首都经济贸易大学微积分期末考试试卷
2011-2012微积分及工科数学分析期末考试试卷A参考答案
北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《工科数学分析》I 、《数学分析A 》I 期末考试试卷（A ）考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 211lim 2e .2. 设)(x f 在a x =点可导,且2)(='a f ,则=--→ha f h a f h )()(lim2-.3. 设)()(x x f e f e y --=，其中函数)(x f 有连续的导函数，则=dy ()()()()''f x x x x ef x f e e f e dx ----⎡⎤-+⎣⎦. 4. 要使函数0(0),ln(0,53cos 1)(32>⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=a x x a x x x xx f 为常数)连续，则=a 5. 设2sin x 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x f x )(2222sin cos .x x x C ++6.⎰-=++222cos 1cos 1ππdx x xx . 7．设⎰-=x dt t y sin 03)1(,则=dxdy()31sin cos x x -. 8. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y .9.=+⎰∞+222xdx. 10. 双纽线θρ2cos 42=所围图形的面积A 的定积分表达式为A ＝48cos 2d πθθ⎰.二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20.解：20203022022011lim tan tan lim tan tan lim sec 1lim 3tan lim 313x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-=-===2. 设xy xe y +=12，求=x dxdy .解：2xy xy dy dy e xe y x dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以012x dy dx ==。
微积分下册期末试卷及答案[1]
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1、已知22(,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
经济数学微积分课程期末模拟考试卷及答案 (2)
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
《经济数学-微积分》课程期末模拟考试卷（B ）202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号 一二三四五六七总分得分一、 单选题(每小题2分，共计14分)1. 已知函数()f x 在(,)a b 内连续, 且(),()f a f b +-都存在, 则()f x 在(,)a b 内( A ). A. 有界B. 有最小值C. 有最大值D. 无界2. 设11()1xx f x e-=-, 则( D ).A. 0,1x x ==是()f x 的第一类间断点;B. 0,1x x ==是()f x 的第二类间断点;C. 0x =是()f x 的第一类间断点, 1x =是()f x 的第二类间断点;D. 0x =是()f x 的第二类间断点, 1x =是()f x 的第一类间断点.3. 设()f x 在x a =在处可导, 则|()|f x 在x a =处不可导的充分条件是 ( B ).A. ()0f a =且()0f a '=B. ()0f a =且()0f a '≠C. ()0f a >且()0f a '>D. ()0f a <且()0f a '<4. 设()(),(,)f x f x x -=∈-∞+∞, 当0x <时, ()0,()0f x f x '''><. 则当0x >时,得分()f x ( B ).A. 单调增加, 下凹B. 单调减少, 下凹C. 单调增加, 上凹D. 单调减少, 上凹 5. 下列积分中等于零的是( D ).A.11cot d x x -⎰ B.2sin d 1x x x x ππ-+⎰C.1212||d x x -⎰D.11ln(x x -+⎰6. 设02)0,0(),(lim22)0,0(),(=+-+-→yx yx f y x f y x ，则函数),(y x f 在点)0,0(处 ( D ).A. 不连续B. 连续但两个一阶偏导数不存在C. 两个一阶偏导数存在但不可微D. 可微7. 设D 是由1,1=-=y x 与曲线3x y =围成的平面图形，1D 是D 的第一象限部分，则=+⎰⎰Dxdxdy y e xy )sin (2( B )A. ⎰⎰+12D dxdy xyB. ⎰⎰12sin 2D x ydxdy e C. ⎰⎰+12)sin (4D x dxdy y e xy D. 0二、填空题(每小题2分，共计16分)1. 若2limarctan 22x ax x x bx x π→∞+=--, 则a = 1 , b =2-.2. 已知tt t x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→21lim )(, 则()f x '=2(21)x x e +. 3. 若0a >时, 有0061lim lim sin tan 3sin 6x x x t x x x x ππ→→⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎰, 则a =1/3. 4. 已知2()sin (3)cos(5)f x x x =⋅, 则()()n f x =得分5111cos 5cos 11cos 224242n nn n n x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5.=+-+⎰12132dx x x x 938π.6. =+→→yx yx y x 00lim不存在 .7. 设)2ln(22y x x z -=，则=dz dy y x yx dx y x x y x x 2222222)22)2ln(2(---+-. 8. 改变⎰⎰⎰⎰-+xx dy y x f dx dy y x f dx 20211),(),(2的积分次序得⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+y yxx dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx 2120211),(),(),(2.三. 计算题(每小题6分，共计48分)1. 设f 是可导函数，,s t ∀∈R , 有()()()2f s t f s f t st +=++，且(0)1f '=. 求f 的表达式。
微积分期末试卷无穷级数部分
微积分期末试卷无穷级数部分对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期 《微积分二》期末考试试卷A一、选择题（每小题2分，共14分）： 得分 1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ ）。
.()().()().()().()()b bb ba a aabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数，='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则（ ）。
A. )1(1)(ln 12xf xx f x +B ． )1()(ln xf x f + C. )1(1)(ln 12x f xx f x -D ．)1()(ln xf x f - 3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x 00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数00f(x,y)在点(x ,y )连续的（ ）。
A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件。
4．设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdrπθθθ⎰⎰等于（ ）。
A ．0(,).xf x y dy ⎰⎰B. 0(,).f x y dy ⎰⎰C. 0(,).yf x y dx ⎰⎰D. 0(,).f x y dx ⎰⎰5．函数21212(,xx y c ec e c c -=+为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ ）的通解。
A. 20y y y '''+-=B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--= 6．设()1ln(1nnu=-+，则下列结论中正确选项是( )。
