抽样定理及应用
抽样定理的理论证明与实际应用
抽样定理的理论证明与实际应用抽样定理是统计学中的一项基本原理，它告诉我们，通过从总体中随机抽取足够数量的样本，可以准确地估计总体的特征。
抽样定理的理论证明和实际应用至关重要，对于统计学的发展和各个领域的科学研究具有重要意义。
抽样定理最著名的形式是中心极限定理。
中心极限定理是指在总体分布满足一定条件下，样本均值的分布会接近于正态分布。
中心极限定理为抽样统计的有效性提供了理论基础。
其证明涉及了大数定律、独立同分布等统计学中的重要概念。
具体证明过程较为复杂且较为数学化，这里不展开讨论。
1.民意调查：通过从人群中随机抽取一部分个体进行调查，可以得出较为准确的人群意见或观点分布。
抽样定理的应用使得从有限的样本中可以较好地推断出总体的特征，保证了调查结果的可靠性。
2.质量控制：在生产过程中，通过对抽样产品的检验，可以判断整个产品批次的质量情况，然后采取相应的措施进行调整和改进。
抽样定理的应用使得通过有限的样本可以估计整体产品质量，降低了成本和时间。
3.医学研究：在临床实验和流行病学研究中，通过对患者或人群的抽样调查，可以得出对于特定病情或病群的结果和结论。
抽样定理的应用使得通过对有限的样本的研究，可以反映出总体患者的特征和情况，提供医学决策依据。
4.经济指标估计：通过对抽样企业或家庭的调查，可以估计整个国家或地区的经济指标，如GDP、失业率等。
抽样定理的应用使得通过有限的样本可以较好地估计总体的经济情况，提供经济决策的基础。
总的来说，抽样定理的理论证明和实际应用都非常重要。
理论证明为统计学提供了坚实的基础，使得我们可以对抽样统计的结果进行合理的解释和推导。
实际应用则使得抽样定理给各个领域的科学研究，数据分析和决策等提供了强有力的工具。
抽样定理的理论证明和实际应用的不断深化和发展，对于统计学和信息科学的进步具有重要意义。
抽样定理及应用
Ts=pi/wm;%周期
ws=2.4*pi/Ts;%理想低通截止频率
n=-100:100;%定义序列的长度是201
nTs=n*Ts%采样点
f=sinc(nTs/pi);%抽样信号
Dt=0.005;t=-20:Dt:20;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重建
显然， ，与之对应的时域表达式为
（10）
而
将 及 代入式（10）得
（11）
式（11）即为用 求解 的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数 在此起着内插函数的作用。
例：设 ，其 为：
即 的带宽为 ，为了由 的采样信号 不失真地重构 ，由时域采样定理知采样间隔 ，取 （过采样）。利用MATLAB的抽样函数 来表示 ，有 。据此可知：
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');
grid;
2程序运行运行结果图与分析
图3 的临界采样及重构图
运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t选取的数据越大，起止的宽度越大。
2.3.2 的过采样及重构
若设 是带限信号，带宽为 ， 经过采样后的频谱 就是将 在频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍）。因此，当 时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列 的幅值调制器，即理想采样器的输出信号 ，是连续输入信号 调制在载波 上的结果，如图2所示。
时域抽样定理
时域抽样定理时域抽样定理是数字信号处理中的基本理论之一，它对于理解信号采样和重构有着重要的意义。
本文将详细介绍时域抽样定理的原理、条件和应用。
1. 定理原理时域抽样定理，又称为奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem），是由哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）于20世纪20年代提出的。
该定理指出：在连续时间信号中，如果信号的最高频率为fs，则采样频率必须大于2fs才能保证采样后的离散信号能完美地重构出原始信号。
2. 定理条件奈奎斯特采样定理的成立需要满足以下两个条件：2.1 带宽限制条件信号的带宽必须是有限的。
即信号的频谱必须在一定范围内有限制，不允许有无限大的频率成分存在。
如果信号的带宽无限大，那么无论采样频率多高，也无法在离散信号中准确地表示原始信号。
2.2 采样频率条件采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
只有在这种条件下，才能够完美地重构出原始信号。
如果采样频率低于信号最高频率的两倍，将会出现混叠效应，导致重构的信号与原始信号存在偏差。
3. 定理应用奈奎斯特采样定理在实际应用中有着广泛的应用，尤其是在信号处理和通信领域。
3.1 数字音频和视频在数字音频和视频领域，奈奎斯特采样定理的应用非常重要。
通过在一定的采样频率下对模拟音频或视频信号进行抽样，可以得到离散的数字信号。
这些离散的信号可以通过数学算法来进行处理和压缩，从而实现高保真度的音频和视频传输。
3.2 通信系统在通信系统中，奈奎斯特采样定理被广泛应用于调制和解调过程中。
发送端将模拟信号进行抽样和量化，将其转换为数字信号后进行传输。
接收端通过接收到的数字信号进行解调和重构，实现原始模拟信号的恢复。
3.3 图像处理在图像处理领域，奈奎斯特采样定理可以用于图像的采集和重构。
通过在一定的采样频率下对图像进行抽样，可以得到离散的像素值。
这些像素值可以用于图像的处理、压缩和重构，从而实现高质量的图像处理效果。
通信原理实验-抽样定理(总9页)
通信原理实验-抽样定理(总9页)
实验名称：抽样定理
实验目的：
1.理解抽样定理的意义和应用
2.掌握抽样定理的实验方法
实验原理：
抽样定理是通信原理中非常重要的一个原理，它是指在信号经过理想低通滤波器之后，如果采样频率大于等于信号频率的两倍，就可以完全恢复原始信号，这个定理也称为奈奎
斯特定理。
实验器材：
示波器、函数信号发生器、导线、面包板。
实验步骤：
