数值分析上机实验思考题——误差分析
数值分析实验误差分析.doc
c[i]=temp;//保存首行信息
}
//消去l=aik/akk
k=j;
while(k<n-1){
i=j;
b[0] =a[k+1][j];//保留第一个系数防止后面破坏
for(;i<n+1;i++)
{
//b[1]=b[0]*c[i]/a[j][j];
a[k+1][i]=b[0]*c[i]/a[j][j]-a[k+1][i];
}
// showarray(a);
for (i=0;i<n;i++)
{
cout<<"x"<<i<<"="<<x[i];
}
cout<<endl;
}
void showarray(float a[n][n+1])
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n+1;j++)
{
cout<<"x2"<<a[i][j]<<" ";
x3=-(b-sqrt(q))/2;
x4=c/xБайду номын сангаас;
printf("%f\n",x1);
printf("%f\n",x2);
printf("%f\n",x3);
printf("%f\n",x4);
}
数值分析思考题1
数值分析思考题11、 讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：若*120....10m n x ααα=⨯（a 1≠0，m 为整数） 绝对误差：*1*102m n e x x -=-≤⨯，那么*x 就有 n 个有效数字。
因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差限与有效数字：*120....10m n x ααα=⨯（a1≠0，m 为整数）相对误差限:*1111110*1210*102m n n r m x x e x αα--+-⨯-=≤=⨯⨯，*1*102m n e x x -=-≤⨯，11*10m x α-≥⨯可见*x 至少有n 位有效数字。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？答：实际情况下真实值 x 是无法得到的，当测量值与真实值之间的误差可以忽略不计时，可用下式代替。
3、 查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
r e x x e x x *****-==答：病态性：数学问题本身性质所决定的，与算法无关，却能引起问题真解很大变化。
同:都是输入数据的微小误差导致输出数据误差的增大。
异：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学模型本身的问题，与算法无关。
4、 取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-答：)631 5.05110-≈⨯ （1）(()333332 1.41 5.83210--≈-⨯≈⨯（2）223(7(75 1.41) 2.510--≈-⨯=⨯（3331 5.07310(32 1.41)-≈≈⨯+⨯（4361 5.10410(1.411)-≈≈⨯+（5）9999700.3-≈-=方法3最好，误差最小141.≈)61。
数值分析第一章思考题
数值分析第一章思考题第一章思考题(2012级本科学生作品)1、什么样的算法被称为不稳定算法？试列举一个例子进行说明。
在算法执行过程中，舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。
例如，假设初始数据有一点微小误差，就会对一个算法的数据结构产生很大的影响，造成误差扩散。
用计算公式ln 1ln n n =-，构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。
2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数，高中也学过他的具体过程，请举出一个例子并用秦九韶算法计算。
答；一般的，一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。
具体的不太会了。
3、为什么要设立相对误差的概念？答：相对误差是近似值误差与精确值的比值，用来衡量近似值的近似程度。
x=10±1，y=1000±5。
虽然x 的误差比y 的误差小，但y 的近似程度比x 更好。
这单用误差无法表现出来，而相对误差可以解决这个问题。
4、误差在生活中有什么作用？答：误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中，在生活中误差的作用也非常大，比如在建筑行业中，设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。
5、有效数字以及计算规则答：有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm ，亦可能是11.22cm ，测量的结果有±0.01cm 的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
计算方法与计算 实验一误差分析
% 输出的量--每次迭代次数k和迭代值xk,
%
--每次迭代的绝对误差juecha和相对误差xiangcha，
误差分析
误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算 中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。 因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时， 由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法 的好坏会影响到数值结果的精度。 一、实验目的
因为运行后输出结果为： y 1.370 762 168 154 49， yˆ =1.370 744 664 189
38， R 1.750 396 510 491 47e-005， WU= 1.782 679 830 970 664e-005 104 . 所
以， yˆ 的绝对误差为 10 4 ，故 y
③ 运行后输出计算结果列入表 1–1 和表 1-2 中。
④ 将算法 2 的 MATLAB 调用函数程序的函数分别用 y1=15-2*x^2 和
y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法 1 和算法 3 的调用函数程序，将其保
存，运行后将三种算法的前 8 个迭代值 x1, x2 ,, x8 列在一起（见表 1-1），进行
的精确解 x* 2.5 比较，观察误差的传播.
