上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)

复旦大学附属中学2014-2015学年第一学期

高一年级数学期中考试试卷

（时间90分钟，满分120分）

一、填空题（每小题4分，共44分）

1、用列举法表示集合*6N ,Z 5A a a a ⎧⎫

=∈∈=⎨⎬-⎩⎭

_______.

【答案】{}1,2,3,4-；

【解析】由

*6N 5a ∈-，则必有{}6

1,2,3,65a

∈-，所以1,3,2,4a =-. 2、命题“若21x =，则1x =”的否命题是_______. 【答案】若21x ≠，则1x ≠；

【解析】命题的否定是同时对条件与结论进行否定.

3、函数21

x y x -=

-的定义域为_______.

【答案】[)(]2,11,2-；

【解析】由22

20110x x x x -≤≤⎧-≥⎧⇒⎨⎨≠-≠⎩⎩

，即[)

(

]2,11,2x ∈-，本题需注意定义域只能写成区间或是集合的形式，避免写不等式的形式.

4、已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2B =则满足A C B C =的集合C 有_______个.

【答案】4;

【解析】由条件A C B

C =可知，()()()()B B

C A C C B C A C A ⊆=⊆⊆⊆⊆，

所以符合条件的集合C 的个数即为集合{}3,4的子集的个数，共4个. 5、已知,R x y +∈，且41x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】

1

16

； 【解析】由基本不等式可以直接算出结果. ()2

1141

444216

x y xy x y +⎛⎫=⋅≤=

⎪⎝⎭，当且仅当1

42

x y ==

时取等号. 6、已知集合{}

31P x x x x =-≥-，()()(){}

12340Q x x x x =+-->，则P

Q =_______.

【答案】31,2⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

；

【解析】()210313031x x x x x x ⎧-≥⎪⎪

-≥-⇒-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解之12x ≤≤,即[]1,2P =()()()12340

x x x +-->结合数轴标根法，可以得到其解为()31,4,2⎛

⎫-+∞ ⎪

⎝

⎭，即Q =

()31,4,2⎛

⎫-+∞

⎪

⎝

⎭，所以P Q =31,2⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

.

7、不等式()()222240a x a x ----<对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(]2,2-；

【解析】对二次项系数进行讨论

①当20a -=即2a =时，不等式显然成立；

②当20a -≠，欲使不等式()()222240a x a x ----<对R x ∈恒成立，则需满足20

0a -<⎧⎨∆<⎩

，

解之22a -<<；综合①②，则实数a 的取值范围为(]2,2-. 8、若关于x 不等式20ax bx c ++<的解集为()1,2,2⎛⎫

-∞--+∞ ⎪⎝⎭

，则关于x 不等式20cx bx a -+>的解集为_______.

【答案】1,22⎛⎫

⎪⎝⎭

;

【解析】由不等式20ax bx c ++<的解集为()

1,2,2⎛⎫

-∞--+∞ ⎪⎝⎭

，可得 ()()212002ax bx c a x x a ⎛

⎫++=++<< ⎪⎝⎭，所以52b a =，c a =，所以20cx bx a -+>可转化

为2502ax x a -+>，结合0a <，所以有()1202x x ⎛

⎫--< ⎪⎝⎭，即不等式20cx bx a -+>的解集

为1,22⎛⎫

⎪⎝⎭

. 9、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即

[]{}5Z k n k n =+∈，0,1,2,3,4k =.给出下列四个结论：

①[]20150∈；②[]33-∈；③[]

[][][][]Z 01234=；④“整数,a b 属于同一‘类’

”的充要条件是“[]0a b -∈”.其中，正确结论的个数．．是_______. 【答案】3个；

【解析】①正确，由于2015能够被5整除；②错误，3152-=-⨯+，故[]32-∈；③正确，

将整数按照被5除分类，刚好分为5类；④正确.

10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p （万元）与仓库到停车库的距离x （公里）成反比，而每月库存货物的运费k （万元）与仓库到停车库的距离x （公里）成正比.如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p 和k 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x =_______公里. 【答案】2；

【解析】设Px m =，k

n x

=（,m n 为常数），由18x =时，4p =，144k =，可知72,36m n ==，

所以72,36p k x x ==，7223636722p k x x x x ⎛

⎫+=+=+≥ ⎪⎝

⎭，当且仅当2x =时取等号. 11、设R a ∈，若0x >时，均有()()2

1110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．

为_________.

【答案】32⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

【解析】可以取特殊值2x =代入，得2

302a ⎛

⎫--≥ ⎪⎝

⎭，所以32a =，存在且唯一.

也可以结合数轴标根法，但此时注意需有重根出现才能符合题意，最后讨论也可求出结果.

二、选择题（每题4分，共16分）

12、三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.

A.如果a b >，b c >，那么a c >

B. 如果0a b >>，那么22a b >

C.对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立

D. 如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C ；

【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为c （222c a b =+），则外围的正方形的面积为2c ，也就是22a b +，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.

13、设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ） A. ()f x x =，()2g x x =

B. ()()

2

x f x x

=

，()()

2

x

g x x =

C. ()1f x =，()()0

1g x x =-

D. ()29

3

x f x x -=+，()3g x x =-

【答案】B ；

【解析】A 选项对应关系不同，()f x x =，()2g x x x ==；C 、D 选项定义域不相同. 14、33x y >⎧⎨>⎩是69x y x y +>⎧⎨⋅>⎩

成立的（ ）