新教材北师大版必修第一册 第五章函数应用2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画 课件
新教材北师大版高中数学必修第一册 第五章 函数应用 课后练习 含解析
第五章函数应用课后练习1、利用函数性质判定方程解的存在性........................................................................ - 1 -2、利用二分法求方程的近似解.................................................................................... - 6 -3、实际问题的函数刻画.............................................................................................. - 11 -4、用函数模型解决实际问题...................................................................................... - 18 -1、利用函数性质判定方程解的存在性提升练习1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C. D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(b,c)和(c,+∞)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k ≤1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)>0B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.答案:(0,4)【补偿训练】设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是.【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x 在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 0四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.2、利用二分法求方程的近似解基础练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则( )A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知f f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3==,得f=>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内.创新练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为( )①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lo x,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).答案:(0,0.5) f(0.25)四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.【证明】因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3、实际问题的函数刻画基础练习1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了b km(b<a),当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )【解析】选C.由题意可知,前进a km时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( )A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域.3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确的是( )A.气温最高时,用电量最多B.气温最低时,用电量最少C.5月～7月用电量随气温增加而增加D.8月～12月用电量随气温降低而增加【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率,排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的两图可以发现,2月份用电量最多,而2月份气温不是最高,因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降,但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司数2005 302006 452007 90【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1×30=30(万个);2006年消耗纸质饭盒总数=2×45=90(万个);2007年消耗纸质饭盒总数=1.5×90=135(万个);故每年平均消耗纸质饭盒总数=(30+90+135)÷3=85(万个).答案:855.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在△EDF中,=,所以=.所以y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,800),(2,1 300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A.1 000件B.1 200件C.1 400件D.1 600件【解析】选D.设生产x件时自产合算,由题意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1 600.4.拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77【解析】选C.5.5 min的通话费为f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论,正确的是( )A.前3年的年产量增长速度越来越快B.前3年的年产量增长速度越来越慢C.3年后,这种产品停止生产D.3年后,这种产品年产量保持不变【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变的,所以AD正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为.【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,所以AB=5+=5+3=8,所以S△ABC=×8×4=16.答案:16【补偿训练】生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4) (1) (3) (2)8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每部手机比原价多赚144元,那么每部手机原价是元,实际售价为元.【解析】设每部手机原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1200+144=1 344(元).答案:1 200 1 344四、解答题(每小题10分,共20分)9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式话费相差多少元?【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.当t=100时,100k1+20=100k2,所以k2-k1=.当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.答:这两种方式话费相差10元.10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,解得k=0.2,所以y==,所以y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.4、用函数模型解决实际问题基础练习1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又得5<x<10.2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7.3.今有一组试验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,==4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=能较好地体现这些数据关系.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.【解析】由三角形相似,即=,得x=×(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t 每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分 3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得所以y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t水.提升练习一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a,所以b=a×,所以a>b.2.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为=12-2x,所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,S max=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是( )A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600.4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则( )A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )A.60B.63C.66D.69【解析】选C.