2020年秋人教版九年级数学上册《弧长与扇形面积》同步培优(含答案)
人教版 九年级上册数学 24.4 弧长和扇形面积 同步训练(含答案)
人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积同步训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为()A.πB.2πC.3πD.6π2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-π3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A．8－π B．16－2πC．8－2π D．8－1 2π4. 2018·宁夏用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是()A．10 B．20 C．10π D．20π5. 如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60 cm，则这块扇形铁皮的半径是()A ．40 cmB ．50 cmC ．60 cmD ．80 cm6. (2019•温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为A ．B ．C ．D ．7. 如图，在△AOC 中，OA ＝3 cm ，OC ＝1 cm ，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )A.π2 cm2 B ．2π cm2C.17π8 cm2D.19π8 cm28. 如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E.B ，E 是半圆弧的三等分点，BE ︵的长为2π3，则图中阴影部分的面积为( )图A.π9 B.3π9C.3 32－3π2D.3 32－2π39. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3π B.3πC.32 3πD ．4π10. 2017·衢州运用图变化的方法研究下列问题：如图AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8，则图阴影部分的面积是( )图A.252π B ．10π C ．24＋4πD ．24＋5π二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12. 如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形OAC .已知圆锥的高h 为12 cm ，OA ＝13 cm ，则扇形OAC 中AC ︵的长是________ cm.(结果保留π)13.若一个圆锥的底面圆半径为3cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm .14. 如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．15. (2019•贺州)已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__________度．16. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．17.如图在边长为3的正方形ABCD 中，以点A 为圆心，2为半径作圆弧EF ，以点D 为圆心，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1－S 2＝________．三、解答题（本大题共4道小题）18.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)19.如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆O的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．20. 如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°，(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．21. (2019•辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．(1)求证：是⊙的切线；(2)若，求阴影部分的面积．人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析]扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=，得l==3π.故选C.2. 【答案】C[解析]在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S△ABD=·AD·AB=8，S扇形ABE==2π，∴S阴影=S△ABD-S扇形ABE=8-2π.故选C.3. 【答案】C[解析] 在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，∠ABE＝45°，∴S△ABD＝12AD·AB＝8，S扇形BAE＝45·π·42360＝2π，∴S阴影＝S△ABD－S扇形BAE＝8－2π.故选C.4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] ∵圆锥的底面圆直径为60 cm，∴圆锥的底面圆周长为60πcm，∴扇形的弧长为60π cm.设扇形的半径为r，则270πr180＝60π，解得r＝40 cm.6. 【答案】C【解析】该扇形的弧长=．故选C ．7. 【答案】B[解析] 如图，AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S 阴影＝S △OCA ＋S 扇形OAB －S 扇形OCD －S △ODB.由旋转知△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA ＝S △ODB ，∴S 阴影＝S 扇形OAB －S 扇形OCD ＝90π×32360－90π×12360＝2π(cm2)．故选B.8. 【答案】D9. 【答案】C[解析] 如图∵D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝12AO ， ∴∠AOD ＝30°，OD ＝3 3. 作BF ＝AC ，E 为BF 的中点． 同理可得∠BOE ＝30°， ∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过的路径长为nπR 180＝90π×3 3180＝3 32π.10. 【答案】A[解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°，则DG ＝CG2－CD2＝8.又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ，∴DG ︵＝EF ︵， ∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】π－2[解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12. 【答案】10π[解析] 由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为132－122＝5(cm)，∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．13. 【答案】 9【解析】由n ＝360r l 得120＝360×3l ，解得l ＝9.14. 【答案】2π[解析] 设扇形的半径是R ，则60·π·R2360＝6π，解得R ＝6(负值已舍去)．设扇形的弧长是l ，则12lR ＝6π，即3l ＝6π， 解得l ＝2π.故答案为2π.15. 【答案】90【解析】设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a=4， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，根据题意得，解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．故答案为：90．16. 【答案】2π－4[解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB－S △OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.17. 【答案】13π4－9 [解析] ∵S 正方形ABCD ＝3×3＝9，S 扇形DAC ＝9π4，S 扇形AEF ＝π，∴S 1－S 2＝S 扇形AEF －(S 正方形ABCD －S 扇形DAC )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫9－9π4＝13π4－9.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD ，(1分) ∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，解图∴OD ⊥DF ， ∴∠ODF ＝90°，(2分) ∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，(3分) ∴OD ∥AC ，∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°， ∴DF ⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF ＝30°， 由(1)得∠ODF ＝90°， ∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠ODF ＝60°， ∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，(7分) ∴∠BOD ＝60°，∴lBD ︵＝nπR 180＝60π×5180＝53π.(8分)19. 【答案】解：(1)证明：连接OC . ∵C ，D 为半圆O 的三等分点，∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵， ∴∠DAC ＝∠BAC . ∵OA ＝OC ， ∴∠BAC ＝∠ACO ， ∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴OC ∥AD . ∵CE ⊥AD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 为⊙O 的切线． (2)连接OD . ∵AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝13×180°＝60°. 又∵OC ＝OD ，∴△COD 为等边三角形， ∴∠CDO ＝60°＝∠AOD ， ∴CD ∥AB ， ∴S △ACD ＝S △COD ，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形COD ＝60×π×22360＝2π3.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵AD ＝AB ，∠D ＝30°， ∴∠B ＝∠D ＝30°， ∴∠DAB ＝120°. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°， ∴∠DAC ＝30°，∴∠BCA ＝60°.∵AO ＝CO ，∴△ACO 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∴∠DAO ＝∠CAO ＋∠DAC ＝90°，即AD ⊥AO.又∵AO 是⊙O 的半径，∴直线AD 是⊙O 的切线．(2)由(1)知Rt △ADO 中，AO ＝2，∠D ＝30°，∴OD ＝2AO ＝4，∴AD ＝2 3，∴SRt △ADO ＝12×2 3×2＝2 3.∵△ACO 是等边三角形，∴∠AOD ＝60°，∴S 扇形OAC ＝60π×22360＝2π3，∴S 阴影＝SRt △ADO －S 扇形OAC ＝2 3－2π3. 21. 【答案】 (1)如图，连接，过作于，∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是⊙的切线．(2)∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴阴影部分的面积．。
人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积同步练习带答案【优】
第24章 24.4《弧长和扇形面积》同步练习及答案(2)第1题. 一条弧所对的圆心角是90o，半径是R ，则这条弧的长是 ．答案：12R π 第2题. 若»AB 的长为所对的圆的直径长，则»AB 所对的圆周角的度数为 ．答案：180πo第3题. 如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，OE 为半径的半圆交AB 于E ，F 两点，弦AC 是小半圆的切线，D 为切点，若4OA =，2OE =，则图中阴影部分的面积为 ．答案：43π+第4题. 如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1o，则它的弧长增加（ ） Ａ．lnＢ．180R π Ｃ．180lRπ Ｄ．360l答案：Ｂ第5题. 在半径为3的O e 中，弦3AB =，则»AB 的长为（ ）Ａ．π2Ｂ．πＣ．32π Ｄ．2π答案：Ｂ第6题. 扇形的周长为16，圆心角为360πo，则扇形的面积是（）Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．16π答案：Ａ第7题. 如图，扇形OAB 的圆心角为90o，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ） Ａ．P Q =Ｂ．P Q >Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定答案：Ａ第8题. 如图，矩形ABCD 中，1AB =，BC =，以BC 的中点E 为圆心的¼MPN与AD 相切，则图中的阴影部分的面积为（ ）Ａ．23π Ｂ．34πＤ．π3答案：Ｄ第9题. 如图所示，正方形ABCD 是以金属丝围成的，其边长1AB =，把此正方形的金属丝重新围成扇形的ADC ，使AD AD =，DC DC =不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果． 答案：1S =正方形，121122ADC S lR 1==⨯⨯=扇形，∴面积没有变化．第10题. 如图，O e 的半径为1，C 为O e 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与O e 相交于A ，B 两点，则图中阴影部分的面积为．答案：2π3第11题. 如图，△ABC 中，105A ∠=o ，45B ∠=o，AB =AD BC ⊥，D 为垂足，以A为圆心，以AD 为半径画弧»EF，则图中阴影部分的面积为（ ）ＭＣ Ａ ＤＡ．76πＢ．76-π+2Ｃ．56πＤ．56-π+2答案：Ｂ第12题. 如图，半径为r 的1O e 与半径为3r 的2O e 外切于P 点，AB 是两圆的外公切线，切点分别为A ，B ，求AB 和»PA，»PB 所围成的阴影部分的面积．答案：连结2O B ，1O A ，过1O 作12O H O B ⊥，垂足为H ，则得矩形1ABHO ， 1BH O A r ∴==，1AB O H =．在Rt △21O HO 中，2232O H O B BH r r r =-=-=，122134O O O P O P r r r =+=+=，1O H ==，2211221cos 42O H r HO O O O r ∠===，2160HO O ∴∠=o ，1120AO P ∠=o ．21212111()(3)22ABO O S O A O B O H r r =+=+=g 梯形，26033606BO P O B r r S 222π()π(3)π===2g 2扇形，122120AO P O A S r π()π==3603扇形、，212122223ABO O BO P AO P S S S S r r ππ=--=--=23阴影梯形扇形扇形．第13题. 圆周角是90o，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：14第14题. 圆心角是45o，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：45360，18第15题. 圆心角是1o，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ．Ｃ Ｄ Ｂ ＥＡＦ答案：1360，1360第16题. 扇形的圆心角为210o，弧长是28π，求扇形的面积．答案：336π第17题. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．答案：90o第18题. 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得90C ∠=o ，4AC BC ==．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC △的边上，且扇形的弧与ABC △的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．答案：第19题.90o，半径为R Ａ．2R πＢ．3R πＣ．4R πＤ．6R答案：Ａ第20题. 已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为n o，则这条弦所在圆的半径为（ ）．Ａ．180n lπ Ｂ．180ln πＣ．360ln πＤ．180lnπ答案：Ｂ第21题. 半径为6cm 的圆中，60o的圆周角所对的弧的弧长为 ．答案：4cm π第22题. 半径为9cm 的圆中，长为12cm π的一条弧所对的圆心角的度数为 ．答案：240o第23题. 已知圆的面积为281cm π，若其圆周上一段弧长为3cm π，则这段弧所对的圆心角的度42r =24r =1r =数为 ．答案：60o第24题. 若扇形的圆心角为120o，弧长为6cm π，则这个扇形的面积为 ．答案：227cm π第25题. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为 ．（单位：mm ，精确到1mm ）答案：389mm第26题. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=o，60A ∠=o，3cm AC =，将△ABC 绕点B 旋转至△A BC ''的位置，且使点A ，B ，C '三点在同一直线上，则点A 经过的最短路线长是cm ． 答案：53π第27题. 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点B 从开始至结束走过的路径长度为（ ）． Ａ．3π2Ｂ．4π3Ｃ．4Ｄ．322+π答案：Ｂ第28题. 如图，扇形AOB 的圆心角为60o，半径为6cm ，C ，D 是»AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是 ．A ' C ' Ｂ Ｃ Ａ ＢＣ答案：22cm π第29题. 如图，已知在扇形AOB 中，若45AOB ∠=o，4cm AD =，3cm CD =π，则图中阴影部分的面积是 ．答案：214cm π第30题. 如图4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．答案：14.2π．图4。
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》学案及同步作业(含答案)
24.4弧长和扇形面积(第1课时)【学习目标】了解扇形的概念，理解 n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．【学习重点】n°的圆心角所对的弧长 L= n R，扇形面积S扇= n R2及其它们的应用．180360【学习过程】（教师寄语：勤动脑，多动手，体验收获！）自主探究（教师寄语：学会独立思考，自主学习是最重要的！）一、任务一：探究弧长公式1、圆的周长公式是什么？什么叫弧长？2、圆的周长可以看作 ______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是 _______； 2°的圆心角所对的弧长是 _______；4°的圆心角所对的弧长是 _______；n°的圆心角所对的弧长是 _______。
任务二：探究扇形面积公式3、圆的面积公式是什么？什么叫扇形？4、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______； 2°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______； 5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______；n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______。