【精选资料】微积分期末复习题及答案
数三《微积分》期末复习题一、选择题1. 对于xy x y x f +=2),(，原点（0，0）（ C ）.（A ） 不是驻点 （B ） 是极大值点 （C ） 是驻点却不是极值点 （D ） 是极小值点 2.下列积分值为0的是___C_A. ⎰+∞+0211dx x ； B. ⎰-1121dx x（利用几何意义去判定）； C. 22sin (cos cos )1x x x dx xππ-++⎰； D. ⎰--1121dx x . 解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x C ：考察奇偶函数在对称区间上的积分D ：利用几何意义：此积分可以看成函数012≥-=x y 在(-1,1)上的面积。
0,11222≥=+⇒-=y y x x y ，即是上半圆的面积2π3. 二元函数2222222,0(,)00,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在点(0,0)处( B ). A. 连续，偏导数存在； B. 不连续，偏导数存在； C. 连续，偏导数不存在； D. 不连续，偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是___D____.A ． 21+151n n n n ∞=++∑ B. ∑∞=+11n n n n )(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n . 5 . 级数113cos ()n nn n ∞=-∑（ B ）. （A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛 （C ） 发散 （D ） 敛散性不能判定解：11333cos cos ()()nn n n n n -=≤，而113()nn ∞=∑收敛，所以绝对收敛。
6 设)(x f 为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则'(2)_____.F =(A) )(2f ； (B) )(22f ； (C) )(2f -； (D) 0. 解：对⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(交换积分次序得⎰⎰⎰-==tt x dx x x f dy x f dx t F 111)1)(()()(所以),1)(()(-='t t f t F'(2)(2).F f = 所以选A二、填空题1、若D 为区域2218x y ≤+≤，则3Ddxdy ⎰⎰＝（ 21π ）=⎰⎰Ddxdy 3πππ21)8(33=-=⋅D S2、函数()y zf x=，其中f 可微，则.))((2x y x y f x z -'=∂∂3. 若ln 21()x xF x t dt =⎰，则()F x '=___2411ln x x x +________.所以本题的答案为24ln x x x+4. 已知22(,)y f x y x y xy x+=+-,则222)1()1(),(y y y x y x f ++-=__________.解：令vuv y v u x x y v y x u +=+=⇒=+=11,, 所以22211)()(),(v v v u v u f ++-=，222)1()1(),(y y y x y x f ++-= 5 设arctanxz y =，则=),(|11dz 1122dz dx dy =- . 本题考查全微分，求全微分实质就是两个偏导数z x y ∂∂∂，然后再利用z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 本题：2222222111(),()1()1()zy z x xx x xy x y y y x y y y∂∂=⋅==⋅-=-∂+∂+++ 在点(1,1)处，有11,22z z x y ∂∂==-∂∂，所以1122dz dx dy =-6．若级数为1111,357-+-+ 则它的一般项__121)1(1--=-n u n n _______.7. 交换积分次序()⎰⎰12xxdy y x f dx ,＝1(,)ydy f x y dx ⎰.8. 定积分4121cos ()xx x x dx e -⋅+=⎰______32______. 考查定积分的奇偶性，三、计算题1．求极限(,)limx y →.解：(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→==(,)(0,0)lim 1)2x y →==2. 已知方程),(x yxy f x z 3=，f 具有二阶连续偏导数，求222,,,z z z z x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 分析：本题考察复合函数求导，特别要注意在求二阶偏导数时要注意11(,)yf f xy x''=，22(,)yf f xy x''=。
B2及答案微积分期末复习卷
扬州大学试题纸经济、管理 学院 09级 课程 微 积 分 ( B )卷班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．已知()132,x f ex -=-则()f x =13ln x +且定义域为 x>0 . 2．设2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.则1f x x ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3．()4f x dx x x c =-+⎰,则()f x =341x -.4．()f x 为连续函数,()g x 为连续的偶函数, 则()()()aaf x f xg x dx +---=⎡⎤⎣⎦⎰0 .5．设函数()2ln z x y =+,则10x y dz ===dx .6．由曲线ln ,0,y x y x e ===围成的平面图形的面积是 1 . 二. 单项选择题(3618''⨯=)1．201sinlimsin x x x x→的值为 ( B )(A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D)不存在2．设()lim 1hh x f x h →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()ln3f = ( D )(A) 0 (B)1 (C) 2 (D)3 3．函数()()012y f x f x '==有，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的 微分dy x ∆是的 ( B )___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------(A) 等价无穷小 (B)同阶但不等价的无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)高阶无穷小 4．设()f x 是连续函数，且()()xe xF x f t dt -=⎰，则()F x '= （ A ）(A)()()xx e f e f x ---- (B) ()()x x e f e f x ---+ (C) ()()xx ef e f x --- (D) ()()x x e f e f x --+5．设方程sin 0yxt e dt tdt +=⎰⎰确定y 为x 的函数 ,则dydx= ( C ) (A) 0 (B) cos y x e -(C) sin yxe - (D) 不存在6．设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{}xy x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(，则以下结论正确的是 ( A )(A)⎰⎰=Ddxdy x g y f 0)()( (B) ⎰⎰=Ddxdy y g x f 0)()((C)⎰⎰=+Ddxdy x g y f 0)]()([ (D) ⎰⎰=+Ddxdy y g x f 0)]()([三. 计算题(5630''⨯=) 1. 12lim(1)xx x →∞+.解：原式=x x x e)1ln(lim2+∞→=2lim1x x xe→∞+=0e =12. 设2sin ,xzz e y x y∂=∂∂求 .解：sin xz e y x ∂=∂ 2cos x z e y x y∂=∂∂ 3. (),z z x y =是由方程33330x y z xyz ++-=确定的隐函数，求zx∂∂. 解:设F=3333x y z xyz ++-233F x yz x ∂=-∂ 233Fz xy z∂=-∂ 22223333Fz x yz x yz x F x z xy z xy z∂∂--∂∴=-=-=-∂∂--∂4. 计算2cos x xdx ⎰.解:原式=1cos 22x x dx +⎰=cos 222x x x dx dx +⎰⎰=214x +1sin 24xd x ⎰ =211sin 2sin 244x x x xdx ⎡⎤+-⎣⎦⎰=2111sin 2cos 2448x x x x c +++5. 计算()312201x dx -+⎰.解:令tan x t =,221sec x t +=,x 从01 ,t 从04π,2sec dx tdt =原式=40cos tdt π⎰=40sin x π= 6.计算累次积分11420cos xx dx y dy ⎰⎰.解：=122011sin14cos 102y d y ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰=11cos1sin1510-…………………………5分 四.解答题(8324''⨯=,第4题10') 1. 已知函数ln xy x=,试求其单调区间、极值、及其曲线上的拐点和渐近线. 解：).0(∞+=Df2ln 1'x xy -=令0'=y 得驻点e x =。