1.将函数信号发生器的频率调整至1kHz，并将示波器连接至信号发生器输出端口检测波形。
2.在示波器上观察到正弦波形之后，将频率调整至5kHz，再次观察波形。
5.根据抽样定理的公式计算出采样频率，例如在10kHz时，采样频率应大于等于
20kHz。
6.将采样频率设置为30kHz，并观察波形。
7.继续提高采样频率直至可清晰观察到原始信号的波形。
实验结果：
在采样频率大于20kHz的情况下，可以清晰地观察到原始信号的波形。
在采样频率低
于20kHz的情况下，原始信号的波形会出现明显的径向失真。
实验分析：
在通信系统中，信号传输的过程中可能会发生失真现象，而抽样定理可以帮助我们消
除这种失真。
在本实验中，我们使用函数信号发生器产生不同频率的信号，并通过示波器
观察波形。
通过设置不同的采样频率，可以清晰地观察到原始信号的波形，并验证奈奎斯特定理的正确性。
通过本实验验证了奈奎斯特定理的正确性，即在采样频率大于信号频率的两倍时，可以完全恢复原始信号，避免信号采样带来的失真。
抽样定理
抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。
这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。
什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。
通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。
由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。
压力。
位移。
图像等),要使计算机或数字仪表能识别。
处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。
处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。
这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。
转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。
实验2 抽样定理及其应用实验
实验2 抽样定理及其应用实验一、实验目的1．通过对模拟信号抽样的实验,加深对抽样定理的理解；2．通过PAM 调制实验，使学生能加深理解脉冲幅度调制的特点；3．学习PAM 调制硬件实现电路，掌握调整测试方法。
二、实验仪器1．PAM 脉冲调幅模块，位号：H （实物图片如下）2．时钟与基带数据发生模块，位号：G3．20M 双踪示波器1台4．频率计1台5．小平口螺丝刀1只6．信号连接线3根三、实验原理抽样定理告诉我们：如果对某一带宽有限的时间连续信号（模拟信号）进行抽样，且抽样速率达到一定数值时，那么根据这些抽样值就能准确地还原原信号。
这就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，可以只传输按抽样定理得到的抽样值。
通常，按照基带信号改变脉冲参量（幅度、宽度和位置）的不同，把脉冲调制分为脉幅调制（PAM ）、脉宽调制（PDM ）和脉位调制（PPM ）。
虽然这三种信号在时间上都是离散的，但受调参量是连续的，因此也都属于模拟调制。
抽样定理实验电路框图，如图1-1所示。
图1-1 抽样的实验过程结构示意图本实验中需要用到以下5个功能模块。
1．DDS 信号源：它提供正弦波等信号，并经过连线送到“PAM 脉冲调幅模块”，作为脉冲幅度调制器的调制信号。
2．抽样脉冲形成电路模块：它提供有限高度，不同宽度和频率的的抽样脉冲序列，并经过连线送到“PAM 脉冲调幅模块”， 作为脉冲幅度调制器的抽样脉冲。
3．PAM 脉冲调幅模块：它采用模拟开关CD4066实现脉冲幅度调制。
抽样脉冲序列为高电平时，模拟开关导通，有调制信号输出；抽样脉冲序列为低电平，模拟开关断开，无信号输DDS信号源抽样脉冲形成电路 信道模拟 信号恢复 滤波器开关抽样器 32P01 32TP01 32P02 32P03 P154SW02控制 P09P14 P03 32W01出。
因此，本模块实现的是自然抽样。
4．接收滤波器与功放模块：接收滤波器低通带宽有2.6KHZ和5KHZ两种，分别由开关K601上位和中位控制，接收滤波器的作用是恢复原调制信号。
本科毕业设计论文--数字信号处理课程设计报告抽样定理的应用
抽样定理的应用摘要抽样定理表示为若频带宽度有限的，要从抽样信号中无失真地恢复原信号，抽样频率应大于2倍信号最高频率。
抽样频率小于2倍频谱最高频率时，信号的频谱有混叠。
抽样频率大于2倍频谱最高频率时，信号的频谱无混叠。
语音信号处理是研究用数字信号处理技术和语音学知识对语音信号进行处理的新兴学科，是目前发展最为迅速的学科之一，通过语音传递信息是人类最重要，最有效，最常用和最方便的交换信息手段，所以对其的研究更显得尤为重要。
Matlab语言是一种数据分析和处理功能十分强大的计算机应用软件，它可以将声音文件变换成离散的数据文件，然后用起强大的矩阵运算能力处理数据。
这为我们的本次设计提供了强大并良好的环境！本设计要求通过利用matlab对模拟信号和语音信号进行抽样，通过傅里叶变换转换到频域，观察波形并进行分析。
关键词：抽样Matlab目录一、设计目的： (2)二、设计原理： (2)1、抽样定理 (2)2、MATLAB简介 (2)3、语音信号 (3)4、Stem函数绘图 (3)三、设计内容： (4)1、已知g1(t)=cos(6πt),g2(t)=cos(14πt),g3(t)=cos(26πt),以抽样频率fsam=10Hz对上述三个信号进行抽样。
在同一张图上画出g1(t)，g2(t)，g3(t)及其抽样点,对所得结果进行讨论。
(4)2、选取三段不同的语音信号，并选取适合的同一抽样频率对其进行抽样，画出抽样前后的图形，并进行比较，播放抽样前后的语音。
(6)3、选取合适的点数，对抽样后的三段语音信号分别做DFT，画图并比较。
(10)四、总结 (12)五、参考文献 (13)绪论当今，随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为今一门极其重要的学科和技术领域，数字信号处理技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科；它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号等等。
