第一章 什么是组合数学
《组合数学》教学大纲
《组合数学》教学大纲《组合数学》教学大纲一、课程基本信息1、课程中文名称：组合数学2、课程类别：专业选修课3、适用专业：数学与应用数学、计算机专业4、课程地位：专业选修课5、总学时：30学时6、总学分：27、先修课程：数学分析、微分方程、高等代数二、课程目标1、组合数学是计算机应用领域中十分重要的基础理论课程，是计算机应用技术研究生的学位专业基础课。
学习该课程的主要目的是使学生掌握组合数学的理论、技术和方法。
应用组合数学方法解决实际工作中的计算机应用问题。
组合数学是一门提高思维分析能力和自我构造算法本领的必修课程。
2、通过组合数学这门课程的学习，可以有效地锻炼学生的论证能力，培养学生用组合学的思想和方法分析问题和解决问题的能力。
使学生能得到严格的逻辑推理与抽象思维能力的训练，建立数学模型与计算机科学实践之间的内在联系，不仅可以提高专业开发能力，而且为计算机教育打好数学基础。
通过本课程的学习，应达到知识和能力两方面的目标：(1)知识方面：系统地学习组合数学中的排列与组合、容斥原理及其应用、递归关系、生成函数、整数的分拆、鸽巢原理和定理、二分图问题和组合设计。
为解决实际问题，提高计算机专业开发能力打好知识基础。
(2)能力方面：使学生能得到组合数学的思想、方法和理论严格的逻辑推理与抽象思维能力的训练，了解数学中的抽象思维与计算机科学实践之间的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力3、本课程开设时间比较灵活，总学时数为30学时。
三、课程内容第一章排列与组合（8学时）[教学目的与要求]本部分集中介绍排列和组合。
使学生认识到排列和组合是组合数学研究的最简单、最基本的课题。
通过三个基本计数原理及排列、组合公式的研究，进一步讨论了几个计数问题，能体会要想完满地解决一个排列和组合问题，往往需要较强的组合思维、巧妙的组合方法、熟练的组合技巧。
本章内容初步展示了组合数学的迷人魅力，有利于激发学生学习后续内容的兴趣。
§1.1 加法规则和乘法规则§1.2 排列§1.3 组合§1.4二项式定理§1.5组合恒等式第二章鸽笼原理（4学时）[教学目的与要求]本部分集中介绍鸽笼原理和定理，所谓的鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey 定理的特例。
高中数学组合数学与应用
高中数学组合数学与应用组合数学是高中数学的一个重要内容，它是数学中研究离散结构、组合问题的一个分支，也是许多实际问题的数学建模工具。
在本文中，我们将介绍组合数学的基本概念和应用。
一、组合数学的基本概念组合数学主要研究离散的、无序的集合以及其中的元素组合的方式。
下面是组合数学中常用的概念：1. 排列排列是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行有序排列的方法数，通常用$P(n,m)$表示。
2. 组合组合是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行无序组合的方法数，通常用$C(n,m)$或$\binom{n}{m}$表示。
3. 排列组合公式排列和组合之间存在一定的关系，可以通过以下公式进行转化：$$C(n,m)=\frac{P(n,m)}{m!}=\binom{n}{m}$$4. 二项式系数二项式系数是指二项式展开的系数，通常用$\binom{n}{k}$表示。
它的计算公式是：$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$二、组合数学的应用组合数学在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 梅化尔问题梅化尔问题是组合数学中的经典问题之一。
问题描述为：在一个$n$个人的舞会中，每个人都想和其他所有人跳一次舞。
问需要进行多少次舞会可以满足所有人的需求？解答该问题需要使用组合数学的知识，即求解$n$个元素的排列数$P(n,n)$。
答案为$(n-1)!$次。
2. 集合运算组合数学中的集合运算包括并集、交集和差集等。
这些运算在数据库查询、信息检索等领域中得到广泛应用。
3. 赛事安排在体育赛事中，如何安排参赛队伍的对战组合是一个常见的问题。
组合数学可以帮助我们确定合适的赛程安排，以确保每个队伍都能与其他所有队伍进行比赛。
4. 密码学密码学是组合数学的重要应用领域之一。
组合数学中的排列和组合技术被广泛应用于密码的生成、破解以及信息加密等方面。
5. 图论图论是组合数学中的一个重要分支，它研究的是离散结构中的节点和边的关系。
组合数学引论教学设计
组合数学引论教学设计引言组合数学是数学中非常重要的分支，其研究对象是离散的结构和离散的问题。
组合数学的研究范围非常广阔，涉及到很多计算机、统计学、优化问题等领域，因此其教学也非常重要。
本文主要介绍组合数学引论的教学设计，旨在提高学生的兴趣，增强其掌握组合数学的能力。
