变化率问题
变化率问题
当空气容量V从1L增加到2L时, 气球的平均膨胀率为
r 2 r 1 2 1 0.16 dm / L .
可见 0.62>0.16
这就说明： 随着气球体积逐渐变大,气球的平均膨胀率 请用用一句话描述得到的结论 逐渐变小。
思考：一般地，当空气容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?
继续观察平均变化率的代数表达式: 由式子你还会想到什么？
f x 2 f x1 x 2 x1
，
几何意义
观察函数f(x)的图 象 f(x y
x
2
) f ( x1 )
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1) O
x 2 x1
Y=f(x)
平均变化率 表示：
T (℃) C (34, 33.4) B (32, 18.6)
30
20 （注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
思考
0
2
10
20
30
34
t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
问题二 气球膨胀率
这是一段吹气球的视频，细细体会气球 的膨胀过程，你有什么发现？随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 怎样从数学角度描述这种现象呢?
状态有什么问题吗 ?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示 意义（实际、
几何）
思想方法
平均速度
从特殊到一般
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
五、作 业
应用：
求函数 y 率.
变化率问题(储蓄问题)
巩固
3、初三(2)班的一个综合实践活动小组 去A、B两超市调查去年和今年“五· 一” 节期间是销售情况：两超市去年的销售 额共150万元，今年为170万元；A超市 销售额今年比去年增加15%，B超市销 售额今年比去年增加10%。求两超市去 年“五· 一”期间的销售额。
求两超市今年“五· 一”期间的销售额。
引入
有关概念：
本金：顾客存入银行的钱。 利息：银行付给顾客的酬金。 期数：存入的时间。 利息=本金×利率×期数 本息和：本金与利息的和。
利率：每个期数内的利息与本金的比。
税后利息=本金×利率×期数× （1-20%）
教育储蓄：利息=本金×利率×期数
练笔
（1）某种储蓄年利率5％，存入100元，则 105元 一年后的取出________ 三年后能取________元.
二、实际问题与二元一次方程组
例 某工厂去年的利润为200万，今年总收入比 去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今 年的利润为780万.去年的总收入、总支出各是 多少?
问1：去年总收入、总支出与哪些量有关，是什么关系？ 去年总收入-去年总支出=去年利润 去年总收入 （1+20%）=今年总收入 去年总支出 （1-10%）=今年总支出 问2：今年总收入、总支出、利润是什么关系？ 今年总收入-今年总支出=今年利润 问3：若设去年总收入为x万元，总支出为y万元，请完成 下面表格？
（2）小明把200元存入银行，一年得净利息 为21.6元，问这项储蓄的年利率为多少？ 等量关系：利息＝本金×利率×期数 解：设这项储蓄的年利率为X
200X＝21.6
解得：X＝10.8％
练笔
（3）爸爸为小明存了一个3年期的教 育储蓄(3年期的年利率为2.7 ％),3年后 能取5405元,他开始存入多少元?
课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
变化率问题举例
三、进行边际分析
【例3】
某厂生产某种产品，总成本c是产量x的函数 c(x)=200+4x+0.05x2,
求产量x=200时的边际成本. 解 因为c′(x)=(200+4x+0.05x2)′
=4+0.1x, 所以，当产量x=200时的边际成本为
c′(x)|x=200=4+0.1×200=24.
三、进行边际分析
变化率问题 举例
一、求非恒定电流的电流强度
由电学知识可知，恒定电流的电流强度是单位时间内通过 导体横截面的电量Q，即i=Q/t,而非恒定电流的电流强度就不 能按上述公式计算.
设非恒定电流通过导体横截面积的电量Q是时间t的函数， 即Q=Q(t),当时间由t0变到t0+Δt时，通过导体的电量由Q（t0） 变到Q（t0+Δt）,此时的平均电流强度为
四、进行弹性分析
【例5】
设某商品的需求函数为Q=eห้องสมุดไป่ตู้p5（其中P是商品的价格 ，Q是商品的需求量），求： （1)需求弹性函数； （2)当P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并说明其经济意义
.
四、进行弹性分析
第六节
函数的微分
引例1
一、引例
求自由落体运动中，物 体由时刻t到t+Δt所经过路程 的近似值.
设总成本函数c=c(q)是可导的，其中q表示产量，c表示总 成本，则产量为q的边际成本为
设定某种产品的单位售价为P(P不变)，则总收入函数R(q)=P·q, 总利润函数 L(q)为
L(q)=R(q)-c(q)=P·q-c(q), 上式两边对q求导，有
L′(q)=R′(q)－c(q)=P－c′(q).