算法 1 将已知方程化为同解方程 x 15 2x2 .取初值 x0 2 ，按迭代公式
xk1 15 2xk2
数值分析思考题
数值分析重点考察内容第一章：基本概念第二章：Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题＋证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。
高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。
第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。
第一章 误差1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。
2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？3. 0.7499作34的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）11,||1121x x x x --++ （2）||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4） sin sin ,αβαβ-≈5.采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。
（1）（2）99-（3）6(3- （46. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。
上机实验题：1、利用Taylor 展开公式计算 0!kx k x e k ∞==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.2、已知定积分10,0,1,2,,206n n x I dx n x ==+⎰,有如下的递推关系 1111100(6)61666n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-⎰⎰ 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n-=-=（取 来计算123419,,,,,I I I I I ，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。
数值分析--误差分析
一.实验目的：
1、设计绘制图形；
2、误差分析；
二.实验内容：
某车间生产工件如图1-1所示，生产过程中工人用一把普通卡尺在线测量得知弓高h，弦长l，生产完成后工厂的验收部门用高度准确的卡尺测量而得的弓高h’, 弦长l’.试求实际生产直径D的值。
三. 实验方案（程序设计说明）
车间工人用一把卡尺进行测量其弓高h，弦长l，以及弓高的系统误差h’’和弦长的系统误差l’。
测得：h=50mm， l=500mm， h’=-0.1mm, l’=-1mm
四. 实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
车间工人经测量得： h’=50-50.1=-0.1mm l’=500-499=1mm
误差传播的系数为： F’’/H= (L2/4h2-1)=-（5002/4*502-1）=-24
F/T=l/2h=500/2*50=5
直径的系统误差： D1=F/T*l’+F/H*h’=7.4mm
其中 D=l2/4h+h、D0= l2/4h+h=1300
所以修正后的测量结果为：
D2= D0 –D1=1300-7.4=1292.6mm
若直接用h=50.1和l=499计算得：1292.62mm
五．实验总结
本实验主要是通过测量弓高h，弦长l并测量其系统误差得出相应的修正后的测量结果测量。
在本次实验中使用MATLAB中提供的大量函数以及开放式的结构进行对题目的设计，对MATLAB的使用有了一些了解和认识。
数值分析中的误差
第9章 数值分析中的误差 典型问题解析考试知识点：误差、有效数字。
（6%）学习要点：误差、有效数字。
典型问题解析：一、误差绝对误差e ：e =x －x *（设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。
绝对误差限ε：ε≤-=*x x e（绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。
）相对误差e r ：***-==x x x x e e r （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e e r =计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界），r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*xr εε=，常用x ε计算. 绝对误差限的估计式：（四则运算中）)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε 二、有效数字有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.(1)设精确值x *的近似值x ，若m n a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数.解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）31105.06592001.0-*⨯≤=- x x （l =3）故x =3.14有3位有效数字。
若x =3.1415＝0.31415×101，（m =1）41105.00000926.0-*⨯≤=- x x （l =4）故x =3.1415有4位有效数字。
数值分析10误差分析和解的精度改进
数值分析
数值分析
（2）（行）比例增减改善
