立体几何中平行与垂直证明方法归纳

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立体几何平行垂直的证明方法

立体几何平行垂直的证明方法在立体几何中，平行和垂直是两个重要的概念。

平行指的是两条直线或两个平面在平面内没有交点，而垂直则表示两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。

在解决立体几何问题时，我们常常需要证明两条线段或两个平面是否平行或垂直。

本文将介绍几种常用的证明方法，帮助读者更好地理解立体几何中平行和垂直的性质。

一、平行线的证明方法1. 共面法：若两条直线在同一个平面内且没有交点，则它们是平行线。

要证明两条直线平行，我们可以找到一个共同的平面，使得这两条直线在该平面内且没有交点。

通过构建图形或使用法向量等方法，可以证明两条直线共面且没有交点，从而得出它们是平行线的结论。

2. 平行线定理：若两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也是平行线。

这一方法常用于证明平行线的性质，通过构建平行线与其他直线的交点关系，可以得出所求结论。

3. 平行线的性质：在平面几何中，平行线具有很多性质。

常见的平行线定理包括等角定理、同位角定理、内错角定理等。

通过运用这些性质，可以证明两条直线平行。

二、垂直关系的证明方法1. 垂直定理：若两条直线互相垂直，则构成的四个角中有两个互为相应角。

根据这一定理，我们可以通过证明两个角互为相应角，从而得出两条直线互相垂直的结论。

2. 垂线定理：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。

这一方法常用于证明两条直线垂直的情况。

通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率之积等于-1，则可以得出它们垂直的结论。

3. 垂直角的性质：在平面几何中，垂直角的性质是我们常用的性质之一。

两条直线垂直时，其错角是互相垂直的。

通过构建直线的错角，可以证明所求的两条直线垂直关系。

三、平面的平行和垂直关系的证明方法1. 共面定理：在空间几何中，三条或三条以上的直线如果在同一个平面内，则它们是共面的。

通过在空间中构建直线和平面的关系，可以证明所求直线是否共面。

2. 平行平面定理：若两个平面各与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。

空间中的平行与垂直例题和知识点总结

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

立体几何平行垂直的证明

平行、垂直的证法方法归纳总结
一、平行问题的证明方法
平行问题证明的基本思路：平面平行线面平行线线平行.
1.线线平行的证明方法：
①利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行；
平行四边形的对边平行；
利用比例、……；
②三线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和
垂直问题证明的基本思路：面面垂直线面垂直线线垂直.
1.线线垂直的证明方法：
①利用平面几何中的定理：勾股定理、等腰三角形，三线合一、菱形对角线、直径所对的圆周角是直角、点在
线上的射影。
②线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直；
③三垂线定理或三垂线逆定理：如果平面内的一条直线和斜线的射影垂直，则它和斜线垂直；反之亦成立。
交线行；
④面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
⑤线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2.线面平行的证明方法：
①线面平行的定义：直线与平面没有公共点；
②线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
④如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。
2.线面垂直的证明方法：
①线面垂直的定义：直线与平面内任意直线都垂直；
②线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③线面垂直的性质定理：两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面；
1.如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且．分别为和的中点．

高中数学专项提升——立体几何中平行与垂直证明

方法技巧专题立体几何中平行与垂直证明一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法1.1直线与直线平行的证明1.1.1利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2利用三角形中位线性质1.1.3利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.4利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

1.1.5利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

1.1.7利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.8利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点1.2直线与平面平行的证明1.2.1利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

αbaabαβb a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒1.2.3利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3平面与平面平行的证明1.3.1利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

ααββ////∩⊂⊂ba Pb a b a =αβ//⇒αβbaP1.3.2利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3利用定义：两个平面没有公共点1.例题【例1】如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM在菱形ABCD 中，O 为AC 中点， M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP---------------（利用1.1.2中位线性质）又 OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．证明：DN//平面PMB 。

