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高考集合、复数真题

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历年高考数学真题答案

历年高考数学真题答案

历年高考数学真题答案【篇一：新课标数学历年高考试题汇总及详细答案解析】/p> 第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合m=｛0,1,2｝，n=?x|x2?3x?2≤0?，则m?n=() a. ｛1｝【答案】db. ｛2｝c. ｛0，1｝d. ｛1，2｝把m=｛0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+2≤0,经检验x=1,2满足。

所以选d.2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1?2?i，则z1z2?（） a. - 5 【答案】bb.5c. - 4+ id. - 4 - iz1=2+i,z1与z2关于虚轴对称，∴z2=-2+i,∴z1z2=-1-4=-5,故选b.3.设向量a,b满足|a+b|a-ba?b = () a. 1 【答案】ab. 222c. 322d. 5|a+b|=,|a-b|=6,，∴a+b+2ab=10，a+b-2ab=6,联立方程解得=1,故选a.4.钝角三角形abc的面积是，ab=1，，则ac=()2a. 5【答案】bb.c. 2d. 11112∴b=，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosb,解得b=.故选b.5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）a. 0.8b. 0.75c. 0.6d. 0.45【答案】a设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p,则据题有0.6=0.75?p,解得p=0.8,故选a.6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）a. b. c. d.279273【答案】c7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的s= （） a.4 b. 5c. 6 d. 7【答案】cx=2,t=2,变量变化情况如下： m s k 13 125 2 27 3 故选c.8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】df(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a-1.x+1∴f(0)=0,且f′(0)=2.联立解得a=3.故选d.?x?y?7≤0?9.设x,y满足约束条件?x?3y?1≤0，则z?2x?y的最大值为（）?3x?y?5≥0?a. 10b. 8c. 3d. 2【答案】b画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z=2x-y 在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值z=8.故选b.a.c. d.b.324 【答案】d设点a、b分别在第一和第四象限，af=2m,bf=2n，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，33332m=2?+m,2n=2?-3n，解得m=(2+),n=(2-3),∴m+n=6.4422139244c.d.【答案】c0-1+4=.故选c.106f?x0m2，则m的12.设函数f?x??.若存在f?x?的极值点x0满足x02m2取值范围是（）a.,?66,??b.,?44,??c.,?22,??d.,?14,?? 【答案】cf(x)=sin22mm2∴x0+[f(x0)]2+3，∴+3m2,解得|m|2.故选c.44第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.?x?a?的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)101【答案】21137333c10xa=15x7∴c10a=15,a=.故a=.2214.函数f?x??sin?x?22sin?cos?x的最大值为_________. 【答案】115.已知偶函数f?x?在?0,单调递减，f?2??0.若f?x?1??0，则x的取值范围是__________.，-1）∪（3，+∞）【答案】(-∞偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单增，且f(2)=0∴f(x)0的解集为|x|2.故解集为|x-1|2，解得x∈(-∞，-1）∪（3，+∞）.∴f(x-1)0的解集为|x-1|2，解得x∈(-∞，-1）∪（3，+∞）.在坐标系中画出圆o和直线y=1,其中m(x0,1)在直线上.由圆的切线相等及三角形外角知识，可得x0∈[-1,1].故x0∈[-1,1].已知数列?an?满足a1=1，an?1?3an?1.（Ⅰ）证明an?是等比数列，并求?an?的通项公式；（Ⅱ）证明：??…+?.12n【答案】(1) 无（1）（2）无a1=1,an+1=3an+1.n∈n*.111=3an+1+=3(an+). 222113∴{an+是首项为a1+=,公比为3的等比数列。

2022年高考数学真题试卷(北京卷)

2022年高考数学真题试卷(北京卷)

2022年高考数学真题试卷（北京卷）姓名：__________ 班级：__________考号：__________1．（4分）已知全集 U ={x|−3<x <3} ，集合 A ={x|−2<x ≤1} ，则 C U A =（ ） A ．(−2，1] B ．(−3，−2)∪[1，3) C ．[−2，1)D ．(−3，−2]∪(1，3)2．（4分）若复数 z 满足 i ⋅z =3−4i ，则 |z|= （ ）A ．1B ．5C ．7D ．253．（4分）若直线 2x +y −1=0 是圆 (x −a)2+y 2=1 的一条对称轴，则 a =（ ） A ．12B ．−12C ．1D ．-14．（4分）已知函数 f(x)=11+2x ，则对任意实数 x ，有（ ） A ．f(−x)+f(x)=0 B ．f(−x)−f(x)=0 C ．f(−x)+f(x)=1D ．f(−x)−f(x)=135．（4分）已知函数 f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ） A ．f(x) 在 (−π2，−π6) 上单调递增 B ．f(x) 在 (−π4，π12) 上单调递增C ．f(x) 在 (0，π3) 上单调递减D ．f(x) 在 (π4，7π12) 上单调递增6．（4分）设 {a n } 是公差不为0的无穷等差数列，则“ {a n } 为递增数列”是“存在正整数N 0 ，当 n >N 0 时， a n >0 ”的（ ）………○………………○………※答※※题※※A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和1gP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（）A．当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态B．当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态C．当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态8．（4分）若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（）A．40B．41C．-40D．-419．（4分）已知正三棱锥P−ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合，设集合T={Q∈S|PQ⩽5}，则T表示的区域的面积为（）A．3π4B．πC．2πD．3π10．（4分）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（）A．[−5，3]B．[−3，5]C．[−6，4]D．[−4，6]5小题，每小题5分，共25分。

2024年高考数学真题试卷(天津卷)附详细解答

2024年高考数学真题试卷(天津卷)附详细解答

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是()A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x x y x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，,则a b c ，，的大小关系为()A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A.32-B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为()A.6B.33142+ C.32D.33142-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅=______．11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______．12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______．三、解答题:本大题共5小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ;（2）求sin A ;（3）求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ;（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ,下顶点为B C ，是线段OB 的中点,其中ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ;（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;（ⅱ）求1nS i i b =∑．20.设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;（2）若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;（3）若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析一、选择题．1.【答案】B【解析】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =所以{}2,3,4A B = 故选:B 2.【答案】C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3.【答案】A【解析】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A 4.【答案】B【解析】对A,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称,则()h x 不是偶函数,故C 错误;对D,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141e ϕ+=,()sin141eϕ---=则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.【答案】B【解析】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <所以b a c >>故选:B 6.【答案】C【解析】对于A,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα= 因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确.对于D,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C.7.【答案】A【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω=即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦画出()sin2f x x =-图象,如下图由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减所以,当π6x =时,()min πsin 32f x =-=-故选:A 8.【答案】C【解析】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m=211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得12sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ=21sin 5θ=由正弦定理可得:121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得2m =则21122,2,210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得:1222PF PF a -==222,8a b c a ==-=所以双曲线的方程为22128x y -=.故选:C 9.【答案】C【解析】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===则形成的新组合体为一个三棱柱该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=2132211311422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯=.故选:C.第Ⅱ卷二、填空题．10.【答案】7【解析】))i 2i 527+⋅=+-+=-.故答案为:7.11.【答案】20【解析】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rr r r r r r x T x r x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()630r -=,可得3r =所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.【答案】45【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p =即2p =由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-（舍）故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=故原点到直线AF 的距离为4455d ==故答案为:4513.【答案】①.35②.12【解析】设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==;乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为:35;1214.【答案】①.43②.518-【解析】因为12CE DE =,即23CE BA =uur uur ,则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r 可得1,13λμ==,所以43λμ+=;由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅= 因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈ 则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11111113232AF DG k BA k BC k BA BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅ 取到最小值518-;15.【答案】()(1- 【解析】令()0f x =,即21ax =--由题可得20x ax -≥当0a =时,x ∈R ,有211=--=,则2x =±,不符合要求,舍去;当0a >时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤当0x ≤时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得)()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =时,即410x +=,即14x =-当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a =>-（正值舍去）当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解当(]0,2a ∈,且x a ≥时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增令()g x y ==,即2222142a x y a a⎛⎫- ⎪-⎭=⎝故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得由()222214y x a a -=的渐近线方程为22a y x xa =±=±即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a +∞上单调递增故有13aaaa ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<,故1a <<符合要求;当a<0时,则23,2121,ax x aax ax x a⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =-时,即410x -=,即14x =当()2,0a ∈-,102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a =>-,有两解,舍去即当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在0x ≥时有唯一解则当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在x a ≤时需无解当[)2,0a ∈-,且x a ≤时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a -∞上单调递减故有13a a a a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求;综上所述,()(11,a ∈- .故答案为:()(1-⋃.三、解答题.16.【答案】（1）4（2）74（3）5764【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B=+-即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =（负舍）;则4,6a c ==.【小问2详解】因为B 为三角形内角,所以57sin 16B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin 5716A =,解得7sin 4A =【小问3详解】因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由（2）法一知57sin 16B =因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=,2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()19573757cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.17.【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）21111【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC 则有1//D M NP 、1D M NP=故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M故1//D N 平面1CB M ;【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C 则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = 设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = 则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 分别取121x x ==,则有13y =、11z =、21y =,20z =即()1,3,1m = 、()1,1,0n =则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ 故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211;【小问3详解】由()10,0,2BB = ,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =则有111BB m m ⋅== 即点B 到平面1CB M 的距离为21111.18.【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,b =,其中c 为半焦距所以()()32,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,故13332222ABC S c c =⨯⨯=△故c =所以a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t 由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=- 故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -此时需33t -≤≤,两者结合可得332t ≤≤.综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.19.【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解;②()131419n n S i i n b =-+=∑【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=-可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q =或1q =-（舍去）所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥当124k k n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-当且仅当2k =时,等号成立所以1n k n b a b -≥⋅;（ii ）由（1）可知:1211n n n S a +=-=-若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=可知{}i b 为等差数列可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k k k k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑所以()()()232113141115424845431434499n n S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑且1n =,符合上式,综上所述:()131419n n S i i n b =-+=∑.20.【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析【小问1详解】由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+时的取值范围是()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥.一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =,得2022a a a ≤--=--=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a -+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故ln ln ln ln ln ln ln 1ln 1b b b a a a b a a a b b b b b a b a a--=+=+<+---且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>=+----所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10e x <<时()0f x '<,当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一:当1211e x x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<结论成立;情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=--则()ln 1x x ϕ=++'由于()x ϕ'单调递增,且有1111111ln 1ln 11102e 2e e c c ϕ⎛⎫ ⎪=++<+=-= ⎪⎝⎭'且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭,2c x >时,2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln ln 102c x x c ϕ⎛⎫=++>++=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ,再结合()x ϕ'单调递增,即知00x x <<时()0x ϕ'<,0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减,在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时,有()()0x c ϕϕ≤=;②当00x x <<时,112221e e f f c ⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭,故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201c x q <<-时,>可得()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c ϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减,即知对00x x <<都有()0x ϕ<;综合①②可知对任意0x c <≤,都有()0x ϕ≤,即()ln ln 0x x x c c ϕ=--.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性,取2c x =,1x x =,就得到1122ln ln 0x x x x --≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三:当12101ex x <≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上,结论成立.。