三、进行边际分析
5.1.1变化率问题
合作探究
曲线割线的斜率
记∆ = − ，则点P的坐标是( + ∆, + ∆ ).
则割线 的斜率
−
+∆ −
=
=
−
+ ∆ −
= ∆ +
合作探究
切线的斜率
−
+ ∆ −
=
=
= ∆ +
=
∆
∆
+ ∆ + − +
=
∆
= + ∆
课堂练习
3 某河流在一段时间 x min内流过的水量为y ，y是x的函数， = =
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解：
当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
新知讲解
探究
瞬时速度与平均速度有什么关系？
求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？
不断缩短时间间隔，得到如下表格.
设 在 时刻附近某一时间段内
5.1.1 变化率问题
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调
性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的
差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”
快得多.
进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们
变化率 问题
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
变化率问题资料课件
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
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瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
相关变化率问题题目
相关变化率问题题目
2.一辆汽车以60km/h的速度行驶，在 10 秒后加速到 80km/h，求此过程中汽车的加速度。
3. 已知 y = e^x，求当 x = 1 时，y 的变化率。
4. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在 x = -1 处的导数和变化率。
5. 一根杆的长度为 10m，下端固定在地面上，上端固定在墙上，当地面与杆之间的距离为 6m 时，墙与杆之间的距离变化的速率是0.2m/s，求地面与杆之间的距离的变化速率。
6. 已知函数 y = x^2 + 2x，求当 x = 3 时，y 的导数和变化率。
7. 一架飞机以 800km/h 的速度飞行，在 5 秒后加速到
1000km/h，求此过程中飞机的加速度。
8. 求函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 在 x = 0 处的导数和变化率。
9. 已知 y = ln(x)，求当 x = 2 时，y 的变化率。
10. 一张正方形的边长为 5cm，在此正方形的四个角落各铺一只蚂蚁，当蚂蚁开始沿着正方形的边爬行时，正方形的面积的变化率是多少？
- 1 -。
5.1.1变化率问题
表示。这个式子称为函数 y=f(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率。
习惯用∆x=x1-x2，∆y=y1-y2 ，故平均变化率表示为：
y = f (x1) f (x2 )
x
x1 x2
但天才的牛大爷 并不满足于算出平 均速度，他更想知 道，在变速运动中， 瞬时速度怎么算呢？
问题引入
从5s到6s，小 车的速度变化了不 少，用其平均速度 来刻画5s时的瞬时 速度，不够准确。 那如果缩短时间， 你能求出由5s到5.1s 的平均速度吗？由 5s到5.01s呢?
问题引入
（1）求5s到5.1s的平均速度 （2）求5s到5.01s的平均速度
问题引入
问题引入 由5s到5+∆t s的平均速度又如何计算呢？
问题引入 由5s到5+∆t s的平均速度又如何计算呢？
问题分析
当时间为 t 到 t +△t的平均速度的计算式子：
问题分析
当时间为 t 到 t +△t的平均速度的计算式子：
(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义.
【例3】
【例4】
求函数f(x)=3x2－2x在x=1处的导数.
