北大附中初二年级数学试卷
2024届北京西城北师大附属实验中学八年级数学第二学期期末达标测试试题含解析
2024届北京西城北师大附属实验中学八年级数学第二学期期末达标测试试题 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，▱ OABC 的顶点 O 、A 、C 的坐标分别是（0，0），（2，0），（0.5，1），则点 B 的坐 标是（ ）A ．（1，2）B ．（0.5，2）C ．（2.5，1）D ．（2，0.5）2．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论：①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 13=S 菱形ABCD 下列判断正确的是（ ）A ．①，②都对B ．①，②都错C ．①对，②错D ．①错，②对3．一次函数24y x =+的图像与y 轴交点的坐标是（ ）A ．（0，-4）B ．（0，4）C ．（2，0）D ．（-2，0）4．下面哪个点在函数y=2x+4的图象上（ ）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，0）D ．（-2，0）5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以A 为圆心，AE 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于F 、E 两点；分别以点E 和点F 为圆心，大于12EF 且相等的长为半径画弧，两弧相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，若BD ＝43，AC 长是分式方程135(2)x x =-的解，则△ACD 的面积是（ ）A ．103B ．203C ．4D ．36．将一次函数12y x =的图象向上平移2个单位，平移后，若0y >，则x 的取值范围是（ ） A ．4x >B ．4x >-C ．2x >D ．2x >- 7．计算×的结果是（ ） A ．B ．4C ．D ．28．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ） A ．B ．C ．D ．9．下列命题正确的是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．一组邻边相等的矩形是正方形10．一元二次方程2230x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知函数2x y +=，则自变量x 的取值范围是___________________． 12．如图，在ABE △中，90BAE ∠=︒，AB AE =，12BE cm =，过点A 作//AF BE 且点F 在点A 的右侧．点D 从点A 出发沿射线AF 方向以1cm /秒的速度运动，同时点P 从点E 出发沿射线EB 方向以2cm /秒的速度运动，在线段PE 上取点C ，使得2PC cm =，设点D 的运动时间为x 秒．当x =__________秒时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形．13．在平面直角坐标系中，点P （a-1，a ）是第二象限内的点，则a 的取值范围是__________。
2023—2024学年北京市西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校八年级下学期期中数学试卷
2023—2024学年北京市西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校八年级下学期期中数学试卷一、单选题(★★) 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．(★) 2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，(★★) 3. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 下列运算中正确的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有一个角是直角的矩形是正方形(★★) 6. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D 重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（）A．32B．20C．16D．10(★★★) 8. 正方形的边长为，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(★★) 9. 函数中，自变量x的取值范围是 _____ ．(★★) 10. 一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为 _____ ，自变量的取值范围 _____ ．(★★) 11. 如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为_____ ．(★★) 12. 如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积为 ______ ．(★★) 13. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 ________ 尺．(★★) 14. 已知如图，在四边形中，，分别是的中点，则 ______(★★) 15. 甲、乙两车从地开往地，全程；所行的路程与时间的函数图象如图所示，下列问题：①乙车比甲车早出发；②甲车用追上乙车，此时乙车行驶；③乙车的速度小于甲车速度；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用；以上正确的序号是 _____ ．(★★★) 16. 如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC 上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________ ．三、解答题(★★★) 17. 计算(1) ；(2) ；(3) ．(★★) 18. 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，且，求证：(1) ；(2)四边形是平行四边形．(★★★) 19. 画出函数的图象．(1)列表：(2)描点并连线；(3)已知点在函数图象上，求出a的值；(4)观察上述图象：当x= 时，y有最值，这个值是；(5)当时，y随x的增大而．(★★★) 20. 已知：．求作：菱形．作法：如上图，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点C；②连接，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接；四边形就是所求作的菱形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵平分，∴．∵，∴四边形是平行四边形（）（填推理的依据）．∵，∴四边形是菱形（）（填推理的依据）．(★★★) 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．(1)求证：四边形为矩形；(2)若菱形的边长为4，，求的面积．(★★★) 22. 为加深学生对宪法的认识和理解，提高法律素养和综合素质，西城区中学和二附西实初二年级于年春季学期，组织学生参加了宪法知识竞赛．王老师现从西城区中学和二附西实各随机抽取名初二学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成四个等级：），下面给出了部分信息：中学名学生的竞赛成绩：．西城实验学校名学生中等级所有学生的竞赛成绩：．中学二附西实根据以上信息．解答下列问题：(1)填空：，，；(2)根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个学校的成绩更好？请说明理由（至少从两个方面分析）；(3)若竞赛成绩不低于分的学生获“优秀少年”称号，中学共有名学生，二附西实共有名学生，请估计中学和二附西实学生中，获“优秀少年”称号的总人数．(★★★★) 23. 阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．(1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点②如图2，点A、B、C为格点，作出；(2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题：如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．①如图3，点E、F分别在上，，连接，请在上画点O，使点 O 为 的中点；②如图4，若，点 E 为上一点，请在上画点 G ，使 ；③如图5，在②的条件下，若 ，连接，点 P 为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为 ．(★★★★) 24. 如图1，在正方形中， 、分别在上，连接，过点 作 于点 ，交 于点 、且点 为线段的中点．(1)①若 ，求 ．②求证：；(2)如图2，若点 在正方形 内，点 在正方形外，且 ，其余条件不变，则还成立吗？说明理由．(★★★★) 25. 如图 ，将边长为 的正方形压扁为边长为 的菱形．在菱形 中， 的大小为 ，面积记为 ．(1)请补全上表；(2)填空：由（）可以发现边长是的正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着大小的变化．不妨把边长为，的菱形面积记为．由此可以归纳出；(3)两块相同的等腰直角三角形按图二的方式放置，，探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等？并说明理由．(★★★★) 26. 在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为Ⅰ变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ变换，又有点作了Ⅱ变换，我们就称该图形为双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题：(1)当时，①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是；②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标；(2)已知点，，①若线段是双变换图形，则的取值范围是；②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积．。
2022北京北大附中初二(下)期中数学试卷及答案
2022北京北大附中初二（下）期中数 学一、选择题（每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3D. 5，12，133. 下列曲线中，表示y 是x 的函数的是（ ）A. B.C. D.4. 下列各式中，运算正确的是（ ）＝－2B. 3-=C. 2==5. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 中点，若EF =2，则菱形ABCD 的周长为( )A. 4B. 8C. 16D. 206. 如图，E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且AB BE =，连接AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，如果70F ∠=︒，那么B Ð的度数是（ ）A. 30C ︒B. 40C ︒C. 50C ︒D. 70C︒7. 如图，正方形ABCD 面积为8，菱形AECF 的面积为4，则EF 的长是（）的的A. 4 C. 2 D. 18. 如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 长上的一点，作DF ⊥AE 于点F ，且满足DF =AB ．下面结论：①△DEF ≌△DEC ；②S △ABE = S △ADF ；③AF =AB ；④BE =AF ．其中正确的结论是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题9. 函数y =x 的取值范围是_____．10. 已知ABCD 中，210A C ∠+∠=︒，则B Ð的度数是________．11. 如图，数轴上点A 所表示的数为a ．则a 的值是______．12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．13. 如图，三角形花园的边界AB ，BC 互相垂直，若测得30A ∠=︒，BC 的长度为40m ，则边界AC 的中点D 与点B 的距离是______m ．14. 如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点，将ABE △沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，则BE 的长为________．15. 如图，平行四边形周长为20cm ，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE ＝2cm ，AF ＝3cm ，平行四边形ABCD 的面积为_____cm 2．16. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．三、解答题17. 计算：（1+（2）⎛ ⎝18. 如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AF CE =．求证：DE BF ∥．19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．小军作法如下：（1）连接AC ；（2）作AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于E ，F ；（3）连接AE ，CF ，所以四边形AECF 是菱形．的的老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空由作图和已知可以得到：AOF COE≌△△∴AF CE=∵四边形ABCD 是平行四边形∴AF CE∥∴四边形AECF 是平行四边形（依据：________________________________________________）∵EF 垂直平分AC∴________________∴四边形AECF 是菱形（依据：________________________________________________）四、解答题20. 如图，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经过的路程都是15m ，求树高AB ．21. 如图，在44⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．（1）在图①中，画一个格点三角形ABC ，使得AB =，BC =，5CA =；（2）在（1）的条件下，直接写出AC 边上的高；（3）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数．五、解答题22. 如图，已知ABED ，延长AD 到C 使CD AD =．连接BC ，CE ，BC 交DE 于点F ．若AB BC =．（1）求证：四边形BECD 是矩形；（2）连接AE ，若60BAC ∠=︒，4AB =，求AE 的长．23. 阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时：∵20a b =-+≥∴a b +≥a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当0x >时，1x x +的最小值为______．当0x <时，1x x+的最大值为______；（2）若()221011x x y x x ++=>-+，求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和10，求四边形ABCD 面积的最小值．24. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ．（1）求证：DE DF ⊥；（2）连接EF ，取EF 中点G ，连接DG 并延长交BC 于H ，连接BG ．①依题意，补全图形；②求证：BG DG =；③若45EGB ∠=︒，用等式表示线段BG ，HG 与AE之间的数量关系，请直接写出结论．的25. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，如果点Q 满足条件：以线段PQ 为对角线的正方形，且正方形的边分别与x 轴，y 轴平行，那么称点Q 为点P 的“和谐点”，如图所示．已知点()1,2D ，()1,2E -，()1,2F --．（1）已知点A 的坐标是()2,1．①在D ，E ，F 中，是点A 的“和谐点”的是______；②已知点B 的坐标为()0,b ，如果点B 为点A 的“和谐点”，求b 的值；（2）已知点(),0C m ，如果线段DE 上存在一个点M ，使得点M 是点C 的“和谐点”，直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可．【详解】解：AB、=C2=，故该选项不合题意；D、=，故该选项不合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键．