2022年新高考北京卷数学高考真题(解析版)

2022年新高考北京卷数学高考真题(解析版)

2022年新高考北京卷数学高考真题一、单选题1．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--U C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--U 【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--U ð，故选：D ．2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ）A ．1B ．5C ．7D ．253．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪上单调递增6．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D8．若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-9．已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】在底面上的投影为O ，连接BO ，则23623⨯⨯=，故3612PO =-=10．在ABC V 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA u u u r ，PB u u u r，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，二、填空题11．函数1()f x x=+的定义域是_________．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==L ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题14．在ABC V 中，sin 2C C ．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长．15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，233⨯．以上16．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、（含950m乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.17．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．18．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．19．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈L ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a L 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a L 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<L ，求证：7k ≥．【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++<L 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【详解】（1）21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．四、双空题20．若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】 0（答案不唯一） 1【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，a<0不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+≥或()2212a a -+≥-， 解得 01a <≤.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1。

2023年高考全国乙卷数学(理)真题(解析版)

2023年高考全国乙卷数学(理)真题(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2 =()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点A 1,5 在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。

2023年北京高考数学真题(解析版)

2023年北京高考数学真题(解析版)

an
，
故an为减数列，注意 ak1 6 3 0
故 an1 6
1 4
an
63 an 6
1 4
an
62
9 4
an
6 ，结合 an1 6 0 ，
所以
6
an1
9 4
6
an
，故
6
an1
3
9 4
n1
，故
an1
6
3
9 4
n1
，
若存在常数 M
≤ 0 ，使得 an
M
恒成立，则
6
3
9 4
n1
故选：D.
7. 在 ABC 中， (a c)(sin A sin C) b(sin A sin B) ，则 C （
π
A.
6
【答案】B
π
B.
3
2π
C.
3
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为 (a c)(sin A sin C) b(sin A sin B) ，
故选：A
2. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (1, 3) ，则 z 的共轭复数 z （ ）
A. 1 3i
B. 1 3i
C. 1 3i
D. 1 3i
【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数 z ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 z 在复平面对应的点是 (1, 3) ，根据复数的几何意义， z 1 3i ，
）
5π
D.
6
所以由正弦定理得 (a c)(a c) b(a b) ，即 a2 c2 ab b2 ，
则 a2 b2 c2 ab ，故 cos C a2 b2 c2 ab 1 ，

历年高考数学真题(全国卷整理版)

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

2022年全国高考数学(新高考1卷)真题及答案解析

2022年全国高考数学(新高考1卷)真题及答案解析

(1)若C=2π，求B;3(2)求a2+b2的最小值．c219.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2．(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．20.一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：对于选项 B : 因为直线 BC 1⊥ 平面 CDA 1B 1 ，且 CA 1⊂ 平面 CDA 1B 1 ，所以直线 BC 1⊥CA 1 ，故 B 正确 ;对于选项 C : 连接 A 1C 1 与 B 1D 1 交于点 O 1 ，则 ∠O 1BC 1 即为直线 BC 1 与平面 BB 1D 1D 所成的角， sin∠O 1BC 1=O 1C 1BC 1=12，所以 ∠O 1BC 1=30∘ ，故 C 错误 ; 对于选项 D : 直线 BC 1 与平面 ABCD 所成的角即为 ∠C 1BC =45∘ ，所以 D 正确．10.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33 ，f′(x)>0⇒x <−√33或 x >√33； f′(x)<0⇒−√33<x <√33， 所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞) 上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A 正确;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错． 11.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题． 【解答】解：点 A(1,1) 在抛物线 C:x 2=2py(p >0) 上，即 1=2p ⇒C:x 2=y ，所以准线为 y =−14 ，所以 A 错 ;直线 AB:y =2x −1 代入 x 2=y 得： x 2−2x +1=0⇒(x −1)2=0⇒x =0 ，所以 AB 与 C 相切，故 B 正确．由题知直线 PQ 的斜率一定存在，则可设直线 PQ:y =kx −1 ， P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2) ，则 {y =kx −1y =x 2⇒x 2−kx +1=0 ， Δ=k 2−4>0⇒k <−2 或 k >2 ，此时 {x 1+x 2=k x 1x 2=1,{y 1+y 2=x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=k 2−2y 1y 2=x 12x 22=1, |OP|⋅|OQ|=√(x 12+y 12)(x 22+y 22)=√(y 1+y 12)(y 2+y 22)=√(y 1y 2)2+(y 1y 2)(y 1+y 2)+y 1y 2=√2+(k 2−2)=√k 2>2=|OA |2 ，故 C 正确 ; |BP|⋅|BQ|=√1+k 2|x 1−0|√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=(1+k 2)>5=|BA|2 ，故 D 正确．12.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题． 【解答】解：由f(32−2x)为偶函数可知f(x)关于直线x =32对称， 由g(2+x)为偶函数可知g(x)关于直线x =2对称，结合g(x)=f′(x)，根据g(x)关于直线x =2对称可知f(x)关于点(2,t)对称， 根据f(x)关于直线x =32对称可知：g(x)关于点(32,0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t ，所以A 不正确;f(−1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(−1)=f(4)，所以C 正确． g(−12)=g(32)=0，g(−1)=g(1)，所以B 正确;又g(1)+g(2)=0，所以g(−1)+g(2)=0，所以D 不正确．13.【答案】−28【解析】 【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题． 【解答】解：因为 (x +y)8 展开式的通项 T r+1=C 8r x 8−r y r，令 r =5 ，则 x 3y 5 的系数为 C 85=56 ；令 r =6 ，则 x 2y 6 的系数为 C 86=28 ， 所以 x 2y 6 的系数为 −56+28=−28 ．14.【答案】x +1=0 7x −24y −25=0 3x +4y −5=0(填一条即可)【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、 点到直线的距离 等知识，属较难题． 【解答】解：方法 1: 显然直线的斜率不为 0 ，不妨设直线方程为 x +by +c =0 ，于是|c|√1+b2=1 ， |3+4b+c|√1+b 2=4 ．故 c 2=1+b 2 ① ， |3+4b +c|=|4c|. 于是 3+4b +c =4c 或 3+4b +c =−4c ，再结合 ① 解得 {b =0c =1 或 {b =−247c =−257或 {b =43c =−53，所以直线方程有三条，分别为 x +1=0 ， 7x −24y −25=0 ， 3x +4y −5=0 ． ( 填一条即可 )方法 2: 设圆 x 2+y 2=1 的圆心 O(0,0) ，半径为 r 1=1 ，圆 (x −3)2+(y −4)2=16 的圆心 C(3,4) ，半径 r 2=4 ，则 |OC|=5=r 1+r 2 ，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意；又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1)，则|k−43|√k2+1=1，解得k=724，从而该切线的方程为7x−24y−25=0.(填一条即可) 15.【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题主要考查过曲线外一点的切线问题，属于中档题．【解答】解：y′=(x+a+1)e x，设切点为(x0,y0)，故y0x0=(x0+a+1)e x0，即(x0+a)e x0x0=(x0+a+1)e x0.由题意可得，方程x+a=x(x+a+1)在(−∞,0)∪(0,+∞)上有两个不相等的实数根.化简得，x2+ax−a=0，△=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，显然此时0不是根，故满足题意．16.【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题．【解答】解：由椭圆离心率为12，可得a=2c，则b=√a2−c2=√3c，则C：x24c2+y23c2=1，A(0,√3c)，F1(−c,0)，F2(c,0)，易得l AF2：y=−√3x+√3c，l ED：y=√33(x+c)，可解得AF2与DE的交点M(c2,√3c2)，故直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2，DA=DF2，又{x24c2+y23c2=1y=√33(x+c)⇒13x2+8cx−32c2=0⇒{x D+x E=−8c13x D x E=−32c213题，属于中档题．19.【答案】解：(1)设A 到平面A 1BC 的距离为d ，因为直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，即可得S △ABC ·AA 1=4， 故V A 1−ABC =13S △ABC ·AA 1=43，又V A 1−ABC =V A−A 1BC =13S △A 1BC ·d =13×2√2×d =43， 解得d =√2，所以A 到平面A 1BC 的距离为√2；(2)连接AB 1，因为直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=AB ， 故AA 1B 1B 为正方形，即AB 1⊥A 1B ，又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1=A 1B ，AB 1⊂平面ABB 1A 1， 故AB 1⊥平面A 1BC ，所以AB 1⊥BC ，又因为AA 1⊥BC ，AB 1,AA 1⊂平面ABB 1A 1，且AB 1∩AB 1=A ， 故BC ⊥平面ABB 1A 1，则BC ⊥AB ， 所以BB 1,AB,BC 三条直线两两垂直， 故如图可以以B 为原点建立空间直角坐标系，设AA 1=AB =a ，BC =b ，则A 1B =√2a ，由条件可得{12a ×b ×a =412×√2a ×b =2√2，解得{a =2b =2, 则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，A 1(0,2,2)，A 1C 的中点D(1,1,1)， 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0) 设平面ABD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y =0x +y +z =0，取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，同理，因为F(x0)=G(e x0)=G(x4)，又因为G(x)在(1,+∞)上单调递增，x0>0即e x0>1，x1>1，所以x4=e x0，又因为e x0−2x0+lnx0=0，所以x1+x4=e x0+lnx0=2x0，即直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值，函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于难题．。

