为＞，即＜，则x﹣1＞k，即﹣1＞x＞k+1，综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），若k＜0，不等式的解集为（1+k，﹣1）．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为，值域为（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；若a，b∈，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，又f（x）=，①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2﹣x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈，而f（1）=0∈不可能，此时a，b也不存在．综上可知，符合条件的实数a，b不存在；（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0）．由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），∵f（x）=1﹣在∈（1，+∞）上为增函数∴，即，∴a，b是方程mx2﹣x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，∴，解之得0＜m＜，故实数m的取值范围是（0，）．点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．。
2014-2015学年上海市复旦附中高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= ．4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= ． 5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 ． 6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 ．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 ． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 ．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝ ．10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 ．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ ．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 ．二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件．A ．1B ．2C ．3D ．415．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)； （2）sin2α﹣2cos 2α．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C=π3．（1）若△ABC的面积为√3，求a，b；（2）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，求a，b．21．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k＝{a|f（x）＝ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利用条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α． 解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513， ∴sec α=135． 故答案为：135．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ． 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ． 故答案为：6．【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= 13． 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 解：∵cos α=−13，则sin(3π2−α)=−cos α=13， 故答案为：13．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题． 4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= −√210．【分析】由题意和同角三角函数的基本关系可得sin α，代入两角差的余弦公式计算可得． 解：∵cos α=−45，α∈(π2，π)，∴sin α=2α=35， ∴cos(α−π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=−45×√22+35×√22=−√210 故答案为：−√210．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 34．【分析】设等腰三角形顶角为α，由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos α2的值，可得sin α2和tan α2的值，从而求得这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）的值．解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为π−α2=π2−α2，且cos α=−725，∴α为钝角． 再根据cos α=−725=2cos 2α2−1，求得cos α2=35，∴sin α2=45，tan α2=43， ∴这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）＝cot α2=1tanα2=34，故答案为：34．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 [k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ． 【分析】先根据正弦函数的单调性求得函数y ＝sin （2x −π3）的单调增区间，进而求得函数 y ＝sin （π3−2x ）的单调递减区间．解：由题意可得：y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3），由正弦函数的单调性可知y ＝sin （2x −π3）的单调增区间为[2k π−π2，2k π+π2]，k ∈Z即[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z所以y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3）的减区间为[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ，故答案为：[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ．【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性．考查了学生对正弦函数基本性质的理解，属于基本知识的考查．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 [﹣4，﹣π）∪（0，π） ．【分析】根据函数y =√16−x 2−lgsinx ，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 解：∵函数y =√16−x 2−lgsinx ， ∴{16−x 2≥0sinx ＞0， 解得{−4≤x ≤42kπ＜x ＜π+2kπ，k ∈Z ，即﹣4≤x ＜﹣π或0＜x ＜π；∴y 的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）． 故答案为：[﹣4，﹣π）∪（0，π）．【点评】本题考查了根据觳觫的解析式求函数定义域的应用问题，是基础题目． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 （﹣∞，13]∪[3，+∞） ．【分析】此为y =acosx+bccosx−d型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解．或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解． 【解答】解法一：原函数变形为y =1+22cosx−1，∵|cos x |≤1，可直接得到：y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．解法一：原函数变形为cosx =y+12(y−1)， ∵|cos x |≤1，∴|y+12(y−1)|≤1，∴y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，13]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，考查分式函数含三角函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝π3．【分析】利用正弦定理将2a−c b转化为2sinA−sinCsinB，再利用两角和与差的正弦函数即可求得角B ．解：∵在△ABC ，cosC cosB=2a−c b，由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC=2R 得：2a−c b=2sinA−sinCsinB ，∴cosCcosB=2sinA−sinCsinB，∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，又在△ABC ，B +C ＝π﹣A ， ∴sin （B +C ）＝sin A ≠0，∴cos B =12，又B ∈（0，π），∴B =π3． 故答案为：π3．【点评】本题考查正弦定理与两角和与差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 √2 ．【分析】设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1），x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2），求出|MN |的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值． 解：设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1）， x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2）， 则|MN |＝|y 1﹣y 2|＝|sin a ﹣cos a | =√2|sin （a −π4）|≤√2． 故答案为：√2．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ 4sin （π6x −2π3） ．【分析】根据三角函数的图象确定A ，ω和φ的值即可得到结论． 解：由图象知A ＝4，T ＝2[4﹣（﹣2）]＝12， 则T =2πω=12，即ω=π6， 则f （x ）＝4sin （π6x +φ）， 由五点对应法得π6×4+φ＝0，即φ=−2π3， 故f （x ）＝4sin （π6x −2π3），故答案为：f （x ）＝4sin （π6x −2π3）．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 [37π2，41π2） ．【分析】根据正弦函数的周期性和最大值的性质，建立不等式关系进行求解即可． 解：若函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值， 则满足9T +T 4≤1，且10T +T4＞1， 即T ≤437且T ＞441， 即441＜T ≤437，441＜2πω≤437，解得37π2≤ω＜41π2， 故答案为：[37π2，41π2），【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．注意对三角函数基础知识如周期相，对称性，单调性等知识的点熟练掌握． 二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |【分析】由条件利用二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．解：由于y ＝x 3tan x 为偶函数，故排除A ；由于y ＝|sin x |是偶函数，故排除B ； 由于y ＝﹣2sin x cos x ＝﹣sin2x 是奇函数，且还是以π为周期的函数，故满足条件； 由于y ＝tan|x |是偶函数，故排除D ， 故选：C ．【点评】本题主要考查二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题． 14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：①∠A ＞∠B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，故①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件成立，故①正确，；②y ＝cos x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cos A ＜cos B ，反之也成立，故②正确； ③若∠A ＝120°，∠B ＝45°，满足∠A ＞∠B ，但tan A ＞tan B 不成立，即充分性不成立，故③错误；④y ＝cot x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cot A ＜cot B ，反之也成立，故④正确； 故真命题的个数为3， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 15．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ）A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得y ＝cos （2x −π4）＝sin （2x +π4），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案．解：∵y ＝cos （2x −π4）＝sin[（2x −π4）+π2]＝sin （2x +π4），∴若函数y ＝sin2x ＝f （x ），则函数g （x ）＝sin （2x +π4）＝sin[2（x +π8）]＝f （x +π8）． 