【课堂训练】
问题引入
牛顿能很简单地计算出 平均速度。比如：第5s到第 6s，路程是25m到36m，它 的平均速度是多少呢？
问题引入
问题引入
牛顿能很简单地计算出
平均速度。比如：第5s到第Biblioteka 6s，路程是25m到36m，它
的平均速度是多少呢？
若函数关系用y=f(x)表示，则变化率可用式子
f (x1) f (x2 ) x1 x2
当时间为 t 的瞬时速度的计算式子：
知识归纳
一般地，函数 y f (x)在x x0 处的瞬时变化率是
相关变化率问题题目
相关变化率问题题目
1.一条杆子长度为10cm，其中心靠左的4cm处挂一重物，偏离
杆子中心线1cm。
若将杆子向左转动，则重物距离中心线的距离将如何变化？
2. 一辆汽车从A点出发，以每小时60公里的速度向B点行驶，同时另一辆汽车从B点出发，以每小时80公里的速度向A点行驶。
两车在D点相遇，若D点距A点120公里，则两车在D点停留了多长时间？
3. 一坛子装有一定质量的水，下面有一个小孔，小孔直径为1mm。
当水面下降了5cm时，流出的水的体积是多少？（已知水密度为1g/cm）
4. 一架飞机从地面起飞，以每小时800公里的速度向东飞行。
同一时刻，另一架飞机从同一地点起飞，以每小时600公里的速度向南飞行。
两架飞机在4小时后相遇，此时它们距离起点的距离分别是多少？
5. 一张长方形纸片，宽为x cm，长为y cm，从其中一角剪掉一个正方形，使得剩余部分的宽和长的比为2：3。
求剪掉的正方形边长。
- 1 -。
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.1变化率问题要点一 平均速度与瞬时速度1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1.2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt的极限，记为lim Δt →h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度．【重点小结】在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前．当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx.【重点小结】当Δx 无限趋近于0时，k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx的极限，记为lim Δx →f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( )(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( )(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( )(4)一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( )【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故选A.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【答案】B【解析】Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18＋3Δt ，s ′＝li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(18＋3Δt )＝18，故选B.4．抛物线f (x )＝x 2在点(－1,1)处切线的斜率为________．【答案】－2【解析】切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0 (－1＋Δx )2－1(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.题型一 求平均速度【例1】已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度． 【解析】物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .【方法归纳】求平均速度的一般步骤(1)作差，计算Δs ；(2)作商：计算ΔsΔt.【跟踪训练1】已知一物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2，求t ＝0到t ＝2时平均速度．(s 的单位是m ，t 的单位是s)． 【答案】1 m/s【解析】v －＝Δs Δt ＝S (2)－S (0)2－0＝(3×2－22)－02＝1 (m/s)．题型二 求瞬时速度【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．【解析】Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt ＋2(Δt )2，li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(4.8＋2Δt )＝4.8， 故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 求物体在1.2 s 末的瞬时速度即求lim Δt →0ΔsΔt【方法归纳】(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．②求平均速度v ＝ΔsΔt.③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．(2)求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．②求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．【跟踪训练2】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．【解析】(1)t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， 所以Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， li m Δt →0＝ΔsΔt ＝li m Δt →(3－Δt )＝3.所以物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，所以Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(－1－Δt )＝－1， 所以当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型三 求在某点处的切线方程【例3】求抛物线y ＝2x 2＋4x 在点(3,30)处的切线方程． 【解析】Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(2Δx ＋16)＝16.∴在点(3,30)处的切线方程为：y －30＝16(x －3)即：16x －y －18＝0. 【方法归纳】求在某点处的切线方程(1)作差：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作商：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)取极限：k ＝lim Δx →0Δy Δx. (4)由点斜式写出切线方程．【跟踪训练3】求抛物线y ＝x 2＋3在点(2,7)处的切线方程． 【解析】Δy ＝[(2＋Δx )2＋3]－(22＋3)＝4Δx ＋(Δx )2 ∴ΔyΔx ＝4＋Δx ∴k ＝lim Δx →(4＋Δx )＝4. ∴在点(2,7)处的切线方程为：y －7＝4(x －2) 即：4x －y －1＝0.一、单选题1．