集合有关概念和集合间地基本关系
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年级 高一
学科
数学
内容标题 集合有关概念和集合间的基本关系 编稿老师
丁学锋
一、学习目标：
1. 了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；
2. 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；
3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义；
5. 理解两个集合中的交集的含义，会求两个简单集合的交集.
二、重点、难点：
1. 重点：集合的表示方法，元素和集合的关系，集合与集合之间的关系
2. 难点：有关⊆∈,的理解和应用
三、考点分析：
本讲的内容是中学数学最基本的内容之一，基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用，经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中，在高考中占有重要地位.
1. 集合
（1）集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合
无限集含有有限个元素的集合有限集
（2）集合的元素特性：确定性、互异性、无序性 （3）集合的表示方法：
①列举法—把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法； ②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法. （4）常见集合的符号表示:
数集 自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
*N
Z Q R
文字语言 符号语言
属于∈
不属于∉
2. 集合间的基本关系：
表示
关系文字语言符号语言
相等集合A等于集合B B
A=
子集集合A是集合B的子集B
A⊆
真子集集合A是集合B的真子集B
A≠⊂
空集空集φ
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集.
知识点一：集合的基本概念
例1. 在以下六种写法中，错误写法的个数是（）
{}{}{}{}{}
{}{}{}0
6
)5(
,
0)4(,1,0,1
1,1
,0
)3(,0
)2(,1,0
)1(
=
=
∈
-
⊆
-
⊂
∈≠
）
（
）
，（
全体整数,0
Z
φ
φ
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
思路分析：
题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号⊆
∈和的区别.对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考查集合与集合间符号的运用，对写法（4）考查元素与集合之间符号的运用.
解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小，写法（2）是表示空集与任意集合的关系，写法（3）表示集合相等的概念，写法（4）是表示实数0与空集的关系，写法（5）是集合的表示，写法（6）是对集合中元素的认识.
解答过程：
（1）是两个集合的关系，不能用“∈”；
（2）空集是任何非空集合的真子集，故写法正确；
（3）集合中的元素具有无序性，只要集合中的所有元素相同，两个集合就相等；
（4）φ表示空集，空集中无任何元素，所以应是φ
∉
0，故写法不正确；
（5）集合符号“{}”本身就表示全体元素之意，故此“全体”两字不应写；
（6）等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等.
故本题选B
题后思考：本题考查集合的有关基本概念，尤其要注意区别⊆
∈和两个符号的不同含义.
例2. 已知{}3
3
,
)1
(,22
2+
+
+
+
=a
a
a
a
A，若A
∈
1，求实数a的值.
思路分析：
题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系，集合中元素的有关性质.
解题思路：
解答过程：
{}1,0,1
A
,1
a
1
2
a=
-
=
=
+时，
当不符合集合性质，舍去；
{}
{}
.0
a
.
(2
a
1
a,0
2
a
3
a
1
3
a
3
a
,
0,1,1
A
2
a
2)
2,1,3
A
a
)1
,2
a
a
1
)1
a(
2
2
2
=
-
=
-
=
=
+
+
=
+
+
=
-
=
=
=
-
=
=
=
+
所以，综上所述：
舍去）
或
时，
当
舍去；
时，
当
时，
当
或
时，
当
题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质，要学会用分类的思想考虑问题，并且要通过集合中元素的唯一性验证集合.
例3. 已知集合{}{}0
12
,0
8
22
2
2=
-
+
+
=
=
-
-
=a
ax
x
x
B
x
x
x
A，当A
B⊆时，求实数a的取值范围.
思路分析：
题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用，对于集合{}4,2-
=
A中含有确定的两个元素－2，4，如果集合B是集合A的子集，则集合B中的元素应是集合A中的元素，另外还考查了分类的思想.
解题思路：本题应从如何使方程0
12
2
2=
-
+
+a
ax
x的解集成为集合A的子集入手，寻求集合B可能的情况，但无论如何不能使集合B中含有集合A以外的元素，尤其不能忘记集合B可能是空集.
解答过程：由已知得{}4,2-
=
A，B是关于x的方程0
12
2
2=
-
+
+a
ax
x的解集，因为A
B⊆，所以{}{}{}φ,4,2
,4
,,2-
-
=
B
（1）若{},2-
=
B则0
12
)2
(
2
(2
2=
-
+
-
+
-a
a
），解得2
4-
=
=a
a或，当0
4=
∆
=时，恰有
a；
（2）若{},4
=
B则0
12
4
42
2=
-
+
+a
a，解得舍去
，此时0
2>
∆
-
=
a；
（3）若{},4,2-
=
B则由（1）（2）知0
2>
∆
-
=，此时
a符合题意；
（4）若φ
=
B时，由0
<
∆解得4
4-
<
>a
a或.
综上所述，所求实数a的取值范围是4
2
4≥
-
=
-
a a或 或. 题后思考：①在本题的讨论中，当{}4 B=时的真正含义是：集合B中的一元二次方程有两个相等的实根4 x x 2 1 = =； ②当B为单元素集时，也可利用韦达定理求出a的值；