2013年陕西高考数学试题及答案(文科)

2013年陕西高考数学试题及答案(文科)
一、选择题
1． 设全集为R ，函数f(x)＝1－x 的定义域为M ，则∁M 为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)
1．B [解析] M ＝{x|1－x ≥0}＝{x|x ≤1}，故∁M ＝ (1，＋∞)．
2． 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2
C ．－2或 2
D ．0
2．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m
2，解得m ＝2或－
2.
3． 设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b
C ．log a (bc)＝log a b ·log a c
D ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c 3．B [解析] 利用对数的运算性质可知C ，D 是错误的．再利用对数运算性质log a b ·log c b
≠log c a.又因为log a b ·log c a ＝lg b lg a ×lg a lg c ＝lg b
lg c
＝log c b ，故选B.
4． 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )
输入x ；
If x ≤50 Then y ＝0.5*x
Else
y ＝25＋0.6*(x －50)
End If 输出y.
A ．25
B ．30
C ．31
D ．61
4．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，
25＋0.6（x －50），x>50，输入x ＝60
时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.
5．， 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
图1－1
A ．0.09
B ．0.20
C ．0.25
D ．0.45
5．D [解析] 利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为
0.25＋0.2＝0.45.
6．， 设z 是复数，则下列命题中的假．
命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0
6．C [解析] 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈)，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ，若z 2≥0，则⎩
⎪⎨⎪
⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0， 即
b ＝0，故z 是实数，A 正确．若z 2
<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2<0，即⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0， 故B 正确．若z 是虚数，
则b ≠0，z 2＝a 2－b 2
＋2abi 无法与0比较大小，故C 是假命题．若z 是纯虚数，则⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0， z
2＝－b 2<0，故D 正确．
7． 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2
7．A [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x ∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－2，2)时，z 取最小值，为2×(－2)－2＝－6.
8． 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
8．B [解析] 由题意点M(a ，b)在圆x 2＋y 2＝1外，则满足a 2＋b 2>1，圆心到直线的距
离d ＝1
a 2＋
b 2
<1，故直线ax ＋by ＝1与圆O 相交．
9． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
9．A [解析] 结合已知bcos C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2A ⇒sin A ＝sin 2A ⇒sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．
10． 设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )
A ．[－x]＝－[x] B.⎣⎡⎦
⎤x ＋1
2＝[x] C ．[2x]＝2[x] D ．[x]＋⎣⎡⎦⎤x ＋1
2＝[2x] 10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A
错．[x ＋1
2
]＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B 错. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C
错．[x]＋ [x ＋1
2
]＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D 正确．
11． 双曲线x 216－y 2
9
＝1的离心率为________．
11.54 [解析] 由双曲线方程中a 2＝16, b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝25，则e ＝c a ＝54
. 12． 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．
面积为________．
图1－2
12．3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面
圆，代入数据计算为S ＝1
2×4π×12＋π×12＝3π.
13． 观察下列等式 (1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……
照此规律，第n 个等式可为______________． 13．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1) [解析] 结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n 项，且从(n ＋1)一直到(n ＋n)，右侧第一项为2n ，连乘的第一项为1，最后一项为(2n －1)，故所求表达式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)．
14． 在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______(m)．
图1－3
14．20 [解析] 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边
长为y ，则x 40＝40－y 40，所以y ＝40－x ，又有xy ≤
⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y 时等号成立，则x ＝40－x ，即x ＝20，故矩形面积最大时x 的值为20.
15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ． (不等式选做题)设a ，b ∈，|a －b|>2，则关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|>2的解集是________．
(－∞，＋∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x －a|＋|x －b|≥|(x －a)－(x －b)|＝|b －a|＝|a －b|.又由|a －b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．
B ． (几何证明选做题)如图1－4所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作B
C 的平行线与A
D 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则P
E ＝________．
图1－4
6 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PE PA ＝PD
PE
，而PD ＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2＝PA·PD ＝6，PE ＝ 6. C ． (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，
y ＝2t ，(t 为参数)的焦点坐标是________．
(1，0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y 2＝4x ，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．
16．， 已知向量＝⎝
⎛⎭⎫cos x ，－1
2，＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈，设函数f(x)＝ (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最大值和最小值．
16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12
cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6.
(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω
＝2π
2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π
6
.
由正弦函数的性质， 当2x －π6＝π2，即x ＝π
3时，f(x)取得最大值1.
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－1
2，
当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1
2
，
∴f(x)的最小值为－1
2.
因此，f(x)在[0，π2]上最大值是1，最小值是－1
2
.
17． 设S n 表示数列{}a n 的前n 项和．
(1)若{}a n 是等差数列，推导S n 的计算公式；
(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n
1－q .判断{}a n 是否为等比数列，并证明
你的结论．
17．解： (1)方法一：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]，
又S n ＝a n ＋(a n －d)＋…＋[a n －(n －1)d]， ∴2S n ＝n(a 1＋a n )，
∴S n ＝n （a 1＋a n ）2
.