因为I(t)=,所以I(t*)==0.95K,则=19,所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈+53≈66.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:关于x呈指数型函数变化的变量是.【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案:y28.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得或或无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,所以所求函数关系式为S=t2-2t.(2)把S=30代入,得30=t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=×72-2×7==10.5(万元),把t=8代入,得S=×82-2×8=16(万元),则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=log a x+b;④y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是L.创新练习1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) ( )A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77.2.某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,即100·-60=140,解得,a=4.(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,由于f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.(3)①当0≤x≤10时,由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10];②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;③当20<x≤40时,-15x+640≥140,。
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必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量位移、速度、和力向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4 平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列数列的概念数列的函数特征§2 等差数列等差数列等差数列的前n项和§3 等比数列等比数列等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系不等关系比较大小§2 一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3 基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法综合法分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同性质直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念定积分的背景—面积和路程问题定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理二项式定理二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布连续型随机变量正态分布第三章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形球面上两直线的交角球面上的对称性球面三角形球面三角形的基本性质球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系平面三角形的余弦定理和正弦定理球面三角形边的余弦定理球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积球面二角形球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式球面三角部分球面上的欧拉公式球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式凸多面体和简单多面体简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较欧氏几何与球面几何的区别与联系另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似图形变化的不变形平移、旋转、反射相似与位似平行线分线段成比例定理直角三角形的射影定理§2 圆与直线圆周角定理圆的切线的判定和性质弦切角定理切割线定理相交弦定理§3 圆与四边形圆内接四边形托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系平面与球的关系§3 柱面与平面的截面柱面、旋转面垂直截面一般截面§4 平面截圆锥面圆锥面垂直截面一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化直线与圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线平摆线渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。
高中数学北师大版(新)必修第一册 第五章 函数应用 学案-实际问题的函数刻画
2．1实际问题的函数刻画——读教材·知识梳理——[情境导入]爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.[问题]五期后的本利和是多少？[新知初探]知识点实际问题的函数刻画1．在现实世界中，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式．2．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质，使问题得到解决．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．[做一做]1．某地为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万公顷，以后每年比上年增加1万公顷，每年植树的公顷数y(单位：万公顷)是时间x(单位：年)的函数，这个函数的图象是下图中的()2．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为()A．20 m3B．18 m3C．15 m3D．14 m33．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．——研教材·典例精析——题型一解析式法刻画函数关系[例1]车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．1．一次函数模型的实际应用应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或ax＋b≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．[跟踪训练]某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．题型二图表法刻画函数关系[例2]某国2017年至2020年国内生产总值(单位：万亿元)如表所示，(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．利用已知图表中的数据根据条件画出图象，依据图象构建函数模型是解决此类问题的关键．[跟踪训练]某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)题型三 已知函数模型的实际应用问题[例3] 灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃， t min 后，水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中，k 是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，1 h 后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种茶叶必须用不低于85 ℃的水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100 ℃的水，问：能否在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20 ℃)[通性通法]某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x ，因变量为y ，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定；第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答； 第三步，转译成实际问题的解．[跟踪训练]某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数．若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ．欲使每小时的油耗不超过9 L ，则x 的取值范围为________．[随堂检测]1．某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？()A．每桶8.5元B．每桶9.5元C．