第3章 网孔分析法和节点分析法(新)

+
+
4Ω
ia i1 i2
8V
_
i1 u_a 5Ω i2
0.2ua ua 5 i1 i2
ia
（1）把受控源看作独立电源
i2 0.2ua
5 13 1 2 1 2
i1 i3 2ia
补充方程
5i1 10 4i3 4 5i2 8 4ib
18 i1 8
1 i2
0
0 i3 0
完备性 独立性
可以求出所有支路电流，或者说所有支路电流 是网孔电流的线性组合。
i1 _ +
i3
i4
ia
i6
+
ic +
_ i2 ib
_ i5
支路电流
i1 = ia i2 = ib i3 = ic i4 = ia- ic i5 = ib- ic i6 = ia- ib
网孔电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流 进一次，流出一次，自动满足KCL。以网孔电流为未知量 列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。
练习
10Ω
_ 4ib +
+ 2ia _
ib
+
+
4Ω
8V
_
u_a 5Ω
0.2ua
ia
作业 3.5
+ 4ix _ 4Ω
ix
2Ω
2Ω
2Ω
1A
§3.2 节点（结点）电压法 (node voltage method)
在网孔分析法中我们运用个网孔独立电流变量 建立电路方程，同样也可以用独立电压变量来建立 电路方程。b条支路、n个结点的电路, （n-1）个独 立KCL和（b-n+1）独立回路（网孔）KVL。对于 具有n个结点的连通电路来说，它的(n-1)个结点对 第n个结点的电压，就是一组独立电压变量。用这些 结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。 这样，只需求解(n-1)个结点方程，就可得到全部结 点电压，然后根据KVL方程可求出各支路电压，根 据VCR方程可求得各支路电流。
一.结点电压
1、参考结点 1
又称参考点，任意选取的 一个结点作为电位参考点或零 电位点，用接地符号表示。
2 3
0
2、结点电压
选取零电位点后， u10， u20， u30，称为结点电压， 记为u1， u2， u3。
二.结点电压的特点
完备性 独立性
可以求出所有支路电压； 结点电压相互独立，不能互求。
三.列写结点方程
本章介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电路 方程的分析方法，可以进一步减少联立求解方程的数目， 适合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是“笔”算 求解线性电阻电路最常用的分析方法。
§3.1 网孔电流法 (mesh current method)
如用支路电流法分析电路，独立方程数为支路个数，电
路方程数较多。 电路的网孔数必定小于支路个数，应用网
将网孔方程写成一般形式： +
R11 ia + R12 ib +R13 ic= uS11 u_s1 R21 ia + R22 ib +R23 ic= uS22
R31 ia + R32 ib +R33 ic= uS33
i1 R1
R2 i2
+
ia R5
ib
R4
R6
_us2
_ us4 + ic
i3 R3
+ us3 _
6i1 4i3 12 4i1 13i3 12
6 4
4
13
i1 i2
12 12
2、等效变换
5Ω + 6V _
10i1 4i2 2i3 4i4 8
i2
●
●
1A
4Ω + 8V _
1A
i3 2Ω
●
i 4Ω
1
i4
●
5Ω + 6V _
4i1 9i2 8 6 i3 1A i4 1A
（3） uskk，k 网孔内所有电压源之代数和，电压升取 “+”，电压降取“-” ；
例. 已知R1=5 ; R2=10 ; R3=20 ，求各支路电流。
（1）给网孔电流选取 参考方向（刚开始都 用顺时针或逆时针， 标出方向）
(2) 求矩阵元 R11＝R1＋R3＝25
R12＝R21＝-20
+ u_s1
ia R5 R4
ib R6
+ _us2
R33= R3+ R4+ R6 。
_ us4 + ic
i3 R3
+ us3 _
+ R11 R12 R13 ia uS11 u_s1 R21 R22 R23 ib uS22 R31 R32 R33 ic uS33
R22＝R2＋R3＝30
US11＝20V