5、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？二、合作学习（教师寄语：学会与别人合作是一种能力！）例 1、（教材 121 页例 1）例 2：如图，已知扇形 AOB的半径为 10，∠ AOB=60°，求AB的长（ ?结果精确到 0．1）和扇形 AOB的面积结果精确到 0．1）三、课时小结（教师寄语：及时总结能使人不断进步！）四、自我测评（教师寄语：细心思考，必定成功！）1、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62、如图所示，把边长为 2 的正方形 ABCD的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点 D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点 B′所经过的路线长度为（）A．1B．C．2D．2B C(A')B'AlD C'A BCO（第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图）（第 6 题图）3、如图所示， OA=30B，则AD的长是BC的长的 _____倍．4、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB 为120，OC 长为8cm， CA 长为12cm，则阴影部分的面积为。
人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形的面积同步练习含答案
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》一、选择题1、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（）A． B．C． D．2、如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．3、如图所示，在扇形BAD中，点C在上，且∠BDC=30°，AB=2，∠BAD=105°，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．π﹣1 C．2π﹣2 D．2π+14、如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．5、如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，点B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π6、如图,把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为 ( )sA 、（ +）πB 、（ +）π/C 、2πD 、π27、一圆锥的底面直径为4cm ，高为cm ，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．20πcm 2B ．10πcm 2C ．4πcm 2D ．4πcm 28、圆锥底面圆的半径为3cm ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ） A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm二、填空题9、半径为3，弧长为4的扇形面积为．10、.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为 .11、如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是．12、小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为30cm，面积为300πcm2，则这个圣诞帽的底面半径为cm．13、如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧OC、弧OA所围成的面积是_______cm2．14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是___(结果保留π)．15、如图，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为．16、如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为．17、如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为．三、简答题19、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=，求阴影部分的面积．20、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．21、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．22、某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm．请你和他们一起解决下列问题：（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．①图2中弧EF的长为cm，弧MN的长为cm；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧MN所在圆的圆心O，如图3所示．小顾同学发现有=，请你帮她证明这一结论．③根据②中的结论，求弧MN所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n．（2）小顾同学计划利用正方形纸片一张，按如图甲所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．参考答案一、选择题1、D2、D．3、A【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】阴影部分的面积=S扇形ACD﹣S△ACE，根据面积公式计算即可．【解答】解：∵∠BDC=30°，∴∠BAC=60°，∵AC=AB，∴△ABC是等边三角形，∵∠BAD=105°，∴∠CAE=105°﹣60°=45°，∵CE⊥AD，AC=AB=2，∴AE=CE=2，∴S△ACE=2，S扇形ACD==π，∴阴影部分的面积为S扇形ACD﹣S△ACE=π﹣2，故选A．【点评】本题考查了三角形和扇形的面积公式及三角函数值，得到阴影部分的面积=S扇形ACD﹣S△ACE是解题的关键．4、A【考点】MO：扇形面积的计算；L5：平行四边形的性质．【分析】根据题意可以得到平行四边形底边AB上的高，由图可知图中阴影部分的面积是平行四边形的面积减去扇形的面积和△EBC的面积．【解答】解：作DF⊥AB于点F，∵AD=2，∠A=30°，∠DFA=90°，∴DF=1，∵AD=AE=2，AB=4，∴BE=2，∴阴影部分的面积是：4×1﹣=3﹣，故选A．5、A 【考点】MO ：扇形面积的计算；KS ：勾股定理的逆定理；R2：旋转的性质．【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积=△ABC 的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4， ∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积=△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积==，故选：A ．6、B7、B 【考点】MP ：圆锥的计算．【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的底面直径为4cm ，高为cm ，则底面半径=2cm ，底面周长=4πcm ，由勾股定理得，母线长=5cm ，侧面面积=×4π×5=10πcm 2．故选B ．8、B二、填空题9、 6 ．【考点】扇形面积的计算．【分析】由扇形面积公式S=lR 进行计算．【解答】解：由题意得：S=×4×3=6．故答案是：6．10、；11、；12、10分析：由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形卡纸制作一个圣诞帽，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．解：设卡纸扇形的半径和弧长分别为R、l，圣诞帽底面半径为r，则由题意得R=30，由Rl=300π得l=20π；由2πr=l得r=10cm．故答案是：10．13、214、_解析：∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴AB＝2，扇形BAD的面积为：＝，在直角△ABC中，BC＝AB·sin60°＝2×＝，AC＝1，∴S△ABC＝S△ADE＝AC·BC＝×1×＝，扇形CAE的面积是：＝，∵S△ADE＝S△ABC，则阴影部分的面积是：S扇形DAB＋S△ABC－S△ADE－S扇形ACE＝－＝15、cm2．【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】根据题意有S阴影部分=S扇形BCD﹣S半圆CD，然后根据扇形的面积公式：S=和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．【解答】解：根据题意得，S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，∵S扇形BCD=，S半圆CD=π（）2=，∴S阴影部分=﹣=．故答案为：cm216、9 ．【考点】扇形面积的计算．【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=lr，计算即可．【解答】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，∴S扇形DAB=lr=×6×3=9．故答案为：9．【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=lr．17、5π．【考点】MN：弧长的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=110°﹣∠DOB=50°；然后由弧长公式弧长的公式l=来求的长．【解答】解：如图，连接OD．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=110°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=50°，∴的长为=5π．故答案是：5π．18、π﹣2 ．【考点】MO：扇形面积的计算；KW：等腰直角三角形．【分析】空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，S扇形BCD==π，S空白=2×（2﹣π）=4﹣π，S阴影=S△ABC﹣S空白=2﹣4+π=π﹣2，故答案为π﹣2．三、简答题19、（1）证明：连接OC，如图，………1分∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂直平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；………5分（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，………7分∵BF=，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，………8分在Rt△OBE中，BE=OB=2，∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2××2×2﹣=4﹣π．………10分20、解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠B=∠D=60°.（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∠B=60°∴∠BAC=30°. ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE.∴AE是⊙O的切线.（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°.∴劣弧AC的长为＝π．21、22、【考点】圆的综合题．【专题】综合题．【分析】（1）①直接根据圆的周长公式计算；②设它所对的圆心角的度数为n ，根据弧长公式得到的长=，的长=，然后把它们相比即可得到=；③由（2）中的结论得到得==，加上OF=ON+6，可求得ON=12，再利用弧长公式得到=4π，于是可求出n=60°；（2）如图4，连结EF ，OB ，它们相交于点P ，先证明△OEF 为等边三角形得到EF=OF=18，再证明Rt △AOE ≌Rt △COF 得到AE=CF ，则BE=BF ，于是可判断OB 垂直平分EF ，所以PF=EF=9，由勾股定理计算出OP==9，由△PFB 为等腰直角三角形和得到PB=PF=9，则OB=9+9，然后根据正方形的性质得OC=OB=．【解答】（1）解：①如图2，弧EF 的长为6πcm ，弧MN 的长为4πcm ；故答案为6π，4π；②证明：如图3，设它所对的圆心角的度数为n ，的长=，的长=，所以=；③由（2）得==，而OF=ON+6，解得ON=12，即r=12，因为=4π，解得n=60°；（2）解：如图4，连结EF，OB，它们相交于点P，∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OC，∠OBC=45°，∵∠OEF=60°，OE=OF，∴△OEF为等边三角形，∴EF=OF=18，在Rt△AOE和Rt△COF中，，∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴AE=CF，∴BE=BF，∴OB垂直平分EF，∴PF=EF=9，∴OP==9，∵△PFB为等腰直角三角形，∴PB=PF=9，∴OB=9+9，∴OC=OB=，即正方形纸片的边长为cm．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和正方形的性质；记住弧长公式；学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题．。
人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步培优(含答案)
人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积同步培优一、选择题1. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE2. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设()A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°5. 已知A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则()A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内6. 2020·黄石模拟 如图，在平面直角坐标系中，A (－2，2)，B (8，2)，C (6，6)，点P 为△ABC 的外接圆的圆心，将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，点P 的对应点P ′的坐标为( )A ．(－2，3)B ．(－3，2)C ．(2，－3)D ．(3，－2)7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝7，点D 在边BC 上，CD ＝3，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是( )A . 1＜r ＜4B . 2＜r ＜4C . 1＜r ＜8D . 2＜r ＜88. 如图0，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )图0A.32B ．2C.81313D.121313二、填空题9. 如图，P A ，PB 是☉O 的切线，A ，B 为切点，点C ，D 在☉O 上.若∠P=102°，则∠A+∠C= .10. 如图，AT切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝________.11. 如图，⊙M的圆心在一次函数y ＝12x ＋2的图象上运动，半径为1.当⊙M 与y轴相切时，点M 的坐标为__________．12. 如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与☉O 相切于点D ，E ，若点D 是AB的中点，则∠DOE= .13. 在周长为26π的⊙O 中，CD 是⊙O 的一条弦，AB 是⊙O 的切线，且AB ∥CD ，若AB 和CD 之间的距离为18，则弦CD 的长为________．14. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E.则⊙O 的半径为________．15. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，有下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.三、解答题17. 如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．图18. 如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．19. 如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，5个单位长度为半径画圆．直线MN 经过x 轴上的一动点P (m ，0)且垂直于x 轴，当点P 在x 轴上移动时，直线MN 也随之平行移动．按下列条件求m 的值或取值范围． (1)⊙O 上任何一点到直线MN 的距离都不等于3； (2)⊙O 上有且只有一点到直线MN 的距离等于3； (3)⊙O 上有且只有两点到直线MN 的距离等于3；(4)随着m 的变化，⊙O 上到直线MN 的距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应m 的值或取值范围．20. 已知：AB 是⊙O的直径，点P 在AB ︵上(不与点A ，B 重合)，把△AOP 沿OP折叠，点A 的对应点C 恰好落在⊙O 上．(1)当点P ，C 都在AB 上方时(如图8①)，判断PO 与BC 的位置关系(只回答结果)；(2)当点P 在AB 上方而点C 在AB 下方时(如图②)，(1)中的结论还成立吗？证明你的结论；(3)当点P ，C 都在AB 上方时(如图③)，过点C 作CD ⊥直线AP 于点D ，且CD 是⊙O 的切线，求证：AB ＝4PD.人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积同步培优-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝180°－50°2＝65°.解图5. 【答案】D[解析] 由题意可知A，B，C三点在同一直线上，且点B在点A，C之间，因此过点A，C可以画一个圆，且点B在圆内．6. 【答案】A7. 【答案】B【解析】连接AD，则AD＝AC2＋CD2＝42＋32＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3－r<5<3＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴r<BD，即r<4.∴2<r<4，故选B.解图8. 【答案】B[解析] ∵∠ABC ＝90°，∴∠ABP ＋∠PBC ＝90°. ∵∠P AB ＝∠PBC ，∴∠ABP ＋∠P AB ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，设圆心为O ，连接OC 交⊙O 于点P ，此时CP 最小．在Rt △BCO 中，∵∠OBC ＝90°，BC ＝4，OB ＝3，∴OC ＝5，OP ＝OB ＝3，∴PC ＝OC －OP ＝5－3＝2，∴PC 的最小值为 2.二、填空题 9. 【答案】219° [解析]连接AB ， ∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.10. 【答案】50°【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.11. 【答案】(1，52)或(－1，32) [解析] ∵⊙M 的圆心在一次函数y ＝12x ＋2的图象上运动，∴设当⊙M 与y 轴相切时圆心M 的坐标为(x ，12x ＋2)．∵⊙M 的半径为1，∴x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，y ＝52，当x ＝－1时，y ＝32.∴点M 的坐标为(1，52)或(－1，32)．12. 【答案】60°[解析]连接OA ，∵四边形ABOC 是菱形， ∴BA=BO ，∵AB 与☉O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB. ∵D 是AB 的中点，∴OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOD=∠AOB=30°， 同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD +∠AOE=60°， 故答案为60°. 113. 