2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3D. 5，12，13【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、12＋12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；B、22＋32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；C、1＋2＝3，不能构成三角形，不符合题意；D、52＋122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断．【详解】A、B、C对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，不符合题意；C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．4. 下列各式中，运算正确的是（ ）-= C. 2==＝－2 B. 3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质以及化简运算法则求解即可．【详解】解：＝2，∴选项A不符合题意；∵，∴选项B不符合题意；∵2，∴选项C不符合题意；＝∴选项D符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算法则．5. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )A. 4B. 8C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理求出BC ，再根据菱形的四条边都相等解答．【详解】∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2EF ＝2×2＝4，∴菱形ABCD 的周长＝4×4＝16．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．6. 如图，E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且AB BE =，连接AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，如果70F ∠=︒，那么B Ð的度数是（ ）A 30C ︒ B. 40C ︒ C. 50C ︒ D. 70C︒【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可得出70BAF F ∠=∠=︒，再根据等边对等角，得出70BAE BEA ∠=∠=︒，最后根据三角形内角和即可得出答案．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形//AB CD∴70BAF F ∴∠=∠=︒AB BE= 70BAE BEA ∴∠=∠=︒180180707040B BAE BEA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．7. 如图，正方形ABCD 的面积为8，菱形AECF 的面积为4，则EF 的长是（）.A. 4C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.【详解】解：连接AC，如下图所示：∵正方形ABCD的面积为8，∴AD=，∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：4==AC，∵菱形AECF的面积为4，∴12×EF×AC=4，∴EF=2.故答案选：C．【点睛】此题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形和菱形的面积计算公式是解决此题的关键．8. 如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF=AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE = S△ADF；③AF=AB；④BE=AF．其中正确的结论是（）A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，.∴∠C ＝∠ABE ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∵DF ＝AB ，∴DF ＝CD ，∵DF ⊥AE ，∴∠DFA ＝∠DFE ＝90°，在Rt △DEF 和Rt △DEC 中，DE DE DF DC=⎧⎨=⎩，∴Rt △DEF ≌Rt △DEC （HL ），①正确；∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF ，在△ABE 和△DFA 中，ABE DFA AEB DAF AB DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△DFA （AAS ），∴S △ABE ＝S △ADF ；②正确；∴BE ＝AF ，④正确，③不正确；正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题9.函数y =x 的取值范围是_____．【答案】2x ≥【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得20x -≥，解得：2x ≥，故答案为2x ≥．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．10. 已知ABCD 中，210A C ∠+∠=︒，则B Ð的度数是________．【答案】75°【解析】【分析】根据平行四边形对角相等求出∠A=105°，再根据邻角互补即可求出答案.【详解】ABCD 中，∠A=∠C ，∠A+∠B=180°,∵210A C ∠+∠=︒,∴∠A=105°，∴∠B=180°-∠A=75°，故答案为：75°.【点睛】此题考查平行四边形的性质：对角相等，邻角互补.11. 如图，数轴上点A 所表示的数为a ．则a 的值是______．【解析】【分析】根据图示，可得：点A 为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a 的值为多少即可．=∴点A∴a【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确应用勾股定理是解题关键．12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】5【解析】【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，=；②长为3、4的边都是直角边时，5=；∴或5，或5．13. 如图，三角形花园的边界AB ，BC 互相垂直，若测得30A ∠=︒，BC 的长度为40m ，则边界AC 的中点D 与点B 的距离是______m ．【答案】40【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性质可得AC ＝80m ，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得结论．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝40m ，∴AC ＝2BC ＝80m ，∵D 是AC 中点，∴BD ＝12AC ＝40m ，故答案为：40．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．14. 如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点，将ABE △沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，则BE 的长为________．【答案】3【解析】【分析】利用矩形的性质得到BC =AD =8，∠ABC =90°，再根据勾股定理计算出AC =10，接着利用折叠的性质得∠AFE =∠ABE =90°，AF =AB =6，BE =FE ，所以CF =4，设BE =x ，则EF =x ，CE =8-x ，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x =3，即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴BC =AD =8，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，AC 10=，∵△ABE 沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，∴∠AFE =∠ABE =90°，AF =AB =6，BE =FE ，∴CF =10-6=4，设BE =x ，则EF =x ，CE =8-x ，在Rt △CEF 中，x 2+42=（8-x ）2，解得x =3，∴BE =3，故答案为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．15. 如图，平行四边形的周长为20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，平行四边形ABCD的面积为_____cm2．【答案】12【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BC+CD＝10，根据面积公式可得2BC＝3CD，然后联立组成方程组可得CD 和BC的长，进而可得面积．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∵周长为20cm，∴BC+CD＝10①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，∴2BC＝3CD②，联立①②得=10 23BC CDCB CD+⎧⎨=⎩，解得：=46 CDCB⎧⎨=⎩，∴平行四边形ABCD的面积为：AE×CB＝2BC＝2×6＝12，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．【答案】2-【解析】【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．【详解】解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME≥OF ．∵∠AMD ＝90°，AD ＝4，OA ＝OD ，∴OM ＝12AD ＝2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF ＝∠B ＝60°，∴∠DGO ＝∠CGE ＝30°，∵AD ＝BC ，∴∠DAB ＝∠B ＝60°，∴∠ADC ＝∠BCD ＝120°，∴∠DOG ＝30°＝∠DGO ，∴DG ＝DO ＝2，∵CD ＝4，∴CG ＝2，∴OG ＝GF OF ＝∴ME≥OF ﹣OM ＝﹣2，∴当O ，M ，E 共线时，ME 的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题17. 计算：（1+（2）⎛⎝【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式并计算二次根式的除法，然后进行二次根式的加法运算即可；（2）先计算二次根式的乘法并化简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可．【小问1详解】解：原式＝=；【小问2详解】解：原式＝=-=．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18. 如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AF CE =．求证：DE BF ∥．【答案】见解析【解析】【分析】连接BD ，交AC 于点O ，利用平行四边形的性质得出OA ＝OC ，OB ＝OD ，进而得出四边形EBFD 是平行四边形即可．【详解】证明：连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵AF ＝CE ，∴OF ＝OE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴DE ∥BF ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形EBFD 是平行四边形是解题关键．19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．小军的作法如下：（1）连接AC ；（2）作AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于E ，F ；（3）连接AE ，CF ，所以四边形AECF 是菱形．老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空由作图和已知可以得到：AOF COE≌△△∴AF CE∵四边形ABCD 是平行四边形∴AF CE∥∴四边形AECF 是平行四边形（依据：________________________________________________）∵EF 垂直平分AC∴________________∴四边形AECF 是菱形（依据：________________________________________________）【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF ＝FC ；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【解析】【分析】首先证明四边形AECF 是平行四边形，然后根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理填空即可．【详解】解：由作图和已知可以得到：△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，（依据：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵EF 垂直平分AC ，∴AF ＝FC ，∴四边形AECF 是菱形（依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF ＝FC ；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和菱形的判定，解决本题的关键是综合运用以上知识．四、解答题20. 如图，在树上距地面10m D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经过的路程都是15m ，求树高AB．的【答案】12米【解析】【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两只猴子经过的路程一样可得10＋a＝x＋b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10＋x．【详解】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）则10＋a＝x＋b＝15（m）．∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）又在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即（10＋x）2＋a2＝b2，∴（10＋x）2＋52＝（15﹣x）2，解得，x＝2，即AD＝2（米）∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12（米）答：树高AB为12米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角21. 如图，在44形，分别按下列要求作图．CA=；（1）在图①中，画一个格点三角形ABC，使得AB=，BC=，5（2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高；（3）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析 （2）2（3）见解析【解析】【分析】（1）根据网格特点结合勾股定理作图即可；（2）由勾股定理的逆定理可得△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，然后利用面积法求解即可；（3的等腰直角三角形．【小问1详解】解：如图①，△ABC 即为所求．【小问2详解】∵(2225+=，∴图①中△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，∴AC 2=；【小问3详解】如图②，△DEF 即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，面积法求高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．五、解答题22. 如图，已知ABED ，延长AD 到C 使CD AD =．连接BC ，CE ，BC 交DE 于点F ．若AB BC =．（1）求证：四边形BECD 是矩形；（2）连接AE ，若60BAC ∠=︒，4AB =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形BECD 为平行四边形，再根据AB BC =得到BD AC ⊥，即可求证；（2）由60BAC ∠=︒得到ABC 为等边三角形，求得AC 、CE ，再根据勾股定理即可求解．