2022年黑龙江高考文科数学真题及答案

2022年黑龙江高考文科数学真题及答案
【详解】设 ,则 ,故排除B;
设 ,当 時, ,
所以 ,故排除C;
设 ,则 ,故排除D.
故选:A.
9.在正方体 中,E,F分别为 得中点,则()
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面 平面 D.平面 平面
【答案】A
【解析】
【分析】证明 平面 ,即可判断A;如图,以点 为原点,建立空间直角坐标系,设 ,分别求出平面 , , 得法向量,根据法向量得位置关系,即可判断BCD.
当 時, , 单调递减;
所以 ;
【小问2详解】
,则 ,
当 時, ,所以当 時, , 单调递增;
当 時, , 单调递减;
所以 ,此時函数无零点,不合题意;
当 時, ,在 上, , 单调递增;
在 上, , 单调递减;
又 ,当x趋近正无穷大時, 趋近于正无穷大,
所以 仅在 有唯一零点,符合题意;
当 時, ,所以 单调递增,又 ,
【小问2详解】
由 可得,
,再由正弦定理可得,
,然后根据余弦定理可知,
,化简得:
,故原等式成立．
18.如图,四面体 中, ,E为AC得中点．
(1)证明:平面 平面ACD;
(2)设 ,点F在BD上,当 得面积最小時,求三棱锥 得体积．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)通过证明 平面 来证得平面 平面 .
(2)求该林区這种树木得根部横截面积与材积量得样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了 该林区所有這种树木得根部横截面积,并得到所有這种树木得根部横截面积总和为 ．已知树木得材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区這种树木得总材积量得估计值．

2022年高考数学真题试卷(新高考Ⅰ卷)

2022年高考数学真题试卷(新高考Ⅰ卷)

2022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的(共8题；共40分) 1．（5分）若集合M={x∣√x<4}，N={x∣3x⩾1}，则M∩N=（）A．{x∣0≤x<2}B．{x∣13≤x<2}C．{x∣3≤x<16}D．{x∣13≤x<16}【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，M={x|0≤x<16}，N={x|x≥13}，则M∩N= {x∣13≤x<16}，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案. 2．（5分）若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，z=1−1i=1−ii2=1+i，则z̅=1−i，则z+z̅=2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，z̅，再求z+z̅即可.3．（5分）在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA→=m→，CD→=n→，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A．3m→-2n→B．-2m→+3n→C．3m→+2n→D．2m→+3n→【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，CB→=CA→+AB→=CA→+3AD→=CA→+3(CD→−CA→)=−2CA→+3CD→=−2m→+3n→，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。

知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km 2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为（ ） (√7≈2.65) A ．1.0×109m 3B ．1.2×109m 3C ．1.4×109m 3D ．1.6×109m 3【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，S 1=140km 2，S 2=180km 2，h=(157.5-148.5)km=9km ，代入棱台的体积公式，得V =13(S 1+S 2+√S 1S 2)ℎ=13(140+180+√140×180)×9≈1.4×103km 3=1.4×109m 3， 故选：C【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 C 72=21 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 P =1−721=23. 故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.6．（5分）记函数 f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0) 的最小正周期为T ，若2π3<T <π， 则 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则 f(π2)= （ ）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，ω=2πT∈(2，3)， 又 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则b=2，且f (3π2)=2，所以sin (3π2ω+π4)+2=2，则3π2ω+π4=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k−16，又ω∈(2，3)， 则k=2，ω=52，故f (π2)=sin (52·π2+π4)+2=1，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b ，ω，再求得f (π2)即可.7．（5分）设 a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9， 则（ ） A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．a <c <b【答案】C【解析】【解答】解：令a=xe x ，b =x1−x ，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)， 令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]， 则y′=1−11−x =−x 1−x <0，所以y≤0， 所以lna≤lnb ， 所以b>a ，a-c=xe x +ln(1-x)，x∈(0，0.1]， 令y=xe x +ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y′=xe x+e x−11−x =(1+x )(1−x )e x −11−x， 令k(x)=(1+x )(1−x )e x −1， 所以k'(x)=(1-2x-x 2)e x >0， 所以k(x)>k(0)>0， 所以y'>0， 所以a-c>0， 所以a>c ， 综上可得，c<a<b ， 故选：C【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xe x +ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为 l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 π ，且 3≤l ≤3√3， 则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A ．[18，814]B ．[274，814]C ．[274，643]D ．[18，27]【答案】C【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h ，底面中心到各顶点的距离为m ，则cosθ=32+l 2−322×3×l =l 6∈[12，√32]，则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，ℎ=m tanθ=6sinθcosθsinθcosθ=6cos 2θ，S 底=12×2m ×2m =2m 2， 则正四棱锥的体积V =13S 底ℎ=13×2m 2×ℎ=144(sinθcos 2θ)2，令y=sinθcos 2θ=sinθ(1-sin 2θ)=x(1-x 2)=-x 3+x ，x=sinθ∈[12，√32]，则y'=-3x 2+1，故当x ∈[12，√33)，y'<0，当x ∈(√33，√32]，y'>0，则V max =144y max 2=144×[√33×(√63)2]2=643， V min =144y min2=144×[√32×(12)2]2=274，故该正四棱锥体积的取值范围是[274，643] .故选：C【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得cosθ=l 6∈[12，√32]，进而求得正四棱锥的体积V =144(sinθcos 2θ)2，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos 2θ=-x 3+x ，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y 的最值，从而求得V 的最值.4小题，每小题5分，共20分。

精品解析：2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)