教学目标•了解组合数学的基本概念和方法•掌握组合数学的常见应用•能够熟练运用组合数学的知识解决实际问题教学内容第一章：组合数学基础知识•排列与组合的定义•排列与组合的计算公式•排列与组合的应用第二章：图论与组合•图的基本概念•图的遍历算法•图的连通性问题•图的匹配问题第三章：树形计数•卡特兰数的定义•卡特兰数的递推公式•卡特兰数的应用第四章：生成函数•生成函数的定义•普通生成函数与指数型生成函数•生成函数的应用第五章：容斥原理•容斥原理的定义•容斥原理的应用•容斥原理的拓展应用教学方法•讲授法•课堂演示法•问题解决法•案例分析法教学评价课堂表现•准确性：理论知识掌握情况是否正确•严谨性：掌握概念和运算的准确性•灵活性：是否能够根据问题选择正确的解决方法•应用性：是否能够将理论知识用于实际问题的解决考试成绩•课堂测试：每章的小测验•期末考试：覆盖整个课程的考试教学资源•教材：《组合数学引论》（第2版）•幻灯片：基础概念、定理和例子的演示•作业：课后习题教学时间安排章节时间（周）第一章 2第二章 2第三章 2第四章 2第五章 2章节时间（周）期末复习 1期末考试 1总共时间10总结组合数学引论的教学设计任务繁重，但是非常重要。
本文提出了教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源和教学时间安排等方面的指导，旨在帮助教师制定更有针对性的教学计划，提高学生的学习效果。
同时，在教学实践中，还应根据学生的实际情况不断调整教学内容和方法，使教学更加灵活、科学、高效。
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
前言-组合数学概述ppt课件
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27
Ramsey数
推广为一般问题：给定任意正整数a和b， 总存在一个最小整数 r(a,b)，使得r(a,b) 个人中或者有 a 个人互相认识，或者 有 b 个人互相不认识。称 r(a,b) 为 Ramsey数。
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28
Erdös -Szekeres 定理
Ramsey定理是由Erdös和Szekeres于1935年提 出的。它是下述定理的一个推广：
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Euler 定理
如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途 径，则称这个图为欧拉图。
对任意的非空连通图，若它是欧拉的, 当且仅当它 没有奇度点。
Königsberg桥对应的图
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36 军官问题 (欧拉 1779)
The Great Frederic的阅兵难题-------欧拉的困惑
1 1，1 1，2，1 1，3，3，1 1，4，6，4，1 1，5，10，10，5，1 1，6，15，20，15，6，1
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七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问 题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥 通过一次且仅通过一次。
Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。
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中国邮递员问题
1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著 名的“中国邮递员问题”。
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖 的每一条街道，然后返回邮局。那么如何 选择一条尽可能短的路线。
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中国邮递员问题
这个问题可以转化为：给定一个具有非负 权的赋权图G，
（1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋
组合数学全集教案高中上册
组合数学全集教案高中上册教材：高中上册《组合数学全集》
教案内容：
第一章：基本概念
1.1 组合数学的概念及基本性质
1.2 排列与组合的概念及计算方法
1.3 排列与组合的应用
第二章：二项式定理
2.1 二项式定理的概念及推导
2.2 二项式定理的应用
第三章：二项式系数
3.1 二项式系数的概念及性质
3.2 二项式系数的计算方法
第四章：二次项展开
4.1 二次项展开的概念及性质
4.2 二次项展开的计算方法
第五章：多项式系数
5.1 多项式系数的概念及性质
5.2 多项式系数的计算方法
第六章：多项式展开
6.1 多项式展开的概念及性质
6.2 多项式展开的计算方法
教学目标：
1. 理解组合数学的基本概念和性质
2. 掌握排列与组合的计算方法及应用
3. 熟练运用二项式定理及二项式系数进行计算和推导
4. 熟练掌握二次项展开及多项式系数的计算方法
5. 能够运用多项式展开的知识解决实际问题
教学方法：
1. 讲授与演示相结合，示范解题过程
2. 小组合作，讨论解题思路
3. 练习与应用相结合，强化知识点的理解和应用能力
评估方式：
1. 课堂练习
2. 作业
3. 期中期末考试
教学时数：40课时
教学内容比较丰富，需要学生在课下进行反复练习，巩固所学知识点。