【小问1详解】解：ABED 中，//AD BE ，AD BE =，∴//CD BE ．又∵CD AD =，∴BE CD =，点D 为线段AC 的中点，∴四边形BECD 为平行四边形．∵AB BC =，∴BD AC ⊥，即90BDC ∠=︒，∴平行四边形BECD 为矩形．【小问2详解】解：∵60BAC ∠=︒，AB BC =，∴ABC 为等边三角形．∴4AC AB ==，122AD AC ==．在Rt ADB 中，2,4AD AB ==，∴BD ==，由（1）得BD EC ==90DCE ∠=︒，∴AE ===．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．23. 阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时：∵20a b =-+≥∴a b +≥a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：在（1）请直接写出答案：当0x >时，1x x +的最小值为______．当0x <时，1x x+的最大值为______；（2）若()221011x x y x x ++=>-+，求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和10，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；2-；（2）最小值为6 （3）14+【解析】【分析】（1）根据公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可；（3）设BOC ∆的面积为x ，根据AOB ∆与AOD ，BOC ∆与COD ∆为等高的三角形，且AOB ∆与BOC ∆，AOD ∆与COD ∆为同底的三角形，得到ΔΔΔΔ::BOC COD AOB AOD S S S S =，求出Δ40AOD S x =，利用公式求面积的最小值即可．【小问1详解】当0x >时，10x>，12x x ∴+=…，1x x∴+的最小值是2；当0x <时，0x ->，10x->，11(x x x x∴+=---，12x x --= …，1(2x x∴----…，1x x∴+的最大值为2-；故答案为：2；2-；【小问2详解】2(1)91x y x ++=+911x x =+++，1x >- ，10x ∴+>，236y ∴=⨯=…，y ∴的最小值为6；【小问3详解】设BOC ∆的面积为x ，AOB ∆ 与AOD ，BOC ∆与COD ∆为等高的三角形，且AOB ∆与BOC ∆，AOD ∆与COD ∆为同底的三角形，ΔΔΔΔ::BOC COD AOB AOD S S S S ∴=，Δ:104:AOD x S ∴=，Δ40AOD S x∴=，∴四边形ABCD 的面积40410x x=+++14+…142=+⨯14=+当且仅当40x x=，即x =时，取等号．∴四边形ABCD 面积的最小值为14+．【点睛】本题考查了配方法的应用，列出四边形ABCD 面积的表达式解题的关键．24. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ．（1）求证：DE DF ⊥；（2）连接EF ，取EF 中点G ，连接DG 并延长交BC 于H ，连接BG ．①依题意，补全图形；②求证：BG DG =；③若45EGB ∠=︒，用等式表示线段BG ，HG 与AE 之间的数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析；③BG 2＋HG 2＝4AE 2．【解析】【分析】（1）证△ADE ≌△CDF （SAS ），得∠ADE ＝∠CDF ，再证∠EDF ＝90°，即可得出结论；（2）①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得DG ＝12EF ，BG ＝12EF ，即可得出结论；③先证△DEF 是等腰直角三角形，得∠DEG ＝45°，再证DG ⊥EF ，DG ＝12EF ＝EG ，BG ＝12EF ＝EG ＝FG ，得∠GDF ＝45°，∠EDG ＝∠DEG ＝45°，∠GBF ＝∠GFB ，然后证△CDH ≌△CDF （ASA ），得CH ＝CF ，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°，∴∠DCF ＝90°，即∠A ＝∠DCF ，又∵AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴∠ADE ＝∠CDF ，∵∠ADE ＋∠CDE ＝90°，∴∠CDF ＋∠CDE ＝90°，即∠EDF ＝90°，∴DE ⊥DF ；【小问2详解】①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由（1）可知，△DEF 和△BEF 都是直角三角形，∵G 是EF 的中点，∴DG ＝12EF ，BG ＝12EF ，∴BG ＝DG ；③BG 2＋HG 2＝4AE 2，证明：由（1）可知，△ADE ≌△CDF ，DE ⊥DF ，∴DE ＝DF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DEG ＝45°，∵G 为EF 的中点，∴DG ⊥EF ，DG ＝12EF ＝EG ，BG ＝12EF ＝EG ＝FG ，∴∠EGD ＝∠HGF ＝∠DGF ＝90°，∠GDF ＝45°，∠EDG ＝∠DEG ＝45°，∠GBF ＝∠GFB ，∵∠EGB ＝45°，∴∠GBF ＝∠GFB ＝22.5°，∵∠DHF ＋∠HFG ＝∠DHF ＋∠CDH ＝90°，∴∠HFG ＝∠CDH ＝225°，∴∠CDF ＝∠GDF −∠HDC ＝22.5°＝∠CDH ，又∵∠DCH ＝∠DCF ＝90°，CD ＝CD ，∴△CDH ≌△CDF （ASA ），∴CH ＝CF ，在Rt △GHF 中，由勾股定理得：GF 2＋HG 2＝HF 2，∵HF ＝2CF ＝2AE ，GF ＝BG ，∴BG 2＋HG 2＝（2AE ）2，∴BG 2＋HG 2＝4AE 2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，如果点Q 满足条件：以线段PQ 为对角线的正方形，且正方形的边分别与x 轴，y 轴平行，那么称点Q 为点P 的“和谐点”，如图所示．已知点()1,2D ，()1,2E -，()1,2F --．（1）已知点A 的坐标是()2,1．①在D ，E ，F 中，是点A 的“和谐点”的是______；②已知点B 的坐标为()0,b ，如果点B 为点A 的“和谐点”，求b 的值；（2）已知点(),0C m ，如果线段DE 上存在一个点M ，使得点M 是点C 的“和谐点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①D ，F ；②b ＝3或−1；.（2）−3≤m≤−1或1≤m≤3．【解析】【分析】（1）①画出图形根据“和谐点”的定义判断即可；②画出图形根据“和谐点”的定义确定出点B坐标即可；（2）分别作出临界情况下的“和谐点”，确定出点C（m，0）在线段HM，NG上，进而可得m的取值范围．【小问1详解】解：①如图1中，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点D，点F．故答案为：D，F；②如图2中，∵点B的坐标为（0，b），点B为点A的“和谐点”，观察图形可知B（0，3）或B′（0，−1），∴b＝3或−1；【小问2详解】C m的“和谐点”，∵点M在线段DE上，点M是点(),0如图3中，由图可知点C（m，0）在线段HM，NG上，∴−3≤m≤−1或1≤m≤3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．。
2023届北京大附中八年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若不等式组x a x b <-⎧⎨<⎩的解为x a <-，则下列各式中正确的是（ ） A ．0a b +≤ B ．0a b +≥ C ．0a b -< D ．0a b ->2．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，点E 在BC 上，过A 作FA EA ⊥，使30F ∠=︒，连接EF 交AC 于点G ，当15EAC ∠=︒时，下列结论:①AF FG =；②4EFDE =；③2FG AD =；④BD CG AB +=．其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表如下： 捐款（元）3 5 8 10 人数 2 ■ ■ 31表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x 名同学，捐款8元的有y 名同学，根据题意可得方程组（ ）A ．125884x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．1258400x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．455884x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．4558400x y x y +=⎧⎨+=⎩ 4．计算222255a a a b b b⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为（ ）A ．31254b aB ．54abC ．31254b a -D ．54ab- 5．下列各组数中，是方程27x y +=的解的是（ ）A ．23x y =-⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．15x y =-⎧⎨=⎩6．如果（x +y ﹣4）2+3x y -＝0，那么2x ﹣y 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．1 7．语句“x 的18与x 的和不超过5”可以表示为（ ） A ．58x x +≤ B ．58x x +≥ C ．855x ≤+ D ．58x x += 8．点P （–2， 4）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．下列命题：①如果0a b +=，那么0a b ；②有公共顶点的两个角是对顶角；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．410．一次函数y kx k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 是∠BAC 的平分线，AD ＝1．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是_____．12．已知直线y ＝kx ＋b ，若k ＋b ＝－7，kb ＝12，那么该直线不经过第____象限;13．如图，,AC BD 在AB 的同侧，2,8,8AC BD AB ===，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=，则CD 的最大值是_____．14．探索题：已知（x ﹣1）（x+1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x+1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x+1）＝x 4﹣1，（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x+1）＝x 5﹣1．则22018+22017+22016+…+23+22+2+1的值的个位数是_____．15．将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为__________．16．如图，点E 在DBC ∆的边DB 上，点A 在DBC ∆内部，90DAE BAC ∠=∠=，AD=AE ，AB=AC ．给出下列结论：①BD=CE ；②45ABD ECB ∠+∠=；③BD CE ⊥；④()22222BE AD AB CD =+-．其中正确的是__________．17．已知：x 2+16x ﹣k 是完全平方式，则k ＝_____．18．已知变量y 与x 满足一次函数关系，且y 随x 的增大而减小，若其图象与y 轴的交点坐标为()0,2，请写出一个满足上述要求的函数关系式___________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A (0，1)，B (2，0)，C (4，4)均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1并写出顶点A 1，B 1，C 1的坐标；（2）已知P 为y 轴上一点，若△ABP 与△ABC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．20．（6分）先化简，再求值：22212212x x x x x x x --+÷-+-,其中12x = 21．（6分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，且与CD 交于点F ，（1）求证：CE=CF ；（2）过点F 作FG ‖AB ，交边BC 于点G ，求证：CG=EB .22．（8分）多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1500元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1694元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价45%售完剩余的水果．(1)第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？23．（8分）描述证明：小明在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：（1）请你用数学表达式补充完整小明发现的这个有趣的现象；（2）请你证明小明发现的这个有趣现象．24．（8分）因式分解：321025xy xy xy -+25．（10分）解分式方程：1+1x =2x x + 26．（10分）如图，在△ABC 中，,AB AC =DE 是边AB 的垂直平分线，交AB 于E 、交AC 于D ，连接BD ．（1）若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；（2）若△BCD 的周长为16cm ，△ABC 的周长为26cm ，求BC 的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据不等式组的解集得到-a ≤b ，变形即可求解．【详解】∵不等式组x a x b<-⎧⎨<⎩的解为x a <-， ∴-a ≤b即0a b +≥故选B ．【点睛】此题主要考查不等式组的解集，解题的关键是熟知不等式组的解集确定方法． 2、C【分析】利用直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，结合已知可求得∠FAG=∠FGA=75︒，利用等角对等边证明①正确；在Rt ADE 和Rt ADE 中，分别利用30度角的性质求得EF=2AE=4DE ，证明②正确；同样利用30度角的性质求得AD AE =，FA =，证明③正确；过A 作AH ⊥EF 于H ，证得AG AH >，从证得AB BD GC >+，④错误．【详解】∵FA ⊥EA ，∠F=30︒，∴∠AEF=60︒，∵∠BAC=90︒，AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠DAC=∠C=45︒，AD=DC=BD ，∵∠EAC=15︒，∴∠FAG=90︒-15︒=75︒，∠DAE=45︒-15︒=30︒，∴∠FGA=∠AEF+∠EAC=60︒+15︒=75︒，∴∠FAG=∠FGA=75︒，∴AF=FG ，①正确；∵在Rt ADE 中，∠ADE=90︒，∠DAE=30︒，∴AE=2DE ，AD AE ==， ∵在Rt AFE 中，∠EAF=90︒，∠F=30︒，∴EF=2AE=4DE ，②正确；∴2FA AD ==，③正确；过A 作AH ⊥EF 于H ，在Rt ADE 和Rt AHE 中，9060ADE AHE AED AEH AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩；∴Rt ADE Rt AHE ≅，∴AD=AH ，在Rt AGH 中，∠AHG=90︒，∴AG AH >，∴AC AG GC AH GC AD GC BD GC =+>+=+=+，∴AB BD GC >+，④错误；综上，①②③正确，共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用303倍是解题的关键． 3、A【分析】设捐款5元的有x 名同学，捐款8元的有y 名同学，利用八（1）班学生人数为45得出一个方程，然后利用共捐款400元得出另外一个方程，再组成方程组即可．【详解】解：设捐款5元的有x 名同学，捐款8元的有y 名同学，根据题意可得： 453323*********x y x y +=-⎧⎨⨯+++⨯=⎩，即125884x y x y +=⎧⎨+=⎩． 故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键是利用总人数和总钱数作为等量关系列方程组． 4、B【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果．