计数原理与排列组合

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计数原理与排列组合

件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关.
例1：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
计数原理和排列组合
计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N m1 m2 种不同m的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
排列与组合的区别与联系
n
m
1
m!
n! n
m
!
共同点：元素的取法相同,都是从n个元素中取出m(m ≤ n)个元素不同点：排列问题与顺序有关，
组合问题与顺序无关.
例2：(1)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的线
段共有多少条?
没有顺序，根据组合公式有
C52
A52 A22
5 43 21
21 3 21
10
(2)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的有
向线段共有多少条? 含有顺序，根据排列公式有
A52 5 4 20
解题关键：从n个元素中抽取m个元素是“含有顺序”, 还是“没有顺序”.再根据其对应的排列组合计算.
排列组合
1、排列的定义及公式：从n个不同元素中，任取m(m ≤n)

计数原理与排列、组合(讲解部分)

每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列各步之间是相互依存的,并且既
的、独立的
不能重复也不能遗漏
2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)5种情况,共有
A
3种情况,而这
3
A
3种情况仅是
3
AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
C62C42C22
A
3 3
=15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式
C62C42C22 A33
·A33
A
6 6
种
方法,故共有5×A66 =3 600(种)方法.
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有 A 44 种方
法,再将4名女生进行全排列,有
A
4 4
种方法,故共有
A44
·A
4 4
=576(种)方法.
(5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有
A
4 4
种方法,再
注意易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有
关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
n!
(1) Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=③ (n-m)! ;
性质

基本计数原理和排列组合

附录一.两个基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。

分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的办法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法。

考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。

如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理。

二.排列以下陈述中如无特别说明，n、m 都表示正整数。

一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

如果要求排列中诸元素互不相同，则称为选排列；反之，若排列中的元素可以有相同时，则称为可重复排列。

可重复排列在生活中比较常见，如电话号码、证件号码、汽车牌照，等等。

从n 个不同的元素中任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。

用符号m n A 。

为导出m n A 的计算公式，注意到对任一选排列，其第一位（从左到右计）可以放置编号1到n 的n 个元素的任意一个，共有n 种可能的结果；对于第一位的每一种放置结果，第二位可以放置剩下的n-1个元素中的任意一个，共有n-1种可能的结果；...,对于第m-1位的每一种放置结果，第m 位可以放置最后剩下的n-m+1个元素中的任何一个，共有n-m+1种可能结果。

计数原理、排列组合

计数原理一、两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.二、例题例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。

现要配成一荤一素一汤的套餐。

问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。

（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算。

解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.略解：N=5×5×5=125（个）（2）（3）（4）自己完成。