希望同学们能够在本学期内掌握组合数学的各种理论知识，提高计算能力和解题能力。
祝大家学习进步！。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学第一讲
决策树
在决策树中，通过计算每 个分支的概率来评估每个 决策的优劣。
05 组合优化
组合优化的定义和性质
定义
组合优化是研究在一定约束条件下， 从给定的组合对象中选取出满足某种 特定条件的对象，使得某种度量达到 最优的问题。
性质
组合优化问题具有离散性、约束性、 最优化和可行解多样性等性质。
组合优化的计算方法
在计算机科学中，排列可以用于生成 不同的算法和数据结构，提高程序的 效率和稳定性。
在密码学中，排列可以用于生成加密 密钥，提高信息的安全性。
04 组合概率
概率的基本概念
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事件
在特定条件下可能发生或 可能不发生的结果。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，取值范围为0到1，其 中0表示事件不可能发生， 1表示事件一定会发生。
组合数学的应用领域
计算机科学
算法设计、数据结构、 离散概率论等都涉及到
组合数学。
统计学
样本空间、概率分布、 决策理论等都与组合数
学紧密相关。
信息理论
编码理论、数据压缩、 信息熵等都运用了组合
数学的概念。
运筹学
组合数学在图论、最优 化理论、线性规划等领
域有广泛应用。
组合数学的基本概念
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排列数的计算方法
计算公式
排列数表示为Amn=n!/(n-m)!，其中"!"表示阶乘，即n!=n×(n-1)×(n2)×...×3×2×1。
举例
A53=5×4×3=60。
排列的应用实例
体育比赛
在体育比赛中，如乒乓球、羽毛球等， 参赛选手需要按照一定的顺序进行比 赛，排列的应用就十分重要。
组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
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一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
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一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
第一章 1.2 1.2.2 第一课时 组合与组合数公式
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课堂强化
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课下检测
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关则是组合问题．
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[通一类] 1．判断下列问题是排列问题还是组合问题： (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一 张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子 和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同 选法？
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[自主解答]
(1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个元
素的 子集个数 与元素的 顺序无关， 是组合问 题，共有 C 3 7＝ 7！ 7×6×5 ＝ ＝35 个． 4！×3！ 3×2×1 (2)发邮件有先后之分， 与顺序有关是排列问题， 共写了 A2 8＝ 8！ ＝56 个电子邮件． 6！
11×10×9×8×7 ＝ ＝462. 5×4×3×2×1
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[悟一法]
n 1．关于组合数的性质 1(Cm n ＝Cn
－m
)
(1)该性质反映了组合数的对称性， 即从 n 个不同的元素中 取出 m 个元素的每一个组合， 都对应着剩下的 n－m 个元素的 一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系． n n－m (2)当 m> 时，通常不直接计算 Cm ，而改为计算 C . n n 2
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解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的
门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序
无关．
(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺 序.