每桶10.5元D．每桶11.5元2．据调查，某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝x＋400(0≤x≤400)B．y＝x＋800(0≤x≤400)C．y＝－x＋400(0≤x≤400)D．y＝－x＋800(0≤x≤400)3．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探] [做一做]1．【答案】A【解析】由题意知该一次函数的图象必过(1，0.5)和(2，1.5)两点，故排除B 、C 、D. 2．【答案】C【解析】设用水量为x m 3，水费为y 元， (1)当0≤x ≤12时，y ＝3x ， 令3x ＝54可得x ＝18(舍)；(2)当12<x ≤18时，y ＝12×3＋6(x －12)＝6x －36， 令6x －36＝54可得x ＝15.符合题意，故选C. 3．【答案】60【解析】设涨价x 元，销售的利润为y 元，则y ＝(50＋x －45)(50－2x )＝－2x 2＋40x ＋250＝－2(x －10)2＋450，所以当x ＝10，即销售价为60元时，y 取得最大值．——研教材·典例精析——题型一 解析式法刻画函数关系[例1] 解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x )＝－0.2x ＋1 750(x ∈N ＋且0≤x ≤3 500)． (2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则 3 500×(1－40%)≤x ≤3 500×(1－25%)， 即2 100≤x ≤2 625.根据函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的图象(图略)，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的值域是[1 225，1 330]， 即收入在1 225元至1 330元之间．[跟踪训练]解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎫0≤t ≤115.离开北京2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km).题型二 图表法刻画函数关系[例2] 解：(1)根据表中数据画出函数图象，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y ＝kx ＋b . 把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程组，可得k ＝0.677 7， b ＝8.206 7.所以它的一个函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由(1)中得到的关系式为f (x )＝0.677 7x ＋8.206 7，计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为f (1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)， f (2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)． 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．[跟踪训练]解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．据此，可考虑用函数y ＝－a (x －4)2＋2(a >0) ①表示投资A 种商品的金额与其纯利润的关系，用y ＝bx (b >0) ②表示投资B 种商品的金额与其纯利润的关系． 把x ＝1，y ＝0.65代入①式，得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数解析式可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2来表示．把x ＝4，y ＝1代入②式，解得b ＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数解析式可近似地用y ＝0.25x 来表示．设下个月投入A ，B 两种商品的资金分别是x A 万元，x B 万元，纯利润为W 万元，得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＋x B ＝12，W ＝y A ＋y B ＝－0.15（x A －4）2＋2＋0.25x B ， 即W ＝－0.15⎝⎛⎭⎫x A －1962＋0.15×⎝⎛⎭⎫1962＋2.6. 故当x A ＝196≈3.2时，W 取得最大值，约为4.1，此时，x B ＝8.8.即下个月投入A ，B 两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元.题型三 已知函数模型的实际应用问题 [例3] 解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e －60k，整理得e－60k＝3940， 利用计算器，算得k ≈0.000 42. 故θ＝20＋80e－0.000 42t.从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h ，即360 min. 当t ＝360时，θ＝20＋80e －0.000 42×360≈89.因为89 ℃>85 ℃，所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶．[跟踪训练]【答案】[60，100]【解析】设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y L ，由题意可得y ＝15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x ， 当x ＝120时，y ＝11.5，∴11.5＝15⎝⎛⎭⎫120－k ＋4 500120，解得k ＝100，∴y ＝15⎝⎛⎭⎫x －100＋4 500x .要使每小时的油耗不超过9 L ，则15⎝⎛⎭⎫x －100＋4 500x ≤9，即x 2－145x ＋4 500≤0， 解得45≤x ≤100，又60≤x ≤120，可得60≤x ≤100，故当每小时的油耗不超过9 L 时， x 的取值范围为[60，100]．[随堂检测]1．【答案】D【解析】根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为(6＋x )元，公司日利润为y 元，则y＝(6＋x－5)(480－40x)－200＝－40x2＋440x＋280(0≤x≤12)，∴当x＝5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．2．【答案】D【解析】因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(400－x)辆次，所以y＝x＋2(400－x)＝－x＋800(0≤x≤400)，故选D.3．【答案】100【解析】当M＝7时，∵7＝lg A－lg A0＝lg AA0，∴AA0＝107，∴A＝A0107，当M＝5时，∵5＝lg A－lg A0＝lg AA0，∴AA0＝105，∴A＝A0105，从而可得7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍．。
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必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3 两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想 1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率 1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像6.1正弦函数的图像6.2 正弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质7.2 正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特征§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全。
5.2实际问题中的函数模型 课件——高一上学期数学北师大版必修第一册
【方法指导】(1)结合分段函数P(x)，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润f(x)的解析式；
(2)根据二次函数的性质，求得利润f(x)的最大值以及此时的月产量.
学以致用
【解析】(1)由题意，当0≤x≤450时，
f(x)= − x-15000-20x=300x-x2-15000；
故污染物减少50%所需的时间为35个小时.
，
探究：建立指数、对数函数模型解决实际问题
【探究小结】已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代数函数模
型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
【针对训练】一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险.现给某病
【解析】(1)此人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，需要的时间为
以50千米/小时的速度从B地返回A地，需要的时间为
则当0≤x<2.5时，y=60x；当2.5≤x≤3.5时，y=150；
当3.5<x≤6.5时，y=150-50(x-3.5)=-50x+325.
(2)当0≤x<2.5时，60x=100，解得x= ；
【问题3】刻画应用问题的关键是什么?
【答案】将实际问题抽象为数学问题.
抽象概括
1.实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有
依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画.
2.常用的函数模型
(1)一次函数模型，直线上升或下降，单位长度内增长或减少量固定不变.