US22＝-10V
i1 R1
+
20V
_
ia R3
R2 i2
+
ib
10V
_
(3) 列方程
25 20
20 30
ia ib
20 10
(4) 计算
i1 R1
R2 i2
由：
25 20
20 30
i i
a b
20 10
+
20V
_
i3
ia R3
ib
+ _10V
i1 R1
R2 i2
+
ia R5
ib
R4
R6
_us2
_ us4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ ic
i3 R3
+ us3 _
Rkj ( k j ) 称为网孔k与网孔 j 的互电阻，它们是两网
孔公共电阻。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取
正号，当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号。
例： R12= R21=－R5 ; R13= R31=－R4 ; R23= R32=－R6 。
6i2 4i3 10 u
2i1 4i2 10i3 4
i1 i2 2
补充方程
4、超级网孔法
网孔方程是描述网孔的KVL方程，当两个网孔共 有一个电流源（独立源或受控源）时就产生超级网孔。
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
成一个网孔，即
3
超级网孔
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
(G1＋G4)u1－G1u2－G4u3= iS1 －G1u1 +(G1+ G2＋G3) u2－G3u3= 0 －G4u1－G3u2+ (G3 +G4 ) u3 = iS2
(G1+G4)u1 – G1u2 – G4u3= iS1
– G1u1 +(G1+ G2＋G3) u2 – G3u3= 0 – G4u1 – G3u2+ (G3 +G4 ) u3 = iS2
2Ω
+ 2ix _
6i1 4i2 4
+
4V
_
i1 4Ω
i2 3Ω
4i1 7i2 2ix
ix
ix i1 i2 补充方程
6i1 4i2 4 2i1 5i2 0
6 2
4i1
5
i2
4 0
10Ω
_ 4ib +
（2）将控制变量用 网孔电流表示
2ia
i3
ib
ib i2 i3
用结点电压列写KCL方程 VCR: G1(u1－u2) = i1 G2u2 = i2 G3(u2－ u3)＝ i3 G4(u1－u3)= i4
G4 i4
i1 1
is1
G1
2
i3
3
i2 G3
G2
is2
KCL：
把VCR代入KCL得：
i1+i4 = iS1 i1－i2－i3 = 0 －i3－i4 = iS2
第3章 网孔分析法和节点分析法
重点
★★★
熟练掌握电路方程的列写方法和计算 网孔分析法 节点分析法
引言
第一章介绍的2b法，支路电流法和支路电压法可以 解决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求 解的方程数目太多，给“笔”算求解带来困难。
在第二章讨论了利用网络等效进行电阻电路分析，不 用求解联立方程，就可以求得电路中的某些电压电流。
孔分析法可以减少电路方程数。
1. 网孔电流
设想在每个网孔内存在一假 想的电流沿着构成该网孔的各支 路循环流动，称此假想的电流为 网孔电流。
图示电路中ia、ib、ic为网孔电 流。它是一组能确定全部支路电 流的独立电流变量。
i1 _ +
i3
i4
ia
i6
+
ic +
_ i2 ib
_ i5
2. 网孔电流具有以下令人感兴趣的特点
网孔① －uS1＋i1R1＋i5R5＋uS4＋i4R4 = 0
网孔② 网孔③
i2R2＋ uS2－i6R6－i5R5 = 0 i6R6－uS3＋i3R3－i4R4－uS4 = 0
把支路电流方程代入KVL方程─→网孔方程
整理可得：
(R1+R4+R5) ia－R5 ib－R4 ic= uS1－uS4 －R5 ia + (R2+R5+R6) ib－R6 ic=－uS2 －R4 ia－R6 ib+ (R3+R4+R6) ic = uS3+ uS4
网孔方程的 矩阵形式：
R11 R12 R13 ia uS11 R21 R22 R23 ib uS 22 R31 R32 R33 ic uS 33
其中：
RKK称为网孔K的自电阻，它们分别是各网孔内全部
电阻的总和，恒为正号。