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《组合数学》教案1章讲解
《组合数学》教案1章讲解组合数学教案第一章讲解一、教学目标：1.了解组合数学的基本概念和方法2.掌握排列和组合的计算方法3.学会应用排列和组合解决问题二、教学重点：1.排列和组合的基本概念2.排列和组合的计算方法三、教学难点：1.排列和组合的应用问题的解决四、教学准备：1.教材《组合数学》2.课件3.黑板、粉笔五、教学过程：1.导入通过举例引入排列和组合的概念，引发学生对组合数学的兴趣。
例如：小明有5本不同的书，他想从这些书中选出三本看。
那么他有多少种不同的选择方法？2.引入通过引入数学公式引出排列和组合的计算方法以及其应用。
首先引入乘法原理，介绍排列的概念和计算方法。
然后引入除法原理，介绍组合的概念和计算方法。
3.排列的概念和计算方法从实际问题中引出排列的概念，如小红有4个不同的糖果，她想把这些糖果排成一排，一共有多少种不同的排列方法？然后介绍排列的计算方法，如何计算排列的种数。
4.组合的概念和计算方法从实际问题中引出组合的概念，如小明有8个不同的苹果，他想从中选出3个苹果吃，一共有多少种不同的选择方法？然后介绍组合的计算方法，如何计算组合的种数。
5.排列和组合的应用问题解决通过实际问题的解决引出排列和组合的应用。
如有5个不同的音乐家，要从中选出3人组成一支乐队，一共有多少种不同的组合方法？然后引出组合计数原理，帮助学生解决应用问题。
6.练习和总结让学生通过练习巩固排列和组合的计算方法，解决应用问题。
然后总结排列和组合的基本概念和计算方法。
七、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了组合数学的基本概念和计算方法，掌握了排列和组合的计算方法，并学会应用排列和组合解决问题。
八、作业布置布置相关习题作业，巩固所学知识。
九、课后拓展鼓励学生自学相关拓展内容，如组合数学的其他应用等。
以上是《组合数学》第一章的教案讲解，通过本节课的学习，相信学生能够掌握排列和组合的基本概念和计算方法，并能够应用排列和组合解决问题。
组合数学课件第一章第三节 组合意义的解释
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1.8：应用举例
(2)编码中的纠错功能
编码中的纠错功能是这样处理的，如果收到 a=a 1a 2…a n假设a 与a的汉明距离小于或等于r, 则认为a是由a的错误引起的，将它作为a处理。 可能存在a与a和b的汉明距离都小于或等于r, 怎么才能避免这种情况呢？对编码有什么要求呢？
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
(n+1,r)
(0,0)
(n,0)
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1.7 组合的解释
1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
1 0 2 0 3 1 … … m-2 m-1 m 1 0 0
没有0，C（m,0）
只有一个0，C（m,1） 只有二个0，C（m,2） ……………….
