北师大版数学高二-选修1试题 1.3全称量词与存在量词

第一章 1.3全称量词与存在量词

一、选择题

1．下列命题中，全称命题的个数为()

①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；

③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案] C

[解析]①②是全称命题，③是特称命题．

2．命题“任意x>1，log2x<0”的否定是()

A．任意x>1，log2x≥0B．任意x≤1，log2x>0

C．存在x>1，log2x≥0D．存在x≤1，log2x>0

[答案] C

[解析]全称命题的否定是特称命题，故选C.

3．给出下列四个命题，其中为真命题的是()

A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1

C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3

[答案] C

[解析]由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，

所以命题“任意x∈R，x2＋3<0”为假命题；

由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，

所以命题“任意x∈N，x2≥1”是假命题；

由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，

所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；

由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，

因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝3”是假命题．故选C.

4．下列特称命题中真命题的个数是()

①存在x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③存在x∈{x|x 是整数}，x2是整数．

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案] D

[解析]①②③都是真命题．

5．下列命题为特称命题的是()

A．偶函数的图像关于y轴对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．不相交的两条直线是异面直线

D．存在实数大于等于3

[答案] D

[解析]分清各命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，其中选项A，B，C都是全称命题．

6．下列命题中是全称命题的是()

A．所有的正方形都是菱形

B．有两个实数x，使得x2＋3x＋2＝0

C．存在两条相交直线平行于同一个平面

D．存在一无理数x，使得x2也是无理数

[答案] A

[解析]B，C，D是特称命题．

二、填空题

7．下列命题中真命题为________，假命题为________．

①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形[答案]①②③④⑤

8．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax ＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．

其中是全称命题且为真命题的序号是________．

[答案]④

[解析]①是全称命题，但为假命题，②不是命题，③是特称命题，只有④是全称命题且为真命题．

三、解答题

9．指出下列命题中，那些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．

(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数；

(2)对任意实数x1，x2，若x1

(3)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．

[解析](2)是全称命题，(1)(3)是特称命题．

(1)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题.

(2)存在x1＝0，x2＝π，x1

(3)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．

10．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．

(1)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(2)有些整数只有两个正因数；

(3)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；

(4)存在一条直线，其斜率不存在；

(5)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解．

[答案](1)(2)(4)为特称命题(3)(5)为全称命题(2)(3)(4)真(1)(5)假

[解析](1)是特称命题．因为垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”

是假命题．

(2)是特称命题．因为存在整数2只有两个正因数1和2，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．

(3)是全称命题，由三角函数知识知“对任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1都成立”，故此命题是真命题．

(4)是特称命题，因为垂直于x轴的直线斜率不存在，所以“存在直线l，l的斜率不存在”，是真命题．

(5)是全称命题，因为0x＋3＝0无解，所以“对任意a、b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

一、选择题

1．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()

A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0

D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0

[答案] D

[解析]特称命题的否定是全称命题．

2．下列命题中的假命题是()

A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