【针对训练】经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：百件)和价格(单位：元)均
新教材高中数学第五章函数应用 实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题素养作业北师大版必修第一册
第五章 §2 2.1A 组·素养自测一、选择题1．某商场售出两台取暖器,第一台提价20%以后按960卖出,第二台降价20%以后按960卖出,这两台取暖器卖出后,该商场( C )A ．不赚不亏B ．赚了80元C ．亏了80元D ．赚了160元[解析] 设第1台原价x 1,第2台原价x 2,则x 1·(1＋20%)＝960得x 1＝800,x 2·(1－20%)＝960,得x 2＝1200,960×2－(800＋1200)＝－80. ∴选C ．2．用长度为24m 的材料围成一矩形场地,如果在中间加两道隔墙,要使矩形面积最大,则隔墙的长度应为( A )A ．3mB ．4mC ．6mD ．12m[解析] 设矩形的长为x ,则宽为14(24－2x ),则矩形的面积为S ＝14(24－2x )x ＝－12(x2－12x )＝－12(x －6)2＋18,所以当x ＝6时,矩形的面积最大,此时隔墙的长度应为3m.3．某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y ＝x 2－80x ,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( D )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53[解析] 因为利润＝收入－成本,当产量为x 件时(x ∈N ),利润f (x )＝25x －(x 2－80x ),所以f (x )＝105x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524,所以x ＝52或x ＝53时,f (x )有最大值．4．某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （1≤x <10，x ∈N ＋），2x ＋10（10≤x <100，x ∈N ＋），1.5x （x ≥100，x ∈N ＋），其中x 代表拟录用人数,y 代表面试人数．若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )A ．15B ．40C ．25D ．130[解析] 令y ＝60,若4x ＝60,则x ＝15>10,不合题意；若2x ＋10＝60,则x ＝25,满足题意；若1.5x ＝60,则x ＝40<100,不合题意．故拟录用25人．5．如图1,动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发,沿B →C →D →A 的顺序运动,得到以点P 运动的路程x 为自变量,△ABP 的面积y 为因变量的函数的图象,如图2,则梯形ABCD 的面积是( B )A ．96B ．104C ．108D ．112[解析] 从图2可看出,BC ＝8,CD ＝10,DA ＝10,在图1中,过点D 作AB 的垂线,垂足为E ,可推得AE ＝6,AB ＝16,所以梯形的面积为12(DC ＋AB )·BC ＝12(10＋16)×8＝104,故选B ．6．(福建高考题)要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( C )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元[解析] 设该容器的总造价为y 元,长方体的底面矩形的长为x m,因为无盖长方体的容积为4m 3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为4xm,依题意,得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥160,当且仅当x ＝4x,即x ＝2时,等号成立,y 取得最小值,即y min ＝160.所以该容器的最低总造价为160元．故选C ．二、填空题7．某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是__y ＝a4x (x ∈N ＋)__．[解析] 依题意,设新价为b ,则有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%.化简,得b ＝54a . ∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ,即y ＝a4x (x ∈N ＋)．8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本就增加1万元,又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2,那么总利润L (Q )的最大值是__250__万元,这时产品的产量为__300__．(总利润＝总收入－成本)[解析] L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250,则当Q ＝300时,总利润L (Q )取最大值250万元．9．某人计划购买一辆A 型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%,试问,大约使用__4__年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．[解析] 设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4化简得x －6×0.9x＝0,令f (x )＝x －6×0.9x易得f (x )为递增函数,又f (3)＝－1.374<0,f (4)＝0.0634>0,∴f (x )在(3,4)上有一个零点,故大约使用4年后,用在该车上费用达到14.4万元．三、解答题10．(10分)有l 米长的钢材,要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．[解析] 设小矩形的长为x ,宽为y ,窗户的面积为S , 则由题图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ,所以6y ＝l －(9＋π)·x , 所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l23（36＋π）. 要使窗户所透过的光线最多,只需窗户的面积S 最大． 由6y ＞0,得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π,所以当x ＝2l 36＋π,y ＝l －（9＋π）x 6＝l （18－π）6（36＋π）,即x y ＝1218－π时,窗户的面积S 有最大值,且S max ＝2l23（36＋π）.11．(10分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？解：(1)当0＜x ≤30时,y ＝900；当30＜x ≤75,y ＝900－10(x －30)＝1200－10x .即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元, 则当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000；当30＜x ≤75时,S ＝x (1200－10x )－15000＝－10x 2＋1200x －15000.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000，0＜x ≤30，－10x 2＋1200x －15000，30＜x ≤75. 