函数()2f x x =，()2g x x =在[0，2]上的平均变化率分别记为1m ，2m ，则下列结论正确的是（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．21m m >D ．1m ，2m 的大小无法确定【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义计算比较即可. 【解析】12220220m ⨯-⨯==-，22220220m -==-，故12m m =.故选：A.2．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 【答案】D 【解析】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以01000.185m/s 960v -=≈-⨯. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以22000010000606010.288m/s 960a ⨯-⨯=≈-⨯. 故选：D.3．一物体的运动方程是23s t =+，则t 在[]2,2.1内的平均速度为（ ） A ．0.41 B ．4.1C ．0.3D ．3【答案】B 【分析】由平均速度的定义求解即可 【解析】2232132 4.12.12s v t ∆+⋅--===∆-，故选：B4．函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）． A ．4 B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x【答案】B 【分析】由给定条件求出函数增量y ∆，再根据平均变化率的意义列式化简即得. 【解析】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆. 故选：B5．我们常用函数()y f x =的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量y ∆=（ ） A ．()0f x x +∆B ．()0f x x +∆C ．()0f x x ⋅∆D ．()()00f x x f x +∆-【答案】D 【分析】根据平均变化率的概念即可得出结果. 【解析】由题意知，当0x x =时，()0y f x =；当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆， 故()()00y f x x f x ∆=+∆-. 故选D.6．函数()y f x =，自变量x 由0x 改变到0x k x +∆（k 为常数）时，函数的改变量y ∆为（ ）． A ．()0f x k x +∆ B ．()0f x k x +∆ C ．()0f x k x ⋅∆ D ．()()00f x k x f x +∆-【答案】D 【分析】根据定义求解即可. 【解析】解：由变化率的关系，()()00y f x k x f x ∆=+∆-.故选：D ． 7．设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义及导数的几何意义即可求解. 【解析】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D. 8．函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2 B ．12C ．14D ．18-【答案】D 【分析】利用导数的定义即可求出结果. 【解析】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.二、多选题9．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：()311010V t H t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-（H 为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v （单位：3m /h ），1t ，2t ，3t ，4t 时刻的瞬时融化速度分别为1v ，2v ，3v ，4v （单位：3m /h ），那么下列各式正确的是（ ）A ．1v v <B ．2v v >C ．30v v +>D ．40v v +<【答案】AD 【分析】平均融化速度表示()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，再由瞬时变化率的概念判断即可. 【解析】平均融化速度为()()10001000V V v -=-，反映的是()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1t ，2t 处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3t ，4t 处瞬时速度及v 都小于0.故选：AD10．已知函数()y f x =，下列说法正确的是（ ） A ．()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的增量 B ．()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫作函数在[]00,x x x +∆上的平均变化率 C ．()f x 在0x x =处的导数记为y ' D ．()f x 在0x x =处的导数记为()0f x ' 【答案】ABD 【分析】由函数值的增量的意义判断A ；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD. 【解析】A 中，()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；B 中，()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆称为函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，B 正确； 由导数的定义知函数()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则（ ）A ．物体在1s t =时的瞬时速度为0m/sB ．物体在0s t =时的瞬时速度为1m/sC ．瞬时速度为9m/s 的时刻是在4s t =时D ．物体从0到1的平均速度为2m/s【答案】BC 【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可 【解析】对于A ：()()()()()()2200011111111lim lim lim 33t t t t t s t s t t t∆→∆→∆→+∆++∆+-+++∆-==+∆=∆∆，即物体在1s t =时的瞬时速度为3m/s ，A 错误．对于B ：()()()()()2000000011lim lim lim 11t t t s t s t t t t t ∆→∆→∆→+∆-+∆++∆+-==+∆=∆∆， 即物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s ，B 正确． 对于C ：设物体在0t 时刻的瞬时速度为9m/s ，又()()()000000limlim 21219t t s t t s t t t t t∆→∆→+∆-=++∆=+=∆，所以04t =，物体在4s t =时的瞬时速度为9m/s ，C 正确． 对于D ：()()()103m /s 10s s v -==-，D 错误．故选：BC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时原油温度（单位：℃）为()()3218243f x x x x =-+≤≤，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.【答案】0 【分析】根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值. 