大一期末考试微积分试题带答案汇编
第一学期期末考试试卷一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1. =→xx x 1sin lim 0___0_____.2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx xn x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且一定等于零B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在. 3. 极限=-→xx x xe 21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221xy x=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求20sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim(cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第一学期期末考试参考答案与评分标准一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -⋅+ 5、3x = 二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e xxe x →→→→----=-=+==L L L L L L L L L 分分分 四、（8×1=8）()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim (cos )268x x x x x x x xx e ee +→++→→-⋅--===L L L L L L L L L 分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
经济数学--微积分期末测试及答案(A)
经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1.函数()f x =Ａ）； ()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-3.函数214y x=-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）()sin ()sin ()tan ()ln(1)A xB x xC xD x ++6.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点7.当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D x xxe +8.极限0limln x →＝（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.设函数()f x 在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xf x f x '''+>，若在（１，２）内()0f x '<,则函数()f x '在区间（１，２）内 （C ）()A 单调不增 ()B 单调不减 ()C 单调增加 ()D 单调减少10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D ）；2221()()()(3)()2A x B C x D x x +-11.若函数()f x 在点0x 处可导，则极限000(3)()lim2x xf x x f x x x→+∆--∆∆＝（D ）；00001()4()()3()()()()2()2A f xB f xC f xD f x ''''12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln xy x =，则dy ＝（Ｄ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx x x xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. arccos y x x =，求y '解：122(arccos )[(1)]arccos arccos y x x x x x '''=--=+=2. 求2(cos sin 32)xx x x e dx -+++⎰６分７分解：原式＝3sin cos 2xx x x e x c +++++（其中c 是任意常数）3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得4100599151000y x y x y y ''-++=，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1x x x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12xxx x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==6. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x xx -'''''====±++令得７分５分 ２分５分７分３分６分７分３分６分 ７分0000列表讨论如下：7.求dx⎰1131222231221122112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)] 4431(21)(21)2dx dxx d x x d x x x c x x c-==+=+++++++++ ++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe是(2)f x的一个原函数，求()2xxf e dx-⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x xxux x xx xx x x xx xf x xe e xe e xx xf u e u f ex x x xf e dx e e dx e dx dex x xe e d e e cxe c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+ =-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x是需求量，单位：吨；p是价格，单位：百元）；(1)该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？解：(1)2100050.001p x x=+-２分７分4分6分7分６分32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-令 2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-< 且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L x x x x =-++-== （百元）故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分４分3分８分10分6分。
计量经济学_首都经济贸易大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
计量经济学_首都经济贸易大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.经典假设中的哪条假设被违背后，普通最小二乘估计量是线性无偏但不再是有效的（）答案:球形方差（同方差和无序列相关）2.遗漏变量在（）情况下会影响参数估计结果的无偏性。