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合1．两个计数原理2．排列3．组合1．计数原理的两个不同点(1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事．(2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分．2．排列与组合问题(1)三个原则①有序排列、无序组合．②先选后排．③复杂问题分类化简或正难则反．(2)两个优先①特殊元素优先．②特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．3．正确理解组合数的性质(1)C m n＝C n－mn从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．(2)C m n＋C m－1＝C m n＋1n从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1种方法．n[四基自测]1．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C．12D．16答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13 D．10答案：C3．(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．答案：604．如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3人完成3项工作，每人完成一项，有______种安排方式．答案：6授课提示：对应学生用书第187页考点一计数原理◄考基础——练透[例1](1)已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.答案：B(2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有24种．答案：D(3)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．答案：D(4)从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位．若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12种．若2或4在个位，个位数字有2种排法，再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18，故总12＋18＝30.答案：30应用计数原理的三个注意点(1)注意完成“这件事”是做什么．(2)弄清完成“这件事”是分类还是分步．①根据完成事件的特点，进行“分类”，根据事件的发生过程进行“分步”．②分类要按照同一个标准，任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．③分步时各步相互依存，只有各步都完成时，才算完成这件事．(3)合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选择．1．将本例(3)改为从1，2，3，4，9中每次取出两个数记为a，b，则可得到log a b 的不同值的个数为()A．9 B．10C．13 D．16解析：显然a≠1，若a＝2，3，4，9，b＝1时，有log a b＝0，1个；若a＝2，b＝3，4，9时，有log23，log24＝2，log29，3个；若a ＝3，b ＝2，4，9时，有log 32，log 34，log 39＝2(舍去)，2个；若a ＝4，b ＝2，3，9时，有log 42＝12，log 43，log 49＝log 23(舍去)，2个；若a ＝9，b ＝2，3，4时，有log 92，log 93＝12(舍去)，log 94＝log 32(舍去)，1个，共有1＋3＋2＋2＋1＝9个．答案：A2．将本例(4)改为用数字2，3，4，6，8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48种排法，对应48个三位偶数．答案：483．将本例(4)改为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．解析：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题设条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知：符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：36考点二排列问题◄考能力——知法[例2] (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有________种排法．(用数字作答)解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间有A 33＝6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中，有A24＝12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有A22＝2(种)排法．所以不同的排法种数为23×6×12＝576.答案：576(2)(2019·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A55A22＝300种不同的编排方法．答案：300有限制条件的排列问题的解题方法1．(2019·衡水冀州中学月考)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A．120种B．210种C．420种D．240种解析：可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有A22A22A35＝240种排法，所以选D．答案：D2．6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．解析：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法．答案：480考点三组合问题及混合问题◄考基础——练透角度1简单的组合问题[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：16(2)有甲、乙、丙3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，从10个人中选出4个人承担这3项任务，不同的选法有________．解析：要从10个人中选出4个人承担3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，先从10个人中选出2个人承担甲项任务，不同的选法有C210种；再从剩下8个人中选1个人承担乙项任务，不同的选法有C18种；最后从另外7个人中选1个人承担丙项任务，不同的选法有C17种．综上，不同的选法共有C210C18C17＝2 520(种)．答案：2 520角度2简单的组合与排列混合问题[例4](1)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C24A33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C(2)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是() A．150 B．300C．600 D．900解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C25×A44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C46×A44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．答案：C角度3分组、分配问题[例5](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案：D(2)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名老师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名老师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种，故选A．答案：A1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．(3)由分类加法计数原理计算总数．2．“分组分配”问题的解题技巧1．(2019·河南豫北名校联考)2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C12C12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C12C12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B．答案：B2．(2019·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C24C22A22×A22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B．答案：B数学建模、数学运算——不定方程与组合问题中的学科素养在学习排列组合知识时，我们经常遇到把若干相同元素分成几组的问题．这类问题可以用一个比较简单的模型，就是转化为不定方程解的个数问题，从而得以快速解决．[直接隔板法][例]把6个相同的小球放入4个盒子中，每个盒子都不为空，有多少种不同的放法？解析：本题相当于将6个相同的球分为4组．可以先把6个球排成一排，中间有五个空位，我们只需在这五个位置中任取三个位置放上隔板就可把小球分隔成4组了，故有C35＝10种不同的放法．[拓展为不定方程法]设每个盒子中的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求x1＋x2＋x3＋x4＝6的正整数解的组数．这是四元不定方程，把6分为6个1，6个1之间有5个空，选3个空放3个加号，所以有C35＝10种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝6的一组正整数解，故此不定方程有C35＝10组正整数解．[拓展模型]设n，m∈N*，n≥m≥1，则不定方程x1＋x2＋x3＋…＋x m＝n的正整数解有C m－1n－1组．拓展应用1把20个相同的小球放入4个盒子中，有多少种不同的放法？解析：与例题相比少了“每个盒子都不为空”这个条件，就是说盒子里可以为空．我们可以这样理解：设每个盒子的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的非负整数解的组数．那么能否转化为模型1来解决呢？先在每个盒子里放上1个球，保证每个盒子不空，然后再来放这20个球，就是模型1了．即(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＝20＋4＝24，令y1＝x1＋1，y2＝x2＋1，y3＝x3＋1，y4＝x4＋1，则y1，y2，y3，y4为正整数，问题转化为求不定方程y1＋y2＋y3＋y4＝24的正整数解的组数，从而转化为模型1，可知不定方程有C4－1＝C323组正整数解．所以，原20＋4－1问题中，有C323种不同的放球方法．拓展应用2把20个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中，且每个盒子里的球数不得少于编号，问有多少种不同的放法？解析：问题即是解不定方程x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20，(x i≥i，x i∈N*)．我们先在2号盒子里放1个球，3号盒子放2个球，4号盒子放3个球，5号盒子放4个球，则有x1＋(x2－1)＋(x3－2)＋(x4－3)＋(x5－4)＝10，令y i＝x i－(i－1)，则y1，y2，y3，y4，y5为正整数，只需求y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝C49＝126种不同＝10的正整数解有多少组，从而转化为模型1，知有C5－110－1的放法．课时规范练单独成册：对应学生用书第325页A组基础对点练1．把标号为1，2，3，4，5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36B．20C．12 D．10解析：依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C．答案：C2．一个学习小组有6个人，从中选正、副组长各一个，则不同的选法种数为()A．C26B．A26C．62D．26解析：问题可转化为从6个元素中任选两个元素的排列问题，共有A26种不同的选法．答案：B3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的含偶数个元素的子集的个数为()A．16 B．32C．64 D．128解析：由题意，集合A的含偶数个元素的子集的个数为C06＋C26＋C46＋C66＝1＋15＋15＋1＝32.答案：B4．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24B．18C．12 D．6解析：当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位、百位全排列即可，共有C23C12A22＝12个．当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有C23C12＝6个．综上，共有12＋6＝18个．选B．答案：B5．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有()A．336种B．120种C．24种D．18种解析：分三步完成：第一步，插入第1本书，有6种方法；第二步，插入第2本书，有7种方法；第三步，插入第3本书，有8种方法，所以不同的插法有6×7×8＝336种．答案：A6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24种放法，故选D．答案：D7．若从1，2，3，…，9这9个数字中同时取4个不同的数字，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．答案：D8．(2019·洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．72 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.答案：C9．(2019·唐山模拟)某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为()A．8 B．16C．24 D．60解析：根据题意，9个座位中满足要求的座位只有4个，现有4人就座，把4人进行全排列，即有A44＝24种不同的坐法．答案：C10．(2019·成都模拟)由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若2与4相邻，且1与2不相邻，则这样的五位数共有()A．12个B．24个C．36个D．48个解析：分步完成，先排2，4，有A22种排法，再把排好的2，4看成一个整体，与3，5再排，有A33种排法；最后把1插空，仅有3个空位可选，有3种插法，故共有A22A33·3＝2×6×3＝36个不同的五位数．答案：CB组能力提升练11．如图所示，∠MON的边OM上有四点，A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：分类完成．在O，A1，A2，A3，A4这5个点中取2个，在B1，B2，B3中取1个，有C25C13个三角形；在B1，B2，B3中取2个，在A1，A2，A3，A4中取1个，有C23C14个三角形，故共C25C13＋C23C14＝42个．答案：B12．