因此，将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得y ＝sin （2x +π4）的图象，即函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos （2x −π4）的图象．故选：A ．【点评】本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离．着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题． 16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a |，周期为2π|a|，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象． 解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：T =2π|a|，∵|a |＞1，∴T ＜2π， 而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π． 对于选项A ，a ＜1，T ＞2π，满足函数与图象的对应关系， 故选：D ．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键． 三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）【分析】由题意作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，从而由图象写出函数的单调区间．解：作函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象如下，结合图象可知，函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |在（π2，π）上单调递增，在（π，3π2）上单调递减．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了函数图象的应用，属于中档题．18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．【分析】由tan(α+π4)=3可求得tanα=12，（1）利用诱导公式化简cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=cosα+sinαcosα−sinα，再“弦”化“切”即可；（2）利用二倍角的正弦将sin2α﹣2cos2α化为2sinαcosα﹣2cos2α，再将分母除以1＝sin2α+cos2α，“弦”化“切”即可．解：∵由tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=3得tanα=12，于是：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=−cosα−sinαsinα−cosα=cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=3；（2）sin2α﹣2cos2α＝2sinαcosα﹣2cos2α=2sinαcosα−2cos2αsin2α+cos2α=2tanα−2tan2α+1=−45．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及变形公式的应用，利用诱导公式及sin2α+cos2α＝1实现角α的正弦、余弦的互化、利用tanα可以实现角α的弦切互化是关键，属于中档题．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．【分析】（1）利用三角函数对称轴的性质确定x0的值，然后代入求值即可．（2）求出函数h（x）＝f（x）+g（x）的解析式，由x∈(−π2，0)，可得2x+π3的范围，由正弦函数的图象和性质即可得解．解：（1）f（x）＝cos2（x+π12）=12+12cos(2x+π6)，由2x+π6=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=kπ2−π12，k∈Z．因为x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，所以x0=kπ2−π12，k∈Z．所以g（x0）＝1+12sin2（kπ2−π12）＝1+12sin（kπ−π6），若k 是偶数，则g （x 0）＝1+12sin （−π6）=34，若k 是奇数，则g （x 0）＝1+12sin （5π6）=54．（2）h （x ）＝f （x ）+g （x ）=12+12cos （2x +π6）+1+12sin2x =32+12sin （2x +π3）． 因为x ∈(−π2，0)，所以：2x +π3∈（−2π3，π3），sin （2x +π3）∈[﹣1，√32），所以：h （x ）∈[1，6+√34）．【点评】本题主要考查三角函数的化简以及倍角公式，辅助角公式的应用，综合性较强，属于中档题．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C =π3．（1）若△ABC 的面积为√3，求a ，b ； （2）若sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，求a ，b ．【分析】（1）由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①，由△ABC 的面积公式可得：√3=12ab sin C ，解得：ab ＝4，②，②代入①可解得：a +b ＝4，③，由②③可解得b ，a 的值． （2）利用两角和与差的正弦函数化简已知等式可得cos A （sin B ﹣sin A ）＝0，可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，当cos A ＝0时，结合0＜A ＜π，可得A 为直角，结合已知即可求得a ，b 的值，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得a ＝b ，由余弦定理即可得解． 解：（1）∵c ＝2，C =π3．∴由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①∵△ABC 的面积为√3=12ab sin C =12×√32ab ，解得：ab ＝4，②∴②代入①可得：a 2+b 2＝8，从而（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝16，解得：a +b ＝4，③ ∴由②③可解得：b ＝2，a ＝2．（2）∵sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，sin C ＝sin （A +B ）∴sin A cos B +cos A sin B +sin B cos A ﹣cos B sin A ＝2sin A cos A ，整理可得：cos A （sin B ﹣sin A ）＝0， ∴可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴当cos A ＝0时，由0＜A ＜π，可得A =π2，又c ＝2，C =π3，可得：b =ctanC =3=2√33，a =c sinC =232=4√33，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得：a ＝b ，又c ＝2，C =π3，由余弦定理可得：4＝2a 2﹣a 2，解得：a ＝b ＝2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．21．设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意的x ∈R 恒成立，且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．（1）求证：f （x ）是以2为周期的函数（不需要证明2是f （x ）的最小正周期）； （2）对于整数k ，当x ∈[2k ﹣1，2k +1]时，求函数f （x ）的解析式；（3）对于整数k ，记M k ＝{a |f （x ）＝ax 在x ∈[2k ﹣1，2x +1]有两个不等的实数根}，求集合M 2015．【分析】（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）可得结论． （2）先求出x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]，根据f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ）可求解．（3）将方程f （x ）＝ax 转化为二次函数，利用二次函数根的分布求a 的取值集合． 解：（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ） 所以：f （x ）是以2为周期的函数；（2）∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数 ∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝x 2， ∴x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，∵f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ），k ∈Z 设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]， ∴f （x ﹣2k ）＝（x ﹣2k ）2，即f （x ）＝（x ﹣2k ）2，x ∈[2k ﹣1，2k +1]（k ∈Z ），（3）当k ∈N *，且x ∈I k 时，方程f （x ）＝ax 化简为x 2﹣（4k +a ）x +k 2＝0， 设g （x ）＝x 2﹣（4k +a ）x +k 2，使方程f （x ）＝ax 在I k 上有两个不相等的实数根， 则{△=a(a +8k)＞02k −1＜k+a 2≤2k +1g(2k −1)=1−2ak +a ＞0g(2k +1)=1−2ak −a ≥0，解得0＜a≤12k+1，当k＝2015时，∴集合M2015＝（0，14031]【点评】本题主要考查函数周期性的应用，以及二次方程根的分布问题，考查学生的转化能力，综合性较强，属于中档题．。
2024学年复旦大学附中高一数学上学期11月期中检测卷及答案解析
2024~2025学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中检测卷B 数学试卷（考试时间120分钟 满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、卡西欧计算器、考试中途不得传借文具.2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分.3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰，作答在试卷上一律不评分.一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1. (){}(){},|5,R ,,|1,R A x y y kx x B x y y kx x ==+∈==+∈，则A B = _______【答案】∅【解析】【分析】根据一次函数函数值的图象性质，确定集合的交集即可.【详解】对于函数5y kx =+与函数1y kx =+k 相同，则函数图象表示的直线平行且不重合，所以两个图象没有交集；故A B =∅ .故答案为：∅.2. 若实数x ，y 均在[-2，1]的区间内，则xy 的取值范围为_______.【答案】[]2,4-【解析】【分析】根据x y 、的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围.【详解】由题意得21x -≤≤，21y -≤≤；当01x <≤，01y <≤时，01xy <≤；当20x -≤<，20y -≤<时，02x <-≤，02y <-≤，此时04xy <≤；当01x <≤，20y -≤<时，02y <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当20x -≤<，01y <≤时，02x <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当0x =或0y =时，0xy =；综上所述：24xy -≤≤的故答案为：[]2,4-3. 甲、 乙两人同时解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=.甲写错了常数b ，得两根为14及18；乙写错了常数c ，得两根12及64，则这个方程的真正的根为___________【答案】4或8【解析】【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解.【详解】原方程可变形为：222log log 0,x b x c ++= 甲写错了b ，得到根为14及18，()()2211log log 23648c ∴=⨯=-⨯-=；又 乙写错了常数c ，得到根为12及64，221log log 6452b ⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭；∴原方程为222log 5log 60x x -+=，即()()22log 2log 30x x --=，2log 2x ∴=或2log 3x =，4x ∴=或8.故答案为：4或8.4. 已知实数m 为常数，对于幂函数()()21m f x m m x =--，甲说：f (x )是奇函数；乙说：f (x )在()0,∞+上单调递增；丙说：f (x )的定义域是R ，甲、乙、丙三人关于幂函数f (x )的论述只有一人是错误的，则m 的取值集合为________.【答案】{}2【解析】【分析】利用幂函数的定义可求得m 的值，根据m 的值分类讨论即可.【详解】由()()21m f x m m x =--是幂函数，得211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()11f x x x-==，此时函数()f x 是奇函数，在()0,∞+单调递减，定义域为()(),00,-∞+∞ ，此时乙和丙论述是错误的，甲的论述是正确的，故1m =-不符合题意；当2m =时，()2f x x =，此时函数()f x 是偶函数，在()0,∞+单调递增，定义域为R ，的此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故2m =符合题意；综上所述，m 的取值集合为{}2，故答案为：{}25. 若对任意正实数a ，b ；不等式2214a b ab k +≥恒成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形得14a b k b a ≤+，利用基本不等式求4a b b a+的最小值，进而解决恒成立问题.【详解】因为0a >，0b >，所以由2214a b ab k +≥，得41a b b a k +≥，即14a b k b a ≤+恒成立；由基本不等式得44a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时，等号成立；因此4a b b a +的最小值为4，则14k ≤，解得0k <或14k ≥；故答案为：()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭6. 