精品解析：2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1. 设集合，U 为整数集，（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集，，所以，．故选：A ．2. 若复数，则（ ）A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为，所以，解得：．故选：C.3. 执行下面的程序框遇，输出的（ ）{31,},{32,}A xx k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣∣()A B =U ð{|3,}x x k k =∈Z {31,}xx k k Z =-∈∣{32,}xx k k Z =-∈∣∅{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z U Z =(){}|3,U A B x x k k ==∈Z ð()()i 1i 2,R a a a +-=∈=a ()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+-=-++=+-=22210a a =⎧⎨-=⎩1a =B =A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．故选：B.4.向量，且，则（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,1n =123A =+=325B =+=112n =+=2n =358A =+=8513B =+=213n =+=3n =81321A =+=211334B =+=314n =+=4n =34B =1,a b c === 0a b c ++= cos ,a c b c 〈--〉= 15-25-25450a b c ++=a b c +=-rrr2222a b a b c ++⋅=1122a b ++⋅=rr 0a b ⋅=,,OA a OB b OC c ===由题知,是等腰直角三角形,AB 边上的高,所以,,.故选:D.5. 已知正项等比数列中，为前n 项和，，则（ ）A 7B. 9C. 15D. 30【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.6. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球.1,OA OB OC OAB === OD AD ==CD CO OD =+=+=1tan ,cos 3AD ACD ACD CD ∠==∠=2cos ,cos cos 22cos 1a cbc ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-24215=⨯-={}n a 11,n a S ={}n a 5354S S =-4S =q q 4S ()23421514q q q q q q++++=++-34244q q q q +=+32440q q q +--=(2)(1)(2)0q q q -++=0q >2q =4124815S =+++=俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. 0.8 B. 0.4C. 0.2D. 0.1【答案】A 【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为，记“某人报足球俱乐部”为事件,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，则，所以.故选:.7. “”是“”的（ ）A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，是成立的必要不充分条件.故选：B8. 已知双曲线交于A ，B两点，则（ ）50607040+-=A B 505404(),()707707P A P AB ====4()7()0.85()7P AB P B A P A ===∣A 22sin sin 1αβ+=sin cos 0αβ+=22sin sin 1αβ+=π,02αβ==sin cos 0αβ+≠22sin sin 1αβ+=sin cos 0αβ+=sin cos 0αβ+=2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=sin cos 0αβ+=22sin sin 1αβ+=22sin sin 1αβ+=sin cos 0αβ+=22221(0,0)x y a b a b -=>>22(2)(3)1x y -+-=||AB =A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线距离所以弦长.故选：D9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A. 120 B. 60C. 40D. 30【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选：B.10. 已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）的15e =222222215c a b b a a a+==+=2ba=2y x =(2,3)d ==||AB ===,,,,a b c d e a 24A 12=,,,b c d e 1251260⨯=()f x πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6()y f x =1122y x =-A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.11. 在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（ ）A. B. C. D. ()sin 2f x x =-()fx 1122y x=-()f x1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3P ABCD -ABCD 4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒PBC【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，又，，所以，则，又，，则，在中，，则由余弦定理可得，故，则，故在中，，所以，又，所以，PDO PCO ≅ PDB PCA ≅ PA PB =PAC △PA =PB =PBC PAC△PA=1cos 3PCB ∠=3PA PC ⋅=- ,PB BPD ∠PB =PBC ,AC BD O PO O ,AC BD ABCD 4AB =AC BD ==DO CO ==3PC PD ==PO OP =PDO PCO ≅ PDO PCO ∠=∠3PC PD ==AC BD ==PDB PCA ≅ PA PB =PAC △3,45PC AC PCA ==∠=︒2222cos 3292317PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯=PA =PB =PBC 43,P PB C C B ===222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯0πPCB <∠<sin PCB ∠==所以的面积为法二：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以在中，，则由余弦定理可得，故，所以，不妨记，因为，所以，即，则，整理得①，又在中，，即，则②，两式相加得，故，故在中，，PBC 11sin 3422S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯=,AC BD O PO O ,AC BD ABCD 4AB =AC BD ==PAC △3,45PC PCA =∠=︒2222cos 3292317PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯=PA =222cos 2PA PC AC APC PA PC +-∠===⋅cos 33PA PC PA PC APC ⎛⋅=∠=⨯=- ⎝ ,PB m BPD θ=∠=()()1122PO PAPC PB PD =+=+()()22PA PC PB PD +=+222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅ ()217923923cos m m θ++⨯-=++⨯⨯26cos 110m m θ+-=PBD △2222cos BD PB PD PB PD BPD =+-⋅∠23296cos m m θ=+-26cos 230m m θ--=22340m -=PB m ==PBC 43,P PB C C B ===所以，又，所以，所以的面积为故选：C.12. 己知椭圆，为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯0πPCB <∠<sin PCB ∠==PBC 11sin 3422S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯=22196x y +=12,F F 123cos 5F PF ∠=||PO =253512PF F △P OP 221212,PF PF PF PF +2212PF PF +12π2,02F PF θθ∠=<<122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠== 22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+1tan 2θ=222229,6,3a b c a b ===-=12121116222PF F p S F F y =⨯⨯=⨯⨯ 23p y =2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭OP ===1226PF PF a +==222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B ．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：故选：B ．【点睛】本题根据求解目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13. 若为偶函数，则________．【答案】2【解析】【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，的2212126125PF PF PF PF +-=22121215,212PF PF PF PF =+=()1212PO PF PF =+ 1212OP PO PF PF ==+1212PO PF PF =+==1226PF PF a +==222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=2212126125PF PF PF PF +-=221221PF PF +=()()222212122242OP F F PF PF +=+=12F F=OP =2π(1)sin 2y x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=a ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a =()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭R ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝2a =()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.14. 设x ，y 满足约束条件，设，则z 的最大值为____________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：1515. 在正方体中，E ，F 分别为CD ，的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．【答案】12【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==R ()f x 2a =2333231x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩32z x y =+322zy x =-+A z 233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩33x y =⎧⎨=⎩(3,3)A max 332315z =⨯+⨯=1111ABCD A B C D -11A B EF O AB 1BB ,G M 11BB C C N ,,,,FG EG OM ON MN由题意可知，为球心，在正方体中，，即，则球心到的距离为，所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216. 在中，，D 为BC 上一点，AD 为的平分线，则_________．【答案】【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：由可得，O EF ===R =O 1BB OM ===O 1BB 1BB ABC 2AB =60,BAC BC ∠=︒=BAC ∠AD =2AC AD AC ,B C ,,AB c AC b BC a ===22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= 0b >1b =+ABC ABD ACD S S S =+，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，解得：，，因为，，又，所以，即．故答案为：．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17. 已知数列中，，设为前n 项和，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n 项和．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为，当时，，即；【1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 2AD ===222222cos 606b b +-⨯⨯⨯= 0b >1b =2sin sin b B C==sin B =sin C =1+>>45C = 180604575B =--= 30BAD ∠=o 75ADB ∠= 2AD AB ==2{}n a 21a =n S {}n a 2n n S na ={}n a 12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1n a n =-()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩2n n S na =1n =112a a =10a =当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．【小问2详解】因为，所以，，两式相减得，，，即，．18. 在三棱柱中，，底面ABC ，，到平面的距离为1．（1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】3n =()33213a a +=32a =2n ≥()1121n n S n a --=-()()11221n n n n n S S a na n a ---==--()()121n n n a n a --=-3n ≥131122n n a a an n -====-- 1n a n =-1,2,3n =()*1N n a n n =-∈122n n n a n +=12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+-⎝=-⎭⨯-⨯ 11122n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭*N n ∈111ABC A B C -12AA =1A C ⊥90ACB ∠=︒1A 11BCC B 1AC A C =1AA 1BB 1AB 11BCC B【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问1详解】如图，底面，面，，又，平面，,平面ACC 1A 1，又平面，平面平面，过作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距离为1，，在中，，设，则，为直角三角形，且，，，，，解得，1A O ⊥11BCC B O 1AB A 1AC ⊥ ABC BC ⊂ABC 1A C BC ∴⊥BC AC ⊥1,A C AC ⊂11ACC A 1AC AC C ⋂=BC ∴⊥BC ⊂11BCC B ∴11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥1CC O 11ACC A 111BCC B CC =1A O ⊂11ACC A 1A O ∴⊥11BCC B 1A 11BCC B 11∴=A O 11Rt A CC △111112,AC AC CC AA ⊥==CO x =12C O x =-11111,,A OC A OC A CC △△△12CC =22211CO A O A C +=2221111A O OC C A +=2221111A C A C C C +=2211(2)4x x ∴+++-=1x =111AC A C A C ∴===1AC A C∴=【小问2详解】，，过B 作，交于D ，则为中点，由直线与距离为2，所以，，在，，延长，使，连接，由知四边形为平行四边形，，平面，又平面，则在中，，，在中，，又到平面距离也为1，所以与平面19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0111,,AC A C BC A C BC AC =⊥⊥ 1Rt Rt ACB A CB ∴△≌△1BA BA ∴=1BD AA ⊥1AA D 1AA 1AA 1BB 2BD =11A D = 2BD =1A B AB ∴==Rt ABC △BC ∴==AC AC CM =1C M 1111,CM A C CM A C =∥11A CMC 11C M A C ∴∥1C M ∴⊥ABC AM ⊂ABC 1C M AM∴⊥1Rt AC M △112,AM AC C M AC ==1AC ∴=11Rt AB C △1AC =11B C BC ==1AB ∴==A 11BCC B 1AB 11BCC B =X X（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：对照组实验组（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：0.100.050.0102.7063.841 6.635【答案】（1）分布列见解析， （2）（i ）；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，的可能取值为，则，，，所以的分布列为：故.【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数m<m≥0k ()20P k k ≥()1E X =23.4m =23.4m =X 0,1,2022020240C C 19(0)C 78P X ===120224010C C 20(1)C 39P X ===202020240C C 19(2)C 78P X ===X X12P197820391978192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，，所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20. 已知直线与抛物线交于两点，且．（1）求；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，，求面积的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设，由可得，，所以，14.417.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, 23.223.623.223.623.42m +==m<m≥240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯95%210x y -+=2:2(0)C y px p =>,A B ||AB =p 0MF NF ⋅=MNF 2p =12-p MN x my n =+()()1122,,,,M x y N x y 0MF NF ⋅=,m n MNF ()(),,,A A B B A x y B x y 22102x y y px-+=⎧⎨=⎩2420y py p -+=4,2A B A B y y p y y p +==所以即，因为，解得：．【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，所以的面积，而或，所以，当时，的面积【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21. 已知B AB y ==-==2260p p --=0p >2p =()1,0F MN MN x my n =+()()1122,,,M x y N x y 24y x x my n⎧=⎨=+⎩2440y my n --=12124,4y y m y y n +==-22161600m n m n ∆=+>⇒+>0MF NF ⋅=()()1212110x x y y --+=()()1212110my n my n y y +-+-+=()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=12124,4y y m y y n +==-22461m n n =-+()()22410m n n +=->1n ≠2610n n -+≥3n ≥+3n ≤-F MN d d 2MN y ==-=1==-MNF ()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-3n ≥+3n ≤-3n =-MNF (2min 212S =-=-,m n 3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）若，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析. （2）【解析】【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【小问1详解】令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减【小问2详解】设设8a =()f x ()sin 2f x x <(,3]-∞2cos t x =()()sin 2g x f x x =-()g x 'a a 326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x x f x a x'+=-22244cos 3sin 32cos cos cos x x x a a x x+-=-=-2cos x t =(0,1)t ∈2223223()()t at t f x g t a t t '-+-==-=222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t '+--+====10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()()sin 2g x f x x=-()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t ''+-=-=--=--=+-+-223()24t a t t t ϕ=+-+-所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.四、选做题22. 已知，直线（t 为参数），为的倾斜角，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，．（1）求的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1） （2）【解析】322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t t ϕ'--+-+=--+==->()(1)3t a ϕϕ<=-1︒(,3]a ∈-∞()()30g x t a ϕ'=<-≤()g x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()(0)0g x g <=(,3],()sin 2a f x x ∈-∞<2︒(3,)a ∈+∞22231110,333t t t t ⎛⎫→-=--+→-∞ ⎪⎝⎭()t ϕ→-∞(1)30a ϕ=->0(0,1)t ∃∈()00t ϕ=00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=()0,1,()0t t t ϕ∈>()00,,()0,()x x g x g x '∈>()00,,()(0)0x x g x g ∈>=a (,3]-∞cos t x =00cos t x =()0,1,()0t t t ϕ∈>()00,,()0x x g x '∈>(2,1)P 2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩αl ||||4PA PB ⋅=α3π4cos sin 30ραρα+-=【分析】（1）根据的几何意义即可解出；（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．【小问2详解】由（1）可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．23. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与坐标轴所围成的图形的面积为2，求．【答案】（1） （2【解析】【分析】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若,则,即,解得,即,t l l x y ,A B ππ2α<<0x =12cos t α=-0y =21sin t α=-21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====sin 21α=±π2π2k α=+π1π,42k k α=+∈Z ππ2α<<3π4α=l tan 1α=-()2,1l ()12y x -=--30x y +-=cos ,sin x y ραρα==l cos sin 30ραρα+-=()2,0f x x a a a =-->()f x x <()y f x =a ,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭x a ≤x a >x a ≤()22f x a x a x =--<3x a >3a x >3a x a <≤若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.小问2详解】.画出的草图,则与坐标轴围成与的高为,所以所以,解得【x a >()22f x x a a x =--<3x a <3a x a <<,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩()f x ()f x ADO △ABCABC 3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||=AB a 21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅==a =三人行教育资源。