抽样定理的理论证明与实际应用分析
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用一、抽样和抽样定理数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。
“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。
抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。
抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。
抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。
抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。
也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。
通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
二、时域抽样定理的理论证明时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号ƒ(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2ƒm ）上的样点值ƒs (t )=ƒ（nT s ）确定。
通信原理抽样定理实验报告
通信原理抽样定理实验报告通信原理抽样定理实验报告摘要：本实验通过对抽样定理的研究和实践，探究了通信原理中抽样定理的重要性和应用。
通过实验结果的分析，验证了抽样定理的正确性，并得出了一些有关抽样定理的结论。
1. 引言通信原理是现代通信技术的基础，而抽样定理是通信原理中一个重要的理论基础。
抽样定理指出，在进行模拟信号的数字化处理时，为了保证处理结果的准确性，需要对模拟信号进行一定的采样频率。
本实验旨在通过实践验证抽样定理的正确性，并探究其在通信原理中的应用。
2. 实验原理抽样定理是由奈奎斯特（Nyquist）于20世纪20年代提出的，也被称为奈奎斯特定理。
该定理的核心思想是：对于一个带宽有限的信号，如果将其以大于两倍的最高频率进行采样，那么采样后的数字信号可以完全恢复原始信号。
3. 实验步骤3.1 实验仪器与材料准备本实验所需的仪器与材料包括：信号发生器、示波器、电缆、电阻、电容等。
3.2 实验过程首先，通过信号发生器产生一个带宽有限的模拟信号。
然后，将该模拟信号通过电缆连接到示波器上进行观测。
在示波器上观测到的信号即为模拟信号的采样结果。
3.3 实验结果分析通过观察示波器上的信号波形，可以发现，采样后的信号与原始模拟信号非常接近，几乎无法区分。
这表明，抽样定理的预测是正确的，通过足够高的采样频率，可以准确地还原原始信号。
4. 实验讨论4.1 抽样频率的选择根据抽样定理，为了准确还原原始信号，采样频率至少要大于信号带宽的两倍。
实际应用中，为了保证信号的完整性和准确性，通常会选择更高的采样频率。
4.2 抽样定理在通信系统中的应用抽样定理在通信系统中有着广泛的应用。
例如，在数字音频和视频的传输中，通过抽样定理可以将模拟音频和视频信号转换为数字信号，从而实现高质量的传输和存储。
5. 实验结论通过本实验的研究和实践，我们验证了抽样定理的正确性，并得出以下结论：（1）抽样定理是通信原理中一个重要的理论基础，通过足够高的采样频率，可以准确地还原原始信号。
抽样定理实验报告
抽样定理实验报告一、实验目的1.了解抽样定理的基本概念和原理；2.通过实验掌握抽样定理的应用方法；3.分析实验结果，验证抽样定理的有效性。
二、实验原理抽样定理，也称为中心极限定理，是概率论和数理统计学中的重要定理之一、它指出当从总体中抽取的样本数量足够大时，样本均值的分布接近于正态分布。
具体原理如下：假设总体的分布情况未知，从中抽取容量为n的样本，将样本观察值依次排列为X1，X2，...，Xn。
根据大数定律，当n趋向于无穷大时，样本均值的极限分布为正态分布。
三、实验步骤1.确定实验总体和样本容量：假设总体为一些城市的居民收入情况，样本容量为n=50。
2.随机抽取样本：从该城市的居民总体中随机选取50个人的收入数据作为样本数据。
3.计算样本均值：将样本数据相加后除以样本容量，得到样本均值。
4.重复步骤2和3，进行多次实验：重复50次实验，每次都从总体中随机抽取不同的样本，并计算样本均值。
5.统计实验结果：将50次实验中得到的样本均值进行统计，并绘制频数分布直方图。
6.分析实验结果：通过观察频数分布直方图，分析样本均值的分布情况，验证抽样定理的有效性。
四、实验结果及分析根据实验步骤，我们从城市的居民总体中随机抽取了50个人的收入数据，并计算了样本均值。
通过重复50次实验，并统计得到的样本均值，我们绘制了频数分布直方图。
从频数分布直方图中可以看出，样本均值的分布情况呈现出正态分布的特点，中间值出现的频率最高，两端值出现的频率相对较低。
这与抽样定理的结论一致，即样本均值的极限分布为正态分布。
实验结果的分析表明，当样本容量足够大（在本实验中，样本容量为50），从总体中抽取的样本均值趋近于总体均值，而且样本均值的分布接近正态分布。
这进一步验证了抽样定理的有效性。
五、实验结论通过本次实验，我们了解了抽样定理的基本概念和原理，并通过实验验证了抽样定理的有效性。
实验结果表明，当从总体中抽取足够大的样本时，样本均值的分布接近正态分布。
抽样定理的理论证明与实际应用
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用一、抽样和抽样定理数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。
“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。
抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。
抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。
抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。
抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。
也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。
通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
二、时域抽样定理的理论证明时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号ƒ(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2ƒm ）上的样点值ƒs (t )=ƒ（nT s ）确定。
抽样定理及其应用实验
实验一抽样定理及其应用实验一、实验目的1.通过对实验模拟信号抽样的实验，加深对抽样定理的理解2.PAM调制实验3.学习PAM调制硬件实验电路二、实验基本原理抽样定理：如果对某一带宽有限的时间连续信号进行抽样，且抽样速率达到一定数值时，那么根据这些抽样值就能准确地还原原信号。
即若要传输传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，可以只传输按抽样定理得到的抽样值。
三、实验器材1.PAM脉冲调幅模块，位号H2.时钟与基带数据发生模块，位号G3.示波器一台4.信号连接线四、实验过程1、把时钟与基带数据发生模块插到底板位号G的位置上，把PAM脉冲调幅模块插位号H的位置上；2、用导线将P03和32P01连接，将P09和32P02连接，将32P03和P14连接；打开电源，指示灯正常显示3、分别把信号源产生的正弦波接在32P01、32P02、32P03上。
接在32P01时用示波器在此处观察并且调节电位器W01，使该点正弦波新号幅度约为2v，可观察PAM取样信号；接在32P02时用示波器在此处观察取样脉冲波形；示波器接在32P03上，调节32W01可以改变PAM传输信道的特性，PAM取样信号会发生改变4、PAM解调用的低通滤波器电路设有两组数据，其截止频率分别为2.6khz、5kHz。
调节不同的输入信号和不同的抽样时钟频率，用示波器观测各点的波形，验证抽样定理五、实验结果数据测量当SP302接入抽样时钟信号为16KHZ抽样时钟方波信号SP108时测量点峰峰值(V) 频率(KHZ)TP301 1.44 2.00TP302 3.64 16.65TP301 1.44 1.988TP303 0.820 1.999TP303 0.840 1.999TP304 3.12 2.002当SP302接入抽样时钟信号为8KHZ抽样时钟方波信号SP109时测量点峰峰值(V) 频率(KHZ)TP301 1.44 1.953TP302 3.60 8.064TP301 1.42 2.000 TP303 0.840 2.012 TP303 0.840 2.014 TP304 3.16 2.000。
抽样定理的证明与实际应用
抽样定理的证明与实际应用抽样定理是统计学中的一项重要理论，它描述了当样本容量足够大时，样本统计量将会逼近总体参数的真值。
它的证明可以通过数理统计学的方法进行推导，同时在实际应用中也具有广泛的应用。
首先，我们来看一下抽样定理的证明。
设总体X的均值为μ，标准差为σ，样本容量为n。
首先，我们需要知道样本均值的数学期望和方差。
样本均值的期望为总体均值μ，即E(̄X)=μ；样本均值的方差为总体方差除以样本容量的倒数，即Var(̄X)=σ^2/n。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将趋近于正态分布，即̄X〜N(μ，σ^2/n)。
由于正态分布是对称的，我们可以得到P(̄X−μ<ε)=P(−ε<̄X−μ<ε)，进一步化简为P(−ε*√(n)/σ<(̄X−μ)√(n)/σ<ε*√(n)/σ)。
正态分布的概率可以通过标准正态分布的累积概率函数进行计算，假设标准正态分布累积概率函数为Φ(z)，则上述不等式可以表示为P((̄X−μ)√(n)/σ<ε*√(n)/σ)−P((̄X−μ)√(n)/σ<−ε*√(n)/σ)=Φ(ε*√(n)/σ)−Φ(−ε*√(n)/σ)。
由于标准正态分布是对称的，我们知道Φ(−z)=1−Φ(z)，因此，上述不等式可以进一步简化为2Φ(ε√(n)/σ)−1、我们可以设定一个显著性水平α，使得2Φ(ε√(n)/σ)−1=1−α，进而求得ε，即我们所需要的样本容量。
这也是为什么在样本容量达到一定数值后，我们可以接近于总体参数的真值。
抽样定理在实际应用中有广泛的应用。
首先，它在市场调查和市场研究中非常常见。
当我们要对一个庞大的消费者群体进行调查时，往往并不需要对每一个个体进行调查，这样的工作量将会非常庞大且耗费时间和成本。
通过合理抽样，我们可以从总体中随机选取一小部分样本，然后通过对样本调查的结果进行分析，我们可以推断出总体的一些特征或者获取总体的一些信息。
抽样定理的证明与实际应用
抽样定理的证明与实际应用假人 14年5月摘要：通过实验观测了抽样信号fs(t)的频谱，研究了频谱的特点。
为了能够从抽样信号fs(t)中无失真地重建原信号f(t)而不致于产生混叠现象,采用了提高抽样频率的方法,使得滤波器的输出端只有所需要的信号频谱F(ω),从而进一步验证了著名的“抽样定理”。
关键字：抽样定理离散频谱有源低通滤波器一、抽样的概念所谓抽样。
就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，fh）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2fh)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过fh，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率fs≥2 fh时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