i1 R1
R2 i2
例如
R11= R1+ R4+ R5 , R22= R2 + R5+ R6 ,
规则：
R11 R12
R21
R22
Rn1
Rn2
R1n i1 us11
R2n
i2
us
22
Rnn
in
usnn
其中: （1） Rij : i =j 时，（对角线元素）自电阻，即i 网孔 内所有电阻之和；
（2） Rij : i≠j 时，（非对角线元素）互电阻，即i网 孔与j 网孔共有电阻之和；（两网孔电流方向一致时 取“+”，方向不一致时取“-”）
i3 2.5A u0 2.5V
作业 3.3
列写网孔方程，并求出u0 4Ω
+ u0 _
2Ω
2Ω
2Ω
1A
4Ω
3A
作业 3.4
+
6V
_
5Ω
4Ω
2A
3Ω
列写网孔方程
+
2V
_
三.含受控电源的网孔方程
对含有受控电源支路的电路，（1）把受控源看作独立电源； （2）将控制变量用网孔电流表示;（3）列方程求解
●
2Ω
+
2V
_
i2
4Ω + 8V _
i
1
●
4Ω
+
4V
_
10 4
4
9
i1 i2
10
2
3、中间的电流源
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
+ 4V _
3
2Ω +
4Ω
2Ω
iu
i
+
_ 2A
1
2
6_V
增加一个电压变 量u（把电流源看 做电压源，列写 方程），网孔1和 网孔2互电阻为0
4i1 2i3 12 u
3Ω
6Ω
+
+
6Ω
10V
_
+ 2V_
4V
_
作业 3.2
+
3V
_
2Ω
4Ω 2Ω
+ 2V _
列写网孔方程
2Ω
●
4Ω
+
+ 2_V
6Ω
4V
_
●
二.含独立电流源的网孔方程
1、边沿的电流源
3Ω
i
+
4Ω
3
6Ω
8V
_
i
2Ω i
1
2 2A
网孔电流等于支路电 流等于电流源电流
i2 2A
6i1 2i2 4i3 8 i2 2A 4i1 6i2 13i3 0
20 20
10 30 8
ia 25
1.143A 20 7
20 30
i1 = ia = 1.143A
25 20 ib 25 20
20 10 3 0.429A 20 7 30
i2 = ib =0.429A i3 = ia － ib
=0.714A
作业 3.1
求各元件电流、电压和功率（要求用网孔分析法）
节点电压方程标准形式：
G11u1+G12u3+G13u3=iS11 G21u1+G22u2+G23u3=iS22 G31u1+G32u2+G33u3=iS33
G4 i4
i1 1
is1
G1
2
i3
3
i2 G3
G2
is2
G11 G12 G13 u1 iS11 G21 G22 G23 u2 iS22 G31 G32 G33 u3 iS33
i3 R3
+ us3 _
uSkk为K网孔中全部电压源电压升的代数和。网孔电流从 电压源正端流出取正号；反之则取负号。
例如: uS11= uS1 －uS4 , uS22 =－uS2 , uS33 = uS4 + uS3 。
网孔方程的矩阵系数定义后，只需用观察法根据电路的连 接形式直接列写方程。一般情况方程的矩阵形式只适用于电 路中只含有独立电压源和线性电阻的平面电路。
3. 列写网孔方程
选取网孔电流参考方向
支路电流方程：
i1 = ia i2 = ib i3 = ic i4 = ia- ic i5 = ia- ib i6 = ic- ib
列写KVL方程：
i1 R1
R2 i2
+ u_s1
i5 ia R5
ib
R4
R6
+ _us2
i4
_ us4 + ic
i6
i3 R3
+ us3 _
2
+
超级网孔
6_V
KVL 方程
4i1 6i2 6i3 12 6 4
2i1 4i2 10i3 4
i1 i2 2 补充方程
5、改变电路结构
使电流源位于外边沿支路。
2
1
1
+ 5A
10V
2
_
+ 1 u_0
1
1
5A 2
i2 2
+
i1
+
1_0V
i3 1 u_0
i1 5A 2i1 5i2 2i3 10 2i2 4i3 0
不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj ,系数矩阵为对称矩阵。
+ R11 R12 R13 ia uS11 u_s1 R21 R22 R23 ib uS22 R31 R32 R33 ic uS33
i1 R1
R2 i2
+
ia R5
ib
R4
R6
_us2
_ us4 + ic