某学习小组共6人，现遇到了两道难题，一道物理题，一道数学题，其中甲、乙、丙三人对数学题感兴趣，丁对两道题都感兴趣，戍、己两人对物理题感兴趣，现从感兴趣的人中各选2人解这两道难题，则不同的选法种数为() A．9 B．15C．18 D．30解析：若丁解数学题，则不同的选法为C24C22；若丁解物理题，则不同的选法为C23C23；故共有C24C22＋C23C23＝15种不同的选法．答案：B13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C212＝66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C24＝6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C24＝18对．所以成60°角的有C212－3C24＝66－18＝48(对)．答案：C14．在一次8名运动员参加的百米成绩测试中，甲，乙，丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人随意安排，则安排这8人进行成绩测试的方法的种数为________．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有3，4，5三条跑道可安排．所以安排方式有3×2×1＝6种．第二步：安排另外5人，可在余下的5条跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．所以安排这8名运动员的方式有6×120＝720种．答案：72015．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：“小集团”处理，特殊元素优先，则不同的排法共有C36C12A22A33＝480(种)．答案：48016．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.解析：首先看图形中的3，5，7，有C13＝3种涂法．对于2，有两种涂法，对于4有两种涂法．当2，4涂的颜色相同时，1有2种涂法；当2，4涂的颜色不同时，1有1种涂法．根据对称性可知共有3×(2×2＋2×1)2＝108种涂法．答案：108第二节二项式定理授课提示：对应学生用书第190页[基础梳理]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)，其中右端为(a＋b)n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式＝C k n a n－k b k．第k＋1项为：T k＋13．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n(k∈{0，1，2，…，n})．(2)二项式系数的性质和1．一对易混概念二项展开式中第r＋1项的(1)二项式系数是C r n .而不是C r ＋1n .(2)项的系数是该项的数字因数． 2．两个常用公式(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.(展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等) 3．三个重要特征(1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0. (2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数和等于n .[四基自测]1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( )A ．240B ．60C ．192D ．180答案：A2．(x －1)10的展开式中第6项的系数是( ) A ．C 610 B ．－C 610 C ．C 510 D ．－C 510答案：D3．二项式(2a 3－3b 2)10的展开式中各项系数的和为________．答案：14．C 111＋C 311＋…＋C 1111＝________.答案：2105．(2018·高考全国卷Ⅲ改编)(x 2＋2x )5的展开式的二项式系数和为________．答案：32授课提示：对应学生用书第190页考点一通项公式法解决特定项或系数问题◄考基础——练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. 故选C ．答案：C(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________．解析：由题意可知T r ＋1＝C r 6x 6－2r(－1)r ·a －r ，0≤r ≤6，r ∈Z ，则x 2项的系数是C 26a－2＝15，又a >0，则a ＝1. 答案：1(3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x (r＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x 4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2. 答案：3通项公式法即利用二项展开式的通项公式，根据题意，对相应的指数进行赋值，从而解决指定项问题的方法．此方法适用于已知二项式，求常数项、指定项的系数等问题．破解此类题的关键点：(1)求通项，根据二项式(a ＋b )n 的展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0，1，2，…，n )，整理出T k ＋1＝m ·x f (k )．(2)找方程，依题设条件中的指定项的相关信息，寻找关于k 的方程． (3)解方程，通过解方程，求出k 的值． (4)得结论，把k 的值代入通项公式，得结论．1．在本例(2)的条件下求展开式中的常数项．解析：由于a ＝1，(x －1x )6的通项公式T r ＋1＝(－1)r C r 6·x 6－2r . 令6－2r ＝0，∴r ＝3. 常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20.2．将本例(1)改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 4的系数为40，求a 的值．解析：T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 5·a r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4.∴r ＝2.∴C 25a 2＝40，∴a 2＝4，∴a ＝±2.考点二赋值法解决二项展开式的各项系数和问题◄考能力——知法[例2] (1)设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：(1)由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 54－r C r 4x ，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式的第6项是T 5＋1＝C 5n (－1)5x 2n －15，令2n －15＝1，得n ＝8.在二项式(1－3x )8的展开式中，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝255. 答案：(1)150x (2)255赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值，从而求得二项展开式的各项的系数和的方法．此方法体现的是从一般到特殊的转化思想．破解此类题的关键点： (1)赋值，认真观察已知等式，给未知元合理赋值．常赋的值有1，－1，0等． (2)求参数，通过合理赋值，建立关于参数的方程，并解方程，求出参数的值． (3)得结论，求出指定项的系数和．1．(2019·河北邯郸模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135D ．405解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴4n2n ＝64，解得n＝6，∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r·x ，令6－32r ＝3，求得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32＝135，故选C ．答案：C2．(2019·湖南湘潭模拟)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39， ∴a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D ．答案：D考点三求非二项式结构的展开的特定项(或系数)◄考基础——练透[例3] (1)如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________；(2)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为________； (3)(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋14x 10展开式中的常数项为________．解析：(1)∵(1＋x ＋x 2)(x －a )5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a )5＝0， ∴a ＝1.∴(1＋x ＋x 2)(x －a )5＝(1＋x ＋x 2)(x －1)5＝(x 3－1)·(x －1)4＝x 3(x －1)4－(x －1)4，其展开式中含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04(－1)0＝－5.(2)由题意，(x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10 ＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10，因为x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210.(3)分别求两个因式的通项：T r ＋1＝C r 6x，T r ′＋1＝C r ′10x ，则C r 6x ·C r ′10x＝C r 6C r ′10x.又0≤r ≤6，0≤r ′≤10，则r 3－r ′4＝0，解得r ＝r ′＝0，r ＝3且r ′＝4，r ＝6且r ′＝8. 即常数项为1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.[答案] (1)－5 (2)－210 (3)4 246非二项式结构求指定项的方法1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C3．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C ．答案：C考点四二项式系数或项的系数的最值问题◄考基础——练透[例4] (1)已知二项式(a x ＋13x)n (a ＞0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x 2项的系数为84，则a 的值为( ) A ．1 B ．14 C ．2D ．12解析：由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知n ＝9，则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(a x )9－r(13x)r ＝C r 9a9－rx ·x＝C r 9a9－rx (r ＝0，1，2，3，…，9)，令92－5r 6＝2，则r ＝3，所以C 39a 9－3＝C 39a 6＝84，解得a ＝±1，因为a ＞0，所以a ＝1. 答案：A(2)(2019·石家庄模拟)在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．解析：由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1 120x 4. 答案：1 120x 41．二项式系数的最大值，根据(a ＋b )y 的二项式系数性质求解．2．项的系数的最值，利用不等式法．求出展开式的通项公式T r ＋1＝C r n ·m ·x q ＝a r x q为最大系数，则⎩⎪⎨⎪⎧a r ≥a r ＋1，a r ≥a r －1.求r 的整数解．1．设n 为正整数，(x －2x 3)n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．解析：依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2x 3)r ＝C r 8x8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.答案：1122．(2019·厦门模拟)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．210 C ．252D ．45解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C 52n 最大，可得展开式有11项，即2n ＝10，n ＝5. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10xx＝C r 10x，令5－56r ＝0可得r ＝6，此时T 7＝C 610＝210.答案：B数学运算、逻辑推理——二项式定理的展开原理的应用 [例1] (x ＋2y －3z )9的展开式中含x 4y 2z 3项的系数为( ) A ．－136 000 B ．－136 080 C ．－136 160D ．136 280解析：由(x ＋2y －3z )9＝[x ＋(2y －3z )]9，得展开式的通项T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·(2y －3z )r ＝C r 9·x 9－r ·C t r ·(2y )r －t ·(－3z )t ＝C r 9·C t r ·2r －t ·(－3)t ·x 9－r ·y r －t ·z t (t ≤r ≤9)，令⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r －t ＝2，9－r ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r ＝5.故含x 4y 2z 3项的系数为C 59×C 35×22×(－3)3＝－136 080.故选B ．答案：B[例2] (2019·临沂模拟)489被7除的余数为________．解析：由489＝(49－1)9＝C 09499＋C 19498(－1)＋C 29497(－1)2＋…＋C 8949(－1)8＋C 99(－1)9＝49[C 09498＋C 19497(－1)＋C 29496(－1)2＋…＋C 89(－1)8]－7＋6，知489被7除的余数为6. 答案：6课时规范练单独成册：对应学生用书第326页A 组基础对点练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20D ．10解析：T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40. 答案：B2．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( ) A ．56 B ．－56 C ．28D ．－28解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.答案：A3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15. 答案：C4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B ．54 C ．－1516D ．1516解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D ．。