【答案】24【解析】设AB 切⊙O 于点E ，如解图，连接EO 并延长交CD 于点M ，∵C ⊙O ＝26π＝2πr ，∴r ＝13，∵AB ∥CD ，且AB 与CD 之间的距离为18，∴OM ＝18－r ＝5，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠CMO ＝∠AEO ＝90°，∴在Rt △CMO 中，CM ＝OC 2－OM 2＝12，∴CD ＝2CM ＝24.解图14. 【答案】254 【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵BC 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ＝12AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝254.∴⊙O 的半径为254.解图15. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确． 补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点， ∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．16. 【答案】2或4[解析] 设圆O的半径为r cm如图①所示，r－1＝3，得r＝4；如图②所示，r＋1＝3，得r＝2.三、解答题17. 【答案】解：(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M，则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，∴BM＝40千米．答：此时，班车到发射塔的距离是40千米．(2)能．理由如下：如图，连接BC.∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，∴CM＝AC－AM＝120－30＝90(千米)，∴BC＝CM2＋BM2＝902＋402＝10 97(千米)＜100千米，∴到C城后还能接收到信号．18. 【答案】(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，解图∴∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，∴∠OAD＝180°－2x2＝90°－x，(2分)∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，∴OA⊥AC，又∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(4分) (2)解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3,∠ABC ＋∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＋3∠ABC ＝90°，(6分)解得∠ABC ＝22.5°，∴∠ADB ＝67.5°，∠ACB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADB －∠ACB ＝22.5°.(8分)19. 【答案】解：(1)m ＜－8或m ＞8(2)m ＝－8或m ＝8(3)－8＜m ＜－2或2＜m ＜8(4)当m ＝－2或m ＝2时，⊙O 上有且只有三个点到直线MN 的距离等于3； 当－2＜m ＜2时，⊙O 上有且只有四个点到直线MN 的距离等于3.20. 【答案】解：(1)PO 与BC 的位置关系是PO ∥BC .(2)(1)中的结论仍成立．证明：由折叠的性质可知△APO ≌△CPO ，∴∠APO ＝∠CPO .又∵OA ＝OP ，∴∠A ＝∠APO ，∴∠A ＝∠CPO .又∵∠A 与∠PCB 都为PB ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠PCB ，∴∠CPO ＝∠PCB ，∴PO ∥BC .(3)证明：∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD .又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ，∴∠APO ＝∠COP .由折叠的性质可得∠AOP ＝∠COP ，∴∠APO ＝∠AOP .又∵OA ＝OP ，∴∠A ＝∠APO ，∴∠A ＝∠APO ＝∠AOP ，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠COP＝60°.又∵OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC.∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，∴在Rt△PCD中，PD＝12PC.又∵PC＝OP＝12AB，∴PD＝14AB，即AB＝4PD.。
人教版九年级数学上册《24.4弧长和扇形面积》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《24.4弧长和扇形面积》同步测试题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在半径为1的⊙O 中，120°的圆心角所对的弧长是 （） A ．3π B ．23π C ．πD ．32π 2．用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A ．2.5B ．5C ．6D ．103．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（ ） A ．30B ．60C ．105D ．2104．若圆锥的底面直径为6cm ，侧面展开图的面积为215πcm ，则圆锥的母线长为（ ） A ．5cm 2B ．2cm 5C ．3cmD ．5cm5．如图，在⊙ABC 中，AB=AC=，BC=2，以A 为圆心作圆弧切BC 于点D ，且分别交边AB 、AC 于E 、F ，则扇形AEF 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．6．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（ ） A ．563πB ．643πC ．569πD ．649π二、填空题7．已知扇形的弧长为6π，它的圆心角为120，则该扇形的半径为 ． 8．圆锥底面圆的半径2cm r =，母线长为6cm ，则圆锥全面积为 ．9．如图，扇形OAB 的圆心角为30︒，半径为1，将它在水平直线上向右无滑动滚动到'''O A B 的位置时，则点O 到点'O 所经过的路径长为 ．10．如图，O 的直径6AB =，圆内接ACD 中，AC=CD ，30CAD ∠=︒则阴影部分的面积为 ．三、解答题11．（本小题满分10分）如图，已知扇形的半径为15cm ，⊙AOB=120°．（1）求扇形的面积；（2）用这扇形围成圆锥的侧面，求该圆锥的高和底面半径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，OC 交⊙O 于点D 的半径为3 20C ∠=︒.（1）求A ∠的度数；（2）求AD 的长．(结果保留π)参考答案题号 1 2 3 4 5 6 答案BBDDB D1．【答案】B【分析】根据弧长公式可知弧长． 【详解】解： l =120121803ππ⨯=. 故选B ． 2．【答案】B【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再根据圆锥的底面周长等于这个扇形的弧长即可求解． 【详解】解：由题意知：扇形的弧长＝1501210180ππ⨯= 设圆锥的底面半径为R ，圆锥的底面周长等于扇形的弧长 ⊙2πR ＝10π ∴R ＝5 故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式及圆锥的展开图，属于基础题，熟练掌握扇形弧长的计算公式是解题的关键． 3．【答案】D【分析】根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧长，再根据弧长公式求解即可．【详解】解：由题意可求得圆的周长2612C ⨯＝＝ππ 其中一个扇形的弧长15L ＝π，则另一个扇形的弧长21257L -＝＝πππ 设另一个扇形的圆心角度数为n ︒ 根据弧长公式：180n rL ＝π，有： 67180n ⨯＝ππ，解得210n ＝ 故选：D ．【点睛】本题考查弧长的计算，解题关键是理解题意，正确应用弧长公式进行计算．【分析】已知圆锥底面圆的半径可求出侧面展开图的弧长，根据侧面展开图的面积即可求解． 【详解】如图所示⊙圆锥的底面直径为6cm ⊙圆锥的底面半径为3cm⊙圆锥的底面圆周长是2π6πC r == ⊙侧面展开图的面积为215πcm⊙侧面展开图的面积116π15π22S l C l ==⨯=⊙圆锥的母线长为5l = 故选：D ．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的面积，理解掌握面积公式的计算方法是解题的关键． 5．【答案】B【详解】试题分析：先判断出⊙ABC 是等腰直角三角形，从而连接AD ，可得出AD=1，直接代入扇形的面积公式进行运算即可． ⊙AB=AC=，BC=2⊙AB 2+AC 2=BC 2⊙⊙ABC 是等腰直角三角形 连接AD ，则AD=BC=1则S 扇形AEF =故选B ．考点：1.扇形面积的计算；2.等腰直角三角形．【分析】先求出圆锥的侧面积和底面半径，再求圆锥的表面积，由此即可求出这个圆锥的表面积． 【详解】解：圆锥的侧面积＝π×42×120?360?＝163π圆锥的底面半径＝2π×4×120?360?÷2π＝43圆锥的底面积＝π×(43)2＝169π圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝1616=39649πππ+． 故选：D ．【点睛】本题考查圆锥的表面积，解题时要认真审题，掌握扇形面积、圆锥底面半径的计算方法是解题的关键． 7．【答案】9【分析】知道弧长，圆心角，直接代入弧长公式L=180n rπ即可求得扇形的半径． 【详解】解：⊙扇形的圆心角为120°，它所对应的弧长6π ⊙6π=120180rπ 解得：r=9． 故答案为9．【点睛】此题主要考查了扇形弧长的应用，要掌握弧长公式：L=180n rπ才能准确的解题． 8．【答案】216πcm【分析】圆锥的全面积是底面圆的面积与侧面扇形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，圆锥底面圆的半径2cm r =，母线长为6cm⊙底面圆的周长为2π2π24πcm r =⨯=，底面圆的面积为222ππ24πcm r ==，侧面扇形的面积为214π612πcm 2⨯= ⊙圆锥的全面积为24π12π16πcm +=故答案为：216πcm ．【点睛】本题主要考查立体几何图形的面积，掌握圆锥面积是底面圆面积与侧面扇形的面积之和是解题的关键． 9．【答案】76π【分析】点O 到点O ′所经过的路径长分三段，先以A 为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长，再平移了AB 弧的长，最后以B 为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：⊙扇形OAB 的圆心角为30°，半径为1 ⊙AB 弧长＝301180π⨯⨯＝6π⊙点O 到点O ′所经过的路径长＝90172=18066πππ⨯⨯⨯+ 故答案为：76π. 【点睛】本题考查了弧长公式，旋转的性质和圆的性质，理解点O 到点O ′所经过的路径长分三段是解题的关键．10．【答案】9332π 【分析】连接OC 、OD ，交AD 与点K ，根据AC CD =，30CAD ∠=︒得到1230∠=∠=︒ AOC ∆ COD ∆为等边三角形，证明出四边形ACDO 为菱形，，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接OC 、OD ，交AD 与点K ，如图所示：⊙AC CD = 30CAD ∠=︒ ⊙1230∠=∠=︒⊙32260∠=∠=︒ 42160∠=∠=︒ ⊙AO OC OD ==⊙AOC ∆，COD ∆为等边三角形 ⊙OA OD OC AC CD ==== ⊙四边形ACDO 为菱形⊙CO AD ⊥ ⊙360∠=︒ ⊙530∠=︒⊙AB 为圆O 直径为6 ⊙3AO = ⊙1322OK AO == ∴22333()322AK =-= 23CO KO ==∴233AD AK ==⊙19322ACDO S AD CO =⋅=菱形312033360AOD S ππ=⨯⨯=扇形 ⊙9332S π=阴 【点睛】本题考查了求扇形阴影部分的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 11．【答案】（1）150π平方厘米（2）r=10cm ；5cm 【分析】（1）根据扇形的面积公式S=2360n r π，代值计算即可（2）利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，再利用勾股定理求得高即可.【详解】解：（1）⊙S=2360n r π ⊙S=224015360π⨯=150πcm 2（2）⊙弧长=24015180π⨯=20π ⊙2πr=20π，r=10cm⊙圆锥的高221510-55cm ）【点睛】本题考查了扇形的面积公式以及圆锥有关计算，解本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.12．【答案】（1） 35A ∠=︒；（2） 弧AD 的长为116π. 【分析】（1）由切线性质结合已知得70BOD ∠=︒，根据⊙OAD 是等腰三角形即可计算出⊙A =35°.（2）由（1）可知⊙AOC =110°，根据弧长公式即可计算. 【详解】解：（1）BC 是⊙O 的切线90B ∴∠=︒.又⊙⊙C =20°.902070BOC ∴∠=︒-︒=︒⊙OA =OD ⊙⊙A =⊙ADO1 352A BOC ∴∠=∠=︒（2）180AOC BOC ∠=︒-∠18070110AOC ∴∠=︒-︒=︒∴弧AD 的长为110111806ππ=. 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，弧长的计算等知识点，能求出⊙BOC 的度数是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．。
2020年人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》随堂练习(含答案)
2020年人教版九年级数学上册 24.4《弧长和扇形面积》随堂练习第1课时 弧长和扇形面积基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( ) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为( )A ．6B ．9C ．18D ．36 3．一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于( )A.2π3B.π3C.23π3D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( ) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是( ) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于 cm ．9．一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为 度．10．如图，△ABC 是⊙O 内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分面积是 ．11．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．易错点 忽视题中条件12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 cm 2.中档题13．如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为( )A.π3B.π2 C ．Π D ．2π14．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2C ．(6π－923)米2D ．(6π－93)米15．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分面积是 cm 2.16．图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为 cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动． (1)请在图1中画出光点P 经过的路径； (2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．18．如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC ⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.(1)求证：OD平分∠AOB；(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．综合题19．“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时 圆锥的侧面积和全面积基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是( )A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱全面积是 cm 2(结果保留π)． 知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于( )A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥底面半径是( ) A.12 B ．1 C. 2 D.325．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( ) A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．36．如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是( )A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( ) A ．120° B ．180° C ．240° D ．300° 8．若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图圆心角为120°，则圆锥母线长是 cm. 9．如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是 cm.(结果保留π)10．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥侧面积为 ．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．易错点考虑不全面导致漏解12．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为．中档题13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶414．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是( )A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm215．如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )A．10 cm B．15 cmC．10 3 cm D．20 2 cm16．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 cm2.17．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 (结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BCAC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)参考答案基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)A ．6B ．9C ．18D ．36 3．(自贡中考)一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为(B)A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．(兰州中考)如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C) A ．π cm B ．2π cm C ．3π cm D ．5π cm5．(南宁中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于(A) A.2π3 B.π3 C.23π3 D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是(B) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．(怀化中考)已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于10π3__cm ． 9．