【详解】解：222255a a a b b b ⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2224()2545a b a b a b-⋅⋅ =54ab. 故选：B.【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、B【分析】将四个答案逐一代入,能使方程成立的即为方程的解.【详解】解:A. ()223=17⨯-+-≠,故错误;B. 231=7⨯+,故正确;C. 211=37⨯+≠,故错误;D. ()215=37⨯-+≠,故错误.故选:B.【点睛】本题考查二元一次方程的解,理解掌握方程的解的定义是解答关键.6、C【解析】根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组求解得到x 、y 的值，再代入代数式进行计算即可得解．【详解】根据题意得，4030x y x y +-=⎧⎨-=⎩①②， 由②得，y=3x ③，把③代入①得，x+3x ﹣4=0，解得x=1，把x=1代入③得，y=3，所以方程组的解是13x y =⎧⎨=⎩， 所以2x ﹣y=2×1﹣3=﹣1． 故选C ．7、A【分析】x 的18即18x ，不超过1是小于或等于1的数，由此列出式子即可． 【详解】“x 的18与x 的和不超过1”用不等式表示为18x +x ≤1． 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 8、B【分析】根据各象限中点的坐标特征进行判断即可．【详解】第二象限中的点的横坐标为负数，纵坐标为正数．故选B.9、B【分析】利用等式的性质、对顶角的定义、平形线的判定及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】如果0a b +=，那么a b 、互为相反数或0a b ==，①是假命题； 有公共顶点的两个角不一定是对顶角，②是假命题；两直线平行，同旁内角互补，由平行公理的推论知，③是真命题；平行于同一条直线的两条直线平行，由平行线的性质知，④是真命题．综上，真命题有2个，故选：B ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10、A【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可【详解】解：当k>0时，函数图象经过一、二、三象限；当k<0时，函数图象经过二、三、四象限，故A 正确.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b （k ≠0）中，当k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限是解答此题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、24 5【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【详解】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，∵S△ABC＝12BC•AD＝12AC•BQ，∴BQ＝BC ADAC＝245，即PC+PQ的最小值是245．故答案为245．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．12、一【分析】根据k＋b＝－7，kb＝12，判断k及b的符号即可得到答案.【详解】∵kb＝12，∴k、b同号，∵k＋b＝－7，∴k、b都是负数，∴直线y＝kx＋b经过二、三、四象限，故答案为：一.【点睛】此题考查一次函数的性质，当k 0>时，一次函数经过一、三象限，当k <0时，图象经过二、四象限；当b 0>时，图象交y 轴于正半轴，当b <0时，图象交y 轴于负半轴. 13、14【分析】如图，作点A 关于CM 的对称点A ′，点B 关于DM 的对称点B ′，证明△A ′MB ′为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，作点A 关于CM 的对称点'A ，点B 关于DM 的对称点'B ． 120CMD ∠=，60AMC DMB ∴∠+∠=，∴''60CMA DMB ∠+∠=，''60A MB ∴∠=，''MA MB =，''A MB ∴∆为等边三角形''''14CD CA A B B D CA AM BD ≤++=++=，CD ∴的最大值为14，故答案为14．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题14、7【分析】先按照题中的规律对原式进行变形，则原式=201921-，再根据2n 的个位数的规律得出结论即可.【详解】原式=2018201720162019(21)(22221)21=-+++++=-1234522,24,28,216,232=====2n ∴的个位数字是2，4，8，6，2……每四个数一循环，所以201945043÷= ∴20192的个位数字为8，∴201921-的个位数字为7，∴20182017201622221+++++的个位数字为7【点睛】 本题主要考查利用规律对原式进行适当变形，然后再利用2n 的规律找到个位上数字的规律，找到规律是解题的关键.15、如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等【分析】根据命题的形式解答即可.【详解】将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等.【点睛】此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果．．．那么．．．”连接的形式，准确确定命题中的题设和结论是解题的关键.16、①②③④【分析】只要证明DAB EAC ≅，利用全等三角形的性质即可一一判断．【详解】90DAE BAC ∠=∠=︒DAB EAC ∴∠=∠,AD AE AB AC ==DAB EAC ∴≅,BD CE ABD ECA ∴=∠=∠,故①正确；45ABD ECB ECA ECB ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒,故②正确；454590ECB EBC ABD ECB ABC ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒90CEB ∴∠=︒，即CE BD ⊥,故③正确；()()2222222222222222BE BC EC AB CD DE AB CD AD AD AB CD ∴=-=--=-+=+-,故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．17、﹣1【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k 的值．【详解】解：∵x 2+16x ﹣k 是完全平方式，∴﹣k ＝1，∴k ＝﹣1．故答案为﹣1【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题关键．18、答案不唯一，如y =-x +2；【分析】首先根据函数增减性判定k 的正负，然后根据与y 轴的交点坐标即可得出解析式.【详解】由题意，得0k ＜∵与y 轴的交点坐标为()0,2∴满足条件的函数解析式为y =-x +2，答案不唯一；故答案为：答案不唯一，如y =-x +2.【点睛】此题主要考查利用一次函数性质判定解析式，熟练掌握，即可解题.三、解答题(共66分)19、（1）见解析，A 1（0，－1），B 1（2，0），C 1（4，－4）；（2）（0，6）或（0，－4）．【分析】（1）根据关于x 轴对称的点的坐标特征写出顶点A 1，B 1，C 1的坐标，描点即可；（2）利用割补法求得△ABC 的面积，设点P 的坐标为()0,m ，则12152ABP Sm =⨯-=，求解即可．【详解】解：（1）作出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示．△A 1B 1C 1顶点坐标为：A 1（0，－1），B 1（2，0），C 1（4，－4）.（2）()11114421245222ABC S =+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 设点P 的坐标为()0,m ，则12152ABPS m =⨯-=， 解得4m =-或6，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，－4）．【点睛】本题考查轴对称变换、割补法求面积，掌握关于x 轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 20、－2【解析】试题分析：先化简,再将x 的值代入计算即可.试题解析：原式＝＝＋1 ＝当x ＝时，原式＝＝－221、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）要得到CE=CF 证明∠CFE=∠CEF 即可，据已知条件∠CAE+∠CEA=90°，∠FAD+∠AFD=90°，因为AE 平分∠CAB ，所以∠AFD=∠AEC ；因为∠AFD=∠CFE ，即可得∠CFE=∠CEF ，即得结论CF=CE ．（2）过点E 作EH AB ⊥，垂足为点H ，如能证得CFG EHB ∆≅∆，即可得解．【详解】解：（1）∵AE 平分BAC ∠，∴CAE BAE ∠=∠∵90ACB ∠=︒，且CD AB ⊥，∴∠ACD=∠B∵∠CFE=∠CAE+∠ACD ，∠CEF=∠BAE+∠B∴∠CFE=∠CEF∴CE CF =（2）过点E 作EH AB ⊥，垂足为点H ，∵AE 平分BAC ∠，且90ECA EHA ∠=∠=︒∴EC EH =．又∵CE CF =，∴CF EH =∵CD AB ⊥，且FG ∥AB ，∴∠CGF=∠B ，且CD FG ⊥，∠CFG=90°在CFG EHB ∆∆和中，∵90CGF B CFG EHB CF EH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CFG EHB ∆≅∆∴=CG EB ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到直角三角形，等腰三角形、平行线等的性质，是一道综合性题目，比较复杂．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行证明．22、 (1) 2元;(2) 盈利了8241元.【解析】（1）设第一次水果的进价是每千克x 元，则第二次水果的进价是每千克1.1x 元，根据数量=总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量=总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润=每千克利润×销售数量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相加即可得出结论．【详解】解：（1）设第一次水果的进价是每千克x 元，则第二次水果的进价是每千克1.1x 元， 根据题意，得：169415001.1x x-=20， 解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：第一次水果的进价是每千克2元．（2）第一次购买水果1500÷2=750（千克），第一次利润为750×（9﹣2）=5250（元）．第二次购买水果750+20=770（千克），第二次利润为100×（10﹣2.2）+（770﹣100）×（10×0.55﹣2.2）=2991（元）．5250+2991=8241（元）．答：该水果店在这两次销售中，总体上是盈利了，盈利了8241元．【点睛】考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．23、（1）2a b ab b a++=；a b ab +=；（2）先通分，再根据完全平方公式分解因式，然后去分母即可得到结论.【分析】（1）依据题意，用含“a”、“b ”的式子把题中描述的数量关系表达出来即可；（2）把（1）中条件中所列的式子通过分式的运算化简，再结合乘法公式进行变形，就可得到结论；【详解】解：（1）如果2a b ab b a++=，那么a b ab +=； （2）证明：∵2a b ab b a++=， ∴222a b ab ab ab++=， ∴2222a b ab ab ++=（），∴22a b ab +=（）（）； 又∵a 、b 均为正数，∴a b ab +=．【点睛】此题主要考查的是分式的加减运算及完全平方公式的应用.解（2）时，由条件“2a b ab b a++=，”右边是整式，而左边是异分母分式的加、减，易知需将左边化简；而当化简得到“222a b ab ab ab++=”时，熟悉“完全平方公式”的同学就已经非常清楚该怎样做了.24、)(25xy y -【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行分解因式，即可得到答案.【详解】解：321025xy xy xy -+=()21025xy y y -+ =)(25xy y -；【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25、x=-23【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：2222x x x x +++=，解得：x =-23， 经检验x =-23是分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．26、（1）30°（2）6cm【解析】(1)首先计算出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD=BD ，进而可得∠ABD=∠A=40°，然后可得答案；(2)根据线段垂直平分线的性质可得AD=DB ，AE=BE ，然后再计算出AC+BC 的长，再利用△ABC 的周长为26cm 可得AB 长，进而可得答案．【详解】解：(1) ∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠,40A ∠=︒ ， ∴180702A ABC -∠∠==︒， ∵DE 是边AB 的垂直平分线，∴DA DB =，∴40DBA A ∠=∠=︒，∴704030DBC ABC DBA ∠=∠-∠=-=︒；(2)∵△BCD 的周长为16cm ，∴16BC CD BD ++=，∴16BC CD AD ++=，∴16BC CA +=，∵△ABC 的周长为26cm ，∴26261610AB BC CA =--=-=，∴10AC AB ==，∴262610106BC AB AC cm =--=--=.故答案为(1)30°；(2)6cm.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质求出AD=BD 是解题的关键．。
北大附中初二第二学期期末数学试题
北师大附中初二第二学期学期期末试题数学一、选择题（每题3分，共24分）1、已知一直角三角形的木板，三边长度的平方和为21800cm ，则斜边长为（ ） A 、80cm B 、30cm C 、90cm D 、120cm 2、某服装销信商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（ ） A 、服装型号的平均数 B 、服装型号的众数 C 、服装型号的中位数 D 、最小的服装型号 3、有三个角相等的四边形是（ ）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、矩形、菱形、正方形作为结论都不对 4、如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝60°，BC=3，△ABE 的周长为6，则等腰梯形的周长是（ ）A 、8B 、10C 、12D 、165、有一组数据如下：3，6，5，2，3，4，3，6。
那么这组数据的中位数是（ ）A 、3或4B 、4C 、3D 、3.5 6、正比例函数y x =与反比例函数1y x =的图象相交于A 、C 两点，A B x ⊥轴于B ，CD x ⊥轴于D （如图），则四边形A B C D 的面积为（ ） A 、1 B 、32 C 、2 D 、527、某工厂为了选择1名车工参加加工直径为10m m 的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你比较2S甲、2S乙的大小（ ）A 、22SS>乙甲B 、22SS=乙甲C 、22S S<乙甲D 、22SS≤乙甲8、若2|1|0b a -+=，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A 、250ax x b +-= B 、22(1)(3)50b x a x -++-=C 、2(1)(1)70a x b x -+--=D 、2(1)10b x ax ---= 二、填空题（每空3分，共15分）9、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边的中点，BF 平分∠ABC 交AD 于F ，P 是BF 上任意一点，∠B ＝60°，AB=4，则PE ＋PA 的最小值为______________________。
北京市北京大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷
北京市北京大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．8m B．10m C．12m D．15m
8．如图，A，B为55
⨯的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
AE BD ⊥于点E ．已知6AB =，8BC =，如果F 是边BC 的中点，连接EF ，求EF 的长．