2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题(解析版)

2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题(解析版)

2023年全国新高考Ⅱ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，()()13i 3i +−对应的点位于（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +−=+−=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限. 故选：A.2. 设集合{}0,A a =−，{}1,2,22B a a =−−，若A B ⊆，则=a （ ）． A. 2 B. 1 C.23D. 1−【答案】B 【解析】【分析】根据包含关系分20a −=和220a −=两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为A B ⊆，则有：若20a −=，解得2a =，此时{}0,2A =−，{}1,0,2B =，不符合题意； 若220a −=，解得1a =，此时{}0,1A =−，{}1,1,0B =−，符合题意； 综上所述：1a =. 故选：B.3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 4515400200C C ⋅种 B. 2040400200C C ⋅种 C.3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种【答案】D 【解析】【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人，高中部共抽取2006020600⨯=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选：D.4. 若()()21ln 21x f x x a x −=++为偶函数，则=a （ ）． A. 1− B. 0C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可. 【详解】因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =−∴+=−+，，解得0a =，当0a =时，()21ln21x x x f x −=+，()()21210x x −+>，解得12x >或12x <−，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<−⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x −−−+⎫−=−−−⎛==== ⎪−+−++⎝−⎭−， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.5. 已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（ ）．A.23B.3C. 3−D. 23−【答案】C 【解析】【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0∆>，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 方程，解出即可.【详解】将直线y x m =+与椭圆联立2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2246330x mx m ++−=， 因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()223604433m m −⨯−∆=>，解得22m −<<，设1F 到AB 距离12,d F 到AB 距离2d，易知())12,F F ，的则1d =2d =122F AB F ABS S===，解得3m =−或−，故选：C.6. 已知函数()e ln xf x a x =−在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A. 2eB. eC. 1e −D. 2e −【答案】C 【解析】【分析】根据()1e 0xf x a x'=−≥在()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，()1e 0xf x a x '=−≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥， 设()()e ,1,2xg x x x =∈，所以()()1e 0xg x x =+>'，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea −≥=，即a 的最小值为1e −． 故选：C ．7. 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（ ）．A.38B.18−C.34−D.14−+ 【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为21cos 12sin 24αα+=−=，而α为锐角，解得：sin2α=14−==． 故选：D ．8. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S =（ ）．A. 120B. 85C.85−D. 120−【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据48,S S 的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ， 若1q =，则61126323S a a S ==⨯=，与题意不符，所以1q ≠； 由45S =−，6221S S =可得，()41151a q q−=−−，()()6211112111a q a q q q−−=⨯−−①，由①可得，24121q q ++=，解得：24q =， 所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq−−=⨯+=−⨯+=−−−．故选：C ．方法二：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为45S =−，6221S S =，所以1q ≠−，否则40S =，从而，2426486,,,S S S S S S S −−−成等比数列，所以有，()()22225215S S S −−=+，解得：21S =−或254S =， 当21S =−时，2426486,,,S S S S S S S −−−，即为81,4,16,21S −−−+，易知，82164S +=−，即885S =−； 当254S =时，()()()2241234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>， 与45S =−矛盾，舍去．故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,S S 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考理数真题试卷(新课标Ⅲ)

2020年高考理数真题试卷(新课标Ⅲ)

2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(共12题；共60分)1．（5分）已知集合 A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x} ， B ={(x,y)|x +y =8} ，则 A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．62．（5分）复数11−3i的虚部是（ ）A ．−310B ．−110C ．110D ．3103．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 p 1,p 2,p 3,p 4 ，且 ∑p i 4i=1=1 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A ．p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4 B ．p 1=p 4=0.4,p 2=p 3=0.1 C ．p 1=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3D ．p 1=p 4=0.3,p 2=p 3=0.24．（5分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型： I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I( t ∗ )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t ∗ 约为（ ）（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．（5分）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C的焦点坐标为（ ）A ．（ 14，0）B ．（ 12，0） C ．（1，0）D ．（2，0）6．（5分）已知向量a ，b 满足 |a →|=5 ， |b →|=6 ， a →⋅b →=−6 ，则 cos⟨a →,a →+b →⟩= （ ）A ．−3135B ．−1935C ．1735D ．19357．（5分）在△ABC 中，cosC= 23，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A ．19B ．13C ．12D ．238．（5分）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．6+4 √2B ．4+4 √2C ．6+2 √3D ．4+2 √39．（5分）已知2tanθ–tan(θ+ π4 )=7，则tanθ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．210．（5分）若直线l 与曲线y= √x 和x 2+y 2= 15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y=2x+1B ．y=2x+ 12C ．y= 12 x+1D ．y= 12 x+ 1211．（5分）设双曲线C ： x 2a 2−y 2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 √5 ．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．812．（5分）已知55<84，134<85．设a=log 53，b=log 85，c=log 138，则（ ）A ．a<b<cB ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<a<b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学最新真题专题解析—集合与复数(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—集合与复数(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—集合与复数（新高考卷）考向一 集合【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B 后可求A B . 【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式的求解与集合的交并补运算的交汇问题，主要考查运算求解能力，属于简单题。