(广西中考)一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为40度．10．(常德中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π． 11．(无锡中考)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C=90°，∠BDA=90°. ∵BC=6 cm ，AC=8 cm ， ∴AB=62＋82=10(cm)． ∵∠ABD=45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD=AD=22AB=5 2 cm. (2)连接DO ，∵△ABD 是等腰直角三角形，OB=OA ， ∴∠BOD=90°. ∵AB=10 cm ， ∴OB=OD=5 cm.∴S 阴影=S 扇形OBD －S △BOD =90π×52360－12×52=(25π4－252)cm 2.易错点 忽视题中条件12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2. 02 中档题13．(山西中考)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为(C)A.π3B.π2C ．ΠD ．2π14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2 C ．(6π－923)米2 D ．(6π－93)米15．(盘锦中考)如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C 为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是(23＋2－32π) cm 2.16．(山西中考)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为π cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动．(1)请在图1中画出光点P 经过的路径；(2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．解：(1)如图．(2)光点P 经过的路径总长为4×90π×3180=6π.18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA 为⊙O 的切线，A 为切点，B 为⊙O 上一点，∠AOB=120°，过点B 作BC ⊥PA 于点C ，BC 交⊙O 于点D ，连接AB ，AD.(1)求证：OD 平分∠AOB ；(2)若OA=2 cm ，求阴影部分的面积．解：(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA.∵BC ⊥PA ，∴∠OAP=∠BCA=90°.∴OA ∥BC.∴∠AOB ＋OBC=180°.∵∠AOB=120°，∴∠OBC=60°.∵OB=OD ，∴△OBD 是等边三角形．∴∠BOD=60°.∴∠AOD=∠BOD=60°.∴OD 平分∠AOB.(2)∵OA ∥BC ，∴点O 和点A 到BD 的距离相等．∴S △ABD =S △OBD .∴S 阴影=S 扇形OBD .∴S 阴影=60π×4360=23π(cm 2)．03 综合题19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时 圆锥的侧面积和全面积01 基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是(B)A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱的全面积是78πcm 2(结果保留π)．知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于(C)A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)A.12B ．1 C. 2 D.325．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)A ．1.5B ．2C ．2.5D ．36．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是(B)A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A) A ．120° B ．180°C ．240°D ．300°8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是9cm.9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是10πcm.(结果保留π)10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm ，弧长为12π cm 的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．解：侧面积为：12×12×12π=72π(cm 2)． 设底面半径为r ，则有2πr=12π，∴r=6 cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为122－62=63(cm)．易错点 考虑不全面导致漏解12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π．02 中档题13．(杭州中考)如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l 1，l 2，侧面积分别记作S 1，S 2，则(A)A ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶2B ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶2C ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶4D ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶414．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm ，圆柱体部分的高BC=6 cm ，圆锥体部分的高CD=3 cm ，则这个陀螺的表面积是(C)A ．68π cm 2B ．74π cm 2C ．84π cm 2D ．100π cm 215．(十堰中考)如图，从一张腰长为60 cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)A ．10 cmB ．15 cmC ．10 3 cmD ．20 2 cm16．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm 2.17．(苏州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是12．18．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为82π(结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O ，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC ，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC 铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA ，OB.由∠BAC=120°，可知AB=12米，点O 在扇形ABC 的BC ︵上． ∴扇形ABC 的面积为120360π×(12)2=π12(平方米)． ∴被剪掉阴影部分的面积为π×(12)2－π12=π6(平方米)． (2)由2πr=120180π×12，得r=16. 即圆锥底面圆的半径是16米． 03 综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BC AC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)=2，T(120°)=3，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)解：∵圆锥的底面直径PQ=14，∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.设扇形的圆心角为n°，则n×π×18180=14π，解得n=140.∵T(70°)≈0.87，∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.。
人教版 九年级数学 上册24.4 弧长和扇形面积 培优课时训练(含答案)
人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积培优课时训练一、选择题1. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB ＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．92. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是()A．2π B．4πC．12π D．24π3. 小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知该扇形的半径是5 cm，弧长是6π cm，那么这个圆锥的高是()A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm4. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()A．2 B. 3 C.32 D. 25. 用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是()A. 2 cm B ．3 2 cm C ．4 2 cm D ．4 cm6. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为()A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m7. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π8. 如图，在△AOC 中，OA ＝3 cm ，OC ＝1 cm ，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )A.π2 cm2 B ．2π cm2C.17π8 cm2D.19π8 cm29. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝2 2，则BC ︵的长为( )A ．π B.2π C ．2π D ．2 2π10. 如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E.B ，E 是半圆弧的三等分点，BE ︵的长为2π3，则图中阴影部分的面积为( )图A.π9 B.3π9C.3 32－3π2D.3 32－2π3二、填空题11.如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为________．12. 如图所示，⊙O的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，M ，N 是⊙O上的两个动点，且在直线l 的异侧．若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是_______．13. (2019•十堰)如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为__________．14. 已知一个圆心角为270°，半径为3 m的扇形工件未搬动前如图示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B为圆心，做如图示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长为________m．(结果用含π的式子表示)15. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2.若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)三、解答题16. 如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m，高为4 m，下方圆柱的高为3 m.(1)求该粮囤的容积；(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).17. 已知一个圆锥的轴截面△ABC(如图0)是等边三角形，它的表面积为75π cm2，求这个圆锥的底面圆的半径和母线长．18. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG . (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 培优课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C[解析] 根据扇形的面积公式，S ＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】A[解析] 设圆锥的底面圆的半径是r cm ，则2πr ＝6π，解得r ＝3，则圆锥的高是52－32＝4(cm)．4. 【答案】D[解析] ∵∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝45°，∠CBD ＝60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 的长为R ，则BD 的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R ，∴下面圆锥的侧面积为12·2R ·2R ＝ 2.故选D.5. 【答案】C[解析] 设纸帽底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝120×π×6180，解得r ＝2.设圆锥的高为h cm ，由勾股定理得h2＋r2＝62，所以h2＋22＝62，解得h ＝4 2.6. 【答案】B[解析] AB ︵的展直长度＝108π·10180＝6π(m)．故选B.7. 【答案】C[解析] 在边长为4的正方形ABCD 中，BD 是对角线，∴AD ＝AB＝4，∠BAD ＝90°，∠ABE ＝45°，∴S △ABD ＝12AD·AB ＝8，S 扇形BAE ＝45·π·42360＝2π，∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形BAE ＝8－2π. 故选C.8. 【答案】B[解析] 如图，AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S 阴影＝S △OCA ＋S 扇形OAB －S 扇形OCD －S △ODB.由旋转知△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA ＝S △ODB ，∴S 阴影＝S 扇形OAB －S 扇形OCD ＝90π×32360－90π×12360＝2π(cm2)．故选B.9. 【答案】A[解析] 在△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A ＝180°－∠B －∠C ＝45°.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝90°.设圆的半径为r ，由勾股定理，得r2＋r2＝(2 2)2，解得r ＝2，所以BC ︵的长为90π×2180＝π.10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】8【解析】∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AB ︵＝BC ︵＝EF ︵＝ED︵＝AF ︵＝CD ︵，∴BE ︵的长是圆周长的一半，则BE 是圆的直径，∴BE ＝2×4＝8.12. 【答案】42 [解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，交⊙O 于D ，E 两点，连接OA ，OB ，DA ，DB ，EA ，EB.∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝2∠AMB ＝90°， ∴△OAB 为等腰直角三角形， ∴AB ＝OA2＋OB2＝2 2.∵S 四边形MANB ＝S △MAB ＋S △NAB ，又当点M 到AB 的距离最大时，△MAB 的面积最大；当点N 到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，∴当点M 运动到点D ，点N 运动到点E 时，四边形MANB 的面积最大，此时S 四边形DAEB ＝S △DAB ＋S △EAB ＝12AB·CD ＋12AB·CE ＝12AB·(CD ＋CE)＝12AB·DE ＝12×2 2×4＝4 2.13. 【答案】【解析】由图可得， 图中阴影部分的面积为：，故答案为：．14. 【答案】6π[解析] 由题意易知∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠ABO ＝45°，圆心O 旋转的长度为2×45π×3180＝3π2(m)，圆心O 平移的距离为270π×3180＝9π2(m)，则圆心O 经过的路线长为3π2＋9π2＝6π(m)．15. 【答案】82π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2， ∴AB ＝2AC ＝4，∴CD ＝2. 以CD 为半径的圆的周长是4π.故Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×2 2＝8 2π.三、解答题16. 【答案】解：(1)容积V ＝π×62×3＋13×π×62×(4－3)＝108π＋12π＝120π(m3)． 答：该粮囤的容积为120π m3.(2)圆锥的母线长l ＝62＋12＝37(m)，所以圆锥的侧面积S ＝π×6×37＝637π(m2)．17. 【答案】解：∵轴截面△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝BC ＝2OC.由题意，得π·OC·AC＋π·OC2＝75π，∴3π·OC2＝75π，∴OC2＝25.∵OC>0，∴OC＝5 cm，∴AC＝2OC＝2×5＝10(cm)．即这个圆锥的底面圆的半径为5 cm，母线长为10 cm.18. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA，∴△BFA≌△BEC，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，CE＝FG，∴CE綊FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.(2)∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝12AB.∵△BFA≌△BEC，∴BF＝BE＝12AB＝1，∴AF＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC是平行四边形，FC为其对角线，∴点G到FC的距离等于点E到FC的距离，即BE的长，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.。
人教版九年级上册数学弧长和扇形面积同步训练(含答案)