计数原理与排列组合知识点总结

计数原理与排列组合知识点总结计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。

本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。

一、计数原理计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。

常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。

1. 加法原理加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。

2. 乘法原理乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。

3. 容斥原理容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。

它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。

4. 抽屉原理抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。

二、排列组合排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。

它包括排列和组合两个不同的概念。

1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。

常见的排列问题有全排列和有限排列。

- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3! = 3×2×1 = 6种。

- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。

例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。

2. 组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合计数原理与排列组合是数学中重要的概念和工具，在许多实际问题中起着重要作用。

本文将介绍计数原理与排列组合的概念、性质和应用，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、计数原理的概念和性质计数原理是数学中的基本原理之一，主要用于求解事件的总数。

常见的计数原理有加法原理和乘法原理。

加法原理：若一个事物可以分成若干个互不相容的部分，且这些部分无交集，则该事物的总数等于各部分的数目之和。

乘法原理：若一个事件可以分成若干个独立的步骤，且每个步骤的选择个数相互独立，则该事件的总数等于各步骤的选择个数之积。

计数原理的性质包括交换律、结合律和分配律，这些性质使得计数原理在组合计数中具有灵活性和实用性。

二、排列组合的概念和性质排列和组合是计数原理的重要应用，它们用于描述对象的选择和排列的方式。

排列：指从n个不同元素中选取r个并按照一定顺序排列的方式。

排列的总数用P(n, r)表示，计算公式为P(n, r) = n!/(n-r)!组合：指从n个不同元素中选取r个元素的方式，不考虑元素的顺序。

组合的总数用C(n, r)表示，计算公式为C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!]排列和组合具有许多重要性质，包括互补律、对偶律、加法公式和乘法公式等，这些性质使得排列组合在实际问题中得以应用。

三、排列组合的应用排列组合在实际生活和学术研究中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域。

1. 组合数学：排列组合是组合数学的基础，用于研究离散结构和组合问题。

在网络安全、密码学等领域中，排列组合作为数学工具发挥着重要作用。

2. 概率统计：排列组合是概率统计的基础，用于计算事件的发生概率和统计样本的组合方式。

在数据分析、市场调查等领域中，排列组合被广泛应用。

3. 计算机科学：排列组合是计算机科学中的重要概念，用于算法设计、数据处理和图形处理等领域。

在计算机图形学、人工智能等研究中，排列组合具有重要应用。

4. 组合优化：排列组合是组合优化问题的基础，用于求解最优方案和优化策略。

计数原理-排列组合

计数原理-排列组合排列组合知识点⼀、排列定义:⼀般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照⼀定顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列；排列数⽤符号m n A 表⽰对排列定义的理解：定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照⼀定顺序。

因此，排列要完成的“⼀件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。

若只有元素相同或部分相同，⽽排列顺序不相同，都是不同的排列。

⽐如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本⽅法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+---=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，⽤!n 表⽰，即12)2()1(-?-?=n n n n ，并规定1!0=。

全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---=（主要⽤于化简、证明等）⼆、组合定义:⼀般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成⼀组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合；组合数⽤符号m n C 表⽰对组合定义的理解：取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，⽆序性是组合的特点.只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“⽆序”，是组合问题。