【解析】由题意可知温度的瞬间变化率为()()()()()323220111limlim88233x x f x x f x f x x x x x x x x x xx ∆→∆→+∆-⎡⎤==+∆-+∆+-+-=-⎢⎥∆⎣⎦'∆()()21124x x =--≤≤，因此当2x =时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为()20f '=.故答案为：0.13．下面说法正确的是______（填序号）.①若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线； ②若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在；③若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在； ④若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在. 【答案】③ 【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.对于①中，由()0f x '不存在时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处不一定没有切线，例如：函数()13f x x =，可得()2313f x x -'=，在0x =处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为0y =，所以①不正确；对于②中，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '不一定存在，例如：函数()13f x x =在0x =处的切线方程为0y =，但()0f '不存在，所以②不正确；对于③中，若()0f x '不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在，所以③正确；对于④中，由()0f x '存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 有切线为真命题，可得其逆否命题“曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '不存在”为真命题，所以④错误. 故选：③14．物体做匀速运动，其运动方程是s vt =，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是______．【答案】相等【分析】由匀速运动易知平均速度和瞬时速度的定义求解即可.【解析】 因为平均速度为()()()0000s t t s t v t t vt s v t t t +∆-+∆-∆===∆∆∆， 瞬时速度为()()()00000000lim lim lim lim t t t t s t t s t v t t vt s v t v t t tt ∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆∆====∆∆∆∆ 所以平均速度与任何时刻的瞬时速度任何时刻的瞬时速度相等．故答案为：相等四、解答题15．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-（位移：m ，时间：s ）．（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在2t =时的瞬时速度；（3）求0t =到2t =时的平均速度．（1）3m/s（2）1m/s -（3）1m/s【分析】（1）根据题意，可知初速度即0t =时的瞬时速度，结合瞬时变化率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合瞬时变化率的计算，即可求解；（3）根据题意，结合平均变化率的计算公式，即可求解.（1）运动物体的初速度即0t =时的瞬时速度，即()()()()2000003lim lim lim 3t t t s t s t t v t t t ∆→∆→∆→∆-∆-∆===-∆∆∆ 3(m /s)=，即物体的初速度为3m/s ．（2）根据题意，可知()()()()20022322324lim lim t t s t s t t v t t ∆→∆→+∆-+∆-+∆-⨯+==∆∆ ()()200lim lim 1t t t t t t∆→∆→-∆-∆==-∆-=∆1(m/s)-，即此物体在2t =时的瞬时速度为1m/s -． （3）()()206401(m/s)202s s v ---===-，即0t =到2t =时的平均速度为1m/s ． 16．已知某物体运动的位移m x 是时间s t 的函数，而且0.3t =时，0.38x =；0.6t =时， 5.06x =. （1）求这个物体在时间段[0.3,0.6]内的平均速度；（2）估计出0.5=t 时物体的位移.【答案】（1）15.6(m/s)（2）3.5m【分析】根据平均速度的定义即可求出结果，将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，根据点斜式方程写出直线方程，令0.5=t 计算即可.（1） 所求的平均速度为：()5.060.3815.6m /s 0.60.3-=- （2）将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，又直线过点()0.30.38，，斜率为15.6，则 x 与t 的关系可近似表示为： 0.3815.6(0.3)x t -=-，令0.5=t ，得 3.5x =， 故可估计0.5=t 时物体的位移为3.5m.。
变化率应用题
变化率应用题
在数学中，变化率是指一个量随着另一个变量的变化而变化的速率。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样涉及变化率的问题，如速度、增长率、衰减率等。
通过对变化率的应用，我们可以更好地理解和解
决实际问题。
举个例子，假设一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，我们可以
通过计算汽车的速度随时间的变化率来确定在任何特定时间汽车所处
的位置。
如果汽车行驶了3个小时，我们可以通过速度乘以时间的方
法计算汽车行驶的距离，即60公里/小时 × 3小时 = 180公里。
又如，假设一个城市的人口增长率为每年2%，我们可以通过计算
人口增长率对应的变化率来确定未来几年的人口数量。
如果该城市目
前有100万人口，那么经过1年后，人口数量将增加2%，即100万 ×2% = 2万人；经过2年后，人口数量将再次增加2%，即102万 × 2% = 2.04万人。
除了速度和增长率，变化率还可应用于更复杂的问题中，如物体的
加速度、化学反应速率等。
通过对变化率的理解和运用，我们能够更
好地分析和解决各种实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
总的来说，变化率应用题是数学中一个重要且广泛应用的概念，在
现实生活中具有重要的意义。
通过掌握变化率的定义和应用方法，我
们能够更好地理解和解决各种实际问题，提高数学建模和问题求解的
能力。
希望大家能够认真学习和掌握变化率的相关知识，为将来的学
习和工作打下坚实的基础。
变化率问题
1,导数的概念:导数就是瞬时变化率
函数 y f ( x )，如果自变量 x 在 x 0处有增量 x ，那么
函数 y相应地有增量
y
f (x0 x)
f ( x 0 ); 比值
y 就 x
叫做函数 y f ( x )在 x 0到 x 0 x 之间的平均变化率，即
y f (x0 x) f (x0) .
1.已知一个物体运动的位移s(米)与时间t(秒)满足:
s(t) 2t 2 5t, 求物体在第5秒
的瞬时速度。
2.求下列函数的导数 (1)y x3 x cosx (2) f (x) x ln 3x
sin x 3.求曲线y x2 1在点P(-2,5)处的切线方程.