二、验证方法本次设计应用MATLAB验证时域采样定理。
了解MATLAB软件，学习应用MATLAB软件的仿真技术。
它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以及一些关键命令的掌握，理解，分析等。
初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。
加深理解时域采样定理的概念，掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法和掌握利用MATLAB实现连续信号采样、频谱分析和采样信号恢复的方法。
计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从而验证时域采样定理。
MATLAB是一套功能十分强大的工程计算及数据分析软件，广泛应用于各行各业。
MATLAB是矩阵实验室之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C语言和FORTRAN等语言完全相同的事情简捷得多.在新的版本中也加入了对C，c++，FORTRAN，JAVA的支持。
实验 4 抽样定理及其应用实验
实验 4 抽样定理及其应用实验通信1202 201208030223 吴铠权一、实验目的：1、通过对模拟信号抽样的实验，加深对抽样定理的理解；2、通过PAM调制实验，加深理解脉冲幅度调制的特点；3、学习PAM调制硬件实现电路，掌握调整测试方法；二、实验仪器：1、PAM 脉冲调幅模块位号： H2、时钟与基带数据发生模块位号： G3、100M 双踪示波器 1台三、实验内容：1、观测输入模拟信号、抽样脉冲、抽样信号及恢复信号波形；2、改变抽样脉冲频率,测试其对抽样信号及恢复信号的影响；3、测试接收滤波器特性对恢复信号的影响；四、实验原理：抽样定理告诉我们：如果对某一带宽有限的时间连续信号（模拟信号）进行抽样，且抽样速率达到一定数值时，那么根据这些抽样值就能准确地还原原信号。
这就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，可以只传输按抽样定理得到的抽样值。
通常，按照基带信号改变脉冲参量（幅度、宽度和位置）的不同，把脉冲调制分为脉幅调制（PAM）、脉宽调制（PDM）和脉位调制（PPM）。
虽然这三种信号在时间上都是离散的，但受调参量是连续的，因此也都属于模拟调制。
关于 PDM 和 PPM，国外在上世纪 70 年代研究结果表明其实用性不强，而国内根本就没研究和使用过，所以这里我们就不做介绍。
本实验平台仅介绍脉冲幅度调制，因为它是脉冲编码调制的基础。
本实验中需要用到以下 5 个功能模块。
1、DDS信号源：它提供正弦波等信号，并经过连线送到“PAM 脉冲调幅模块”，作为脉冲幅度调制器的调制信号。
P03测试点可用于调制信号的连接和测量；另外，如果实验室配备了电话单机，也可以使用用户电话模块，这样验证实验效果更直接、更形象，P05 测试点可用于语音信号的连接和测量。
2、抽样脉冲形成电路模块：它提供有限高度，不同宽度和频率的的抽样脉冲序列，并经过连线送到“PAM 脉冲调幅模块”，作为脉冲幅度调制器的抽样脉冲。
P09测试点可用于抽样脉冲的连接和测量。
实验报告抽样定理
实验报告抽样定理实验报告：抽样定理引言：在科学研究和实验中，抽样是一种常用的数据收集方法。
通过从总体中选择一部分样本进行观察和研究，我们可以得出对总体的推断和结论。
然而，为了确保抽样的有效性和可靠性，我们需要依靠抽样定理来指导我们的实验设计和数据分析。
一、抽样定理的概念和意义抽样定理是统计学中的重要理论基础，它给出了在一定条件下，从总体中随机抽取的样本所得到的统计量（如均值、方差等）的分布规律。
抽样定理的核心思想是，当样本容量足够大时，样本所得到的统计量的分布将趋近于总体分布，从而使我们能够通过样本来推断总体的特征。
抽样定理的意义在于提供了一种合理和可靠的方法，使我们能够通过对样本的观察和研究来推断总体的特征。
在实际应用中，我们往往无法对整个总体进行观察和研究，而只能通过抽样来获取样本数据。
抽样定理告诉我们，只要样本容量足够大且抽样方法合理，我们就可以通过对样本的研究来得出对总体的推断和结论。
二、中心极限定理中心极限定理是抽样定理中的重要概念之一。
它指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
这意味着，无论总体的分布形态如何，只要样本容量足够大，我们就可以利用正态分布的性质来进行统计推断。
中心极限定理的重要性在于它为我们提供了一种处理实际问题的方法。
通过将样本均值的分布近似看作正态分布，我们可以利用正态分布的性质来计算置信区间、假设检验等统计量，从而得出对总体的推断和结论。
三、样本容量的确定在实验设计和数据分析中，样本容量的确定是一个重要的问题。
样本容量过小会导致推断结果的不准确性，而样本容量过大则会浪费时间和资源。
为了确定合适的样本容量，我们可以借助抽样定理提供的方法和公式。
根据抽样定理，样本容量的大小应该与总体的分布特征、样本的变异程度以及推断结果的精度要求相适应。
一般来说，当总体分布接近正态分布时，样本容量的要求相对较小；而当总体分布偏离正态分布时，样本容量的要求则相对较大。
信号与系统_抽样定理
3. 如何进行信号抽样
3. 如何进行信号抽样
x(t) t
0 T 2T
x[k]x(t) tkT
如何选取抽样间隔T？
4. 信号抽样的理论推导
传统模型
x(t )
xs (t)
T (t)
...
信号理想抽样模型
xs(t )
T 0 T
... t
新模型
x[k]
x(t)
A/D x[k]
..
..
T
.
1 0 1
. k
连续时间信号的时域抽样
什么是信号抽样 为什么进行抽样 抽样定理的理论推导 抽样定理内容 抽样定理的应用
精品课件
1. 什么是信号抽样
[x,Fs,Bits]=wavread(‘myhreat’); play(x) Fs=22,050; Bits=16
1. 什么是信号抽样
x[(kt)] kt
0 T1 22T
抽样频率fs=44,100 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz 抽样频率fs=5,512 Hz