组合数公式：),()!()1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n≤∈-=+---==*，且变式：),,()!()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+--=-=*-且组合数的两个性质1、m n n m n C C -=①计算m n C 时，若2n m ＞，通常不直接计算m n C ，⽽改为计算m n n C -，这样可以减少计算量②为了使这个公式在n m =时也成⽴，我们规定10=n C ，这只是⼀个规定，并没有实际的组合意义2、11-++=m n m n m n C C C题型⼀投信问题1、个⼝袋⾥有5封信，另⼀个⼝袋⾥有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个⼝袋⾥各取⼀封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个⼝袋⾥的9封信，分别投⼊4个邮筒，有多少种不同的放法？2、五位旅客到⼀个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿⽅法？3、12名旅客在⼀辆⽕车上，共有六个车站，有多少种下车⽅案？4、3个同学在⼀座只有两个楼梯的楼上下楼，有⼏种下楼⽅案？题型⼆染⾊问题1、如图所⽰，将⼀个四棱锥的每⼀个顶点染上⼀种颜⾊，并使同⼀条棱上的两端异⾊，如果只有5种颜⾊可供使⽤，求不同的染⾊⽅法总数.2. 如图所⽰，⽤五种不同的颜⾊分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂⾊，相邻区域必须涂不同颜⾊，若允许同⼀种颜⾊多次使⽤，则不同的涂⾊⽅法共有________种．3.⽤红、黄、蓝三种颜⾊去涂图中标号为1,2，…，9的9个⼩正⽅形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的⼩正⽅形所涂颜⾊都不相同，且标号为1,5,9的⼩正⽅形涂相同的颜⾊，则符合条件的所有涂法共有________种．题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位⼄不在某位问题有3名男⽣、4名⼥⽣，在下列不同条件下，求不同的排列⽅法总数.（1）选其中5⼈排成⼀排；（2）排成前后两排，前排3⼈，后排4⼈；（3）全体排成⼀排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成⼀排，⼥⽣必须站在⼀起；（5）全体排成⼀排，男⽣互不相邻；（6）全体排成⼀排，甲、⼄两⼈中间恰好有3⼈.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,⼄不站在排尾。

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合计数原理和排列组合是概率论中重要的基础知识，它们用于计算事件的可能性和排列组合的情况。

计数原理是一种计算方法，用于确定事件的总数。

它有两个主要的原理：乘法原理和加法原理。

乘法原理是指如果事件A可以分解为n个步骤，每个步骤都有m个可能的选择，那么事件A发生的总次数是n乘以m。

例如，如果要选择一套衣服，有3个上衣的选择和2条裤子的选择，那么可以通过乘法原理计算出有6种不同的组合。

加法原理是指如果事件A可以通过两个或多个不相交的事件B1，B2，...，Bn发生，那么事件A发生的总次数是B1、B2、...、Bn事件发生的次数之和。

例如，某人每天可以选择穿红色、蓝色或绿色的衣服，那么一周内可能的衣服组合数可以通过加法原理计算。

排列组合是一种计算方法，用于确定从给定元素集合中选择若干个元素的不同方式。

排列是指从集合中选择出所有可能的有序排列，组合是指从集合中选择出所有可能的无序组合。

排列的计算公式为P(n,m) = n! / (n-m)!，其中n是元素总数，m是选择的元素个数，"!"表示阶乘。

例如，从4个不同的数字中选择2个数字进行排列，可以通过P(4,2) = 4! / (4-2)! = 12计算出有12种不同的排列方式。

组合的计算公式为C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n是元素总数，m是选择的元素个数。

例如，从4个不同的数字中选择2个数字进行组合，可以通过C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6计算出有6种不同的组合方式。

通过计数原理和排列组合，我们可以计算出事件的可能性和组合的情况，这对于概率论和统计学的研究非常重要。

计数原理和排列组合

计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。

注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。

2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。

注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。

3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。

二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。

从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。

(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。

计数原理和排列组合题型.docx

计数原理与排列组合题型解题方法总结计数原理一、知识精讲1、分类计数原理：2、分步计数原理：特别注意 : 两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点：如果完成一件事情共有n 类办法，这 n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。

分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。

各步骤有先后，相互依存，缺一不可。

3、排列(1)排列定义 , 排列数(2)排列数公式 :(3)全排列列 :4.组合(1)组合的定义 , 排列与组合的区别 ;(2)组合数公式 :(3)组合数的性质二、 . 典例解析题型 1: 计数原理例 1. 完成下列选择题与填空题(1)有三个不同的信箱, 今有四封不同的信欲投其中, 则不同的投法有种。

(2)四名学生争夺三项冠军 , 获得冠军的可能的种数是 ( )(3)有四位学生参加三项不同的竞赛 ,①每位学生必须参加一项竞赛, 则有不同的参赛方法有;②每项竞赛只许有一位学生参加, 则有不同的参赛方法有;③每位学生最多参加一项竞赛, 每项竞赛只许有一位学生参加, 则不同的参赛方法有。

