抽样定理及应用

抽样定理及应用

一．课程设计的目的

1. 掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB 的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。

2. 掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。

3 . 初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。

4. 学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。

5. 加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。

6. 加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。

二．课程设计的内容及要求

1.课程设计的内容

离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号类似，只不过是用stem函数而不是用plot函数来画出序列波形。命令窗口没打开时，从“Desktop”菜单中选择“Command Window”选项可以打开它。“>>”符号是输入函数的提示符，在提示符后面输入数据和运行函数。

退出MATLAB时，工作空间中的内容随之清除。可以将当前工作中的部分或全部变量保存在一个MAT文件中，它是一种二进制文件，扩展名为.mat。然后可在以后使用它时载入它。

用MATLAB 的当前目录浏览器搜索、查看、打开、查找和改变MATLAB 路径和文件。在MATLAB 桌面上，从“Desktop ”菜单中选择“Current Directory ”选项，或者在命令窗口键入“filebrowser ”，打开当前目录浏览器。使用当前目录浏览器可以完成下面的主要任务：查看和改变路径；创建、重命名、复制和删除路径和文件；打开、运行和查看文件的内容；

由于函数)(t Sa 不是严格的带限信号，其带宽m ω可根据一定的精度要求做一近似。根据以下三种情况用MATLAB 实现采样信号及重构并求出两者误差，分析三种情况下的结果。

（1）)(t Sa 的临界采样及重构：,1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/4.2=； （2）)(t Sa 的过采样及重构：1=m ω，m c ωω1.1=，m i s p T ω/5.2=；

（3）)(t Sa 的欠采样及重构：1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/5.2=。

2.课程设计的方案 2.1课程设计的原理 2.1.1连续信号的采样定理

模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：

(1)

必须是带限信号，其频谱函数在

＞

各处为零；（对信号的要求，

即只有带限信号才能适用采样定理。） (2) 取样频率不能过低，必须

＞2

（或

＞2

）。（对取样频率的要求，

即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率

大于或等于

，即（为连续信号的有限频谱），

则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号 。一个频谱在区间

（- ，

）以外为零的频带有限信号

，可唯一地由其在均匀间隔 （

＜

）上的样点值所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采

样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号()t f ，它集中在（m m ωω+-,）的时间范围内，则该信号的频谱()ωj F 在频域中以间隔为1ω的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1ωj F 可以惟一表示原信号的条件为重复周期m t T 21≥，或频域间隔m t f 2121≤=

πω（其中1

12T π

ω=）。采样信号 的频谱是原信号频谱

的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当s ω＞2

时，不会出现混

叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号 中恢复原

信号

。（注：s ω＞2

的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；

这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）

(a)

(b)

(c)

图* 抽样定理

a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）

2.1.2信号采样

如图1所示，给出了信号采样原理图

信号采样原理图（a ）

由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为：

∑∞

-∞

=-=

n s

T nT t t s

)()(δδ

其傅立叶变换为∑∞

-∞

=-n s

s

n )(ω

ωδω，其中s

s

T πω2=。设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得

∑∑

∞

-∞

=∞

-∞

=-=

-=n s

s n s s s n j F T n j F j F )]([1

)(*)(21)(ω

ωωωδωωπω

若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至ΛΛ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时，频谱发生混叠。

一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图2所示。

图2 信号的采样

用数学表达式描述上述调制过程，则有

)()()(*t t e t e T δ=

理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为

∑∞

=-=0

)()(n T nT t t δδ

其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲。由于)(t e 的 数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设

00

)(<∀=t t e

所以)(*t e 又可表示为

*

()()()n e t e nT t nT δ∞

==-∑