因为当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000为增函数, 所以x ＝30时,S max ＝12000；当30＜x ≤75时,S ＝－10x 2＋1200x －15000＝－10(x －60)2＋21000, 即x ＝60时,S max ＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润．B 组·素养提升一、选择题1．如图所示,从某幢建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M 离墙1m,离地面403m,则水流落地点B离墙的距离OB 是( B )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m[解析] 以OB 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程是y ＝a (x －1)2＋403,由条件(0,10)在抛物线上,可得10＝a ＋403,a ＝－103,所以y ＝－103(x －1)2＋403,设B (x ,0)(x ＞1),代入方程得：(x －1)2＝4,所以x ＝3.2．某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为( A ) A ．1500元 B ．1550元 C ．1750元D ．1800元[解析] 设该顾客在此商场的购物总金额为x 元,可以获得的折扣金额为y 元． 由题可知,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，0.05（x －800），800＜x ≤1300，0.1（x －1300）＋25，x ＞1300.∵y ＝50＞25,∴x ＞1300,∴0.1(x －1300)＋25＝50,解得x ＝1550.1550－50＝1500(元)．故此人购物实际所付金额为1500元．3．(多选)在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．给出下列说法,其中正确的是( BD )A ．前5min 温度增加的速度越来越快B ．前5min 温度增加的速度越来越慢C ．5min 以后温度保持匀速增加D ．5min 以后温度保持不变E ．温度随时间的变化情况无法判断[解析] 温度y 关于时间t 的图象是先凸后平,即5min 前每当t 增加一个单位增量Δt ,则y 相应的增量Δy 越来越小,而5min 后y 关于t 的增量保持为0,则BD 正确．4．某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y 1(千元)、乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( ABC )A ．甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1C ．当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用[解析] 由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1,故A 、B 正确；当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元,故C 正确；当x ＝8时,y 1＝0.5×8＋1＝5,y 2＝14×8＋52＝92,因为y 1＞y 2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D 不正确． 二、填空题5．某零售商购买某种商品的进价P (单位：元/千克)与数量x (单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2700元,他最多可购买这种商品__90__千克．[解析] 由题意得,购买这种商品所需费用y (单位：元)与数量x (单位：千克)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧37x ，0＜x ≤10，32x ，10＜x ≤50，30x ，50＜x ≤100，27x ，100＜x ≤150，25x ，x ＞150，从而易得30×50＜2700＜30×100,即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间,故最多可购买这种商品270030＝90(千克)．6．甲工厂八年来某种产品的年产量y 与年份代号x 的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品的年产量增长速度越来越快； ②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品的年产量保持不变． 其中说法正确的是__②④__．[解析] 设年产量y 与年份代号x 的关系为f (x ),由图,可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢,故①错误,②正确；由图,可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化,且f (4)≠0,故③错误,④正确．7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为__800__副．[解析]由5x＋4000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少为800副时才不亏本．三、解答题8．某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n＋1)元时比礼品价格为n(n∈N＋ )元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n元时,利润y n(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格,以使商店获得最大利润．[解析](1)当礼品价格为n元时,销售量为m(1＋10%)n件,故利润y n＝(100－80－n)·m(1＋10%)n＝m(20－n)·1.1n(0<n<20,n∈N＋)．(2)令y n＋1－y n≥0,即m(19－n) ·1.1n＋1－m(20－n)·1.1n≥0,解得n≤9.所以y1<y2<y3<…<y9＝y10.令y n＋1－y n＋2≥0,即m(19－n)·1.1n＋1－m(18－n)·1.1n＋2≥0,解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润．9．某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图1),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A,B两种产品的利润f(x),g(x)表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润,最大利润为多少？解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x,g(x)＝k2x,则f(1)＝k1＝0.25,g(4)＝2k2＝2.5,k2＝1.25.所以f(x)＝0.25x(x≥0),g (x )＝1.25x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元,则A 产品的投资额为(10－x )万元．y ＝f (10－x )＋g (x )＝0.25(10－x )＋1.25x (0≤x ≤10),令t ＝x ,则y ＝－0.25t 2＋1.25t ＋2.5,所以当t ＝2.5,即x ＝6.25时,收益最大,y max ＝6516万元．答：投资B 产品6.25万元,A 产品3.75万元时,能获得最大利润,最大利润为6516万元．。
04-第二节 实际问题中的函数模型高中数学必修一北师大版
（1）某单级火箭自身的质量为50 t,发动机的喷射速度为3 km/s,当它装载
100 t燃料时,求该单级火箭的最大速度（精确到0.1 km/s）.