已知正实数a ，b ；若141a b+=，则1114a b +--的最小值为________.【答案】1【解析】分析】由141a b+=得4b a ab +=，则41a a b -=，4b b a -=，代入1114a b +--后利用基本不等式求最小值即可.【详解】由141a b +=，得4b a ab +=，则()41a b a =-，即41a a b -=，同理可得4b b a -=；因此，由基本不等式可得111144b a a b a b +=+≥=--，当且仅当4b a a b=，即3,6a b ==时，等号成立；故答案为：17. 若函数21,0()1,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为(0)f ，则实数m 的取值范围为________.【【答案】[]1,0-【解析】【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果.【详解】当0x ≤时，()21f x x mx =++关于2m x =-对称，若最小值为(0)f ，可知02m -≥，即可得0m ≤；又当0x >时，()12f x x m m m x =++≥+=+，当且仅当1x =时等号成立；若最小值为(0)f 可得(0)2f m ≤+，即12m ≤+，解得1m ≥-；综上可知，实数m 的取值范围为[]1,0-.故答案为：[]1,0-8. 已知函数b y x=-在()0,∞+上都是严格减函数，则对于()1b f x x b =+-，f (1)___0.（选填“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”）【答案】<【解析】【分析】由函数b y x=-的单调性得实数b 的取值范围，进而判断()1f 的符号.【详解】由函数b y x =-在()0,∞+上都是严格减函数，得0b ->，即0b <；对于函数()1b f x x b =+-，有()1110bf b b =+-=<，故答案为：<9. 设a 为实数，函数()(),02,01g x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =__．【答案】221x ---【解析】【分析】根据()00f =可求a ，再由0x >时()()g x f x =--可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()020f a =+=，所以2a =-.当0x >时，220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭．故答案为:221x ---.10. 下列关于不等式的命题是假命题的序号为______.（1）若110a b<<，则0a b +<，2ab b <；（2）用反证法证明a =0或b =0时可假设ab ≠0；（3）若a ，b 为正数，则3322a b a b ab +>+；（4）设,R x y ∈，若426x x y y +-++-≤，则xy 的取值范围为[]0,6.【答案】（3）（4）【解析】【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）.【详解】对于（1），由110a b<<得0b a <<，则0a b +<成立且0ab >，故()20b ab b b a -=->，即2ab b <成立，因此（1）为真命题；对于（2），当0ab ≠不成立时，有0ab =成立，即0a =或0b =，故（2）为真命题；对于（3），()()()332222a b a b ab a a b b b a +-+=-+-()()()()222a b a b a b a b =--=-+，显然，当a b =时，3322a b a b ab +>+不成立，故（3）为假命题；对于（4），假设4x =，2y =，此时426x x y y +-++-=，满足426x x y y +-++-≤，8xy =不满足[]0,6xy ∈，故（4）为假命题；故答案为：（3）（4）11. 若方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______.【答案】{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞【解析】【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可.【详解】①0a =时，由题意知方程0bx c +=有唯一的实数根2，此时0b ≠，且20b c +=，得不等式20bx b -≥，即()20b x -≥，则当0b >时，2x ≥；当0b <时，2x ≤.②当0a ≠时，由题意知方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，即二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点(2,0)，当0a >时，不等式20ax bx c ++≥的解集为R ，当0a <时，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2，综上所述，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞；故答案为：{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞12. 若两个函数()y f x =和()y g x =对任意[,]x a b ∈都有|()()|1f x g x -≤，则称函数()y f x =和()y g x =在[],a b 上是“密切”的，已知常数1m >，若函数()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[]1,2上是“密切”的；则m 的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】因为()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[1,2]上是“密切”的，所以()12133x x x m m m ---≤在[1,2]上恒成立，即13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；因为1m >，[1,2]x ∈，所以由指数函数的单调性得2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，2111,x m m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；根据对勾函数的性质可得，函数1x x y m m=+在[)1,x m ∈+∞上单调递增，又因为2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，且1m >，所以函数1x x y m m=+在2,m m ⎡⎤⎣⎦上单调递增；所以当2x m m =时，函数1x x y m m =+取最大值，最大值为221m m +，所以2213m m+≤，即42310m m -+≤，所以223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得232m ≤-≤2m ≤≤，所以222m ≤≤m ≤≤；故答案为：二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13. 命题m ：两个幂函数有三个公共点，命题n ：两个幂函数相同，则命题m 是命题n 的（ ）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也非必要【答案】B【解析】【分析】利用常见的幂函数3y x =和y x =可说明不充分，再说明必要性即可.【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点，自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以n m ⇒；反之，若两个幂函数有三个公共点，例如3y x =和y x =，它们有三个公共点(0,0)，(1,1)，(1,1)--，但这两个幂函数并不相同，所以m n ¿.综上所述，命题m 是命题n 的必要不充分条件.故选：B14. 函数2y ax bx =+与函数()0ay x b a =+≠在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同.【详解】A 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <<，由指数型函数图像可知：0,0a b ，A 选项错误；B 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <=，B 选项错误；C 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b ，C 选项正确；D 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <<，D 选项错误；故选：C.15. 函数222()1x xf x x --=-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项.【详解】由210x -≠得()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，因为222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条虚线的方程为1x =±，则当2x =时，5(2)04f =>，排除C ，所以B 选项符合.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在R 上的解析式可表示为：()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ）①狄利克雷为偶函数；②狄利克雷为奇函数；③狄利克雷函数值域为[]0,1；④对于任意R x ∈，均有()()1f f x -=.⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出.⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点.A. ①③④⑥B. ②③⑤C. ①④D. ①④⑥【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断①②；求得值域判断③；分类计算可判断④；根据狄利克雷函数特点可判断⑤；取特殊点可判断⑥.【详解】由于()1,Q 0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩，设任意Q x ∈，则x -∈Q ，()1()f x f x -==；设任意x ∉Q ，则x -∉Q ，()0()f x f x -==；总之，对于任意实数，()()f x f x -=恒成立，所以狄利克雷函数为偶函数；故①正确，②错误；函数()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩的值域为{0,1}，故③错误；当Q x ∈时，x -∈Q ，可得(())(1)1f f x f -==，当x ∉Q 时，x -∉Q ，(())(0)1f f x f -==，所以对于任意R x ∈，均有(())1f f x -=，故④正确；因为在两个有理数之间有无数个无理数，在两个无理数之间有无数个有理数，故狄利克雷函数的图像不可以通过列表描点法画出，故⑤错误；取()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，故⑥错误.故选：C三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）17. 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命.（1）设log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，求：log ab c 的值；（2）已知221x y +=，且,0x y >，若()log 1a x m +=，1log 1a n x=-，求：log a y 的值.【答案】（1）13 （2）2m n-【解析】【分析】（1）根据韦达定理列出关于log a c 和log b c 的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可；（2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可.【小问1详解】因为log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，所以由韦达定理得log log 3log log 1a b ab c c c c +=⎧⎨⋅=⎩，由log log 1a b c c ⋅=得11log log c c a b=⋅，则log log 1c c a b ⋅=；由log log 3a b c c +=得113log log c c a b +=，所以log log log log 3log log c c c c c c a b a b a b⋅⋅+=，即log log 3c c a b +=，则111log log log log 3ab c c c c ab a b ===+.【小问2详解】由()log 1a x m +=，得1m a x =+，由1log 1an x =-，得11n a x =-，则1n a x -=-；所以()()22111m n a a x x x y -⋅=+-=-=，即2m n y a -=，故211log log log 222m n a a a m n y y a --===.18. 对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径：（1）已知函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，求：实数a 的取值范围；（2）求证：对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .【答案】（1）[)16,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知()0,∞+函数()24g x ax ax =-+的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可；（2）利用作差法比较()(),f x g x 的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式.【小问1详解】令()24g x ax ax =-+，由函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，得()(){}0,y y g x ∞+⊆=；当0a =时，()4g x =，不符合题意；当0a ≠时，由二次函数的性质得20Δ160a a a >⎧⎨=-≥⎩，解得16a ≥，则实数a 的取值范围是[)16,+∞.