方法二：设{}a n 的公差为d ，则
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1
＝[a 1＋(n －1)d]＋[a 1＋(n －2)d]＋…＋a 1，
∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d]＋[2a 1＋(n －1)d]＋…＋[2a 1＋(n －1)d] ＝2na 1＋n(n －1)d ，
∴S n ＝na 1＋n （n －1）
2
d.
(2){}a n 是等比数列．证明如下：
∵S n ＝1－q n
1－q ，
∴a n ＋1＝S n ＋1－S n
＝1－q n ＋
11－q －1－q n 1－q ＝q n （1－q ）1－q
＝q n .
∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有 a n ＋1a n ＝q n q n －1
＝q.
因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．
18．， 如图1－5，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.
图1－5
(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．
18．解： (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⃘平面CD 1B 1，
∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，
∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C. 又A 1B ⃘平面CD 1B 1，
∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，
∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，
∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．
又∵AO ＝1
2
AC ＝1，AA 1＝2，
∴A 1O ＝AA 21－OA 2
＝1，
又∵S △ABD ＝1
2
×2×2＝1，
∴VABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.
19． 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A
B
C
D
E
人数
50 100 150 150 50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，
其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；
组别 A B C D E 人数 50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
19．解： (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E 人数 50
100
150
150
50
抽取人数
3 6 9 9 3
(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{}a 1，a 2，a 3和{}b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6中各抽取1人的所有结果为：
图1－6
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2
共4种，故所求概率P ＝418＝2
9.
20．， 已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点P(0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．
20．解： (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2（x －1）2＋y 2.
化简得x 24＋y 2
3
＝1，
所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)方法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 2
3＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0.
由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k
3＋4k 2
，①
x 1x 2＝24
3＋4k 2.②
又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①，②，得
x 1＝－8k 3＋4k 2，x 2
1＝123＋4k 2
， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k
2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝3
2
，
所以，直线m 的斜率为－32或3
2
.
方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，
∴x 1＝x 2
2，①
y 1＝3＋y 22.②
又x 214＋y 21
3＝1，③ x 2
24＋y 22
3
＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2
＝0，
即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)，
所以，直线m 的斜率为－32或3
2.
21．， 已知函数f(x)＝e x ，x ∈
(1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；
(2)证明：曲线y ＝f(x)与曲线y ＝1
2
x 2＋x ＋1有唯一公共点；
(3)设a<b ，比较f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）
b －a 的大小，并说明理由．
21．解： (1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x ，
设所求切线的斜率为k ，
∵g ′(x)＝1
x ，∴k ＝g′(1)＝1.
于是在点(1，0)处切线方程为y ＝x －1.
(2)方法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝e x －1
2x 2－x －1零
点的个数．
∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x ＝0.
又φ′(x)＝e x －x －1，令h(x)＝φ′(x)＝e x －x －1， 则h′(x)＝e x －1.
当x<0时，h ′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x>0时，h ′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴φ′(x)在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在上的最小值为φ′(0)＝0， ∴φ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x)在上是单调递增的， ∴φ(x)在上有唯一的零点．
故曲线y ＝f(x)与曲线y ＝1
2
x 2＋x ＋1有唯一公共点．
方法二：∵e x >0，1
2x 2＋x ＋1>0，
∴曲线y ＝e x 与y ＝1
2
x 2＋x ＋1公共点的个数等于
曲线y ＝12
x 2
＋x ＋1e x 与直线y ＝1公共点的个数．
设φ(x)＝12
x 2
＋x ＋1e x
，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．
又φ′(x)＝（x ＋1）e x －⎝⎛⎭
⎫12x 2＋x ＋1e x e 2x
＝－12x 2e x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x)在上单调递减，
∴φ(x)与y ＝1有唯一的公共点，
故曲线y ＝f(x)与y ＝1
2
x 2＋x ＋1有唯一的公共点．
(3)f （b ）－f （a ）b －a －f ⎝⎛⎭⎫
a ＋
b 2＝e b
－e a
b －a －e a ＋b 2 ＝e b －e a －be a ＋b 2＋ae a ＋b 2b －a ＝
e
a ＋b
2b －a
⎣⎡⎦
⎤e b －a 2－e a －b 2－（b －a ）.
设函数u(x)＝e x －1e x －2x(x ≥0)，则u′(x)＝e x ＋1e x －2≥2e x ·1
e
x －2＝0.
∴u ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)，
∴u(x)单调递增．
当x>0时，u(x)>u(0)＝0.
令x ＝b －a 2，则得e b －a 2－e a －b 2－(b －a)>0.
∴f （b ）－f （a ）b －a >f
⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.。