例 2（ 1）如图为一电路图，从 A 到B 共有条不同的线路可通电。

例 3:把一个圆分成 3 块扇形，现在用 5 种不同的颜色给 3 块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成 4 块扇形呢？例 4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为 6 个部分 ( 如图 ). 现要栽种每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有数字作答 )4 种不同颜色的花，________ 种 .( 以例5、四面体的顶点和各棱的中点共 10 个，在其中取 4 个不共面的点，问共有多少种不同的取法？例6、（ 1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱 , 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信 , 甲信箱中有 30 封 , 乙信箱中有 20 封 . 现有主持人抽奖确定幸运观众 , 若先确定一名幸运之星 , 再从两信箱中各确定一名幸运伙伴 , 有多少种不同的结果 ?（2）三边均为整数，且最大边长为11 的三角形的个数是题型 2: 排列、组合问题处理策略一. 元素个数较少的排列组合问题枚举法:1、设有编号为1， 2，3， 4， 5 的五个球和编号为1， 2， 3， 4， 5 的盒子现将这 5 个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？2、学号为1、2、3、 4 的学生坐到编号为1、 2、 3、 4 的四张凳子上，要求学生的学号与其所坐的凳子编号不同，问有多少种不同的坐法？二、特殊元素和特殊位置优先策略3、 . 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.4、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有(）A． 120 种B．96种C．78种D．72种三、相邻捆绑、不相邻插空5、（ 1） 7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？（ 2） 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？6、马路上有8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？7、某人射击8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为8、一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？四、不尽相异元素、定序问题倍缩法9、（ 1） 7 人排队 , 其中甲乙丙3 人顺序一定共有多少不同的排法（2）10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排 5 人 , 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？（ 3）由 4 个 A 和 3 个 B 可以组成多少个7 位字符信息？五、分排问题“直排法”10、 7个人坐两排座位，第一排 3 个人，第二排坐 4 个人，则不同的坐法有多少种？11、 8人排成前后两排 , 每排 4 人 , 其中甲乙在前排, 丁在后排 , 共有多少排法六、重排问题方幂策略（住店、投邮、影射）12、把 6 名实习生分配到7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法13、某 8 层大楼从一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯, 则他们下电梯的方法有多少种？七. 构造模型的策略14、 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一个有多少装法？15、方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解？八、排列组合混合问题先选后排策略16、有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.17、一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各 1 人，现从中选一种任务 , 且正副班长有且只有 1 人参加 , 则不同的选法有4 人完成四种不同的任务________ 种, 每人完成九、 . 正难则反总体淘汰策略18、我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人 , 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ?十、无编号平均分组问题除法策略19、 6 本不同的书平均分成 3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？20、 10 名学生分成 3 组 , 其中一组4 人 ,另两组3人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的分组方法21、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为十一化归策略22 、 25 人排成 5×5方队 , 现从中选 3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？23、某城市的街区由 4 5 条街道组成，从西南 A 走到东北 B 的最短路径有多少种？三、练习题组：1、 7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？2、把 6名实习生分配到7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法3.(1) 在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中, 各位数字之和为奇数的共有 (）(A)36个(B)24个(C)18个 (D)6个(2) 从 4名男生和 3 名女生中选出 3 人 , 分别从事三项不同的工作 , 若这 3 人中至少有1 名女生, 则选派方案共有( )(A)108种(B)186种(C)216种(D)270种(3)在数字 1,2,3 与符号 +,- 五个元素的所有全排列中 , 任意两个数字都不相邻的全排列个数是 ( )B. 12C. 18D. 24(4)高三 ( 一 ) 班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目 ,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序 , 要求两个舞蹈节目不连排 , 则不同排法的种数是 ( )(A)1800(B)3600(C)4320(D)50404.(1)用数字 0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数, 则其中数字1,2 相邻的偶数有个 ( 用数字作答 );(2)电视台连续播放 6 个广告 , 其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告, 要求首尾必须播放公益广告, 则共有种不同的播放方式 ( 结果用数值表示 ).5.(1)将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习 , 每班至少 1 名, 最多 2 名 , 则不同的分配方案有 ( )(A)30种(B)90种(C)180种(D)270种, 使得放入每个盒子里(2)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号, 则不同的放球方法有( )种种种种6.(1)某校从8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教( 每地 1 人 ),其中甲和乙不同去 , 则不同的选派方案共有种;(2)5名志愿者分到 3 所学校支教, 每个学校至少去一名志愿者, 则不同的分派方法共有(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种7 、. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3 个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角, 求符合这些条件的直线的条数8、甲、乙、丙、丁四个公司承包8 项工程，甲公司承包 3 项工程，乙公司承包 1 项，丙、丁各承包 2 项，问共有种承包方式？9 、停车场划出一排12 个停车位置，今有8 辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？10、 x+y+z+w=100 求这个方程组的正整数解的组数11、 . 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2， 3,4,5的五个盒子, 现将 5 个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法12、 . 正方体的8 个顶点可连成多少对异面直线13、 3 个人坐在一排8 个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？14．（ 2008 陕西， 16）某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成。

高二数学两个基本计数原理及排列组合

一、两个基本计数原理（一）知识点1.分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1*m2*...*m n种不同的方法.（二）运用与方法检测：1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少中不同的选法？从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种).2、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？3的五次3、（1）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是分两类.第一类有5种选法;第二类有4种选法.共9种（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经过B 村去C村不同走法的总数是 3×2=6所有六条路*4、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有多少个？这样的等比数列有：1、2、4；4、2、1；2、4、8；8、4、2；1、3、9；9、3、1；4、6、9；9、6、4，共计8个，故答案为：8．5、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？取中文和英文:9*7=63取中文和日文:9*5=45取英文和日文:7*5=35总共:63+45+35=143二、排列与组合（一）知识点1.排列（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m （m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表示.（4）从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