高中数学立体几何中平行垂直概念以及定理归纳

性质：两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。（定理5.4）
两平面平行，其中以平面内的任意一条直线必平行于另一平面。
两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直，则另一平面也与此直线垂直。
线线垂直
线面垂直
面面垂直
定义：
定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行（6.3）
判定：若平面外一条直线与此平面中的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
性质：两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
性质：如果平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
定义：两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
判定：
判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质：
性质：如果两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。
性质：如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
线线பைடு நூலகம்行
线面平行
面面平行
定义：如果两条共面直线无公共点，则这两条直线平行。
定义：如果一条直线与一个平面没有交点，则这条直线与此平面平行。
定义：平面与平面之间没有交点，则这两个平面平行。
判定：同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直

高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
题型一：线线、线面位置关系的证明
（1）证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理。

（2）证明立体几何问题，要精密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用。

题型二：两平面之间位置关系的证明
（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行。

（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直。

题型三：空间线面位置关系的综合问题
与平行、垂直有关的存在性问题注意解题的步骤。

完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳

完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。

以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。

二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。

三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。

二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。

2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。

3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。

4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。

立体几何平行垂直有关定理总结

立体几何有关平行垂直定理总结 BHS文字语言图形语言符号语言1线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（线线平行⇒线面平行）2线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （线面平行⇒线线平行）3面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行⇒面面平行）4面面平行的性质如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面（面面平行⇒线面平行）aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥5面面平行定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行. （线线平行⇒面面平行）6面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行.（面面平行⇒线线平行）7线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直⇒线面垂直）8线面垂直的定义如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。

（线面垂直⇒线线垂直）aa bbαα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭9面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）baβαbaβαO/////////,//,,a ab ba b Oa b Oa ba b//a/b/baβαO10面面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必定垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）ba aa bαβαβαα⊥⎫⎪=⎪⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎪⎪⎭11线线平行⇒线面垂直如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥12线面垂直⇒线线平行垂直于同一个平面的两条直线平行aa bbαα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥13线面垂直⇒面面平行垂直于同一条直线的两个平面平行aaααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥14面面平行⇒线面垂直两个平行平面中如果有一个平面垂直于一条直线，那么另外一个平面也垂直于这条直线2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总(一)立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定岀面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.•••ABCD是平行四边形，••• A O = O C.连结0Q，则0Q在平面BDQ内，且0Q是厶APC的中位线，• PC II 0Q.•/ PC在平面BDQ夕卜，• PC I 平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD —A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2 )面AMN I 面EFBD.证明:⑴分别连结B i D i 、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B i D i // BD.•/ E 、F 分别是D i C i 和B i C i 的中点，1i ••• EF // B i D i . A EF // BD.22 •E 、 F 、 B 、 D 对共面. (2)连结A i C i 交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O .•/ M 、N 为A i B i 、A i D i 的中点，• MN // EF ，EF 面 EFBD.• MN //面 EFBD.•/ PQ /A O ,•四边形PA O Q 为平行四边形.• PA // O Q.而O Q 平面EFBD ，• PA //面 EFBD.且 PA n MN=P ，PA 、MN 面AMN ，•平面AMN //平面EFBD.例 3 女口图(i )，在直角梯形 P i DCB 中, P i D//BC , CD 丄 P i D ，且 P i D=8，BC=4，DC=4A 是P i D 的中点，沿 AB 把平面P i AB 折起到平面 PAB 的位置(如图(2)),使二面角求证：AF//平面PEC ;证明：如图，设 PC 中点为G ,连结FG,CD — B 成 45 ，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点1 贝U FG//CD//AE ，且 FG= CD=AE , 2•••四边形AEGF 是平行四边形••• AF//EG ,又••• AF 平面PEC , EG 平面PEC ,• AF// 平面 PEC例4、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于 AB ,在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ. 求证：PQ //面BCE.证法一：如图（1 ），作PM // AB 交BE于M ，作QN // AB 交BC 于N,连接MN, 因为面 ABCD n 面 ABEF=AB,贝U AE=DB.又••• AP=DQ,• PE=QB. 又••• PM // AB// QN,BQ• PM PE QN "AB AE 'DC BD• PM QN"AB DC• P M /QN.四边形PMNQ 为平行四边形• PQ // MN.又••• MN 面 BCE ，PQ 面 BCE ，• PQ //面 BCE. 证法二：如图（2），连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK.•/ AD // BC,• DQ AQ"QB QK .又•••正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，A（1）A Q A P .则 PQ II EK.QK PE••• EK 面 BCE , PQ 面 BCE.••• PQ //面 BCE.例5、正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线 AC 、FB 上且AM= FN 求证：MN // 平面BCE证明：过N 作NP//AB 交BE 于P ，过M 作 MQ//AB 交BC 于QCM QM BN NPNP MQAC AB BF EF 又NP 〃AB 〃MQ :「MQPN于 A 、B 、C 、D 、E 、F ，若 GA=9，AB=12，BH=16 ， S AEC 72，求 S BFDG/ \a E 1 1 l0 l /CAF DBHMN // PQ PQ 面BCE MN //面BCE〃，线段 GH 、GD 、HE 交 GD GH G AC // BDHE HA H AE//BFAC GA 9EAC FBDBD GB 21证明:AC // BDBF HB 16 AE II BF AE HA 28S AEC -AC2AE si nA373S BFD-BF BD sin B 7442 S BFD 96立体几何每日一练基础部分线面平行问题(中位线)1.在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，P 、Q 分别是 AD i 、BD 上的点，且 AP=BQ ，求证：PQ II 平面 DCC i D i 。