前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出
即正交变换后，没有增加误差。
同样，对 A Rnn 有 A A A， 则 Q A QA Q A，且 || Q A ||2 || A ||2
正交变换后，误差也没有增加。
数值分析
数值分析
三、数值稳定性及解的精度改进
1.数值稳定性. 结论：直接法解 Ax b，用顺序消元是不稳定，而用选
主元（列主元）是稳定的。
数值分析
数值分析
解的稳定性：“小的误差会不会引起解的很大变化”
有两种解的稳定性概念： （1）数值方法的稳定性：与数值方法有关。 （2）数学稳定性：是由数学问题本身故有属性所
决定的，与数值方法无关。即通常所说的 “病态问题”和“良态问题”。
数值分析
数值分析
数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰 动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长， 则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。
sr
s k in i
例4 应用按比例消元法求解 方程组
解：s1 2, s2 4, 对k 1, a11 1 ,
s1 2
s3 10 a21 3 , s2 4
x1 3 x1
2x2 4x2
x3 3 3
E1 E2
2 x1 10x2 4 x3 10 E3
a31 1 , r 2 s3 5
2.矩阵的条件数 定义 : 对非奇异n阶方阵A, 称量 A A1 为矩阵A的
数值分析1——误差分析
第一章： 第一章：误差主要内容• 误差的来源与分类 误差的来源与分类 • 误差与有效数字 • 在近似计算中应注意的几个问题1. 来源与分类 ( Source & Classification )• • • •模型误差 参数误差(观测误差) 参数误差(观测误差) 方法误差(截断误差) 方法误差(截断误差) 舍入误差1.1 模型误差 (Modeling Error)用计算机解决实际问题时， 首先要建立数学 用计算机解决实际问题时 ， 首先要建立 数学 模型， 各种实际问题是十分复杂的， 模型 ， 各种实际问题是十分复杂的 ， 而数学 模型是对被描述的实际问题进行抽象 抽象、 模型是对被描述的实际问题进行 抽象 、 简化 而得到的， 往往忽略 了一些次要因素 忽略了一些 次要因素， 而得到的 ， 往往 忽略 了一些 次要因素 ， 因而 近似的 是 近似 的 ， 我们把数学模型与实际问题之间 出现的这种误差称为模型误差 模型误差。
出现的这种误差称为 模型误差 。
如自由落体 公式1 2 s = gt 2忽略了空气阻力。
忽略了空气阻力。
参数误差(观测误差， 1.2 参数误差(观测误差，Measurement Error) 数学模型中的物理参数的具体数值， 数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过 实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有 实验测定或观测得到的， 得到的 误差，这种误差称为参数误差 观测误差。
参数误差或 误差，这种误差称为参数误差或观测误差。
例如前例中的重力加速度g=9.8 米 例如前例中的重力加速度 g=9.8米 / 秒 ， 这 g=9.8 个数值是由多次实验而得到的结果实际的值 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
g-9.8就是参数误差 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
1.3 方法误差 (截断误差 Truncation Error）在数学模型（ 包括参数值） 确定以后， 在数学模型 （ 包括参数值 ） 确定以后 ， 就要考虑 选用某种数值方法具体进行计算， 选用某种数值方法具体进行计算 ， 许多数值方法 都是近似方法， 都是近似方法 ， 故求出的结果与准确值之间是有 误 差 的 ， 该 误 差称 为 截断 误 差 或 方 法 误 差 。
数值分析作业思考题
数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。
求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。
直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。
当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。
对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。
方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。
所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。
希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式re x xex x*****-==141.≈)61∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。
现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。
数值分析实验 误差分析
数值分析实验误差分析一、引言数值分析是研究用数值方法处理数学问题的学科。
在数值计算中，由于测量误差、近似误差、截断误差和舍入误差等因素的影响，计算的结果与实际值可能存在一定程度的误差。
因此，在进行数值分析实验时，正确评估误差是非常重要的。
本文将从误差类型、误差分析方法等方面进行详细介绍。
二、误差类型1.测量误差。
由于测量仪器的制造、使用环境等因素的影响，测量结果与实际值之间存在偏差，这就是测量误差。
常见的测量误差有系统误差和随机误差。