M个全是0，C（m,m）
为
9999-6560=3449。
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1.9 例题 1.15试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看 作是002，这样从000到999。0出现了多少次呢？ 3×102，某一位取0，其它各位任取。 0出现在最前面的次数应该从中去掉 000到999中最左1位的0出现了102次， 000到099中左数第2位的0出现了10次， 000到009左数第3位的0出现了1次, 因此不合法的0的个数为 102+101+1=111，不合法的应该去掉，再加整 数1000中的3个0，这样，从1到1000的整数中0出 现的次数为3×102-111+6=195。
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1.7 组合的解释 1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m (0,m) (1,m-1)
组合数学 第一章
例 1 在1000到9999之间有多少个各位数字不 到 之间有多少个各位数字不 同的奇数? 同的奇数 首先, 个位数可取1, 共五种选择; 解 首先 个位数可取 3, 5, 7, 9共五种选择 共五种选择 其次, 千位数不能是0, 其次 千位数不能是 也不能取个位已选定的 所以有八种选择; 数, 所以有八种选择 然后, 百位数有八种选择; 最后, 然后 百位数有八种选择 最后 十位数有七种 选择. 选择 由乘法法则,所求的数共有 所求的数共有5× × × 由乘法法则 所求的数共有 ×8×8×7=2240个. 个
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1.3.2 相异元素不允许重复的圆排列 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 排列,也叫环排列 环排列. 排列,也叫环排列.若两个圆排列由相同的元素所组 且其中任何两元素的相对位置保持不变, 成，且其中任何两元素的相对位置保持不变,这样 的圆排列认为是同一种排列. 元集S 定理 从 n元集 中不重复地取 个围成圆排列 元集 中不重复地取r 叫做圆形r 排列) (叫做圆形 -排列)，则不同的排列总数为
6
解决组合问题常需要特殊的方法, 解决组合问题常需要特殊的方法,即使是在使用 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时, 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时,仍需要 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时, 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时,学习组合 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的. 典型问题的解题经验和方法是非常重要的 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的.常 用的方法有： 用的方法有： （1）数学归纳法 （2）迭代法 （3）一一对应法 （4）组合意义法 （5）数论方法
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1.3.1 相异元素不允许重复的排列数和组合数 一、排列 个元素的集合S中有序选取的 定义 从n个元素的集合 中有序选取的 个元素 个元素的集合 中有序选取的r个元素 叫做S的一个 排列,不同排列的总数记作 的一个r-排列 不同排列的总数记作P(n, r)或 叫做 的一个 排列 不同排列的总数记作 或 如果r 则称这个排列为S的全排列,简称为 简称为S P . 如果 = n, 则称这个排列为 的全排列 简称为
组合数学第一张排列与组合课件解读
2n
2
n
则n个变元的布尔函数有
a1 a
f
个。
2n
2 22
2n
2019/1/4
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1.1 基本计数法则
例 1.8 n 7 3 112 134 ，求能整除n的正整数 的个数。
解 能整除n的正整数可以写为如下形式：
C ( 8, 2)C ( 6, 2)C ( 4, 2)C ( 2, 2) 8! 4 4! 2 4!
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1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有 9 辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
被3整除的有30000个 在这30000个数中不包含6的数有
8 93 3 17496 个 所求个数为
30000-17496=12504
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1.5 组合
定理 在n!中，质数p的最高幂
n n n p(n!) 2 m p p p
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
4 3 5 60
a1 a2 a3
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1.1 基本计数法则
例 1.9 求从 a,b,c,d,e 这 5个字母中取 6个所组成的字符 串个数。要求 (1)第 1 个和第 6个字符必为子音字符； (2) 每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
组合数学 第一章课件
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
17
1.3：排列与组合
例1.7:由5种颜色的星状物,20种不同的花共25 个元素中任取5个排成如下图案：两边是星状物,中 间是3朵花，问共有多少种这样的图案？ ★ ★
解1：5×20×19×18×4=136800 解2：5种颜色的星状物取两个排列的排列数为 P(5,2)=5!/3!=5*4=20 20种不同的花取3种排列的排列数为： P(20,3)=20!/17!=20*19*18=6840 根据乘法法则，共有图案数为： 6840*20=136800
定义：在排列中，如果我们不横排而是将 各元素排列在一个圆周上，那么我们称这种排 列方式为圆周排列。
规定相对位置不变算一个排列。 在排列中1234,2341,3412,4123为四个不 同的排列，而在圆排列中这些排列是一个.