导数的应用有: 1.求切线的斜率(已学过) 2.求函数f(x)的单调性:
x
x
如果当 x 0 时， y 为瞬时变化率 , 这个瞬时变化率 y 叫做
x
x
函数 y f ( x )在点 x 0处的导数
,
记为
f
或 ,
()
y
x x0
,
公式为:
y
xx0
f
'(x0)lxim 0 yxlxim 0 f
(x0
x)f x
(x0)
由定义求导数（三步法）
步骤:
( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x ); (3)求导y数 x lim y. x
x 0x
例1.求y=x2在点x=1处的导数
解： y ( 1 x )2 1 2 2 x ( x )2
y2x(x)2 2x x x
limy lim(2x)2
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x
x2 x1
思考2：平均变化率有什么几何意义呢？
平均变化率的几何 意义就是 函数f(x)图像上两点 (x1,f(x1)), (x2,f(x2))所 在直线的斜率。
y
fx2 fx1
yfx
B
A
x2 x1
fx2fx1
O
x1
x2
x
观察函数 f x
的图象 图 1 .1 .1 , 平均
变化率
y f x2 f x1
类似 ,当 地 空气1L 容 增量 加 2L时 从 到 ,气球半
增加 r2了 r10.16 dm ,
气球的平r均 22 1 r膨 10胀 .16 d率 m /L.为
可以看,随 出着气球体积逐 ,它渐的变平大均膨
胀率逐渐变 . 小了
思考 当空气的 V1增 容 加 V量 2时 到 ,气 从球的
均膨胀率 ? 是 r 多 rV2少 rV1
x]上的平均变化率逐渐变小,并接近于 2.
例2
题型二：求物体的平均速度 (本题满分 6 分)已知物体自由落体的运动方程为 s ＝12gt2, 求: (1)物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均速度 v;
【思路点拨】 物体在(t0,t0＋Δt)内的平均速 度为 v＝ΔΔst＝s（t0＋ΔΔt）t－s（t0）;
V
V2 V1
问题2 高台跳水
人 们 发,在 现高 台 跳 水,运 动 中 员 相 对 于 水
面 的 高h度 单 位 :m与 起 跳 后 的 t单时位 :间 s
存 在 函 数h关 t系 4.9t26.5t10.
如果我们用运动 时员 间某 内段 的平均 v描速度
述其运动,那 状么 态
在0t 0.5这 段 时,间 里
变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
姚明身高变化曲线图(部分)
身高
2.26
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0.8 ●
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4 7 10 13 16 19 22 年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
解:(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12 ＝(Δx)2＋2Δx, ∴ΔΔxy＝（Δx）Δ2x＋2Δx＝Δx＋2. ①当Δx＝2 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝4; ②当Δx＝1 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝3;
③当Δx＝0.1 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝2.1; ④当Δx＝0.01 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝2.01. (2)当Δx 越来越小时,函数 f(x)在区间[1,1＋Δ
x
x2 x1
说明： 函数的平均变化率就可以表示为函数的改变量与 自变量的改变量之比
x是一个整,体 而符 不号 是 与x相乘 .
Δx是一个相对于x的变化量,可正可负,但不能为0. 不一定,平均变化率可正、可负、可为零.
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”；
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
平均变化率为: y f(x2)f(x1)
x
x2 x1
表示什么 ?
图1.11
直线AB的斜率
典题例证•技法归纳
例1 题型一 求函数的平均变化率 求 y＝f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δx]
上的平均变化率,并求当 x0＝1,Δx＝12时平均 变化率的值.
【解】 函数 f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δ x]上的平均变化率为:f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0） ＝[2（x0＋Δx）2Δ＋x1]－（2x20＋1） ＝4x0＋2Δx. 当 x0＝1,Δx＝12时,
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10
的图像，结合图形可知，h(65) h(0)，
所以，
49 h
h(65) h(0)
v
49 65 0
0(s/ m)
49
O t 65 6 5
t
98 4 9
虽然运动员在
0 t 65 49
这段时间里的平均
速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然
vh00.5.50h04.05m/s;
在1t 2这段时间 , 里
vh221h18.2m/s.
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探究 计算运动员在0 t 65 这段时间 49
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
vhht2ht1
t
t2 t1
运动，并非静止，可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态．
思考1：你能给出函数 f (x) 从x1到x2的平均变
化率的定义吗？
函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率为
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 习惯上：Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为 y f(x2)f(x1)
我 们,气 知球 道的 V单 体 :位 L积 与 半 r(单 径
位 :dm )之 间 的 函 Vr数 4 3关 r3, 系 是
如 果 把r表 半示 径为V的 体函 积,那 数么
rV3 43V .
当空气V容 从0积 增加1L到 时,气球半径增加
r1r00.62cm, 气球的平r均 11 0 r膨 00胀 .62 d率 m /L.为
平均变化率为 4×1＋2×12＝5.
【名师点评】 求平均变化率的步骤: (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔxy＝f（x1）x1－－xf（0 x0）.
变式训练 1.(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率,其中Δx 的值为: ①2;②1;③0.1;④0.01; (2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有 怎样的变化趋势？
1.1 变化率与导数
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现
象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题 的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物 体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、