【解析】 由题知1 = 3, = 50, = 100,
所以 =
+
1 ln
=3×
100+50
ln
50
= 3ln 3 ≈ 3.3,
若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，则此人购物实际所付金额为
( A )
A.940元
B.1 000元
C.1 140元
D.1 200元
【解析】 设此人购物的总金额为元，获得的折扣金为元，则
0,0 < ≤ 500,
= ቐ0.1 − 500 , 500 < ≤ 900,当 = 900时，
地制宜打造“生态水果特色小镇”.经调研发现，某珍稀水果树的单株产量
（单位：kg）与施用肥料（单位：kg）满足如下关系：
5 2 + 3 , 0 ≤ ≤ 2,
= ቐ 50
1+
, 2 < ≤ 5,
肥料成本投入为10元，其他成本投入
（如培育管理、施肥等人工费）为20元.已知这种水果的市场售价为15
,解得
0.65−0.4
= 0.2,所
0.6
（2）若电的成本价为0.3元/度，则电的价格调至____元/度时，电力部门
本年度的收益将比上一年增加20%.（收益=用电量× （实际电的价格-成
本价））
【解析】 根据题意,得 1 +
1
5−2
− 0.3 = 1 × 0.8 − 0.3 × ሺ1 + 20%ሻ,
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题
合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋
势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答
案.
变式训练1已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向
点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是
(100-)(1 + 2%) ≥ 100,
0 < < 100,∈N+,
故
∴0<x≤50,x∈N+.
2
-50 ≤ 0,
因此当0<x≤50,x∈N+时,能保证第二产业的产值不减少.
(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则
a
f(x)=(100-x)(1+2x%)a+1.2ax-100a=50
(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若
按九折出售,则每件还能获利.( × )
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出
20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为
y=-4x+200.( × )
(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ )
2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.
变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研究鲑鱼
1
的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 y=2log3100 ,单位是m/s,其中x
北师版高中数学必修第一册精品课件 第5章 函数应用 2 实际问题中的函数模型
,∈[,],
综上可知,s 随 t 变化的规律是 s= -,∈(,],
- + -,∈(,].
2=150<650;
×
10
(3)当t∈[0,10]时,smax=
当t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650;
当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,
线段BC对应的方程是v=-2t+70(20≤t≤35).故当t=4时,v=12,
所以 s= ×4×12=24.
(2)当
2
0≤t≤10 时,s= t·3t= t ;
当 10<t≤20 时,s=150+(t-10)×30=30t-150;
当
20<t≤35 时,s=150+300+(t-20)·(-2t+70+30)=-t2+70t-550.
实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些
数据的规律,其中最接近的一个是(
)
x
5.15
6.126
3
4
y
4.041 8
7.5
18.01
12
2
A.y=(x -1)
C.y=log2x
B.y=2x-2
D.y=lo x
分析:把各组数据代入,逐个检验即可选出最接近的一个.
解析:对于选项A,各组数据都很接近,
(2)设经过
p%=1
m 年森林面积为 a,
则 a(1-p%)
m
于是
=
高中数学第5章函数应用本章总结提升北师大版必修第一册
专题三
已知函数模型解决实际问题
解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函
数定义域以及实际生活中的自变量取值的限制条件,然后结合所给模型,列
出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.
【例3】 据市场分析,某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总
成本y(单位:万元)可以看成月产量x(单位:吨)的二次函数;当月产量为10吨
a=0.1.
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y=1.6x-(0.1x2-3x+40)=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.