20
1.4：圆周排列
将从n中取r个作圆排列的排列数记作Q(n,r)。 从n中取r个作排列，与圆排列相比，重复了r倍；
组合数学第三版+卢开澄+习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≢n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
第一章 什么是组合数学
第一章什么是组合数学组合学问题在生活中随处可见。
例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。
创建幻方。
在纸上画一个网络。
用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。
在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。
所有这些都是组合学问题。
正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。
过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。
今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。
由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。
然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。
这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。
由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。
如下两类一般性问题反复出现：排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。
这是最根本的问题。
如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种方法去实现它。
此时，人们就可以计数并将它们分类。
虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。
第一章 什么是组合数学
n1=2
n2=4
n3=9
1）当k=2的情形，这个游戏怎么玩？ 2）当k3的情形，这个游戏就复杂多了
定义： n1, n2,…, nk是正整数，若它们的二 进制数码的异或值为0，则称它们处于平衡 状态，否则称为非平衡状态。 例如：2： 10 4: 100 9: 1001 异或值：1111，因此，2，4，9处于非平衡 状态，但2，4，6就是平衡状态了。
一、组合数学产生与发展
组合数学最初来源于数学娱乐和游戏。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对
象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散 对象的组合数学。 例如：棋盘覆盖、幻方和取子游戏等。 1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世， 这是组合数学的第一部专著。书中首次使用了 组合论（Combinatorics）一词。 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍 应用之后。
例题：64个囚室组成监狱，排成8x8棋盘， 相邻囚室间都有门，某角落囚犯被告知， 如果能够经过每个囚室，且仅进入一次， 若能到达对角线囚室，则可获得自由。
例4: Nim取子游戏
有k(1)堆石子，分别含有n1, n2,…, nk个子。 游戏规则：
1）游戏人A和B交替从这些堆里取一定数量石子 2）取子时，只能选择其中一堆，并且取至少一 个石子 3）最后取完子的人为胜者
n阶幻方是由整数1,
成nn的方阵。 幻和：每列上的整数和以及两条对角线中对角 线上的整数和都为一个数s
ሺଶାଵሻ ଶ
2, 3, …, n2按照一定方式形
幻方构造(n为奇数)
De la Loubere方法
将1放在最上一行的中间，其后整
数沿着自左下到右上的对角线进 行放置 i) 到达顶行，则放到底行 Ii）到达最右列，则放在左侧 Ii）当要放位置已有整数，或已经 到右上角，则放在位置之下。
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当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
f(n)=
f(12)= =233.
(2)g(1)=0,g(2)=3,g(3)=0，g(4)=12,g(5)=0
（4）当m为奇数，n同时为奇数时，m*n为奇数，则棋盘中有奇数个方格，所以在多米诺牌尽可能多覆盖棋盘时，必然会留出一个方格，因此不能由多米诺牌完美覆盖。
所以综上：一张m行n列棋盘被多米诺牌完美覆盖当且仅当m和n中至少有一个是偶数。
2.证明：因为左上角的方格为白色，所以白色方格必然落在偶数行与偶数行交叉位置和奇数行与奇数列交叉位置上。
第一章什么是组合数学
1.证明：因为一张多米诺牌覆盖两个方格。所以，
（1）当m、n同时为偶数时，m*n偶数，则棋盘可以由整数个多米诺牌完美覆盖。
（2）当m为偶数，n为奇数时，m*n为偶数，则棋盘中有偶数个方格，所以可以由多米诺牌完美覆盖。
（3）当m为奇数，n为偶数时，m*n为偶数，则棋盘中有偶数个方格，所以可以由多米诺牌完美覆盖。
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
11.证明：
假设2阶幻方存在，为
则a+b=b+d,则a=d
这与一个n阶幻方是由整数1,2,3，……n^2组成的n*n方阵矛盾。
所以假设不成立，即不存在2阶幻方。
12.解：30 39 48 1 10 19 28
38 47 7918 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45