立体几何中的平行与垂直判定

立体几何中的平行与垂直判定立体几何是研究三维空间中的几何关系和性质的一门学科，平行与垂直判定是其中重要的一部分。

在解题过程中，准确判定两个线、面或空间立体之间的平行与垂直关系至关重要。

本文将介绍几种常用的判定方法，并通过具体例子进行说明。

一、平面与平面的判定在立体几何中，平面与平面间的平行与垂直关系是经常需要判断的。

下面将介绍两种常用的判定方法。

1. 垂直判定两个平面互相垂直的条件是它们的法向量垂直。

设平面1的法向量为n1(x1, y1, z1)，平面2的法向量为n2(x2, y2, z2)，则平面1和平面2垂直的条件可以表示为：n1·n2 = 0（向量的点积为0）例如，假设平面1过点A(1, 2, 3)，其法向量为n1(2, -1, 3)；平面2过点B(4, -1, 2)，其法向量为n2(1, 2, -1)。

我们可以计算两个法向量的点积：n1·n2 = (2, -1, 3)·(1, 2, -1) = 2×1 + (-1)×2 + 3×(-1) = 0因此，平面1和平面2是垂直的。

2. 平行判定两个平面互相平行的条件是它们的法向量平行。

设平面1的法向量为n1(x1, y1, z1)，平面2的法向量为n2(x2, y2, z2)，则平面1和平面2平行的条件可以表示为：n1 = k·n2（k为非零实数）例如，假设平面1过点A(1, 2, 3)，其法向量为n1(2, -1, 3)；平面2过点B(4, -1, 2)，其法向量为n2(1, 2, -1)。