答案:与解释变量相关3.在工具变量的选取中，下面哪一个条件不是必需的（）答案:与被解释变量存在因果关系4.哪种情况下，OLS估计量既不满足无偏性，也不满足一致性，（）答案:解释变量为随机变量，且与扰动项相关5.当存在异方差现象时，估计模型参数的适当方法是( )答案:加权最小二乘法6.若模型中存在异方差问题，则最小二乘估计量为( )答案:无偏但非有效7.假定某企业的生产决策是由模型描述的（其中，为产量，为价格），又知：如果该企业在t-1期生产过剩，经济人员会消减t期的产量，由此判断，上述模型存在（）答案:序列相关问题8.当模型存在序列相关现象时，适宜的参数估计方法是（）答案:广义最小二乘法9.根据极大似然估计的思想，对参数的合理估计应该使得（）取最大值答案:似然函数10.当工具变量的个数大于内生变量的个数时，可以用两阶段最小二乘法（2SLS），事实上，2SLS属于（）答案:广义矩估计方法11.经济问题研究中，常见的数据类型包括（）答案:时间序列数据面板数据横截面数据12.高斯马尔科夫定理指出，在满足经典假设前提下，普通最小二乘估计量具有（）答案:有效性无偏性线性性13.经典假设中的哪条假设保证了普通最小二乘估计量的无偏性（）答案:解释变量严格外生模型设定正确性14.一个时间序列中，可以反映相邻项目相关性的指标有（）答案:自协方差函数自相关函数15.常见的时间序列能够分解为（）答案:趋势性部分周期性部分季节性部分不规则波动16.下列有可能是平稳时间序列的有（）答案:中国广义货币增长率中国GDP的增长率17.下面属于平滑方法的有（）答案:近邻回归法局部加权回归法核平滑法移动平均法18.下列属于平稳性检验的有（）答案:ADF检验PP检验DF检验19.关于ARMA模型的识别，下列说法正确的有（）答案:ARMA(p,q)模型的特点是ACF和PACF都拖尾AR(p)模型的特点是ACF拖尾，PACF在p阶截尾20.使用Eviews软件对GARCH模型作估计，下列说法正确的有（ABCD）答案:可以设定扰动项的分布可以设定不同的阶数可以设定均值方程在均值和波动率方程中都可以考虑外生变量的影响21.遗漏变量一定会导致模型中参数估计是有偏的答案:错误22.当模型存在异方差问题或者序列相关问题时，显著性检验与预测都失效答案:正确23.对于过度识别的情况，有效的办法是将多余的工具变量扔掉答案:错误24.通常，我们难以获得连续时间数据的记录答案:正确25.平稳时间序列由于复杂，没有模型去描述答案:错误26.如果原始序列是GDP，其差分序列就是GDP增长率答案:错误27.识别ARMA模型，只需要看序列的ACF图即可答案:错误28.时变波动率指的是方差会随时间变化答案:错误29.MA(q)模型的特点是ACF在q阶截尾，PACF 拖尾答案:正确30.移动平均法的平滑参数越大，对数据的波动越不敏感答案:正确。
2021微积分A期末试题及答案
2021⭌᮶㢔⫕➶᮷ᱤAᱥᱤ㔋ᱥ⒴㋜ㄯⶌ㗎㗎㝘(2022年1⽉3⽇，⽤时120分钟)专业班级学号姓名题号⼀⼆三四总分分数㮥ᮢ㫍㵗㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎16➶)阅卷⼈得分1.下列说法正确的是(D)A.有界数列⼀定收敛；B.有限区间上的连续函数⼀定⼀致连续；C.函数f在R上处处可导，它的导函数f1⼀定是连续的;D.有界数集⼀定存在上确界。
2.下列哪个极限不存在(B)A.limxÑ0x sin1xB.limxÑ0D(x)，其中D(x)是Dirichlet函数C.limxÑ0|sgn(x)|D.limnÑ+8(1+122+¨¨¨+1n2)3.当xÑ0时，下⾯哪个函数不是与y=x等阶的⽆穷⼩(D)A.sin xB.arcsin xC.ln(1+x)D.1´cos x4.函数f(x)定义在R上，在x0处可导⽽且f(x0)ą0。
下列说法错误的是（A）A.函数f(x)在x0处的微分是f1(x0)；B.函数f(x)在x0处连续；C.存在x0的⼀个邻域U(x0)，使得在该邻域内f(x)ą0；D.当xÑx0时，f(x)=f(x0)+o(1)。
✠ᮢ㝤ⶥ㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎20➶)阅卷⼈得分5.集合A=t(1+1n)n|n P N,ną0u，那么inf A=2，sup A=e。
6.函数φ(t),ψ(t)在R上⼆阶可导，⽽且φ1(t)‰0。
由参数⽅程x=φ(t),y=ψ(t)确定了函数关系y=y(x)。
那么d yd x =ψ1(t)/φ1(t)，d2yd x2=ψ2(t)φ1(t)´ψ1(t)φ2(t)φ13(t)。
7.函数y=2x3+3x2´12x+18在区间[´3,3]上的最⼤值是63，最⼩值是11。
8.函数y=x4+8x3+1图像的垂直渐近线是x=´1，斜渐近线是y=x。
9.函数f(x)在R上的连续，F(x)=şxf(x+t)dt，那么F1(x)=2f(2x)´f(x)。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
(精品)大学2022年期末考试题库(完整版含答案)3-微积分
（精品）大学2022年期末考试题库（完整版）微积分 知识要点一、单项选择1．函数4x f =)( B ）． A ．),(22- C ．)2,0( D ． ),(+∞22．当0→x 时，x x sin +2是关于x 的（ D ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 2．='⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 25．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-43．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211xy -=D ．xxy sin =4． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(5．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ C ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--πD ．dx x x ])([2222201--⎰π1．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量3．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()3(lim 000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2- D ．1-44． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f5．=+'⎰dx x f 24)(（A ）．AB ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 21．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．设00=)(f ，10=')(f ，则=→x x f x 2)(lim 0（B ）．A ． 0 C ． 13．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量4．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ A ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin5．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-46． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x f D. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f7． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(8．=+'⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． Cx f ++)(ln 2 9． 曲线x xe x f 2)(=在)1,2(--内（ B ）．A. 单减且凹B. 单减且凸C. 单增且凹D. 单增且凸10.在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211x y -= D ．xxy sin =二、判断题（每题3分，共30分）1．若k xx e x =-→201)(lim ，则=k 2． 答案：错2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x xe xf x , ,)(在点0=x 连续，则=a 1． 答案：错 3．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+- 答案：对4．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是),(211e ． 答案：对5. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰ 答案：错6．设yxe z =，则=∂∂∂y x z2yxe y x y)(+-31． 答案：对7. 设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案：对8． 132 11(cos )2x x x dx -+=⎰． 答案：错9．