第一章 什么是组合数学
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4.解：f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=8.
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
f(n)=
f(12)= =233.
(2)g(1)=0,g(2)=3,g(3)=0，g(4)=12,g(5)=0
（4）当m为奇数，n同时为奇数时，m*n为奇数，则棋盘中有奇数个方格，所以在多米诺牌尽可能多覆盖棋盘时，必然会留出一个方格，因此不能由多米诺牌完美覆盖。
所以综上：一张m行n列棋盘被多米诺牌完美覆盖当且仅当m和n中至少有一个是偶数。
2.证明：因为左上角的方格为白色，所以白色方格必然落在偶数行与偶数行交叉位置和奇数行与奇数列交叉位置上。
第一章什么是组合数学
1.证明：因为一张多米诺牌覆盖两个方格。所以，
（1）当m、n同时为偶数时，m*n偶数，则棋盘可以由整数个多米诺牌完美覆盖。
（2）当m为偶数，n为奇数时，m*n为偶数，则棋盘中有偶数个方格，所以可以由多米诺牌完美覆盖。
（3）当m为奇数，n为偶数时，m*n为偶数，则棋盘中有偶数个方格，所以可以由多米诺牌完美覆盖。
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
11.证明：
假设2阶幻方存在，为
则a+b=b+d,则a=d
这与一个n阶幻方是由整数1,2,3，……n^2组成的n*n方阵矛盾。
所以假设不成立，即不存在2阶幻方。
12.解：30 39 48 1 10 19 28
38 47 7918 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
f(n)=
f(12)= =233.
(2)g(1)=0,g(2)=3,g(3)=0，g(4)=12,g(5)=0
（4）当m为奇数，n同时为奇数时，m*n为奇数，则棋盘中有奇数个方格，所以在多米诺牌尽可能多覆盖棋盘时，必然会留出一个方格，因此不能由多米诺牌完美覆盖。
所以综上：一张m行n列棋盘被多米诺牌完美覆盖当且仅当m和n中至少有一个是偶数。
2.证明：因为左上角的方格为白色，所以白色方格必然落在偶数行与偶数行交叉位置和奇数行与奇数列交叉位置上。
第一章什么是组合数学
1.证明：因为一张多米诺牌覆盖两个方格。所以，
（1）当m、n同时为偶数时，m*n偶数，则棋盘可以由整数个多米诺牌完美覆盖。
（2）当m为偶数，n为奇数时，m*n为偶数，则棋盘中有偶数个方格，所以可以由多米诺牌完美覆盖。
（3）当m为奇数，n为偶数时，m*n为偶数，则棋盘中有偶数个方格，所以可以由多米诺牌完美覆盖。
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
11.证明：
假设2阶幻方存在，为
则a+b=b+d,则a=d
这与一个n阶幻方是由整数1,2,3，……n^2组成的n*n方阵矛盾。
所以假设不成立，即不存在2阶幻方。
12.解：30 39 48 1 10 19 28
38 47 7918 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45