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积同步训练一、单选题1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是（ ） A ．π B ．3π C ．4π D ．6π． 2．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两条竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30cm ，AD ＝10cm ，贴纸部分的面积为（ ）A ．8003πcm 2B ．5003πcm 2C ．800πcm 2D ．500πcm 2 3．如图，在ABC 中，,30,4AB AC C AC =∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π3 B ．2π3 C ．4π3 D ．2π 4．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．34π-C 13π D 12π 5．如图，O 是ABC 的外接圆，22.5,8ABO ACO BC ∠=∠=︒=，若扇形OBC （图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ）AB．C D6．一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（）A BC D7．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是（）A．2πB．4πC．6πD．16π8．如图，C是O劣弧AB上一点，2OA=，120ACB∠=︒．则劣弧AB的长度为（）A．13πB．23πC．43πD．83π二、填空题9．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形所在圆的周长为____________cm ．10．如图，AB OB ⊥，2AB =，4OB =，把ABO ∠绕点O 顺时针旋转60°得CDO ∠，则AB 扫过的面积（图中阴影部分）为________．11．如图，点P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，90APB ∠=︒，若⊙O 半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）12．如图，点A 、B 在半径为3的⊙O 上，劣弧AB 长为π2，则⊙AOB ＝____．13．如图，AB 是⊙O 的直径，BT 是⊙O 的切线，若⊙ATB ＝45°，AB ＝4cm ，则阴影部分的面积是 _________cm 214．如图，在⊙ABC 中，⊙ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4，以点C 为圆心，线段CA 长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为________（结果保留π）．15．如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，以AO 为直径作半圆．若2AO =，则阴影部分图形的周长为_______．16．如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以3cm 为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为____．三、解答题17．如图，点B C D 、、都在O 上，过点C 作AC //BD 交OB 延长线于点A ，连接CD CO 、，且30,CDB OBD BD ∠=∠=︒=．(1)求证：AC 是O 的切线．(2)求O 的半径长．(3)求由弦CD BD 、与弧BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，在Rt△ABC中，⊙C=90°，⊙B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC 上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若AC19．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB延长线上一点，⊙BCD＝⊙A，CA＝CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BD=2，求图中阴影部分面积.20．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：⊙ACO＝⊙BCP；(2)若⊙ABC＝2⊙BCP，求⊙P的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．参考答案：1．B2．A3．B4．A5．D6．B7．B8．C9．12π10．2 3π11．9 94π-12．30°13．414．4π-815．22π+16．29cmπ17．(2)⊙O的半径长为6cm (3)阴影部分的面积为6πcm218．6π19．(2)23 Sπ=阴影20．(2)30°(3)2π﹣答案第1页，共1页。
人教版九年级数学上册 第24章 24.4 弧长和扇形面积 教材同步培优、能力提升练习卷(含答案)
人教版九年级数学上册 第24章 24.4 弧长和扇形面积 教材同步培优、能力提升练习卷24.4.1 弧长和扇形面积教材同步学习目标：掌握弧长和扇形面积的计算公式，能计算由简单平面图形组合的图形的面积．课堂学习检测一、基础知识填空1．在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l =_______．2．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形=__________；若l 为扇形的弧长，则S 扇形=__________． 3．如图，在半径为R 的⊙O 中，弦AB 与所围成的图形叫做弓形．当为劣弧时，S 弓形=S 扇形－______； 当为优弧时，S 弓形=______＋S △OAB ．3题图4．半径为8cm 的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm 的圆心角约为______(精确到1′)．5．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为2cm 3π25，则它的圆心角为______．若扇形面积为15cm 2，则它的圆心角为______．6．若半径为6cm 的圆中，扇形面积为9cm 2，则它的弧长为______．二、选择题7．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )．7题图A ．π425B ．π825 C ．π1625D ．π32258．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．8题图A ．2πcm 100B ．2πcm 3400C ．2πcm 800D ．2πcm 38009．如图，△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则圆中阴影部分的面积是( )．A ．9π4-B ．9π84-C ．94π8-D ．98π8-综合、运用、诊断1长为半径作10．已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，a2，，，求阴影部分的面积．11．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，,3BC以A点为圆心，AC长为半径作，4求∠B与围成的阴影部分的面积．拓广、探究、思考12．已知：如图，以线段AB为直径作半圆O1，以线段AO1为直径作半圆O2，半径O1C交半圆O2于D点．试比较与的长．13．已知：如图，扇形OAB 和扇形OA ′B ′的圆心角相同，设AA ′＝BB ′＝d ．＝l 1，＝l 2．求证：图中阴影部分的面积.)(2121d l l S +=24.2圆锥的侧面积和全面积教材同步学习目标：掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式．课堂学习检测一、基础知识填空1．以直角三角形的一条______所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做______．连结圆锥______和____________的线段叫做圆锥的母线，圆锥的顶点和底面圆心的距离是圆锥的______．2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是一个______．若设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为______，扇形的弧长为______，因此圆锥的侧面积为______，圆锥的全面积为______．3．Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，BC ＝3cm ，以直线BC 为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是______，这个圆锥的侧面积是______，圆锥的侧面展开图的圆心角是______．4．若把一个半径为12cm ，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是______，半径是______，圆锥的高是______，侧面积是______．二、选择题5．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面积为( )．A．2cm 2B．3cm2C．6cm2D．12cm26．若圆锥的底面积为16cm 2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )．A．240°B．120°C．180°D．90°7．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为( )．A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为( )．A．120°B．1 80°C．240°D. 300°综合、运用、诊断一、选择题9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R与r之间的关系是( )．A．R=2r B．rR3C．R=3r D．R=4r10．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为( )．A ．21 B ．22C ．2D ．22二、解答题11．如图，矩形ABCD 中，AB =18cm ，AD =12cm ，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF ．若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S ．拓广、探究、思考12．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长．参考答案：24.4.1 弧长和扇形面积1．;180πRn 2．由组成圆心角的两条半径，圆心角所对的弧，.21,360π2lR R n 3．S △OAB ，S 扇形． 4．.9157,π516o ' 5．120°，216°． 6．3πcm ． 7．A ． 8．D ． 9．B ． 10．.)8π43(2a - 11．.π3838- 12．的长等于的长．提示：连结O 2D ．13．提示：设A O '＝R ，∠AOB ＝n °，由,180π,180)(π21Rn l d R n l =+=可得R (l 1－l 2)＝l 2d ．而.)(21212121)(2121)(21211212121d l l d l d l d l l l R R l d R l S +=+=+-=-+=24.2圆锥的侧面积和全面积1．直角边，圆锥，顶点，底面圆周上任意一点，高． 2．扇形，l ，2πr ，πrl ，πrl ＋πr 2． 3．8πcm ，20πcm 2，288°． 4．8πcm ，4cm ，,cm 2848πc m 2． 5．C ． 6．B ． 7．D ． 8．B ． 9．D ． 10．B ． 11．16πcm 2．12．.cm 53 提示：先求得圆锥的侧面展开图的圆心角等于180°，所以在侧面展开图上，.5363,902222o =+=+==∠AB PA PB PAB第8 页共8 页。
人教版九年级数学上册《24.4弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)
人教版九年级数学上册《24.4弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A．B．2πC．3πD．12π2．如图，四边形内接于，的半径为2，则的长是（）A．B．C．D．3．如图，在中，弦，点C是上一点，且，则劣弧的长为（）A．B．C．D．4．如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：55．如图，点是以为半径的半圆的三等分点，AC=3，则图中阴影部分的面积是（）．A．B．C．D．6．如图，四边形是菱形，AB=4，扇形的半径为4，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．7．如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径，作，分别交于点E、F．若，AB=6，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．8．如图，⊙O内切于正方形，点O为圆心，作，其两边分别交于点交⊙O于点若，则弧的长为（）A．3πB．2.25πC．2πD．1.5π二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．在半径为3的圆中，圆心角所对的弧长是．10．已知扇形的半径为12，弧长为，则该扇形的面积是．11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是（结果保留π）．12．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于.13．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A＝30°，OC＝2，则图中的阴影部分的面积是．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,D为弧AC的中点,E是BA延长线上一点，∠DAE=105°. （1）求∠CAD的度数；（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长.15．如图，是的直径，点为圆上一点，平分，与相交于点，AD=AE．（1）求证：是的切线；（2）若，AB=8，求的长．16．如图，是的外接圆，是的直径，E为的延长线与的交点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．17．如图，为的外接圆，为的直径，点为的中点，连接．（1）求证：；（2）设交于，若，DE=2求阴影部分面积．18．如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，CE．（1）求证：四边形是菱形；（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．参考答案：1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．10．11．12．13．2﹣π14．（1）解：∵AB=AC∴∴∠ABC=∠ACB∵D为的中点∴∴∠CAD=∠ACD∴∴∠ACB=2∠ACD又∵∠DAE=105°∴∠BCD=105°∴∠ACD= ×105°=35°∴∠CAD=35°；（2）解：∵∠DAE=105°,∠CAD=35°∴∠BAC=40°连接OB，OC∴∠BOC=80°∴弧BC的长= = π. 15．（1）证明：平分又为的直径是的切线；（2）解：如图，连接的长为．16．（1）证明：连接并延长交于点∵是的外接圆∴点是三边中垂线的交点∵∴∵∴∵是的半径∴是的切线；（2）解：连接∵∴∴∴∵∴为等边三角形∴∴∴的长为．17．（1）证明：是的直径点是的中点；（2）解：设解得：阴影部分的面积．18．（1）证明：连接和底边相切于点和都是等边三角形四边形是菱形；（2）解：连接交于点四边形是菱形在中图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积图中阴影部分的面积为。
人教版九年级上册数学 弧长和扇形的面积 同步训练(含答案)
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形的面积同步训练一、单选题1．如图,AB 切⊙O 于点B ,连接OA 交⊙O 于点C ,连接OB ．若30A ∠︒＝,OA ＝4,则劣弧BC 的长是（ ）A ．13πB ．23π C ．π D ．43π 2．已知扇形的半径为6,圆心角为120︒,则它的弧长是（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π3．如图,要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计）,若该圆锥的底面圆周长为20πcm,侧面积为240πcm 2,则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160° 4．如图,将ABC 绕点C 旋转60得到A B C '',已知6AC =,4BC =,则线段AB 扫过的图形面积为（ ）A ．32πB ．83πC ．6πD ．103π 5．如图,圆锥的高AO 为4,母线AB 长为5,则该圆锥展开图的弧长等于（ ）A ．9πB ．15πC ．6πD ．12π 6．如图,矩形ABCD 中,4BC =,2CD =,以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ,连接BD ,则阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．2π-C ．2π+D ．4π+ 7．如图,在⊙ABC 中,AB ＝AC ＝10,BC ＝12,分别以点A ,B ,C 为圆心,12AB 的长为半径画弧,与该三角形的边相交,则图中阴影部分的面积为（ ）A ．96﹣252πB ．96﹣25πC ．48﹣254πD ．48﹣252π 8．一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚（如图）,那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A ．32πB ．42πC ．4D ．322π+二、填空题9．一圆锥的底面半径为2,母线长3,则这个圆锥的表面积为_________．10．若圆锥侧面展开图是面积为265cm π的扇形,扇形的弧长为10cm π,则圆锥的高为______．11．如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,一条弧经过格点（网格线的交点）A ,B ,D ,点C 为弧BD 上一点．若30CAD ∠=︒,则弧CD 的长为__________．12．如图,在Rt⊙ABC 中,⊙ACB ＝90°,AC ＝BC ＝2,以BC 为直径作半圆,交AB 于点D ,则阴影部分的面积是 _________13．若圆锥的母线为6,底面圆的半径为3,则此圆锥的侧面积为________．14．若一个圆锥的母线长为5cm ,它的半径为3cm ,则这个圆锥的全面积为________2cm ． 15．用一个圆心角为120︒,半径为2的扇形做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的侧面积为______．16．若圆锥的侧面积为 9π,底面半径为 3,则该圆锥的母线长是_____．三、解答题17．将图中的破轮子复原,已知弧上三点A ,B ,C ．(1)画出该轮的圆心；(2)若ABC 是等腰三角形,底边BC =腰AB ＝10cm,求弧BC 的长．18．如图,BE 是⊙O 的直径,点A 和点D 是⊙O 上的两点,过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．(1)若⊙ADE ＝25°,求⊙C 的度数；(2)若AC ＝CE ＝4,求阴影部分的面积．19．如图,AB 是⊙O 的直径,点D 是弦BC 延长线上一点,且BC CD =．(1)证明：AB AD =；(2)若8BD =,OD =求弓形BMC （阴影区域）的面积．20．如图,AB 是圆O 的直径,弦CD 交AB 于点E ,60ACD ∠=︒,50ADC ∠=︒.（1）求CEB ∠的度数；（2）若AD =求扇形AOC 的面积.参考答案：1．B2．B3．C4．D5．C6．A7．D8．B9．10π10．12cm1112．3π24 -13．18π14．24π15．4 3π16．317．(2)203πcm18．(1)⊙C=40°；(2)阴影部分的面积为83π．19．(2)24π-20．（1）100°；（2）109π.答案第1页,共1页。
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形面积》同步检测题含参考答案
图9 五、探究拓展与应用(共 17 分) 21.(9 分)已知：如图 10，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于 A，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于 C， 若 PA=2 cm，PC=1 cm，怎样求出图中阴影部分的面积 S？写出你的探求过程.
图 10
22.(8 分)如图 11，一个直角三角形纸板，其两条直角边长分别为 6 cm 和 8 cm，小明以纸 板的斜边为旋转轴旋转这个三角形纸板形成如图 11 所示的旋转体.请你帮小明推算出这个旋转 体的全面积.(π取 3.14)
D.
16 π 3
图5 ( )
16.若圆锥的侧面展开图是半径为 a 的半圆，则圆锥的高为 A.a B.
3 a 3
C. 3 a
D.
3 a 2
三、考查你的基本功(共 18 分) 17.(9 分)如图 6，∠AOB=120°， 的长为 2π，⊙O1 和 、OA、OB 相切于点 C、D、E，求 ⊙
O1 的周长.
A B C
图 11
参考答案 一、1.120 二、9.B 2.16π 10.C 11.A 3.180° 12.D
3 4. l 4
5.10π 14.B
6. 2 cm 16.D
7.100.5
8.
9 π 2
13.D
15.D
三、17.解：连接 OC、O1E、O1D, 则 O1 在 OC 上, 即 O1E=r. ∵∠AOB=120°, ∴∠COB=60°,OE=
弧长和扇形面积
一、请准确填空(每小题 3 分，共 24 分) 1.一个扇形的半径等于一个圆的半径的 3 倍， 且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_____ 度. 2.要修一段如图 1 所示的圆弧形弯道，它的半径是 48 m，圆弧所对的圆心角是 60°，那么 这段弯道长_____m(保留π).