其中，系统误差是由测量仪器本身的固有误差造成的偏差，随机误差则是由于测量仪器使用条件的不同而产生的偏差。
2.近似误差。
由于迫于计算机存储空间和运算精度的限制，数值计算中通常采用有限的、近似的算法来求解问题。
因此，近似误差是计算方法本身的误差所引起的。
3.截断误差。
因为在有限步数之内求解无限级数或积分等问题是不可能的，所以在实际计算中只能取一定的计算级数或增量来作为代替。
这样，在运算的过程中，我们总是保留最后一位是四舍五入到一定的位数。
这样，由于省略了无限级数的其余项，计算结果与实际值之间产生的误差就是截断误差。
4.舍入误差。
计算机表示数字的位数是有限的，当我们将一个实数舍入到有限的位数时，就会导致计算结果与实际值之间的差距，这就是舍入误差。
三、误差分析方法误差分析是数值分析实验中最基本的计算过程之一，而误差分析所依据的便是数学中的数值分析的基本原理。
对于数值分析实验中所产生的误差而言，目前主要有以下几种误差分析方法：维恩积分估计法、泰勒展开法、拉格朗日插值法等。
1.维恩积分估计法。
利用维恩积分估计法，可以粗略地估计出误差大小的上下限。
该方法的基本思想是：先根据计算结果求出解析解，然后在得到的解析解处求出其导数或高阶导数，再根据误差项的表达式，得到误差估计表达式，从而计算误差的上下界。
2.泰勒展开法。
利用泰勒展开法，可以把计算值的误差展开成某一阶导数之差的形式。
通过泰勒展开公式对计算结果做二阶近似展开，然后把相应的二阶导数用实际值代替即可。
讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
原题目：讨论数值分析第五版中的误差分析方法
数值分析是解决实际问题中的数学方法，但由于测量仪器的不确定性、四舍五入误差、截断误差等因素造成了误差。
本文将讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
误差主要分为绝对误差和相对误差。
- 绝对误差表示为 $E_a = |x - x_0|$
- 相对误差表示为 $E_r = |x - x_0|/|x_0|$
而数值分析中的误差主要分为舍入误差和截断误差：
- 舍入误差：计算时需要将无限小数缩小，所得的有限小数即为舍入误差。
- 截断误差：数值分析方法需要将所选的计算公式在某些地方进行近似，所得结果与精确解之差即为截断误差。
在实际数值分析中，误差的控制非常重要，因为误差可能会对
最终的计算结果产生很大影响。
数值分析中有很多减小误差的方法，比如增加小数位数、选择合适的计算公式和算法等等。
在实际应用中，要注意以下事项：
- 尽量避免使用不同原理的仪器测量或者使用测量范围不同的
仪器测量。
- 合理判断和控制误差对计算结果的影响。
- 遵循科学测量的要求，确保测量结果真实可靠，如果实验数
据存在异常，应根据科学理论和实验规律分析异常产生的原因，选
择合适的方法处理。
因此，在数值分析中，通过合理分析误差因素的影响，在实验
设计、计算方法选择等方面坚持精益求精，不断提高数值分析水平，是获取精确结果的重要途径。
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
数值计算中的误差分析
数值计算中的误差分析在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。
无论是在实际应用中还是在理论研究中，我们都需要对计算结果中的误差进行分析和评估。
本文将探讨数值计算中的误差分析方法和其在实际应用中的重要性。
一、误差的来源与分类在数值计算中，误差可以来源于多个方面。
主要可以分为以下两类：1.截断误差截断误差是由于数值计算中采用有限的近似方法而引入的误差。
在求解数学问题时，为了简化运算或逼近实际情况，我们通常需要对数学模型进行近似处理。
这个过程中，我们往往需要将无穷级数截断为有限项，或者使用近似公式。
这些近似方法往往会引入截断误差。
当近似的项数增多时，截断误差会减小。
因此，截断误差可以通过增加计算的精确度来降低。
2.舍入误差舍入误差是由于计算机内部存储数值时产生的。
计算机内部采用有限的二进制表示数值，因此会存在舍入误差。
特别是在进行数值计算时，计算机需要将结果截断或者四舍五入到有限位数。
这个过程中，会引入舍入误差。
舍入误差的大小取决于计算机的精度和数值的表示范围。
为了减小舍入误差，我们需要选择合适的计算精度或者采用更高级别的计算机。
二、误差分析方法为了评估数值计算中的误差，我们需要采用一些误差分析方法。
以下是常用的几种方法：1.绝对误差与相对误差绝对误差和相对误差是最直观、常用的误差度量方法。
绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距，用于衡量计算结果的准确性。
相对误差是绝对误差除以真实值的比值，用于衡量计算结果的相对准确性。
绝对误差和相对误差越小，计算结果越接近真实值。
2.截断误差估计在数值计算中，我们经常需要通过截断误差来评估近似方法的精度。
截断误差估计方法可以根据近似方法的性质和推导出来的误差界，对近似结果进行误差估计。
这种方法通常需要对数学模型和数值方法有一定的了解和掌握。
3.稳定性分析稳定性分析是评估数值计算方法对输入数据中扰动的敏感程度。
当输入数据存在微小变化时，计算结果也会相应地发生变化。
稳定性分析可以帮助我们判断计算方法的可靠性，并找到对输入数据扰动不敏感的计算方法。
误差及分析数据的统计处理思考题答案
第二章 误差及分析数据的统计处理思考题答案1 正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。
答：准确度表示测定结果和真实值的接近程度，用误差表示。
精密度表示测定值之间相互接近的程度，用偏差表示。
误差表示测定结果与真实值之间的差值。
偏差表示测定结果与平均值之间的差值，用来衡量分析结果的精密度，精密度是保证准确度的先决条件，在消除系统误差的前提下，精密度高准确度就高，精密度差，则测定结果不可靠。
即准确度高，精密度一定好，精密度高，准确度不一定好。