【小问2详解】由题意，()()log log a b f x g x x x -=-()lg lg 11lg lg lg lg lg x x x a b a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()lg lg b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为0b a >>，所以1b a >，则lg 0b a>；①当01a b <<<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，区间()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；②当1a b <<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；综上所述，对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，在则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .19. 已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）能；2k =-，B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A .（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.【小问1详解】当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k >+}；当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}．【小问2详解】由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．20. 某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x 万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y （万元），通过市场统计调查得出：当0＜x ≤20时，y =x 2+40x -100；当x ＞20时，y =81x +1600x-600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出.（1）设2024年该童装生产线的利润为W （2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W 的函数解析式及其定义域；（2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，定义域为(0,+∞)（2）40万套， 520万元【解析】【分析】（1）根据80300W x y =--分段代入计算即可；（2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可.【小问1详解】当020x <≤时，()28040100300W x x x =-+--240200x x =-+-；当20x >时，16008081600300W x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭1600300x x =--+；所以W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，且定义域为(0,+∞).【小问2详解】当020x <≤时，生产线利润240100P x x =-++，易知二次函数开口向下，对称轴20x =，所以当20x =时，W 有最大，最大值为500；当20x >时，16001600600600P x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭600520≤-+=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，此时W 的最大值为520；综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元21. 设()()()()()00g x x f x h x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜，则称()()()()()00h x x F x g x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜为()f x 的“域反函数”.（1）若()()()()121020m x x f x m x x ⎧⎪+≥=⎨+⎪⎩（）＜，若()()2m h x m x =+是幂函数，求：()f x 的“域反函数”的定义域与值域；（2）若()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，试判断()f x 的“域反函数”()F x 的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）；（3）是否存在整数a 使得()bf x ax c =+ (其中a ，c 为常数，b 为素数)的“域反函数”在R 上为偶函数，且满足()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）定义域为[)()1,00,-+∞ ，值域为[)0,+∞（2）函数()F x 为奇函数，猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为偶函数.（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据函数()x 是幂函数可得实数m 的值，根据域反函数的定义以及常见幂函数的定义域和值域可求函数()F x 的定义域和值域；（2）根据函数奇偶性的定义判断，再据此给出猜想即可；（3）根据（2）可得函数()f x 为偶函数，则()2f x ax c =+，利用二次函数的图象与性质列不等式，解得10a -<<，进而判断.【小问1详解】由函数()()2mh x m x =+是幂函数，得21+=m ，解得1m =-，则()11h x x x-==，因此函数()()1211,0,0x x f x x x -⎧⎪+≥=⎨<⎪⎩，由域反函数的定义得：当0x ≥时，()1F x x -=，此时自变量x 应满足0x >；当0x <时，()()121F x x =+，此时自变量x 应满足10x +≥，解得1x ≥-；综上，()f x 的域反函数()F x 的定义域为[)()1,00,∞-⋃+，且()()112,01,10x x F x x x -⎧>⎪=⎨+-≤<⎪⎩，当0x ≥时，由幂函数1y x -=的性质可知0y >；当10x -≤<时，幂函数()121y x =+单调递增，则01y ≤<；因此函数F (x )的值域为[)0,∞+，即函数()f x 的域反函数的值域为[)0,∞+.【小问2详解】由()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，得()()1f x x x x x x =+=+，根据定义得()22,0,0x x x F x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，化简得()()1f x x x =-，故函数()F x 的定义域为R ，又()()()1F x x x F x -=--=-，则函数F (x )为奇函数；又函数()f x 的定义域为R ，且()()()1f x x x f x -=-+=-，则函数()f x 为奇函数；猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.证明如下：若()f x 是奇函数，所以当0x <时，有f (―x )=―f (x )，即()()h x g x =--.同理，当0x ≥时，有f (―x )=―f (x )，即()()g x h x -=-.当0x >时，0x -<，所以()()()()F x g x h x F x -=-=-=-；当0x <时，0x ->，所以()()()()F x h x g x F x -=-=-=-；当0x =时，由于()f x 是奇函数，所以()00f =，那么()()()0000F g h ===，也满足()()F x F x -=-，所以对于所有在其定义域内的x ，都有()()F x F x -=-，所以F (x )是奇函数.类似地，可证明当F (x )是奇函数时，()f x 是奇函数，所以()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，同理可证：()f x 为偶函数充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.【小问3详解】不存在整数a 满足题意，理由如下：由（2）可知()f x 是偶函数，又b 为素数，则2b =，故()2f x ax c =+，又由()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，得20114a ax x <⎧⎪⎨<+⎪⎩，解得10a -<<，故不存在整数a 满足条件.的。
2014-2015学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空：(每题4分，共44分)1.用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．2.命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．3.函数y =__________．4.已知集合1,2,3,4A ＝｛｝、1,2B ＝｛｝,满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有___个5.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____6.已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q = __________．7.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 成立，则a 的取值范围是__.8.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则不等式20cx bx a -+>的解集为_________9.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈，②[]33-∈，③[][][][][]01234Z = ，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈.其中正确的个数是___________10.某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x =________公里.11.设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．二、选择题：(每题4分，共16分)12.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）.A.如果a b >，b c >，那么a c> B.如果0a b >>，那么22a b >C.对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立 D.如果a b >，0c >那么ac bc>13.设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A.()(),f x x g x == B.()()()22,xf xg x x==C.()()()01,1f x g x x ==- D.()()29,33x f x g x x x -==-+14.123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件15.在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.44a -≤≤B.97a a ≥≤-或C.24a a ≤-≥或 D.24a -<<三、解答题16.解方程：212324x x +-=17.若关于x 的不等式：21241(0)x x k k k +-≥+≠（1）解此不等式；（2）若21242{|1}x x x k k+-∈≥+，求实数k 的取值范围.18.已知，其中(){}22112,2103x P x Q x x x m ⎧⎫-=-≤=-+-≤⎨⎬⎩⎭，其中全集U =R ，若U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19.现有A B C D 、、、四个长方体容器，AB 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；CD 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、(其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20.定义实数,a b 间的计算法∆则如下：2,,a a ba b b a b≥⎧∆=⎨<⎩（1）计算()231∆∆（2）对x z y <<的任意实数,,x y z ，判断等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆是否恒成立，并说明理由：（3）写出函数()()12y x x x =∆∆-∆的解析式，其中22x -≤≤并求其值域.21.已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>.（1）求证：1110a b b c c a++>---；（2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110p a b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之；（3）现换个角度推广：正整数m n P 、、满足什么条件时，不等式0m n pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出条件并证明之.复旦大学附属中学2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空：(每题4分，共44分)1.用列举法表示集合*6,5A a N a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．【答案】{}1,2,3,4-【分析】对整数a 取值，并使65a-为正整数，这样即可找到所有满足条件的a 值，从而用列举法表示出集合A ．【详解】因为a Z ∈且*65N a∈-所以a 可以取1-，2，3，4.所以{}1,2,3,4A =-故答案为：{}1,2,3,4-【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z 表示整数集，属于基础题.2.命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．【答案】若21x ≠，则1x ≠【详解】根据逆否命题的写法：既否条件又否结论，原命题的否命题为若21x ≠，则1x ≠.故答案为若21x ≠，则1x ≠.3.函数y =【答案】[)(]2,11,2- 【分析】函数的定义域满足被开方数非负和分母不为0得到不等式组，从而可得函数的定义域.【详解】函数y =2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠所以函数y =[)(]2,11,2-故答案为：[)(]2,11,2- 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题.4.已知集合1,2,3,4A ＝｛｝、1,2B ＝｛｝,满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有___个【答案】4由条件A C B C ⋂=⋃可知：B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃⊆⋂⊆（）（）（）（），则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}4，的子集的个数，共4个．5.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】116211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.6.已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q = __________．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先求出不等式3x -≥的解集即为集合P ，根据数轴标根法求出()()()12340x x x +-->的解集，即求出集合Q ，由交集的运算求出P Q .【详解】由3x -≥()2103031x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得：12x ≤≤，即[]1,2P =.用数轴标根法解()()()12340x x x +-->得312x -<<或4x >.()31,4,2Q ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭ 。