更换积分次序，dy y x f dxdx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1102),(),(． 答案：对10．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． 答案：对1．若13lim(13)xx x e-→-=． 答案：对2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则0a =． 答案:错3．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错4．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2)cos(2+y ． 答案:对5．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1 答案:对 6．3 1421sin 2()31x x x dx x -+=+⎰． 答案:错7．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案:对8．若k xx e x =-→201)(lim ，则2k =. 答案:错9．微分方程y x e dxdy+=的通解是dx e dy e x y =-． 答案:对10. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e . 答案:对11. 若1lim()1n n n n e-→∞=-． 答案:对12. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则1a =． 答案:错13. 设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则21Ddxdy =⎰⎰． 答案:对14. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e ． 答案:对15．13lim(13)xx x e-→-=答案:对 15. 设2y x e z +=，则=∂∂∂yx z 22x yye +． 答案:错16. 更换积分次序，dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1012),(),(． 答案:对17. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰． 答案:错18. 微分方程y x y x '=-)(22的通解是222x e Cx y -=． 答案:对19. 曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错三、解答题1．求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．.解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(xx P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y xdx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=2. 求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→ 解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx3.求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程． 解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅- 化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='e e y cos cos ),(故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为 )(010-=-x y即 x y =.1．设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ．解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xyz xzF F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xzdx xy z yz dz -+-=cos cos2．（本题7分）求微分方程x y xy =-'1的通解． 解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则)()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=23．（本题8分）求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .4．（本题9分）计算.dx e x ⎰-1解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→.ee edt e te tde tdt e dx e tt tt t x 42122221110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(7．（本题9分）计算dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下 {}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r三、解答题（共52分）1．求极限.limcos 2102x dte xt x ⎰-→解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰2．求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程．解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y 化简可得yex yy +-='e e y 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .exy -=13．设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ．解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.4．求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解． 解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得 1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：)cos (x xy --=11π5．求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f 因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f6．（本题9分）求dx x x ⎰-1023 .解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(232331531331 42213210 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dtt t dt t t dx x x7．计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 解：积分区域为右图所示阴影部分，则 =⎰⎰dxdy y yD sin dyy y y dy y y y y dx y y dy y y ⎰⎰⎰⎰-=-==10 21 0 1 0 )sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydyy y y yyd ydy1．（本题5分）求极限.sin lim3xtdt t xx ⎰→解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x2．（本题7分）求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程．解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos 化简可得yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y 即 .x y 2=3．（本题7分）设函数),(y x z z =由方程y x e xyz -=确定，求.dz解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x z y x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--；y yz z xy xyz xz xy e xz F F y z yx z y +-=+-=+-=''-=∂∂-. 