抽样前对信号进行了抗混叠滤波
研究性课题
☆时域抽样问题的探究
(1) 若连续时间信号 x(t) 的最高频率未知，如何确定 信号的抽样间隔T？
(2) 非带限信号抽样不失真条件是否也必须满足fs≥2fm ？ (3) 对连续带限信号进行抽样时，只需抽样速率 fs 2fm。
8. 抽样定理的实际应用举例
传统的车载信号系统，由于安全性及可靠性等技术的局 限，仅能作为辅助信号应用，司机必须瞭望地面信号机来驾 驶列车。
国际公认160km/h以上或高密度的列车运行已不 能靠司机瞭望地面信号方式保证安全，而必须以车载信号作 为主体号来控制列车。
抽样定理的原理及应用
抽样定理的原理及应用1. 抽样定理的原理抽样定理是概率论中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，通过抽样可以准确地推断出总体的参数或分布情况。
抽样定理的原理基于大数定律和中心极限定理。
1.1 大数定律大数定律是概率论中的一个基本定律，它描述了在重复独立试验中，随着试验次数的增加，样本均值（或频率）将收敛于总体均值（或概率）。
换句话说，大数定律表明，通过增加样本数量，可以增加估计的准确性。
1.2 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量相互独立的随机变量之和的分布将趋近于正态分布。
换句话说，中心极限定理表明，无论总体分布是什么样的，当样本容量足够大时，样本均值的分布都接近于正态分布。
2. 抽样定理的应用抽样定理在实际应用中具有广泛的用途。
下面将介绍抽样定理在统计学、市场调研和质量控制等领域的应用。
2.1 统计学中的应用在统计学中，抽样定理被广泛应用于构造信赖区间和进行参数估计。
信赖区间用于描述参数估计的不确定度，通过抽样获得的样本数据可以帮助我们估计总体参数的范围。
例如，通过抽样后的样本数据可以估计总体均值的信赖区间，从而推断总体均值的范围。
2.2 市场调研中的应用在市场调研中，抽样定理被用于确定样本容量的大小。
通过抽样的方式，可以从总体中选择一部分样本进行调研，以了解总体的特征。
抽样定理告诉我们，样本容量的大小与估计的准确性有关，通常情况下，样本容量越大，估计的准确性越高。
因此，在市场调研中，我们可以根据抽样定理计算出所需的样本容量，以确保研究结果的可靠性。
2.3 质量控制中的应用在质量控制中，抽样定理被用于进行抽样检验。
通过抽样的方式，可以从生产过程中选择一部分产品进行检验，以判断整体质量水平是否合格。
抽样定理告诉我们，当样本容量足够大时，可以通过抽样得到的样本数据准确地反映整体质量水平。
因此，在质量控制中，我们可以根据抽样定理确定合适的抽样容量，以保证检验结果的可靠性。
自-抽样定理的证明与实际应用
抽样定理的证明与实际应用假人 14年5月摘要：通过实验观测了抽样信号fs(t)的频谱，研究了频谱的特点。
为了能够从抽样信号fs(t)中无失真地重建原信号f(t)而不致于产生混叠现象,采用了提高抽样频率的方法,使得滤波器的输出端只有所需要的信号频谱F(ω),从而进一步验证了著名的“抽样定理”。
关键字：抽样定理离散频谱有源低通滤波器一、抽样的概念所谓抽样。
就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，fh）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2fh)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过fh，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率fs≥2 fh时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
二、验证方法本次设计应用MATLAB验证时域采样定理。
了解MATLAB软件，学习应用MATLAB软件的仿真技术。
它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以及一些关键命令的掌握，理解，分析等。
初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。
加深理解时域采样定理的概念，掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法和掌握利用MATLAB实现连续信号采样、频谱分析和采样信号恢复的方法。
计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从而验证时域采样定理。
MATLAB是一套功能十分强大的工程计算及数据分析软件，广泛应用于各行各业。
MATLAB是矩阵实验室之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C语言和FORTRAN等语言完全相同的事情简捷得多.在新的版本中也加入了对C，c++，FORTRAN，JAVA的支持。
统计学原理抽样定理的应用
统计学原理抽样定理的应用1. 介绍统计学原理抽样定理是统计学中的核心原理之一，它用于从总体中获取样本，并通过对样本的统计推断来进行总体的估计和推断。
在实际应用中，统计学原理抽样定理具有广泛的应用，可以帮助我们更好地了解和分析总体的特征。
2. 简单随机抽样简单随机抽样是统计学原理抽样定理中最简单和常用的抽样方法之一。
它要求从总体中选取一个样本，使得每个样本都有相同的概率被选中。
简单随机抽样的优点是易于实施，适用于各种类型的总体。
下面是简单随机抽样的步骤：•第一步，确定总体：确定需要进行抽样的总体。
•第二步，定义抽样框：将总体划分为若干个可被抽样的个体，这些个体组成了抽样框。
•第三步，确定样本容量：确定需要抽取的样本容量。
•第四步，使用随机数表或随机数生成器，从抽样框中随机选择样本。
简单随机抽样适用于各种情况，尤其是总体较小且分布未知的情况。
3. 系统抽样系统抽样是另一种常用的抽样方法，它在总体中按照一定的规则选取样本。
系统抽样的步骤如下：•第一步，确定总体：确定需要进行抽样的总体。
•第二步，定义抽样框：将总体划分为若干个可被抽样的个体，这些个体组成了抽样框。
