人教版初中数学九年级数学上册：22.3 实际问题与二次函数 二次函数求利润的最值问题

二次函数求商品利润的最值问题

例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：设每件降价x元，总利润为y元。

则y=（60-40-x）（300+20x）)

=-20x2+100x+6000

=-20（x-2.5）2+6125

因此当x=2.5时，y有最大值6125．

60-x=60-2.5=57.5

答：每件定价为:57.7元时利润最大．

一、说题意

1：题目涉及到的知识点

①二次函数最值问题

顶点

②利润问题

2、已知条件和未知条件之间的关系

每件的利润=每件的售价-每件的进价

总利润=每件的利润×所售的件数

3、题目的基础背景

二次函数的性质作为初中课本中的重要知识点，在实际生活中有着广泛的应用，而应用二次函数的性质求商品利润最值的相关题目在练习和中考题中经常出现，对于这类题，我们应先仔细分析题目中给出的信息，列出二次函数，然后利用二次函数的性质，便可使这类题迎刃而解。

二、说思路

三、说思想

本题间接设每件降价为x元比直接设每件定价为x元要在计算量上简单本节主要学习了利用二次函数解决利润问题中的一些最值问题，解决这类问题，一般先理清楚题中各个数量关系，通过建模思想建立函数模型，最后利

用二次函数中求最值的方法达到我们解决问题的目的

四、问题的延伸及拓展

变式训练：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市

场反映，每涨价2元，每星期可少卖出20件。已知商品的进价为每件40元，

如何定价才能使利润最大？

分析：本题的数量关系

（1）每件利润=每件售价-每件进价

（2）销售总利润=单件利润×销售件数

分析：设每件涨价x元，总利润为y元

解：设设每件涨价x元，总利润为y元

当x=5时利润最大为6250元

60+x=60+5=65

答：当定价为65元时能获得最大利润，且最大利润为6250元

五、小结：

运用函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤

（1）设自变量和函数

（2）列出函数解析式和自变量的取值范围

（3）化为顶点式，求出最值

（4）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内，并作答

注：当利润的值是已知常数时，问题通过方程来解；当利润为变量时，

问题通过函数关系式来解

六、反思：

本题继续经历利用二次函数解决实际最值问题；会综合运用二次函数和其他数学知识解决利润等的函数最值问题，发展学生应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。引导学生利用二次函数求最值问题注意事项：1、根据实际问题求出函数解析式，求出自变量的取值范围2.把解析式化成顶点式（可以用配方法也可以用公式法）3、检查顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。