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【得分要点】解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 考向二 复数【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +. 【详解】 由题设有21i1i ii z -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=， 故选：D【母题来源】2022年新高考II 卷 【母题题文】(22i)(12i)+-=（ ） A ．24i -+ B ．24i --C ．62i +D ．62i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查复数的相关概念与四则运算，主要考查运算求解能力，属于简单题。

2022年全国高考数学(新高考2卷)真题及答案解析

2022年全国高考数学(新高考2卷)真题及答案解析

2022年高考数学（新高考2卷）真题及答案解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={−1,1,2,4}，B ={x||x −1|≤1}，则A ∩B =( )A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}2. (2+ 2i)(1−2i)=( )A. −2+4iB. −2−4iC. 6+2iD. 6−2i3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是脊，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD 1OD 1=0.5，CC 1DC 1=k 1，BB 1CB 1=k 2，AA1BA 1=k 3，若k 1，k 2，k 3是公差为0.1的等差数列，直线OA 的斜率为0.725，则k 3=( )A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，若<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >，则实数t =( ) A. −6 B. −5 C. 5 D. 65. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则( )A. tan(α+β)=−1B. tan(α+β)=1C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=17. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π8. 若函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=( )A. −3B. −2C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，则( )A. f(x)在(0,5π12)单调递减 B. f(x)在(−π12,11π12)有两个极值点C. 直线x =7π6是曲线y =f(x)的一条对称轴D. 直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的一条切线10. 已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则( )A. 直线AB 的斜率为2√6B. |OB|=|OF|C. |AB|>4|OF|D. ∠OAM +∠OBM <180∘11. 如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB//ED ，AB =ED =2FB ，记三棱锥E −ABC ，E −ACF ，F −ABC 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则( )A. V 3=2V 2B. V 3=2V 1C. V 3=V 1+V 2D. 2V 3=3V 112. 若实数x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则( )A. x +y ≤1B. x +y ≥−2C. x 2+y 2≥1D. x 2+y 2≤2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)，若P(2<x ≤2.5)=0.36，则P(X >2.5)=14. 曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， 15. 设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为16.已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2√3，则直线l的方程为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}为等差数列，{b n}为公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4(1)证明：a1=b1;(2)求集合{k|b k=a m+a1,1≤m≤500}中元素个数18.记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1−S2+S3=√32，sinB=13(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=√23，求b19.在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄; (同一组数据用该区间的中点值作代表)(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001)20.如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点(1)证明：OE//平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30∘，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B正弦值21.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±√3x.(1)求C的方程;(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M在AB上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|已知函数f(x)=xe ax−e x(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时，f(x)<−1，求实数a的取值范围;(3)设n∈N∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1)答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算【解答】解：方法一：通过解不等式可得集合B={x|0≤x≤2}，则A∩B={1,2}，故B 正确法二：代入排除法.x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得|x−1|=|−1−1|=2>1，x=−1，不满足，排除A、D;x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得|x−1|=|4−1|=3>1，x=4，不满足，排除C，故B正确2.【答案】D【解析】【分析】法二，利用三角恒等变换，求出正确选项 【解答】解： 解法一：设 β=0 则 sinα+cosα=0 ，取 α=34π ，排除 B ， D再取 α=0 则 sinβ+cosβ=2sinβ ，取 β=π4 ，排除 A; 选 C 解法二：由 sin(α+β)+cos(α+β)=√2sin(α+β+π4)=√2sin[(α+π4)+β] =√2sin(α+π4)cosβ+√2cos(α+π4)sinβ ， 故 √2sin(α+π4)cosβ=√2cos(α+π4)sinβ 故 sin(α+π4)cosβ−cos(α+π4)sinβ=0 ，即 sin(α+π4−β)=0 ，故 sin(α−β+π4)=√22sin(α−β)+√22cos(α−β)=0 ，故 sin(α−β)=−cos(α−β) ，故 tan(α−β)=−17.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用 【解答】解： 由题意如图所示，上底面所在平面截球所得圆的半径是 O 1A 1=3 ， 下底面所在平面截球所得圆的半径是 O 2A 2=4 ，则轴截面中由几何知识可得 √R 2−32+√R 2−42=1 ，解得 R 2=25 ， 因此球的表面积是 S =4πR 2=4π⋅25=100π8.【答案】A【解析】【分析】解：令y=1得f(x+1)+f(x−1)=f(x)⋅f(1)=f(x)⇒f(x+1)=f(x)−f(x−1)故f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)，消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=−f(x)，故f(x)周期为6;令x=1，y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2，f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1，f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2，f(4)=f(3)−f(2)=−2−(−1)=−1，f(5)=f(4)−f(3)=−1−(−2)=1，f(6)=f(5)−f(4)=1−(−1)=2，因为1≤m<500，故2≤2k−1≤1000，解得2≤k≤10，故集合{k|b k=a m+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9个【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，解指数不等式，集合中元素的个数问题，属于中档题18.【答案】解：(1)∵边长为a的正三角形的面积为√34a2，∴S1−S2+S3=√34(a2−b2+c2)=√32，即accosB=1，由sinB=13得：cosB=2√23，∴ac=1cosB=3√24，故S△ABC=12acsinB=12×3√24×13=√28(2)由正弦定理得：b2sin2B =asinAcsinC=acsinAsinC=3√24√23=94，故b=32sinB=12【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形(1)利用余弦定理与正三角形的面积求得ac，继而利用面积公式求解(2)利用正弦定理进行变形，即可求解19.【答案】解：(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+ 45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁) (2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，则P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89 (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式，得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014【解析】本题考查了平均数，概率的求法，考查频率分布直方图、条件概率等知识20.【答案】解：(1)法一：连接OA、OB，因为PO是三棱锥P−ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA=∠POB=90∘，又PA=PB，PO=PO，所以△POA≌△POB，所以OA=OB，作AB中点D，连接OD、DE，则有OD⊥AB，又AB⊥AC，所以OD//AC，又因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD//平面PAC，又D、E分别为AB、PB的中点，所以，在△BPA中，DE//PA又因为平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE//平面PAC，又OD、DE⊂平面ODE，OD∩DE=D，所以平面ODE//平面PAC，又OE⊂平面ODE，所以OE//平面PAC;法二：(1)连接OA 、OB ，因为PO 是三棱锥P −ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥OA ，PO ⊥OB ， 所以∠POA =∠POB =90∘，又PA =PB ，PO =PO ，所以△POA ≌△POB ， 所以OA =OB ，又AB ⊥AC ，在Rt △ABF ，O 为BF 中点， 延长BO ，交AC 于F ，连接PF ，所以在△PBF 中，O 、E 分别为BF 、PB 的中点，所以EO//PF ， 因为EO ⊄平面PAC ，PF ⊂平面PAC ，所以EO//平面PAC; (2)法一：过点D 作DF//OP ，以DB 为x 轴，DO 为y 轴，DF 为z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系因为PO =3，PA =5，由(1)OA =OB =4， 又∠ABO =∠CBO =30∘，所以OD =2，DB =2√3， 所以P(0,2,3)，B(2√3,0,0)，A(−2√3,0,0)，E(√3,1,32)， 设AC =a ，则C(−2√3,a,0)，平面AEB 的法向量设为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，直线AB 的方向向量可设为a ⃗ =(1,0,0)， 直线DP ⊂平面AEB ，直线DP 的方向向量为b ⃗ =(0,2,3) {a ⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0b ⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0，所以{x 1=02y 1+3z 1=0, 所以x 1=0，设y 1=3，则z 1=−2，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,3,−2);平面AEC 的法向量设为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3,1,32) {AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0，所以{ay 2=03√3x 2+y 2+32z 2=0，所以y 2=0，设x 2=√3，则z 2=−6，所以n ⃗ =(√3,0,−6);所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√13×√39=1213√3=4√313， 二面角C −AE −B 的平面角为θ，则sinθ=√1−cos 2θ=1113， 所以二面角C −AE −B 的正弦值为1113法二：(2)过点A 作AF//OP ，以AB 为x 轴，AC 为y 轴，AF 为z 轴 建立所示的空间直角坐标系因为PO =3，PA =5，由(1)OA =OB =4，又∠ABO =∠CBO =30°，所以，AB =4√3，所以P(2√3,2,3)，B(4√3,0,0)， A(0,0,0)，E(3√3,1,32)，设AC =a ，则C(0,a,0)，平面AEB 的法向量设为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3,1,32) {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0，所以{4√3x 1=03√3x 1+y 1+32z 1=0，所以x 1=0设z 1=−2，则y 1=3， 所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,3,−2);平面AEC 的法向量设为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3,1,32) {AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0，所以{ay 2=03√3x 2+y 2+32z 2=0, 所以y 2=0，设x 2=√3，则z 2=−6，所以n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−6);所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√13×√39=√1213√3=4√313二面角C −AE −B 的平面角为θ，则sinθ=√1−cos 2θ=1113， 所以二面角C −AE −B 的正弦值为1113【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，有一定的难度21.【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3因此C 的方程为x 2−y 23=1(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，。

