2021年文科立体几何知识点方法总结高三复习

立体几何知识点整顿（文科）
一．直线和平面三种位置关系：
1. 线面平行
l
符号表达：
2. 线面相交
符号表达：
3. 线在面内
符号表达：
二．平行关系：
1.线线平行：
办法一：用线面平行实现。

m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
办法二：用面面平行实现。

m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
γ
β
α
办法三：用线面垂直实现。

若α
α⊥
⊥m
l,，则m
l//。

办法四：用向量办法：
若向量l和向量m共线且l、m不重叠，则m
l//。

2.线面平行：
办法一：用线线平行实现。

α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
办法二：用面面平行实现。

α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
办法三：用平面法向量实
现。

若为平面α一种法向量，⊥且α
⊄
l,则
α
//
l。

3.面面平行：
办法一：用线线平行实现。

β
α
α
β
//
'
,'
,
'
//
'
//
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
⊂
且相交
且相交
m
l
m
l
m
m
l
l
办法二：用线面平行实现。

β
α
β
α
α
//
,
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂且相交
m
l
m
l
三．垂直关系：
1. 线面垂直：
办法一：用线线垂直实现。

l
αα⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
办法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直：
办法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
办法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：
办法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
办法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
办法三：用向量办法：
若向量和向量数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成角： (1) 范畴：]90,0(︒︒ (2)求法： 办法一：定义法。

环节1：平移，使它们相交，找到夹角。

环节2：解三角形求出角。

(惯用到余弦定理) 余弦定理：
cos =
θ
(计算成果也许是其补角) 办法二：向量法。

转化为向量
夹角
(
计算成果也许是其补角)：
=
θcos (二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于
O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成角。

(2)范畴：]90,0[︒︒
当︒=0θ时，α⊂l 或α//l
当︒=90θ时，α⊥l (3)求法：
办法一：定义法。

环节1：作出线面角，并证明。

环节2：解三角形，求出线面角。

(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作
l 垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 夹角θ为二面角α—l —β平面角。

(2)范畴：]180,0[︒︒ (3)求法：
办法一：定义法。

环节1：作出二面角平面角(三垂线定理)，并证明。

环节2：解三角形，求出二面角平面角。

办法二：截面法。

环节1：如图，若平面POA 同步垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 夹角就是二面角。

环节2：解三角形，求出二面角。

办法三：坐标法(计算成果也许与二面角互补)。

环节一：计算121212
cos n n n n n n ⋅<⋅>=
⋅
环节二：判断θ与12n n <⋅>
关系，也许相等或者
互补。

四．距离问题。

1．点面距。

办法一：几何法。

环节1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。

环节2：计算线段
PO 长度。

(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。

3．异面直线之间距离
办法一：转化为线面距离。

m
如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，
则异面直线m 和n 之间距离可转化为直线m 与平面α之间距离。