则 dy yz yz dx x z xz dz +--=.4．（本题7分）求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程. ,)(x x P 2=,)(21xx x Q -= )())(()()())((ln )()(C x x x C dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dx x P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222 将初始条件11=)(y 代入上式，得 23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： 223121x x y +-=5．（本题8分）求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x x x f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f .6．（本题9分）求dx x x ⎰-23 0231. 解： 令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t . 2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 1303302302303230 23=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t t d t t d t tdt t t dx x x7．计算,⎰⎰D dxdy xy 其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围 解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ， 422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D =⎰⎰D dxdy x y ⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d .2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd r d。
期末模拟试题二参考答案_经济数学-微积分习题解答_[共3页]
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；（８分），因为ｌｉｍ犳（狓）＝ｌｉｍ
狓→∞
狓→∞
４（狓狓＋２１）－２
＝
－２，水平渐近线为狔＝－２，无斜渐近线。
［ ］ ｌｉｍ犳（狓）＝ｌｉｍ
狓→０
狓→０
４（狓狓＋２１）－２
＝∞，垂直渐近线为狓＝０。（１０分）
五 证明题（５分）。
证明：设 犉（狓）＝ｅ－狓犳（狓），犉′（狓）＝ｅ－狓［犳′（狓）－犳（狓）］。（２分）
则犉（狓）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内可导，且 犉（０）＝犉（１）＝０，由罗尔定理可知：在
（０，１）内至少存在一点ξ使得 犉′（ξ）＝０， 即犳′（ξ）＝犳（ξ）。（５分）
期末模拟试题二参考答案
一 填空题（每题２分，共１０分）。 １．［２，４］ ２．狔＝ｅ狓＋１ ３．犽＞２ ４．０＜犽≤１ ５．４１０ａｒｃｔａｎ狓１０４＋２＋犆
犫＝－１ 。（８分）
（ ） ２． 成本函数为：犆（狓）＝犚（狓）－犔（狓）＝５００狓－ ３００狓－４狓０２－２５０００
＝２００狓＋４狓０２＋２５０００，平均成本犆（狓）＝犆狓（狓）＝２００＋４１０狓＋２５狓０００（３分）
犆′（狓）＝４１０－２５狓０２００，令犆′（狓）＝０得唯一驻点：狓＝１０００（６分）
又因为犆″（狓）＝５０狓０３００，犆″（１０００）＞０，所以狓＝１０００是极小值点，也是最小值点，故产量为１０００
件时平均成本最小，此时获利犔（１０００）＝２５００００元。（８分）
３．犇犳＝（－∞，０）∪（０，＋∞），（１分）狔′＝－４（狓狓＋３２），狔″＝８（狓狓＋４３），
令狔′＝０，得驻点狓＝－２，令狔″＝０，得狓＝－３ （４分）
经济数学———微积分习题解答
＝（槡２狓＋１－１）ｅ槡２狓＋１＋犆（７分） 四 应用题（１、２题每题８分，第３题１０分，共２６分）。
答案 期末考试A
对外经济贸易大学 2004─2005学年第二学期《微积分（二）》期末考试试卷（A 卷）课程代码及课序号：CMP101-1-14学号： 姓 名： 成 绩： 班级： 课序号： 任课教师：一、选择题：（每题2分，共10分） 得分 1．若级数∑∞=-1)1(n n nx a在x=-1收敛，则其在x=2处。
A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．不能确定 答案：B111112.()().11.2().2().().()22f x f dx A uf u duB uf u duC f u duD f u du =--⎰⎰⎰⎰⎰设为连续函数，则答案：Aln 1223.()()(),()1111.(ln )()..(ln )().1111.(ln )()..(ln )().xxf x F x f t dt F x A f x f B f x f x x x x C f x f D f x f x x x x'=++--⎰设为连续函数，则等于（）.答案：A4．下列广义积分收敛的是 ( ).2ln 11....ln (ln )eeeex A dx B dx C dxD xx xx x +∞+∞+∞+∞⎰⎰⎰⎰答案：C5．微分方程02=+ydx xdy 满足初始条件12==x y的特解为( )。
A.42=y xB.42=xyC.422=y xD.42-=y x 答案：A二、填空题：（每空2分，共10分） 得分1．若级数∑∞=1n n u 的前n 项和)12(2121+-=n s n ，则∑∞=1n n u = 。
答案：211=∑∞=n n u 2．.__________)(lim 1)(lim)(200==⎰→→xdtat f xx f x f xx x ，求连续，且若答案：2a3．函数z =+的定义域是___________ 。
答案：{(,)|0,0)}x y x y x y +>->4．设函数f （x ，y ）在（a ，b ）处存在偏导数，则0(,)(,)limy f a b y f a b y y→+--= 。
-学年第二学期《微积分B》期末考试试卷(A)(3)
北京交通大学2012-2013学年第二学期《微积分B 》(II)期末考试题（A ）参考答案一. 填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设0α>, 且正项级数1n n a ∞=∑收敛,则级数211sin n n ∞=⎫+⎪⎪⎭∑ . (填收敛或发散)答: 收敛2. 已知()1,[0,1],()f x x x S x =+∈是()f x 的周期为1的傅里叶级数的和函数, 则(0)S = .答: 3(0)2S = 3．极限00x y →→ .4. 设220cos y z x t dt =⎰，则dz = . 答: 2222sin 2cos dz x y dx x y y dy =+5. 函数222u x y z =+-在点(1,1,2)-处沿22l i j k =-+方向上的方向导数等于 .答: 143- 6. 曲面arctany z x =在点(1,1,)4π处的切平面方程是 .答: 202x y z π-+-=7. 设22{(,)|},D x y x y π=+≤ 则 22()22sin()xy D I e x y dxdy π-+-=+=⎰⎰.答: (1)2e ππ+.8. 设L 是以点(1,0)为圆心, (1)R >为半径的圆周, L 取逆时针方向,则224L xdy ydx I x y -==+⎰ . 答:π9. 设S 表示半球面z =的上侧, 则曲面积分(1)SI z dxdy =-=⎰⎰ .答: 3π 10. 已知222A xy i yz j zx k =++, 则()grad div A = . 答: 222xi y j zk ++二(10分)．利用变换u x v x =-=+,化简方程222210.2z z z y x y y ∂∂∂--=∂∂∂ 解: z z u z v z z x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, ,z z u z v z z y u y v y u v ∂∂∂∂∂∂∂⎫=⋅+⋅=-+⎪∂∂∂∂∂∂∂⎭22222222z z z z x u u v v ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂222222212z z z z z z y u v y u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎫=-++-+ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎭⎝⎭代入原方程得 222221402z z z z y x y y u v∂∂∂∂--==∂∂∂∂∂, 即 20z u v∂=∂∂. 