苏教版数学高二-北京四中数学选修【知识讲解】导数的综合应用题(基础)

导数的综合应用题 编稿：赵 雷 审稿：李 霞

【学习目标】

1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。

2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。

3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。

4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题

【要点梳理】 要点一、有关切线问题

直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上 ②切点在曲线上

③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。 要点诠释：

通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。

要点二、有关函数单调性的问题

设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，

（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数。 要点诠释：

（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）

内单调递减，则'()0f x ≤。

（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤。

② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使

min (,)0f x m ≥。

（或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使）max (,)0f x m ≤） 要点三、函数极值、最值的问题

1.函数极值的问题 ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；

④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： （1）先求出定义域

（2）一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；

若由负变正，则该点为极小值点。

注意：无定义的点不用在表中列出

（3）依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。 2.函数最值的问题

若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；

（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值

)(a f ，)(b f ；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.

要点诠释：

①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。

②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四、优化问题

在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决。我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。

利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：

(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量

之间的函数关系式y ＝f (x )；

(2) 求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；

(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释

1．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：

2. 得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；

3. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．

4. 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．

【典型例题】

类型一： 利用导数解决有关切线问题

例1. 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 【思路点拨】点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点． 【解析】曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，

则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，

故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．

点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．

所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．

【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值。

举一反三：

【变式】求过点(20)，且与曲线1

y x

=相切的直线方程． 【答案】

设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02

01

x x y x ='=-

|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=-

-，即0200

11

()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得0200

11

(2)x x x -

=--．