变式训练3某热力公司每年燃料费约24万元,为了“环评”达标,需要安装一
变式训练1(1)已知关于x的方程a·4x+b·2x+c=0(a≠0),常数a,b同号,b,c异号,
则下列结论中正确的是( D )
A.此方程无实根
B.此方程有两个互异的负实根
C.此方程有两个异号实根
D.此方程仅有一个实根
解析由常数a,b同号,b,c异号,可得a,c异号,令2x=t,则方程变为at2+bt+c=0,
由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,
在(1,2)内有一个零点,
-( + 2) > 0,
(0) > 0,
故需满足 (1) < 0, 即 7-(13 + )-( + 2) < 0,
(2) > 0,
28-2(13 + )-( + 2) > 0,
2021_2022学年新教材高中数学第五章函数应用2.1实际问题的函数刻画练习含解析北师大版必修第一
§2实际问题中的函数模型2．1实际问题的函数刻画水平11．先有实际问题，后有模型．()2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．()3．当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数关系一定用指数函数模型来刻画．()4．在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义．()5．由函数模型得到的解就是实际问题的解．()【解析】1.√2．√3．提示：×.也可能是用函数y＝x2(x＞0)，y＝x3等其他函数来刻画．4．√5．提示：×.得到函数模型的解还需要通过检验符合实际意义，才是实际问题的解．·题组一利用图象刻画实际问题1．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图象中，能反映该同学的行程的是()【解析】d越来越远，所以排除B和D，又该同学先跑后走，所以一开始速度大，离开家的距离d随着时间的增加增长的较快，所以选C.2．“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程——时间图象()【解析】选C.由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快．3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】选B.根据题意知，蜡烛的长度随时间的增加而减少且蜡烛的长度不可能小于0. ·题组二表格信息类建模问题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x 45678910y 15171921232527A.一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【解析】选A.根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)【解析】高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元).答案：易错点图表信息理解错误电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A付话费________元，按方案B付话费________元．(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费________元．(3)通话时间在________分钟时，方案B才会比方案A优惠．【解析】由图可知M(60，98)，N(500，230)，C(500，168)，D(600，198).设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A(x)，f B(x)，则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧98，0≤x ≤60，310x ＋80，x >60.f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168，0≤x ≤500，310x ＋18，x >500.(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－310n －18＝310＝0.3(元)(n >500)，所以方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由题图知，当0≤x ≤60时，有f A (x )<f B (x ). 当x >500时，f A (x )>f B (x )，当60<x ≤500时，由f A (x )>f B (x )，得x >8803，因此当通话时间大于8803分钟时，方案B 比方案A 优惠．答案：(1)116 168 (2)0.3 (3)大于8803【易错误区】解决图表信息题最容易出错的就是“挖掘图象中的信息错误”或是“理解错误”，所以这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决．水平1、2限时30分钟 分值50分 战报得分______一、选择题(每小题5分，共25分)1．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )x －2 －1 0 1 2 3 y11614141664A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．对数函数模型D ．指数函数模型【解析】选D.由表格数据可知符合指数函数模型．A.分段函数B．二次函数C.指数函数D．对数函数【解析】选A.由题干图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．)2．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的产量确定【解析】选B.(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2(负值舍去)<0.22.3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()【解析】选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．4．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克则下列说法中正确的是(①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解析】3100元，买大包装时每克费用为错误!＝错误!元，而错误!＞错误!，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多．5．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1xx 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元【解析】A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润yxx 2＋2(16－xx 2x ⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．二、填空题(每小题5分，共15分)6．某学校开展研究性学习活动， 一组同学获得了下面的一组试验数据：现有如下5①yx －0.16；②y ＝2x －3.02； ③y ＝x 2x ＋8；④y ＝log 2x ； ⑤y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1.74.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号). 【解析】画出散点图如图所示．由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．答案：④7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝512－⎝⎛⎭⎫x2＋8x(x＞0).则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．【解析】由题意得L＝512－⎝⎛⎭⎫x2＋8x≤512－2x2·8x＝21.5，当且仅当x2＝8x，即x＝4时等号成立．此时L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．答案：48．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，所以e－8b＝12.容器中的沙子只有开始时的八分之一，即y＝a e－bt＝18a时，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24. 所以再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16【加练备选】某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x 为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog 4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为________万元.【解析】依题意解得所以y=2log 4x-2,令2log 4x-2=8,得x=45=1 024. 答案:1 024 三、解答题9．(10分)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．求函数y ＝f (x )的解析式．【解析】当x ∈[0，30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115，b 1＝0，即y ＝115x .当x ∈(30，40]时，y ＝2； 当x ∈(40，60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2，即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈（30，40]，110x －2，x ∈（40，60].。
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年份 x
生产总值
1999 0
8.206 7
2000 1
8.944 2
2001 2
9.59பைடு நூலகம் 3
2002 3
10.239 8
画出函数图形,猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数解析式. 【思路导引】年份代号用x表示,对应的年生产总值用y表示,数对(x,y)用直角 坐标系中的点表示后,得出一次函数关系:y=kx+b.