22．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，
4BC =， 2.5BD =．
(1)则点D 到直线AB 的距离为______．
(2)求线段AC 的长．
23．如图，每个小正方形的边长都是1，A ，B ，C ，D 均在网格的格点上．
(1)判断BCD ∠是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）
(2)直接写出四边形ABCD 的面积为______．
(3)找到格点E ，并画出四边形ABED （一个即可），使得其面积与四边形ABCD 面积相等．
24．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝2，∠ABD ＝15°，∠C ＝60°．
②若正方形区域S关于某长度为1的线段的巡逻面积为12，则S边长的最小值为______．。
北大附中初二数学期末试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 已知方程x² - 5x + 6 = 0 的两个根分别是 a 和 b，则 a + b 的值是（）A. 5B. 6C. -5D. -63. 在直角坐标系中，点 A(2,3) 关于 y 轴的对称点坐标是（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)4. 一个长方形的长是 8cm，宽是 5cm，它的周长是（）A. 17cmB. 18cmC. 23cmD. 24cm5. 下列函数中，自变量 x 的取值范围是全体实数的是（）A. y = 2x + 1B. y = √(x - 3)C. y = 1/xD. y = 2x² - 3x + 16. 在等腰三角形 ABC 中，底边 BC = 6cm，腰 AB = AC = 8cm，则三角形 ABC 的面积是（）A. 24cm²B. 30cm²C. 32cm²D. 36cm²7. 已知 a > 0，b > 0，且a² + b² = 25，则 a + b 的最大值是（）A. 5B. 10C. √25D. √508. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 等腰三角形B. 平行四边形C. 梯形D. 等边三角形9. 在一次函数 y = kx + b 中，若 k > 0，b < 0，则该函数图象在坐标系中的位置是（）A. 第一、二、四象限B. 第一、三、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限10. 一个数列的前三项分别是 2, 5, 8，则该数列的通项公式是（）A. an = 2n + 1B. an = 3n - 1C. an = 4n - 3D. an = 5n - 2二、填空题（每题5分，共50分）1. 若 a > b，则 a - b 的符号是 _______。
北京北大附中初二上册期中考试数学(含解析).docx
北京北大附中初二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．计算23-的结果是（ ）． A ．6- B ．9-C ．19-D ．192．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．下列各分式中，最简分式是（ ）． A ．34()85()x y x y -+B ．22x y y x +-C ．2222x y x y xy ++D ．222()x y x y -+4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）．A ．8mB ．4mC ．6mD ．10m5．化简22a b a b b a+--的结果为（ ）．A ．22a b -B ．a b +C ．a b -D ．22a b +6．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）． A ．133m mm =++ B ．11x x x y x y+--=-- C ．2122x y yx x ++=+-- D ．()()x a b x y b a y -=-7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）． A．3 B ．4 C ．5 D ．68．如图，O 是ABC △的边AC 、BC 的垂直平分线的交点，130AOB ∠=︒，则ACB ∠为（ ）．A ．65︒B ．57.5︒C．45︒D．32.5︒9．如图，在ABC △中，28A ∠=︒，E 为AC 上一点，以BE 为轴将三角形翻折，AB 交CE 于D ，再以BA 为轴继续翻折，使得点C 恰好落在BE 上，若82CDB ∠=︒，则原三角形的ABC ∠为（ ）．A ．73.5︒B ．76︒C ．78.5︒D ．81︒10．如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）． A ．(1,4) B ．(5,0) C ．(6,4) D ．(8,3)二、填空题（每空2分，共20分）11．当x __________时，分式2132x x -+的值为零．12．在平面直角坐标系中，点(1,2)A 关于y 轴对称点的坐标是__________．13．一种细菌半径是0.0000121米，则0.0000121用科学记数法表示为__________．14．已知2230a ab b ++=（0a ≠，0b ≠）则代数式b aa b+的值等于__________．15．如图，ABC △是等边三角形，90CBD ∠=︒，BD BC =，则1∠的度数是__________．16．关于x 的方程223ax a x =-有解为1x =，则a =__________．17．在ABC △中，AB AC =，B α∠=，线段AB 的垂直平分线交直线AC 于点D ， 则DBC ∠=__________．18．如图，30POQ ∠=︒，POQ ∠内有一点A ，12AO =，在PO 、QO 上分别有点B 、C （B 、C 与O 不重合）则BAC ∠=__________︒时，BAC △的周长取最小值，最小值是__________．三、解答题19．计算：（1）6243(210)(10)--⨯+； （2）2214(2)xy z x yz --÷-；（3）21211()()111x x x x x x +⋅--+-+．20．先化简，再求值：231(1)221a a a a a a --÷-+++，其中a 满足210a a --=．21．解方程：2112323x x x -=-+．22．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使市场到三个村庄距离相等． （1）提示：要使集贸市场的位置到点A 、B 的距离相等，则集贸市场应在线段AB 的__________上； （2）请利用直尺和圆规在图中标出这个集贸市场的位置．（请保留作图痕迹，不写作法）23．如图，ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD AC ⊥交BC 于点D ． 求证：3BC AD =． 证明：∵AB AC =，∴B ∠=__________（ ）． ∵120BAC ∠=︒， ∴30B C ∠=∠=︒． ∵AD AC ⊥交BC 于点D ， ∴90DAC ∠=︒，∴DC =__________（ ）， ∴30BAD ∠=︒， ∴B BAD ∠=∠， ∴____________， ∴2DC BD =， ∴3BC AD =．24．石榴是一种令人喜爱的时令水果．石榴一上市，水果店的小李就用3000元购进一批石榴，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg ，第三天她发现市场上的石榴数量陡增，而自己的石榴卖相已不大好，于是果断地将剩余石榴以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元． （1）设进价为x 元/kg ，用x 表示将石榴全部售出后的总销售额； （2）求小李所进石榴的质量．25．如图，ABC⊥于D点，DE AB=，AD BC△中，AB AC∥交AC于点E，点F在BC延长线上，且2DF BD=．=；（1）求证：DE EC（2）求证：BE EF=．26．已知ABC∠=∠=︒，如图1所示，取底边中点，可以把ABC△分割成两个直角三ABC ACB△，63角形，进一步再把两个直角三角形分成两个等腰三角形．△分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三请你在图2中，用另外两种不同的方法把ABC角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）．27．定义：如图1，在四边形ABCD 内的点P ，满足APD CPD ∠=∠且BPC BPA ∠=∠，或APB APD∠=∠且BPC CPD ∠=∠，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．（1）如图2，若AB AC =，BD DC =，点M 在AD 上，判断点P 是不是四边形ABDC 的半等角点； （2）如图3，若AB AC =，D 、E 分别AC 、AB 上的点，且ABD ACE ∠=∠，且BD 、CE 交于点F ，求证：线段AF 上的任意一点都是四边形ADFE 的半等角点．（3）如图4，若AB AC =，D 、E 分别AC 、AB 上的点，且CBD BCE ∠≠∠，在图4中，画出四边形ADFE 的一个半等角点，保留作图痕迹（不要求尺规作图，不写做法）．图4FEDABC北京北大附中初二（上）期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DDCBBCCADB二、填空题（每空2分，共20分）11．12=． 12．(1,2)- 13．51.2110-⨯ 14．3- 15．15︒16．12-17．3α或1803α︒-或3180α-︒ 18．120；12三、解答题19．解：（1）6243(210)(10)--⨯+ 121241010--=⨯+ 12510-=⨯；（2）2214(2)xy z x yz --÷-1(2)211(1)2x y z -----=- 322x yz =-； （3）21211()()111x x x x x x +⋅--+-+ 221411(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-+=⋅-++- 421(1)(1)x x x x =-++- 4(1)2(1)(1)x x x x --=+-224421x x x --=-．20．解：231(1)221a a a a a a --÷-+++ 23(2)()211a a a aa a a +-+=⋅-+-+ 1aa a =-+ 21a a =+． ∵210a a --=，∴21=+，a a∴原式1=．21．解：去分母，得2(23)(23)(23)(23)x x x x x +--=+-， 去括号，得22462349x x x x +-+=-， 整理，得412x =-， 解得3x =-．经检验，3x =-为原方程的解， ∴原方程的解为3x =-．22．解：（1）垂直平分线； （2）作图如下：23．证明：∵AB AC =， ∴B ∠=C ∠（等边对等角）． ∵120BAC ∠=︒， ∴30B C ∠=∠=︒． ∵AD AC ⊥交BC 于点D ， ∴90DAC ∠=︒，∴DC =2AD （30︒角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴30BAD ∠=︒， ∴B BAD ∠=∠， ∴BD AD =， ∴2DC BD =， ∴3BC AD =．24．解：（1）石榴全部售出后的总销售额为3000150(140%)(150)(120%)x x x⨯++--； （2）由题意，得3000150(140%)(150)(120%)3000750x x x⨯++---=， 整理，得901350x =， 解得15x =．经检验，15x =是原方程的解且符合题意， 300020015=． 答：小李所进石榴的质量为200kg ．PCBA25．证明：（1）∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠， ∵DE AB ∥， ∴ABC EDC ∠=∠， ∴EDC ACB ∠=∠， ∴DE EC =．（2）∵AB AC =，AD BC ⊥， ∴BD CD =， ∵2DF BD =， ∴CB DF =．在BCE △和FDE △中， CB DF BCE FDE CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BCE △≌FDE △（SAS ）． ∴BE EF =．26．解：如图所示：27．解：（1）点P 是四边形ABDC的半等角点． （2）连结AF ． ∵在ABD △和ACE △中， DAB EACAB ACABD ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABD △≌ACE △（ASA ）． ∴AE AD =，BD CE =． ∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠，∴ABC ABD ACB ACE ∠-∠=∠-∠，即FBC FCB ∠=∠， ∴BF FC =，∴BD BF CE CF -=-，即EF DF =．由（1）中结论可知，AF 上任意一点都是四边形ADFE 的半等角点． （3）如图所示，点P 即为所求．CBA 63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°54°A BC63°63°54°36°63°36°27°27°A BC63°54°54°PF EDABC北京北大附中初二（上）期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】D【解析】2211339-==．2．【答案】D【解析】观察可知，选项D 中的图形为轴对称图形．3．【答案】C【解析】34()2()85()5()x y x y x y x y --=++；221x y y x y x +=--；222()x y x yx y x y--=++．4．【答案】B【解析】由题意得，BC 与地面AB 的夹角为30︒，∴14m 2h BC ==．5．【答案】B【解析】2222a b a b a b a b b a a b-+==+---．6．【答案】C【解析】313m mm +=+；11x x x y x y +---=--；()()x a b x y b a y -=--．7．【答案】C【解析】如图所示，当AB 为底边时，可取AB 垂直平分线上的格点，图中的1C ，2C ，3C 满足要求；当AB 为腰时，可取4C ，5C ．综上，点C 的个数为5．8．【答案】A【解析】∵O 是ABC △的边AC 、BC 的垂直平分线的交点， ∴OA OB OC ==，∴OAB OBA ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠， ∴1806522ABO BAO AOBACB OCA OCB ︒-∠-∠∠∠=∠+∠===︒．9．【答案】D【解析】以题中最后一个图为研究对象，设图中的CBD θ∠=，则原图中的3ABC θ∠=， ∴180283ACB θ∠=︒-︒-，∴1523BCD θ∠=︒-， 又∵82CDB ∠=︒，∴152382180θθ+︒-+︒=︒，解得27θ=︒， ∴原三角形的381ABC θ∠==︒．C 5C 4C 3C 2C 110．【答案】B【解析】如图所示，点P 的运动轨迹为一个循环，每个周期会碰到矩形的边6次．∵20146÷的余数为4，∴当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标与4P 的坐标相同，即(5,0)．二、填空题11．【答案】12=． 【解析】由题意得210x -=，320x +≠，解得12x =．12．【答案】(1,2)-【解析】点(1,2)A 关于y 轴对称点的坐标是(1,2)-．13．【答案】51.2110-⨯【解析】0.0000121用科学记数法表示为51.2110-⨯．14．【答案】3-【解析】22b a a b a b ab++=，∵2230a ab b ++=，∴223a b ab +=-，∴原式33ab ab -==-．15．【答案】15︒【解析】由图可得1CBD DAC ACB ∠+∠=∠+∠，∵BD BC AB ==，∴601DAC ∠=︒-∠， ∴19060160∠+︒=︒-∠+︒，解得115∠=︒．16．【答案】12-【解析】由题意得2213a a =-，解得12a =-．17．【答案】3α或1803α︒-或3180α-︒【解析】如图1，当点D 在线段AC 上时，可得3180DBC α∠=-︒； 如图2，当点D 在AC 延长线上时，可得1803DBC α∠=︒-； 如图3，当点D 在CA 延长线上时，可得3DBC α∠=．18．【答案】120；12【解析】过点A 作OP 的对称点1A ，过点A 作OQ 的对称点2A ，连结12A A ，此时BAC △的周长最小为12，120BAC ∠=︒．P5P 4P 3P 2P 1QP A 2A 1CB AO。
2023-2024学年北京大学附属中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解
