第二章 三类典型的偏微分方程讲解

y
O
Lx
第二章 三类典型的偏微分方程
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。 要确定弦的运动方程，需要明确：
确定 弦的 运动 方程
(1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u ( x, t)
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）

a2
2u x2

g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u t 2

a2
2u x2
------齐次方程
第二章 三类典型的偏微分方程
当存在外力作用时：
假设外力在 x处外力密度为：F(x,t) 方向垂直于 x 轴。
T
u(x x,t) x

通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．
根据Newton第二定律，就得到：
P(x

dx, t )

P( x, t ) S

Sdx
2u t 2
根据胡克定律 P E u
x
2u E 2u 0
t 2 x2
2u t 2

a2
2u x2

0
令：a
E
2u P
t 2 x
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
设ρ为空气的密度，u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：

u u 0

gs
T
x
x x x
由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， u 很小，从而
x
x x
s x 1dx x
可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可
知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时
间无关。即 x点处的张力记为T (x)。
由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
由于振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
第二章 三类典型的偏微分方程
作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿 运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。
横向：T (x) cos T (x x) 'cos '
其中：cos 1 cos ' 1
横向： T (x) T (x x) ' 0
M'
s
T'
'
T
2u( x, t ) x2
x

xg

x
2u( x, t ) t 2

0

T
M
gs
x
x x x
第二章 三类典型的偏微分方程
2u( x, t ) t 2

T

u2 (x, t) x2

g
令：
a2

T

a 就是弦的振动传播速度
2u t 2

a2

2u x2

2u y2

f
(x,
y,t)
三维波动方程：
2u t 2

a2

2u x2

2u y2

2u z 2

f
(x,
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y, z,t)
第二章 三类典型的偏微分方程
总结：
建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。 由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象 能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素， 使问题得到适度的简化。

g

f
( x, t )
f (x,t) F(x,t)

为单位质量在 x 点处所受外力。
第二章 三类典型的偏微分方程
弦振动方程中只含有两个自变量：x,t 。由于它描写的是
弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波 动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：
二维波动方程：
2u t 2
也就是说，张力 T 是一个常数。
y
M'
s
T'
'
M

gs
T
x
x x x
第二章 三类典型的偏微分方程
纵向：T(x)sin T(x x)'sin ' sg sa
a 为小弦段在纵向的加速度
sin tan u(x,t) , sin ' tan ' u(x x,t)
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：
第二章 三类典型的偏微分方程
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。
研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
第二章 三类典型的偏微分方程
简化假设：
在弦上任取一小段 (x, x x)它的弧长为：
s
x x x
1

(
u x
)2
dx
y
M'
s
T'
'
M
x
x
T
u(x x,t) x

u ( x, t ) x


xg

x
2u( x, t ) t 2

0
由中值定理：
u(x x,t) x

u( x, t ) x

2u(x x,t)
x2
x
0 1
y
令x 0，此时x x x
u(x, x
t
)


xg

x

2u(x, t 2
t
)

x x
F ( ,t)dx
x
等号两边用中值定理：并令 x 0
T
2u( x, t ) x2

g


2u( x, t ) t 2

F ( x, t )
等号两边除以
2u t 2

a2
2u x2
第二章 三类典型的偏微分方程
三类典型的偏 微分方程
第二章 三类典型的偏微分方程
2.1 波动方程
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。
一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、 L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向 振动时，求这根弦上各点的运动规律。
t x x

u u u 1 p
t x x

a2 p

动力学方程 连续性方程 物态方程
考虑到微小压力波，u 是一阶小量，u 和u u是二阶小量
x x
u， u 1 p