第一节计数原理、排列与组合

第一节计数原理、排列与组合考试要求1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．[知识排查·微点淘金]知识点1两个计数原理(1)分类加法计数原理完成一件事可以有n 类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．[微提醒]①每类方法都能独立完成这件事，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(2)分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．[微提醒]①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.知识点2排列与组合(1)排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个从n个不同元素中取出m(m≤n)个元元素的所有不同排列的个数素的所有不同组合的个数公式A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质A n n＝n！，0！＝1 C m n＝C n－mn ，C m n＋C m－1n＝C m n＋1[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(5)若C x n＝C m n，则x＝m成立．(×)2．(链接教材选修2－3 P24例7)将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A．2160B．720C．240 D．120答案：B3．(链接教材选修2－3 P28B组T4)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24C．30 D．36答案：C4．(链接教材选修2－3 P28A组T17)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种答案：B5．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有种不同的取法．答案：20一、基础探究点——两个计数原理的应用(题组练透)1．下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有()A．14条B．12条C．9条D．7条解析：选B由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12条路径．故选B．2．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．6种C．10种D．16种解析：选B分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．3．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920解析：选A若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．4．某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F这6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一个，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有种．解析：①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12(种)排法．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×3＝24(种)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(种)．答案：36利用两个基本计数原理解决问题的步骤第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种；第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数．二、应用探究点——排列、组合的基本问题(多向思维)[典例剖析]思维点1排列的基本问题[例1]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5040(种)．(3)解法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3600(种)．解法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1440(种)．排列应用题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．思维点2组合的基本问题[例2](1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有() A．30种B．36种C．42种D．48种解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22＝12(种)安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以不同的安排方法共有24＋12＋6＝42(种)．答案：C(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为() A．232 B．252C．472 D．484解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．答案：C组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．解析：将4名同学分成人数为2,1,1的3组有C24＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A33＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种．答案：362.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30B．42C．54 D．56解析：选B间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为C38－C35－C34＝42.三、综合探究点——分组与分配问题(思维拓展)[典例剖析][例3] 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．解：(1)6本不同的书分成三份，1份1本 ,1份2本，1份3本，分三个步骤，第1步，从6本书中取1本有C 16种分配方法；第2步，从剩余的5本书中取2本有C 25＝10种分配方法，第3步，从剩余的3本书中取3本有C 33种分配方法，所以总共有C 16C 25C 33＝60种分配方法．(2)由(1)可知分组后共有60种方法，分别分给甲、乙、丙后的方法有C 16C 25C 33A 33＝360种．(3)从6本书中选择2本书，有C 26种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有C 24种分配方法．剩余的就是2本书，有C 22种分配方法，所以有C 26C 24C 22＝90种分配方法．但是，该过程有重复．假如6本书分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若三个步骤分别选出的是(AB )，(CD )，(EF )，则所有情况为(AB ，CD ，EF )，(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，AB ，CD )，(EF ，CD ，AB )．所以分配方式共有C 26C 24C 22A 33＝15种． (4)把(3)中分成的三份书分别分给甲、乙、丙三人，则分配方法为C 26C 24C 22A 33×A 33＝90种．(5)从6本书中选4本书的方法有C 46种，从剩余2本书中选1本书的有C 12种，因为在最后两本书选择中发生了重复，所以总共有C 46C 12A 22＝15种方法． (6)把(5)中分成的三份书分别分给甲乙丙三人即可，即共有C 46C 12A 22×A 33＝90种方法．分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配(1)分组问题属于“组合”问题．①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘；②对于部分均分，即若有m 组元素个数相同，则分组时应除以m ！；③对于不等分组，只需先分组，后排列．(2)分配问题属于“排列”问题．①相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“挡板法”；②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放；③有限制条件的分配问题常采用分类法求解．[学会用活]3．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种．解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种)．答案：150体育教育[情境素材]为深入践行“绿色、共享、开放、廉洁”的办奥理念，广泛汇聚海内外各界人士的力量，共同举办一届精彩、非凡、卓越的奥运盛会，北京冬奥组委面向全球招募北京2022年冬奥会和冬残奥会赛会志愿者．赛会志愿者将为北京冬奥会和冬残奥会开闭幕式以及各项比赛提供志愿服务，包括12类：对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他.2021年全国乙卷第6题以此为背景设计试题，既考查了排列组合的有关知识，又体现了数学在实际生活中的重要作用．[情境命题](2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种[思维导引]解法一：根据题意从5名志愿者中任选2人，和其他3名志愿者一起分成4组，再分配4个项目即可得出结论；解法二：先从5名志愿者中选出2人安排1个项目，再将剩下的3名志愿者各安排剩下的3个项目中的一个，即可求解．[解法探究]解法一：若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则必有一个项目分配2名志愿者，所以先从5名志愿者中任选2名志愿者放在一起，再和剩下的3名志愿者一起分配到4个项目中，共有C25A44＝240(种)不同的分配方案．故选C．解法二：先从5名志愿者中任选2名志愿者安排到1个项目中，则有C25C14种不同的方案；再将剩下的3名志愿者安排到剩下的3个项目中，每个项目1名志愿者，则有A33种不同的方案．根据分步乘法计数原理可知，共有C25C14A33＝240(种)不同的分配方案．故选C．[答案] C以北京冬奥会安排志愿者为背景的试题，可以很好的考查排列与组合的有关知识，增强逻辑推理能力．本试题以“分配5名志愿者到4个比赛项目培训”为载体考查了排列与组合的基础知识．[应用](2021·茂名五校联考)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，是一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年9月25日正式上映．