2 下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，应如何消除？（1）砝码被腐蚀； 答：系统误差。
校正或更换准确砝码。
（2）天平两臂不等长； 答：系统误差。
校正天平。
（3）容量瓶和吸管不配套； 答：系统误差。
进行校正或换用配套仪器。
（4）重量分析中杂质被共沉淀； 答：系统误差。
分离杂质；进行对照实验。
（5）天平称量时最后一位读数估计不准；答：随机误差。
增加平行测定次数求平均值。
（6）以含量为99%的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液；答：系统误差。
做空白实验或提纯或换用分析试剂。
3 用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一个更合理？答：标准偏差。
因为标准偏差将单次测定的偏差平方后，能将较大的偏差显著地表现出来。
4 如何减少偶然误差？如何减少系统误差？答：增加平行测定次数，进行数据处理可以减少偶然误差。
通过对照实验、空白实验、校正仪器、提纯试剂等方法可消除系统误差。
5 某铁矿石中含铁39.16%，若甲分析结果为39.12%，39.15%，39.18%，乙分析得39.19%，39.24%，39.28%。
试比较甲、乙两人分析结果的准确度和精密度。
答：通过误差和标准偏差计算可得出甲的准确度高，精密度好的结论。
x 1 = (39.12+39.15+39.18)÷3 =39.15(%) x 2 = (39.19＋39.24＋39.28) ÷3 = 39.24(%) E 1=39.15－39.16 =-0.01(%) E 2=39.24－39.16 = 0.08(%)%030.01/)(1)(2221=−∑−∑=−−∑=n n x x n x x s i %035.01/)(222=−∑−=∑n nx x s i6 甲、乙两人同时分析同一矿物中的含硫量。
数值分析上机实验报告一
实验报告一题目： 数值运算中误差分析的方法与原则摘要：在我们的日常生活与学习中，很多具体问题抽象成数学模型都可以解决，而求解这些数学模型就要用到数值分析，本实验讨论的是数值分析中的误差。
前言：（目的和意义）掌握误差来源，会对误差进行分析，了解简化计算步骤的基本原理和应用。
数学原理：误差会随着计算步骤的增加而积累，计算步骤越多，误差越大。
为了减小数值计算结果的误差，应该尽量减少计算步骤，并对误差做好分析与处理。
程序设计一：（1）计算110n x n I e x e dx -=⎰ (0,1,...)n =并估计误差。
本实验采用Matlab 的M 文件编写，程序如下：I=1-exp(-1);n=input('请输入n 的值');format longfor N=1:nI=1-n*I;endI当n=17时，I= -4.769577843020550e+020程序设计二：（2）计算多项式11110()...n n n n n P x a x a xa x a --=++++( 03a = 123k k a a -=+)并计算100(0.5)P 与150(13)P 的值本实验采用Matlab 的M 文件编写，程序如下：n=input('请出入n 的值');x=input('请出入x 的值');a=3;p=3;for i=1:na=2*a+3;b=x^i;p=p+a*b;endp计算结果：150(13)P = 1.099478611479765e+213100(0.5)P =600结果分析和讨论：（1） 计算时，要防止大数“吃”掉小数（2） 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值；（3） 要避免两相近数相减；（4） 注意简化计算步骤，减少运算次数。
同样一个计算问题，若能减少运算次数，不但可以节省计算时间，还能减小舍入误差。
例如上述第二题，如果要直接计算n n a x 的值再逐项相加，那么一共要做(1)(1) (212)n n n n ++-+++=次乘法和n 次加法。
数值分析思考题9
数值分析思考题91、 一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？称 ()n n n e y x y =-为某方法在点n x 的整体截断误差，设n y 是准确的，用某种方法计算n y 时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差。
可以知道，整体误差来自于前面误差积累，而局部误差只来自于n y 的误差。
如果给定方法的局部截断误差为11()p n T O h ++=，其中p 为自然数，则称该方法是p 阶的或具有p 阶精度。
2、 显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？ 显式方法优点:方法简单快速。
缺点：精度低。
隐式方法优点：稳定性好。
缺点：精度低，计算量大。
多步法需要多个初值来启动迭代，而初值的计算需要用到单步法。
3、 刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？了保证数值稳定性，步长h 需要足够小，但是为了反映解的完整性，x 区间又需要足够长，计算速度变慢。
最简单的稳定方法就是扩大绝对稳定域。
4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶Runge-Kutta 法、四阶Adams 方法计算下列微分方程初值问题的解。
（1）3,12(1)0.4dy y x x dx xy ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩； （2）'109,'1011,y y z z y z =-+⎧⎨=-⎩ 满足(1)1,(1)1,y z =⎧⎨=⎩，12x ≤≤。