人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 培优训练(含答案)
人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 培优训练一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1.把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l 1，l 2，侧面积分别记作S 1，S 2，则( )A. l 1∶l 2＝1∶2，S 1∶S 2＝1∶2B. l 1∶l 2＝1∶4，S 1∶S 2＝1∶2C. l 1∶l 2＝1∶2，S 1∶S 2＝1∶4D. l 1∶l 2＝1∶4，S 1∶S 2＝1∶42. （2020·常德）一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．3. 如图，⊙O 的半径是1，A 、B 、C是圆周上的三点，∠BAC ＝36°，则劣弧BC︵的长是( ) A. π5 B. 25π C. 35π D. 45π4. （2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.1π-B.12π-C.12π-D.122π-5. （2020·云南）如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（ ）A ．B ．1C ．D ．6. （2020·咸宁）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A.22π-B. 2π-C.22π-D. 2π-7. 如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是( )A . 183－9πB . 18－3πC . 93－9π2 D . 183－3π8. （2020·乐山）在△ABC中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π－32 C ．π－34 D ．32π9. （2020·淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．D ． 210. 如图，在▱ABCD中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为( ) A .π3 B .π2 C ．π D ．2π二、填空题 11. （2020·哈尔滨）一个扇形的面积是13π2cm ，半径是6cm ，则此扇形的圆心角是 度. 12. （2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．13. （2020•呼和浩特）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一弧，交AC 于点E ，若∠A ＝60°，∠ABC ＝100°，BC ＝4，则扇形BDE 的面积为 ．14. (2020自贡)如图，矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，在DF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作半圆与CD 相切于点G ．若AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ．15. （2020·江苏徐州）在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45˚，则△ABC面积的最大值为.三、解答题16. （2020·湖北荆州）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C 的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.（1）求证：BC∥AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB 上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．18. （2020·内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若243，EF的长；==DF BC（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．19. (2019•辽阳)如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，连接AE ，AD ，DE ，过点A 作射线交BE 的延长线于点C ，使EAC EDA ∠=∠．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若23CE AE ==，求阴影部分的面积．20. (2019•襄阳)如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和ABC △的外接圆圆O相交于点D ，过D 作直线DG BC ∥． (1)求证：DG 是圆O 的切线；(2)若6DE =，63BC =，求优弧BAC 的长．人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 培优训练-答案一、选择题1. 【答案】A 【解析】∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，∴勾股定理得，AC ＝5.①当△ABC 绕AB 旋转时，则底面周长l 1＝2π×BC ＝2π，侧面积为S 1＝π×BC×AC ＝5π；②当△ABC 绕BC 旋转时，则底面周长l 2＝2π×AB ＝4π，侧面积为S 2＝π×AB×AC ＝25π，∴l 1∶l 2 ＝2π∶4π＝1∶2，S 1∶S 2＝5π∶25π＝1∶2.2. 【答案】C【解析】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，这个圆锥的母线长是221020105+=，这个圆锥的侧面积是12101051005.2ππ⨯⨯⨯=因此本题选C ．3. 【答案】B 【解析】连接OB 、OC.⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫∠BOC 是BC ⌒所对的圆心角 ∠A 是BC ⌒所对的圆周角∠A ＝36°⇒∠BOC ＝2∠A ＝72° ⊙O 的半径是1⇒劣弧BC ⌒的长＝72π×1180＝25π.4. 【答案】B【解析】本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB -S 正方形CEOD =290(2)360π⨯-12=2π-1，因此本题选B ．5. 【答案】 D ． 【解析】设圆椎的底面圆的半径为r ，根据题意可知：AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝45°，∴2πr ＝，解得r ＝．所以该圆椎的底面圆的半径是．6. 【答案】D【解析】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB-S △OAB=29021223602π⋅⋅-⨯⨯=2π-，因此本题选D ．7. 【答案】A 【解析】∵∠DAB ＝60°，DF ⊥AB ，AD ＝6，∴DF ＝AD ·sin60°＝33，∠ADC ＝120°，∴S 阴影＝S 菱形ABCD －S 扇形EDG ＝6×33－120π×（33）2360＝183－9π.8. 【答案】B【解析】先求出AC 、AB ，再根据S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′求解即可．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2，∴AB ＝AC 2－BC 2＝3；由旋转得，∴AB ＝A ′B ′＝3，BC ＝B ′C ′＝1，∠CAC ′＝90°，∴∠CAB ′＝60°，∴S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′＝90⋅π⋅22360－12×3×1－90⋅π⋅(3)2360＝π－32．9. 【答案】如图，点O 的运动路径的长的长+O 1O 2的长，故选：C ．10. 【答案】C【解析】如解图，连接OE 、OF ，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝12，∴AO ＝OB ＝6，∵⊙O 与DC 相切于点E ，∴∠OEC ＝90°，∵在▱ABCD 中，∠C ＝60°，AB ∥DC ，∴∠A ＝∠C ＝60°，∠AOE ＝∠OEC ＝90°，∵在△AOF 中，∠A ＝60°，AO ＝FO ，∴△AOF 是等边三角形，即∠AOF ＝∠A ＝60°，∴∠EOF＝∠AOE －∠AOF ＝90°－60°＝30°，弧EF 的长＝30π×6180＝π.解图二、填空题 11. 【答案】130【解析】本题考查了扇形面积公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键，根据S ＝360r 2πn ＝36062⋅πn ＝13π，解得：n ＝130°，因此本题答案为130．12. 【答案】34π【解析】本题考查了弧长公式180n r l π=.∵n ＝45°，r ＝3，∴45331801804n r l πππ⨯⨯===，因此本题答案为34π．13. 【答案】∵∠A ＝60°，∠B ＝100°，∴∠C ＝20°，又∵D 为BC 的中点，∵BD ＝DC ＝BC ＝2，DE ＝DB ， ∴DE ＝DC ＝2， ∴∠DEC ＝∠C ＝20°， ∴∠BDE ＝40°，∴扇形BDE 的面积＝，故答案为：．14. 【答案】故答案为：．【解析】本题考查了矩形、相似三角形、圆、等边三角形等知识，构造△DOG ∽△DFC ，根据比例关系求出⊙O 的半径，将阴影面积分割、补全构造成所求阴影面积．解：连接OG ，∵将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，∴AD ＝DF ＝4，BF ＝CF ＝2，∵矩形ABCD 中，∠DCF ＝90°，∴∠FDC ＝30°，∴∠DFC ＝60°，∵⊙O 与CD 相切于点G ，∴OG ⊥CD ，∵BC ⊥CD ，∴OG ∥BC ，∴△DOG ∽△DFC ，∴，设OG ＝OF ＝x ，则，解得：x，即⊙O 的半径是．连接OQ ，作OH⊥FQ ，∵∠DFC ＝60°，OF ＝OQ ，∴△OFQ 为等边△；同理△OGQ 为等边△；∴∠GOQ ＝∠FOQ ＝60°，OHOQ，S 扇形OGQ ＝S 扇形OQF ，∴S 阴影＝（S 矩形OGCH ﹣S 扇形OGQ ﹣S △OQH ）+（S 扇形OQF ﹣S △OFQ ）＝S 矩形OGCHS △OFQ（）．因此本题答案为：．15. 【答案】992+【解析】本题属于定弦定角问题，需要通过辅助圆解决问题.以AB 为边斜边向上作等腰直角三角形OAB ，∵AB=6，∴OA=32O 为圆，OA 为半径画圆，由于∠C=45˚=12∠AOB ，所以点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，∴OD=12AB=3，当点C 在DO 的延长线上时，△ABC 的面积最大，等于：116(332)99222AB CD ⨯=⨯⨯+=+ODAB三、解答题16. 【答案】（1）证明：依题意，得：△ABC ≌△DBE ，且∠ABD=∠CBE=60°，∴AB=BD ，∴△ABD 是等边三角形， ∴∠DAB=60°，∴∠CBE=∠DAB ， ∴BC ∥AD ；（2）依题意，得：AB=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，∴A ，C 两点旋转所经过的路径长之和为：35180160180460πππ=⨯+⨯. 【解析】（1）由图形旋转的性质可得△ABC 与△DBE 全等，旋转角∠ABD=∠CBE 都为60°，且AB=BD ，根据“有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形”推出△ABD 是等边三角形，所以∠DAB=60°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证得BC ∥AD ；（2）由题意可知A ，C 两点旋转所经过的路径长为弧AD ，弧CE ，其半径长分别为4，1，且圆心角都为60°，据此利用弧长公式可求得A ，C 两点旋转所经过的路径长之和.17. 【答案】(1)解：BC 与⊙O 相切．理由如下：解图如解图，连接OD ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠OAD. 又∵∠OAD ＝∠ODA ， ∴∠CAD ＝∠ODA. ∴OD ∥AC ，(2分) ∴∠BDO ＝∠C ＝90°， 又∵OD 是⊙O 的半径， ∴BC 与⊙O 相切．(4分)(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OB ＝r ＋2， 由(1)知∠BDO ＝90°，∴在Rt △BOD 中，OD 2＋BD 2＝OB 2，即r 2＋(23)2＝(r ＋2)2. 解得r ＝2.(5分)∵tan ∠BOD ＝BD OD ＝232＝3， ∴∠BOD ＝60°.(7分)∴S 阴影＝S △OBD －S 扇形ODF ＝12·OD·BD －60πr 2360＝23－23π.(8分)18. 【答案】（1）证明：连接OC ，如图，∵OD ⊥BC ，∴CD=BD ，∴OE 为BC 的垂直平分线，∴EB=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB ，即∠OBE=∠OCE ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD 中，BD=12BC=23 ∵OD2+BD2=OB2，∴222(2)(23)R R -+=，解得R=4，∴OD=2，OB=4， ∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt △OBE 中，∠BEO=30º，OE=2OB=8， ∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD ⊥BC 知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC=43，OE=8，∴=S OBEC S S -阴影四边形扇形OBC =2112048432360π⨯⨯- 161633π=-,【解析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．（1）连接OC ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得到CD=BD ，则OE 为BC 的垂直平分线，所以EB=EC ，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB ，加上∠OBC=∠OCB ，则∠OBE=∠OCE ；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE 与⊙O 相切；（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD ，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE ，利用EF=OE-OF 即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用=S OBEC S S -阴影四边形扇形OBC 代入数值即可求解．19. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π33-．20. 【答案】(1)连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，∴BD CD =，∴ODBC ，BH CH =，∵DG BC ∥，∴OD DG ⊥，∴DG 是圆O 的切线．(2)连接BD 、OB ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴ABE CBE ∠=∠，∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴6DB DE ==， ∵1332BH BC == 在Rt BDH △中，333sin BH BDH BD ∠=== ∴60BDH ∠=︒，而OB OD =，∴OBD △为等边三角形， ∴60BOD ∠=︒，6OB BD ==，∴120BOC ∠=︒，∴优弧BAC 的长=(360120)π68π180-⋅⋅=．。
2020年秋人教版九年级数学上册《弧长与扇形面积》同步培优(含答案)
人教版九年级数学上册《弧长与扇形面积》同步培优一、选择题1.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是( )A．π﹣1 B．4﹣π C． D．23.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（）A.EF∥CDB.△COB是等边三角形C.CG=DGD.的长为π4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE.则图中阴影部分的面积是（）A.6﹣πB.6﹣πC.12﹣πD.12﹣π5.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则的长度为（）A.πB.2πC.2πD.4π6.如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为（）A.π﹣4B.C.π﹣2D.7.如图,在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB 上，点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,则阴影部分面积为（）A.2π-4B.4π-8C.2π-8D.4π-48.如图,从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B,C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是（）A.12cmB.6cmC.3cmD.2cm9.如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A.5πB.6πC.20πD.24π10.如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A.πB.πC.2πD.3π11.如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（）A.4﹣B.4﹣C.2﹣D.2﹣12.如图,正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )A.16B.C.D.二、填空题13.扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为14.一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥高为 cm．15.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为．16.如图，在半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 .17.如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为．18.如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，则阴影部分的扇形OAC面积是.三、解答题19.如图，AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6,∠D=30°，求图中阴影部分的面积．20.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．21.如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．22.如图,AB为⊙O的直径,BC、AD是⊙O的切线,过O点作EC⊥OD，EC交BC于C,交直线AD于E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．23.如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于B，D两点,点E在CD的延长线上,且CE=AE+BC.