2023～2024学年度第一学期期中练习初二年级数学练习题班级__________姓名__________准考证号__________考生须知：1．本卷共6页，共3部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟．2．试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和准考证号．3．答案一律填涂或书写答题卡上，试卷上作答无效．4．答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1.在第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取201金、111银、71铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,1A ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是（）A.()1,3 B.()3,1- C.()3,1- D.()3,1--3.一个等腰三角形的两条边分别是2cm 和5cm ，则第三条边的边长是（）A .2cm B.5cmC.2cm 或5cmD.不能确定4.下列运算式中，正确的是（）A.224x x x += B.235x x x ×=C.()33xy x y = D.()325x x =5.根据下列条件能画出唯一ABC ∆的是（）A.1AB =，2BC =，3CA =B.7AB =，5BC =，30A ∠=︒C.50A ∠=︒，=60B ∠︒，70C ∠=︒D. 3.5AC =， 4.8BC =，70C ∠=︒6.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（）A.85︒B.75︒C.65︒D.60︒7.如图，将一张四边形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点D 恰好落在边AB 的中点处．设1S ，2S 分别为ADC 和ABC 的面积，1S 和2S 数量关系是（）A.1213S S =B.1212S S =C.122S S =D.123S S =8.如图，ABC 中，AB AC BC <<，如果要使用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使PA PB BC =＋，那么符合要求的作图痕迹是（）A. B.C. D.9.如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）．A.1B.2C.3D.410.如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（）A.不变B.一直变小C.先变大后变小D.先变小后变大二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如图，AD AE =，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，只添加一个条件使ABE ACD ≌，添加的条件是：____________（添加一个即可）．12.某区环保局将一个长为6210⨯分米，宽为4410⨯分米，高为2810⨯分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为__________分米．13.一个多边形的内角和是1080︒，则这个多边形的边数为__________．14.如图，在四边形ABDC 中，60ABD ∠=︒，90D Ð=°，BC 平分ABD ∠，3AB =，4BC =．则ABC 的面积等于______．15.“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动．若72BDE ∠=︒，则CDE ∠=__________°．16.如图，等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，D 为BC 中点，5AD =P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为______．三、解答题（本题共52分，第17（1）题3分，17（2）题44分，第18～20题，每题4分，第21～23题，每题5分，第24～26题，每题6分）17.计算：（1）()()3225x xy ⋅-（2）()()2x y x y -+18.已知：如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB DE =，AB DE ∥，BF EC =．求证：ABC DEF ≌△△．19.已知240x x +-=，求()()()23122x x x x +--+的值．20.如图，A ，B 分别为CD ，CE 的中点，AE CD ⊥于点A ，BD CE ⊥于点B ．求AEC ∠的度数．21.下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=°．求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB 和AC 的距离相等．作法：①如图，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点P ；③画射线AP ，交BC 于点D ．所以点D 即为所求．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接MP NP ，．在 AMP 和ANP 中，∵AM AN =，MP NP =，AP AP =，∴ AMP ≌ANP （SSS ）．∴∠=∠.∵∠ABC =90°，∴DB AB ⊥.∵DE AC ⊥，∴DB DE =（）．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ，()2,6A -，()5,1B -，()3,1C ．点B 与点C 关于直线l 对称，AC 交y 轴于点E ．（1）请在坐标系中画出直线l ；（2）求ABE 的面积；（3）若点P 在直线l 上，90BPC ∠=︒，直接写出点P 的坐标．23.（1）已知在ABC 中，120A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒．请你设计两种不同的方法：用一条直线将ABC 分割成两个等腰三角形．（作图工具不限，不要求写画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．）（2）根据以上问题，提出一个你觉得有研究价值的数学问题，描述你的问题即可，不需要解答．24.我们学习了实数的正整数次幂的运算，如328=，(49=等．现已知一个实数的实数次幂也可以运算．若实数a 、b 、x 满足x a b =，则称x 为b 关于a 的“L 数”，记为()x L a b =，．（1）请直接写出：①()216L =，__________；②11464L ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，__________．（2）若()252L a =，，则=a __________．（3）已知()105L x =，，()1020L y =，，()10L b z =，，且2x z y +=，求b 的值．25.已知直线MN ，在直线上取一点A ，以A 为顶点作等腰ABC ，AB AC =，作射线CB 交射线AM 于点Q ，记点C 关于直线MN 的对称点为P 点，连结PC 、PB ，记BAC α∠=，NAC β∠=，其中0180β︒<<︒．（1）请补全图1；（2）证明当60α=︒且75β=︒时，PC PB =；（3）若有PC PB =，求此时β与α之间的数量关系．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b 为图形G 上一点，当a b >时，将点P 关于一、三象限角平分线对称，称为变换1；当a b ≤时，将点P 关于y a =对称，称为变换2．（1）①已知点A 坐标为()2,1，则点A 作相应变换后的点的坐标为__________；②若点A 作相应变换后的点坐标为()1,2-，求点A 的坐标；（2）已知(),1B m ，(),3C m ，①若线段BC 上的点通过变换2所得图形在x 轴下方，则m 的取值范围是__________；②已知边长为8的正方形中心为点O ，且各边与坐标轴平行，若正方形内部（含边）同时存在线段BC 的两种变换点，则m 的取值范围是__________．2023～2024学年度第一学期期中练习初二年级数学练习题一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1.在第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取201金、111银、71铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，故A 正确，符合题意；B 、不是轴对称图形，故B 错误，不符合题意；C 、不是轴对称图形，故C 错误，不符合题意；D 、不是轴对称图形，故D 错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查轴对称图形识别，掌握轴对称图形的定义，图形结合分析是解题的关键．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,1A ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是（）A.()1,3 B.()3,1- C.()3,1- D.()3,1--【答案】C【分析】根据关于x 轴对称的两个点的坐标的特征判断即可．【详解】解：∵关于x 轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，∴1(3)A ，关于x 轴对称的点的坐标为()3,1-，故选：C ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的两个点的坐标的特征，熟练掌握关于x 轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，是解题的关键．3.一个等腰三角形的两条边分别是2cm 和5cm ，则第三条边的边长是（）A.2cm B.5cm C.2cm 或5cm D.不能确定【答案】B【分析】分类讨论：当等腰三角形的腰长为2cm 时和当等腰三角形的腰长为5cm 时，再根据三角形的三边关系，分析即可得出答案．【详解】解：当等腰三角形的腰长为2cm 时，则三边为2cm 、2cm 、5cm ，∵225+<，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm 时，则三边为2cm 、5cm 、5cm ，∵255+>，∴能组成三角形，∴综上可得：第三条边的边长是5cm ．故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边之间的关系，明确三边能否组成三角形是解本题的关键．4.下列运算式中，正确的是（）A .224x x x += B.235x x x ×=C.()33xy x y = D.()325x x =【答案】B【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A 、2222x x x +=，故该选项是错误的；B 、235x x x ×=，故该选项是正确的；C 、()333xy x y =，故该选项是错误的；D 、()32236x x x ⨯==，故该选项是错误的；故选：B【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则，难度较小，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．5.根据下列条件能画出唯一ABC ∆的是（）A.1AB =，2BC =，3CA = B.7AB =，5BC =，30A ∠=︒C.50A ∠=︒，=60B ∠︒，70C ∠=︒D. 3.5AC =， 4.8BC =，70C ∠=︒【答案】D【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．【详解】解：A.当1AB =，2BC =，3CA =时，123+=，则线段AB 、BC 、CA 不能构成三角形，故选项A 不符合题意；B.边边角三角形不能唯一确定，如图1，故选项B不符合题意；C.角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项C不符合题意；D.边角边可以画出唯一的三角形ABC，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（）A.85︒B.75︒C.65︒D.60︒【答案】B【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．和7.如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点处．设1S，2S分别为ADC 的面积，1S和2S数量关系是（）ABCA.1213S S =B.1212S S =C.122S S =D.123S S =【答案】B【分析】由折叠可知'ADC AD C ≌，根据中点的性质可知'AD C 的面积和'BD C 的面积相等，进而求出1S 与2S 数量关系．【详解】解：∵由折叠可知'ADC AD C≌∴'ADC AD CS S = ∵点'D 恰好是AB 的中点∴''AD C BCD S S = ∵ADC 的面积为1S ，ABC 的面积是2S ∴1212S S =【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找出各个三角形的面积关系是解题的关键．8.如图，ABC 中，AB AC BC <<，如果要使用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使PA PB BC =＋，那么符合要求的作图痕迹是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】由PA PB BC =＋和PC PB BC =＋可得，点P 在线段AC 的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段AC 的垂直平分线，与BC 的交点即为点P ．【详解】∵PA PB BC =＋，而PC PB BC =＋，∴PA AC =，∴点P 在线段AC 的垂直平分线上，即点P 为线段AC 的垂直平分线与BC 的交点．故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．9.如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）．A.1B.2C.3D.4【答案】C 【分析】分AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C 的个数．【详解】解：如下图：当AB 为腰时，分别以A 、B 点为顶点，以AB 为半径作圆，可找出格点C 的个数有2个；当AB 为底时，作AB 的垂直平分线，可找出格点C 的个数有1个，所以点C 的个数为：2+1=3．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB 为底和以AB 为腰两种情况，并画出图形是解题关键．10.如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（）A.不变B.一直变小C.先变大后变小D.先变小后变大【答案】D 【分析】先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，从而可得120EBD DCF ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得BAD E CDF ∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE CD =，从而可得BED 周长为BE BD DE BC AD ++=+，最后根据点到直线的距离即可得出答案．【详解】ABC 是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒，120EBD DCF ∴∠=∠=︒，DF AD = ，CAD F ∴∠=∠，又6060BAD CAD BAC CDF F ACB ∠+∠=∠=︒⎧⎨∠+∠=∠=︒⎩，BAD CDF ∴∠=∠，DE AD = ，BAD E ∴∠=∠，E CDF ∴∠=∠，在BDE △和CFD △中，EBD DCF E CDF DE FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CFD AAS ∴≅ ，BE CD ∴=，则BED 周长为BE BD DE CD BD AD BC AD ++=++=+，在点D 从B 运动到C 的过程中，BC 长不变，AD 长先变小后变大，其中当点D 运动到BC 的中点位置时，AD 最小，∴在点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是先变小后变大，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如图，AD AE =，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，只添加一个条件使ABE ACD ≌，添加的条件是：____________（添加一个即可）．【答案】B C ∠=∠（答案不唯一）【分析】添加条件是B C ∠=∠，根据全等三角形的判定定理AAS 推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．【详解】解：B C ∠=∠，理由是： 在ABE 和ACD 中，A ABC AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ABE ACD ∴ ≌，故答案为：B C ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．12.