在《夺冠》上映期间，一对夫妇带着他们的两个孩子一起去观看该影片．订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个孩子至少有一侧要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是()A．8B．12C．16 D．20解析：选C将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况：①②③④.①④坐家长、②③坐孩子，①④坐孩子、②③坐家长，①③坐家长、②④坐孩子，①③坐孩子、②④坐家长，所以不同的坐法种数为4A22A22＝16.限时规范训练基础夯实练1．(2021·四川成都月考)宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有()个矩形()A．3025B．2025C．1225 D．2525解析：选A要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C211·C211＝3025，故选A．2．某校开展“学党史，感党恩”演讲活动，组建了甲、乙、丙、丁四个演讲组，分别到A，B，C，D四地参加演讲，每组仅去一地，每地仅去一组．其中甲不去B地，乙和丙不去A地也不去B地，则四个演讲组到A，B，C，D四地演讲的不同安排方案共有() A．5种B．4种C．3种D．2种解析：选D因为甲不去B地，乙和丙不去A地也不去B地，所以只能丁去B地，甲只能去A地，乙和丙只能去C地和D地．可能乙去C地，丙去D地，也可能乙去D地，丙去C地，故有两种安排方案．故选D．3．(2021·安徽合肥模拟)某医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组(不做调整)，如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为()A．36 B．40C．48 D．56解析：选B从6个医疗小组选出3位主治医师，有C36＝20种不同的方法；不妨设这3位主治医师分别为甲、乙、丙，调整即为不在原来的医疗小组，有2种不同的方法．综上，调整的不同方案数为20×2＝40.故选B．4．(2021·福建省南安一中二模)现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有()A．6种B．8种C．12种D．16种解析：选B先安排甲，其选座方法有C14种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A22种，所以共有坐法种数为C14·A22＝4×2＝8种．故选B．5．(2021·四川乐至中学月考)某研发机构依次研发六项不同的产品，其中产品a必须排在后三位，产品b，c必须排在一起，则这六项产品的不同安排方案共有() A．120种B．156种C．210种D．226种解析：选A当b, c排在前三位时共有C13A22A22A33＝72种，当b, c排在后三位时共有A22 A22A33＝24种，当b，c排在3,4位时共有A22C12A33＝24种，这项产品的不同安排方案共有72＋24＋24＝120种．故选A．6．(2021·山东泰安二模)如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为()A．30 B．40C．42 D．44解析：选B根据题意，4个阴数即4个偶数：2、4、6、8；5个阳数即1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的三个数的和为奇数，共有两种可能：①选出的3个数都是奇数，有C35＝10种选法；②选出的3个数有2个偶数、1个奇数，共有C24C15＝30种选法．综上所述，一共有30＋10＝40种选法．故选B．7．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台作报告，要求夫妻两人中至少有1人作报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有()A．80种B．120种C．130种D．140种解析：选D若夫妻中只选一人，则有C12C25A33＝120种不同的方案；若夫妻二人全选，则有C15A22A22＝20中不同方案，故总计有140种不同的方案，故选D．8．(2021·广东实验中学模拟)某校组织A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A 必须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有()种() A．18 B．36C．60 D．72解析：选B因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：①A在1号位置时，B有2、4、5三种位置选择，有3A33＝18种次序；②A在2号位置时，B有4,5号两种选择，有2A33＝12种次序；③A在4号位置时，B有5号一种选择，有A33＝6种；故共有18＋12＋6＝36(种)．故选B．9．若在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，则所有选法种数是．(用数字作答)解析：在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，从7位男生中随机挑选1人，有7种不同方法，从3位女生中随机挑选1人，有3种不同的方法，根据分类加法计数原理，则所有选法种数是7＋3＝10(种)．答案：1010．(2021·上海模拟)第14届国际数学教育大会于7月在上海举办，大会一共进行8天．若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为(用数字作答)．解析：根据题意，大会一共进行8天，第一天和最后一天不安排报告，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，则有A46＝360种安排方法．答案：360综合提升练11．(2021·辽宁实验中学二模)某班级的六名同学计划制作一个关于清明节的宣传栏，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法有多少种( )A ．11种B ．15种C ．30种D ．9种解析：选B 若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C 13C 34＝12种分工方法；若丙不是美工，则丙一定是总负责人，此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C 23种分工方法；综上，共有12＋3＝15(种)分工方法，故选B ．12．(2021·湖南高三模拟)某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有( )A ．249种B ．498种C ．1052种D ．8640种解析：选D 先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有C 13A 33＝18(种)方案．再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有C 14＝4(种)选法；若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有C 14C 13＝12(种)选法；若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有C 14＝4(种)选法，故安排4名员工值班共有(4＋12＋4)A 44＝480(种)方案．因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有18×480＝8640(种)．故选D ．13．(2021·贵州贵阳一中月考)有6名实习生去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法( )A ．540B ．630C ．450D ．720解析：选A 6个人分成3组，有(2, 2, 2)，(4, 1, 1)，(3, 2, 1)三种情况，按(2, 2, 2)分组有C 46·C 24·C 22A 33·A 33＝90，按(3, 2, 1)分组有C 36·C 23·C 11·A 33＝360种，按(4, 1, 1)分组有C 46·C 12·C 11A 22·A 33＝90(种)，故一共有540种方法，故选A ．14．(2021·江苏无锡模拟)四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P-ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有()A．36种B．72种C．48种D．24种解析：选B如图所示：底面ABCD的涂色有4种选择，侧面P AB有3种选择，侧面PBC有2种选择．①若侧面PCD与侧面P AB所涂颜色相同，则侧面P AD有2种选择；②若侧面PCD与侧面P AB所涂颜色不同，则侧面P AD有1种选择．综上所述，不同的涂法种数为4×3×2×(2＋1)＝72种．故选B．15．(2021·辽宁沈阳二中模拟)《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著．《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者．《红楼梦》第三十七回中贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉、李纨共8人．若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有种排列方法．(用数字作答) 解析：原问题等价于：含a, b, c在内的8个不同元素排成一排，其中a, b, c互不相邻的排列方法有多少种？先将除a, b, c之外的5个元素(小圆圈)排成一排，共有6个空档(小三角)，如图所示．将a，b，c安排到6个空档之中，原来5个元素全排列即可，所以不同的排列方法共有A36A55＝120×120＝14 400(种)．答案：14 40016．(2021·重庆杨家坪中学模拟)某学校，通过心理问卷调查，发现某校高三年级有6位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有三位心理老师，每位心理老师至少安排一位学生，至多安排三位学生，问共有种心理辅导安排方法．解析：根据题意，分2步进行分析：①将6位学生分为3组，若每组2人，有C26C24C22 A33＝15种分组方法，若一组3人，一组2人，最后1组1人，有C36C23＝60种分组方法，则共有15＋60＝75(种)分组方法；②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有A33＝6种情况，则共有75×6＝450种安排方法．答案：450。

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合

计数原理与排列、组合(讲解部分)

基本计数原理和排列组合

计数原理、排列组合

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合知识点总结

计数原理与排列组合

计数原理-排列组合

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高二数学两个基本计数原理及排列组合

第一节 计数原理、排列与组合

第一节计数原理、排列与组合