首都经济贸易大学微积分期末考试试卷

首 都 经 济 贸 易 大 学

2016－2017学年 第一学期期末考试试题 A 卷

考试科目：微积分I 考试时间：120分钟 试卷总分:100分

考试方式： 闭卷 考生院系：全校

一、 填空题（每空2分，总计20分） 1. 函数1

()arctan

f x x

=的连续区间是.___________________ 2. 当-1x →时，12

3

++-+x b x ax x 与是等价无穷小，则______;=______.a b = 3.函数2ln(12)

()(1)

x f x x x +=

-的可去间断点为__________，在该点，补充定义函数值为

__________后函数连续。

4.设+c 2lim lim sin ,x

x x x x x c x →∞→∞

⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

则__________.c = 5. 设11()sin f x x '=，则111()=___________;()___________.df d d f dx x x x '

⎛⎫'= ⎪⎝⎭

6. 写出()f x =

(4)x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式

____________________________________.

7.求不定积分

___________________.=

二、 选择题（每小题2分，共8分） ()cos

f x x x =

(A)当 x →∞ 时为无穷大量 (B) 在 (,)-∞+∞内有界 (C)在 ,（-）∞+∞ 内无界 (D) 当x →∞时有极限 2.设数列{}{}n n x y 与满足lim 0n n n x y →∞

=，则下列命题正确的是【 】。

(A) 若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B) 若{}n x 无界，则{}n y 无界 (C)若{}n x 有界，则{}n y 为无穷小 (D) 若1n x ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

为无穷小，则{}n y 必为无穷小 3. 已知函数()f x 在0=x 处可导，且(0)0f =，=-→3320)

(2)(lim x

x f x f x x 【 】。 0.)0(.)0(.)0(2.D f C f B f A ''-'-

4. 若0()f x 是连续函数)(x f 在[,]a b 上的最小值，则【 】。 A. 0()f x 一定是()f x 的极小值 B. 0()0f x '=

C. 0()f x 一定是区间端点的函数值

D. 0x 或是极值点，或是区间端点 三、计算题（每小题6分，共42分） 1、⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+--

+++∞

→1213lim x x x x x ．

2、()

2csc 0

lim 32cos .x

x x -→-

3、设()ln sin (),y xf x f x =+其中()f x ''存在，求.y ''

4、设

11ln 21x y x

-=

++，求dy dx 。

5.3

1

(1)

dx x x

+⎰

6.设函数()y y x =是由方程1

1(2)

()2

x y x

y --=所确定的隐函数，求（1）dy ； （2）求曲线()y y x =过点(1,1)处的法线方程。

7. 设曲线()y f x =与sin y x π=在点（1,0）

处有公切线，求lim 2x x xf x →∞⎛⎫

⎪+⎝⎭

四、（本题8分）设有一工厂生产某种产品的固定成本4000元外，每件产品成本为13

元。根据经验，售出的产品数x 与产品单价p 的关系为49p =-问要获利最大，产品应该如何定价。

五、（本题8分）.设函数)(x ϕ在0=x 处二阶可导，且0)0(=ϕ，（1）试确定a 的值，

使函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0

0)

()(x a

x x

x x f ϕ在0=x 处可导；（2）求)0(f '.

六、（本题8分）作出函数x

x y 1

2

+=的图形。（指出单调区间，极值点，凹凸区间，拐点，渐近线）

单调区间__________________________________________ 极值点________________________________________ 凹凸区间________________________________________ 拐点________________________________________ 渐近线________________________________________

七、（本题6分）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导， 且(),()f a b f b a ==。求证：

1.在(,)a b 内至少存在一点c ，使得()f c c =；

2.在(,)a b 内至少存在互异的两点,ξη，使得()()1f f ξη''=。