某区环保局将一个长为6210⨯分米，宽为4410⨯分米，高为2810⨯分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为__________分米．【答案】4410⨯【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可．【详解】解：正方体贮水池的棱长为：4410==⨯（分米）．故答案为：4410⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤＜，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．13.一个多边形的内角和是1080︒，则这个多边形的边数为__________．【答案】八【分析】由多边形内角和定理：()2180n -⋅︒（3n ≥且n 为整数），可求多边形的边数．【详解】解：设这个多边形的边数是n ，由题意得：()21801080n -︒=⋅︒∴8n =，所以这个多边形的边数为八，故答案为：八【点睛】本题考查多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和定理．14.如图，在四边形ABDC 中，60ABD ∠=︒，90D Ð=°，BC 平分ABD ∠，3AB =，4BC =．则ABC 的面积等于______．【答案】3【分析】过点A 过AH BC ⊥于H ，根据角平分线的定义得到30ABC ∠=︒，再根据含30度角的直角三角形的性质求得1322AH AB ==，然后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：过点A 过AH BC ⊥于H ，∵BC 平分ABD ∠，60ABD ∠=︒，∴1302ABC ABD ∠=∠=︒，∵3AB =，∴1322AH AB ==，又4BC =，∴ABC 的面积为11343222BC AH ⋅=⨯⨯=，故答案为：3．【点睛】本题考查角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．15.“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动．若72BDE ∠=︒，则CDE ∠=__________°．【答案】84【分析】根据OC CD DE ==，可得O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，根据三角形的外角性质可知2DCE O ODC ODC ∠=∠+∠=∠，进一步根据三角形的外角性质可知372BDE ODC ∠=∠=︒，即可求出ODC ∠的度数，进而求出CDE ∠的度数．【详解】解：OC CD DE == ，O ODC ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，2DCE O ODC ODC ∴∠=∠+∠=∠，372O OED ODC BDE ∠+∠=∠=∠=︒ ，24ODC ∴∠=︒，180108CDE ODC BDE ∠+∠=︒-∠=︒ ，10884CDE ODC ∴∠=︒-∠=︒．故答案为：84．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．16.如图，等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，D 为BC 中点，AD =P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为______．【答案】【分析】作点D 关于AB 的对称点E ，连接PE ，BE ，依据轴对称的性质，即可得到DB EB =，DP EP =，45ABC ABE ∠=∠=︒，根据PC PD PC PE +=+，可得当C ，P ，E 在同一直线上时，PC PE +的最小值等于CE的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PC PD +．【详解】解：如图所示，作点D 关于AB 的对称点E ，连接PE ，BE ，则DB EB =，DP EP =，45ABC ABE ∠=∠=︒，90CBE ∠=︒，D 是BC 的中点，112BD BC ∴==，1BE ∴=，PC PD PC PE +=+ ，∴当C ，P ，E 在同一直线上时，PC PE +的最小值等于CE 的长，此时，PC PD +最小，2AC BC == ，D 为BC 的中点，CD DB BE ∴==，又90ACD CBE ∠=∠=︒ ，()SAS ACD CBE ∴ ≌，5CE AD ∴==PC PD ∴+55．【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题（本题共52分，第17（1）题3分，17（2）题44分，第18～20题，每题4分，第21～23题，每题5分，第24～26题，每题6分）17.计算：（1）()()3225x xy ⋅-（2）()()2x y x y -+【答案】（1）4240-x y （2）222x xy y --【分析】（1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答；（2）运用多项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，即可作答．【小问1详解】解：()()()323242258540x xyx xy x y ⋅-=⋅-=-；【小问2详解】解：()()22222222x xy x y y y x xy y y x x =+-+----=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到积的乘方、多项式乘多项式法则以及合并同类项，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18.已知：如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB DE =，AB DE ∥，BF EC =．求证：ABC DEF ≌△△．【答案】证明见解析【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出ABC DEF ∠=∠，再根据线段之间的数量关系，得出BC EF =，再根据“边角边”，即可得出结论．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴ABC DEF ∠=∠，∵BF EC =，∴BF FC EC FC +=+，∴BC EF =，在ABC 和DEF 中，AB DE ABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC DEF SAS ≌．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．19.已知240x x +-=，求()()()23122x x x x +--+的值．【答案】2【分析】先利用整式的混合运算化简代数式，再把已知条件变形，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵240x x +-=，∴24x x +=，()()()23122x x x x +--+2236224x x x x x=-+---22x x =+-422=-=．【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．20.如图，A ，B 分别为CD ，CE 的中点，AE CD ⊥于点A ，BD CE ⊥于点B ．求AEC ∠的度数．【答案】30︒【分析】连接DE ；由线段中垂线的性质可得CE DE CD ==，即CDE 是等边三角形，然后根据三线合一的性质即可得出结果；【详解】解：如图，连接DE ；∵A 、B 分别为CD ，CE 的中点，且AE CD ⊥，BD CE ⊥；∴CE DE CD==∴CDE 是等边三角形∴60CED ∠=︒∴AEC CED ∠=∠=︒1302【点睛】本题考查了线段中垂线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一等知识点；综合运用上述知识进行边角转化是解题的关键．21.下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=°．求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB 和AC 的距离相等．作法：①如图，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点P ；③画射线AP ，交BC 于点D ．所以点D 即为所求．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接MP NP ，．在 AMP 和ANP 中，∵AM AN =，MP NP =，AP AP =，∴ AMP ≌ANP （SSS ）．∴∠=∠.∵∠ABC =90°，∴DB AB ⊥.∵DE AC ⊥，∴DB DE =（）．【答案】（1）补全图形见解析（2）∠PAM ，∠PAN ，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【分析】（1）按照要求补全图形即可；（2）读懂证明中的每一个步骤及推理的依据，即可完成．【小问1详解】补全的图形如下：【小问2详解】过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接MP NP ，．在 AMP 和ANP 中，∵AM AN =，MP NP =，AP AP =，∴ AMP ≌ANP （SSS ）．∴∠PAM =∠PAN ．∴ABC ∠=90°，∴DB AB ⊥.∵DE AC ⊥，∴DB DE =（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．故答案为：∠PAM ，∠PAN ，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，灵活运用它们是关键．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ，()2,6A -，()5,1B -，()3,1C ．点B 与点C 关于直线l 对称，AC 交y 轴于点E ．（1）请在坐标系中画出直线l ；（2）求ABE 的面积；（3）若点P 在直线l 上，90BPC ∠=︒，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）见解析（2）ABE S 的面积为8（3）()1,5-和()1,3--【分析】（1）根据点B 与点C 的坐标求出中点坐标D ，然后过点D 作BC 的垂线即可得出直线l ；（2）先求出直线AC 的解析式，然后再求值直线AC 与y 轴的交点坐标E ，再根据三角形面积公式求出结果即可；（3）B 与点C 关于直线l 对称，直线l 垂直平分BC ，得出BP CP =，PD 平分90BPC ∠=︒，得出190452BPD CPD ∠=∠=⨯︒=︒，得出BPD △为等腰直角三角形，求出142PD BD BC ===，分两种情况：当P 在直线BC 上方时，当P 在直线BC 下方时，分别求出结果即可．【小问1详解】解：∵()5,1B -，()3,1C ，∴中点D 的坐标为()1,1-，过点D 作BC 的垂线，即为所求作的直线l ，如图所示：【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()2,6A -，()3,1C 代入得：2631k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为4y x =-+，把0x =代入4y x =-+得：4y =，∴点E 的坐标为()0,4，∵()5,1B -，()3,1C ，∴()358BC =--=，∴ABE ABC BECS S S =-()()1186184122=⨯⨯--⨯⨯-8=；【小问3详解】解：∵B 与点C 关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分BC ，∵点P 在直线l 上，∴BP CP =，∵PD BC ⊥，∴PD 平分90BPC ∠=︒，∵90BPC ∠=︒，∴190452BPD CPD ∠=∠=⨯︒=︒，∴BPD △为等腰直角三角形，∴142PD BD BC ===，当P 在直线BC 上方时，如图所示：此时点P 的纵坐标为：145+=，∴此时点P 的坐标为()1,5-；当P 在直线BC 下方时，如图所示：此时点P 的纵坐标为：143-=-，∴此时点P 的坐标为()1,3--；综上分析可知，点P 的坐标为()1,5-和()1,3--．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点，数形结合，注意进行分类讨论．23.（1）已知在ABC 中，120A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒．请你设计两种不同的方法：用一条直线将ABC 分割成两个等腰三角形．（作图工具不限，不要求写画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．）（2）根据以上问题，提出一个你觉得有研究价值的数学问题，描述你的问题即可，不需要解答．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的判定，先以20︒作为等腰三角形的一个底角，或以40︒作为等腰三角形的一个底角，然后结合三角形内角和为180︒，进行作答即可；（2）言之有理即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）如图所示：（2）依题意，如果提供一个锐角ABC ，也用一条直线将锐角ABC 分割成两个等腰三角形，此时会有几种做法呢？（答案不唯一）【点睛】本题考查了学生的动手思考能力以及等腰三角形的判定，一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．24.我们学习了实数的正整数次幂的运算，如328=，(49=等．现已知一个实数的实数次幂也可以运算．若实数a 、b 、x 满足x a b =，则称x 为b 关于a 的“L 数”，记为()x L a b =，．（1）请直接写出：①()216L =，__________；②11464L ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，__________．（2）若()252L a =，，则=a __________．（3）已知()105L x =，，()1020L y =，，()10L b z =，，且2x z y +=，求b 的值．【答案】（1）4，3（2）5±（3）80【分析】（1）因为实数a 、b 、x 满足x a b =，则称x 为b 关于a 的“L 数”，记为()x L a b =，，代入数值进行计算，即可作答；（2）依题意，因为()252L a =，，所以代入数值进行计算，即可作答；（3）依题意，因为()105L x =，，()1020L y =，，()10L b z =，，所以代入数值进行计算，再结合2x z y +=以及同底数幂相乘法则，即可作答．【小问1详解】解：∵实数a 、b 、x 满足x a b =，则称x 为b 关于a 的“L 数”，记为()x L a b =，，且4216=，311464⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴()2164L =，，113464L ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，；【小问2详解】解：依题意，∵()2525±=且()252L a =，∴5a =±；【小问3详解】解：∵()105L x =，，()1020L y =，，()10L b z =，，∴105x =，1020y =，10z b=∵2x z y+=∴()2101010x z y ⋅=即2520400b ⨯==则80b =．【点睛】本题考查了实数的正整数次幂的运算，涉及到幂的乘方，同底数幂相乘等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25.已知直线MN ，在直线上取一点A ，以A 为顶点作等腰ABC ，AB AC =，作射线CB 交射线AM 于点Q ，记点C 关于直线MN 的对称点为P 点，连结PC 、PB ，记BAC α∠=，NAC β∠=，其中0180β︒<<︒．（1）请补全图1；（2）证明当60α=︒且75β=︒时，PC PB =；（3）若有PC PB =，求此时β与α之间的数量关系．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）①当0120α︒<<︒时，1904βα=︒-；②当120180α︒<<︒时，1904βα=︒-或11804β=︒-【分析】（1）依题意，作射线CB 交射线AM 于点Q ，记点C 关于直线MN 的对称点为P 点，连结PC 、PB ，即可作图；（2）连结AP ，证明()SAS PAC PAB ≌，即可得PC PB =；（3）分类讨论：①当B 、C 位于直线MN 同侧时，180αβ+<︒；当120180α︒<<︒时，结合三角形的内角和以及垂直平分线的性质，作答即可．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】证明：连结AP ，∵点C 和点P 关于直线MN 对称，∴MN PC ⊥，AP AC =．∵75PAN CAN ∠=∠=︒，∴150PAC ∠=︒．∵60BAC ∠=︒，∴360150PAB PAC CAB ∠=︒-∠-∠=︒．在PAC △与PAB 中，150AC AB PAC PAB AP AP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS PAC PAB ≌，∴PC PB =．