2021年文科立体几何知识点方法总结高三复习
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立体几何知识点整顿（文科）
一．直线和平面三种位置关系：
1. 线面平行
l
符号表达：
2. 线面相交
符号表达：
3. 线在面内
符号表达：
二．平行关系：
1.线线平行：
办法一：用线面平行实现。
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
办法二：用面面平行实现。
m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
γ
β
α
办法三：用线面垂直实现。
若α
α⊥
⊥m
l,，则m
l//。
办法四：用向量办法：
若向量l和向量m共线且l、m不重叠，则m
l//。
2.线面平行：
办法一：用线线平行实现。
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
办法二：用面面平行实现。
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
办法三：用平面法向量实
现。
若为平面α一种法向量，⊥且α
⊄
l,则
α
//
l。
3.面面平行：
办法一：用线线平行实现。
β
α
α
β
//
'
,'
,
'
//
'
//
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
⊂
且相交
且相交
m
l
m
l
m
m
l
l
办法二：用线面平行实现。
β
α
β
α
α
//
,
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂且相交
m
l
m
l
三．垂直关系：
1. 线面垂直：
办法一：用线线垂直实现。
l
αα⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
办法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直：
办法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
办法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：
办法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
办法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
办法三：用向量办法：
若向量和向量数量积为0，则m l ⊥。 三．夹角问题。
(一) 异面直线所成角： (1) 范畴：]90,0(︒︒ (2)求法： 办法一：定义法。
环节1：平移，使它们相交，找到夹角。
环节2：解三角形求出角。(惯用到余弦定理) 余弦定理：
cos =
θ
(计算成果也许是其补角) 办法二：向量法。转化为向量
夹角
(
计算成果也许是其补角)：
=
θcos (二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于
O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成角。
(2)范畴：]90,0[︒︒
当︒=0θ时，α⊂l 或α//l
当︒=90θ时，α⊥l (3)求法：
办法一：定义法。
环节1：作出线面角，并证明。 环节2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作
l 垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 夹角θ为二面角α—l —β平面角。
(2)范畴：]180,0[︒︒ (3)求法：
办法一：定义法。
环节1：作出二面角平面角(三垂线定理)，并证明。
环节2：解三角形，求出二面角平面角。
办法二：截面法。
环节1：如图，若平面POA 同步垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 夹角就是二面角。 环节2：解三角形，求出二面角。
办法三：坐标法(计算成果也许与二面角互补)。
环节一：计算121212
cos n n n n n n ⋅<⋅>=
⋅
环节二：判断θ与12n n <⋅>
关系，也许相等或者
互补。
四．距离问题。
1．点面距。 办法一：几何法。
环节1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。 环节2：计算线段
PO 长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间距离
办法一：转化为线面距离。
m
如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，
则异面直线m 和n 之间距离可转化为直线m 与平面α之间距离。
办法二：直接计算公垂线段长度。