•第三步，确定抽样间隔：确定样本个体之间的间隔，例如每隔5个个体选取一个样本。
•第四步，随机选择一个起始个体：使用随机数表或随机数生成器，在抽样框中随机选择一个起始个体。
•第五步，按照抽样间隔依次选取样本：从起始个体开始，按照抽样间隔依次选取样本，直到达到预定的样本容量。
系统抽样适用于总体有一定的规律性分布，且总体大小较大的情况。
4. 分层抽样分层抽样是根据总体的某些特征将总体划分为若干个层级，然后从每个层级中进行抽样。
分层抽样的步骤如下：•第一步，确定总体：确定需要进行抽样的总体。
•第二步，定义抽样框和层级：将总体划分为若干个层级，并确定每个层级的抽样框。
•第三步，确定每个层级的样本容量：确定每个层级需要抽取的样本容量。
•第四步，分层抽样：从每个层级的抽样框中，使用简单随机抽样或系统抽样的方法抽取相应的样本。
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抽样定理及应用一．课程设计的目的1. 掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB 的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。
2. 掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
3 . 初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。
4. 学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。
5. 加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。
6. 加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。
二．课程设计的内容及要求1.课程设计的内容离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号类似，只不过是用stem函数而不是用plot函数来画出序列波形。
命令窗口没打开时，从“Desktop”菜单中选择“Command Window”选项可以打开它。
“>>”符号是输入函数的提示符，在提示符后面输入数据和运行函数。
退出MATLAB时，工作空间中的内容随之清除。
可以将当前工作中的部分或全部变量保存在一个MAT文件中，它是一种二进制文件，扩展名为.mat。
然后可在以后使用它时载入它。
用MATLAB 的当前目录浏览器搜索、查看、打开、查找和改变MATLAB 路径和文件。
在MATLAB 桌面上，从“Desktop ”菜单中选择“Current Directory ”选项，或者在命令窗口键入“filebrowser ”，打开当前目录浏览器。
使用当前目录浏览器可以完成下面的主要任务：查看和改变路径；创建、重命名、复制和删除路径和文件；打开、运行和查看文件的内容；由于函数)(t Sa 不是严格的带限信号，其带宽m ω可根据一定的精度要求做一近似。
根据以下三种情况用MATLAB 实现采样信号及重构并求出两者误差，分析三种情况下的结果。
（1）)(t Sa 的临界采样及重构：,1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/4.2=； （2）)(t Sa 的过采样及重构：1=m ω，m c ωω1.1=，m i s p T ω/5.2=；（3）)(t Sa 的欠采样及重构：1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/5.2=。
2.课程设计的方案 2.1课程设计的原理 2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
） (2) 取样频率不能过低，必须＞2（或＞2）。
（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。
）如果采样频率大于或等于，即（为连续信号的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号 。
一个频谱在区间（- ，）以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔 （＜）上的样点值所确定。
根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。
一个时间受限信号()t f ，它集中在（m m ωω+-,）的时间范围内，则该信号的频谱()ωj F 在频域中以间隔为1ω的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1ωj F 可以惟一表示原信号的条件为重复周期m t T 21≥，或频域间隔m t f 2121≤=πω（其中112T πω=）。
采样信号 的频谱是原信号频谱的周期性重复，它每隔 重复出现一次。
当s ω＞2时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号 中恢复原信号。
（注：s ω＞2的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）(a)(b)(c)图* 抽样定理a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）2.1.2信号采样如图1所示，给出了信号采样原理图信号采样原理图（a ）由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为：∑∞-∞=-=n sT nT t t s)()(δδ其傅立叶变换为∑∞-∞=-n ssn )(ωωδω，其中ssT πω2=。
设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ss n s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ωωωωδωωπω若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至ΛΛ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。