1001-复旦附中高一期中考(2014.11)
Tony 状元课堂
专业成就未来
复旦附中 2014 学年高一上学期数学期中试卷
（时间 90 分钟，满分 120 分） 一. 填空题（每小题 4 分，共 44 分） 1. 用列举法表示集合 A a 【答案】 1, 2,3, 4 ； 【解析】由
6 N* , a Z _______. 5a
k 2 k2 2 k k 4 ，解之 2 k 3 ；或 k 2 k 4 ，解之 0 k 2 .综上 k 0,3 . 2 2 k 2 k 2
18.（本题满分 10 分）已知 P x 1
x 1 2 ， Q x x 2 2 x 1 m2 0 ，其中 3 m 0 ，全集 U R ，若“ x U P ”是“ x U Q ”的必要不充分条件，求实数 m 的取值
三. 解答题（共 6 大题，满分 60 分） 16.（本题满分 8 分）解关于 x 的方程：
1 2 x 2x 3 2 . 4
x 1.5 x 1.5 【解析】 1 2 或 1 2 ，解之 x 2 或 x 4 2 3 . x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 4 4
10, ， U Q x x2 2 x 1 m2 0 ，
令 x 2 2 x 1 m2 0 的根为 x1 , x2 x1 x2 ，则必有 x1 2 10 x2 ， 解之 m , 9
【解析】设 Px m ，
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2014-2015年上海市复旦大学附中高一(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）用列举法表示集合=．2．（4分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是．3．（4分）函数y=的定义域为．4．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C 有个．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．6．（4分）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q=．7．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a 的取值范围是．8．（4分）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．9．（4分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是．10．（4分）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p （万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p和k分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x=公里．2二、选择题（每题4分，共16分）12．（4分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣314．（4分）是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（4分）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（）A．﹣4≤a≤4 B．a≥9或a≤﹣7 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2＜a＜4三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．17．（8分）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．21．（14分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）用列举法表示集合={﹣1，2，3，4} ．【解答】解：由，则必有，∴a=﹣1，3，2，4．∴A={﹣1，2，3，4}．故答案为：{﹣1，2，3，4}．2．（4分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是若x2≠1，则x≠1．【解答】解：命题的否命题是同时对条件与结论进行否定．命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2≠1，则x≠1；故答案为：若x2≠1，则x≠1；3．（4分）函数y=的定义域为[﹣2，1）∪（1，2] ．【解答】解：要使函数的表达式有意义，x须满足：，即x∈[﹣2，1）∪（1，2]，故定义域为：[﹣2，1）∪（1，2]，故答案为：[﹣2，1）∪（1，2]，4．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C 有4个．【解答】解：由条件A∩C=B∪C可知：B⊆（B∪C）=（A∩C）⊆C⊆（B∪C）⊆（A∩C）⊆A，则符合条件的集合C的个数即为集合{3，4}的子集的个数，共4个．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．6．（4分）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q=．【解答】解：由得，，解之1≤x≤2，即P=[1，2]，根据数轴标根法，解（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0得：，即Q=，所以P∩Q=．故答案为：．7．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣2，2] ．【解答】解：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立①当a≠2时，则须即∴﹣2＜a＜2 ②由①②得实数a的取值范围是（﹣2，2]故答案为：（﹣2，2]8．（4分）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞），∴a＜0，且，﹣2为方程ax2+bx+c=0的两根．∴=﹣，（﹣2）=∴，c=a，∴cx2﹣bx+a＞0可转化为ax2﹣+a＞0，∴x2﹣x+1＜0，即（x﹣）（x﹣2）＜0，解得x＜2，即不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．故答案为：9．（4分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是①③④．【解答】解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正确；②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确．故答案为：①③④10．（4分）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p （万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建小，仓库到停车库的距离x=3公里．【解答】解：设Px=m，（m，n为常数），由x=18时，p=4，k=144，可得，m=18×4=72，n==8，所以P+k=+8x=8（）≥48，（当且仅当，即x=3时，等号成立）故答案为：3．11．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．【解答】解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：．12．（4分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣3【解答】解：A组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）=|x|≠x，故A 中的两函数不为同一个函数；B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为f（x）=g（x）=1，故B中的两函数是同一个函数；C组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠1}，故C中的两函数不为同一个函数；D组中两函数的定义域不同，g（x）的定义域为R，f（x）的定义域由不等于﹣3的实数构成，故D中的两函数不为同一个函数．故选：B．14．（4分）是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，成立，即充分性成立，当x=10，，满足成立但不成立，即必要性不成立．故是成立充分不必要条件，故选：A．15．（4分）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（）A．﹣4≤a≤4 B．a≥9或a≤﹣7 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2＜a＜4【解答】解：若关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0没有实根，则，解得﹣2＜a＜4，则关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根时，a≤﹣2或a≥4，故选：C．三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．【解答】解：或，解之x=2或．方程的解为：x=2或；17．（8分）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．【解答】解：（1），即有（k﹣2）x≥k2﹣k﹣4，所以①当k=2时，不等式的解为R；②当k＞2时，不等式的解为，即解集为：[）；③当k＜2且k≠0时，不等式的解为，即解集为：（﹣∞，]；（2）由于，所以k=2，3符合；结合（1）可以得到：，解之2＜k＜3；或，解之0＜k＜2．综上k∈（0，3）．18．（10分）已知P=，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}，其中m ＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，可得∁U P⊋∁U Q，即P⊊Q，P=={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，则，即，解得m≥9，故实数m的取值范围[9，+∞）．19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【解答】解：①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此种条件下取A，B能够稳操胜券．②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此种条件下取D，C能够稳操胜券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）=（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）=（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1种，就是取A，D．20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．【解答】解：（1）∵（3△1）=3，∴2△（3△1）=2△3=9；（2）由于y＞z，∴（y△z）=y，x△（y△z）=x△y=y2；由于x＜y，∴（x△y）=y2，即有（x△y）△z=y2△z，此时若y2≥z，则（x△y）△z=y2；若y2＜z，则（x△y）△z=z2．∴等式x△（y△z）=（x△y）△z并不能保证对任意实数x，y，z都成立．（3）由于，2△x=2，所以，函数的值域为[﹣1，2]．21．（14分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．【解答】证明：（1）由于a＞b＞c，所以a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只需证明．左边=，证毕．（2）欲使，只需，左边=，所以只需4﹣p＞0即可，即p＜4，所以可以取p=2，3代入上面过程即可．（3）欲使，只需，左边=，只需，即（m，n，p∈Z+）．。