2023年高考真题及答案解析《数学理》(全国甲卷)

2023年高考真题及答案解析《数学理》(全国甲卷)

甲卷理科2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A =x x =3k +1,k ∈Z ，B =x x =3k +2,k ∈Z ，U 为整数集，则∁U A ∪B =()A.x x =3k ,k ∈ZB.x x =3k -1,k ∈ZC.x x =3k -2,k ∈ZD.∅2.若复数(a +i )(1-a i )=2，则a =()A.-1B.0C.1D.23.执行下面的程序框图，输出的B =()n ≤3n =1,A =1,B =2开始A =A +B B =A +B n =n +1结束输出B否A.21B.34C.55D.894.向量a =b =1，c =2，且a +b +c =0，则cos a -c ,b -c =()A.-15B.-25C.25D.455.已知等比数列a n 中，a 1=1，S n 为a n 前n 项和，S 5=5S 3-4，则S 4=()A.7B.9C.15D.306.有50人报名报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.“sin 2α+sin 2β=1”是“sin α+cos β=0”()A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则AB =()A.15B.55C.255D.4559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有一人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.3010.已知f (x )为函数y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数，则y =f (x )与y =12x -12的交点个数为()A.1B.2C.3D.411.在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB =4，PC =PD =3，∠PCA =45°，则△PBC 的面积为()A.22B.32C.42D.5212.已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则OP =()A.25B.302C.35D.352二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年高考真题—数学(新高考Ⅰ卷)【含答案及解析】

2022年高考真题—数学(新高考Ⅰ卷)【含答案及解析】

2022年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},{31}M x N x x =<=³∣，则M N =I （ ）A.{}02x x £< B.123xx ìü£<íýîþC.{}316x x £< D.1163x x ìü£<íýîþ2.若i(1)1z -=，则z z +=（ ）A.2- B.1- C. 1D. 23.在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==u u u r u u u r r r ，，则CB u u u r =（ ）A.32m n-r rB.23m n-+r rC.32m n+r rD.23m n+r r 4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ． 2.65»）（ ）A.931.010m ´ B.931.210m ´ C.931.410m ´ D.931.610m ´5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A.16B.13C.12D.236.记函数()sin (0)4f x x b p w w æö=++>ç÷èø的最小正周期为T ．若23T p p <<，且()y f x =的图象关于点3,22p æöç÷èø中心对称，则2f p æö=ç÷èø（ ）A. 1B.32C.52D. 37.设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（ ）A.a b c << B.c b a << C.c a b<< D.a c b<<8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36p ，且3l ££，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A.8118,4éùêúëûB.2781,44éùêúëûC.2764,43éùêúëûD.[18,27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ）A.直线1BC 与1DA 所成的角为90°B.直线1BC 与1CA 所成的角为90°C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45°D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°10.已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线11.已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A.C 的准线为1y =- B.直线AB 与C 相切C.2|OP OQ OA×> D.2||||||BP BQ BA ×>12.已知函数()f x 及其导函数()¢f x 的定义域均为R ，记()()g x f x ¢=，若322f x æö-ç÷èø，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A.(0)0f =B.102g æö-=ç÷èøC.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.81()y x y x æö-+ç÷èø的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．14.写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．15.若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ìü=íýîþ是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++<L ．18.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．（1）若23C p=，求B ；（2）求222a b c+的最小值．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC V 的面积为．（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ^平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=×；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|P A B P A B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k³0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82821.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ Ð=，求PAQ △的面积．22.已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案及解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},{31}M x N x x =<=³∣，则M N =I （）A.{}02x x £< B.123xx ìü£<íýîþC.{}316x x £< D.1163x x ìü£<íýîþ【答案】D 【解析】【分析】求出集合,M N 后可求M N Ç.【详解】1{16},{}3M xx N x x =£<=³∣0∣，故1163M N x x ìü=£<íýîþI ，故选：D2.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2- B.1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D3.在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==u u u r u u u r r r ，，则CB u u u r=（）A.32m n-r rB.23m n-+r rC.32m n+r rD.23m n+r r 【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =u u u r u u u r，即()2CD CB CA CD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以CB u u u r =3232CD CA n m -=-u u u r u u u r r u r23m n =-+r r．故选：B ．4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ． 2.65»）（）A.931.010m ´ B.931.210m ´ C.931.410m ´ D.931.610m ´【答案】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==´km m ，下底面积262180.018010S ¢==´km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=´´´+´+¢(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=´+´»+´´=´»´．故选：C ．5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==.故选：D.6.记函数()sin (0)4f x x b p w w æö=++>ç÷èø的最小正周期为T ．若23T p p <<，且()y f x =的图象关于点3,22p æöç÷èø中心对称，则2f p æö=ç÷èø（）A. 1 B.32 C.52D. 3【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T p p <<，得223p p p w <<，解得23w <<，又因为函数图象关于点3,22p æöç÷èø对称，所以3,24k k Z p p w p +=Î，且2b =，所以12,63k k Z w =-+Î，所以52w =，5()sin 224f x x p æö=++ç÷èø，所以5sin 21244f p p p æöæö=++=ç÷ç÷èøèø.故选：A7.设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b<< D.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-，导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x¢=-=-++，当(1,0)x Î-时，()0f x ¢>，当,()0x Î+¥时()0f x ¢<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+¥单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+¢=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x ¢=+-，当01x <<-时，()0h x ¢<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x ¢>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x ¢>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36p，且3l ££，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4éùêúëûB.2781,44éùêúëûC.2764,43éùêúëûD.[18,27]【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36p ，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l æö==´´=´-´-ç÷èø，所以5233112449696l l V l l æöæö-¢=-=ç÷ç÷èøèø，当3l ££0V ¢>，当l <£时，0V ¢<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443éùêúëû，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）A.直线1BC 与1DA 所成的角为90° B.直线1BC 与1CA 所成的角为90°C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45°D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°【答案】ABD 【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ^1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90°，A正确；连接1A C ，因为11A B ^平面11BB C C ，1BC Ì平面11BB C C ，则111A B BC ^，因为1B C ^1BC ，1111A B B C B =I ，所以1BC ^平面11A B C ，又1AC Ì平面11A B C ，所以11BC CA ^，故B 正确；连接11A C ，设1111AC B D O =I ，连接BO ，因为1BB ^平面1111D C B A ，1C O Ì平面1111D C B A ，则11C O B B ^，因为111C O B D ^，1111B D B B B Ç=，所以1C O ^平面11BB D D ，所以1C BO Ð为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则12C O =，1BC =，1111sin 2C O C BO BC Ð==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30o ，故C 错误；因为1C C ^平面ABCD ，所以1C BC Ð为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC Ð=o ，故D 正确.故选：ABD10.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x ¢=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x ¢<得33x -<<，所以()f x 在(,33-上单调递减，在(,3-¥-，(,)3+¥上单调递增，所以3x =±是极值点，故A 正确；因(1039f -=+>，1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,3æö-¥-ç÷ç÷èø上有一个零点，当3x ³时，()03f x f æö³>ç÷ç÷èø，即函数()f x 在3æö¥ç÷ç÷èø上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x ¢=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC.11.已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A.C 的准线为1y =- B.直线AB 与C 相切C.2|OP OQ OA ×> D.2||||||BP BQ BA ×>【答案】BCD 【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-ìí=î，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-ìí=î，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ì=->ï+=íï=î，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又||OP ==，||OQ ==所以2||||||2||OP OQ k OA ×===>=，故C 正确；因为1||||BP x =，2||||BQ x =，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ×=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD12.已知函数()f x 及其导函数()¢f x 的定义域均为R ，记()()g x f x ¢=，若322f x æö-ç÷èø，(2)g x +均为偶函数，则（）A.(0)0f = B.102g æö-=ç÷èøC.(1)(4)f f -= D.(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322f x æö-ç÷èø，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x æöæö-=+ç÷ç÷èøèø即3322f x f x æöæö-=+ç÷ç÷èøèø，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x ¢=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x æö=-=-ç÷èø，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g æöæö-==ç÷ç÷èøèø，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.81()y x y x æö-+ç÷èø的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】()81y x y x æö-+ç÷èø可化为()()88y x y x y x +-+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x xæö-++-+ç÷èø，所以()81y x y x æö-+ç÷èø的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-，()81y x y x æö-+ç÷èø的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2814.写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14=，解得7242524kpì=-ïïíï=ïî，7252424y x=-当切线为n时，易知切线方程为1x=-，故答案为：3544y x=-+或7252424y x=-或1x=-.15.若曲线()e xy x a=+有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】()(),40,¥¥--È+【解析】【分析】设出切点横坐标0x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.【详解】∵()e xy x a=+，∴(1)e xy x a¢=++，设切点为()00,x y,则()000e xy x a=+,切线斜率()01e xk x a=++,切线方程为：()()()00000e1ex xy x a x a x x-+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e1ex xx a x a x-+=++-,整理得：200x ax a+-=,∵切线有两条，∴240a a =+>n ,解得4a <-或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,¥¥--È+,故答案为：()(),40,¥¥--È+16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O pÐ=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3， 直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c =+´´=´´n ，∴226461313cCD ==´=´´´=，∴138c =， 得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ìü=íýîþ是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++<L ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ³时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n æö+++=-ç÷+èøL ，进而证得.【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ìüíýîþ是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ³时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=´´´¼´´()1341123212n n n n n n ++=´´´¼´´=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式2n a =；【小问2详解】()12112,11n a n n n n æö==-ç÷++èø∴12111n a a a +++L 1111112121222311n n n éùæöæöæöæö=-+-+-=-<ç÷ç÷ç÷ç÷êú++èøèøèøèøëûL 18.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．（1）若23C p=，求B ；（2）求222a b c +的最小值．【答案】（1）π6；（2）5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c+化成2224cos 5cos B B+-，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【小问2详解】由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而sin cos sin 2B C C =-=-ç÷èø，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-³-=．当且仅当2cos 2B =时取等号，所以222a b c+的最小值为5-．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC V 的面积为．（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ^平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】（1（2）2【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ^平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则1111111111433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=×===×==V V ，解得h =，所以点A 到平面1A BC ；【小问2详解】取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ^,又平面1A BC ^平面11ABB A ，平面1A BC I 平面111ABB A A B =，且AE Ì平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，由BC Ì平面1A BC ，BC Ì平面ABC 可得AE BC ^，1BB BC ^，又1,AE BB Ì平面11ABB A 且相交，所以BC ^平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE =12AA AB ==，1A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD =u u u r ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==uu u r u uu r,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =u r ，则020m BD x y z m BA y ì×=++=ïí×==ïîu r u u u r u r u u u r ，可取()1,0,1m =-u r，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =r ，则020m BD a b c m BC a ì×=++=ïí×==ïîu r u u u r u r u u u r ，可取()0,1,1n =-r，则cos ,m n m n m n×==×u r ru r r u r r ，所以二面角A BD C --2=.20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ³0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R .【小问1详解】由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -´-´==++++´´´，又2( 6.635)=0.01P K ³，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =××××，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =×××所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×，(ii)由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×21.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ Ð=，求PAQ △的面积．【答案】（1）1-；（2）9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ Ð=即可求出直线,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．【小问1详解】因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+ìïí-=ïî可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k D =++->Þ-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +æö´+-----=ç÷--èø，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．【小问2详解】不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),a b a b <，因为0AP BP k k +=，所以πa b +=，因为tan PAQ Ð=()tan b a -=tan 2a =-，2tan 0a a --=，解得tan a =，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ì=-+ïí-=ïî可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，Py=53-，同理可得，103Q x +=，Q y=53--．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ 的距离3d ==，故PAQ △的面积为1162339´´=．22.已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e ¢=-x f x a ，若0a £，则()0f x ¢>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,+¥，而11()ax g x a x x¢-=-=.当ln x a <时，()0f x ¢<，故()f x 在(),ln a -¥上为减函数，当ln x a >时，()0f x ¢>，故()f x 在()ln ,a +¥上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x ¢<，故()g x 在10,a æöç÷èø上为减函数，当1x a >时，()0g x ¢>，故()g x 在1,a æö+¥ç÷èø上为增函数，故min 11()1ln g x g a a æö==-ç÷èø.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a -=-，整理得到1ln 1a a a-=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --¢=-=£++，故()g a 为()0,+¥上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.【小问2详解】由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1xS x ¢=-，当0x <时，()0S x ¢<，当0x >时，()0S x ¢>，故()S x 在(),0-¥上为减函数，在()0,+¥上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b ¢=->，故()u b 在()1,+¥上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-¢=，当01x <<时，()0T x ¢<，当1x >时，()0T x ¢>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+¥上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x¢=+-，设()e 1xs x x =--，0x >，则()e 10xs x ¢=->，故()s x 在()0,+¥上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x¢>+-³->，所以()h x 在()0,+¥上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122()e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,+¥上有且只有一个零点0x ，0311e x <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，25故11e x x b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44e x b x -=即()44e 0x b x b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-ìí=-î即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.。