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠C=60°，AB=10，求弧BD的长；(3)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M.求证:DM=MP.24.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O 的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．25.如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．参考答案1.D2.答案为：D.3.D4.B.5.B.6.C7.A8.C9.A.10.C.11.D ．12.C13.答案为：50π/9；14.答案为：4．15.答案为：．16.答案为：12-π；17.答案为:．18.答案为： .19.解：（1）连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠BAE ，∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ，∴OC ∥AE ，∴∠OCD=∠E ，∵AE ⊥DE ，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD===4，∴S△OCD===8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣，∴阴影部分的面积为8﹣．20.解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．21.解：(1)证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴，∴∠BOC=∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；(2)解：连接OD，OC，∵，∴∠COD=×180°=60°，∵CD∥AB，∴S△ACD=S△COD，∴图中阴影部分的面积=S扇形COD=．22.【解答】（1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，∵BC、AD是⊙O的切线，∴∠CBO=∠OAE=90°，在△BOC和△AOE中，，∴△BOC≌△AOE（ASA），∴OC=OE，又∵EC⊥OD，∴DE=DC，∴∠ODC=∠ODE，∴OH=OA，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，∴∠E=∠DOA，又∵∠OAE=∠ODA=90°，∴△AOE∽△ADO，∴=，∴OA2=EA•AD=1×3=3，∵OA＞0，∴OA=，∴tanE==，∴∠DOA=∠E=60°，∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，∴∠DOH=∠DOA=60°，∴S阴影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π．23.略24.【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴的长===π．25.解:（1）PN与⊙O相切．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°．即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∵∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切．（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∴∠PON=60°，∠AON=30°．作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×=．S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON =OC•OA+CO•NE=×1×1+π﹣×1×=+π﹣．11 / 11。
人教版九年级上册数学同步练习《弧长和扇形面积》(习题+答案)
24.4 弧长和扇形面积内容提要1.在半径为r 的圆中，n ︒的圆心角所对的弧长为l ，扇形面积为S ，则有（1）2360180n n rl r ππ=⋅=； （2）2213603602n n r S r lr ππ=⋅==.2.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长.3.圆锥的全面积是侧面扇形面积与底面圆的面积之和. 24.4.1 弧长和扇形面积基础训练1．在半径为9cm 的圆中，60︒的圆心角所对的弧长为cm. 2.若一个扇形的弧长为43π，半径为6，则此扇形的面积为.3.已知扇形的圆心角为150︒，它所对的弧长为20πcm ，则扇形的半径为cm ，扇形的面积是2cm .4.已知扇形的弧长是2πcm ，半径为12cm ，则这个扇形的圆心角（ ） A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．20︒5．如图，一块边长为10cm 的正方形木板ABCD 在水平桌面上绕点D 按顺时针方向旋转到'''A B C D 的位置时，顶点B 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A ．20cmB ．202cmC ．10πcmD ．52πcm6．如图所示，扇形AOB 的圆心角为120︒，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．433πB ．4233π-C ．433π D ．43π7．如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，求树叶图案的周长与面积.8.如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，BC=cm.∠=︒，弦6OC，30ADB（1）求BC的长度；（2）求图中阴影部分的面积.24.4.2圆锥的侧面积和全面积基础训练1.已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为，全面积是.2.已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是2π，则这个圆锥的底面半径是60cmcm.3.小明要用圆心角为120︒，半径是27cm的扇形纸片卷成一个圆锥形纸帽，做成后这个纸帽的底面直径为cm（不计接缝部分，材料不剩余）.4.若一个圆锥的底面积为4πcm ，高为42cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A ．40︒B ．80︒C ．120︒D ．150︒5．如果一个圆锥的主观图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为（ ） A ．120︒B ．156︒C ．180︒D ．208︒6．在ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =，现在以AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的表面积为（ ） A ．130πB ．90πC ．25πD ．65π7．如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数.8.如图，从直径为4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90︒的扇形OAB ，且点O ，A ，B 在圆周上，把它围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径.能力提高1．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1，由凸轮的周长等于.2.如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积（ ） A ．21712m π B ．2176m π C ．2254m π D ．27712m π3．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm.母线()OE OF 长为10cm ，在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且2FA =cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点，则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.4.如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60︒的扇形ABC .那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r =.5.如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，2AB =，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．233π B ．233πC ．3πD ．3π6．若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l 与底面半径r 的关系是（ ） A ．2l r =B ．3l r =C ．l r =D ．32l r =7．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点1A的位置时，（1）画出点A经过的路线；（2）求出点A经过的路线长为多少？8.如图，P，C是以AB为直径的半圆O上的两点，10AB=，CP的长为52π，连接PB交AC于点M，线段MC与弦BC的长度相等吗？为什么？9.如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，4AC=，2BC=，分别以AC，BC为直径画半圆，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.10.如图，已知O 的半径为4，CD 是O 的直径，AC 为O 的弦，B 为CD 的延长线上的一点，30ABC ∠=︒，且AB AC =. （1）求证：AB 为O 的切线； （2）求弦AC 的长； （3）求图中阴影部分的面积.内容提要1.如图，正三角形ABC 的边长为1cm ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转120︒至1AP ，形成扇形1D ；将线段1BP 绕点B 顺时针旋转120︒至2BP ，形成扇形2D ；将线段2CP 绕点C 顺时针旋转120︒至3CP ，形成扇形3D ；将线段3AP 绕点A 顺时针旋转120︒至4AP ，形成扇形1D ……设n l 为扇形n D 的弧长()1,2,3,n =，回答下列问题： （1）按照要求填表：n1 2 3 4 n l（2n n D （设地球赤道半径为6400km ）？2.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，他们首先设计了如图所示的方案二.（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切.）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若要行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由.数学应用应用1当四边形ABCD的四个内角满足时，则过A，B，C，D四点能作一个圆.应用2如图，点M，N，C在O上，点A在O外，点B在O内，则A∠∠，B∠，MCN 三个角的大小关系是.应用3已知四边形ABCD，过顶点A，B，C三点作O.①若180∠+∠=︒，则点D在O.B D②若180∠+∠>︒，则点D在O.B D③若180B D∠+∠<︒，则点D在O.整理归纳1.在学习本章内容时，注意结合课本知识和生活周围的一些实例，以加深相关概念的认识，如：圆、圆周角、三角形的内心和外心、圆锥侧面展开图等.2.圆的轴对称性和旋转对称性是理解圆中各类性质与定理的基础，要学会用对称性来分析和解决问题.3.在解决与本章内容有关的问题时，转化思想有着广泛的应用.如：可以将判定点和圆、直线和圆的位置关系等转化为实数大小的比较问题；利用圆心角、弦、弧的关系将角、线段、弧线之间的等量关系进行转化；将不规则图形的计算转化成规则图形的计算等.4.学习中注意前后知识之间的联系，及与其他章节知识的联系，形成综合运用知识的能力.如：利用圆周角和圆心角的关系，寻找（或构造）直角三角形，利用直角三角形的相关知识解决问题；根据圆锥的侧面展开图是扇形的特点，利用扇形的相关计算公式解决问题.5.注意分类讨论，避免答案不全.如：探索圆周角和圆心角的关系时分三种情况；两圆相切时，有内切和外切两种情形等.数学实践圆在凸多边形上无滑动滚动时圆心运动轨迹的研究广州一中实验学校初三实验2班梁家瑜指导老师罗小颖在一次测验中，有下面一道题：半径为R的圆在边长为a的正三角形的边上无滑动滚动一周，求圆心所经过的路程长为多少？当时，我忽略了圆在三角形的角上运动时圆心运动轨迹的特点，所以没有做对，该题答案是圆心运动所经过的路程的长等于等边三角形的周长与圆的周长的和.于是我猜想，圆在一般的三角形中无滑动滚动有没有特殊规律呢？为此我对圆在三角形上无滑动滚动时圆心的运动轨迹作了探讨.1.圆在三角形的边上无滑动滚动时，圆心轨迹如图1.圆心所经过的路程的长为IH ID DE EF FG GH +++++，其中四边形IACH ，DEBA ，FBCG 为矩形，所以IH CA =，DE AB =，GF BC =，3609090180IAD CAB CAB ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180HCG ACB ACB ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠，3609090180FBE ABC ABC ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠.设圆的半径为R ，根据弧长定理得1802360BAC ID R π︒-∠=⋅︒，1802360ABC EF R π︒-∠=⋅︒，1802360ACBHG R π︒-∠=⋅︒.所以()2180180180360RID EF HG BAC ACB ABC π++=⋅︒-∠+︒-∠+︒-∠︒. 因为180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 所以()21801801801802360RID EF HG R ππ++=⋅︒+︒+︒-︒=︒. 由此可以发现，三段弧的长度之和恰好等于圆的周长.所以圆在三角形ABC 边上无滑动滚动时，圆心的运动轨迹的长度为AB AC BC C +++圆.因为AB BC CA C ++=三角形，设圆心轨迹长度为S ，则有S C C =+圆 三角形. 因此圆在一般三角形上的无滑动滚动时，圆心所经过的路程的长也符合圆在等边三角形边上无滑动滚动的规律，既然如此，那么圆在一般四边形中无滑动滚动又有什么规律呢？2.圆在四边形的边上无滑动滚动时，圆心轨迹如图2.圆心所经过的路程的长为EF FG GH HI IJ JK KL LE +++++++.3609090180KDJ CDA CDA ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180LAE DAB DAB ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180FBG ABC ABC ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180ICH BCD BCD ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠.设圆的半径为R ，根据弧长定理得1802360ABC FG R π︒-∠=⋅︒，1802360BCDHI R π︒-∠=⋅︒，1802360CDA JK R π︒-∠=⋅︒，1802360DABLE R π︒-∠=⋅︒，所以FG HI JK LE +++()2180180180180360RABC BCD CDA DAB π=⋅︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠︒. 而360ABC BCD CDA DAB ∠+∠+∠+∠=︒， 所以()27203602360RFG HI JK LE R ππ+++=⋅︒-︒=︒. 由此可发现，四段弧的长度之和恰好也等于圆的周长，而AB BC CD DA +++为四边形ABCD 的周长.设圆心运动的距离为S ，则有S C C =+圆 四边形. 3.圆在凸多边形上无滑动滚动的研究既然三角形、四边形圆心运动路程分别为S C C =+圆三角形，S C C =+圆四边形，那么n 边形有什么规律呢？观察前面，不难发现，圆心作直线运动时圆心所走的线段与多边形的边长是平行且相等的，是矩形的对边，由此我们可以得到圆心轨迹中的直的线段之和等于多边形的周长，而圆心所走的总长为线段总长的弧长总长之和.设现有一个n 边形，且这个n 边形的内角为1∠，2∠，…，n ∠.那么n 段弧分别为18012360R π︒-∠⋅︒，18022360R π︒-∠⋅︒，…，1802360n R π︒-∠⋅︒. 设圆弧总长为L ，相加得()218018018012360R L n π=⋅︒+︒++︒-∠-∠--∠︒因为n 边形内角和为()()18023n n ︒⋅-≥， 所以代入得()21801802360R L n n π=⋅︒⋅-︒⋅-⎡⎤⎣⎦︒ ()21802360R n n π=⋅︒⋅-+⎡⎤⎣⎦︒ ()218022360R R ππ=⋅︒⋅=︒. 因此弧长之和为2R π，即圆的周长.设圆心运动距离为S ，则有S =弧长之和+多边形周长，即S C C =+圆多边形.因此，当圆在凸多边形边上无滑动滚动时，圆心运动所经过的路程的长度等于圆的周长与凸多边形的周长之和.学业评价24.4 参考答案：24.4.1 弧长和扇形面积基础训练1．3π 2．4π 3．24 240π 4．C 5．D 6．A 7．周长：a π，面积：2212a a π- 8．（1）43cm π （2）2(433)cm π- 24.4.2 圆锥的侧面积和全面积基础训练1．12π 16π 2．6 3．18 4．C 5．C 6．B 7．192︒ 8．2 能力提高1．π 2．D 3．241 4．2π 3 5．B 6．A 7．（1）如图 （2）6π8．MC BC =（提示：90C ∠=︒，45PBC ∠=︒） 9．542π- 10．（1）图 （2）43 （3）8433π+拓展探究 1．（1）123l π=，243l π=，363l π=，483l π=． （2）6400640000000km cm =，由226400000003n ππ=⨯，91.9210n =⨯． 2．（1）因为扇形的弧长902168360ππ︒=⨯⨯=︒，圆锥底面周长2r π=，所以圆的半径为4cm ．由于所给正方形纸片的对角线长为2cm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为1642(202)cm ++=+，2042162+>（2）方案二可行．设圆锥底面圆的半径为r cm ，圆锥的母线长为R cm ，则(12)162r R ++=①，224R r ππ=②．由②得4R r =，代入①得(5r +=，所以r ==，所以R = 数学应用应用1 180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒ 应用2 A MCN B ∠<∠<∠ 应用3 ①上②内 ③外。
人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积(1) 同步练习 含答案