办法二：直接计算公垂线段长度。

办法三：公式法。

d c
b
a
θm'
D
C
B A
m
n
如图，AD 是异面直线m 和n 公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间距离为： θcos 2222ab b a c d ±--=
高考题典例
考点1 点到平面距离
例1如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 距离．
考点2 异面直线距离
例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24正三角形，棱SC 长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、中点，求CD 与SE 间距离.
考点3 直线到平面距离
例3． 如图，在棱长为2正方体1AC 中，G 是1AA 中点，求BD 到平面11D GB 距离
A
B
C D
1
A 1
C
1
B
O
F
H
1
A 1
C 1D
1
B 1O
考点4 异面直线所成角
Rt AOB
△例4如图，在Rt AOB △中，π6
OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过
以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --直二面角．D 是AB 中点．
（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（II ）求异面直线AO 与CD 所成角大小．
考点5 直线和平面所成角
例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =
，BC =
SA SB ==
（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角大小．
考点6 二面角
例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成角为30．（I ）证明BC PQ ⊥ （II ）求二面角B AC P --大小．
考点7 运用空间向量求空间距离和角
例7． 如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面； （2）若点G 在BC 上，2
3
BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，
垂足为H ，求
证：EM ⊥平面11BCC B ；
（3）用θ表达截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ
O C
A
D
B
E
D
C
S
A
B
C
Q
α
β P
C B
A
H
M
D
E
F 1
B
1
A
1
D
1
C
<一>惯用结论
1．证明直线与直线平行思考途径：（1）转化为鉴定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
2．证明直线与平面平行思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平
行.
3．证明平面与平面平行思考途径：（1）转化为鉴定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂
直.
4．证明直线与直线垂直思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线射影垂
直；（4）转化为线与形成射影斜线垂直.
5．证明直线与平面垂直思考途径：（1）转化为该直线与平面内任始终线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一种平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.
6．证明平面与平面垂直思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉
.
8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==
21
||||||
a b a b x ⋅=
⋅+
（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,
所成角，,a b 分别表达异面直线a b ,方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin
||||
AB m
arc AB m β⋅=(m 为平面α法向量).
10、空间四点A 、B 、C 、P 共面z y x ++=⇔，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--平面角
cos
||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||
m n
arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β法向量）.
12.三余弦定理：设AC 是α内任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角
为2θ，AO 与AC 所成角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则
,A B d =||AB AB AB =⋅222212121()()()x x y y z z =-+-+-.
14.异面直线间距离： ||
||
CD n d n ⋅=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间距离). 15.点B 到平面α距离：||
||
AB n d n ⋅=
（n 为平面α法向量，AB 是通过面α一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和平方公式：2
2
2
2()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅
222
2||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅
17. 长度为l 线段在三条两两互相垂直直线上射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有
222
2123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.
（立体几何中长方体对角线长公式是其特例）.
18. 面积射影定理 'cos S S θ
=.(平面多边形及其射影面积分别是S 、'
S ，它们所在平面所成锐二面角θ).
19. 球组合体(1)球与长方体组合体：长方体外接球直径是长方体体对角线长.(2)球与正方体组合体:正方体内
切球直径是正方体棱长，正方体棱切球直径是正方体面对角线长，正方体外接球直径是正方体体对角线长.(3) 球与正四周体组合体：棱长为a 正四周体内切球半径为612a ,外接球半径为64
a . 20. 求点到面距离常规办法是什么？（直接法、体积法） 〈二〉温馨提示：
1.在用反三角函数表达直线倾斜角、两条异面直线所成角等时，你与否注意到它们各自取值范畴及义？
① 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角取值范畴依次.
② 直线倾斜角、到角、与夹角取值范畴依次是．
③ 反正弦、反余弦、反正切函数取值范畴分别是．
〈三〉解题思路：
1、平行垂直证明重要运用线面关系转化：
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面
←→−←→−−→−−←→−←→−←−
−−←→−←→− 线面平行鉴定： a
b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒ααα a
b
α
线面平行性质：
αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒ b a b 三垂线定理（及逆定理）：
P A A O P O ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂
a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒
α
a
P
O
线面垂直：
a
b a
c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒αα a
O α b c
面面垂直：
a a ⊥面，面⊥αββα
⊂⇒ 面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ
=⊂⇒l l aaa
α a
l
β
a b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥αβαβ
a a ⇒ a
b
α
2、三类角定义及求法
（1）异面直线所成角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成角θ，0°≤θ≤90°
θαα＝时，∥或0b o
b ⊂
（）二面角：二面角的平
面角，30180
αβθθ--<≤l o
o
（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。