三(8分)．已知延续可微函数()F x 满意(0)0F =且()1D F t x dxdy ⎡=⎢⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 其中222{(,)|,0,0},0,D x y x y t x y t =+≤>>> 求().F t解 因为 2200()()cos 1t F r F t d r rdr r πθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 20[()]tr F r dr =-⎰ 于是 2()(),(0)0F t t F t F '=-=解微分方程得 2()222t F t t t e -=-+-四(8分)．计算积分4)I z dv Ω=⎰⎰⎰,其中Ω是曲线220z y x ⎧=⎨=⎩与y 轴及1y =围成的平面区域绕z 轴旋转一周所得旋转体.解 曲线220z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得旋转曲面为222z x y =+, Ω为曲面222z x y =+与柱面221x y +=及xoy 平面围成的部分.采用柱面坐标计算.22120004)(4)r I z dv d rdr r z dzπθΩ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 45101122230r r dr ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰ 五(8分)．求常数a ，使22()()ax y dx x y dy x y +-++ 是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,).u x y解 2222()(,),(,)ax y x y P x y Q x y x y x y+-+==++ 222222222222,,()()P x y axy Q x y xy y x y y x y ∂--∂-+==∂+∂+ 为使22()()ax y dx x y dy x y +-++是某个函数(,)u x y 的全微分，必须满意1.P Q a y y ∂∂=⇒=-∂∂ 于是，有2222()()()()ax y dx x y dy x y dx x y dy x y x y +-+-+-+=++ 因为 22(,)u x y P x y x x y∂-+==∂+ 22221(,)arctan ln()()2x y x u x y dx x y y y x y ϕ-+==-+++⎰其中()y ϕ是一次可微的随意函数.又2222()(,)()0()u x y x y y Q x y y y c y x y x y ϕϕϕ∂----''=+==⇒=⇒=∂++从而所求 221(,)arctan ln()2x u x y x y c y =-++, 其中c 是随意常数. 六(10分)．计算积分 222[cos (1)cos (3)cos ]SI x y z dS αβγ=++++⎰⎰其中S 是曲面222(1)y x z +=+介于1y =-及0y =之间的部分，其法向量与y 轴正向夹角大于2π，,,αβγ为S 上外法线的方向角. 解 S 为曲面222(1)y x z +=+介于1y =-及0y =之间的部分.补上有向曲面 2211:0x z S y ⎧+≤⎨=⎩, 法向量方向向右. 令S 与1S 所围成的空间区域为Ω. 则11S S S I +=-⎰⎰⎰⎰ 11222222(1)(3)(1)(3)S S S x dydz ydzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy +=++++-++++⎰⎰⎰⎰又1222(1)(3)S S x dydz y dzdx z dxdy +++++⎰⎰ 210001212002()2(cos sin )12[(1)cos (1)sin (1)]2r x y z dvd rdr r r y dy d r r r r r r dr ππθθθθθθΩ-=++=++=-+---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6π=- 1222(1)(3)S x dydz y dzdx z dxdy ++++⎰⎰22121(1).S x z y dzdx dzdx π+≤+==⎰⎰⎰⎰所以 766I πππ=--=-. 七(8分).求幂级数1321(1)32n n n x n +∞-=--∑的收敛域及和函数的导数,并求数项级数30(1)2nn n ∞=-∑的和.解 2131323(1)(1)lim ||3132n n n n n x x x n n +++-→∞--=+- 令3||1x <,得||1x <,于是幂级数的收敛半径为1R =.易判别知,当1x =-时,级数发散,当1x =时,级数收敛,故收敛域为(1,1].-令 1321(1)(),(1,1)32n n n S x x x n +∞-=-=∈--∑ 则有 13333101()(1)(1)1n n n n n n S x xx x∞∞+-=='=-=-=+∑∑ 从而 330(1)181()221(12)9n n n S ∞=-'===+∑ 八(8分).设22{(,)|25}D x y x y =+≤,证实:225(1216)5Dx y x y dxdy π+-+≤⎰⎰证实 令221216z x y x y =+-+,求z 在D 上的最值. 由21202160z x x z y y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=∂⎪⎩得z 的驻点不在D 内, 故z 在D 上的最值必在D 的边界上达到.为求z 在D 的边界上的最值,令2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+-+++-由方程组 222122021620250x y F x x F y y F x y λλλ=--=⎧⎪=+-=⎨⎪=+-=⎩得驻点12(3,4),(3,4).P P -- 因为12()75,()125z P z P =-=.易知z 在D 上的最大值为125.故225(1216)1255.D Dx y x y dxdy dxdy π+-+≤=⎰⎰⎰⎰。
经济数学-微积分期末测试及答案(B)
粳稻籼稻出米率-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以这样编写：1.1 概述在农产品中，稻米是世界上最重要的粮食之一，而稻米的品质和产量直接影响着人们的日常生活和粮食供应。
而在稻米的种类中，粳稻和籼稻是最常见的两种。
粳稻和籼稻在外观、生长环境、产量和食用特点等方面存在一定的差异。
对于稻米生产者和消费者来说，了解和掌握两种稻米的特点以及它们的出米率是至关重要的。
出米率是指稻米加工过程中，从稻谷中获得的高质量稻米的比例。
它是一种评价稻米加工质量的重要指标。
直观地说，出米率高意味着从同样数量的稻谷中可以获得更多的稻米。
而了解出米率的计算方法和影响因素，可以帮助稻米种植者和加工者更好地控制和提高出米率，从而达到优化资源利用和提高经济效益的目的。
本文将深入探讨粳稻和籼稻的特点，并介绍出米率的定义和计算方法。
同时，我们还将比较粳稻和籼稻的出米率，分析影响出米率的因素，并提供提高粳稻和籼稻出米率的相关方法。
希望读者通过阅读本文，能够对粳稻和籼稻的出米率有更深入的了解，同时为相关从业人员提供一些有益的参考和建议。
【1.2 文章结构】本文主要通过对粳稻和籼稻出米率的研究，探讨了两者的特点、出米率的定义和计算方法，以及影响粳稻和籼稻出米率的因素和提高出米率的方法。
具体结构如下：1. 引言1.1 概述在这一部分，我们将简要介绍粳稻和籼稻以及出米率的概念。
1.2 文章结构此处我们将详细介绍本文的整体结构，以便读者更好地理解文章的内容。
1.3 目的我们将阐明本文的研究目的，以及为什么粳稻和籼稻出米率的研究是重要的。
1.4 总结引言部分的最后，我们将对本章的内容进行一个简要的总结。
2. 正文2.1 粳稻的特点在这一部分，我们将探讨粳稻的生长环境、生长周期和产量等特点，并分析其与出米率的关系。
2.2 籼稻的特点在本节中，我们将介绍籼稻的生产特点，如生长环境、品质特点和适应能力，并分析其与出米率的关系。
2.3 出米率的定义和计算方法此部分将详细定义出米率的概念，并提供不同计算方法的说明，以便读者更好地理解出米率的计算过程。
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案一、选择题1.微积分的概念是由谁提出的？A.牛顿B.莱布尼茨C.高斯D.欧拉答案：B2.一个物体在 t 秒后的位移函数为 s(t) = 4t^3 - 2t^2 + 5t + 1。
求该物体在 t = 2 秒时的速度。
A.10B.23C.35D.49答案：C3.定义在[a,b]上的函数 f(x) 满足f(x) ≥ 0，对于任意 x ∈ [a,b] 都有∫[a,b] f(x) dx = 0，则 f(x) =A.常数函数B.0C.连续函数D.不满足条件，不存在这样的函数答案：B4.若函数 f 在区间 [a,b] 上连续，则在区间内至少存在一个数 c，使得A.∫[a,b] f(x) dx = 0B.∫[a,b] f(x) dx = f(c)C.∫[a,b] f'(x) dx = f(b) - f(a)D.∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F 为 f 的不定积分答案：D5.已知函数 f(x) = x^2，求在点 x = 2 处的切线方程。