第24章 24.4《弧长和扇形面积》同步练习及答案(1)一、 双基整合：1．若扇形面积为3π，半径为3，则弧长为_______，圆心角是________．2．有一段弯道是圆弧形的，如图1，道长是12m ，弧所对的圆心角是81°，•求这段弧的半径R 为________．（精确到0.1m ）(1) (2) (3)3．如图2，正△ABC 的边长AB=2，以A 为圆心的圆切BC 于点D ，交AB 于点E ，交AC•于点F ，则EF 的长=_________．4．如图3所示，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为______．5．如图4，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，•则图中阴影部分的面积为________．(4) (5) (6) 6．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为（ ） A ．（23π）° B ．240° C ．120° D ．60°7．如图5，矩形ABCD 中，AB=1，，以BC 的中点E 为圆心的MPN 与AD 相切，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．23 B ．34 C ．54 D ．3π 8．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，•秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（ ） A ．π米 B ．2π米 C ．43π米 D ．32π米 9．正三角形ABC 内接于半径为2cm 的圆，则AB 所对弧的长为（ ）A ．23π B ．43π C ．83π D ．43π或83π 10．如图6所示的5个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，•以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿112233,,,ADA A EA A FA A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 的路爬行，则下列结论正确的是（ ）A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到B 点D ．无法确定 11．有一圆形的马戏帐篷，其半径为20m ，从A 到B 有一笔直的栅栏，长为m ．（1）试求∠ACB 的度数．（2）某学校的学生在阴影区域里看马戏，设每平方米中有两个学生，•试问该校有多少学生在看马戏？（π取3.141.73）二、拓广探索：12．如图，⊙O 1的半径O 1A 是⊙O 2的直径，⊙O 1的半径O 1C 交⊙O 2于点B ，则AC 和AB 的长度的大小关系为________．13．如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ） A ．π B ．1.5π C ．2π D ．2.5π14．如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线L 上，按顺时针方向在L 上转动两次，使它转到△A ″B ″C ″的位置上，设BC=1，A 运动到A ′的位置时，点A 经过的路线有多长，点A 经过的路线与直线L 所围成的面积有多大？B ''A ''C 'A 'lBAC三、智能升级:15．如图，一块边长为10cm 的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点D 按顺时针方向旋转到A ′B ′C ′D ′的位置时，顶点B 从开始到结束所经过的路程长为（ ）A ．20cmB ．．10cm D ．16．农村常常建横截面积为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，•如图不考虑塑料薄膜接头重合及埋在土里的部分，•那么搭建一个这样的蔬菜大棚需要用塑料薄膜的面积是（ ）A ．64πm 2B ．72πm 2C ．78πm 2D ．80πm217．将三根直径为a 的圆柱形钢管用铁丝捆扎，现设计了两种方案，如图所示，•请你探索，宜采用哪一种方案．(1) (2)答案:1．2π 120° 2．8.5m 3π 4．14π 5．2π 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C11．（1）∠ACB=120° （2）约491人 12．相等 13．B14．Rt △A BC 中， BC=1，AB=2，∠CAB=30°，则点A 到A ″所经过的路线为''''l AA l A A +=1202180π⨯=（43π；点A 经过的路线与直线L 围成的面积为21202360π⨯⨯+12×1290360π⨯=2512π+215．D 16．A17．如图（1）中铁丝长应为半圆,AmD BnC 的长度与线段AB 、CD 之和，因为AmD 的长=BnC 的长=12πa ，AB=CD=2a ， 所以，铁丝长=2a ×2+12πa ×2=（π+4）a ． 如图（2）中，•将铁丝长分为六段，易知AB=CD=EF=a ，AF 的长=BC 的长=DE 的长=11202180aπ⨯=3πa ， 所以铁丝长=3a+3×3πa=（π+3）a ，故最少要用（π+3）a 的铁丝，宜采用后一种捆法．。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积同步练习 附答案解析(一)
24.4弧长和扇形面积同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，扇形中，，，为的中点，当弦沿扇形运动时，点所经过的路程为（）A.B.C.D.2、一个圆锥的高为，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.3、圆锥体的底面半径为，侧面积为，则其侧面展开图的圆心角为（）A.B.C.D.4、如图，圆锥的母线长为，底面圆的周长为，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.5、一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A.B.C.D.6、圆锥的侧面展开图是一个弧长为的扇形，则这个圆锥底面积的半径是（）A.B.C.D.7、如图，点、、、在上，若，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.8、如图，正方形的边，和都是以为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A.B.C.D.9、如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A.B.C.D.10、一个圆锥形的圣诞帽底面半径为，母线长为，则圣诞帽的表面积为（）A.B.C.D.11、一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图是圆心角是的扇形，则圆锥的母线长为（）A.C.D.12、圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（）A.B.C.D.13、已知圆柱的母线长，侧面积为，则圆柱的底面直径长是（）A.B.C.D.14、如图，在中，，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.15、已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是（）A.B.C.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图：已知，，是以为直径的半圆周上的两点，是圆心，半径，，则图中阴影部分的面积等于_______.17、在半径为的中，的圆心角所对弧长为____.18、用直径为的圆钢长，能拉成直径为的钢丝的长度为．19、圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______．20、如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、用直径为的圆柱，铸造三个直径为，高为的圆柱形零件，问：需截多长的圆钢？22、如图，圆心角，弦．求劣弧的长（结果保留）．23、如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．(1) 求证：是的切线．(2) 若的半径为，求图中阴影部分的面积．24.4弧长和扇形面积同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，扇形中，，，为的中点，当弦沿扇形运动时，点所经过的路程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：为的中点，，，，，同理可得，，点所经过路程长为：．2、一个圆锥的高为，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：圆锥的高是，底面半径是，根据勾股定理得：圆锥的母线长为，则底面周长为，侧面面积为．3、圆锥体的底面半径为，侧面积为，则其侧面展开图的圆心角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为，根据题意得，解得，所以，解得，即圆锥的侧面积展开图的圆心角为．4、如图，圆锥的母线长为，底面圆的周长为，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据题意得该圆锥的侧面积为5、一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径是，半径为的半圆的弧长是，则得到，解得，故这个圆锥的底面半径是．6、圆锥的侧面展开图是一个弧长为的扇形，则这个圆锥底面积的半径是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：设底面圆半径为，则，化简得．7、如图，点、、、在上，若，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，是等腰直角三角形，，的边上的高为：，，阴影=扇形．8、如图，正方形的边，和都是以为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图：正方形的面积；①两个扇形的面积；②②-①，得：扇形正方形．9、如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：底面圆的半径与母线长的比是，设底面圆的半径为，则母线长是，设圆心角为，则，解得：．10、一个圆锥形的圣诞帽底面半径为，母线长为，则圣诞帽的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：圆锥的底面周长是：，则圆锥的侧面积是：．11、一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图是圆心角是的扇形，则圆锥的母线长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：设圆锥的母线长为，根据题意得，解得．即圆锥的母线长为．12、圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，它的轴截面是正三角形，，，解得．13、已知圆柱的母线长，侧面积为，则圆柱的底面直径长是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：圆柱的母线长，侧面积为，底面周长为：，则圆柱的底面直径长是：．14、如图，在中，，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设各个部分的面积为：、、、、，如图所示：两个半圆的面积是：，的面积是,阴影部分的面积为，即两个半圆的面积减去三角形的面积．阴影部分的面积为．15、已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图：已知，，是以为直径的半圆周上的两点，是圆心，半径，，则图中阴影部分的面积等于_______.【答案】【解析】解：，，图中阴影部分的面积，故正确答案为：.17、在半径为的中，的圆心角所对弧长为____.【答案】【解析】解：由弧长公式得弧长为.正确答案是.18、用直径为的圆钢长，能拉成直径为的钢丝的长度为．【答案】100【解析】解：，圆钢半径是：（），圆钢的体积是：（），钢丝的半径是：，钢丝的横截面积是：（），钢丝长：19、圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】解：圆锥的侧面积20、如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．【答案】3.6【解析】解：扇形的弧长为，圆锥的底面周长为．扇形的弧长等于圆锥的底面周长，，解得，圆锥的底面半径为．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、用直径为的圆柱，铸造三个直径为，高为的圆柱形零件，问：需截多长的圆钢？【解析】解：设需截的圆钢，根据题意得，解得，答：需截取的圆钢.22、如图，圆心角，弦．(1) 求劣弧的长（结果保留）．【解析】解：劣弧的长为．23、如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．(1) 求证：是的切线．【解析】证明：连接．，，．，．．即，是的切线．(2) 若的半径为，求图中阴影部分的面积．【解析】解：，．扇形．在中，，．．图中阴影部分的面积为：．。
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人教版九年级数学上册《弧长与扇形面积》同步培优一、选择题1.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是( )A．π﹣1 B．4﹣π C． D．23.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（）A.EF∥CDB.△COB是等边三角形C.CG=DGD.的长为π4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE.则图中阴影部分的面积是（）A.6﹣πB.6﹣πC.12﹣πD.12﹣π5.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则的长度为（）A.πB.2πC.2πD.4π6.如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为（）A.π﹣4B.C.π﹣2D.7.如图,在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB 上，点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,则阴影部分面积为（）A.2π-4B.4π-8C.2π-8D.4π-48.如图,从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B,C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是（）A.12cmB.6cmC.3cmD.2cm9.如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A.5πB.6πC.20πD.24π10.如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A.πB.πC.2πD.3π11.如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（）A.4﹣B.4﹣C.2﹣D.2﹣12.如图,正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )A.16B.C.D.二、填空题13.扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为14.一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥高为 cm．15.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为．16.如图，在半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 .17.如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为．18.如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，则阴影部分的扇形OAC面积是.三、解答题19.如图，AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6,∠D=30°，求图中阴影部分的面积．20.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．21.如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．22.如图,AB为⊙O的直径,BC、AD是⊙O的切线,过O点作EC⊥OD，EC交BC于C,交直线AD于E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．23.如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于B，D两点,点E在CD的延长线上,且CE=AE+BC.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠C=60°，AB=10，求弧BD的长；(3)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M.求证:DM=MP.24.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O 的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．25.如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．参考答案1.D2.答案为：D.3.D4.B.5.B.6.C7.A8.C9.A.10.C.11.D ．12.C13.答案为：50π/9；14.答案为：4．15.答案为：．16.答案为：12-π；17.答案为:．18.答案为： .19.解：（1）连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠BAE ，∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ，∴OC ∥AE ，∴∠OCD=∠E ，∵AE ⊥DE ，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD===4，∴S△OCD===8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣，∴阴影部分的面积为8﹣．20.解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．21.解：(1)证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴，∴∠BOC=∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；(2)解：连接OD，OC，∵，∴∠COD=×180°=60°，∵CD∥AB，∴S△ACD=S△COD，∴图中阴影部分的面积=S扇形COD=．22.【解答】（1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，∵BC、AD是⊙O的切线，∴∠CBO=∠OAE=90°，在△BOC和△AOE中，，∴△BOC≌△AOE（ASA），∴OC=OE，又∵EC⊥OD，∴DE=DC，∴∠ODC=∠ODE，∴OH=OA，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，∴∠E=∠DOA，又∵∠OAE=∠ODA=90°，∴△AOE∽△ADO，∴=，∴OA2=EA•AD=1×3=3，∵OA＞0，∴OA=，∴tanE==，∴∠DOA=∠E=60°，∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，∴∠DOH=∠DOA=60°，∴S阴影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π．23.略24.【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴的长===π．25.解:（1）PN与⊙O相切．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°．即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∵∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切．（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∴∠PON=60°，∠AON=30°．作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×=．S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON =OC•OA+CO•NE=×1×1+π﹣×1×=+π﹣．11 / 11。