高考数学试题及答案(精选10篇)

高考数学试题及答案(精选10篇)

高考数学试题及答案（精选10篇）篇1：高考数学试题全国卷及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U和集合A，B所示，则 = ( )A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}2.复数的共轭复数是( )A.-1-iB.-1+iC.D.3. 等差数列满足: ,则 =( )A. B.0 C.1 D.24.已知函数是定义在R上的奇函数，当，则的值是( )A. B. C. D.-85.下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段:女主角欲输入一个由十个数字组成的密码,但当她果断地依次输入了前八个数字, 欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许.请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是 ( )A.21B.20C.13D.316.已知实数a、b，则是的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件7.已知函数，则下列区间必存在零点的是 ( )A. B. C. D.8.设函数在处取得极值，则的值为( )A. B. C. D.49.设，则有 ( )A. B. C. D. 的大小不定10.已知函数① ② ;③ ④ 其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一一个自变量，使成立的函数是( )A.①②④B.②③C.③D.④二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上)11.已知，则 = 。

12.由直线 , , 与曲线所围成的'封闭图形的面积为 .13.规定符号表示一种两个正实数之间的运算，即a b= ,a,b是正实数，已知1 =3,则函数的值域是 .14.已知且与垂直，则实数的值为。

15.给出下列四个命题：①已知都是正数，且，则 ;②若函数的定义域是，则 ;③已知x(0，)，则y=sinx+ 的最小值为 ;④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2.其中正确命题的序号是_____。

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2017年高考集合、复数真题
1701、(17全国Ⅰ理1)已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ）
A ．{|0}A
B x x =< B ．A B =R
C ．{|1}A B x x =>
D ．A B =∅
1702、(17全国Ⅰ理3)设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为（ ）
A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 1703、(17全国Ⅰ文1)已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）
A ．A
B =3|2x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A B 3|2x x ⎧
⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．A B=R
1704、(17全国Ⅰ文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i) 1705、(17全国Ⅱ理1)31i i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
1706、(17全国Ⅱ理2)设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
1707、(17全国Ⅱ文1)设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A B （ ）
A. {}123,4，，
B. {}123，，
C. {}234，，
D. {}134，，
1708、(17全国Ⅱ文2)（1+i ）（2+i ）= （ ）
B. 1+3i
C. 3+i +3i
1709、(17全国Ⅲ理1)已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│
，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为
（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 1711、(17全国Ⅲ理2)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= （ ）
A ．12
B ．22
C ．2
D ．2
1712、(17全国Ⅲ文1)已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1713、(17全国Ⅲ文2)复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 1714、(17北京理1）若集合A ={x |–2
x 1}，B={x |x –1或x 3}，则A B =（ ） （A ）{x |–2
x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x
3} 1715、(17北京理2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1）
（C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）
1716、(17北京文1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则
（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞
（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞
1717、(17北京文2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞-
（C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞
1718、(17山东理2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =⋅=，则a=
（A ）1或-1 （B 77或（C ）3 （D 3
1719、(17山东文1）设集合M={x||x ﹣1|＜1}，N={x|x ＜2}，则M ∩N=（ ）
A ．（﹣1，1）
B ．（﹣1，2）
C ．（0，2）
D ．（1，2）
1720、(17山东文2)已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=1+i ，则z 2
=（ ） A ．﹣2i B ．2i C ．﹣2 D ．2
1721、(17天津理1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A
B C =
（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R
1722、(17天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i
a -+为实数，则a 的值为 1723、(17天津文1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A
B C =( ) （A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,4,6}
1724、(17天津文9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若
i 2i a -+为实数，则a 的值为 2- 1725、(17江苏1)已知集合A={1，2}，B={a ，a 2+3}．若A ∩B={1}，则实数a 的值为 ．
1726、(17江苏2）已知复数z=（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 1727、(17浙江理1)已知集合P={x|-1＜x ＜1}，Q={0＜x ＜2}，那么P∪Q=（ ）
A ．（1，2）
B ．（0，1）
C ．（-1，0）
D ．（1，2） 1728、(17浙江理12)已知a ，b ∈R ，（a+bi ）2=3+4i （i 是虚数单位）则a 2+b 2=________，ab =___________.。

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