2015-2016年上海市复旦大学附中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2015-2016学年上海市复旦大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：1．若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜2，x∈R}，则A∩B=．2．函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是．3．满足等式=0的复数z为．4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．5．（x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是．6．直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=．7．阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是．8．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．10．数列{a}中，若a1=1，（n∈N*），则=．11．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）12．已知等差数列{a n}满足：，且它的前n项和S n有最大值，则当S n 取到最小正值时，n=．13．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．14．已知抛物线C：y2=2x，过抛物线C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交抛物线C于A、B两点，则直线AB的斜率为．二、选择题15．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2），a1=1，则a n=（）A．n B．2n﹣1 C．n2D．2n2﹣117．若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（）A．一定单调递增B．一定没有单调减区间C．可能没有单调增区间D．一定没有单调增区间18．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q三、解答题19．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．20．（14分）已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．21．（14分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm3=1000mm3）22．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（2）若p=，且{a2n﹣1（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市复旦大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：1．若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜2，x∈R}，则A∩B=（﹣3，0）．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2}，B={x||x+1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x+1＜2}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜0}=（﹣3，0）．故选：（﹣3，0）．2．函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是[3，+∞）．【解答】解：函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域为[3，+∞），∴f﹣1（x）的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．3．满足等式=0的复数z为﹣1．【解答】解：∵等式=0，∴z（1+i）+i（1﹣i）=0，∴z（1+i）（1﹣i）+i（1﹣i）（1﹣i）=0，∴2z+2=0，解得z=﹣1．故答案为：﹣1．4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800=2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．5．（x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是﹣126．【解答】解：（x2﹣）9的二项展开式中，通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，令18﹣3r=3，求得r=5，故展开式中含x3项的系数为﹣=﹣126．故答案为：﹣126．6．直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，∴直线l1的方向向量为=（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为=（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•=1×1+（﹣a﹣3）×=0，解得a=﹣2，∴实数a=﹣2．故答案为：﹣2．7．阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，0] ．【解答】解：由程序框图可得分段函数：y=，∴令2x∈[，1]，则x∈[﹣2，0]，满足题意；∴输入的实数x的取值范围是[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．8．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，设圆锥的半径为r，∴有πr×5=20π⇒r=4，∴圆锥的高为=3，∴圆锥的体积为×π×r2×3=16πcm3．故答案：16πcm3．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．10．数列{a}中，若a1=1，（n∈N*），则=．+a2n）=【解答】解：由，得（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1==，∴==，故答案为：．11．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）【解答】解：甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．基本事件总数n=10×9=90，甲、乙都抽到判断题包含的基本事件个数m=4×3=12，∴甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率：p=1﹣=1﹣=．故答案为：．12．已知等差数列{a n}满足：，且它的前n项和S n有最大值，则当S n取到最小正值时，n=19．【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，由，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值．故答案为：19．13．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．14．已知抛物线C：y2=2x，过抛物线C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交抛物线C于A、B两点，则直线AB的斜率为．【解答】解：∵点P坐标为（1，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知MA的斜率存在且不为0，设PA：y﹣=k（x﹣1），即y=kx﹣k+，代入抛物线的方程得：y2﹣y﹣k+2=0，则：y1+=，故：y1=，设PB：y﹣=﹣k（x﹣1），即y=﹣kx+k+，代入抛物线的方程得：y2+y﹣k﹣2=0，则：y2+=﹣，故y2=﹣，∴y2﹣y1=﹣=．y2+y1=4﹣2．y1=kx1﹣k+，y2=﹣kx2+k+，y2+y1=﹣kx2+kx1+2=4﹣2，x2﹣x1=直线AB的斜率k AB===﹣2﹣2．∴直线BC的斜率为定值；故答案为：．二、选择题15．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：由“f（x）与g（x）同是奇函数”可得“f（x）•g（x）是偶函数”；反之不成立，例如可能f（x）与g（x）同是偶函数．因此“f（x）与g（x）同是奇函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．16．已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2），a1=1，则a n=（）A．n B．2n﹣1 C．n2D．2n2﹣1=+，得=+，【解答】解：由S n﹣S n﹣1∴，∴数列{}是一个首项为1公差为1的等差数列．∴=1+（n﹣1）×1=n，∴S n=n2．当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1；a1=1适合上式，∴a n=2n﹣1，故选：B．17．若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（）A．一定单调递增B．一定没有单调减区间C．可能没有单调增区间D．一定没有单调增区间【解答】解：若f（x）是增函数，则由x＜x+1可知f（x）＜f（x+1）一定成立，但F（x）＜F（x+1）并不能保证f（x）＜f（x+0.5），比如令f（x）=x+sin2πx则f（x+1）=x+1+sin2πx=f（x）+1＞f（x）但显然它不单调，因此，无法证明f（x）是增函数，同理，函数f（x）可能没有单调增区间，可能没有单调减区间．故选：C．18．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f （x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选：D．三、解答题19．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．20．（14分）已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．【解答】解：（1）∵，即，消去m，得，即，时，，，即f（x）的最小值为1，此时∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是（2）∵f（x）＞t﹣9x+1，即，当时，函数单调递增，y=9x单调递增，∴在上单调递增，∴的最小值为1，为要恒成立，只要t+1＜1，∴t＜0为所求．21．（14分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm3=1000mm3）【解答】解：（1）设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积cm3，k滴球状液体的体积cm3，∴，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．（2）由（1）知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h），即，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．综上可得．22．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．【解答】解：（1）由已知可得b=2，，…（2分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则…（6分）由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得…（10分）（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…（11分）则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．…（12分）∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．…（14分）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣2）．综上，直线AB过定点（，﹣2）．…（16分）23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（2）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，4a2=a1+3a3，又a2﹣a1=p，a3﹣a2=p2，所以3p2﹣p=0，解得p=或者p=0（舍去）（2）p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，所以a2n﹣a2n﹣1＞0，a2n+1﹣a2n＜0，，，所以a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…（a n﹣a n﹣1）=1﹣+…+=；（3）由题意得|a n+1﹣a n|=1，而a1=1，所以a2=2，0；a3=3，1，﹣1；a4=4，2，0，﹣2…所以S1=1，S2=3，1；S3=6，4，2，0；S4=10，8，6，4，0，﹣2…即S4k﹣3为奇数；S4k﹣2为偶数；S4k为偶数；因此只有S4k﹣3，S4k满足S n=n．。
