高中数学解三角形知识点题型总结

解三角形知识点题型总结

一.解三角形题型总述

1.常规求值问题,判断三角形形状类。

2.最值范围问题

3.证明恒等式

4.实际运用题

二.基础知识点总结

1.正弦定理

适用范围：任意三角形

（为三角形外接圆半径）。

作用：

求角，求边（出现角及其对边）

正弦定理主要运用于等式和分式中的边角互化。互化原则：等式中或分式中出现关于边的齐次式或出现角的正弦值的齐次式，可直接将角的正弦值换为其对应的边或边换为对应角正弦值。

边角互化在题目中等式的处理运用得比较频繁，一定要熟练掌握。

2.余弦定理

运用：

运用：这是一个二次分式齐次式，所以已知均可求出

此公式可以根据边的大小关系（角两边及其对边）判断角是钝角还是锐角

3.边角关系

三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

4.面积公式

5.三角形外接圆半径与内切圆半径

外接圆半径

内切圆半径

等边三角形：

三：解题常见情景

1.中线

三角形中线定理：

处理方式（1）：中位线，倍长中线，中线向量

处理方式（2）：补角

设

得

得

两式相加即得中线定理。

2.角平分线

角平分线性质：

斯库顿定理：

证明：过点作平行线用相似。

或等面积法

注：等面积法的常见处理方法

设，且有即

3.张角定理

四.三角形中范围问题

类型一：已知一边及其对角

在中，

求等的范围

注意：从边的角度入手，需要特别小心隐藏的限制条件（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，锐角三角形等）。

从角的角度入手需要做好两件事，一是利用三角形内角和关系统一变量，二是解出变量角的范围。

例1：在中，，求该三角形周长的范围。

方法一：余弦定理+均值不等式

所以

又因为，所以

方法二：正弦定理+三角函数

，则有

在根据可求出范围。

变式：在锐角中，，求该三角形周长的范围。

此类题一种技巧：由可知三角形外接圆可以确定，则可以画辅助圆观察求其范围。

在圆上移动点坐标得一系列线段的范围（所用知识：同

弦所对圆周角相等）

对应练习：

，

类型二：四边形中对角线相关问题

托勒密定理的运用：在凸四边形中，有

（当四边形为圆内接

四边形时取等）

定理运用：但题目中出现四边形且涉及对角线，可不妨一

试。

例2.已知在三角形，

,

。

方法一：解：

解得.

方法二：，在三角形中，由正弦定理

，由余弦定理得

可得，在由余弦定理

在三角形

化简得

将上式代入得：

习题：

1.，，

2.,

类型三.阿波罗尼斯圆的运用

阿波罗尼斯圆：在平面上给定相异的两点,设点在同一平面上且满足时的轨迹为圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆。

例3.满足条件

解：以。

,设，

整理得：，

类型四.旋转法在求最值中的运用

例4.

解析:易

得

。

类型五.正余弦定理综合结合三角函数求最值

例5.

解：不妨设

，在

，

可得

习题：

,

类型六.三角形中角的正切值，可切化弦，也可作高转化为边。例6.

方法一：

所以。

。

方法二

类型七.建立平面直角坐标系

例7.在等腰三角形

补充例题：；利用三角函数有界性确定角的值

例

后略。