【小问3详解】解：①当0120α︒<<︒时，1904βα=︒-；②当120180α︒<<︒时，1904βα=︒-或11804β=︒-；①当B 、C 位于直线MN 同侧时，180αβ+<︒，若存在满足条件的β时，有PC PB =．∵AC AB =，∴直线PA 为BC 的垂直平分线，设延长PA 与BC 交于点1Q，如图：∴在ABC 中，111122CAQ BAQ BAC α∠=∠=∠=．∵点C 和点P 关于直线MN 对称，∴MN PC ⊥，AP AC =，∴在PAC △中，22PAC NAC β∠=∠=．∵1180PAC CAQ ∠+∠=︒，∴121802βα+=︒，∴1904βα=︒-，∴1901804α⎛⎫+︒-<︒ ⎪⎝⎭，∴解得120α<︒，∴()19001204βαα=︒-︒<<︒；②当120180α︒<<︒时，如右图所示有两种情况若存在满足条件的β时，有PC PB =．∵AC AB =，∴直线PA 为BC 的垂直平分线，设延长PA 与BC 交于点1Q ，如图3：∴在ABC 中，111122CAQ BAQ BAC α∠=∠=∠=．∵点C 和点P 关于直线MN 对称，∴MN PC ⊥，AP AC =，∴在PAC △中，22PAC NAC β∠=∠=．∵1180PAC CAQ ∠+∠=︒，∴121802βα+=︒，∴1904βα=︒-；若存在满足条件的β时，有PC PB =．∵AC AB =，∴直线PA 为BC 的垂直平分线，∴1122PAC BAC α∠=∠=设PA 与BC 交于点1Q ，如图4：∴在ABC 中，111122CAQ BAQ BAC α∠=∠=∠=．∵点C 和点P 关于直线MN 对称，∴MN PC ⊥，AP AC =，∴在PAC △中，()2221803602PAC PAM CAM NAC β∠=∠=∠=︒-∠=︒-．∵1122PAC BAC α∠=∠=，∴136022βα︒-=，∴11804βα=︒-；【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定以及三角形内角和等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b 为图形G 上一点，当a b >时，将点P 关于一、三象限角平分线对称，称为变换1；当a b ≤时，将点P 关于y a =对称，称为变换2．（1）①已知点A 坐标为()2,1，则点A 作相应变换后的点的坐标为__________；②若点A 作相应变换后的点坐标为()1,2-，求点A 的坐标；（2）已知(),1B m ，(),3C m ，①若线段BC 上的点通过变换2所得图形在x 轴下方，则m 的取值范围是__________；②已知边长为8的正方形中心为点O ，且各边与坐标轴平行，若正方形内部（含边）同时存在线段BC 的两种变换点，则m 的取值范围是__________．【答案】（1）①()1,2②()2,1-或()1,4--（2）①231m -≤<②413m -≤<-，13m <≤．【分析】（1）①根据新定义变换1，即可求解；②根据新定义变换1，和变换2，分类讨论，即可求解；（2）①设BC 上的点为(),M m n ，则13n ≤≤则(),m n 关于y m =的对称点为(),2m m n -，根据线段BC 上的点通过变换2所得图形在x 轴下方，得出12m <，即可求解；②根据题意作出图形，依题意，1m <-或1m >，进而分情况讨论，找到临界点，即可求解．【小问1详解】解：①点A 坐标为()2,1，21>，点A 作相应变换后的点的坐标为()1,2，故答案为：()1,2．②点A 作相应变换后的点坐标为()1,2-，若是变换1，则原来的坐标为()2,1-，若是变换2，则()1,2-关于1y =-对称，即()1,4--，∴点A 的坐标为()2,1-或()1,4--；【小问2详解】解：∵(),1B m ，(),3C m ，设BC 上的点为(),M m n ，则13n ≤≤，则(),m n 关于y m =的对称点为(),2m m n -，。
北大附中八年级数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，正整数是（）A. -2.5B. 0.3C. -√4D. 32. 如果a=5，那么a²+2a+1的值是（）A. 7B. 12C. 16D. 253. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7B. 2, 4, 8, 16C. 1, 4, 9, 16D. 3, 6, 9, 124. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 梯形5. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = x² + 1B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = 1/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 若m=4，那么2m²-5m+3的值为______。
7. 下列数中，最小的负整数是______。
8. 2的5次方等于______。
9. 如果x=2，那么x²-x+1的值为______。
10. 下列各数中，无理数是______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 解方程：3x - 5 = 2x + 1。
12. 一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度行驶，3小时后到达B地。
然后以每小时50公里的速度返回A地，问返回A地时，汽车行驶了多少公里？13. 已知数列{an}的前三项分别为a₁=1，a₂=4，a₃=9，求该数列的通项公式。
四、应用题（每题20分，共40分）14. 小明家住在三层楼，他每次上楼需要走楼梯，上楼的速度为每秒走3个台阶。
楼梯共有15个台阶，那么小明上楼需要多少秒？15. 某商店有一种商品，原价为100元，第一次打8折，第二次打7折。
问小明买了这个商品需要支付多少钱？答案：一、选择题1. D2. D3. C4. B5. B二、填空题6. 37. -18. 329. 510. √2三、解答题11. 3x - 5 = 2x + 1x = 612. 60公里/小时× 3小时 = 180公里180公里× 50公里/小时 = 9000公里13. 数列{an}为等差数列，公差为a₂ - a₁ = 4 - 1 = 3an = a₁ + (n - 1)dan = 1 + (n - 1) × 3an = 3n - 2四、应用题14. 15个台阶÷ 3个台阶/秒 = 5秒15. 第一次打8折，价格变为100元× 0.8 = 80元第二次打7折，价格变为80元× 0.7 = 56元小明需要支付56元。
2022北京北大附中初二(上)期中数学(试卷含答案解析)
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠
，(
)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
23. 如图，在 ABC 中， BD 平分 ABC ， E 是 BD 上一点， EA ⊥ AB ，且 EB = EC ．
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（1）如果 ABC = 40 ，则 DEC 的度数为
°；
（2）探究 BC 与 AB 数量关系，并说明理由．
14. 如图，在△ABC 和△DBC，BA=BD 中，请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC，这个条件可以是 ________（写出一个即可）．
15. 如图，在等边三角形 ABC 中，ABห้องสมุดไป่ตู้2，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至点 E，使 CE=CD，则 BE 的长为 _______．
16. 借助如图所示的“三等分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒 OA，
OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定， OC = CD = DE ，点 D，E 可在槽中滑动．若 BDE = 75 ，则 CDE = ______°．
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17. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为
10cm，双翼的边缘 AC = BD = 55 cm，且与闸机侧立而夹角 PCA = BDQ = 30 ，求当双翼收起时，两
B. 线段 BA
C. 线段 BC
D. 线段 BD
3. 正五边形的每个内角度数是（ ）
A. 60
B. 90
C. 108
D. 120
4. 如图，△ABC 中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P，使 PA＋PB＝BC，那
2020年北大附中初二第二学期期末数学试卷
在 y 轴上，若点 A 的坐标为（12，13），则点 C 的坐标是
A．（0， 5 ）
B．（0， 6 ）
C．（0， 7 ）
D．（0， 8 ）
9．甲、乙两名运动员的 10 次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩
的平均数依次记为 x甲， x乙 ，射击成绩的方差依次记为 s甲2 ， s乙2 ， 则下列关系中完全正确
心有多大，舞台就有多大
北大附中初中部 2019-2020 学年度第二学期期末练习
初二年级数学试卷
班级________姓名_________
一．选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
1. 函数 y x 3 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A． x 3 B． x 3 C． x ≥ 3 D． x 3
如果 1=70 ABC=32 ，那么 ADC=
°．
14.把直线 y 5x 2 向上平移 a 个单位后，与直线 y 2x 4 的交点在第一象限，则 a 的
取值范围是_____________．
15．已知 a 5 1 ，则代数式 a2 2a 7 的值为___________．
16．如图，每个小正方形的边长为 1，在△ABC 中，点 A，B，
的是
（A） x甲 = x乙 ， s甲2 ＞ s乙2
（B） x甲 = x乙 ， s甲2 ＜ s乙2
（C） x甲＞ x乙 ， s甲2 ＞ s乙2
（D） x甲 ＜ x乙 ， s甲2 ＜ s乙2
10．如图，点 E 为平行四边形 ABCD 边上的一个动点，并沿 A B C D 的路径移动到
点 D 停止，设点 E 经过的路径长为 x ，△ADE 的面积为 y ，则下列图象能大致反映 y 与 x 的
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33． （4 分）观察下列各式，并解答闯题： 1 2 3 4 1 52 ， 2 3 4 5 1 112 ， 3 4 5 6 1 192 ，… （1）请你写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； （2）根据（1） ，计算 10011002 1003 1004 的结果（用一个最简式子表示）
b a
D． a2 b2 (a b)2
b
b
a
图1
图2
a
二、填空题： （每空 2 分，本题共 40 分） 11．在实数范围内分解因式 a2 6 ． 1 12．函数 y 中，自变量 x 的取值范围为 x2 13．计算： 25 3 8 ． 2 x 1 14．若分式 的值为 0，则 x= x 1
）
A． 7 B． 7 C． 3.2 D． 10 10．在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a>b） ，再沿虚线剪开，如图 1 所示， 然后拼成一个梯形，如图 2 所示，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ） A． a2 b2 (a b)(a b) B． (a b)2 a2 2ab b2 C． (a b)2 a2 2ab b2
3
s
1 2 2 a 2 b2 c 2 a b 2 4
2
2
请你证明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，即
1 2 2 a 2 b2 c 2 a b 2 4 p( p a)( p b)( p c)
2
B． 3.6 6 ）
C． (13)2 13 C．5 或 3
D． 36 6 D．5
6．若 ( x 1) 16 ，则 x 的值是（ A． 5 B． 5 7．下列运算错误的是（ ） A． 3x3 (2 x2 ) 6 x5 C． (a b)2 a2 b2
B． 4a3b (2a2b) 2a D． (a b)(a b) a 2 b2 ） D．
9 4
8．已知 x，y 是实数： 3x 4 y 2 6 y 9 0 ，则 xy 的值是（ 9 A．4 B．-4 C． 4
P -3 -2 -1 0 1 2 3
9．如图，数轴上点 P 表示的数可能是（
34.（5 分）解答下列各题． （1）分解因式 (1 x) x(1 x)
（2）分解因式 1 x x(1 x) x(1 x)2
x(1 x)n
（3）分解因式 x 1 x( x 1) x( x 1)2 x( x 1)3
x( x 1)2010
三、分解因式（每小题 2 分，本题共 10 分） 23． (a2 1)2 4a2 .
24． a2 ab ac bc
25． 36 x2 33x 45
26． ( x2 3x)( x2 3x 2) 8
27． a2 b2 c2 2bc
四、解答题（本题共 30 分） 28.（3 分）计算： 4 (3)2 3 64 (2008)0 29． （3 分）解不等式 (2 x 5)2 (3x 1)2 13( x2 12)
1
15．计算 ( x 2)( x 3)
( x 2 y)2
16．若 a b 3 ， ab 2 ，则 a2 b2
(a b)2
17．已知 a b 5 ， ab 7 ，则 a2b ab2 a b 1 1 18．已知 a+b=2，ab =2，则 a3b a 2b 2 ab3 的值为 2 2 3 2 3 19．因式分解： 8a b 12ab c 1 4 x2 x2 2 x 8 25x2 20 xy 4 y 2
30.（3 分）已知 a、b 是实数，且 a2 4 b2 2b 5 0 ，求 (ab 2)2 的平方根．
2
31.（4 分）先化简，再求值：已知 x 2 ，求 ( x 1)(2x 1) (2 x 3)(3 2x) 8 的值．
32.（4 分）利用平面几何图形的面积可以证明一些公式和几何定理，也可以解释一些代数恒等式 的正确性． （1）根据下图利用面积的不同表示方法写出一个等式 （2）请画出一个几何图形，利用图形面积来证明完全平方公式： (a b)2 a2 2ab b2
2
20． 1.5 108 21．1 22．10； 10 三、分解因式 23． 24． 25． 26． 27． 四、解答题 28． 29． 30． 31． 32． 33． 34． 35．
5
2a( x y) 3b( y x) 2 x2 7x 1 5
20．光的速度约为 3 105 千米／秒，太阳光照射到地球上所需时间为 5 102 秒，则地球与太阳 的距离约为 千米． 21．已知多项式 3x3 ax2 3x 1 能被 x2 +1 整除，且商式是 3x+l，那么 a 的值是 22．如图，每个小正方形的边长为 l，则阴影正方形的面积是 ，边长是
北大附中 2010-2011 学年度第一学期期中考试初二年级数学试卷
一、选择题： （每小题 2 分，本题共 20 分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．3 的平方根是 A． 3 B． 3 2．下列运算正确的是 A．2a+b=2ab B． ( a 3 ) 2 a 6 C． 3 C． a2 a2 2a2 D．3 D． a 4 a 2 2 D． (a 2)2 ） D．10，
4
北大附中 2010-2011 学年度第一学期期中考试初二年级数学试卷答案
一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．C 8．B 9．B 10．A 二、填空题
11． a 6 a 6
12． x 2 13．3； 14． 1 15． x2 x 6 ； x2 4 y 2 4 xy 16．5；1 17． 30 18．4 19．4ab2 2a 3bc ；1 2 x 1 2 x ； 5x 2 y ； x 4 x 2 ； x y 2a 3b ； 2 x 3 x 5
3 2
3．把 a2 4a 4 分解因式，结果正确的是（ ） A． (a 2)(a 2) B． (a 4)(a 4) C． (a 2)2 4．已知 (a b)2 7 ， (a b)2 3 ，则 a 2 b2 与 ab 的值分别是（ 3 A．4，l B．2， C．5，1 2 5．下列各式中，正确的是（ ） A． 3 5 3 5
（4）计算： 2009 2010 2009 2010 20092 2010 20093
2010 20092010
35． （4 分）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求面积的“海 abc 伦公式” ：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，设 p ，则三角形的面积为 2 s p( p a)( p b)( p c) 我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式” ：如果一个三角形 的三边长分别为 a，b，c，则三角形的面积为