A.y = 2x - 2B.y = 2x + 2C.y = -2x + 2D.y = -2x - 2答案：A二、计算题1.计算∫(2x - 1) dx。
解：∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C。
2.计算极限lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2)。
解：lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2) = ∞。
3.计算导数 dy/dx，其中 y = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1。
解：dy/dx = 15x^2 - 4x + 7。
4.计算函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的驻点。
解：驻点为 f'(x) = 0 的解。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 = 0，解得 x = -1 或 x = 5/3。
5.计算定积分∫[0,π/2] sin(x) dx。
首都经济贸易大学微积分期末考试试卷
首 都 经 济 贸 易 大 学2016－2017学年 第一学期期末考试试题 A 卷考试科目：微积分I 考试时间：120分钟 试卷总分:100分考试方式： 闭卷 考生院系：全校一、 填空题（每空2分，总计20分） 1. 函数1()arctanf x x=的连续区间是.___________________ 2. 当-1x →时，123++-+x b x ax x 与是等价无穷小，则______;=______.a b = 3.函数2ln(12)()(1)x f x x x +=-的可去间断点为__________，在该点，补充定义函数值为__________后函数连续。
4.设+c 2lim lim sin ,xx x x x x c x →∞→∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭则__________.c = 5. 设11()sin f x x '=，则111()=___________;()___________.df d d f dx x x x '⎛⎫'= ⎪⎝⎭6. 写出()f x =(4)x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式____________________________________.7.求不定积分___________________.=二、 选择题（每小题2分，共8分） ()cosf x x x =(A)当 x →∞ 时为无穷大量 (B) 在 (,)-∞+∞内有界 (C)在 ,（-）∞+∞ 内无界 (D) 当x →∞时有极限 2.设数列{}{}n n x y 与满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是【 】。
(A) 若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B) 若{}n x 无界，则{}n y 无界 (C)若{}n x 有界，则{}n y 为无穷小 (D) 若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小 3. 已知函数()f x 在0=x 处可导，且(0)0f =，=-→3320)(2)(lim xx f x f x x 【 】。
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首 都 经 济 贸 易 大 学
2016－2017学年 第一学期期末考试试题 A 卷
考试科目：微积分I 考试时间：120分钟 试卷总分:100分
考试方式： 闭卷 考生院系：全校
一、 填空题（每空2分，总计20分） 1. 函数1
()arctan
f x x
=的连续区间是.___________________ 2. 当-1x →时，12
3
++-+x b x ax x 与是等价无穷小，则______;=______.a b = 3.函数2ln(12)
()(1)
x f x x x +=
-的可去间断点为__________，在该点，补充定义函数值为
__________后函数连续。
4.设+c 2lim lim sin ,x
x x x x x c x →∞→∞
⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
则__________.c = 5. 设11()sin f x x '=，则111()=___________;()___________.df d d f dx x x x '
⎛⎫'= ⎪⎝⎭
6. 写出()f x =
(4)x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式
____________________________________.
7.求不定积分
___________________.=
二、 选择题（每小题2分，共8分） ()cos
f x x x =
(A)当 x →∞ 时为无穷大量 (B) 在 (,)-∞+∞内有界 (C)在 ,（-）∞+∞ 内无界 (D) 当x →∞时有极限 2.设数列{}{}n n x y 与满足lim 0n n n x y →∞
=，则下列命题正确的是【 】。
(A) 若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B) 若{}n x 无界，则{}n y 无界 (C)若{}n x 有界，则{}n y 为无穷小 (D) 若1n x ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为无穷小，则{}n y 必为无穷小 3. 已知函数()f x 在0=x 处可导，且(0)0f =，=-→3320)
(2)(lim x
x f x f x x 【 】。
0.)0(.)0(.)0(2.D f C f B f A ''-'-
4. 若0()f x 是连续函数)(x f 在[,]a b 上的最小值，则【 】。
A. 0()f x 一定是()f x 的极小值 B. 0()0f x '=
C. 0()f x 一定是区间端点的函数值
D. 0x 或是极值点，或是区间端点 三、计算题（每小题6分，共42分） 1、⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+--
+++∞
→1213lim x x x x x ．
2、()
2csc 0
lim 32cos .x
x x -→-
3、设()ln sin (),y xf x f x =+其中()f x ''存在，求.y ''
4、设
11ln 21x y x
-=
++，求dy dx 。
5.3
1
(1)
dx x x
+⎰
6.设函数()y y x =是由方程1
1(2)
()2
x y x
y --=所确定的隐函数，求（1）dy ； （2）求曲线()y y x =过点(1,1)处的法线方程。
7. 设曲线()y f x =与sin y x π=在点（1,0）
处有公切线，求lim 2x x xf x →∞⎛⎫
⎪+⎝⎭
四、（本题8分）设有一工厂生产某种产品的固定成本4000元外，每件产品成本为13
元。
根据经验，售出的产品数x 与产品单价p 的关系为49p =-问要获利最大，产品应该如何定价。
五、（本题8分）.设函数)(x ϕ在0=x 处二阶可导，且0)0(=ϕ，（1）试确定a 的值，
使函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0
0)
()(x a
x x
x x f ϕ在0=x 处可导；（2）求)0(f '.
六、（本题8分）作出函数x
x y 1
2
+=的图形。
（指出单调区间，极值点，凹凸区间，拐点，渐近线）
单调区间__________________________________________ 极值点________________________________________ 凹凸区间________________________________________ 拐点________________________________________ 渐近线________________________________________
七、（本题6分）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导， 且(),()f a b f b a ==。
求证：
1.在(,)a b 内至少存在一点c ，使得()f c c =；
2.在(,)a b 内至少存在互异的两点,ξη，使得()()1f f ξη''=。