【精编】2014-2015年上海市市北中学高一(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年上海市市北中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（3分×10=30分）1．（3分）若A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A∪B=，A∩B=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）已知集合A={y|y=x2}，B={y|y=﹣2x2+3}，则A∩B=．4．（3分）若“3x﹣m＜0”是“x＜2”的充分非必要条件，则实数m的取值范围是．5．（3分）不等式的解集是．6．（3分）已知f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣3，则当x＜0时，f （x）的解析式为．7．（3分）已知x，y为正实数，，则2x+y的最小值为．8．（3分）若关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则实数k的值是．9．（3分）若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合M={0，，，1，2，3}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为．10．（3分）关于x的不等式x2﹣ax﹣6a≤0有解，且对于任意的解x1，x2，恒有|x1﹣x2|≤5，则实数a的取值范围是．二、选择题（4分×4=16分）11．（4分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=12．（4分）若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|13．（4分）如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H），则该函数的图象是（）A．B．C．D．14．（4分）函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，+∞）上一定（）A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数三、解答题（共54分）15．（8分）已知m∈R且m≠﹣1，比较与1﹣m的大小．16．（10分）已知函数f（x）=，．（1）求的值；（2）若F（x）=f（x）﹣g（x），写出F（x）的解析式，求函数F（x）的最小值与最大值．17．（10分）已知：集合，集合B={x||x+1|＞3}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a∈R}．（1）求A∪B和∁R A∩∁R B（2）要使C⊇（∁R A∩∁R B），试求a的取值范围．18．（12分）某厂某个月预计生产某种产品x（百台）（0.25≤x≤10）的成本为C （x）（万元），其中固定成本为2万元，且每生产1百台产品，成本就增加1万元．销售收入为R（x）（万元）且R（x）=假定该月该产品产销平衡．（利润=销售收入﹣成本）（1）该月要不亏本，产量x应控制在什么范围内？（2）生产多少台时，可使该月利润最大？并求此时每台产品的售价．19．（14分）已知函数．（1）证明：函数f（x）是偶函数；（2）画出函数y=f（x）的图象；写出其单调区间（不必证明）；（3）设g（x）=f（x）﹣a，讨论函数y=g（x）的零点的个数．2014-2015学年上海市市北中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（3分×10=30分）1．（3分）若A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A∪B={0，1，2，3} ，A∩B= {1，2} ．【分析】由集合A和B，找出既属于集合A又属于集合B的元素，确定出A与B 的并集；找出A和B的公共元素，即可确定出A与B的交集．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}．故答案为：{0，1，2，3}；{1，2}2．（3分）函数的定义域是[1，）．【分析】根据求函数定义域的方法：要使函数解析式有意义则需满足，这样即可得出该函数的定义域．【解答】解：要使f（x）解析式有意义，则：；解得；∴f（x）的定义域为．故答案为：[1，）．3．（3分）已知集合A={y|y=x2}，B={y|y=﹣2x2+3}，则A∩B=[0，3] ．【分析】求出A与B中y的范围，分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=x2≥0，得到A=[0，+∞）；由B中y=﹣2x2+3≤3，得到B=（﹣∞，3]，则A∩B=[0，3]．故答案为：[0，3]4．（3分）若“3x﹣m＜0”是“x＜2”的充分非必要条件，则实数m的取值范围是（﹣∞，6）．【分析】根据集合的包含关系得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：若“3x﹣m＜0”是“x＜2”的充分非必要条件，即“x＜“是“x＜2”的充分非必要条件，故＜2，解得：m＜6，故答案为：（﹣∞，6）．5．（3分）不等式的解集是{x|x＜0或x＞2} ．【分析】移项通分，转化为分式结构，再转化为二次不等式求解，【解答】解：不等式，等价于，即．可得：（2﹣x）x＜0．∴x＜0或x＞2．∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}故答案为{x|x＜0或x＞2}．6．（3分）已知f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣3，则当x＜0时，f （x）的解析式为f（x）=．【分析】由f（x）为定义在R上的奇函数得到f（0）=0，设x＜0，则﹣x＞0，代入f（x）=x﹣3结合函数是奇函数得到f（x）的解析式【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x﹣3，∴f（﹣x）=﹣x﹣3．即﹣f（x）=﹣x﹣3．f（x）=x+3．综上，f（x）=，故答案为：f（x）=7．（3分）已知x，y为正实数，，则2x+y的最小值为8．【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：∵x，y为正实数，，∴2x+y=（2x+y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当y=2x即x=2，y=4时“=”成立，故答案为：8．8．（3分）若关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则实数k的值是﹣．【分析】由不等式与对应方程的实数根，利用根与系数的关系求得k的值．【解答】解：关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0），当不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}时，对应方程kx2﹣2x+6k=0（k≠0）的实数根为﹣3和﹣2，由根与系数的关系，得；﹣3﹣2=，解得k=﹣．故答案为：﹣．9．（3分）若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合M={0，，，1，2，3}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为7．【分析】先找出具有伙伴关系的元素：1，1；2，；3，共三组，它们中任一组、二组、三组均可组成非空伙伴关系集合，利用列举法列出即可．【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1，1；，2；，3共三组，它们中任一组，二组或三组均可组成非空伙伴关系集合，即{1}，{2，}，{3，}，{1，2，}，{1，3，}，{2，，3}，{1，2，，3，}共7个，故答案为：7．10．（3分）关于x的不等式x2﹣ax﹣6a≤0有解，且对于任意的解x1，x2，恒有|x 1﹣x2|≤5，则实数a的取值范围是[﹣25，﹣24]∪[0，1] ．【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用判别式和韦达定理，即可得到关于a的不等式，解得即可．【解答】解：因为x2﹣ax﹣6a≤0有解，所以y=x2﹣ax﹣6a和x轴有两个交点，所以△≥0，即a2+24a≥0，得a≥0或a≤﹣24；由韦达定理得x1+x2=a，x1x2=﹣6a，所以=﹣4x1x2=a2+24a，因为|x1﹣x2|≤5，所以≤25，即a2+24a≤25，解得﹣25≤a≤1；综上，a的取值范围是[﹣25，﹣24]∪[0，1]．故答案为：[﹣25，﹣24]∪[0，1]．二、选择题（4分×4=16分）11．（4分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=【分析】两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是同一函数，它们的图象相同．【解答】解：对于A，f（x）=x（x∈R），与g（x）=（）2=x（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于B，f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+1）2（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数，图象不同；对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于D，f（x）=|x|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数，图象相同．故选：D．12．（4分）若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|【分析】把不等式a+b＞0的两边同时除以负数ab可得＜0，化简可得，从而得出结论．【解答】解：∵a+b＞0，ab＜0，∴＜0，∴，故选：A．13．（4分）如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H），则该函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】首先确定当h=H时，阴影部分面积为0，排除A与B，当h=时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除D，从而得到答案C．【解答】解：由图可知，面积函数为单调递减函数，且当h=H时，对应阴影部分的面积为0，∴排除A与B；当h=时，对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，且随着h的增大，S 随之减小，减少的速度越来越慢∴排除D．故选：C．14．（4分）函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，+∞）上一定（）A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数【分析】先由二次函数的性质可得a＜1，则=，分两种情况考虑：若a≤0，a＞0分别考虑函数g（x）在（1，+∞）上单调性【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，∴对称轴x=a＜1∵=若a≤0，则g（x）=x+﹣2a在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增若1＞a＞0，g（x）=x+﹣2a在（，+∞）上单调递增，则在（1，+∞）单调递增综上可得g（x）=x+﹣2a在（1，+∞）上单调递增故选：D．三、解答题（共54分）15．（8分）已知m∈R且m≠﹣1，比较与1﹣m的大小．【分析】讨论m＜﹣1和m＞﹣1时，比较与1﹣m的大小即可．【解答】解：当m＜﹣1时，1﹣m＞0，1+m＜0，∴＜1﹣m；当m＞﹣1时，1+m＞0，﹣（1﹣m）=≥0，∴≥1﹣m；综上，m＜﹣1时，＜1﹣m；m＞﹣1时，≥1﹣m．16．（10分）已知函数f（x）=，．（1）求的值；（2）若F（x）=f（x）﹣g（x），写出F（x）的解析式，求函数F（x）的最小值与最大值．【分析】（1）由已知中函数f（x）=，将x=代入可得答案．（2）由已知中函数f（x）=，．可得F（x）的解析式，分类讨论，可得函数F（x）的最小值与最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，∴=，==；（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=，当x∈（0，]时，F（x）为减函数，无最大值，x=时，取最小值4；当x∈[，1]时，F（x）为增函数，当x=1时，取最大值8，x=时，取最小值4；当x∈（1，2]时，F（x）为增函数，当x=2时，取最大值，x=1时，取下边界4；综上，函数F（x）的无最小值，也无最大值．17．（10分）已知：集合，集合B={x||x+1|＞3}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a∈R}．（1）求A∪B和∁R A∩∁R B（2）要使C⊇（∁R A∩∁R B），试求a的取值范围．【分析】（1）可解出所给分式不等式和绝对值不等式，从而解出集合A，B，然后进行交集、并集与补集的运算即可；（2）根据上面求得的∁R A∩∁R B，而C集合变成C={x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，再根据子集的定义即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）解得，﹣2＜x＜3；解|x+1|＞3得，x＜﹣4，或x＞2；∴A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x＜﹣4，或x＞2}；∴∁R A={x|x≤﹣2，或x≥3}，∁R B={x|﹣4≤x≤2}；∴A∪B={x|x＜﹣4，或x＞﹣2}，∁R A∩∁R B={x|﹣4≤x≤﹣2，}；（2）C={x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}；据题意，要使C⊇{x|﹣4≤x≤﹣2}则a＜0；∴C={x|3a＜x＜a}；∴；解得，；∴a的取值范围为．18．（12分）某厂某个月预计生产某种产品x（百台）（0.25≤x≤10）的成本为C （x）（万元），其中固定成本为2万元，且每生产1百台产品，成本就增加1万元．销售收入为R（x）（万元）且R（x）=假定该月该产品产销平衡．（利润=销售收入﹣成本）（1）该月要不亏本，产量x应控制在什么范围内？（2）生产多少台时，可使该月利润最大？并求此时每台产品的售价．【分析】由题意写出成本函数，则收入函数减去成本函数即可得到利润函数．（1）由利润函数大于等于0，分段求解x的取值范围，取并集得答案；（2）分段求解利润函数的最大值，取各段最大值中的最大者，把求得的x值代入求得每台产品的售价．【解答】解：由题意得，成本函数为C（x）=2+x，从而利润函数L（x）=R（x）﹣C（x）=．（1）要使不亏本，只要L（x）≥0，当0.25≤x≤4时，L（x）≥0⇒3x﹣0.5x2﹣2.5≥0⇒1≤x≤4，当4＜x≤10时，L（x）≥0⇒5.5﹣x≥0⇒4＜x≤5.5．综上，1≤x≤5.5．∴若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间；（2）当0.25≤x≤4时，L（x）=﹣0.5（x﹣3）2+2，故当x=3时，L（x）max=2（万元），当4＜x≤10时，L（x）＜1.5＜2．综上，当年产300台时，可使利润最大，此时的售价为P=（万元/百台）=233元/台．19．（14分）已知函数．（1）证明：函数f（x）是偶函数；（2）画出函数y=f（x）的图象；写出其单调区间（不必证明）；（3）设g（x）=f（x）﹣a，讨论函数y=g（x）的零点的个数．【分析】（1）先求出其定义域，再根据偶函数的定义证明即可，（2）利用分段函数即可画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出f（x）的单调区间，（3）根据函数零点定理结合图象分类即可求出．【解答】解（1）证明：函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）且f（﹣x）===f（x），所以f（x）函数f（x）是偶函数，（2）f（x）=，图象如图所示，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，1）上单调递增，在（﹣1，0），（1，+∞）上单调递减，（3）结合（2）的图象可得，当a≥2或﹣2≤a＜1时，y=g（x）的零点的个数为0个，当1＜a＜2，或a＜﹣2时，y=g（x）的零点的个数为2个，当a=1时，y=g（x）的零点的个数为1个赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