我们可以通过判断两个法向量的比例关系来确定其是否平行。

在本例中，两个法向量的各个分量之间的比例并不相等，因此平面1和平面2不是平行的。

二、直线与直线的判定在立体几何中，直线与直线的平行与垂直关系也经常需要判断。

下面将介绍两种常用的判定方法。

1. 垂直判定两条直线互相垂直的条件是它们的方向向量垂直。

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b

立体几何平行垂直速记

立体几何平行垂直速记
立体几何平行垂直速记口诀如下：
点线面体是一家，共筑立几百花圆。

点在线面用属于，线在面内用包含。

四个公理是基础，推证演算巧周旋。

空间之中两直线，平行相交和异面。

线线平行同方向，等角定理进空间。

判断线和面平行，面中找条平行性。

已知线和面平行，过线作面找交线。

要证面和面平行，面中找出两交线。

线面平行若成立，面面平行不用看。

已知面与面平行，线面平行是必然。

若与三面都相交，则得两条平行线。

判断线和面垂直，线垂面中两交线。

两线垂直同一面，相互平行共伸展。

两面垂直同一线，一面平行另一面。

要让面和面垂直，面过另面一垂线。

面面垂直成直角，线面垂直记心间。

一面四线定射影，找出斜射一垂线。

线线垂直得巧证，三垂定理风采显。

空间距离和夹角，平行转化在平面。

一找二证三构造，三角形中求答案。

引进向量新工具，计算证明开新篇。

空间建系求坐标，向量运算更简便。

希望这些口诀能够帮助你更好地理解和记忆立体几何中的平行和垂直关系。

立体几何平行与垂直定理总结

(2)范围： [0,180] (3)求法：方法一：定义法。
m
Pl n
步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面和，则交线(射线)AP 和 AO 的
夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。
直线。
P l且P l
αPl
4 平行于同一条直线的两条直线平行
由公理1，2得到三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
(一):线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l //
m
l
//
l
方法二：用面面平行实现。
l
m
//
l
l
//
β α
l
方法三：用平面法向量实现。
n
l
n 若为平面的一个法向量， n l 且 α
l ,则 l // 。
(三)面面平行：方法一：用线线平行实现。
l // l'
β
m // l, m
m'
且相交
//
l', m' 且相交
θ
O
步骤 2：解三角形，求出线面角。
n 方法二：向量法( 为平面的一个法向量)。
n AP
sin cos n, AP n AP 方法三:等体积法求高.
(一) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作 l 的垂线（射线）m、n，则

平行与垂直的证明

平行与垂直的证明一、线线平行的证明方法：①平行于同一直线的两直线平行。

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

③如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

④垂直于同一平面的两直线平行。

⑤向量法1、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F、G分别为棱AB、PD、PC的中点．求证：AF∥EG二、线线垂直的证明方法：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

④一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

⑤向量法1、如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。

点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==。

证明AB ⊥NB2、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 、G 分别为棱AB 、PD 、PC 的中点．AF ∥EG 求证：（1）AF ⊥PC（2）EF ⊥FC （3）EG 的射影⊥CD三、线面平行的证明方法：①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

③向量法1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．求证：//AF 平面BDE四、线面垂直的证明方法：①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

(完整版)立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法

有关平行、垂直问题常见判定方法一、线线平行的判定1、公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c2、三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．3、线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线与交线平行．a ∥α，a ⊂β，αβ=b ==> a ∥bβαba4、面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β,γα=a ,γβ=b ==> a ∥bγβαb a5、平行于同一平面的两直线互相平行．a ⊥α，b ⊥α ==> a ∥bαba二、线面平行的判定1、线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a平面平行．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ==> a ∥ααba2、若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行．α∥β，a ⊂α ==> a ∥βαβa3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥αβαa4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥ααab三、面面平行的判定1、面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．a ⊂α，b ⊂α，a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥βO αβa b αβa2、垂直于同一直线的两个平面互相平行．a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图)3、平行于同一平面的两个平面互相平行．α∥γ，β∥γ ==> α∥βαγβ4、柱体的上下底面互相平行四、线线垂直1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角．2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a ⊥α，b ⊂α ==> a ⊥bαab3、a ⊥α，b ∥α ==> a ⊥bαab4、三垂直定理及其逆定理l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HMlM H Pαa5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥bβαab五、线面垂直的判定1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面内的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． a ⊂α，b ⊂α,a b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥αlO αa b2、a∥b，a⊥α ==> b⊥ααb a3、直棱柱的侧棱与底面垂直4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面α∥β，a⊥α ==> a⊥βαβa5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．α⊥β，αβ=l，a⊂α，a⊥l ==> a⊥βlβαa5、两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γl γβα六、面面垂直的判定1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥βl βαa2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥ββαa。

立体几何平行和垂直知识点

立体几何的平行和垂直定理一、空间中的平行问题1、直线与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 , 则该直线与此平面平行。

（线线平行线面平行）符号表示：（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行线线平行符号表示：作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、平面与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），符号表示：（2）性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行）符号表示：作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等知识是非常常见的手段．有时也可用“垂直于同一个平面的两条直线平行”进行证明。

二、空间中的垂直问题1、线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

2、线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直这个平面。

（线线垂直→线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

3、面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

4、在证明线线垂直时，经常利用线面垂直→线线垂直，同时要注意隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、矩形的相邻两边互相垂直、直径所对的圆周角为直角、菱形或正方形的两条对角线互相垂直且平分、边长已知时可利用勾股定理得出该三角形为直角三角形等．三、 3 种空间角1、异面直线的夹角（1）异面直线：既不相交也不平行的直线为异面直线（2）两条异面直线所成角的范围是（ 0°， 90°] ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全

初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全
三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。