下列哪个区间内( )
A.(2.3,2.4)
B.(2.4,2.6)
C.(2.6,2.8)
D.(2.8,2.9)
课堂检测·素养达标
1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时 间t(h)的函数关系用图象表示为图中的 ( )
【解析】选B.根据题意知,蜡烛的长度随时间的增加而减少且蜡烛的长度不可能 小于0.
4.(教材二次开发:练习改编)用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架,则
铁框架的最大面积是
m2.
【解析】设铁框架的一边长为x m,则其面积S= (12－2x)x =-x2+6x=-(x-3)2+9.
2
由
x 0, 12－2x
得0<x<6.所以当x=3时,S取最大值9.
0，
答案:9
把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券,再把60元购物券当作现
金加上40元现金可获送20元购物券,所以最多可以获赠购物券280+60+20=
360(元).
3.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲 线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时 的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图象, 实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是 ( )
【思考】 利用函数刻画实际问题的一般步骤有哪些? 提示:(1)首先建立直角坐标系,画出散点图; (2)根据散点图设想比较接近的可能的函数模型; (3)通过研究函数的性质,解决实际问题.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)函数y=kx+8(k≠0)在R上是增函数. ( ) (2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是 4ac－b2 .( )
单价(元/千克) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量(1 000千克) 50 60 70 75 80 90
表2 市场需求表
单价(元/千克)
4 3.4 2.9 2.6 2.4 2
需求量(1 000千克) 50 60 65 70 75 80
根据上面提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在
§2 实际问题中的函数模型 2.1 实际问题的函数刻画
必备知识·自主学习
导 1.怎样利用函数刻画实际问题? 思 2.利用函数刻画实际问题时该注意什么问题?
实际问题的函数刻画 (1)实际问题的函数刻画:在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系 可以用函数刻画.用函数的观点刻画实际问题,是学习函数的重要内容.而函数 模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以 通过研究函数的性质来解决. (2)本质:利用函数模型解决实际问题. (3)应用:广泛应用于人们日常生活中遇到的许多问题.
【解题策略】 解决图象信息题的关键
(1)这类问题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的语言描 述,并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决; (2)挖掘图象中的信息是关键.
【跟踪训练】 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查,提供了两个 方面的信息,如图.
甲调查表明:每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只. 乙调查表明:甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说 明: (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数; (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由.
类型二 图表信息题(逻辑推理、数学运算) 【典例】我国1999年至2002年国内生产总值(单位:万亿元)如表所示:
2.端午节期间,某商场为吸引顾客,实行买100送20活动,即顾客购物每满100元,
就可以获赠商场购物券20元,可以当作现金继续购物.如果你有1 460元现金,在
活动期间到该商场购物,最多可以获赠购物券累计
()
A.280元
B.320元
C.340元
D.360元
【解析】选D.由题意可知,1 460=1 400+20+40,1 400元现金可送280元购物券,
f(0)的实际意义.
【解析】f(0)=1.表示没用清水清洗时蔬菜上的农药将保持原样.
关键能力·合作学习
类型一 图象信息题(数学抽象、逻辑推理) 【典例】如图1是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象.
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2,3 所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元? 【思路导引】y是收入与支出的差;图1:0人时支出20元,无收入,10人时收支平 衡,票价2元/人;同理:图2,0人时支出10元,5人就收支平衡,票价2元/人;图3:票 价为4元/人.
【解题策略】 解决图表信息题的步骤 (1)根据题目提供的图表,画出函数的散点图; (2)根据散点图的形状,判断函数模型; (3)根据选定的函数模型,利用待定系数法求出函数解析式.
【跟踪训练】 某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具 体调查结果如表:
表1 市场供给表
4a
(3)分段函数中每一段的模型可以是一次函数或二次函数.( )
2.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假 定:用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 1 ,用水越多洗掉的农药量也越
2
多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的
农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).试规定f(0)的值,并解释