解：（1）取步长为0.1，向前Euler 公式：3101=0.11.(,)()n n n n n n ny y hf x y x y x +=++-向后Euler 公式：41111110101.(,).n n n n n n n n x y x y y hf x y x +++++++=+=+改进的Euler 公式：()11333113211(,),(,)20.10.12n n n n n n n n n n n n n n n n n hy y f x y f x y h f x y y x y y x x x x x ++++++=+++⎡⎤⎣⎦⎡⎤+=+-+-⎢⎥+⎣⎦经典的四阶Runge-Kutta 法： 四阶显示Adams 方法：（2）二元微分方程组，经典的四阶Runge-Kutta法公式为：改进的欧拉即为特殊的二阶龙格-库塔，公式在此不累述，注意系数。
数值分析思考题
数值分析复习思考题（2006-12-28）这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。
而共同探讨问题是非常重要的。
由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。
我会在以后的时间中形成新的文档。
第一章 思考题1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。
数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。
误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。
一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。
计算方法课中主要讨论计算误差。
这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。
例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。
下面不全面列举出本课程内容涉及的误差线性方程组直接求解方法——舍入误差多项式插值方法——插值误差数据拟合方法——残差数值积分方法——求积误差微分方程数值解方法——局部截断误差………………………………………………2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。
有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。
由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。
有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。
若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。
而相对误差则与有效数位数基本一致。
3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。
例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。
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思考题一：
在上述实验中我们会发现用roots函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考MATLAB的帮助。
分别使用roots函数和solve函数对多项式求根的代码如下：
roots计算方程根 solve计算方程根两种函数对同一方程的求根结果计算如下表所示，可见solve的计算精度高于roots。
roots solve
1.000000 1.000000
2.000000 2.000000
3.000000 3.000000
4.000000 4.000000
5.000000 5.000000
6.000000 6.000001
6.999973 6.999995
8.000284 8.000023
8.998394 8.999924
10.006060 10.000189
10.984041 10.999640
12.033449 12.000531
12.949056 12.999393
14.065273 14.000539
14.935356 14.999632
16.048275 16.000190
16.971132 16.999928
18.011222 18.000019 18.997160 18.999997 20.000325
20.000000
思考题三：（一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子）
可以用下列式子计算自然对数的底数
n n n
e e )1
1(lim 1+==∞→
这个极限表明随着n 的增加，计算e 值的精度是不确定的。
现编程计算
n n
n f )1
1()(+=与exp(1)值的差。
n 大到什么程度的时候误差最大？你能解释其中的原因吗？
用代码实现了对自然常数真实值与计算值相同小数位数的计算，代码如下
容易知道，自然常数e 的真实值为2.718281828。
经代码运算得出下表数据，通过比较可以知道真实值与计算值相同的小数位数。
可以得出如下结论：当n 小于8110×时，随着n 的增大，误差越来越小；当n 大于8110×时，由于1/n 小到无法忽视舍入误差的存在，经过误差积累导致计算结果越来越偏离真实值。
n 的数量级
e 的计算值 相同位数 n 的数量级 e 的计算值 相同位数 1 2.59374246 0 9 2.718282052 5 2 2.704813829 1 10 2.718282053 5 3 2.716923932 2 11 2.718282053 5 4 2.718145927 3 12 2.718523496 3 5 2.718268237 4 13 2.716110034 2 6 2.718280469 5 14 2.716110034 2 7 2.718281694 6 15 3.035035207
0 8
2.718281798
6。