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复旦大学附属中学2014-2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷（时间90分钟，满分120分）一、填空题（每小题4分，共44分）1、用列举法表示集合*6N ,Z 5A a a a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭_______.【答案】{}1,2,3,4-；【解析】由*6N 5a ∈-，则必有{}61,2,3,65a∈-，所以1,3,2,4a =-. 2、命题“若21x =，则1x =”的否命题是_______. 【答案】若21x ≠，则1x ≠；【解析】命题的否定是同时对条件与结论进行否定.3、函数21x y x -=-的定义域为_______.【答案】[)(]2,11,2-；【解析】由2220110x x x x -≤≤⎧-≥⎧⇒⎨⎨≠-≠⎩⎩，即[)(]2,11,2x ∈-，本题需注意定义域只能写成区间或是集合的形式，避免写不等式的形式.4、已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2B =则满足A C B C =的集合C 有_______个.【答案】4;【解析】由条件A C BC =可知，()()()()B BC A C C B C A C A ⊆=⊆⊆⊆⊆，所以符合条件的集合C 的个数即为集合{}3,4的子集的个数，共4个. 5、已知,R x y +∈，且41x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】116； 【解析】由基本不等式可以直接算出结果. ()21141444216x y xy x y +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭，当且仅当142x y ==时取等号. 6、已知集合{}31P x x x x =-≥-，()()(){}12340Q x x x x =+-->，则PQ =_______.【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】()210313031x x x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥-⇒-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解之12x ≤≤,即[]1,2P =()()()12340x x x +-->结合数轴标根法，可以得到其解为()31,4,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，即Q =()31,4,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，所以P Q =31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.7、不等式()()222240a x a x ----<对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(]2,2-；【解析】对二次项系数进行讨论①当20a -=即2a =时，不等式显然成立；②当20a -≠，欲使不等式()()222240a x a x ----<对R x ∈恒成立，则需满足200a -<⎧⎨∆<⎩，解之22a -<<；综合①②，则实数a 的取值范围为(]2,2-. 8、若关于x 不等式20ax bx c ++<的解集为()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则关于x 不等式20cx bx a -+>的解集为_______.【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭;【解析】由不等式20ax bx c ++<的解集为()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，可得 ()()212002ax bx c a x x a ⎛⎫++=++<< ⎪⎝⎭，所以52b a =，c a =，所以20cx bx a -+>可转化为2502ax x a -+>，结合0a <，所以有()1202x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即不等式20cx bx a -+>的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 9、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z k n k n =+∈，0,1,2,3,4k =.给出下列四个结论：①[]20150∈；②[]33-∈；③[][][][][]Z 01234=；④“整数,a b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”.其中，正确结论的个数．．是_______. 【答案】3个；【解析】①正确，由于2015能够被5整除；②错误，3152-=-⨯+，故[]32-∈；③正确，将整数按照被5除分类，刚好分为5类；④正确.10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p （万元）与仓库到停车库的距离x （公里）成反比，而每月库存货物的运费k （万元）与仓库到停车库的距离x （公里）成正比.如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p 和k 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x =_______公里. 【答案】2；【解析】设Px m =，kn x=（,m n 为常数），由18x =时，4p =，144k =，可知72,36m n ==，所以72,36p k x x ==，7223636722p k x x x x ⎛⎫+=+=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时取等号. 11、设R a ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为_________.【答案】32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】可以取特殊值2x =代入，得2302a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，所以32a =，存在且唯一.也可以结合数轴标根法，但此时注意需有重根出现才能符合题意，最后讨论也可求出结果.二、选择题（每题4分，共16分）12、三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.A.如果a b >，b c >，那么a c >B. 如果0a b >>，那么22a b >C.对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D. 如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C ；【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为c （222c a b =+），则外围的正方形的面积为2c ，也就是22a b +，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.13、设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ） A. ()f x x =，()2g x x =B. ()()2x f x x=，()()2xg x x =C. ()1f x =，()()01g x x =-D. ()293x f x x -=+，()3g x x =-【答案】B ；【解析】A 选项对应关系不同，()f x x =，()2g x x x ==；C 、D 选项定义域不相同. 14、33x y >⎧⎨>⎩是69x y x y +>⎧⎨⋅>⎩成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】充分性显然成立，必要性可以举反例：10x =，52y =，显然必要性不成立. 15、在关于x 的方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=，223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 44a -≤≤ B. 9a ≥或7a ≤- C. 2a ≤-或4a ≥ D. 24a -<< 【答案】C ；【解析】可以采用补集思想.三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可. 三、解答题（共6大题，满分60分） 16、（本题满分8分） 解关于x 的方程：212324x x +-=.【答案】2x =或423x =-；【解析】2201232142324x x x x x ≥⎧⎪+-=⇒⎨+-=⎪⎩或2012324x x x <⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解之2x =或423x =-.17、（本题满分8分，每小题4分） 设关于x 的不等式：21241x x k k+-≥+. （1）解此不等式；（2）若212421x x x k k ⎧+-⎫∈≥+⎨⎬⎩⎭，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）①当2k =时，不等式的解为R ；②当2k >时，不等式的解为242k k x k --≥-；③当2k <且0k ≠时，不等式的解为242k k x k --≤-；（2）()0,3；【解析】（1）()221241124x x k x k x k k +-≥+⇒+≥+-，即有()224k x k k -≥--，所以 ①当2k =时，不等式的解为R ；②当2k >时，不等式的解为242k k x k --≥-；③当2k <且0k ≠时，不等式的解为242k k x k --≤-；（2）由于212421x x x k k ⎧+-⎫∈≥+⎨⎬⎩⎭，所以2k =符合；结合（1）可以得到：22422k k k k >⎧⎪⎨--≥⎪-⎩，解之23k <<；或22422k k k k <⎧⎪⎨--≤⎪-⎩，解之02k <<.综上()0,3k ∈.18、（本题满分10分）已知1123x P x ⎧⎫-=-≤⎨⎬⎩⎭，(){}22210Q x x x m =-+-≤，其中0m >，全集R U =.若“U x P ∈ð”是“U x Q ∈ð”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(][),99,-∞-+∞；【解析】由“U x P ∈ð”是“U x Q ∈ð”的必要不充分条件，可得U U x Q x P ∈⇒∈痧，所以()()UUQ P ⊂≠痧，而()()()112,210,3U x P x ⎧⎫-=->=-∞-+∞⎨⎬⎩⎭ð，()(){}22210U Q x x x m =-+->ð，令()22210x x m -+-=的根为()1212,x x x x <，则必有12210x x ≤-<≤，解之(][),99,m ∈-∞-+∞.19、（本题满分10分）现有,,,A B C D 四个长方体容器，,A B 的底面积均为2x ，高分别为,x y ；,C D 的底面积均为2y ，高分别为,x y （其中x y ≠）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【答案】只有1种，就是取,A D . 【解析】当x y >时，则3223x x y xy y >>>，即A B C D >>>； 当x y <时，则3223y y x yx x >>>，即D C B A >>>；又()()()()()2332232320x y xy x y x x y y xy x y x y +-+=-+-=-+>所以在不知道,x y 的大小的情况下，取,A D 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握. 20、（本题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分） 定义实数,a b 间的计算法则如下：2,,a a b a b b a b ≥⎧∆=⎨<⎩.（1）计算()231∆∆；（2）对x z y <<的任意实数,,x y z ，判断等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆是否恒成立，并说明理由； （3）写出函数()()12y x x x =∆∆-∆的解析式，其中22x -≤≤，并求函数的值域. 【答案】（1）9；（2）不能；（3）[]1,2-.【解析】（1）因为()313∆=，所以()231239∆∆=∆=； （2）由于y z >，所以()y z y ∆=，()2x y z x y y ∆∆=∆=；由于x y <，所以()2x y y ∆=，即有()2x y z y z ∆∆=∆，此时若2y z ≥，则()2xy z y ∆∆=；若2y z <，则()2x y z z ∆∆=.所以等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆并不能保证对任意实数,,x y z 都成立. （3）由于21,211,12x x x x -≤≤⎧∆=⎨<≤⎩，22x ∆=，所以()()21,21122,12x y x x x x --≤≤⎧=∆-∆=⎨-<≤⎩，函数的值域为[]1,2-.21、（本题满分共12分，每小题4分） 已知实数,,a b c 满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广如下：把1c a -的分子改为一个大于1的正整数p ，使得110pa b b c c a++>---对任意a b c >>都成立，试写出一个p 并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数,,m n p 满足什么条件时，0m n pa b b c c a++>---对任意a b c >>都成立，请写出条件并证明之.【答案】见解析.【解析】（1）由于a b c >>，所以0,0,0a b b c a c ->->->，要证1110a b b c c a++>---，只需证明()1110a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭. 左边()()111130b c a b a b b c a b b c c a a b b c --⎛⎫=-+-++=++≥>⎡⎤ ⎪⎣⎦-----⎝⎭，证毕. （2）欲使110p a b b c c a ++>---，只需()110p a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭，左边()()1124p b c a b a b b c p p a b b c c a a b b c --⎛⎫=-+-++=-++≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦-----⎝⎭，所以只需40p ->即可，即4p <，所以可以取2,3p =代入上面过程即可.（3）欲使0m n p a b b c c a ++>---，只需()0m n p a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭，左边()()()()2m b c n a b m n p a b b c m n p m n mn pa b b c c a a b b c --⎛⎫=-+-++=+-++≥++-⎡⎤ ⎪⎣⎦-----⎝⎭，只需20m n mn p ++->，即m n p +>（,,Z m n p +∈）.。