）
三类角求法：
①找出或作出关于角。

②证明其符合定义，并指出所求作角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理)
高中数学立体几何 空间距离
1.两条异面直线间距离
和两条异面直线分别垂直相交直线，叫做这两条异面直线公垂线；两条异面直线公垂线在这两条异面直线间线段长度，叫做两条异面直线距离.
2.点到平面距离
从平面外一点引一种平面垂线，这点和垂足之间距离叫做这个点到这个平面距离. 3.直线与平面距离
如果一条直线和一种平面平行，那么直线上各点到这平面距离相等，且这条直线上任意一点到平面距离叫做这条直线和平面距离.
4.两平行平面间距离
和两个平行平面同步垂直直线，叫做这两平行平面公垂线，它夹在两个平行平面间公垂线段长叫做这两个平行平面距离.
题型一：两条异面直线间距离
【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 公垂线； (2)求AB 和CD 间距离；
【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又由于AE =BE ，因此FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 因此EF 是AB 和CD 公垂线.
(2)在Rt △BEF 中，BF =
a 23
,BE =a 21, 因此EF 2=BF 2-BE 2=a 2
12，即EF =a 22
.
由(1)知EF 是AB 、CD 公垂线段，因此AB 和CD 间距离为
a 2
2
. 【例2】 如图,正四周体ABCD 棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .
例1题图
例2题图
∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .
∴AB ⊥平面CED .设CD 中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 距离.
∵CE =23
,∴CF =FD =2
1,∠EFC =90°,EF =
2221232
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 距离是
2
2
. 【解后归纳】 求两条异面直线之间距离基本办法： （1）运用图形性质找出两条异面直线公垂线，求出公垂线段长度.
（2）如果两条异面直线中一条直线与过另一条直线平面平行，可以转化为求直线与平面距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行平面内，可以转化为求两平行平面距离.
题型二：两条异面直线间距离
【例3】 如图(1),正四周体ABCD 棱长为1，求：A 到平面BCD 距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 外心.又BD ＝BC ＝CD ，
∴O 是△BCD 中心，∴BO =3
2BE =33
2332=
⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312
22=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD 距离是36. 【例4】
在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2
π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面
ABCD ,P A =a ,
求：(1)二面角P —CD —A 大小； (2)点A 到平面PBC 距离. 【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin
55
,AD =3a ,∴AF =5
3a ,
例3题图
在Rt △P AF 中tan ∠PF A =
3
5
35=
=a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,
∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a , ∴PB =2a ,∴AH =a 2
2.
【例5】
如图，所示多面体是由底面为ABCD 长方体被截面AEC 1F 所截面而得到，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 距离.
解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2. .6222=+=
∴DF BD BF
（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，
由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，因此平面AEC 1F ⊥面C 1MC.
在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 长即为C 到面AEC 1F 距离.
.11
33
417
12317
123,17
121743cos 3cos 3,.
17,1,2
2
1
1
221=+
⨯
=
⨯=
∴=⨯
===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG
BG CC EB 知由从而可得由
解法2：（I ）建立如图所示空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.
∵AEC 1F 为平行四边形，
B
A
C
D
1
A 1
B 1
C .
62,62||).
2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,
11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴
（II ）设1n 为面AEC 1F 法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然
⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由⎪⎩
⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即
111),3,0,0(n CC CC 与设又=夹角为a
，则11114cos .33
||||
CC n CC n α⋅=
=
⋅ ∴C 到平面AEC 1F 距离为.11
33
4333343cos ||1=⨯==αCC d
【例6】
正三棱柱111C B A ABC -底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 中点。

（1）求点1B 到直线AC 距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 因此D B 1就是1B 点到直线AC 距离。

在BD B Rt 1∆中,6810222211=-=-=
BC C B BB 34=BD ．
2122121=+=∴B B BD D B ．
（2）由于AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ中点Ｄ， 设E BC C B =⋂11，则1AB //DE ，因此1AB //平面BD C 1， 因此1AB 到平面BD 1C 距离等于Ａ点到平面BD 1C 距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 距离，也就等于三棱 锥1BDC C -高， BDC C BDC C V V --=11 ，
13
1
311CC S hS BDC BDC ∆∆=∴，131312=
∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 距离是131312． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算环节；
1
A
1
A 2．多用转化思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种较好求空间距离办法．
【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 中点时，求点E 到面ACD 1距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 大小为4
π. 解析：法1
（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E
（2）设点E 到面ACD 1距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，
故.2
121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=
∆∆BC AE S S ACE C AD 而 11111131,1,.33223
D AEC AEC AD C V S DD S h h h -∆∆∴=
⋅=⋅∴⨯=⨯∴= （3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥
CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 平面角.
设AE=x ，则BE=2－x
11,, 1.
4
,,,
Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π
∆∠=
∴=∆=∴∆=在中在中在中
.
4
,32.
32543.
54,3122π
的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=
+∴+-=∆=∆。