变化率问题

vh00.5.50h04.05m/s;
在1t 2这段时间 , 里
vh221h18.2m/s.
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探究 计算运动员在0 t 65 这段时间 49
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
vhht2ht1
t
t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10
的图像，结合图形可知，h(65) h(0)，
所以，
49 h
h(65) h(0)
v
49 65 0
0(s/ m)
49
O t 65 6 5
t
98 4 9
虽然运动员在
0 t 65 49
这段时间里的平均
速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然
x
x2 x1
表示什么 ?
图1.11
直线AB的斜率
典题例证•技法归纳
例1 题型一 求函数的平均变化率 求 y＝f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δx]
上的平均变化率,并求当 x0＝1,Δx＝12时平均 变化率的值.
【解】 函数 f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δ x]上的平均变化率为:f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0） ＝[2（x0＋Δx）2Δ＋x1]－（2x20＋1） ＝4x0＋2Δx. 当 x0＝1,Δx＝12时,
类似 ,当 地 空气1L 容 增量 加 2L时 从 到 ,气球半
增加 r2了 r10.16 dm ,
气球的平r均 22 1 r膨 10胀 .16 d率 m /L.为
可以看,随 出着气球体积逐 ,它渐的变平大均膨
胀率逐渐变 . 小了
思考 当空气的 V1增 容 加 V量 2时 到 ,气 从球的
均膨胀率 ? 是 r 多 rV2少 rV1
解:(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12 ＝(Δx)2＋2Δx, ∴ΔΔxy＝（Δx）Δ2x＋2Δx＝Δx＋2. ①当Δx＝2 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝4; ②当Δx＝1 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝3;
③当Δx＝0.1 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝2.1; ④当Δx＝0.01 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝2.01. (2)当Δx 越来越小时,函数 f(x)在区间[1,1＋Δ
x]上的平均变化率逐渐变小,并接近于 2.
例2
题型二：求物体的平均速度 (本题满分 6 分)已知物体自由落体的运动方程为 s ＝12gt2, 求: (1)物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均速度 v;
【思路点拨】 物体在(t0,t0＋Δt)内的平均速 度为 v＝ΔΔst＝s（t0＋ΔΔt）t－s（t0）;
V
Leabharlann Baidu
V2 V1
问题2 高台跳水
人 们 发,在 现高 台 跳 水,运 动 中 员 相 对 于 水
面 的 高h度 单 位 :m与 起 跳 后 的 t单时位 :间 s
存 在 函 数h关 t系 4.9t26.5t10.
如果我们用运动 时员 间某 内段 的平均 v描速度
述其运动,那 状么 态
在0t 0.5这 段 时,间 里
1.1 变化率与导数
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现
象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题 的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物 体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、
x
x2 x1
思考2：平均变化率有什么几何意义呢？
平均变化率的几何 意义就是 函数f(x)图像上两点 (x1,f(x1)), (x2,f(x2))所 在直线的斜率。
y
fx2 fx1
yfx
B
A
x2 x1
fx2fx1
O
x1
x2
x
观察函数 f x
的图象 图 1 .1 .1 , 平均
变化率
y f x2 f x1
平均变化率为 4×1＋2×12＝5.
【名师点评】 求平均变化率的步骤: (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔxy＝f（x1）x1－－xf（0 x0）.
变式训练 1.(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率,其中Δx 的值为: ①2;②1;③0.1;④0.01; (2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有 怎样的变化趋势？
变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
姚明身高变化曲线图(部分)
身高
2.26 2.12
● ● ●
1.61
●
●
●
0.8 ●
●
●
●
●
●
●
●
4 7 10 13 16 19 22 年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我 们,气 知球 道的 V单 体 :位 L积 与 半 r(单 径
位 :dm )之 间 的 函 Vr数 4 3关 r3, 系 是
如 果 把r表 半示 径为V的 体函 积,那 数么
rV3 43V .
当空气V容 从0积 增加1L到 时,气球半径增加
r1r00.62cm, 气球的平r均 11 0 r膨 00胀 .62 d率 m /L.为
运动，并非静止，可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态．
思考1：你能给出函数 f (x) 从x1到x2的平均变
化率的定义吗？
函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率为
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 习惯上：Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为 y f(x2)f(x1)
x
x2 x1
说明： 函数的平均变化率就可以表示为函数的改变量与 自变量的改变量之比
x是一个整,体 而符 不号 是 与x相乘 .
Δx是一个相对于x的变化量,可正可负,但不能为0. 不一定,平均变化率可正、可负、可为零.
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”；
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
平均变化率为: y f(x2)f(x1)