因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图2所示。
图2 信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*t t e t e T δ=理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲。
由于)(t e 的 数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设00)(<∀=t t e所以)(*t e 又可表示为*()()()n e t e nT t nT δ∞==-∑2.1.3信号重构设信号)(t f 被采样后形成的采样信号为)(t f s ，信号的重构是指由)(t f s 经过内插处理后，恢复出原来信号)(t f 的过程。
又称为信号恢复。
若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω，经采样后的频谱为)(ωj F s 。
设采样频率msωω2≥，则由式（9）知)(ωj F s是以sω为周期的谱线。
现选取一个频率特性⎪⎩⎪⎨⎧><=ccsT j H ωωωωω0)(（其中截止频率c ω满足2sc m ωωω≤≤）的理想低通滤波器与)(ωj F s 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(ωj F 。
显然，)()()(ωωωj H j F j F s =，与之对应的时域表达式为)(*)()(t f t h t f s = （10）而∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n s s n s s nT t nT f nT t t f t f )()()()()(δδ)()]([)(1t Sa T j H F t h ccsωπωω==- 将)(t h 及)(t f s 代入式（10）得∑∞-∞=-==n scscsccssnT t Sa nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(ωπωωπω （11）式（11）即为用)(s nT f 求解)(t f 的表达式，是利用MATLAB 实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(t Sa c ω在此起着内插函数的作用。
例：设ttt Sa t f sin )()(==，其)(ωj F 为： ⎪⎩⎪⎨⎧><=11)(ωωπωj F即)(t f 的带宽为1=m ω，为了由)(t f 的采样信号)(t f s 不失真地重构)(t f ，由时域采样定理知采样间隔πωπ=<ms T ，取π7.0=sT （过采样）。
利用MATLAB 的抽样函数t t t Sinc ππ)sin()(=来表示)(t Sa ，有)/()(πt Sinc t Sa =。
据此可知： ∑∞-∞=-==n s c s c s c c s s nT t Sinc nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(πωπωωπω通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为w m 的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/w m, 该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。
根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。
利用MATLAB 中的抽样函数来表示Sa(t)，有，，于是，信号重构的内插公式也可表示为：2.2设计的思路连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。
严格来说，MATLAB 并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。
当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。
时域对连续时间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了采样信号的频谱。
在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。
这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。
通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。
2.3详细设计过程2.3.1)(t Sa 的临界采样及重构1实现程序代码当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m s ωω2=时，称为临界采样. 修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的临界采样及重构程序代码；wm=1;%升余弦脉冲信号带宽wc=wm; %频率 Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止频率 n=-100:100; %定义序列的长度是201 nTs=n*Ts %采样点 f=sinc(nTs/pi); %抽样信号 Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); %信号重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)'); grid;2程序运行运行结果图与分析图3 )(t Sa 的临界采样及重构图运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。